無限積と特殊関数

この章の目標

• 零点を指定した整関数（ワイエルシュトラス）と極を指定した有理型関数（ミッタク–レフラー）を構成できる
• $\sin\pi z$ の無限積表示と $\pi\cot\pi z$ の部分分数展開を証明できる
• ガンマ関数の積表示・解析接続・相補公式・重複公式とベータ関数との関係を導ける
• 解析接続の一意性とモノドロミー定理の意味を説明できる

前提：第3章（ワイエルシュトラスの定理）、第4章、第5章（補題 5.15）

7.1 無限積

多項式は根を与えれば $c\prod (z - a_k)$ と書ける。無限個の零点をもつ整関数も積で表すため、無限積の収束を定義する。

定義 7.1（無限積の収束）複素数列 $(a_n)$ について、$1 + a_n = 0$ となる $n$ が有限個で、それらを除いた部分積が 0 でない極限をもつとき、無限積 $\prod_{n=1}^{\infty}(1 + a_n)$ は収束するという。値は全因子の積（0 の因子があれば 0）とする。

例 7.2 $\prod_{n=2}^{N}\left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = \prod_{n=2}^{N} \frac{(n - 1)(n + 1)}{n^2} = \frac{N + 1}{2N} \to \frac{1}{2}$ なので収束する。$\prod_{n=1}^{N}(1 + \frac{1}{n}) = N + 1 \to \infty$ は発散する。$\prod_{n=2}^{N}(1 - \frac{1}{n}) = \frac{1}{N} \to 0$ も、極限が 0 なので定義により発散である。0 への発散を除くのは「積が 0 ⇔ ある因子が 0」を保つためである。

$\lvert a \rvert \leq 1/2$ なら $\lvert \operatorname{Log}(1 + a) \rvert = \lvert \sum_{k \geq 1} (-1)^{k-1} a^k/k \rvert \leq \lvert a \rvert \sum_{k \geq 0} 2^{-k} = 2\lvert a \rvert$ である。

定理 7.3 $U$ を開集合、$f_n$ を $U$ 上の正則関数とし、任意のコンパクト集合 $K \subset U$ について $\sum_n \sup_K \lvert f_n \rvert < \infty$ とする。このとき $F = \prod_{n=1}^{\infty}(1 + f_n)$ は $U$ 上で広義一様収束し、$F$ は正則である。$F$ の零点は因子の零点全体であり、各点での零点の位数は因子の零点の位数の和である。さらに $F$ の零点以外で $\dfrac{F'}{F} = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f_n'}{1 + f_n}$（広義一様収束）が成り立つ。

証明. $K = \overline{D(c, r)} \subset U$ とし、$n \geq N$ で $\sup_K \lvert f_n \rvert \leq 1/2$ となる $N$ をとる。$\lvert \operatorname{Log}(1 + f_n) \rvert \leq 2\sup_K \lvert f_n \rvert$ だから、M 判定法により $S_N = \sum_{n \geq N} \operatorname{Log}(1 + f_n)$ は $K$ 上で一様収束し、定理 3.25 より $D(c, r)$ で正則、$S_N' = \sum_{n \geq N} f_n'/(1 + f_n)$ である。部分和は $K$ 上で有界で、$\exp$ は有界集合上で一様連続だから、$\prod_{n=N}^{M}(1 + f_n) = \exp\sum_{n=N}^{M}\operatorname{Log}(1 + f_n)$ は $e^{S_N}$ に一様収束する。よって $K$ 上で $F = \prod_{n < N}(1 + f_n) \cdot e^{S_N}$ であり、$e^{S_N} \neq 0$ だから零点についての主張と対数微分の公式が従う。コンパクト集合はこのような円板の有限個で覆える。$\square$

7.2 $\sin\pi z$ の無限積表示と $\pi\cot\pi z$ の部分分数展開

定理 7.4（$\pi\cot\pi z$ の部分分数展開）$z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}$ について

$$\pi\cot\pi z = \frac{1}{z} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2z}{z^2 - n^2} = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^{N} \frac{1}{z - n}$$

であり、級数は $\mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}$ 上で広義一様収束する。

証明. $\lvert z \rvert \leq R$、$n \geq 2R$ なら $\lvert \frac{2z}{z^2 - n^2} \rvert \leq \frac{2R}{n^2 - R^2} \leq \frac{8R}{3n^2}$ だから、級数は広義一様収束する。$\frac{2z}{z^2 - n^2} = \frac{1}{z - n} + \frac{1}{z + n}$ から第 2 の等号も従う。

$w \notin \mathbb{Z}$ を固定し、$N > \lvert w \rvert$ として $g(z) = \frac{w\pi\cot\pi z}{z(z - w)}$ を補題 5.15 の正方形の周 $\partial Q_N$ 上で積分する。$z = w$ での留数は $\pi\cot\pi w$、$z = n \neq 0$ では $\frac{w}{n(n - w)}$ である。$0$ の近くでは $\pi\cot\pi z = \frac{1}{z} + h(z)$（$h$ は正則で $h(0) = 0$）だから、$\frac{wh(z)}{z(z - w)}$ は $0$ で正則であり、$\frac{w}{z^2(z - w)}$ の留数は $\frac{d}{dz}\frac{w}{z - w}\big\vert_{z=0} = -\frac{1}{w}$ である。$\partial Q_N$ 上で $\lvert \cot\pi z \rvert \leq \coth(\pi/2)$、$\lvert z \rvert \geq N + \frac{1}{2}$ だから

である。留数定理より $\pi\cot\pi w - \frac{1}{w} + \sum_{0 < \lvert n \rvert \leq N} \frac{w}{n(n - w)} \to 0$ で、$\pm n$ の項をまとめると $\frac{w}{n(n - w)} + \frac{w}{n(n + w)} = \frac{2w}{n^2 - w^2}$ だから結論を得る。$\square$

定理 7.5（$\sin\pi z$ の無限積表示）すべての $z \in \mathbb{C}$ について

$$\sin\pi z = \pi z \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z^2}{n^2}\right)$$

であり、積は $\mathbb{C}$ 上で広義一様収束する。

証明. $\lvert z \rvert \leq R$ で $\sum_n \lvert z^2/n^2 \rvert \leq R^2\sum 1/n^2 < \infty$ だから、定理 7.3 より右辺 $P(z)$ は整関数で、零点は整数全体（すべて単純）である。$\mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}$ 上では、定理 7.3 と定理 7.4 より

である。よって $\left(\frac{P}{\sin\pi z}\right)' = \frac{P}{\sin\pi z}\left(\frac{P'}{P} - \frac{(\sin\pi z)'}{\sin\pi z}\right) = 0$ が連結開集合 $\mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}$ 上で成り立ち、$P = c\sin\pi z$。$z \to 0$ で $P(z)/(\pi z) \to 1$、$\sin\pi z/(\pi z) \to 1$ より $c = 1$。$\square$

例 7.6

1. $z = 1/2$ とすると $1 = \frac{\pi}{2}\prod_{n \geq 1}\left(1 - \frac{1}{4n^2}\right)$、すなわちウォリスの公式 $\frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n - 1)(2n + 1)}$ を得る。
2. $\lvert z \rvert < 1$ で $\frac{2z}{z^2 - n^2} = -\frac{2z}{n^2}\sum_{k \geq 0} \frac{z^{2k}}{n^{2k}}$ で、二重級数は絶対収束するから並べ替えて $\pi\cot\pi z = \frac{1}{z} - 2\sum_{k \geq 1} \zeta(2k) z^{2k-1}$（$\zeta(s) = \sum_{n \geq 1} n^{-s}$）。一方、問題 4.3 の展開と $\cos w$ の積から $\cot w = \frac{1}{w} - \frac{w}{3} - \frac{w^3}{45} - \cdots$ なので、係数を比べて $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$、$\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ を得る（オイラー。例 5.16 と一致）。

7.3 ワイエルシュトラスの因数分解定理

$\sum 1/\lvert a_n \rvert = \infty$ なら $\prod (1 - z/a_n)$ は収束しないので、収束を助ける指数因子を掛ける。

定義 7.7（基本因子）$E_0(z) = 1 - z$、$p \geq 1$ について $E_p(z) = (1 - z)\exp\left(z + \frac{z^2}{2} + \cdots + \frac{z^p}{p}\right)$ とおく。

補題 7.8 $\lvert z \rvert \leq 1$ ならば $\lvert 1 - E_p(z) \rvert \leq \lvert z \rvert^{p+1}$ である。

証明. $q(z) = \sum_{k=1}^{p} z^k/k$ とすると $E_p'(z) = e^{q}\bigl(-1 + (1 - z)(1 + z + \cdots + z^{p-1})\bigr) = -z^p e^{q(z)}$ である。$e^{q}$ のテイラー係数はすべて 0 以上だから、$1 - E_p(z) = \int_0^z \zeta^p e^{q(\zeta)}\ d\zeta = \sum_{k \geq p+1} b_k z^k$（$b_k \geq 0$）と書ける。$\lvert z \rvert \leq 1$ なら $\lvert 1 - E_p(z) \rvert \leq \lvert z \rvert^{p+1}\sum_k b_k = \lvert z \rvert^{p+1}(1 - E_p(1)) = \lvert z \rvert^{p+1}$。$\square$

定理 7.9（ワイエルシュトラスの定理）$(a_n)$ を $\lvert a_n \rvert \to \infty$ となる $0$ でない複素数の列（重複を許す）、$m \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ とする。このとき

$$P(z) = z^m \prod_{n=1}^{\infty} E_{n-1}\left(\frac{z}{a_n}\right)$$

は $\mathbb{C}$ 上で広義一様収束する整関数で、零点は $0$（位数 $m$）と $a_n$（位数は列に現れる回数）だけである。

証明. $\lvert z \rvert \leq R$ とし、$\lvert a_n \rvert \geq 2R$ となる $n$ について補題 7.8 より $\lvert 1 - E_{n-1}(z/a_n) \rvert \leq 2^{-n}$ である。定理 7.3 を適用すればよい（$E_{n-1}(z/a_n)$ の零点は $a_n$ だけで単純）。$\square$

系 7.10（因数分解定理）恒等的に 0 でない整関数 $f$ の零点を、$0$ の位数 $m$ と、それ以外の零点 $a_n$（重複度込み）とすると、ある整関数 $g$ について $f(z) = z^m e^{g(z)} \prod_n E_{n-1}(z/a_n)$ と書ける。

証明. 零点は集積点をもたないので $\lvert a_n \rvert \to \infty$（または有限個）である。$f/P$ は除去可能特異点を除けば零点のない整関数であり、$\mathbb{C}$ は単連結だから $e^{g}$ と書ける（系 3.10）。$\square$

系 7.11 $\mathbb{C}$ 上の有理型関数は、2 つの整関数の商である。

証明. 有理型関数 $h$ の極を重複度込みで零点にもつ整関数 $g$ を定理 7.9 で作ると、$hg$ は除去可能特異点を除いて整関数で、$h = (hg)/g$。$\square$

$\sum \lvert a_n \rvert^{-(p+1)} < \infty$ なら $\prod E_p(z/a_n)$ が収束する（補題 7.8）。たとえば $a_n = \pm n$ なら $p = 1$ でよく、$\pm n$ の因子 $(1 \mp z/n)e^{\pm z/n}$ をまとめると定理 7.5 の $1 - z^2/n^2$ になる。

7.4 ミッタク–レフラーの定理

定理 7.12（ミッタク–レフラーの定理, Mittag-Leffler's theorem）$(b_n)$ を $\lvert b_n \rvert \to \infty$ となる相異なる点列、$P_n$ を定数項のない多項式とする。このとき $\mathbb{C}$ 上の有理型関数 $f$ で、極がちょうど $b_n$ 全体で、$b_n$ での主要部が $P_n\bigl(1/(z - b_n)\bigr)$ であるものが存在する。

証明. $h_n(z) = P_n\bigl(1/(z - b_n)\bigr)$ とおく。$b_n = 0$ となる $n$ は高々 1 つで、それを $n = 1$ とし $T_1 = 0$ とおく。$b_n \neq 0$ なら $h_n$ は $D(0, \lvert b_n \rvert)$ で正則だから、そのテイラー級数は $\lvert z \rvert \leq \lvert b_n \rvert/2$ で一様収束する。そこでテイラー多項式 $T_n$ を $\lvert z \rvert \leq \lvert b_n \rvert/2$ で $\lvert h_n - T_n \rvert < 2^{-n}$ となるようにとる。$f = \sum_n (h_n - T_n)$ とおく。$R > 0$ を固定し、$\lvert b_n \rvert > 2R$ となる $n \geq N$ について和は $D(0, R)$ 上で一様収束するので、定理 3.25 より正則関数を表す。残りの有限和は $D(0, R)$ 内の $b_n$ に指定された主要部をもつ有理関数である。$R$ は任意なので $f$ が求めるものである。$\square$

例 7.13 定理 7.4 を項別微分して（定理 3.25）

を得る。$\sum 1/n^2 < \infty$ なので補正項は不要である。一方 $\sum 1/(z - n)$ は発散し、$\pi\cot\pi z = \frac{1}{z} + \sum_{n \neq 0}\left(\frac{1}{z - n} + \frac{1}{n}\right)$ のように補正項 $T_n = -1/n$ が要る。

7.5 ガンマ関数

定義 7.14（ガンマ関数, gamma function）$\operatorname{Re} z > 0$ に対し $\Gamma(z) = \displaystyle\int_0^{\infty} t^{z-1} e^{-t}\ dt$ と定める（$t^{z-1} = e^{(z-1)\log t}$）。

命題 7.15 $\Gamma$ は $\operatorname{Re} z > 0$ で正則で、$\Gamma(z + 1) = z\Gamma(z)$、$\Gamma(1) = 1$、$\Gamma(n + 1) = n!$ を満たす。

証明. $0 < a \leq \operatorname{Re} z \leq b$ では $\lvert t^{z-1} e^{-t} \rvert \leq t^{a-1}$（$t \leq 1$）、$\leq t^{b-1}e^{-t}$（$t \geq 1$）だから、$F_n(z) = \int_{1/n}^{n} t^{z-1}e^{-t}\ dt$ は $\Gamma$ に一様収束する。$F_n$ は連続で、任意の三角形 $T$ について（連続関数の積分順序の交換により）$\int_{\partial T} F_n\ dz = \int_{1/n}^{n} e^{-t}\int_{\partial T} t^{z-1}\ dz\ dt = 0$ だから、モレラの定理より整関数である。定理 3.25 より $\Gamma$ は正則である。部分積分 $\int_\varepsilon^R t^z e^{-t}\ dt = \bigl[-t^z e^{-t}\bigr]_\varepsilon^R + z\int_\varepsilon^R t^{z-1}e^{-t}\ dt$ で $\varepsilon \to 0$, $R \to \infty$ とすれば関数等式を得る。$\square$

定理 7.16（解析接続）$\Gamma$ は $\mathbb{C}$ 上の有理型関数に拡張され、極は $0, -1, -2, \dots$ ですべて単純、$\operatorname{Res}(\Gamma, -n) = \frac{(-1)^n}{n!}$ である。関数等式は $\mathbb{C}$ 全体で成り立つ。

証明. $n \geq 0$ について $\Gamma_n(z) = \frac{\Gamma(z + n + 1)}{z(z + 1)\cdots(z + n)}$ は $\operatorname{Re} z > -n - 1$ で有理型で、関数等式より $\operatorname{Re} z > 0$ では $\Gamma$ に等しい。一致の定理より $\Gamma_n$ たちは共通部分で一致し、全体で 1 つの有理型関数を定める。$-n$ での留数は $\frac{\Gamma(1)}{(-n)(-n + 1)\cdots(-1)} = \frac{(-1)^n}{n!}$。$\square$

定理 7.17（ガウスの積表示）$z \notin \lbrace 0, -1, -2, \dots \rbrace$ ならば

$$\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n!\,n^z}{z(z + 1)\cdots(z + n)}$$

である。

証明. 右辺の分数を $G_n(z)$ とする。$\operatorname{Re} z = x > 0$ とすると、$t = ns$ と置換して $n$ 回部分積分すれば

である。$0 \leq t \leq n$ では $e^t \geq (1 + t/n)^n$ とベルヌーイの不等式から $e^t(1 - t/n)^n \geq (1 - t^2/n^2)^n \geq 1 - t^2/n$ なので、$0 \leq e^{-t} - (1 - t/n)^n \leq \frac{t^2}{n}e^{-t}$ である。よって

である。一般の $z$ については $G_n(z) = \frac{z + n + 1}{nz} G_n(z + 1)$ を使う。$G_n(z + 1) \to \Gamma(z + 1)$ なら $G_n(z) \to \Gamma(z + 1)/z = \Gamma(z)$ であり、$\operatorname{Re} z$ についての帰納法でよい。$\square$

系 7.18（ワイエルシュトラスの積表示）$\gamma = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} - \log n\right)$（オイラーの定数）とすると

$$\frac{1}{\Gamma(z)} = z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-z/n}$$

である。特に $1/\Gamma$ は $0, -1, -2, \dots$ に単純零点をもつ整関数で、$\Gamma$ は零点をもたない。

証明. $H_n = \sum_{k \leq n} 1/k$ とする。$H_n - \log n$ は減少し（$\frac{1}{n+1} < \log\frac{n+1}{n}$）正（$H_n > \int_1^{n+1} dt/t$）だから $\gamma$ は存在する。$\frac{z(z+1)\cdots(z+n)}{n!} = z\prod_{k=1}^{n}(1 + z/k)$ より

である。$(1 + u)e^{-u} = E_1(-u)$ だから、補題 7.8 と定理 7.3 より右辺の積は広義一様収束し、極限は $0, -1, -2, \dots$ に単純零点をもつ整関数である。定理 7.17 と比べればよい。$\square$

定理 7.19（相補公式, reflection formula）$\Gamma(z)\Gamma(1 - z) = \dfrac{\pi}{\sin\pi z}$。特に $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$。

証明. 系 7.18 より $\frac{1}{\Gamma(z)\Gamma(-z)} = -z^2\prod_{n}\left(1 - \frac{z^2}{n^2}\right) = -\frac{z\sin\pi z}{\pi}$（定理 7.5）。$\Gamma(1 - z) = -z\Gamma(-z)$ を使えばよい。$\Gamma(1/2) > 0$（被積分関数が正）と $\Gamma(1/2)^2 = \pi$ から後半を得る。$\square$

定理 7.20（ルジャンドルの重複公式, duplication formula）$\Gamma(z)\Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1 - 2z}\sqrt{\pi}\ \Gamma(2z)$。

証明. $2z \notin \lbrace 0, -1, -2, \dots \rbrace$ とする。定理 7.17 を $\Gamma(z)$, $\Gamma(z + \frac{1}{2})$ には $n$ で、$\Gamma(2z)$ には $2n + 1$ で使う。$\prod_{k=0}^{n}(z + k)(z + k + \frac{1}{2}) = 2^{-2n-2}\prod_{j=0}^{2n+1}(2z + j)$ と $\frac{n^{2z}}{(2n + 1)^{2z}} = 2^{-2z}\left(\frac{2n}{2n + 1}\right)^{2z}$ から

である（左辺の極限が存在するので右辺の極限 $c$ も存在する）。$z = 1/2$ とすると $\Gamma(\frac{1}{2}) = c/2$、$c = 2\sqrt{\pi}$。一致の定理により等式は全体で成り立つ。$\square$

定理 7.21（ボーア–モレルップの定理, Bohr–Mollerup theorem）$f\colon (0, \infty) \to (0, \infty)$ が $f(1) = 1$、$f(x + 1) = xf(x)$ を満たし、$\log f$ が凸ならば、$f = \Gamma$ である。

本書では主張のみとする（$\log\Gamma$ の凸性は問題 7.6）。関数等式だけでは階乗の補間は決まらず、対数凸性で $\Gamma$ が特徴づけられる。

7.6 ベータ関数

定理 7.22（ベータ関数）$\operatorname{Re} p, \operatorname{Re} q > 0$ に対し $B(p, q) = \int_0^1 t^{p-1}(1 - t)^{q-1}\ dt$ とおくと

$$B(p, q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p + q)}$$

である。

証明. まず $p, q > 0$ を実数とする。非負関数の重積分なので順序交換と変数変換ができ（測度と積分 第5章）、$s = uv$, $t = u(1 - v)$（$u > 0$, $0 < v < 1$、ヤコビアンの絶対値 $u$）と置換すると

である。$B(p, q)$ は命題 7.15 と同様に各変数について正則なので、一致の定理により複素数の $p, q$ に拡張される。$\square$

例 7.23

1. $B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{t(1 - t)}} = \pi$ は $\Gamma(\frac{1}{2})^2/\Gamma(1) = \pi$ と一致する。$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \int_0^\infty s^{-1/2}e^{-s} ds = \Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$（$x^2 = s$）である。
2. $0 < a < 1$ で $t = \frac{x}{1 + x}$ と置換すると $B(a, 1 - a) = \int_0^\infty \frac{x^{a-1}}{1 + x} dx$ である。例 5.13 より値は $\frac{\pi}{\sin\pi a}$ で、定理 7.19 の $\Gamma(a)\Gamma(1 - a)$ と一致する（相補公式の別証明になる）。
3. $t = \sin^2\theta$ と置換すると $\int_0^{\pi/2} \sin^{2p-1}\theta\cos^{2q-1}\theta\ d\theta = \frac{1}{2}B(p, q)$ である。

7.7 解析接続

$\Gamma$ や第8章のゼータ関数の延長の一意性を確かめる。

定義 7.24（解析接続, analytic continuation）領域 $D$ と $D$ 上の正則関数 $f$ の組 $(f, D)$ を関数要素という。$D \cap E$ が空でない連結集合で、$D \cap E$ 上で $f = g$ となるとき、$(g, E)$ を $(f, D)$ の直接解析接続という。

一致の定理により、$E$ を決めれば直接解析接続 $g$ は（存在すれば）ただ 1 つである。$\sum z^n$（$\mathbb{D}$ 上）の $\mathbb{C} \setminus \lbrace 1 \rbrace$ への解析接続は $1/(1 - z)$ である。一方、$f(z) = \sum_{n \geq 0} z^{2^n}$ は単位円周を越えて接続できない。$\zeta^{2^m} = 1$ なら $f(r\zeta) = \sum_{n < m} (r\zeta)^{2^n} + \sum_{n \geq m} r^{2^n} \to \infty$（$r \to 1 - 0$）であり、このような $\zeta$ は単位円周上で稠密だから、円周のどの点の近傍にも正則に延長できない（延長できればそこで有界になる）。このとき単位円周を自然境界という。

定義 7.25（曲線に沿った解析接続）$\gamma\colon [0, 1] \to \mathbb{C}$ を曲線とする。$\gamma(t)$ を中心とする開円板 $D_t$ と $D_t$ 上の正則関数 $f_t$ の族 $(f_t, D_t)_{t \in [0,1]}$ が、各 $t$ についてある $\delta > 0$ があって「$\lvert s - t \rvert < \delta$ なら $\gamma(s) \in D_t$ かつ $D_s \cap D_t$ 上で $f_s = f_t$」を満たすとき、これを $(f_0, D_0)$ の $\gamma$ に沿った解析接続という。

定理 7.26（一意性）$(f_t, D_t)$, $(g_t, E_t)$ が同じ曲線 $\gamma$ に沿った解析接続で、$\gamma(0)$ の近くで $f_0 = g_0$ ならば、$\gamma(1)$ の近くで $f_1 = g_1$ である。

証明. $T = \lbrace t \in [0, 1] \mid D_t \cap E_t \text{ 上で } f_t = g_t \rbrace$ とおく。$D_t \cap E_t$ は $\gamma(t)$ を中心とする円板（連結）だから、一致の定理により「$\gamma(t)$ の近くで $f_t = g_t$」と同値である。$0 \in T$ である。$t \in T$ とし、$\delta$ を両方の族について定義 7.25 の条件を満たすようにとる。$\lvert s - t \rvert < \delta$ なら、$\gamma(s)$ の近くで $f_s = f_t = g_t = g_s$ だから $s \in T$。よって $T$ は開集合である。$t_k \in T$, $t_k \to t$ なら、大きな $k$ について $\gamma(t_k)$ の近くで $f_t = f_{t_k} = g_{t_k} = g_t$ となり、一致の定理より $t \in T$。よって $T$ は閉集合で、$[0, 1]$ の連結性より $T = [0, 1]$。$\square$

例 7.27 $D_t = D(e^{2\pi i t}, 1)$ 上で $L_t(z) = \operatorname{Log}(ze^{-2\pi i t}) + 2\pi i t$ とおくと、$L_t$ は $D_t$ 上の対数の分枝で、$(L_t, D_t)$ は単位円周に沿った $\operatorname{Log}$ の解析接続である（$s$ が $t$ に近ければ $L_s, L_t$ はともに $e^{2\pi i s}$ で値 $2\pi i s$ をとる分枝なので、$D_s \cap D_t$ で一致する）。$L_1 = \operatorname{Log} + 2\pi i$ だから、1 周すると対数は $2\pi i$ だけ増え、$\sqrt{z} = e^{L/2}$ は $-\sqrt{z}$ に変わる。

定理 7.28（モノドロミー定理, monodromy theorem）$D$ を領域、$(f, D_0)$ を $z_0 \in D$ での関数要素とし、$z_0$ から出る $D$ 内の任意の曲線に沿って解析接続できるとする。$z_0$ から $z_1$ への 2 曲線が $D$ 内で端点を固定してホモトープならば、それらに沿った接続は $z_1$ の近くで一致する。特に $D$ が単連結なら、$f$ は $D$ 全体の正則関数に延長される。

本書では主張のみとする。例 7.27 の $\operatorname{Log}$ は $\mathbb{C} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ 内のどの曲線に沿っても接続できるが、単連結でないので 1 価にならない。多価性は、関数要素全体をリーマン面として扱うことで解消される（リーマン面と保型形式 第1章、位相幾何学 第3章 の被覆空間）。

まとめ

• 無限積 $\prod(1 + f_n)$ は $\sum \sup_K \lvert f_n \rvert < \infty$ なら広義一様収束して正則関数を与え、零点は因子の零点で、対数微分は項別に計算できる。
• $\pi\cot\pi z = \frac{1}{z} + \sum \frac{2z}{z^2 - n^2}$ と $\sin\pi z = \pi z\prod(1 - z^2/n^2)$ から、ウォリスの公式と $\zeta(2), \zeta(4)$ が出る。
• ワイエルシュトラス：基本因子 $E_p$ を用いて、零点を指定した整関数が作れる。整関数は $z^m e^{g}\prod E_{n-1}(z/a_n)$ と分解され、有理型関数は整関数の商である。
• ミッタク–レフラー：テイラー多項式による補正で、極と主要部を指定した有理型関数が作れる。
• $\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t} dt$ は $\mathbb{C}$ 上の有理型関数に延長され（極は $0, -1, \dots$）、ガウスの積表示・ワイエルシュトラスの積表示・相補公式 $\Gamma(z)\Gamma(1 - z) = \pi/\sin\pi z$・重複公式を満たす。$1/\Gamma$ は整関数。
• $B(p, q) = \Gamma(p)\Gamma(q)/\Gamma(p + q)$。
• 解析接続は一意的で、単連結領域では曲線によらない（モノドロミー定理）。

演習問題