楕円型方程式

この章の目標

• 発散形式の 2 階楕円型作用素と一様楕円性を理解し、ディリクレ問題の弱解を定義できる
• ラックス–ミルグラムの定理を証明し、エネルギー評価から弱解の存在と一意性を示せる
• フレドホルムの択一定理と固有関数展開を、レリッヒのコンパクト性定理と関数解析の定理から導ける
• 差分商の方法で内部正則性を証明し、弱解が古典解に戻る仕組みを説明できる
• 弱最大値原理を証明し、ディリクレ原理と変分法の関係を説明できる

前提：第3章、10-functional-analysis 第2章（リースの表現定理）・第4章（弱コンパクト性）・第5章（フレドホルムの択一定理・スペクトル定理）、08-differential-equations 第5章・第7章

4.1 楕円型作用素と弱解

この章では $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ を有界開集合とし、関数はすべて実数値とする。$L^2(\Omega)$ の内積を $(u, v) = \int_\Omega uv\ dx$、ノルムを $\lVert\cdot\rVert$ と書く。

定義 4.1（一様楕円型作用素）発散形式 (divergence form) の 2 階作用素

$$Lu = -\sum_{i,j=1}^n\partial_j\bigl(a^{ij}(x)\,\partial_iu\bigr) + \sum_{i=1}^nb^i(x)\,\partial_iu + c(x)\,u$$

を考え、係数に次を仮定する（以下これを仮定 (A) と呼ぶ）：$a^{ij}, b^i, c \in L^\infty(\Omega)$、$a^{ij} = a^{ji}$ で、ある $\theta > 0$ について

$$\sum_{i,j}a^{ij}(x)\xi_i\xi_j \geq \theta\lvert\xi\rvert^2 \qquad (\text{a.e. } x \in \Omega,\ \xi \in \mathbb{R}^n)$$

（一様楕円性, uniform ellipticity）。$\Lambda$ を $\lvert\sum a^{ij}(x)\xi_i\eta_j\rvert \leq \Lambda\lvert\xi\rvert\lvert\eta\rvert$ となる定数、$\lVert b\rVert_\infty = \operatorname{ess\ sup}_x(\sum_i b^i(x)^2)^{1/2}$ とする。

$a^{ij} = \delta_{ij}$、$b = 0$、$c = 0$ ならば $L = -\Delta$ である。係数が $L^\infty$ でしかない（たとえば 2 種類の物質が接する境界面で跳ぶ）場合も含めるために発散形式をとる。ディリクレ問題

を考える。$u$ と $a^{ij}$ が滑らかなら、$v \in C_c^\infty(\Omega)$ を掛けて部分積分すると、$Lu = f$ は

と同値になる。$B[u, v]$ には $u, v$ の 1 階導関数しか現れず、係数は $L^\infty$ でよい。したがって $B$ は $H^1(\Omega) \times H^1(\Omega)$ 上で意味をもつ。境界条件 $u = 0$ はトレースが $0$、すなわち $u \in H_0^1(\Omega)$ で表す（注意 3.17）。そして $H_0^1(\Omega)$ は完備なので、関数解析の存在定理が使える。これが弱解の定義の背景である。

定義 4.2（弱解, weak solution）$f \in L^2(\Omega)$ とする。$u \in H_0^1(\Omega)$ がすべての $v \in H_0^1(\Omega)$ について $B[u, v] = (f, v)$ をみたすとき、$u$ を (4.1) の弱解という。より一般に $F \in H^{-1}(\Omega)$ に対し、$B[u, v] = F(v)$（$\forall v \in H_0^1$）をみたす $u \in H_0^1$ を $Lu = F$ の弱解という。

注意 4.3 $\partial\Omega$ が $C^1$ 級、$a^{ij} \in C^1(\overline\Omega)$ で、$u \in C^2(\overline\Omega)$ が (4.1) の古典解ならば、$u \in H_0^1$（注意 3.17 (2)）であり、部分積分と $C_c^\infty(\Omega)$ の $H_0^1$ での稠密性から弱解である。逆に弱解が $C^2(\Omega)$ に属せば、部分積分と補題 1.6 により $\Omega$ で a.e. に（$f$, $b^i$, $c$ が連続なら各点で）$Lu = f$ が成り立つ。問題は、弱解がいつ $C^2$ 級になるかであり、これが 4.6 節の正則性理論の主題である。

4.2 ラックス–ミルグラムの定理

定理 4.4（ラックス–ミルグラムの定理, Lax–Milgram theorem）$H$ を実ヒルベルト空間、$B\colon H \times H \to \mathbb{R}$ を双線形形式とし、定数 $\alpha, \beta > 0$ について

$$\lvert B[u, v]\rvert \leq \alpha\lVert u\rVert\lVert v\rVert \ (\text{有界性}), \qquad B[u, u] \geq \beta\lVert u\rVert^2 \ (\text{強圧性, coercivity})$$

がすべての $u, v \in H$ で成り立つとする。このとき任意の $F \in H^{\ast}$ に対し、$B[u, v] = F(v)$（$\forall v \in H$）をみたす $u \in H$ がただ一つ存在し、$\lVert u\rVert \leq \beta^{-1}\lVert F\rVert_{H^{\ast}}$。

証明. $u$ を固定すると $v \mapsto B[u, v]$ は有界線形汎関数なので、リースの表現定理（10-functional-analysis 第2章 定理 2.10）により $B[u, v] = (Au, v)_H$ となる $Au \in H$ がただ一つある。$A$ は線形で $\lVert Au\rVert \leq \alpha\lVert u\rVert$。強圧性から $\beta\lVert u\rVert^2 \leq (Au, u)_H \leq \lVert Au\rVert\lVert u\rVert$、すなわち $\lVert Au\rVert \geq \beta\lVert u\rVert$。よって $A$ は単射で、値域は閉（$Au_k \to w$ なら $(u_k)$ はコーシー列で、極限 $u$ について $Au = w$）。値域は稠密でもある：$w \perp \operatorname{Ran}A$ ならば $\beta\lVert w\rVert^2 \leq (Aw, w)_H = 0$。よって $A$ は全単射。$F = (w_F, \cdot)_H$ と表し $u = A^{-1}w_F$ とおけば $B[u, v] = F(v)$。一意性と評価は $\beta\lVert u\rVert^2 \leq B[u, u] = F(u) \leq \lVert F\rVert\lVert u\rVert$ による。$\square$

$B$ が対称なら、$B$ 自身が $H$ の同値な内積になり、定理 4.4 はリースの表現定理そのものである。定理 4.4 の意義は、$b^i \neq 0$ のように $B$ が対称でない場合にも使えることにある。

4.3 弱解の存在と一意性

定理 4.5（エネルギー評価）仮定 (A) のもとで、すべての $u, v \in H_0^1(\Omega)$ について

$$\lvert B[u, v]\rvert \leq \alpha\lVert u\rVert_{H^1}\lVert v\rVert_{H^1}, \qquad \frac{\theta}{2}\lVert u\rVert_{H^1}^2 \leq B[u, u] + \gamma\lVert u\rVert^2$$

が成り立つ。ここで $\alpha = \Lambda + \lVert b\rVert_\infty + \lVert c\rVert_\infty$、$\gamma = \frac{\lVert b\rVert_\infty^2}{2\theta} + \lVert c\rVert_\infty + \frac{\theta}{2}$ で、どちらも $\Omega$ によらない。

証明. 第 1 式は各項にコーシー–シュワルツの不等式を使えばよい。第 2 式：一様楕円性から

ヤングの不等式 $\lVert b\rVert_\infty st \leq \frac{\theta}{2}s^2 + \frac{\lVert b\rVert_\infty^2}{2\theta}t^2$ で中央の項を分けると $\frac{\theta}{2}\lVert\nabla u\rVert^2 \leq B[u, u] + (\frac{\lVert b\rVert_\infty^2}{2\theta} + \lVert c\rVert_\infty)\lVert u\rVert^2$。両辺に $\frac{\theta}{2}\lVert u\rVert^2$ を加えればよい。$\square$

定理 4.6（弱解の存在と一意性）仮定 (A) のもとで $\mu \geq \gamma$ とする。任意の $f \in L^2(\Omega)$ に対し、$Lu + \mu u = f$、$u \in H_0^1(\Omega)$ の弱解がただ一つ存在し、$\lVert u\rVert_{H^1} \leq \frac{2}{\theta}\lVert f\rVert$。右辺が $F \in H^{-1}(\Omega)$ でも同様で、$\lVert u\rVert_{H^1} \leq \frac{2}{\theta}\lVert F\rVert_{H^{-1}}$。

証明. $B_\mu[u, v] = B[u, v] + \mu(u, v)$ は定理 4.5 により有界かつ $B_\mu[u, u] \geq \frac{\theta}{2}\lVert u\rVert_{H^1}^2$ をみたす。$v \mapsto (f, v)$ は $\lvert(f, v)\rvert \leq \lVert f\rVert\lVert v\rVert_{H^1}$ により $H_0^1$ 上の有界線形汎関数である。ラックス–ミルグラムの定理（$\beta = \theta/2$）を適用すればよい。$\square$

系 4.7 仮定 (A) に加えて $b = 0$、$c \geq 0$ とする。$C_P$ を $H_0^1(\Omega)$ でのポアンカレの不等式 $\lVert v\rVert \leq C_P\lVert\nabla v\rVert$ の定数とする（定理 3.27 より $\Omega$ の幅 $d$ について $C_P \leq d/\sqrt{2}$）。任意の $f \in L^2(\Omega)$ に対し (4.1) の弱解がただ一つ存在し、$\lVert\nabla u\rVert \leq \frac{C_P}{\theta}\lVert f\rVert$。

証明. $B[u, u] \geq \theta\lVert\nabla u\rVert^2$ であり、ポアンカレの不等式により $\lVert\nabla\cdot\rVert$ は $H_0^1$ の同値なノルムなので、$B$ はこのノルムについて強圧的である。評価は $\theta\lVert\nabla u\rVert^2 \leq B[u, u] = (f, u) \leq \lVert f\rVert C_P\lVert\nabla u\rVert$ による。$\square$

特に、ポアソン方程式 $-\Delta u = f$（$\Omega$ で）、$u = 0$（$\partial\Omega$ で）は任意の $f \in L^2(\Omega)$（さらに $f \in H^{-1}$）に対してただ一つの弱解をもつ。境界値が $0$ でない問題 $u = g$ は、$g$ が $G \in H^1(\Omega)$ のトレースであれば、$w = u - G \in H_0^1$ についての問題 $Lw = f - LG$（右辺は $v \mapsto (f, v) - B[G, v]$ で定まる $H^{-1}$ の元）に帰着する。

例 4.8 $\Omega = (0, 1)$、$Lu = -u'' - \pi^2u$（$c = -\pi^2 < 0$）では、$u = \sin\pi x$ が $Lu = 0$、$u(0) = u(1) = 0$ をみたす。$c$ が負で大きいと一意性が崩れる。一般の $L$ を扱うには、コンパクト性に基づくフレドホルム理論が必要になる。

4.4 フレドホルムの択一定理

$L$ の形式的共役作用素を $L^{\ast}v = -\sum_{i,j}\partial_i(a^{ij}\partial_jv) - \sum_i\partial_i(b^iv) + cv$ とし、対応する双線形形式を $B^{\ast}[v, u] = B[u, v]$ で定める。

定理 4.9（フレドホルムの択一定理）仮定 (A) のもとで、次のいずれか一方だけが成り立つ。

1. 任意の $f \in L^2(\Omega)$ に対し、$Lu = f$、$u \in H_0^1(\Omega)$ の弱解がただ一つ存在する。
2. 斉次問題 $Lu = 0$、$u \in H_0^1(\Omega)$ が $0$ でない弱解をもつ。

(2) の場合、斉次問題の解空間 $N$ と共役問題 $L^{\ast}v = 0$ の解空間 $N^{\ast}$ は同じ有限次元をもち、$Lu = f$ が弱解をもつための必要十分条件は、すべての $v \in N^{\ast}$ について $(f, v) = 0$ となることである。

証明. 定理 4.6 により、$L_\gamma = L + \gamma$ の解作用素 $L_\gamma^{-1}\colon L^2(\Omega) \to H_0^1(\Omega)$ は有界である。レリッヒ–コンドラショフの定理（定理 3.25、$H_0^1$ なので境界の仮定は不要）により $H_0^1(\Omega) \hookrightarrow L^2(\Omega)$ はコンパクトだから、$K = \gamma L_\gamma^{-1}$ は $L^2(\Omega)$ 上のコンパクト作用素である。$u \in H_0^1$ について

（弱い意味で）。$B^{\ast}[v, v] = B[v, v]$ なので $L^{\ast}_\gamma = L^{\ast} + \gamma$ の解作用素 $(L_\gamma^{\ast})^{-1}$ も同様に定まる。$u = L_\gamma^{-1}f$、$v = (L_\gamma^{\ast})^{-1}g$ とすると $(L_\gamma^{-1}f, g) = B_\gamma^{\ast}[v, u] = B_\gamma[u, v] = (f, v) = (f, (L_\gamma^{\ast})^{-1}g)$ だから、$K$ の随伴作用素は $K^{\ast} = \gamma(L_\gamma^{\ast})^{-1}$ である。コンパクト作用素に対するフレドホルムの択一定理（10-functional-analysis 第5章 定理 5.11）により、$I - K$ は単射なら全射であり、$\dim\ker(I - K) = \dim\ker(I - K^{\ast}) < \infty$、$\operatorname{Ran}(I - K) = \ker(I - K^{\ast})^\perp$。$\ker(I - K) = N$、$\ker(I - K^{\ast}) = N^{\ast}$ で、$v \in N^{\ast}$ ならば $(h, v) = \frac{1}{\gamma}(Kf, v) = \frac{1}{\gamma}(f, K^{\ast}v) = \frac{1}{\gamma}(f, v)$ だから、$h \in \operatorname{Ran}(I - K)$ は $f \perp N^{\ast}$ と同値である。$\square$

同じ議論を $L - \lambda$ に適用すると、$Lu - \lambda u = f$ が一意可解でない $\lambda$ の全体は $\mathbb{R}$ の離散集合（有限または $+\infty$ にだけ集積する可算集合）であることがわかる（コンパクト作用素のスペクトルの構造による）。

4.5 固有値問題と固有関数展開

定理 4.10（固有関数展開）仮定 (A) に加えて $b = 0$、$c \geq 0$ とする（$B$ は対称）。このとき実数 $0 < \lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \lambda_3 \leq \cdots \to \infty$（重複度だけ繰り返す）と、$L^2(\Omega)$ の正規直交基底 $\lbrace w_k\rbrace$ で、$w_k \in H_0^1(\Omega)$ が $Lw_k = \lambda_kw_k$ の弱解であるものが存在する。各 $u \in L^2(\Omega)$ は $u = \sum_k(u, w_k)w_k$（$L^2$ 収束）と展開され、$u \in H_0^1(\Omega)$ ならば展開は $H^1$ で収束し、

$$B[u, u] = \sum_k\lambda_k(u, w_k)^2, \qquad \lambda_1 = \min_{u \in H_0^1 \setminus \lbrace 0\rbrace}\frac{B[u, u]}{\lVert u\rVert^2}$$

が成り立つ（最小値は $u = w_1$ で達成される）。

証明. 系 4.7 により解作用素 $S\colon L^2 \to L^2$、$f \mapsto u$（$B[Sf, v] = (f, v)$）が定まる。$S$ は $L^2 \to H_0^1$ として有界なので、レリッヒの定理により $L^2$ 上のコンパクト作用素である。$B$ の対称性から $(Sf, g) = B[Sg, Sf] = B[Sf, Sg] = (f, Sg)$ で $S$ は自己共役、$(Sf, f) = B[Sf, Sf] \geq 0$ で、$Sf = 0$ なら $f = 0$（$(f, v) = B[0, v] = 0$）なので $S$ は単射である。コンパクト自己共役作用素のスペクトル定理（10-functional-analysis 第5章 定理 5.17）により、$S$ の $0$ でない固有値 $\mu_k$ の固有ベクトルからなる正規直交系 $\lbrace w_k\rbrace$ があって $L^2 = \ker S \oplus \overline{\operatorname{span}}\lbrace w_k\rbrace$ となる。$\ker S = 0$ だから $\lbrace w_k\rbrace$ は正規直交基底であり、$L^2(\Omega)$ は無限次元なので無限個あり、$\mu_k \to 0$。$\mu_k = (Sw_k, w_k) > 0$。$\lambda_k = 1/\mu_k$ とおくと $w_k = \lambda_kSw_k \in H_0^1$ で $B[w_k, v] = \lambda_k(w_k, v)$、すなわち $Lw_k = \lambda_kw_k$。

$B[w_k, w_l] = \lambda_k\delta_{kl}$ なので、$\lbrace w_k/\sqrt{\lambda_k}\rbrace$ は内積 $B$ に関する $H_0^1$ の正規直交系であり、$B[u, w_k] = \lambda_k(u, w_k) = 0$（$\forall k$）なら $u = 0$ だから完全である（$B$ は $H_0^1$ の同値な内積）。$u \in H_0^1$ の展開係数は $B[u, w_k/\sqrt{\lambda_k}] = \sqrt{\lambda_k}(u, w_k)$ なので、$u = \sum(u, w_k)w_k$ は $H^1$ で収束し、パーセヴァルの等式から $B[u, u] = \sum\lambda_k(u, w_k)^2 \geq \lambda_1\sum(u, w_k)^2 = \lambda_1\lVert u\rVert^2$。$u = w_1$ で等号が成り立つ。$\square$

例 4.11 (1) $\Omega = (0, \pi)$、$L = -\frac{d^2}{dx^2}$：$\lambda_k = k^2$、$w_k = \sqrt{2/\pi}\sin kx$ で、定理 4.10 はフーリエ正弦級数展開の完全性を含む（08-differential-equations 第5章 のスツルム–リウヴィル理論の多次元化）。(2) $\Omega = (0, \pi)^2$、$L = -\Delta$ の固有値は $k^2 + l^2$（$k, l \geq 1$）で、固有関数は $\frac{2}{\pi}\sin kx\sin ly$（問題 4.4）。(3) 一般に $L = -\Delta$ についてワイルの法則 $\lambda_k \sim 4\pi^2\bigl(\frac{k}{\omega_n\lvert\Omega\rvert}\bigr)^{2/n}$（$k \to \infty$）が成り立つ（主張のみ）。(1) で $\omega_1 = 2$、$\lvert\Omega\rvert = \pi$ とすると右辺は $k^2$ に一致する。

$\lambda_k$ は $\lambda_k = \min_{E}\max_{u \in E \setminus \lbrace 0\rbrace}B[u, u]/\lVert u\rVert^2$（$E$ は $H_0^1$ の $k$ 次元部分空間を動く）とも表される（クーラン–フィッシャーのミニマックス原理；主張のみ）。

4.6 内部正則性

弱解 $u \in H_0^1$ は 1 階の弱導関数しかもたない。しかし係数が滑らかなら、$u$ は実はもっと滑らかである。発見的な計算として、$u \in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$、$-\Delta u = f$ とすると、部分積分を 2 回行って

となり、$2$ 階導関数全体の $L^2$ ノルムが $f$ で抑えられる（2 階の得）。弱解に対してこの計算を正当化するために、導関数の代わりに差分商を使う。$h \neq 0$ に対し $D_k^hu(x) = \frac{u(x + he_k) - u(x)}{h}$ とおく。

補題 4.12（差分商）(1) $1 \leq p < \infty$、$u \in W^{1,p}(\Omega)$、$W \subset \Omega$ を開集合とすると、$0 < \lvert h\rvert < \operatorname{dist}(W, \partial\Omega)$ について $\lVert D_k^hu\rVert_{L^p(W)} \leq \lVert\partial_ku\rVert_{L^p(\Omega)}$。 (2) $1 < p < \infty$、$V \Subset W$ を開集合、$u \in L^p(W)$ とし、$0 < \lvert h\rvert < \frac{1}{2}\operatorname{dist}(V, \partial W)$ について $\lVert D_k^hu\rVert_{L^p(V)} \leq C$ とする。このとき弱導関数 $\partial_ku$ は $V$ 上に存在し、$\lVert\partial_ku\rVert_{L^p(V)} \leq C$。

証明. (1) まず $u \in C^\infty(\Omega) \cap W^{1,p}(\Omega)$ とすると、$D_k^hu(x) = \int_0^1\partial_ku(x + the_k)\ dt$ とイェンセンの不等式から $\lvert D_k^hu(x)\rvert^p \leq \int_0^1\lvert\partial_ku(x + the_k)\rvert^pdt$。これを $W$ で積分し、積分の順序を交換すれば主張を得る。一般の $u$ は定理 3.9 (1) で近似する。

(2) $L^p(V)$ は反射的なので、有界列 $(D_k^{h_j}u)$（$h_j \to 0$）から弱収束する部分列 $D_k^{h_j}u \rightharpoonup v$ がとれ（10-functional-analysis 第4章 定理 4.20）、ノルムの弱下半連続性により $\lVert v\rVert_{L^p(V)} \leq C$。$\varphi \in C_c^\infty(V)$ について、変数変換により差分の部分積分 $\int u\ D_k^{-h}\varphi = -\int D_k^hu\ \varphi$ が成り立つ（$\lvert h\rvert$ が小さいとき）。$D_k^{-h}\varphi \to \partial_k\varphi$ は一様収束するので

よって $v = \partial_ku$ である。$\square$

定理 4.13（内部 $H^2$ 正則性）仮定 (A) に加えて $a^{ij} \in C^1(\overline\Omega)$ とし、$f \in L^2(\Omega)$、$u \in H^1(\Omega)$ がすべての $v \in H_0^1(\Omega)$ について $B[u, v] = (f, v)$ をみたすとする（境界条件は仮定しない）。このとき $u \in H^2_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ であり、各開集合 $V \Subset \Omega$ について

$$\lVert u\rVert_{H^2(V)} \leq C\bigl(\lVert f\rVert_{L^2(\Omega)} + \lVert u\rVert_{H^1(\Omega)}\bigr)$$

が成り立つ。$C$ は $n$、$\theta$、$\max_{i,j}\lVert a^{ij}\rVert_{C^1(\overline\Omega)}$、$\lVert b\rVert_\infty$、$\lVert c\rVert_\infty$、$\operatorname{dist}(V, \partial\Omega)$ だけに依存する。さらに $u$ は a.e. で $Lu = f$ をみたす。

証明. 低階の項を右辺に移し $\tilde f = f - \sum b^i\partial_iu - cu$ とおくと、$\lVert\tilde f\rVert \leq \lVert f\rVert + (\lVert b\rVert_\infty + \lVert c\rVert_\infty)\lVert u\rVert_{H^1}$ で、すべての $v \in H_0^1$ について $\int\sum a^{ij}\partial_iu\ \partial_jv = (\tilde f, v)$。

$d = \operatorname{dist}(V, \partial\Omega)$、$W = \lbrace x \mid \operatorname{dist}(x, V) < d/2\rbrace$ とし、$\zeta \in C_c^\infty(W)$ を $0 \leq \zeta \leq 1$、$V$ 上で $\zeta = 1$、$\lvert\nabla\zeta\rvert \leq C/d$ となるようにとる。$k$ を固定し、$0 < \lvert h\rvert < d/4$ として $v = -D_k^{-h}(\zeta^2D_k^hu) \in H_0^1(\Omega)$ を代入する。差分の部分積分により左辺は

となる。$D_k^h(a^{ij}\partial_iu)(x) = a^{ij}(x + he_k)D_k^h\partial_iu(x) + (D_k^ha^{ij})(x)\ \partial_iu(x)$、$\partial_j(\zeta^2D_k^hu) = \zeta^2D_k^h\partial_ju + 2\zeta\ \partial_j\zeta\ D_k^hu$ と展開すると、主要項は一様楕円性（点 $x + he_k$ で使う）により $\theta\int\zeta^2\lvert D_k^h\nabla u\rvert^2$ 以上である。残りの項は $\lvert D_k^ha^{ij}\rvert \leq \lVert\nabla a^{ij}\rVert_\infty$ を使うと

で抑えられ、ヤングの不等式と補題 4.12 (1)（$\lVert D_k^hu\rVert_{L^2(W)} \leq \lVert\partial_ku\rVert_{L^2(\Omega)}$）により $\frac{\theta}{4}\int\zeta^2\lvert D_k^h\nabla u\rvert^2 + C\lVert\nabla u\rVert^2$ 以下である。右辺は、補題 4.12 (1) を $\zeta^2D_k^hu$（の $0$ 延長）に使い、$\zeta^2 \leq \zeta$ に注意すると

以上をまとめて $\frac{\theta}{2}\int_V\lvert D_k^h\nabla u\rvert^2 \leq C(\lVert\tilde f\rVert^2 + \lVert\nabla u\rVert^2)$。右辺は $h$ によらないので、補題 4.12 (2) を各 $\partial_iu \in L^2$ に適用すると $\partial_k\partial_iu \in L^2(V)$ で、$\lVert\partial_k\nabla u\rVert_{L^2(V)} \leq C(\lVert f\rVert + \lVert u\rVert_{H^1})$。最後に、$a^{ij}\partial_iu \in H^1_{\mathrm{loc}}$ なので $v \in C_c^\infty(\Omega)$ について部分積分でき、$\int(Lu - f)v = 0$ から a.e. で $Lu = f$。$\square$

右辺の $\lVert u\rVert_{H^1(\Omega)}$ は、カッチョッポリの不等式（問題 4.3）を使うと $\lVert u\rVert_{L^2(\Omega)}$ に置き換えられる。同じ方法を導関数の方程式に繰り返し適用すると次を得る（証明は Evans の第6章を参照）。

定理 4.14（高階の内部正則性）$m \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ とし、仮定 (A) に加えて $a^{ij}, b^i, c \in C^{m+1}(\overline\Omega)$、$f \in H^m(\Omega)$ とする。定理 4.13 の $u$ は $H^{m+2}_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ に属し、$\lVert u\rVert_{H^{m+2}(V)} \leq C(\lVert f\rVert_{H^m(\Omega)} + \lVert u\rVert_{H^1(\Omega)})$ が成り立つ。

証明の方針. $m$ についての帰納法。$\lvert\alpha\rvert = m$ のとき、試験関数 $v$ を $(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\partial^\alpha v$ に置き換えて部分積分すると、$\partial^\alpha u$ が右辺 $\partial^\alpha f$ と「係数の導関数 × $u$ の $m + 1$ 階以下の導関数」の和を右辺とする方程式の弱解であることがわかり、定理 4.13 を適用できる。$\square$

系 4.15（弱解は滑らか）$a^{ij}, b^i, c, f \in C^\infty(\Omega)$ で、各 $\Omega' \Subset \Omega$ 上で仮定 (A) がみたされるとする。$u \in H^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ が $\Omega$ で $Lu = f$ の弱解（すべての $v \in C_c^\infty(\Omega)$ について $B[u, v] = (f, v)$）ならば、$u \in C^\infty(\Omega)$ であり、$u$ は古典解である。

証明. 各 $\Omega' \Subset \Omega$ 上で定理 4.14 がすべての $m$ について適用でき、$u \in H^m_{\mathrm{loc}}(\Omega)$（$\forall m$）。系 3.24 により $u \in C^\infty(\Omega)$。$\square$

$L = -\Delta$ の場合、これは調和な弱解が $C^\infty$ 級であること（ワイルの補題、問題 1.7 の $H^1$ 版）を含む。境界まで込めた正則性には、境界の滑らかさが必要である。

定理 4.16（境界正則性）仮定 (A) に加えて $a^{ij} \in C^1(\overline\Omega)$、$\partial\Omega$ は $C^2$ 級とし、$f \in L^2(\Omega)$、$u \in H_0^1(\Omega)$ を (4.1) の弱解とする。このとき $u \in H^2(\Omega)$ で、$\lVert u\rVert_{H^2(\Omega)} \leq C(\lVert f\rVert + \lVert u\rVert)$（$C$ は係数と $\Omega$ に依存）。さらに $\partial\Omega$ が $C^{m+2}$ 級、$a^{ij}, b^i, c \in C^{m+1}(\overline\Omega)$、$f \in H^m(\Omega)$ ならば $u \in H^{m+2}(\Omega)$ であり、すべてが $C^\infty$ 級ならば $u \in C^\infty(\overline\Omega)$。

証明（境界を平坦化し、接線方向には差分商を使い、法線方向の 2 階導関数は方程式から求める）は Evans の第6章を参照。こうして、たとえば滑らかな有界領域上の $-\Delta u = f$（$f \in C^\infty(\overline\Omega)$）、$u = 0$（$\partial\Omega$ で）は、ラックス–ミルグラムの定理で作った弱解 $u \in H_0^1$ が $C^\infty(\overline\Omega)$ に属する古典解となる。弱解を作り、正則性で古典解に戻るという流れが完結する。

4.7 最大値原理

定理 4.17（弱最大値原理）仮定 (A) に加えて $b = 0$、$c \geq 0$ とする。$u \in H^1(\Omega)$ が、$v \geq 0$ となるすべての $v \in H_0^1(\Omega)$ について $B[u, v] \leq 0$（弱い意味で $Lu \leq 0$）をみたし、$u^+ \in H_0^1(\Omega)$（弱い意味で $\partial\Omega$ 上 $u \leq 0$）ならば、$\Omega$ で a.e. に $u \leq 0$ である。

証明. $v = u^+ \geq 0$ を代入する。命題 3.5 (3) により $\nabla u^+ = \mathbf{1}_{\lbrace u > 0\rbrace}\nabla u$ だから

よって $\nabla u^+ = 0$ で、$u^+ \in H_0^1$ だからポアンカレの不等式により $u^+ = 0$、すなわち $u \leq 0$ a.e. $\square$

系 4.18（比較原理と一意性）定理 4.17 の仮定の $L$ について、$u_1, u_2 \in H^1(\Omega)$ が弱い意味で $Lu_1 \leq Lu_2$、かつ $(u_1 - u_2)^+ \in H_0^1(\Omega)$ ならば $u_1 \leq u_2$ a.e. また、$c = 0$ で弱い意味で $Lu \leq 0$ ならば、$(u - M)^+ \in H_0^1$ となる任意の定数 $M$ について $u \leq M$（「最大値は境界でとる」）。

証明. 前半は $u = u_1 - u_2$ に定理 4.17 を適用。後半は $c = 0$ なら $B[u - M, v] = B[u, v]$ であることによる。$\square$

$c < 0$ では成り立たない：例 4.8 の $u = \sin\pi x$ は $Lu = 0$、境界で $0$ だが内部で正である。古典解に対しては、非発散形式の作用素 $Lu = -\sum a^{ij}\partial_i\partial_ju + \sum b^i\partial_iu + cu$ についても最大値原理が成り立つ（ラプラシアンの場合は 08-differential-equations 第7章）。より精密には次が知られている。