$L^p$ 空間

この章の目標

• ヤング・ヘルダー・ミンコフスキーの不等式を証明できる
• $L^p$ 空間を定義し、その完備性（リース–フィッシャーの定理）と稠密な部分空間を扱える
• 概収束・測度収束・$L^p$ 収束の関係を証明し、反例を挙げられる
• エゴロフの定理・ルジンの定理・ヴィタリの収束定理を使える

前提：第3章、03-topology 第7章（完備距離空間）

第1章の命題 1.3 で、リーマン可積分関数の空間は距離 $\int \lvert f - g \rvert$ について完備でないことを見た。この章では、ルベーグ積分に基づく関数空間 $L^p$ が完備であることを示す。$L^p$ は関数解析（10-functional-analysis 第1章）の最も基本的な例である。以下 $(X, \mathcal{M}, \mu)$ は測度空間、関数は複素数値（実数値でもよい）とする。

4.1 ヘルダーとミンコフスキーの不等式

補題 4.1（ヤングの不等式, Young's inequality）$1 < p < \infty$、$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ とする。$a, b \geq 0$ に対して $ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$ であり、等号は $a^p = b^q$ のときに限る。

証明. $ab = 0$ なら明らか（等号は $a = b = 0$ のとき）。$a, b > 0$ なら、$\log$ の狭義凹性より $\log\left(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\right) \geq \frac{1}{p}\log a^p + \frac{1}{q}\log b^q = \log(ab)$ で、等号は $a^p = b^q$ のときに限る。$\square$

定義 4.2 $1 \leq p < \infty$ と可測関数 $f$ に対し $\lVert f \rVert_p = \left(\int \lvert f \rvert^p\ d\mu\right)^{1/p}$ とおく。$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ を満たす $q$（$p = 1$ なら $q = \infty$、$p = \infty$ なら $q = 1$）を $p$ の共役指数 (conjugate exponent) という。

定理 4.3（ヘルダーの不等式, Hölder's inequality）$1 < p < \infty$、$q$ を共役指数とする。可測関数 $f, g$ について $\lVert fg \rVert_1 \leq \lVert f \rVert_p \lVert g \rVert_q$。

証明. 右辺が 0 なら $f$ または $g$ が a.e. で 0 なので左辺も 0。右辺が $\infty$ なら自明。そうでなければ $F = \lvert f \rvert/\lVert f \rVert_p$、$G = \lvert g \rvert/\lVert g \rVert_q$ とおき、ヤングの不等式 $FG \leq \frac{F^p}{p} + \frac{G^q}{q}$ を積分すると $\int FG \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$。$\square$

$p = q = 2$ の場合がコーシー–シュワルツの不等式である。

定理 4.4（ミンコフスキーの不等式, Minkowski's inequality）$1 \leq p < \infty$ のとき $\lVert f + g \rVert_p \leq \lVert f \rVert_p + \lVert g \rVert_p$。

証明. $p = 1$ は $\lvert f + g \rvert \leq \lvert f \rvert + \lvert g \rvert$ を積分すればよい。$p > 1$ とし、右辺は有限とする。$\lvert f + g \rvert^p \leq (2\max\lbrace \lvert f \rvert, \lvert g \rvert \rbrace)^p \leq 2^p(\lvert f \rvert^p + \lvert g \rvert^p)$ より $\lVert f + g \rVert_p < \infty$。$(p-1)q = p$ に注意してヘルダーの不等式を使うと

$p - p/q = 1$ だから、$\lVert f + g \rVert_p > 0$ のとき両辺を $\lVert f + g \rVert_p^{p/q}$ で割ればよい。$\square$

4.2 $L^p$ 空間と完備性

$\lVert f \rVert_p = 0$ は $f = 0$（a.e.）を意味するだけなので、$\lVert \cdot \rVert_p$ はノルムではなく半ノルムである。そこで a.e. で等しい関数を同一視する。

定義 4.5（$L^p$ 空間）$1 \leq p < \infty$ とする。$\lVert f \rVert_p < \infty$ となる可測関数全体を $\mathcal{L}^p(\mu)$ とし、a.e. で等しいという同値関係で割った商空間を $L^p(\mu)$ と書く。$L^p(\mu)$ は $\lVert \cdot \rVert_p$ をノルムとしてノルム空間になる（ミンコフスキーの不等式が三角不等式）。$X \subset \mathbb{R}^n$ でルベーグ測度のときは $L^p(X)$ と書く。

定義 4.6（$L^\infty$）可測関数 $f$ の本質的上限 (essential supremum) を $\lVert f \rVert_\infty = \inf\lbrace M \geq 0 \mid \text{a.e. で } \lvert f \rvert \leq M \rbrace$ と定め、$\lVert f \rVert_\infty < \infty$ となる $f$ の同値類全体を $L^\infty(\mu)$ とする。

各 $k$ で a.e. に $\lvert f \rvert \leq \lVert f \rVert_\infty + 1/k$ だから、a.e. で $\lvert f \rvert \leq \lVert f \rVert_\infty$（下限は達成される）。したがって $\lvert fg \rvert \leq \lvert f \rvert \lVert g \rVert_\infty$（a.e.）であり、ヘルダーの不等式は $(p, q) = (1, \infty)$ でも成り立つ。三角不等式も同様である。

例 4.7 (1) 数え上げ測度の場合、$L^p(\mathbb{N})$ は $\sum_n \lvert a_n \rvert^p < \infty$ となる数列全体 $\ell^p$ である。

(2) $f(x) = \lvert x \rvert^{-a} \mathbf{1}_{\lbrace \lvert x \rvert < 1 \rbrace}$ は、$ap < 1$ のとき、かつそのときに限り $L^p(\mathbb{R})$ に属する（$\int_0^1 x^{-ap} dx < \infty \Leftrightarrow ap < 1$）。

定理 4.8（リース–フィッシャーの定理, Riesz–Fischer theorem）$1 \leq p \leq \infty$ に対し $L^p(\mu)$ はバナッハ空間（完備なノルム空間）である。さらに $1 \leq p < \infty$ のとき、$L^p$ で $f_n \to f$ ならば、a.e. で $f$ に収束する部分列が存在する。

証明. $1 \leq p < \infty$ とし、$(f_n)$ をコーシー列とする。$\lVert f_{n_{k+1}} - f_{n_k} \rVert_p < 2^{-k}$ となる部分列をとり、

とおく。部分和 $G_K$ はミンコフスキーの不等式より $\lVert G_K \rVert_p \leq \lVert f_{n_1} \rVert_p + 1$ を満たし、$G_K^p \uparrow G^p$ に単調収束定理を使えば $\lVert G \rVert_p \leq \lVert f_{n_1} \rVert_p + 1 < \infty$。よって a.e. で $G < \infty$ となり、級数 $f_{n_1} + \sum_k (f_{n_{k+1}} - f_{n_k})$ は a.e. で絶対収束する。その部分和は $f_{n_K}$ だから、$f := \lim_K f_{n_K}$ が a.e. で存在する（残りの零集合では 0 とおく）。$\lvert f_{n_K} \rvert \leq G$、$\lvert f \rvert \leq G$ より $\lvert f_{n_K} - f \rvert^p \leq 2^p G^p$（可積分）だから、優収束定理より $\lVert f_{n_K} - f \rVert_p \to 0$。コーシー列が収束部分列をもてば列自身も収束するので、$f_n \to f$。後半は、収束列はコーシー列であり、上の議論で得た部分列の a.e. 極限が $L^p$ 極限と一致することからわかる。

$p = \infty$ のとき、$N = \bigcup_{m,n} \lbrace \lvert f_n - f_m \rvert > \lVert f_n - f_m \rVert_\infty \rbrace$ は零集合で、$N$ の外で $(f_n)$ は一様コーシー列だから一様収束する。その極限を $f$ とすれば $\lVert f_n - f \rVert_\infty \leq \sup_{x \notin N} \lvert f_n(x) - f(x) \rvert \to 0$。$\square$

$p = 2$ のとき $\langle f, g \rangle = \int f \overline{g}\ d\mu$ は内積で、$L^2(\mu)$ はヒルベルト空間になる（10-functional-analysis 第2章）。

4.3 包含関係

命題 4.9 $\mu(X) < \infty$、$1 \leq p < r \leq \infty$ ならば $L^r(\mu) \subset L^p(\mu)$ で、$\lVert f \rVert_p \leq \mu(X)^{1/p - 1/r} \lVert f \rVert_r$。

証明. $r < \infty$ のとき、$\lvert f \rvert^p \cdot 1$ に指数 $r/p$ とその共役指数 $r/(r-p)$ でヘルダーの不等式を使うと $\int \lvert f \rvert^p \leq \left(\int \lvert f \rvert^r\right)^{p/r} \mu(X)^{1 - p/r}$。$1/p$ 乗すればよい。$r = \infty$ なら $\int \lvert f \rvert^p \leq \lVert f \rVert_\infty^p \mu(X)$。$\square$

例 4.10 無限測度では包含関係は成り立たない。$\mathbb{R}$ 上で $\lvert x \rvert^{-1/2}\mathbf{1}_{\lbrace \lvert x \rvert < 1 \rbrace} \in L^1 \setminus L^2$（局所的な特異性）、$(1 + \lvert x \rvert)^{-1} \in L^2 \setminus L^1$（無限遠での減衰の遅さ）。数え上げ測度では逆向きの包含 $\ell^p \subset \ell^r$（$p < r$）が成り立つ。実際、$\lvert a_n \rvert \leq \lVert a \rVert_p$ だから $\sum_n \lvert a_n \rvert^r \leq \lVert a \rVert_p^{r-p} \sum_n \lvert a_n \rvert^p$、すなわち $\lVert a \rVert_r \leq \lVert a \rVert_p$。

4.4 稠密性

定理 4.11 $1 \leq p < \infty$ のとき、$\mu(\lbrace s \neq 0 \rbrace) < \infty$ となる単関数 $s$ 全体は $L^p(\mu)$ で稠密である。単関数全体は $L^\infty(\mu)$ で稠密である。

証明. $f \in L^p$ に対し、定理 3.7 の単関数列 $s_n$（$\lvert s_n \rvert \leq \lvert f \rvert$、$s_n \to f$）をとる。$\lvert s_n - f \rvert^p \leq 2^p \lvert f \rvert^p$ だから優収束定理より $\lVert s_n - f \rVert_p \to 0$。$s_n = \sum_j a_j \mathbf{1}_{A_j}$（$a_j \neq 0$、標準形）なら $\lvert a_j \rvert^p \mu(A_j) \leq \int \lvert f \rvert^p < \infty$。$p = \infty$ では、定理 3.7 の近似が零集合を除いた有界集合 $\lbrace \lvert f \rvert \leq \lVert f \rVert_\infty \rbrace$ 上で一様収束することによる。$\square$

定理 4.12 $1 \leq p < \infty$ のとき、$C_c(\mathbb{R}^n)$ および階段関数（有界な半開直方体の定義関数の有限一次結合）全体は、それぞれ $L^p(\mathbb{R}^n)$ で稠密である。

証明. 定理 4.11 とミンコフスキーの不等式より、$\lambda(E) < \infty$ となる $\mathbf{1}_E$ を近似すればよい。$\lVert \mathbf{1}_E - \mathbf{1}_{E \cap B(0,R)} \rVert_p^p = \lambda(E \setminus B(0,R)) \to 0$（$R \to \infty$、上からの連続性）だから、$E \subset B(0, R)$ としてよい。$\varepsilon > 0$ に対し、正則性（定理 2.11）からコンパクト集合 $K$ と開集合 $U$ で $K \subset E \subset U \subset B(0, R)$、$\lambda(U \setminus K) < \varepsilon$ となるものをとる。

($C_c$) $\varphi(x) = \frac{d(x, U^c)}{d(x, U^c) + d(x, K)}$ は連続で（分母は 0 にならない）、$0 \leq \varphi \leq 1$、$K$ 上で 1、$U^c$ 上で 0 であり、台は有界閉集合 $\overline{U}$ に含まれるから $\varphi \in C_c(\mathbb{R}^n)$。$\lvert \mathbf{1}_E - \varphi \rvert \leq \mathbf{1}_{U \setminus K}$ より $\lVert \mathbf{1}_E - \varphi \rVert_p^p < \varepsilon$。

（階段関数）二つの二進立方体は入れ子か交わらないかのどちらかなので、$U$ に含まれる二進立方体のうち極大なものを集めれば、命題 1.14 より $U$ は互いに交わらない二進立方体 $Q_1, Q_2, \dots$ の和になる。$\lVert \mathbf{1}_U - \mathbf{1}_{Q_1 \cup \cdots \cup Q_N} \rVert_p^p = \lambda\left(\bigcup_{j > N} Q_j\right) \to 0$ で、$\lVert \mathbf{1}_E - \mathbf{1}_U \rVert_p^p < \varepsilon$。$\square$

$L^\infty$ では成り立たない：連続関数 $\varphi$ に対し常に $\lVert \mathbf{1}_{[0, \infty)} - \varphi \rVert_\infty \geq \frac{1}{2}$ である（$\varphi(0)$ の近くで考えよ）。第1章の命題 1.3 と合わせると、$L^1[0,1]$ は階段関数を含み、リーマン可積分関数の空間の完備化になっている。

系 4.13（平行移動の連続性）$1 \leq p < \infty$、$f \in L^p(\mathbb{R}^n)$ とし、$\tau_h f(x) = f(x + h)$ とおく。$h \to 0$ のとき $\lVert \tau_h f - f \rVert_p \to 0$。

証明. $g \in C_c$ なら、$\lvert h \rvert \leq 1$ で $\tau_h g - g$ の台は固定された有界集合 $B$ に含まれ、一様連続性から $\lVert \tau_h g - g \rVert_p \leq \sup \lvert \tau_h g - g \rvert\ \lambda(B)^{1/p} \to 0$。一般の $f$ は、ルベーグ測度の平行移動不変性から $\lVert \tau_h u \rVert_p = \lVert u \rVert_p$ なので $\lVert \tau_h f - f \rVert_p \leq 2\lVert f - g \rVert_p + \lVert \tau_h g - g \rVert_p$ と評価し、定理 4.12 を使う。$\square$

$p = \infty$ では成り立たない（$f = \mathbf{1}_{[0, \infty)}$ なら $h \neq 0$ で $\lVert \tau_h f - f \rVert_\infty = 1$）。

例 4.14（リーマン–ルベーグの補題）$f \in L^1(\mathbb{R})$ ならば $\int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-i\xi x}\ dx \to 0$（$\lvert \xi \rvert \to \infty$）。$f = \mathbf{1}_{(a, b]}$ なら積分は $\frac{e^{-i\xi b} - e^{-i\xi a}}{-i\xi}$ で絶対値は $2/\lvert \xi \rvert$ 以下、したがって階段関数でも成り立つ。一般の $f$ には、積分の差が $\lVert f - g \rVert_1$ 以下であることと定理 4.12 を使う。「稠密な部分集合で示して、一様な評価で広げる」のは $L^p$ 理論の定石である。

4.5 収束の諸概念

定義 4.15（測度収束, convergence in measure）可測関数列 $f_n$ が $f$ に測度収束するとは、任意の $\varepsilon > 0$ について $\mu(\lbrace \lvert f_n - f \rvert > \varepsilon \rbrace) \to 0$ となることをいう。

確率論では確率収束と呼ばれる。a.e. 収束（概収束）、測度収束、$L^p$ 収束の関係は次のとおりである。

定理 4.16 可測関数（有限値）$f_n, f$ について次が成り立つ。

1. $1 \leq p < \infty$ で $\lVert f_n - f \rVert_p \to 0$ ならば、$f_n$ は $f$ に測度収束する。
2. $\mu(X) < \infty$ で $f_n \to f$（a.e.）ならば、$f_n$ は $f$ に測度収束する。
3. $f_n$ が $f$ に測度収束すれば、a.e. で $f$ に収束する部分列が存在する。

証明. 1. チェビシェフの不等式より $\mu(\lbrace \lvert f_n - f \rvert > \varepsilon \rbrace) \leq \varepsilon^{-p} \lVert f_n - f \rVert_p^p$。

2. $E_n = \lbrace \lvert f_n - f \rvert > \varepsilon \rbrace$ とおくと、$\limsup_n E_n$ の点では $f_n \to f$ とならないので $\mu(\limsup_n E_n) = 0$。有限測度だから問題 1.3 (2) より $\limsup_n \mu(E_n) \leq \mu(\limsup_n E_n) = 0$。

3. $n_1 < n_2 < \cdots$ を $\mu(\lbrace \lvert f_{n_k} - f \rvert > 2^{-k} \rbrace) < 2^{-k}$ ととる。ボレル–カンテリの補題より、a.e. の $x$ は有限個の $k$ を除いて $\lvert f_{n_k}(x) - f(x) \rvert \leq 2^{-k}$ を満たすので、$f_{n_k}(x) \to f(x)$。$\square$

例 4.17（反例の一覧）第3章の四つの列（極限はいずれも 0）について、収束するものを ○、しないものを × で示す。

逃げる質量は定理 4.16 の 2 で有限測度の仮定が必要なことを、動く山は 3 で「部分列」が必要なことを示す（動く山の部分列 $\mathbf{1}_{[0, 2^{-k}]}$ は $(0, 1]$ で 0 に収束する）。広がる山は $p > 1$ なら $\lVert \frac{1}{n}\mathbf{1}_{[0,n]} \rVert_p = n^{1/p - 1} \to 0$ で $L^p$ 収束する。

4.6 エゴロフの定理とルジンの定理

リトルウッドは実解析の「三原理」として、（有限測度の）可測集合はほぼ区間の有限和、可測関数はほぼ連続、各点収束する列はほぼ一様収束する、と述べた。後の二つを正確にしたのが次の二定理である。

定理 4.18（エゴロフの定理, Egorov's theorem）$\mu(X) < \infty$ とし、有限値の可測関数列 $f_n$ が a.e. で有限値の可測関数 $f$ に収束するとする。任意の $\varepsilon > 0$ に対し、$\mu(E) < \varepsilon$ となる $E \in \mathcal{M}$ で、$X \setminus E$ 上で $f_n \to f$ が一様収束となるものが存在する。

証明. $E_{k,N} = \bigcup_{n \geq N} \lbrace \lvert f_n - f \rvert \geq 1/k \rbrace$ は $N$ について減少し、$\bigcap_N E_{k,N}$ の点では $f_n \to f$ とならないから、$\mu\left(\bigcap_N E_{k,N}\right) = 0$。有限測度なので上からの連続性より $\mu(E_{k,N}) \to 0$（$N \to \infty$）。$N_k$ を $\mu(E_{k,N_k}) < \varepsilon 2^{-k}$ ととり $E = \bigcup_k E_{k,N_k}$ とおくと $\mu(E) < \varepsilon$ で、$X \setminus E$ 上では $n \geq N_k$ のとき $\lvert f_n - f \rvert < 1/k$。$\square$

有限測度の仮定は外せない：逃げる質量 $\mathbf{1}_{[n,n+1]}$ が $\mathbb{R} \setminus E$ 上で一様に 0 に収束すれば、十分大きい $n$ で $[n, n+1] \subset E$ となり $\lambda(E) = \infty$。また $E$ を零集合にはできない：$[0,1]$ 上の $x^n$ は a.e. で 0 に収束するが、零集合 $N$ を除いても $[0, 1) \setminus N$ は 1 のいくらでも近くに点をもつので、一様収束しない。

定理 4.19（ルジンの定理, Lusin's theorem）$f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ をルベーグ可測とする。任意の $\varepsilon > 0$ に対し、閉集合 $F$ で $\lambda(\mathbb{R}^n \setminus F) < \varepsilon$ かつ $f\vert_F$ が連続となるものが存在する。さらに、$g = f$ が $F$ 上で成り立つ $g \in C(\mathbb{R}^n)$ が存在し、$\lvert f \rvert \leq M$ なら $\lvert g \rvert \leq M$ ととれる。

証明. 有理数を端点とする開区間を $I_1, I_2, \dots$ と並べ、$E_j = f^{-1}(I_j)$ とおく。正則性より、開集合 $U_j$ と閉集合 $F_j$ で $F_j \subset E_j \subset U_j$、$\lambda(U_j \setminus F_j) < \varepsilon 2^{-j}$ となるものをとり、$F = \bigcap_j (F_j \cup U_j^c)$ とおく。$F$ は閉集合で、$\mathbb{R}^n \setminus F \subset \bigcup_j (U_j \setminus F_j)$ より $\lambda(\mathbb{R}^n \setminus F) < \varepsilon$。

$F \cap E_j = F \cap U_j$ である。実際、$x \in F \cap E_j$ なら $x \in U_j$。逆に $x \in F \cap U_j$ なら $x \in F_j \cup U_j^c$ かつ $x \in U_j$ より $x \in F_j \subset E_j$。よって $(f\vert_F)^{-1}(I_j) = F \cap U_j$ は $F$ の相対開集合である。$\mathbb{R}$ の開集合は $I_j$ たちの和だから、$f\vert_F$ は連続である。後半はティーツェの拡張定理（03-topology 第4章）による。$\square$

4.7 一様可積分性とヴィタリの収束定理

優収束定理は十分条件にすぎなかった（注意 3.20）。$L^1$ 収束の必要十分条件を与えるのが一様可積分性である。この節では $\mu(X) < \infty$ とする。

定義 4.20（一様可積分, uniformly integrable）可積分関数の族 $\lbrace f_n \rbrace$ が $\lim_{M \to \infty} \sup_n \int_{\lbrace \lvert f_n \rvert > M \rbrace} \lvert f_n \rvert\ d\mu = 0$ を満たすとき、一様可積分であるという。

命題 4.21 $\lbrace f_n \rbrace$ が一様可積分であることは、次の二条件と同値である。(a) $\sup_n \lVert f_n \rVert_1 < \infty$。(b)（一様絶対連続性）任意の $\varepsilon > 0$ に対し $\delta > 0$ があって、$\mu(E) < \delta$ ならば $\sup_n \int_E \lvert f_n \rvert < \varepsilon$。

証明. （⇒）$\int_E \lvert f_n \rvert \leq M\mu(E) + \int_{\lbrace \lvert f_n \rvert > M \rbrace} \lvert f_n \rvert$ で、$M$ を第2項が $\varepsilon/2$ 未満となるようにとれば、$E = X$ として (a)、$\delta = \varepsilon/(2M)$ として (b) を得る。（⇐）チェビシェフの不等式より $\mu(\lbrace \lvert f_n \rvert > M \rbrace) \leq \sup_k \lVert f_k \rVert_1 / M$ で、これが $\delta$ 未満になるよう $M$ を大きくとり (b) を使う。$\square$

例 4.22 (1) 可積分な $g$ で $\lvert f_n \rvert \leq g$ なら一様可積分である（$\int_{\lbrace \lvert f_n \rvert > M \rbrace} \lvert f_n \rvert \leq \int_{\lbrace g > M \rbrace} g \to 0$）。(2) ある $p > 1$ で $\sup_n \lVert f_n \rVert_p < \infty$ なら一様可積分である（$\lvert f_n \rvert > M$ 上で $\lvert f_n \rvert \leq M^{1-p}\lvert f_n \rvert^p$）。(3) 集中する山 $n\mathbf{1}_{(0, 1/n)}$ は $L^1$ で有界だが、$n > M$ で $\int_{\lbrace f_n > M \rbrace} f_n = 1$ だから一様可積分でない。(4) 注意 3.20 の $f_n = n\mathbf{1}_{(1/(n+1), 1/n]}$ は、$n > M$ で $\int_{\lbrace f_n > M \rbrace} f_n = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{M}$ だから一様可積分だが、優関数をもたない。

定理 4.23（ヴィタリの収束定理, Vitali convergence theorem）$\mu(X) < \infty$ とする。$f_n \in L^1(\mu)$ が a.e. で可測関数 $f$ に収束し、$\lbrace f_n \rbrace$ が一様可積分ならば、$f \in L^1(\mu)$ かつ $\lVert f_n - f \rVert_1 \to 0$。逆に $f_n, f \in L^1$ で $\lVert f_n - f \rVert_1 \to 0$ ならば $\lbrace f_n \rbrace$ は一様可積分である。

証明. ファトゥの補題より $\int \lvert f \rvert \leq \liminf_n \int \lvert f_n \rvert < \infty$。$\varepsilon > 0$ に対し、命題 4.21 (b) と問題 3.4 から、$\mu(E) < \delta$ ならば $\sup_n \int_E \lvert f_n \rvert < \varepsilon$ かつ $\int_E \lvert f \rvert < \varepsilon$ となる $\delta$ をとる。エゴロフの定理より $\mu(E) < \delta$ で $X \setminus E$ 上 $f_n \to f$ が一様収束となる $E$ をとれば

の右辺第1項は 0 に収束し、残りは $2\varepsilon$ 未満である。逆は、(a) は明らかで、(b) は $\int_E \lvert f_n \rvert \leq \int_E \lvert f \rvert + \lVert f_n - f \rVert_1$ と、有限個の関数 $f_1, \dots, f_N, f$ に問題 3.4 を適用すればよい。$\square$

無限測度では、一様可積分性に加えて「質量が無限遠へ逃げない」条件（緊密性 (tightness)：任意の $\varepsilon$ に対し $\mu(A) < \infty$ で $\sup_n \int_{X \setminus A} \lvert f_n \rvert < \varepsilon$ となる $A$ がある）を課せば同じ結論が成り立つ（$A$ 上で上の定理を使う）。逃げる質量 $\mathbf{1}_{[n, n+1]}$ は定義 4.20 の条件を満たすが緊密でない。

まとめ

• ヤングの不等式からヘルダーの不等式、そこからミンコフスキーの不等式（三角不等式）が導かれる。
• a.e. で等しい関数を同一視して $L^p$ 空間を作る。$L^p$ は $1 \leq p \leq \infty$ でバナッハ空間であり（リース–フィッシャー）、$L^p$ 収束列は a.e. 収束する部分列をもつ。
• 有限測度なら $p < r$ で $L^r \subset L^p$。無限測度では一般に包含関係はない。
• $1 \leq p < \infty$ で単関数・$C_c$・階段関数は稠密であり、平行移動は $L^p$ で連続である。$L^\infty$ ではこれらは成り立たない。
• $L^p$ 収束 ⇒ 測度収束 ⇒ 部分列の a.e. 収束。有限測度なら a.e. 収束 ⇒ 測度収束。逆向きは四つの典型例で否定される。
• エゴロフ（a.e. 収束はほぼ一様収束）とルジン（可測関数はほぼ連続）は有限測度・正則性に基づく。
• 有限測度では、a.e. 収束する列が $L^1$ 収束するための必要十分条件は一様可積分性である（ヴィタリ）。

演習問題