直積測度とフビニの定理

この章の目標

• 直積 σ-加法族と直積測度を構成できる
• フビニ–トネリの定理を正しい仮定のもとで使え、仮定を外した反例を説明できる
• 畳み込みを定義し、ヤングの不等式と近似単位元を扱える
• 変数変換公式と極座標を用いて積分を計算できる

前提：第3章、第4章、01-calculus 第9章（重積分）

重積分を累次積分で計算すること、すなわち積分の順序交換は解析学で最もよく使う操作である。リーマン積分では連続関数などの限られた場合にしか扱えなかったが、ルベーグ積分では「非負なら無条件に、絶対可積分なら自由に」交換できる。これがフビニ–トネリの定理である。以下 $(X, \mathcal{M}, \mu)$、$(Y, \mathcal{N}, \nu)$ を測度空間とする。

5.1 直積 σ-加法族

定義 5.1（直積 σ-加法族）$A \in \mathcal{M}$、$B \in \mathcal{N}$ に対する $A \times B$ を可測長方形という。可測長方形全体が生成する $X \times Y$ 上の σ-加法族を $\mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$ と書き、直積 σ-加法族 (product σ-algebra) という。

$E \subset X \times Y$ と $x \in X$、$y \in Y$ に対し、切り口 (section) を $E_x = \lbrace y \mid (x, y) \in E \rbrace$、$E^y = \lbrace x \mid (x, y) \in E \rbrace$ とし、関数 $f$ の切り口を $f_x(y) = f(x, y)$、$f^y(x) = f(x, y)$ とする。

命題 5.2 $E \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$ ならば、すべての $x, y$ について $E_x \in \mathcal{N}$、$E^y \in \mathcal{M}$。$f$ が $\mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$-可測ならば、$f_x$ は $\mathcal{N}$-可測、$f^y$ は $\mathcal{M}$-可測である。

証明. $\lbrace E \mid \text{すべての } x \text{ で } E_x \in \mathcal{N} \rbrace$ は可測長方形を含み（$(A \times B)_x$ は $B$ か $\emptyset$）、$(E^c)_x = (E_x)^c$、$\left(\bigcup_n E_n\right)_x = \bigcup_n (E_n)_x$ より σ-加法族である。関数については $\lbrace f_x > a \rbrace = \lbrace f > a \rbrace_x$ による。$\square$

命題 5.3 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^m) \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) = \mathcal{B}(\mathbb{R}^{m+n})$。

証明. $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{m+n})$ は半開直方体で生成され（命題 1.14）、それは半開直方体どうしの積だから左辺に含まれる。逆に $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^m)$ なら $A \times \mathbb{R}^n$ は連続な射影 $\mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}^m$ による $A$ の逆像なのでボレル集合であり、$A \times B = (A \times \mathbb{R}^n) \cap (\mathbb{R}^m \times B)$ もボレル集合である。$\square$

同じ議論により、第二可算な位相空間 $X, Y$ について $\mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(Y) = \mathcal{B}(X \times Y)$ が成り立つ（直積の開集合は、開基の元の積の可算和である）。

5.2 直積測度

定理 5.4（直積測度, product measure）$\mu, \nu$ を σ-有限とする。$E \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$ に対し、$x \mapsto \nu(E_x)$ は $\mathcal{M}$-可測、$y \mapsto \mu(E^y)$ は $\mathcal{N}$-可測で

$$\int_X \nu(E_x)\ d\mu(x) = \int_Y \mu(E^y)\ d\nu(y)$$

が成り立つ。この値を $(\mu \times \nu)(E)$ とおくと、$\mu \times \nu$ は $\mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$ 上の σ-有限な測度であり、すべての可測長方形で $(\mu \times \nu)(A \times B) = \mu(A)\nu(B)$ を満たす唯一の測度である。

証明. （$\mu, \nu$ が有限の場合）主張が成り立つ $E \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$ 全体を $\mathcal{D}$ とする。可測長方形については $\nu((A \times B)_x) = \mathbf{1}_A(x)\nu(B)$ だから両辺とも $\mu(A)\nu(B)$ となり、$\mathcal{D}$ に属する。可測長方形全体は π-系で $\mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$ を生成する。$\mathcal{D}$ は λ-系である：補集合については $\nu((E^c)_x) = \nu(Y) - \nu(E_x)$ から可測性と等式が従い（有限性を使う）、互いに交わらない和については $\nu\left(\left(\bigcup_k E_k\right)_x\right) = \sum_k \nu((E_k)_x)$ と項別積分（系 3.12）による。π-λ 定理より $\mathcal{D} = \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$。

（σ-有限の場合）$X_j \uparrow X$、$Y_j \uparrow Y$ を有限測度の増加列とし、有限測度 $\mu_j = \mu(\cdot \cap X_j)$、$\nu_j = \nu(\cdot \cap Y_j)$ に上の結果を使うと（$\int h\ d\mu_j = \int_{X_j} h\ d\mu$ に注意）

$j \to \infty$ とすれば、被積分関数は下からの連続性により $\nu(E_x)$、$\mu(E^y)$ に単調に増加するので、単調収束定理より主張を得る（可測性も極限として従う）。$\mu \times \nu$ の可算加法性は項別積分から、一意性は $X_j \times Y_j$ を使って定理 1.31 からわかる。$\square$

例 5.5 (1) $\lambda^m \times \lambda^n$ と $\lambda^{m+n}$ は半開直方体の上で一致するから、定理 1.31 より $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{m+n})$ 上で等しい。

(2)（カヴァリエリの原理）$E \subset \mathbb{R}^{n+1}$ がボレル集合なら $\lambda^{n+1}(E) = \int_{\mathbb{R}} \lambda^n(E^t)\ dt$（$E^t$ は高さ $t$ での切り口）。特に可測関数 $f \geq 0$ のグラフの下側 $\lbrace (x, t) \mid 0 < t < f(x) \rbrace$ の測度は $\int f\ dx$ に等しく、「積分は面積」という直観が正当化される。

5.3 フビニ–トネリの定理

定理 5.6（トネリの定理, Tonelli's theorem）$\mu, \nu$ を σ-有限とし、$f\colon X \times Y \to [0, \infty]$ を $\mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$-可測とする。$x \mapsto \int_Y f(x, y)\ d\nu(y)$ は $\mathcal{M}$-可測、$y \mapsto \int_X f(x, y)\ d\mu(x)$ は $\mathcal{N}$-可測で

$$\int_{X \times Y} f\ d(\mu \times \nu) = \int_X \left( \int_Y f(x, y)\ d\nu(y) \right) d\mu(x) = \int_Y \left( \int_X f(x, y)\ d\mu(x) \right) d\nu(y)$$

証明. $f = \mathbf{1}_E$ なら定理 5.4 そのものであり、線形性から非負単関数でも成り立つ。一般の $f$ には単関数近似 $s_k \uparrow f$ をとると、切り口も $(s_k)_x \uparrow f_x$ となるので、内側の積分に単調収束定理を使えば $\int (s_k)_x\ d\nu \uparrow \int f_x\ d\nu$（したがって可測）であり、外側の積分にもう一度単調収束定理を使えばよい。$\square$

定理 5.7（フビニの定理, Fubini's theorem）$\mu, \nu$ を σ-有限とし、$f \in L^1(\mu \times \nu)$ とする。a.e. の $x$ で $f_x \in L^1(\nu)$ であり、$g(x) = \int_Y f_x\ d\nu$（a.e. で定義される）は $L^1(\mu)$ に属する。$y$ についても同様で、

$$\int_{X \times Y} f\ d(\mu \times \nu) = \int_X \left( \int_Y f(x, y)\ d\nu(y) \right) d\mu(x) = \int_Y \left( \int_X f(x, y)\ d\mu(x) \right) d\nu(y)$$

証明. トネリの定理を $\lvert f \rvert$ に適用すると $\int_X \left(\int_Y \lvert f_x \rvert\ d\nu\right) d\mu = \lVert f \rVert_1 < \infty$ だから、零集合 $N = \lbrace x \mid \int \lvert f_x \rvert = \infty \rbrace$ の外で $f_x \in L^1(\nu)$。$f$ の実部・虚部の正部分・負部分それぞれにトネリの定理を適用し、$N$ の外で引き算すればよい。$\square$

5.4 仮定が必要な反例

例 5.8（可積分でない場合）$(0, 1)^2$ 上で $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}$ とする。$\partial_y \frac{y}{x^2 + y^2} = f(x, y)$ だから $\int_0^1 f(x, y)\ dy = \frac{1}{1 + x^2}$ で、

一方 $f(y, x) = -f(x, y)$ だから、逆順の累次積分は $-\frac{\pi}{4}$ になる。フビニの定理に矛盾しないのは、$y < x$ で $f > 0$ なので $\int_0^1 \lvert f(x, y) \rvert\ dy \geq \int_0^x f(x, y)\ dy = \frac{1}{2x}$ となり、$\iint \lvert f \rvert = \infty$ だからである。

離散版：$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ 上の数え上げ測度で、$a_{mn} = 1$（$n = m$）、$-1$（$n = m + 1$）、$0$（その他）とすると、$\sum_m \sum_n a_{mn} = \sum_m 0 = 0$ だが、$\sum_n \sum_m a_{mn} = 1 + 0 + 0 + \cdots = 1$。

例 5.9（σ-有限でない場合）$X = Y = [0, 1]$、$\mu = \lambda$、$\nu$ を $\mathcal{B}([0,1])$ 上の数え上げ測度とし、対角線 $\Delta = \lbrace (x, x) \rbrace$（閉集合なので $\mathcal{B} \otimes \mathcal{B}$ に属する）を考える。$\int_X \nu(\Delta_x)\ d\lambda(x) = \int_0^1 1\ dx = 1$ だが、$\int_Y \lambda(\Delta^y)\ d\nu(y) = \int 0\ d\nu = 0$。$\nu$ が σ-有限でないため、定理 5.4 の証明の λ-系の議論（有限性）が使えない。

注意 5.10（可測性が必要な例）連続体仮説を仮定すると、$[0,1]$ を順序型が $\omega_1$（最小の非可算順序数）の整列順序 $\prec$ で並べられる。$E = \lbrace (x, y) \mid x \prec y \rbrace$ の切り口 $E^y = \lbrace x \mid x \prec y \rbrace$ はすべて可算、$E_x = \lbrace y \mid x \prec y \rbrace$ はすべて補可算だから、$\int \left(\int \mathbf{1}_E\ dx\right) dy = 0$、$\int \left(\int \mathbf{1}_E\ dy\right) dx = 1$ となる（シェルピンスキーの例）。したがって $E$ は $\lambda^2$-可測でない。切り口がすべて可測でも、集合が可測とは限らない。

5.5 完備化とルベーグ測度

$\lambda^m \times \lambda^n$ は $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{m+n})$ 上の測度で完備でなく、その完備化が $\lambda^{m+n}$ である（系 2.12、例 5.5）。ルベーグ可測関数についてもフビニ–トネリの定理が使えるように、完備化版を述べておく。

定理 5.11（完備化版フビニ–トネリ）$\mu, \nu$ を完備かつ σ-有限とし、$\mu \times \nu$ の完備化を $(X \times Y, \mathcal{L}, \lambda)$ とする。$f$ が $\mathcal{L}$-可測で非負（または $\lambda$-可積分）ならば、a.e. の $x$ で $f_x$ は $\mathcal{N}$-可測（かつ可積分）であり、$x \mapsto \int f_x\ d\nu$ は（a.e. で定義された）$\mathcal{M}$-可測関数で、定理 5.6・5.7 と同じ等式が成り立つ。$y$ についても同様である。特に、非負または $\lambda^{m+n}$-可積分なルベーグ可測関数 $f$ について $\int_{\mathbb{R}^{m+n}} f\ d\lambda^{m+n} = \int_{\mathbb{R}^m} \left(\int_{\mathbb{R}^n} f(x, y)\ dy\right) dx$。

証明の概略. 完備化の定義から、$f$ は a.e. で $\mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$-可測な関数 $g$ に等しい（まず定義関数で確かめ、単関数近似で広げる）。$\lbrace f \neq g \rbrace$ は $(\mu \times \nu)(E) = 0$ となる $E \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$ に含まれ、定理 5.4 より a.e. の $x$ で $\nu(E_x) = 0$。そのような $x$ では $f_x = g_x$（$\nu$-a.e.）で、$\nu$ の完備性から $f_x$ は可測である。あとは $g$ に定理 5.6・5.7 を適用すればよい。$\square$

5.6 畳み込み

定義 5.12（畳み込み, convolution）$\mathbb{R}^n$ 上の可測関数 $f, g$ に対し、積分が絶対収束する $x$ で

$$(f \ast g)(x) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x - y) g(y)\ dy$$

と定め、畳み込みという。

$f$ をボレル関数に取り替えれば（ルベーグ可測関数は a.e. でボレル関数に等しい）、$(x, y) \mapsto f(x - y)g(y)$ はボレル可測になる。変数変換 $y \mapsto x - y$（平行移動と反転でルベーグ測度は不変）により $f \ast g = g \ast f$ である。

命題 5.13 $f, g \in L^1(\mathbb{R}^n)$ ならば、$(f \ast g)(x)$ は a.e. の $x$ で絶対収束し、$f \ast g \in L^1$、$\lVert f \ast g \rVert_1 \leq \lVert f \rVert_1 \lVert g \rVert_1$。

証明. トネリの定理と平行移動不変性より $\iint \lvert f(x - y) \rvert \lvert g(y) \rvert\ dx\ dy = \int \lvert g(y) \rvert \left(\int \lvert f(x - y) \rvert\ dx\right) dy = \lVert f \rVert_1 \lVert g \rVert_1 < \infty$。あとはフビニの定理による。$\square$

定理 5.14（ヤングの不等式）$1 \leq p \leq \infty$、$f \in L^p(\mathbb{R}^n)$、$g \in L^1(\mathbb{R}^n)$ ならば、$f \ast g \in L^p$ かつ $\lVert f \ast g \rVert_p \leq \lVert f \rVert_p \lVert g \rVert_1$。

証明. $p = 1$ は命題 5.13、$p = \infty$ は明らか。$1 < p < \infty$ のとき、$\lvert g \rvert = \lvert g \rvert^{1/p}\lvert g \rvert^{1/q}$ と分けてヘルダーの不等式を使うと

$p$ 乗して $x$ で積分し、トネリの定理を使えば $\lVert f \ast g \rVert_p^p \leq \lVert g \rVert_1^{p/q} \lVert f \rVert_p^p \lVert g \rVert_1$。$\frac{p}{q} + 1 = p$ だから結論を得る（この評価から、積分が a.e. の $x$ で絶対収束することもわかる）。$\square$

一般に $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 + \frac{1}{r}$（$1 \leq p, q, r \leq \infty$）なら $\lVert f \ast g \rVert_r \leq \lVert f \rVert_p \lVert g \rVert_q$ が成り立つ（問題 5.7）。

定理 5.15（近似単位元, approximate identity）$\varphi \in L^1(\mathbb{R}^n)$、$\int \varphi = 1$ とし、$\varphi_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-n}\varphi(x/\varepsilon)$ とおく。

1. $1 \leq p < \infty$、$f \in L^p$ ならば、$\varepsilon \to 0$ で $\lVert f \ast \varphi_\varepsilon - f \rVert_p \to 0$。
2. $f$ が有界かつ一様連続ならば、$f \ast \varphi_\varepsilon \to f$ は一様収束である。

証明. 定理 2.15 より $\int \varphi_\varepsilon = 1$ で、$y = \varepsilon z$ と置換すると

1. 定理 5.14 の証明と同じくヘルダーの不等式を測度 $\lvert \varphi(z) \rvert dz$ について使い、$x$ で積分してトネリの定理を使うと

被積分関数は $2^p \lVert f \rVert_p^p \lvert \varphi(z) \rvert$ で押さえられ、各 $z$ で 0 に収束する（系 4.13）から、優収束定理より右辺は 0 に収束する。

2. $R > 0$ で積分を $\lvert z \rvert \leq R$ と $\lvert z \rvert > R$ に分けると、$\lvert (f \ast \varphi_\varepsilon)(x) - f(x) \rvert \leq \lVert \varphi \rVert_1 \sup_{\lvert h \rvert \leq \varepsilon R} \lvert f(x - h) - f(x) \rvert + 2\lVert f \rVert_\infty \int_{\lvert z \rvert > R} \lvert \varphi \rvert$。$R$ を大きくして第2項を小さくし、次に $\varepsilon$ を小さくすればよい。$\square$

$\varphi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$（軟化子 (mollifier)）にとると、パラメータ積分の微分（定理 3.25）により $f \ast \varphi_\varepsilon \in C^\infty$ となる。さらに $f$ の台がコンパクトなら $f \ast \varphi_\varepsilon$ の台もコンパクトなので、$C_c$ の稠密性（定理 4.12）と合わせて、$C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ は $L^p$（$1 \leq p < \infty$）で稠密である。$\varphi(x) = (4\pi)^{-n/2} e^{-\lvert x \rvert^2/4}$ に対する $f \ast \varphi_{\sqrt{t}}$ は熱方程式 $\partial_t u = \Delta u$ の解を与える（18-pde 第2章）。

5.7 変数変換公式と極座標

定理 5.16（変数変換公式, change of variables）$U, V \subset \mathbb{R}^n$ を開集合、$\Phi\colon U \to V$ を $C^1$ 級微分同相写像とする。可測関数 $f \geq 0$（または $f \in L^1(V)$）について

$$\int_V f(y)\ dy = \int_U f(\Phi(x))\ \lvert \det D\Phi(x) \rvert\ dx$$

証明の概略. (1) $\Phi$ がアフィン写像なら定理 2.15 そのものである。(2) 一般の $\Phi$ は各点 $a$ の近くで $\Phi(a) + D\Phi(a)(x - a)$ で近似でき、微分の一様連続性から、コンパクト集合上の小さな立方体 $Q$ に対して $\lambda(\Phi(Q)) = \lvert \det D\Phi(a) \rvert \lambda(Q) + o(\lambda(Q))$ が一様に成り立つ。(3) 開集合を二進立方体に分割して和をとれば、開集合 $W \subset U$ について $\lambda(\Phi(W)) = \int_W \lvert \det D\Phi \rvert$ が得られる。(4) 両辺はボレル集合 $W$ の測度とみなせるので、一意性（定理 1.31）で $\mathcal{B}(U)$ 全体、完備化でルベーグ可測集合に広がる。(5) 定義関数から単関数、単調収束定理で一般の $f$ に広げる。詳細は Folland や Rudin の教科書を参照のこと。リーマン積分版は 01-calculus 第9章 で扱った。$\square$

定理 5.17（極座標）$n \geq 2$ とし、$S^{n-1}$ のボレル集合 $A$ に対して $\sigma(A) = n\lambda(\lbrace r\omega \mid 0 < r \leq 1,\ \omega \in A \rbrace)$ とおく。$\sigma$ は $S^{n-1}$ 上の有限なボレル測度であり、ボレル可測な $f \geq 0$（または $f \in L^1(\mathbb{R}^n)$）について

$$\int_{\mathbb{R}^n} f(x)\ dx = \int_{S^{n-1}} \int_0^\infty f(r\omega)\ r^{n-1}\ dr\ d\sigma(\omega)$$

証明. $\Phi(x) = (\lvert x \rvert, x/\lvert x \rvert)$ は $\mathbb{R}^n \setminus \lbrace 0 \rbrace$ から $(0, \infty) \times S^{n-1}$ への同相写像である。$m = \Phi_{\ast}\lambda$（像測度）とし、$(0, \infty)$ 上の測度 $\rho(B) = \int_B r^{n-1}\ dr$ を考える。$S_A = \Phi^{-1}((0, 1] \times A)$ とおくと、$0 < a < b$ に対し $\Phi^{-1}((a, b] \times A) = bS_A \setminus aS_A$（$aS_A \subset bS_A$）で、定理 2.15 より

このような集合全体は π-系で、$\mathcal{B}((0,\infty)) \otimes \mathcal{B}(S^{n-1}) = \mathcal{B}((0, \infty) \times S^{n-1})$（命題 5.3 の後の注意）を生成する。$(0, k] \times S^{n-1}$ で σ-有限だから、定理 1.31 より $m = \rho \times \sigma$。$\lbrace 0 \rbrace$ は零集合で、像測度については $\int g\ d(\Phi_{\ast}\lambda) = \int g \circ \Phi\ d\lambda$（定義関数から単関数近似で示せる）だから、$g(r, \omega) = f(r\omega)$ にトネリ（フビニ）の定理を適用すればよい。$\square$

$n = 2$ なら $\sigma$ は円周上の弧長で（半径 1 で中心角 $\theta$ の扇形の面積は $\theta/2$）、$\int_{\mathbb{R}^2} f = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty f(r\cos\theta, r\sin\theta)\ r\ dr\ d\theta$ である。

例 5.18 (1)（ガウス積分）$I = \int_{\mathbb{R}} e^{-x^2}\ dx$ とすると、トネリの定理と極座標により

よって $I = \sqrt{\pi}$、$\int_0^\infty e^{-x^2}\ dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$。

(2)（球面の面積と球の体積）$\mathbb{R}^n$ で同様に計算すると、$t = r^2$ の置換で $\int_0^\infty e^{-r^2} r^{n-1}\ dr = \frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)$ だから

$f = \mathbf{1}_{B(0,1)}$ とすれば単位球の体積は $\sigma(S^{n-1})/n = \pi^{n/2}/\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)$。$n = 3$ なら $4\pi$ と $\frac{4\pi}{3}$ である。

(3) $\int_{\lvert x \rvert < 1} \lvert x \rvert^{-a}\ dx = \sigma(S^{n-1}) \int_0^1 r^{n - 1 - a}\ dr$ は $a < n$ のとき、かつそのときに限り有限で、$\int_{\lvert x \rvert > 1} \lvert x \rvert^{-a}\ dx$ は $a > n$ のとき、かつそのときに限り有限である。次元 $n$ が特異性の許容限界を決める。

まとめ

• 直積 σ-加法族は可測長方形で生成され、その元や可測関数の切り口は可測である。$\mathcal{B}(\mathbb{R}^m) \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) = \mathcal{B}(\mathbb{R}^{m+n})$。
• σ-有限な測度の直積測度は、切り口の測度の積分として π-λ 定理で構成され、長方形上の値で一意に決まる。
• トネリ：非負可測関数は無条件に積分の順序を交換できる。フビニ：可積分関数も交換できる。まずトネリで $\iint \lvert f \rvert < \infty$ を確かめるのが定石である。
• 可積分性・σ-有限性・可測性のどれを欠いても、累次積分は一致しないことがある。
• 畳み込みについて $\lVert f \ast g \rVert_p \leq \lVert f \rVert_p \lVert g \rVert_1$ が成り立ち、近似単位元との畳み込みは $L^p$ および一様に $f$ を近似する。
• 変数変換公式はヤコビ行列式の絶対値を掛けて成り立つ。極座標でガウス積分、球面の面積、$\lvert x \rvert^{-a}$ の可積分性が計算できる。

演習問題