完備距離空間

この章の目標

• コーシー列と完備性を理解し、完備な例（$\mathbb{R}^n$、$C(X)$、有界関数の空間）と完備でない例を区別できる
• 距離空間の完備化を構成し、その一意性を証明できる
• 縮小写像の原理を証明し、連立一次方程式・積分方程式に応用できる
• ベールのカテゴリー定理を証明し、「ほとんどすべて」の意味での存在証明に使える
• ストーン–ワイエルシュトラスの定理を証明し、多項式・三角多項式による一様近似を導ける

前提：第1章、第4章、第5章

$\mathbb{Q}$ では $1, 1.4, 1.41, 1.414, \dots$ のように「互いにいくらでも近づく」のに極限をもたない数列がある。実数の連続性はこの欠陥を埋めるもので、微分積分学のほとんどの存在定理（中間値の定理、最大値の定理、級数の収束）はそこから導かれた。本章では、この性質を一般の距離空間で扱う。完備性は、「解を近似する列を作れば、極限として解が存在する」という形の存在証明を可能にする。縮小写像の原理とベールのカテゴリー定理は、その代表的な道具である。

7.1 コーシー列と完備性

定義 7.1（コーシー列, 完備）距離空間 $(X, d)$ の点列 $(x_n)$ が

$$\forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall m, n \geq N,\ d(x_m, x_n) < \varepsilon$$

をみたすときコーシー列 (Cauchy sequence) という。$X$ のすべてのコーシー列が $X$ の点に収束するとき、$X$ は完備 (complete) であるという。

命題 7.2

1. 収束列はコーシー列である。
2. コーシー列は有界である。
3. 収束部分列をもつコーシー列は収束する。

証明. 1. $x_n \to a$ なら $d(x_m, x_n) \leq d(x_m, a) + d(a, x_n)$。2. $m, n \geq N$ で $d(x_m, x_n) < 1$ となる $N$ をとれば、すべての項は $x_N$ から距離 $\max(1, d(x_1, x_N), \dots, d(x_{N-1}, x_N))$ 以内にある。3. 定理 5.20 の証明（2 $\Rightarrow$ 3）で示した。$\square$

例 7.3（完備な空間）

1. $\mathbb{R}$ は完備である（コーシーの収束判定法、微分積分学 第2章）。
2. $(\mathbb{R}^n, d_2)$ は完備である。不等式 (1)（第1章）より、コーシー列の各成分は実数のコーシー列なので収束し、成分ごとの収束は $d_2$ での収束と同値である。
3. 離散距離空間は完備である（コーシー列は $\varepsilon = 1/2$ として、ある番号以降定数）。
4. コンパクト距離空間は完備である（定理 5.20）。

例 7.4（完備でない空間）

1. $\mathbb{Q}$：$\sqrt{2}$ の小数近似の列は $\mathbb{Q}$ のコーシー列だが、$\mathbb{Q}$ に極限をもたない。
2. $(0, 1)$：$1/n$ はコーシー列だが $(0, 1)$ に極限をもたない。$(0, 1)$ は完備な $\mathbb{R}$ と同相なので、完備性は位相的性質でない（例 1.36 も参照）。
3. $(C[0, 1], d_1)$：問題 7.1 を参照。
4. $(\mathbb{Q}, \rho_p)$（$p$ 進距離）も完備でない。その完備化が $p$ 進数体 $\mathbb{Q}_p$ である（例 7.12）。

命題 7.5 $A$ を距離空間 $X$ の部分集合とする。

1. $A$ が（部分距離空間として）完備ならば、$A$ は $X$ の閉集合である。
2. $X$ が完備で $A$ が閉集合ならば、$A$ は完備である。

証明. 1. $a \in \overline{A}$ なら $A$ の点列 $a_n \to a$ があり（命題 1.25）、$(a_n)$ は $A$ のコーシー列なので $A$ の点 $a'$ に収束する。極限の一意性より $a = a' \in A$。2. $A$ のコーシー列は $X$ で収束し、$A$ が閉なので極限は $A$ に属する。$\square$

次の定理が関数空間の完備性の基本である。集合 $S$ 上の有界な実数値関数全体を $B(S)$ とし、一様距離 $d_\infty(f, g) = \sup_{s \in S} \lvert f(s) - g(s) \rvert$ を入れる。位相空間 $X$ 上の有界な実数値連続関数全体を $C_b(X) \subset B(X)$ と書く。

定理 7.6（関数空間の完備性）

1. $(B(S), d_\infty)$ は完備である。
2. 位相空間 $X$ について、$C_b(X)$ は $B(X)$ の閉集合であり、したがって完備である。
3. $X$ がコンパクトなら $C(X) = C_b(X)$ であり、$(C(X), d_\infty)$ は完備である。特に $(C[a, b], d_\infty)$ は完備である。

証明. 1. $(f_n)$ をコーシー列とする。各 $s$ で $\lvert f_m(s) - f_n(s) \rvert \leq d_\infty(f_m, f_n)$ なので $(f_n(s))$ は実数のコーシー列で、極限 $f(s)$ をもつ。$\varepsilon > 0$ に対し $m, n \geq N$ で $d_\infty(f_m, f_n) < \varepsilon$ とすると、各 $s$ で $\lvert f_n(s) - f_m(s) \rvert < \varepsilon$。$m \to \infty$ として、$n \geq N$ ならすべての $s$ で $\lvert f_n(s) - f(s) \rvert \leq \varepsilon$。よって $f$ は有界（$\lvert f \rvert \leq \lvert f_N \rvert + \varepsilon$）で $f \in B(S)$、かつ $d_\infty(f_n, f) \leq \varepsilon$（$n \geq N$）なので $f_n \to f$。

2. $C_b(X)$ の点列が $B(X)$ で $f$ に収束するなら、それは一様収束なので補題 4.10 より $f$ は連続。よって $C_b(X)$ は閉で、命題 7.5 より完備。

3. コンパクト空間上の連続関数は有界（系 5.9）。$\square$

例 7.7（数列空間の予告）有界な実数列全体 $\ell^\infty = B(\mathbb{N})$ は定理 7.6 より完備である。$1 \leq p < \infty$ に対し $\sum \lvert x_n \rvert^p < \infty$ となる数列全体 $\ell^p$ に距離 $d_p(x, y) = (\sum \lvert x_n - y_n \rvert^p)^{1/p}$ を入れた空間も完備である（関数解析 第1章）。完備なノルム空間をバナッハ空間という。

7.2 完備化

$\mathbb{Q}$ に「足りない点」を補うと $\mathbb{R}$ が得られる。任意の距離空間でこれができる。

定義 7.8（完備化, completion）距離空間 $X$ の完備化とは、完備距離空間 $\hat{X}$ と等長写像 $\iota\colon X \to \hat{X}$ の組で、$\iota(X)$ が $\hat{X}$ で稠密なものをいう。

補題 7.9（一様連続写像の拡張）$A$ を距離空間 $X$ の稠密な部分集合、$Y$ を完備距離空間、$f\colon A \to Y$ を一様連続写像とする。$f$ はただ一つの連続写像 $F\colon X \to Y$ に拡張でき、$F$ は一様連続である。$f$ が等長写像なら $F$ も等長写像である。

証明. （定義）$x \in X$ に対し $A$ の点列 $a_n \to x$ をとる（稠密性と命題 1.25）。$(a_n)$ はコーシー列で、一様連続写像はコーシー列をコーシー列に写す（$\varepsilon$ に対する $\delta$ をとり、$d(a_m, a_n) < \delta$ となる番号以降を考えればよい）ので、$(f(a_n))$ は $Y$ のコーシー列であり、極限をもつ。$F(x) = \lim f(a_n)$ とおく。別の列 $a'_n \to x$ をとっても、交互に並べた列 $a_1, a'_1, a_2, a'_2, \dots$ も $x$ に収束するので、その像も収束し、2 つの極限は一致する。よって $F$ は well-defined で、$a \in A$ なら定数列をとって $F(a) = f(a)$。

（一様連続性）$\varepsilon > 0$ に対し、$f$ の一様連続性の $\delta$ をとる。$d(x, x') < \delta$ なら $a_n \to x$, $a'_n \to x'$ について $d(a_n, a'_n) \to d(x, x')$（問題 1.1）なので、十分大きな $n$ で $d(a_n, a'_n) < \delta$、したがって $e(f(a_n), f(a'_n)) < \varepsilon$。$n \to \infty$ として $e(F(x), F(x')) \leq \varepsilon$。

（一意性）2 つの連続な拡張は稠密集合 $A$ 上で一致するので、$Y$ がハウスドルフであることから一致する（問題 4.4）。$f$ が等長写像なら $e(F(x), F(x')) = \lim e(f(a_n), f(a'_n)) = \lim d(a_n, a'_n) = d(x, x')$。$\square$

定理 7.10（完備化の存在と一意性）任意の距離空間 $X$ は完備化 $(\hat{X}, \iota)$ をもつ。また $(Y, j)$ を別の完備化とすると、$\Phi \circ \iota = j$ となる全単射な等長写像 $\Phi\colon \hat{X} \to Y$ がただ一つ存在する。

証明. （構成）$X$ のコーシー列全体を $\mathcal{C}$ とし、$(x_n) \sim (y_n) \Leftrightarrow d(x_n, y_n) \to 0$ と定める。これは同値関係である（推移律は三角不等式による）。$\hat{X} = \mathcal{C}/{\sim}$ とし、$(x_n)$ の同値類を $[x_n]$ と書く。

（距離）問題 1.1 より $\lvert d(x_m, y_m) - d(x_n, y_n) \rvert \leq d(x_m, x_n) + d(y_m, y_n)$ なので $(d(x_n, y_n))$ は実数のコーシー列で、極限をもつ。$\hat{d}([x_n], [y_n]) = \lim d(x_n, y_n)$ とおく。$(x_n) \sim (x'_n)$, $(y_n) \sim (y'_n)$ なら同じ不等式で $\lvert d(x_n, y_n) - d(x'_n, y'_n) \rvert \leq d(x_n, x'_n) + d(y_n, y'_n) \to 0$ なので、$\hat{d}$ は代表元によらない。(D1)：$\hat{d} \geq 0$ で、$\hat{d} = 0$ は $\sim$ の定義そのもの。(D2)(D3) は $d$ の対称性・三角不等式の極限をとればよい。

（埋め込み）$\iota(x) = [x, x, x, \dots]$ は明らかに等長写像。

（稠密性）$\xi = [x_n] \in \hat{X}$ とする。$\varepsilon > 0$ に対し $m, n \geq N$ で $d(x_m, x_n) < \varepsilon$ とすると、$m \geq N$ なら $\hat{d}(\iota(x_m), \xi) = \lim_n d(x_m, x_n) \leq \varepsilon$。よって $\iota(x_m) \to \xi$。

（完備性）$(\xi_k)$ を $\hat{X}$ のコーシー列とする。稠密性から $\hat{d}(\iota(x_k), \xi_k) < 1/k$ となる $x_k \in X$ を選ぶ。

なので $(x_k)$ は $X$ のコーシー列であり、$\xi = [x_k] \in \hat{X}$ が定まる。$\hat{d}(\xi_k, \xi) \leq 1/k + \hat{d}(\iota(x_k), \xi) = 1/k + \lim_l d(x_k, x_l)$ で、右辺は $(x_k)$ がコーシー列であることから $k \to \infty$ で $0$ に近づく。よって $\xi_k \to \xi$。

（一意性）$j \circ \iota^{-1}\colon \iota(X) \to Y$ は等長写像なので、補題 7.9 により等長写像 $\Phi\colon \hat{X} \to Y$ に一意に拡張される。$\Phi(\hat{X})$ は完備（等長同型な像）なので $Y$ の閉集合（命題 7.5）で、稠密な $j(X)$ を含むから $\Phi(\hat{X}) = Y$。等長写像は単射なので $\Phi$ は全単射。$\Phi \circ \iota = j$ をみたす連続写像の一意性も補題 7.9 による。$\square$

例 7.11 問題 1.10 のクラトフスキーの埋め込み $X \to B(X)$ を使うと、$B(X)$ は完備（定理 7.6）なので、像の閉包として完備化が得られる。これは定理 7.10 の別証明である。

例 7.12

1. $\mathbb{Q}$（通常の距離）の完備化は $\mathbb{R}$ である（$\mathbb{Q}$ は $\mathbb{R}$ で稠密で $\mathbb{R}$ は完備だから、一意性による）。逆に、$\mathbb{R}$ の存在を仮定せずに定理 7.10 の構成（距離の値として $\mathbb{Q}$ を使うよう修正したもの）で $\mathbb{R}$ を定義することもできる。これはカントールによる実数の構成である（数学の言葉 第7章）。
2. $(\mathbb{Q}, \rho_p)$ の完備化が $p$ 進数体 $\mathbb{Q}_p$ である（代数的整数論 第5章）。
3. $(C[a, b], d_1)$ の完備化は、ルベーグ可積分関数の空間 $L^1[a, b]$ と同一視できる（測度と積分 第4章；ここでは証明しない）。

7.3 縮小写像の原理

定義 7.13（縮小写像, contraction）距離空間の写像 $f\colon X \to X$ が、ある定数 $0 \leq k < 1$ について常に $d(f(x), f(y)) \leq k\ d(x, y)$ をみたすとき、縮小写像という。

定理 7.14（縮小写像の原理, バナッハの不動点定理）$X$ を空でない完備距離空間、$f\colon X \to X$ を縮小写像（定数 $k$）とする。

1. $f$ はただ一つの不動点 $x^{\ast}$（$f(x^{\ast}) = x^{\ast}$）をもつ。
2. 任意の $x_0 \in X$ から $x_{n+1} = f(x_n)$ で定めた点列は $x^{\ast}$ に収束し、次の誤差評価が成り立つ。

$$d(x_n, x^{\ast}) \leq \frac{k^n}{1 - k}\ d(x_0, x_1)$$

証明. 帰納法で $d(x_{n+1}, x_n) \leq k^n d(x_1, x_0)$。$m > n$ なら

で、$k^n \to 0$ なので $(x_n)$ はコーシー列であり、極限 $x^{\ast}$ をもつ。縮小写像はリプシッツ連続なので $f(x^{\ast}) = \lim f(x_n) = \lim x_{n+1} = x^{\ast}$。上の不等式で $m \to \infty$ とすれば誤差評価を得る。$y^{\ast}$ も不動点なら $d(x^{\ast}, y^{\ast}) = d(f(x^{\ast}), f(y^{\ast})) \leq k\ d(x^{\ast}, y^{\ast})$ で、$k < 1$ より $d(x^{\ast}, y^{\ast}) = 0$。$\square$

この定理は構成的である：不動点の存在を示すだけでなく、それを求める反復法と収束の速さを与える。

注意 7.15（仮定は落とせない）

• 完備性：$X = (0, 1]$、$f(x) = x/2$ は縮小写像だが不動点をもたない（反復列は $0 \notin X$ に向かう）。
• 一様な縮小率 $k < 1$：$X = [1, \infty)$（完備）、$f(x) = x + 1/x$ とする。$f(X) \subset [2, \infty) \subset X$ で、$x \neq y$ なら $\lvert f(x) - f(y) \rvert = \lvert x - y \rvert (1 - 1/(xy)) < \lvert x - y \rvert$ だが、$x + 1/x = x$ は解をもたない。縮小率 $1 - 1/(xy)$ が $1$ にいくらでも近づくことが問題である。

例 7.16（連立一次方程式）$n$ 次正方行列 $B = (b_{ij})$ が $k = \max_i \sum_j \lvert b_{ij} \rvert < 1$ をみたすとする。$c \in \mathbb{R}^n$ に対し $f(x) = Bx + c$ は $(\mathbb{R}^n, d_\infty)$ 上の縮小写像である：

よって $x = Bx + c$ はただ一つの解をもち、反復 $x_{n+1} = Bx_n + c$ で求まる。たとえば $A = (a_{ij})$ が狭義対角優位（各 $i$ で $\sum_{j \neq i} \lvert a_{ij} \rvert < \lvert a_{ii} \rvert$）なら、$Ax = b$ は $x_i = (b_i - \sum_{j \neq i} a_{ij} x_j)/a_{ii}$ と書き直せ、この右辺は上の条件をみたす。したがって $A$ は正則で、反復法（ヤコビ法）は解に収束する。

例 7.17（積分方程式と常微分方程式）

(a) フレドホルム型積分方程式。$g \in C[a, b]$、$K$ を $[a, b]^2$ 上の連続関数で $\lvert K \rvert \leq M$ とし、未知関数 $f \in C[a, b]$ についての方程式

を考える。右辺を $(Tf)(x)$ とおく。$K$ は一様連続（定理 5.22）なので $Tf$ は連続であり、$T\colon C[a, b] \to C[a, b]$ で

が成り立つ。$\lvert \lambda \rvert M (b - a) < 1$ なら $T$ は完備空間 $C[a, b]$（定理 7.6）上の縮小写像で、方程式はただ一つの連続解をもつ。上限を $x$ まで（$\int_a^x$）にしたヴォルテラ型なら、$\lambda$ の大きさによらず解が一意に存在する（問題 7.4）。

(b) 常微分方程式（予告）。初期値問題 $y' = F(t, y)$, $y(t_0) = y_0$ は、積分方程式 $y(t) = y_0 + \int_{t_0}^t F(s, y(s))\ ds$ と同値である。$F$ が $y$ についてリプシッツ連続なら、右辺の写像は（区間を十分短くとるか、重みつきの一様距離を使えば）縮小写像になり、解の存在と一意性が従う。これがピカール–リンデレーフの定理であり、微分方程式 第2章で詳しく扱う。多変数の逆関数定理の証明（微分積分学 第8章）も縮小写像の原理を用いる。

7.4 ベールのカテゴリー定理

「ほとんどすべての点で成り立つ」をどう定式化するか。測度論では「測度 0 の集合を除いて」と言う。位相的には「小さい集合」を次のように定める。

定義 7.18 位相空間 $X$ の部分集合 $A$ について：

• $\overline{A}$ の内部が空のとき、$A$ は疎（至る所稠密でない, nowhere dense）であるという。
• 可算個の疎な集合の和集合を第一類集合（痩せた集合, meager set）といい、第一類でない集合を第二類集合という。
• 補集合が第一類である集合を剰余集合（comeager / residual）という。
• 可算個の開集合の共通部分を $G_\delta$ 集合という。

$A$ が疎 $\Leftrightarrow$ $X \setminus \overline{A}$ が稠密な開集合、である。たとえば $\mathbb{R}$ で有限集合、$\mathbb{Z}$、カントール集合は疎であり、$\mathbb{Q}$ は（1 点集合の可算和なので）第一類だが疎ではない。

定理 7.19（ベールのカテゴリー定理, Baire category theorem）$X$ を完備距離空間とする。

1. 稠密な開集合の可算族 $U_1, U_2, \dots$ に対し、$\bigcap_n U_n$ は $X$ で稠密である。
2. $X \neq \emptyset$ が閉集合の可算和 $X = \bigcup_n F_n$ に書けるなら、ある $F_n$ は内点をもつ。同値だが、空でない完備距離空間は第一類集合でない。

証明. 1. 空でない開集合 $W$ をとり、$W \cap \bigcap_n U_n \neq \emptyset$ を示す。$U_1$ は稠密な開集合なので $W \cap U_1$ は空でない開集合で、$B(x_1, 2r_1) \subset W \cap U_1$、$0 < r_1 < 1$ となる $x_1, r_1$ があり、閉球について $D(x_1, r_1) \subset W \cap U_1$。$x_n, r_n$ が定まったら、$B(x_n, r_n) \cap U_{n+1}$ は空でない開集合なので、同様に

となる $x_{n+1}, r_{n+1}$ がとれる。$m > n$ なら $x_m \in B(x_n, r_n)$ なので $d(x_m, x_n) < r_n < 1/n$ で、$(x_n)$ はコーシー列である。完備性から $x_m \to x$ となる $x$ がある。各 $n$ について、$m \geq n$ なら $x_m \in D(x_n, r_n)$ で、$D(x_n, r_n)$ は閉なので $x \in D(x_n, r_n) \subset W \cap U_n$。よって $x \in W \cap \bigcap_n U_n$。

2. すべての $F_n$ の内部が空なら $U_n = X \setminus F_n$ は稠密な開集合で、1 より $\bigcap U_n$ は稠密、特に空でない。その点はどの $F_n$ にも属さず、$X = \bigcup F_n$ に反する。後半：第一類 $X = \bigcup A_n$（$A_n$ は疎）なら $X = \bigcup \overline{A_n}$ で、各 $\overline{A_n}$ は内点をもたないので前半に反する。$\square$

局所コンパクト・ハウスドルフ空間でも同じ結論が成り立つ（証明は、閉球の代わりにコンパクトな閉包をもつ開集合（命題 5.36）の減少列を作り、有限交叉性（定理 5.4）を使えばよい）。この結論が成り立つ空間をベール空間という。

系 7.20 孤立点をもたない空でない完備距離空間は非可算である。特に $\mathbb{R}$ は非可算であり、$\mathbb{R}$ は可算個の点の和集合ではない。

証明. 1 点集合 $\lbrace x \rbrace$ は閉で、$x$ が孤立点でなければ内部は空。$X$ が可算なら $X = \bigcup_{x \in X} \lbrace x \rbrace$ は定理 7.19 の 2 に反する。$\square$

カントールの対角線論法とは異なる、$\mathbb{R}$ の非可算性の「位相的な」証明である（数学の言葉 第5章）。同じ議論で、カントール集合も非可算であることがわかる。

例 7.21（$\mathbb{Q}$ は $G_\delta$ 集合でない）$\mathbb{Q} = \bigcap_n G_n$（$G_n$ は開）とすると、各 $G_n$ は $\mathbb{Q}$ を含むので稠密な開集合である。また $\mathbb{Q} = \lbrace q_1, q_2, \dots \rbrace$ と並べると $\mathbb{R} \setminus \lbrace q_k \rbrace$ も稠密な開集合である。これら可算個の稠密開集合の共通部分は $\mathbb{Q} \cap (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) = \emptyset$ となり、定理 7.19 の 1 に反する。応用として、有理数の点でちょうど連続になる関数 $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ は存在しない（問題 7.5）。一方、無理数の点でちょうど連続な関数は存在する（トマエ関数）。

至る所微分不可能な連続関数

ワイエルシュトラスは、至る所微分不可能な連続関数を具体的な級数で構成した。ベールの定理を使うと、そのような関数は例外どころか「ほとんどすべて」であることがわかる。

定理 7.22 $C[0, 1]$（一様距離）において、$[0, 1)$ のどの点でも右微分可能でない関数全体は剰余集合であり、特に稠密である。

証明の概略. $n \in \mathbb{N}$ に対し

とおく。

1. $f$ がある $x \in [0, 1)$ で右微分可能なら、ある $n$ で $f \in E_n$ となる。（$h$ が小さいところでは差分商が有界、$h$ が大きいところでは $f$ の有界性から $\lvert f(x+h) - f(x) \rvert \leq 2 \lVert f \rVert_\infty$ で、$n$ を大きくとればよい。）
2. $E_n$ は閉集合である。（$f_k \in E_n$, $f_k \to f$（一様）とし、対応する $x_k \in [0, 1 - 1/n]$ の収束部分列 $x_{k_j} \to x \in [0, 1 - 1/n]$ をとる。各 $h \in (0, 1/n]$ について、一様収束と $f$ の連続性から $f_{k_j}(x_{k_j} + h) \to f(x + h)$、$f_{k_j}(x_{k_j}) \to f(x)$ なので、極限をとって $\lvert f(x + h) - f(x) \rvert \leq nh$。よって $f \in E_n$。）
3. $E_n$ の内部は空である。（任意の $f$ と $\varepsilon > 0$ に対し、$f$ に $\varepsilon/2$ 以内で近い折れ線関数 $p$ をとり、それに振幅 $\varepsilon/2$ で傾きの絶対値が非常に大きい鋸歯状の関数を加えると、どの点でも十分小さな $h > 0$ について差分商の絶対値が $n$ を超え、$E_n$ に属さない関数が $f$ の $\varepsilon$ 近傍に得られる。）

2, 3 より各 $E_n$ は疎で、$\bigcup_n E_n$ は第一類集合である。定理 7.19 より補集合は剰余集合で稠密であり、1 よりその元はどの点でも右微分可能でない。$\square$

注意 7.23 ベールの定理は関数解析の 3 つの基本原理——一様有界性原理（バナッハ–シュタインハウスの定理）、開写像定理、閉グラフ定理——の基礎である（関数解析 第3章）。たとえば「フーリエ級数が発散する連続関数が存在する」ことも、一様有界性原理を通じてベールの定理から導かれる。

7.5 ストーン–ワイエルシュトラスの定理

連続関数を多項式で一様に近似できるか（ワイエルシュトラスの近似定理）。これを大きく一般化したのが次の定理である。以下 $X$ をコンパクト・ハウスドルフ空間とし、実数値連続関数全体 $C(X)$ に一様距離を入れる。$C(X)$ の部分集合 $\mathcal{A}$ が部分代数であるとは、和・積・実数倍で閉じていることをいう。$\mathcal{A}$ が点を分離するとは、任意の $x \neq y$ に対して $f(x) \neq f(y)$ となる $f \in \mathcal{A}$ があることをいう。

まず、絶対値関数を多項式で近似する。

補題 7.24 $p_0(t) = 0$, $p_{n+1}(t) = p_n(t) + \frac{1}{2}(t - p_n(t)^2)$ で多項式 $p_n$ を定めると、$t \in [0, 1]$ で

$$0 \leq \sqrt{t} - p_n(t) \leq \frac{2}{n + 1}$$

が成り立つ。したがって $\lvert p_n(s^2) - \lvert s \rvert \rvert \leq 2/(n+1)$（$s \in [-1, 1]$）であり、$\lvert s \rvert$ は $[-1, 1]$ 上の多項式で一様に近似できる。

証明. $t \in [0, 1]$ を固定し、$0 \leq p_n \leq \sqrt{t}$ を帰納法で示す。$n = 0$ は明らか。$0 \leq p_n \leq \sqrt{t}$ とすると

で、$0 \leq (\sqrt{t} + p_n)/2 \leq \sqrt{t} \leq 1$ なので右辺は $0$ 以上、また $p_{n+1} \geq p_n \geq 0$。さらに $(\sqrt{t} + p_n)/2 \geq \sqrt{t}/2$ なので $\sqrt{t} - p_{n+1} \leq (\sqrt{t} - p_n)(1 - \sqrt{t}/2)$、したがって $\sqrt{t} - p_n \leq \sqrt{t}(1 - \sqrt{t}/2)^n$。$s = \sqrt{t} \in [0, 1]$ の関数 $\varphi(s) = s(1 - s/2)^n$ は $\varphi'(s) = (1 - s/2)^{n-1}(1 - (n+1)s/2)$ より $s = 2/(n+1)$ で最大となり、最大値は $\frac{2}{n+1}(1 - \frac{1}{n+1})^n \leq \frac{2}{n+1}$（$n = 0$ のときも $\varphi \leq 1 \leq 2$）。$\square$

定理 7.25（ストーン–ワイエルシュトラスの定理, Stone–Weierstrass theorem）$X$ をコンパクト・ハウスドルフ空間、$\mathcal{A} \subset C(X)$ を、定数関数を含み点を分離する部分代数とする。このとき $\mathcal{A}$ は $C(X)$ で稠密である。すなわち任意の $f \in C(X)$ と $\varepsilon > 0$ に対し、$d_\infty(f, g) < \varepsilon$ となる $g \in \mathcal{A}$ がある。

証明. $\overline{\mathcal{A}}$ を $\mathcal{A}$ の閉包とする。$\overline{\mathcal{A}} = C(X)$ を示す。

ステップ 0. $\overline{\mathcal{A}}$ も部分代数である。$f_n \to f$, $g_n \to g$（一様）なら $f_n + g_n \to f + g$、$cf_n \to cf$ は明らかで、$\lvert f_n g_n - fg \rvert \leq \lvert f_n \rvert \lvert g_n - g \rvert + \lvert g \rvert \lvert f_n - f \rvert$ と $\sup_n \lVert f_n \rVert_\infty < \infty$ より $f_n g_n \to fg$。

ステップ 1（絶対値）. $f \in \overline{\mathcal{A}}$ なら $\lvert f \rvert \in \overline{\mathcal{A}}$。$f \neq 0$ とし $c = \lVert f \rVert_\infty$, $h = f/c$ とおくと $\lvert h \rvert \leq 1$。補題 7.24 の多項式 $p_n$（定数項を含んでよい）について $p_n(h^2) \in \overline{\mathcal{A}}$（ステップ 0 と定数関数を含むこと）で、$\lvert p_n(h(x)^2) - \lvert h(x) \rvert \rvert \leq 2/(n+1)$。$\overline{\mathcal{A}}$ は閉なので $\lvert h \rvert \in \overline{\mathcal{A}}$、$\lvert f \rvert = c \lvert h \rvert \in \overline{\mathcal{A}}$。

ステップ 2（最大・最小）. $f, g \in \overline{\mathcal{A}}$ なら

も $\overline{\mathcal{A}}$ に属する。帰納法で有限個の最大・最小も属する。

ステップ 3（2 点補間）. $x \neq y$ と $a, b \in \mathbb{R}$ に対し、$h(x) = a$, $h(y) = b$ となる $h \in \mathcal{A}$ がある。実際、$g(x) \neq g(y)$ となる $g \in \mathcal{A}$ をとり、$h = a + (b - a)\dfrac{g - g(x)}{g(y) - g(x)}$ とすればよい（定数を含む部分代数の元）。

ステップ 4（近似）. $f \in C(X)$, $\varepsilon > 0$ とする。点 $x \in X$ を固定する。各 $y \in X$ に対し、ステップ 3 により $h_y(x) = f(x)$, $h_y(y) = f(y)$ となる $h_y \in \mathcal{A}$ をとる（$y = x$ なら定数 $f(x)$）。$V_y = \lbrace z \mid h_y(z) < f(z) + \varepsilon \rbrace$ は $y$ を含む開集合なので、コンパクト性から $V_{y_1}, \dots, V_{y_m}$ で $X$ を覆える。$g_x = \min(h_{y_1}, \dots, h_{y_m}) \in \overline{\mathcal{A}}$ は

をみたす。次に $W_x = \lbrace z \mid g_x(z) > f(z) - \varepsilon \rbrace$ は $x$ を含む開集合なので、$W_{x_1}, \dots, W_{x_k}$ で $X$ を覆える。$g = \max(g_{x_1}, \dots, g_{x_k}) \in \overline{\mathcal{A}}$ は、すべての $z$ で $f(z) - \varepsilon < g(z) < f(z) + \varepsilon$ をみたす。$X$ はコンパクトなので $\lvert g - f \rvert$ の最大値は達成され、$d_\infty(f, g) < \varepsilon$。$\varepsilon$ は任意で $\overline{\mathcal{A}}$ は閉なので $f \in \overline{\mathcal{A}}$。$\square$

ステップ 4 は、各点での「上からの近似」を最小値でまとめ、次に「下からの近似」を最大値でまとめるという、コンパクト性の典型的な使い方になっている。

系 7.26

1. （ワイエルシュトラスの近似定理）$[a, b]$ 上の連続関数は多項式で一様に近似できる。
2. $\mathbb{R}^n$ のコンパクト集合 $K$ 上の連続関数は、$n$ 変数多項式で一様に近似できる。
3. $2\pi$ を周期とする実数値連続関数は、三角多項式 $a_0 + \sum_{k=1}^N (a_k \cos kx + b_k \sin kx)$ で一様に近似できる。

証明. 1, 2：多項式全体は定数を含む部分代数で、座標関数が点を分離する。3：$2\pi$ 周期の連続関数は $S^1$ 上の連続関数と対応する（$\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} \cong S^1$、問題 3.6 と定理 3.16）。三角多項式全体は、積和の公式（$\cos jx \cos kx = \frac{1}{2}(\cos(j+k)x + \cos(j-k)x)$ など）より部分代数で定数を含み、$\cos x, \sin x$ は $S^1$ の座標関数なので点を分離する。$\square$

3 はフーリエ級数論（微分方程式 第6章）の出発点である。

例 7.27（仮定は落とせない）

1. 定数を含むこと：$[0, 1]$ 上で定数項のない多項式全体は点を分離する部分代数だが、どの元も $f(0) = 0$ をみたし、$\lbrace f \mid f(0) = 0 \rbrace$ は閉なので、閉包は定数関数 $1$ を含まない。
2. 点を分離すること：$[-1, 1]$ 上の偶多項式全体は定数を含む部分代数だが、閉包は偶関数に限られ、$x$ を近似できない。
3. 複素数値の場合：$S^1 \subset \mathbb{C}$ 上の $z$ の多項式全体は定数を含み点を分離する複素部分代数だが、$\bar{z}$ を一様近似できない。実際、多項式 $p$ について $\int_0^{2\pi} p(e^{i\theta}) e^{i\theta}\ d\theta = 0$（各項 $e^{i(k+1)\theta}$ の積分が $0$）だが、$\int_0^{2\pi} \overline{e^{i\theta}} e^{i\theta}\ d\theta = 2\pi$ であり、一様収束なら積分も収束するので矛盾する。

複素数値の場合は、複素共役で閉じていることを仮定に加えればよい。

定理 7.28（複素版）$X$ をコンパクト・ハウスドルフ空間、$\mathcal{A}$ を複素数値連続関数全体 $C(X, \mathbb{C})$ の複素部分代数で、定数を含み、点を分離し、複素共役で閉じているものとする。このとき $\mathcal{A}$ は $C(X, \mathbb{C})$ で稠密である。

証明. $\mathcal{A}_{\mathbb{R}} = \mathcal{A} \cap C(X)$（実数値の元）は実部分代数で実数の定数を含む。$f \in \mathcal{A}$ なら $\operatorname{Re} f = (f + \bar{f})/2$, $\operatorname{Im} f = (f - \bar{f})/(2i)$ は $\mathcal{A}_{\mathbb{R}}$ に属する。$f(x) \neq f(y)$ なら $\operatorname{Re} f$ か $\operatorname{Im} f$ が $x, y$ を分離するので、$\mathcal{A}_{\mathbb{R}}$ も点を分離する。定理 7.25 より $\mathcal{A}_{\mathbb{R}}$ は $C(X)$ で稠密。$g \in C(X, \mathbb{C})$ に対し、$\operatorname{Re} g, \operatorname{Im} g$ を $u, v \in \mathcal{A}_{\mathbb{R}}$ で $\varepsilon/2$ 以内に近似すれば、$u + iv \in \mathcal{A}$ は $g$ を $\varepsilon$ 以内に近似する。$\square$