第2章フーリエ変換と緩増加超関数（偏微分方程式論）

この章の目標

本科目のフーリエ変換の規約を確認し、 $L^1$ 上のフーリエ変換の基本性質を使える

急減少関数の空間 $\mathcal{S}$ 上でフーリエ変換が同型であること（反転公式）と、プランシュレルの定理を証明できる

緩増加超関数のフーリエ変換を定義し、デルタ・定数・ $\operatorname{p.v.}\frac{1}{x}$ のフーリエ変換を計算できる

熱方程式・シュレディンガー方程式の解の公式を導き、不確定性原理を証明できる

前提：第1章、06-measure-integration 第5章（フビニの定理・畳み込み）、10-functional-analysis 第1章〜第2章、08-differential-equations 第6章〜第7章

2.1 フーリエ変換の規約

指数関数 $e_\xi(x) = e^{ix\cdot\xi}$ は $\partial_je_\xi = i\xi_je_\xi$ をみたし、すべての偏微分作用素の同時固有関数である。関数を $e_\xi$ の重ね合わせに分解すれば、定数係数の偏微分方程式 $P(\partial)u = f$ は各周波数 $\xi$ ごとの代数方程式 $P(i\xi)\hat u(\xi) = \hat f(\xi)$ になる。これがフーリエ変換の威力であり、08-differential-equations 第7章ではフーリエ級数の極限として導入した。

フーリエ変換の定数と符号の付け方は文献によって異なる。本科目では全体を通じて次の規約を用いる：

\hat f(\xi) = \mathcal{F}f(\xi) = \int_{\mathbb{R}^n}e^{-ix\cdot\xi}f(x)\,dx, \qquad \mathcal{F}^{-1}g(x) = \frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\mathbb{R}^n}e^{ix\cdot\xi}g(\xi)\,d\xi

ここで $x \cdot \xi = \sum_jx_j\xi_j$ である。この規約は 08-differential-equations 第7章および Hörmander と同じである。他の主な規約との比較を表にまとめる（公式を他書と照合するときに使う）。

規約	$\hat f(\xi)$	反転公式の係数	$\widehat{\partial_jf}$	プランシュレル
本科目	$\int e^{-ix\cdot\xi}f(x)\ dx$	$(2\pi)^{-n}$	$i\xi_j\hat f$	$\lVert\hat f\rVert_2 = (2\pi)^{n/2}\lVert f\rVert_2$
指数に $2\pi$ （Folland など）	$\int e^{-2\pi ix\cdot\xi}f(x)\ dx$	$1$	$2\pi i\xi_j\hat f$	$\lVert\hat f\rVert_2 = \lVert f\rVert_2$
対称型（Evans など）	$(2\pi)^{-n/2}\int e^{-ix\cdot\xi}f(x)\ dx$	$(2\pi)^{-n/2}$	$i\xi_j\hat f$	$\lVert\hat f\rVert_2 = \lVert f\rVert_2$

本科目の規約では微分が $i\xi$ という簡単な掛け算になる代わりに、反転公式とプランシュレルの定理に $2\pi$ のべきが現れる。確率論の特性関数 $\mathbb{E}[e^{itX}]$ （11-probability 第3章）は指数の符号が逆である。以下 $\check f(x) = f(-x)$ と書く。

2.2 $L^1$ 上のフーリエ変換

$f \in L^1(\mathbb{R}^n)$ ならば $\lvert e^{-ix\cdot\xi}f(x)\rvert = \lvert f(x)\rvert$ なので $\hat f(\xi)$ はすべての $\xi$ で定義される。

命題 2.1（リーマン–ルベーグの補題） $f \in L^1(\mathbb{R}^n)$ ならば $\hat f$ は連続で $\lvert\xi\rvert \to \infty$ のとき $\hat f(\xi) \to 0$ 。また $\sup\lvert\hat f\rvert \leq \lVert f\rVert_1$ 。

証明. 連続性は優収束定理、評価は明らか。 $f \in C_c^\infty$ ならば部分積分により $i\xi_j\hat f(\xi) = \widehat{\partial_jf}(\xi)$ なので $\lvert\xi_j\hat f(\xi)\rvert \leq \lVert\partial_jf\rVert_1$ となり、 $\hat f(\xi) \to 0$ 。一般の $f$ は、 $C_c^\infty$ の $L^1$ での稠密性（系 1.4）と $\sup\lvert\hat f - \hat g\rvert \leq \lVert f - g\rVert_1$ による。 $\square$

命題 2.2 $f, g \in L^1(\mathbb{R}^n)$ 、 $a, b \in \mathbb{R}^n$ 、 $\lambda > 0$ とする。

$\widehat{f(\cdot - a)}(\xi) = e^{-ia\cdot\xi}\hat f(\xi)$ 、 $\widehat{e^{ib\cdot x}f}(\xi) = \hat f(\xi - b)$ 、 $\widehat{f(\lambda\ \cdot)}(\xi) = \lambda^{-n}\hat f(\xi/\lambda)$ 。

$\widehat{f \ast g} = \hat f\ \hat g$ 。

（乗法公式） $\int\hat f(\xi)g(\xi)\ d\xi = \int f(x)\hat g(x)\ dx$ 。

証明. (1) は変数変換。(2)(3) はフビニの定理：たとえば $\int\hat f g\ d\xi = \iint e^{-ix\cdot\xi}f(x)g(\xi)\ dx\ d\xi = \int f\hat g\ dx$ 。 $\square$

例 2.3（ガウス関数） $\operatorname{Re}a > 0$ のとき

\widehat{e^{-a\lvert x\rvert^2}}(\xi) = \left(\frac{\pi}{a}\right)^{n/2}e^{-\lvert\xi\rvert^2/(4a)} \tag{2.1}

（ $a^{-n/2}$ は $\operatorname{Re}a > 0$ で主枝をとる）。 $e^{-a\lvert x\rvert^2} = \prod_je^{-ax_j^2}$ だから $n = 1$ でよい。 $a > 0$ のとき $I(\xi) = \int e^{-ax^2 - ix\xi}dx$ は、微分して部分積分すると $I'(\xi) = -\frac{\xi}{2a}I(\xi)$ 、 $I(0) = \sqrt{\pi/a}$ をみたすので $I(\xi) = \sqrt{\pi/a}\ e^{-\xi^2/(4a)}$ （08-differential-equations 第7章と同じ計算）。(2.1) の両辺は $\operatorname{Re}a > 0$ で $a$ の正則関数（左辺は積分記号下の微分による）で、 $a > 0$ で一致するから、一致の定理により $\operatorname{Re}a > 0$ 全体で一致する。

例 2.4 $\widehat{\mathbf{1}_{[-1,1]}}(\xi) = \int_{-1}^1e^{-ix\xi}dx = \frac{2\sin\xi}{\xi}$ は可積分でない。 $L^1$ の関数のフーリエ変換は $L^1$ に入るとは限らず、反転公式 $\mathcal{F}^{-1}\hat f = f$ を $L^1$ の枠でそのまま述べることはできない。そこで、フーリエ変換で閉じた、扱いやすい関数空間を用意する。

2.3 急減少関数の空間と反転公式

定義 2.5（急減少関数, Schwartz function） $\varphi \in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ で、すべての多重指数 $\alpha, \beta$ について
$p_{\alpha,\beta}(\varphi) = \sup_{x \in \mathbb{R}^n}\lvert x^\alpha\partial^\beta\varphi(x)\rvert < \infty$
となるものの全体を $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ と書く。 $\mathcal{S}$ の列 $\varphi_j$ が $\varphi$ に収束するとは、すべての $\alpha, \beta$ について $p_{\alpha,\beta}(\varphi_j - \varphi) \to 0$ となることをいう。

例 2.6 $C_c^\infty(\mathbb{R}^n) \subset \mathcal{S}$ 、 $e^{-\lvert x\rvert^2} \in \mathcal{S}$ であり、 $(1 + \lvert x\rvert^2)^{-1} \notin \mathcal{S}$ 。 $\lvert\varphi(x)\rvert \leq C(1 + \lvert x\rvert)^{-n-1}$ となるので $\mathcal{S} \subset L^p$ （ $1 \leq p \leq \infty$ ）。また $C_c^\infty$ は $\mathcal{S}$ で稠密である： $\chi \in C_c^\infty$ を $B(0,1)$ 上で $1$ となるようにとり $\varphi_R = \chi(\cdot/R)\varphi$ とおくと、 $x^\alpha\partial^\beta(\varphi - \varphi_R)$ は $\lvert x\rvert \geq R$ に台をもち、ライプニッツ則で展開した各項は $R \geq 1$ で $C\sup_{\lvert x\rvert \geq R}\lvert x^\alpha\partial^\gamma\varphi\rvert \leq \frac{C}{R}\sup\lvert x\rvert\lvert x^\alpha\partial^\gamma\varphi\rvert$ で抑えられる。

定理 2.7 $\mathcal{F}$ は $\mathcal{S}$ を $\mathcal{S}$ に写す連続な線形写像であり、 $\varphi \in \mathcal{S}$ について
$\widehat{\partial^\beta\varphi}(\xi) = (i\xi)^\beta\hat\varphi(\xi), \qquad \widehat{x^\alpha\varphi}(\xi) = (i\partial_\xi)^\alpha\hat\varphi(\xi)$

証明. $x^\alpha\varphi \in L^1$ だから積分記号下で微分でき、 $\partial_{\xi_j}\hat\varphi = \widehat{(-ix_j)\varphi}$ 、すなわち $\widehat{x_j\varphi} = i\partial_{\xi_j}\hat\varphi$ 。第 1 式は部分積分による。両者を合わせると $\xi^\beta\partial^\alpha\hat\varphi = (-i)^{\lvert\beta\rvert}\widehat{\partial^\beta((-ix)^\alpha\varphi)}$ なので、命題 2.1 の評価と $\lVert\psi\rVert_1 \leq C_n\sup(1 + \lvert x\rvert)^{n+1}\lvert\psi\rvert$ から

p_{\beta,\alpha}(\hat\varphi) \leq \lVert\partial^\beta(x^\alpha\varphi)\rVert_1 \leq C_n\sup_x(1 + \lvert x\rvert)^{n+1}\lvert\partial^\beta(x^\alpha\varphi)(x)\rvert

右辺は $\varphi$ の有限個の $p_{\gamma,\delta}$ の和で抑えられる。よって $\hat\varphi \in \mathcal{S}$ で、 $\mathcal{F}$ は連続である。 $\square$

定理 2.8（反転公式, Fourier inversion） $\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ ならば
$\varphi(x) = \frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\mathbb{R}^n}e^{ix\cdot\xi}\hat\varphi(\xi)\,d\xi \qquad (x \in \mathbb{R}^n)$
したがって $\mathcal{F}\colon\mathcal{S} \to \mathcal{S}$ は線形同相写像で、 $\mathcal{F}^{-1}\psi(x) = (2\pi)^{-n}\hat\psi(-x)$ 、 $\mathcal{F}^2\varphi = (2\pi)^n\check\varphi$ 。

証明. $G_\varepsilon(\xi) = e^{-\varepsilon^2\lvert\xi\rvert^2/2}$ とおき、乗法公式（命題 2.2）を $\hat\varphi$ と $\psi(\xi) = e^{ix\cdot\xi}G_\varepsilon(\xi)$ に適用する。命題 2.2 (1) と (2.1)（ $a = \varepsilon^2/2$ ）から $\hat\psi(y) = \widehat{G_\varepsilon}(y - x) = (2\pi)^ng_\varepsilon(y - x)$ 、ただし $g_\varepsilon(y) = (2\pi\varepsilon^2)^{-n/2}e^{-\lvert y\rvert^2/(2\varepsilon^2)}$ は全積分 $1$ のガウス関数である。よって

\int e^{ix\cdot\xi}\hat\varphi(\xi)G_\varepsilon(\xi)\,d\xi = (2\pi)^n\int\varphi(y)g_\varepsilon(y - x)\,dy

$\varepsilon \to 0$ とすると、左辺は優収束定理（ $\hat\varphi \in L^1$ ）により $\int e^{ix\cdot\xi}\hat\varphi\ d\xi$ に、右辺は近似単位元の定理（06-measure-integration 第5章定理 5.15）により $(2\pi)^n\varphi(x)$ に収束する。後半は、 $\mathcal{F}^{-1}$ も $\mathcal{F}$ と同様に $\mathcal{S}$ 上連続であることによる。 $\square$

同じ証明で、 $f \in L^1$ かつ $\hat f \in L^1$ ならば a.e. で $f = \mathcal{F}^{-1}\hat f$ が成り立つ（右辺は $L^1$ で収束するので、部分列が a.e. 収束する）。特に $f \in L^1$ は $\hat f$ で決まる。

命題 2.9 $\varphi, \psi \in \mathcal{S}$ ならば $\varphi \ast \psi \in \mathcal{S}$ で、 $\widehat{\varphi \ast \psi} = \hat\varphi\ \hat\psi$ 、 $\widehat{\varphi\psi} = (2\pi)^{-n}\hat\varphi \ast \hat\psi$ 。

証明. 第 1 式は命題 2.2。 $\mathcal{S}$ は積で閉じるので $\varphi \ast \psi = \mathcal{F}^{-1}(\hat\varphi\hat\psi) \in \mathcal{S}$ 。第 1 式を $\hat\varphi, \hat\psi$ に適用し、 $\mathcal{F}^2 = (2\pi)^n(\cdot)^{\vee}$ を使えば $\widehat{\hat\varphi \ast \hat\psi} = (2\pi)^{2n}(\varphi\psi)^{\vee}$ 。両辺に $\mathcal{F}$ を施し $\mathcal{F}^2$ の公式をもう一度使えば第 2 式を得る。 $\square$

2.4 プランシュレルの定理

定理 2.10（プランシュレルの定理, Plancherel theorem） $\varphi, \psi \in \mathcal{S}$ について
$\int\hat\varphi(\xi)\overline{\hat\psi(\xi)}\,d\xi = (2\pi)^n\int\varphi(x)\overline{\psi(x)}\,dx \tag{2.2}$
が成り立つ。したがって $\mathcal{F}|_{\mathcal{S}}$ は有界線形作用素 $\mathcal{F}\colon L^2(\mathbb{R}^n) \to L^2(\mathbb{R}^n)$ に一意的に拡張され、 $\lVert\mathcal{F}f\rVert_2 = (2\pi)^{n/2}\lVert f\rVert_2$ 、 $(2\pi)^{-n/2}\mathcal{F}$ はユニタリ作用素である。 $f \in L^1 \cap L^2$ ならば $\mathcal{F}f$ は積分で定義した $\hat f$ と a.e. で一致する。

証明. $g = \overline{\hat\psi}$ とおくと、反転公式から $\hat g(x) = \overline{\int e^{ix\cdot\xi}\hat\psi(\xi)\ d\xi} = (2\pi)^n\overline{\psi(x)}$ 。乗法公式より $\int\hat\varphi\ g = \int\varphi\ \hat g$ で、これが (2.2) である。 $\mathcal{S}$ は $L^2$ で稠密（ $C_c^\infty \subset \mathcal{S}$ と系 1.4）なので、(2.2) により $\mathcal{F}$ は定数倍の等長作用素として $L^2$ に一意に拡張される（10-functional-analysis 第1章命題 1.19）。値域は閉（完備空間からの定数倍の等長写像の値域）で、稠密な $\mathcal{S}$ を含むから $L^2$ 全体であり、 $(2\pi)^{-n/2}\mathcal{F}$ は全射な等長作用素、すなわちユニタリである。 $f \in L^1 \cap L^2$ のときは、 $f\mathbf{1}_{B(0,k)}$ を軟化して $f_k \in C_c^\infty$ を $L^1$ と $L^2$ の両方で $f$ に収束するようにとる（定理 1.3 (4)）。 $\hat f_k \to \hat f$ は一様収束、 $\hat f_k \to \mathcal{F}f$ は $L^2$ 収束だから、部分列をとれば a.e. で $\hat f = \mathcal{F}f$ 。 $\square$

$L^2$ の関数については、 $\mathcal{F}f = \lim_{R \to \infty}\int_{\lvert x\rvert < R}e^{-ix\cdot\xi}f(x)\ dx$ （ $L^2$ での極限）である。 $L^2$ 上でも $\mathcal{F}^2f = (2\pi)^n\check f$ が成り立つ（ $\mathcal{S}$ からの連続拡張）。

2.5 緩増加超関数

$\mathcal{S}$ 上のフーリエ変換は同型なので、双対をとればフーリエ変換を超関数に拡張できる。ただし $\mathcal{D}'$ 全体ではなく、 $\mathcal{S}$ 上で連続なものに限る。

定義 2.11（緩増加超関数, tempered distribution）線形写像 $T\colon\mathcal{S}(\mathbb{R}^n) \to \mathbb{C}$ で、ある $C \geq 0$ と $N \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ について
$\lvert\langle T, \varphi\rangle\rvert \leq C\sum_{\lvert\alpha\rvert,\lvert\beta\rvert \leq N}p_{\alpha,\beta}(\varphi) \qquad (\varphi \in \mathcal{S})$
をみたすものを緩増加超関数といい、その全体を $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ と書く。

$C_c^\infty$ は $\mathcal{S}$ で稠密で、 $\mathcal{D}$ での収束は $\mathcal{S}$ での収束を導くから、 $T \mapsto T|_{C_c^\infty}$ により $\mathcal{S}' \subset \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ とみなせる。 $T_j \to T$ （ $\mathcal{S}'$ で）とは、すべての $\varphi \in \mathcal{S}$ で $\langle T_j, \varphi\rangle \to \langle T, \varphi\rangle$ となることとする。

例 2.12 (1) $f \in L^p$ （ $1 \leq p \leq \infty$ ）は $\lvert\int f\varphi\rvert \leq \lVert f\rVert_p\lVert\varphi\rVert_{p'} \leq C\lVert f\rVert_p\sup(1 + \lvert x\rvert)^{n+1}\lvert\varphi\rvert$ により $\mathcal{S}'$ に属する。 $\lvert f(x)\rvert \leq C(1 + \lvert x\rvert)^N$ となる可測関数（多項式増大）も同様。(2) $\partial^\alpha\delta \in \mathcal{S}'$ 。(3) $\operatorname{p.v.}\frac{1}{x} \in \mathcal{S}'(\mathbb{R})$ ： $\lvert x\rvert \leq 1$ と $\lvert x\rvert > 1$ に分けると $\lvert\langle\operatorname{p.v.}\frac{1}{x}, \varphi\rangle\rvert \leq 2\sup\lvert\varphi'\rvert + 2\sup\lvert x\varphi\rvert$ 。(4) $e^x \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$ は $\mathcal{S}'$ に属さない。 $\chi \in C_c^\infty((-1, 1))$ 、 $\chi \geq 0$ 、 $\int\chi = 1$ とし $\varphi_j(x) = e^{-j/2}\chi(x - j)$ とおくと、 $p_{\alpha,\beta}(\varphi_j) \leq e^{-j/2}(j + 1)^\alpha\sup\lvert\chi^{(\beta)}\rvert \to 0$ だが $\int e^x\varphi_j\ dx \geq e^{j/2 - 1} \to \infty$ 。一方 $e^x\cos(e^x) = (\sin e^x)'$ は有界関数の導関数なので $\mathcal{S}'$ に属する。緩増加性は関数の大きさだけでは決まらない。

定義 2.13 $T \in \mathcal{S}'$ に対し、微分 $\partial^\alpha T$ 、多項式との積 $x^\alpha T$ 、フーリエ変換 $\hat T = \mathcal{F}T$ 、逆変換 $\mathcal{F}^{-1}T$ を次で定める。
$\langle\partial^\alpha T, \varphi\rangle = (-1)^{\lvert\alpha\rvert}\langle T, \partial^\alpha\varphi\rangle, \quad \langle x^\alpha T, \varphi\rangle = \langle T, x^\alpha\varphi\rangle, \quad \langle\hat T, \varphi\rangle = \langle T, \hat\varphi\rangle, \quad \langle\mathcal{F}^{-1}T, \varphi\rangle = \langle T, \mathcal{F}^{-1}\varphi\rangle$

フーリエ変換の定義は乗法公式（命題 2.2 (3)）の一般化であり、 $f \in L^1$ や $L^2$ については従来の定義と一致する。より一般に、 $C^\infty$ 関数 $a$ で各導関数が多項式増大であるものとの積 $\langle aT, \varphi\rangle = \langle T, a\varphi\rangle$ も $\mathcal{S}'$ の元を与える。

定理 2.14 $\mathcal{F}\colon\mathcal{S}' \to \mathcal{S}'$ は全単射で、逆は $\mathcal{F}^{-1}$ である。 $\mathcal{S}'$ で $T_j \to T$ ならば $\hat T_j \to \hat T$ 。さらに $\widehat{\partial^\alpha T} = (i\xi)^\alpha\hat T$ 、 $\widehat{x^\alpha T} = (i\partial_\xi)^\alpha\hat T$ 、 $\mathcal{F}^2T = (2\pi)^n\check T$ （ $\langle\check T, \varphi\rangle = \langle T, \check\varphi\rangle$ ）。

証明. 定理 2.7 により $\mathcal{F}$ は $\mathcal{S}$ 上連続なので、 $\hat T$ は再び定義 2.11 の評価をみたす。 $\langle\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}T, \varphi\rangle = \langle T, \mathcal{F}\mathcal{F}^{-1}\varphi\rangle = \langle T, \varphi\rangle$ で、逆順も同様。収束の主張は定義から明らか。公式は定理 2.7 から従う。たとえば

\langle\widehat{\partial_jT}, \varphi\rangle = -\langle T, \partial_j\hat\varphi\rangle = -\langle T, \widehat{(-ix_j)\varphi}\rangle = \langle\hat T, ix_j\varphi\rangle = \langle i\xi_j\hat T, \varphi\rangle

（最後の式では $\varphi$ の変数を $\xi$ と書いた）。 $\square$

例 2.15 (1) $\langle\hat\delta, \varphi\rangle = \hat\varphi(0) = \int\varphi$ より $\hat\delta = 1$ 。(2) 反転公式を $x = 0$ で使うと $\langle\hat 1, \varphi\rangle = \int\hat\varphi = (2\pi)^n\varphi(0)$ 、すなわち $\hat 1 = (2\pi)^n\delta$ 。(3) 定理 2.14 より $\widehat{\partial^\alpha\delta} = (i\xi)^\alpha$ 、 $\widehat{x^\alpha} = (2\pi)^ni^{\lvert\alpha\rvert}\partial^\alpha\delta$ 、 $\widehat{e^{ia\cdot x}} = (2\pi)^n\delta_a$ 。「一点に集中した関数（ $\delta$ ）は全周波数を均等に含み、一つの周波数だけをもつ平面波は $\delta$ に変換される」。

例 2.16（符号関数と主値） $n = 1$ とする。 $(\operatorname{sgn}x)' = 2\delta$ より $i\xi\ \widehat{\operatorname{sgn}} = 2$ 、すなわち $\xi \cdot \frac{i}{2}\widehat{\operatorname{sgn}} = 1$ 。問題 1.3 により $\frac{i}{2}\widehat{\operatorname{sgn}} = \operatorname{p.v.}\frac{1}{\xi} + c\delta$ と書ける。ガウス関数 $G(\xi) = e^{-\xi^2}$ と組むと、 $\hat G$ が偶関数なので $\langle\widehat{\operatorname{sgn}}, G\rangle = \langle\operatorname{sgn}, \hat G\rangle = 0$ 、また $\langle\operatorname{p.v.}\frac{1}{\xi}, G\rangle = 0$ だから $c = 0$ 。よって

\widehat{\operatorname{sgn}} = -2i\operatorname{p.v.}\frac{1}{\xi}, \qquad \mathcal{F}\left(\operatorname{p.v.}\frac{1}{x}\right) = -i\pi\operatorname{sgn}\xi, \qquad \hat H = \pi\delta - i\operatorname{p.v.}\frac{1}{\xi}

第 2 式は、第 1 式に $\mathcal{F}$ を施して $\mathcal{F}^2\operatorname{sgn} = 2\pi(\operatorname{sgn})^{\vee} = -2\pi\operatorname{sgn}$ を使えば得られ、第 3 式は $H = \frac{1}{2}(1 + \operatorname{sgn})$ と例 2.15 による。

命題 2.17 $T \in \mathcal{S}'$ 、 $\varphi \in \mathcal{S}$ ならば $T \ast \varphi(x) = \langle T, \varphi(x - \cdot)\rangle$ は $C^\infty$ 級で、各導関数は多項式増大であり、 $\widehat{T \ast \varphi} = \hat\varphi\ \hat T$ 。

証明は命題 1.28 と同様なので省略する。 $\mathcal{S}'$ の元の畳み込みが $\mathcal{F}$ で積に変わることは、畳み込み型の作用素（ヒルベルト変換、問題 2.6）を調べる基本的な方法である。

2.6 ペイリー–ウィーナーの定理

台がコンパクトな関数のフーリエ変換は、複素変数 $\zeta \in \mathbb{C}^n$ に対しても $\hat\varphi(\zeta) = \int e^{-ix\cdot\zeta}\varphi(x)\ dx$ として意味をもつ。

定理 2.18（ペイリー–ウィーナーの定理, Paley–Wiener theorem） $R > 0$ とする。

$\varphi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ 、 $\operatorname{supp}\varphi \subset \overline{B(0, R)}$ ならば、 $\hat\varphi$ は $\mathbb{C}^n$ 上の整関数に延長され、各 $N$ についてある $C_N$ で $\lvert\hat\varphi(\zeta)\rvert \leq C_N(1 + \lvert\zeta\rvert)^{-N}e^{R\lvert\operatorname{Im}\zeta\rvert}$ が成り立つ。逆に、この評価をみたす整関数は、台が $\overline{B(0, R)}$ に含まれる $C_c^\infty$ 関数のフーリエ変換である。

（ペイリー–ウィーナー–シュワルツ） $T \in \mathcal{E}'(\mathbb{R}^n)$ の台が $\overline{B(0, R)}$ に含まれるための必要十分条件は、 $\hat T$ が整関数に延長され、ある $C, N$ で $\lvert\hat T(\zeta)\rvert \leq C(1 + \lvert\zeta\rvert)^Ne^{R\lvert\operatorname{Im}\zeta\rvert}$ をみたすことである。

証明（(1) の前半のみ）. 積分記号下の微分により $\hat\varphi$ は各変数について正則である。 $\lvert e^{-ix\cdot\zeta}\rvert = e^{x\cdot\operatorname{Im}\zeta} \leq e^{R\lvert\operatorname{Im}\zeta\rvert}$ （ $\lvert x\rvert \leq R$ ）であり、部分積分により $(i\zeta)^\alpha\hat\varphi(\zeta) = \int e^{-ix\cdot\zeta}\partial^\alpha\varphi(x)\ dx$ だから $\lvert\zeta^\alpha\hat\varphi(\zeta)\rvert \leq \lVert\partial^\alpha\varphi\rVert_1e^{R\lvert\operatorname{Im}\zeta\rvert}$ 。これから評価が従う。残りの証明は Hörmander の第7章を参照。 $\square$

特に、 $0$ でない $\varphi \in C_c^\infty$ のフーリエ変換は $\mathbb{R}^n$ 上の実解析関数で、空でない開集合上で恒等的に $0$ にはならない。関数とそのフーリエ変換の台が同時にコンパクトになることはない。これは不確定性原理（2.8 節）の定性的な形である。

2.7 応用：熱方程式とシュレディンガー方程式

熱方程式. $\partial_tu = \Delta u$ （ $x \in \mathbb{R}^n$ , $t > 0$ ）、 $u(\cdot, 0) = g \in \mathcal{S}$ を考える。 $x$ についてフーリエ変換すると $\partial_t\hat u = -\lvert\xi\rvert^2\hat u$ なので $\hat u(\xi, t) = e^{-t\lvert\xi\rvert^2}\hat g(\xi)$ 。(2.1) で $a = 1/(4t)$ とすると $e^{-t\lvert\xi\rvert^2}$ は熱核 (heat kernel)

K_t(x) = (4\pi t)^{-n/2}e^{-\lvert x\rvert^2/(4t)}

のフーリエ変換だから、命題 2.9 より $u(\cdot, t) = K_t \ast g$ となる（ $K_t$ は第1章の熱作用素の基本解 $E(\cdot, t)$ にほかならない）。この公式は $g$ が有界連続であれば意味をもつ。

定理 2.19（熱方程式の初期値問題） $g$ を $\mathbb{R}^n$ 上の有界連続関数とし、 $u(x, t) = (K_t \ast g)(x)$ とおく。

$u \in C^\infty(\mathbb{R}^n \times (0, \infty))$ で、 $\partial_tu = \Delta u$ 。

$\sup_x\lvert u(x, t)\rvert \leq \sup\lvert g\rvert$ 。

$(x, t) \to (x_0, 0)$ のとき $u(x, t) \to g(x_0)$ 。

さらに $g \in L^1$ ならば $\sup_x\lvert u(x, t)\rvert \leq (4\pi t)^{-n/2}\lVert g\rVert_1$ 。

証明. (1) $(x, t)$ が $\mathbb{R}^n \times (0, \infty)$ のコンパクト集合を動くとき、 $K_t(x - y)$ の $x, t$ についての各導関数は $y$ の多項式とガウス関数 $e^{-c\lvert y\rvert^2}$ の積で一様に抑えられるので、積分記号下で微分できる。 $(\partial_t - \Delta)K_t = 0$ から $u_t = \Delta u$ 。(2) $K_t > 0$ 、 $\int K_t = 1$ による。(4) $K_t \leq (4\pi t)^{-n/2}$ による。(3) $\delta > 0$ とし、 $\lvert x - x_0\rvert < \delta/2$ とする。

\lvert u(x, t) - g(x_0)\rvert \leq \sup_{\lvert y - x_0\rvert < \delta}\lvert g(y) - g(x_0)\rvert + 2\sup\lvert g\rvert\int_{\lvert z\rvert \geq \delta/2}K_t(z)\,dz

（第 2 項は $\lvert y - x_0\rvert \geq \delta$ の部分で、 $\lvert x - y\rvert \geq \delta/2$ を使った）。第 2 項は $t \to 0$ で $0$ に収束し、第 1 項は $\delta$ を小さくすればいくらでも小さい。 $\square$

熱方程式の解は三つの際立った性質をもつ。(i) 平滑化： $g$ が連続なだけでも $t > 0$ で $u$ は $C^\infty$ 級である。(ii) 無限の伝播速度： $g \geq 0$ 、 $g \not\equiv 0$ ならば、すべての $x$ と $t > 0$ で $u(x, t) > 0$ 。(iii) (4) の減衰。なお、増大度の条件なしには初期値問題の解は一意でない（チホノフの例）が、 $\lvert u(x, t)\rvert \leq Ae^{a\lvert x\rvert^2}$ の範囲では一意である（証明は Evans の第2章を参照）。

シュレディンガー方程式. $i\partial_tu = -\Delta u$ 、 $u(\cdot, 0) = g$ に同様の計算をすると $\hat u(\xi, t) = e^{-it\lvert\xi\rvert^2}\hat g(\xi)$ を得る。 $\lvert e^{-it\lvert\xi\rvert^2}\rvert = 1$ だからプランシュレルの定理より $\lVert u(t)\rVert_2 = \lVert g\rVert_2$ （質量保存）であり、熱方程式と違って平滑化も減衰も $L^2$ ノルムでは起こらない。しかし各点の大きさは減衰する。

命題 2.20（シュレディンガー方程式の解の公式と分散評価） $g \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 、 $t \neq 0$ とし、 $u(\cdot, t) = \mathcal{F}^{-1}(e^{-it\lvert\xi\rvert^2}\hat g)$ とおく。このとき
$u(x, t) = \frac{1}{(4\pi it)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n}e^{i\lvert x - y\rvert^2/(4t)}g(y)\,dy, \qquad \sup_x\lvert u(x, t)\rvert \leq (4\pi\lvert t\rvert)^{-n/2}\lVert g\rVert_1$
が成り立つ。ここで $(4\pi it)^{-n/2} = (4\pi\lvert t\rvert)^{-n/2}e^{-i\pi n\operatorname{sgn}(t)/4}$ とする。

証明. $\varepsilon > 0$ とし、(2.1) を $a = \frac{1}{4(\varepsilon + it)}$ （ $\operatorname{Re}a > 0$ ）に適用すると、 $e^{-(\varepsilon + it)\lvert\xi\rvert^2}$ は $k_\varepsilon(x) = (4\pi(\varepsilon + it))^{-n/2}e^{-\lvert x\rvert^2/(4(\varepsilon + it))}$ のフーリエ変換である。よって命題 2.9（の $\mathcal{S}$ と $L^1$ の場合）から

\mathcal{F}^{-1}\bigl(e^{-(\varepsilon + it)\lvert\xi\rvert^2}\hat g\bigr)(x) = \int k_\varepsilon(x - y)g(y)\,dy

$\varepsilon \to 0$ とする。左辺は優収束定理（ $\hat g \in L^1$ ）により $u(x, t)$ に収束する。右辺は、 $\lvert k_\varepsilon\rvert \leq (4\pi\lvert t\rvert)^{-n/2}$ （ $\lvert\varepsilon + it\rvert \geq \lvert t\rvert$ 、 $\operatorname{Re}a > 0$ ）と各点収束 $k_\varepsilon(z) \to (4\pi it)^{-n/2}e^{i\lvert z\rvert^2/(4t)}$ から、優収束定理により公式の右辺に収束する。評価は公式から明らか。 $\square$

$L^2$ ノルムは保たれるのに各点の値が $\lvert t\rvert^{-n/2}$ で減衰するのは、周波数の異なる波が異なる速さで進み、解が空間に広がる（分散）からである（問題 2.5）。この分散評価は第5章のストリッカーツ評価の出発点になる。

2.8 不確定性原理

定理 2.21（ハイゼンベルクの不確定性原理） $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ 、 $f \neq 0$ ならば
$\frac{\lVert xf\rVert_2}{\lVert f\rVert_2}\cdot\frac{\lVert\xi\hat f\rVert_2}{\lVert\hat f\rVert_2} \geq \frac{1}{2}$
であり、等号は $f(x) = Ce^{-ax^2}$ （ $C \in \mathbb{C}$ , $a > 0$ ）のとき、かつそのときに限り成り立つ。

証明. $\frac{d}{dx}\lvert f\rvert^2 = 2\operatorname{Re}(f'\bar f)$ と部分積分（ $f$ は急減少）、コーシー–シュワルツの不等式により

\lVert f\rVert_2^2 = \int\lvert f\rvert^2\,dx = -\int x\frac{d}{dx}\lvert f\rvert^2\,dx = -2\operatorname{Re}\int xf\,\overline{f'}\,dx \leq 2\lVert xf\rVert_2\lVert f'\rVert_2

プランシュレルの定理と $\widehat{f'} = i\xi\hat f$ から $\lVert f'\rVert_2 = (2\pi)^{-1/2}\lVert\xi\hat f\rVert_2$ 、 $\lVert f\rVert_2 = (2\pi)^{-1/2}\lVert\hat f\rVert_2$ 。代入すれば不等式を得る。等号成立にはコーシー–シュワルツの等号条件 $f' = \lambda xf$ （ $\lambda \in \mathbb{C}$ ）と $-\operatorname{Re}\lambda = \lvert\lambda\rvert$ が必要で、 $\lambda = -2a$ （ $a \geq 0$ ）となる。 $f' = -2axf$ を解くと $f = Ce^{-ax^2}$ で、 $f \in \mathcal{S}$ より $a > 0$ 。逆にガウス関数で等号が成り立つことは直接計算で確かめられる。 $\square$

$\lvert f\rvert^2/\lVert f\rVert_2^2$ と $\lvert\hat f\rvert^2/\lVert\hat f\rVert_2^2$ を確率密度とみると、左辺は位置と周波数の広がり（原点のまわりの標準偏差）の積である。関数を空間的に集中させると周波数が広がり、その逆も成り立つ。量子力学ではこれが位置と運動量の不確定性関係になる。 $n$ 次元でも各座標について $\lVert x_jf\rVert_2\lVert\xi_j\hat f\rVert_2 \geq \frac{1}{2}\lVert f\rVert_2\lVert\hat f\rVert_2$ が同様に成り立つ。

まとめ

本科目のフーリエ変換は $\hat f(\xi) = \int e^{-ix\cdot\xi}f(x)\ dx$ で、 $\widehat{\partial_jf} = i\xi_j\hat f$ 、反転公式の係数は $(2\pi)^{-n}$ 、 $\lVert\hat f\rVert_2 = (2\pi)^{n/2}\lVert f\rVert_2$ 。
$L^1$ の関数のフーリエ変換は $C_0$ に属する（リーマン–ルベーグ）。畳み込みは積に、平行移動は位相因子に変わる。
急減少関数の空間 $\mathcal{S}$ では微分と多項式の掛け算が入れ替わり、 $\mathcal{F}$ は $\mathcal{S}$ の同型である（反転公式）。 $\mathcal{F}$ は $L^2$ 上の（定数倍の）ユニタリ作用素に拡張される（プランシュレル）。
緩増加超関数 $\mathcal{S}'$ のフーリエ変換は双対で定義され、 $\hat\delta = 1$ 、 $\hat 1 = (2\pi)^n\delta$ 、 $\mathcal{F}(\operatorname{p.v.}\frac{1}{x}) = -i\pi\operatorname{sgn}\xi$ 。
台がコンパクトな関数のフーリエ変換は指数型の整関数である（ペイリー–ウィーナー）。
熱方程式の解は $K_t \ast g$ で与えられ、平滑化・無限の伝播速度・減衰を示す。シュレディンガー方程式の解は $L^2$ ノルムを保ちつつ、 $\lvert t\rvert^{-n/2}$ で各点減衰する（分散）。
関数とそのフーリエ変換を同時に集中させることはできない（不確定性原理）。

演習問題

問題 2.1 ★ $n = 1$ で $\widehat{e^{-\lvert x\rvert}}(\xi) = \dfrac{2}{1 + \xi^2}$ を示し、反転公式から $\displaystyle\int_{\mathbb{R}}\frac{\cos(x\xi)}{1 + \xi^2}\ d\xi = \pi e^{-\lvert x\rvert}$ を導け。

解答

$\int_0^\infty e^{-x}e^{-ix\xi}dx = \frac{1}{1 + i\xi}$ 、 $\int_{-\infty}^0e^{x}e^{-ix\xi}dx = \frac{1}{1 - i\xi}$ で、和は $\frac{2}{1 + \xi^2}$ 。これは可積分なので、反転公式（ $f, \hat f \in L^1$ の場合。 $f$ は連続なのですべての $x$ で成り立つ）から $e^{-\lvert x\rvert} = \frac{1}{2\pi}\int e^{ix\xi}\frac{2}{1 + \xi^2}d\xi$ 。虚部は奇関数の積分で $0$ なので、 $\int\frac{\cos(x\xi)}{1 + \xi^2}d\xi = \pi e^{-\lvert x\rvert}$ 。

問題 2.2 ★ プランシュレルの定理を用いて $\displaystyle\int_{\mathbb{R}}\frac{\sin^2x}{x^2}\ dx = \pi$ を示せ。

解答

例 2.4 より $\mathcal{F}\mathbf{1}_{[-1,1]} = \frac{2\sin\xi}{\xi}$ （ $\mathbf{1}_{[-1,1]} \in L^1 \cap L^2$ なので定理 2.10 の $L^2$ の意味でも同じ）。 $\lVert\mathcal{F}f\rVert_2^2 = 2\pi\lVert f\rVert_2^2$ から $\int\frac{4\sin^2\xi}{\xi^2}d\xi = 2\pi \cdot 2$ 、よって $\int\frac{\sin^2\xi}{\xi^2}d\xi = \pi$ 。

問題 2.3 ★★ $u \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ が $\Delta u = 0$ をみたすならば $u$ は多項式であることを示せ。これから、 $\mathbb{R}^n$ 上の有界な調和関数は定数であること（リウヴィルの定理）を導け。

解答

$\widehat{\Delta u} = -\lvert\xi\rvert^2\hat u = 0$ 。 $\varphi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^n \setminus \lbrace 0\rbrace)$ ならば $\varphi/\lvert\xi\rvert^2 \in C_c^\infty$ なので $\langle\hat u, \varphi\rangle = \langle\lvert\xi\rvert^2\hat u, \varphi/\lvert\xi\rvert^2\rangle = 0$ 。よって $\operatorname{supp}\hat u \subset \lbrace 0\rbrace$ で、定理 1.25 から $\hat u = \sum_{\lvert\alpha\rvert \leq m}c_\alpha\partial^\alpha\delta$ 。 $\langle\mathcal{F}^{-1}\partial^\alpha\delta, \varphi\rangle = (-1)^{\lvert\alpha\rvert}\partial^\alpha(\mathcal{F}^{-1}\varphi)(0) = (2\pi)^{-n}\int(-ix)^\alpha\varphi(x)\ dx$ だから $\mathcal{F}^{-1}(\partial^\alpha\delta) = (2\pi)^{-n}(-ix)^\alpha$ であり、 $u$ は多項式である。有界な調和関数は $\mathcal{S}'$ に属する（例 2.12）ので多項式であり、有界な多項式は定数である。

問題 2.4 ★★ 熱核について (1) $K_t \ast K_s = K_{t+s}$ 、(2) $\lVert\partial_jK_t\rVert_1 = (\pi t)^{-1/2}$ を示せ。(2) から、定理 2.19 の解が $\sup_x\lvert\partial_ju(x, t)\rvert \leq (\pi t)^{-1/2}\sup\lvert g\rvert$ をみたすことを導け。

解答

(1) 両辺のフーリエ変換は $e^{-t\lvert\xi\rvert^2}e^{-s\lvert\xi\rvert^2} = e^{-(t+s)\lvert\xi\rvert^2}$ で一致し、 $L^1$ の関数はフーリエ変換で決まる（定理 2.8 の後の注意）。

(2) $\partial_jK_t(x) = -\frac{x_j}{2t}K_t(x)$ 。 $K_t$ は各座標が平均 $0$ ・分散 $2t$ の正規分布の密度の積なので、 $\int\lvert x_j\rvert K_t\ dx = \sqrt{2 \cdot 2t/\pi} = 2\sqrt{t/\pi}$ 。よって $\lVert\partial_jK_t\rVert_1 = \frac{1}{2t} \cdot 2\sqrt{t/\pi} = (\pi t)^{-1/2}$ 。 $\partial_ju = (\partial_jK_t) \ast g$ （積分記号下の微分）だから $\lvert\partial_ju\rvert \leq \lVert\partial_jK_t\rVert_1\sup\lvert g\rvert$ 。 $t \to 0$ で導関数の評価が悪くなる速さ $t^{-1/2}$ は、放物型のスケーリング $x \sim \sqrt{t}$ を反映している。

問題 2.5 ★★ $g(x) = e^{-\lvert x\rvert^2/2}$ を初期値とするシュレディンガー方程式 $i\partial_tu = -\Delta u$ の解は $\lvert u(x, t)\rvert = (1 + 4t^2)^{-n/4}e^{-\lvert x\rvert^2/(2(1 + 4t^2))}$ をみたすことを示し、分散評価（命題 2.20）と比較せよ。

解答

(2.1) より $\hat g = (2\pi)^{n/2}e^{-\lvert\xi\rvert^2/2}$ 、 $\hat u = (2\pi)^{n/2}e^{-b\lvert\xi\rvert^2}$ （ $b = \frac{1}{2} + it$ ）。再び (2.1)（ $a = \frac{1}{4b}$ ）から $e^{-b\lvert\xi\rvert^2}$ は $(4\pi b)^{-n/2}e^{-\lvert x\rvert^2/(4b)}$ のフーリエ変換なので、 $u = (2\pi)^{n/2}(4\pi b)^{-n/2}e^{-\lvert x\rvert^2/(4b)} = (1 + 2it)^{-n/2}e^{-\lvert x\rvert^2/(2(1 + 2it))}$ 。 $\lvert 1 + 2it\rvert = (1 + 4t^2)^{1/2}$ 、 $\operatorname{Re}\frac{1}{1 + 2it} = \frac{1}{1 + 4t^2}$ から主張を得る。 $\sup\lvert u\rvert = (1 + 4t^2)^{-n/4} \sim (2\lvert t\rvert)^{-n/2}$ は、 $\lVert g\rVert_1 = (2\pi)^{n/2}$ に対する分散評価の右辺 $(4\pi\lvert t\rvert)^{-n/2}(2\pi)^{n/2} = (2\lvert t\rvert)^{-n/2}$ と $t \to \infty$ で漸近的に一致する。解の幅は $(1 + 4t^2)^{1/2}$ に比例して広がる。

問題 2.6 ★★★（ヒルベルト変換） $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ に対し $\mathcal{H}f = \frac{1}{\pi}\operatorname{p.v.}\frac{1}{x} \ast f$ とおく。(1) $\widehat{\mathcal{H}f} = -i\operatorname{sgn}(\xi)\hat f$ を示し、 $\mathcal{H}$ が $L^2(\mathbb{R})$ 上のユニタリ作用素に拡張され $\mathcal{H}^2 = -I$ となることを示せ。(2) $\mathcal{H}\bigl(\frac{1}{1 + x^2}\bigr) = \frac{x}{1 + x^2}$ を示せ。

解答

(1) 命題 2.17 と例 2.16 より $\widehat{\mathcal{H}f} = \frac{1}{\pi}\hat f\cdot(-i\pi\operatorname{sgn}\xi) = -i\operatorname{sgn}(\xi)\hat f$ 。 $\lvert -i\operatorname{sgn}\xi\rvert = 1$ （a.e.）なので、プランシュレルの定理から $\lVert\mathcal{H}f\rVert_2 = \lVert f\rVert_2$ となり、 $\mathcal{H}$ は $L^2$ 上の等長作用素 $\mathcal{F}^{-1}M\mathcal{F}$ （ $M$ は $-i\operatorname{sgn}\xi$ を掛ける作用素）に拡張される。 $M^2 = -I$ で $M$ はユニタリだから、 $\mathcal{H}^2 = -I$ で $\mathcal{H}$ はユニタリ。

(2) 問題 2.1 に $\mathcal{F}^2 = 2\pi(\cdot)^{\vee}$ を使うと $\mathcal{F}\bigl(\frac{1}{1 + x^2}\bigr) = \pi e^{-\lvert\xi\rvert}$ 。 $L^2$ 上の $\mathcal{H}$ は (1) の乗数で与えられるので $\widehat{\mathcal{H}f} = -i\pi\operatorname{sgn}(\xi)e^{-\lvert\xi\rvert}$ 。一方、定理 2.14 と跳びの公式（ $e^{-\lvert\xi\rvert}$ は連続）から $\mathcal{F}\bigl(\frac{x}{1 + x^2}\bigr) = i\partial_\xi(\pi e^{-\lvert\xi\rvert}) = -i\pi\operatorname{sgn}(\xi)e^{-\lvert\xi\rvert}$ 。 $\mathcal{F}$ の単射性から主張を得る。 $\frac{1}{1 + x^2}$ と $\frac{x}{1 + x^2}$ は上半平面の正則関数 $\frac{i}{z + i}$ の実軸上の実部と虚部であり、ヒルベルト変換は境界値の実部から虚部を与える作用素である。