$p$ 進数と局所体

この章の目標

• 絶対値と付値を理解し、$\mathbb{Q}$ の絶対値を分類するオストロフスキーの定理を証明できる
• $\mathbb{Q}_p$ を完備化として構成し、$\mathbb{Z}_p$ を射影極限・$p$ 進展開として扱える
• ヘンゼルの補題を証明し、$\mathbb{Z}_p^\times$ の構造と $p$ 進数の平方判定に応用できる
• 局所体の拡大（不分岐拡大・完全分岐拡大）とエイゼンシュタイン多項式の関係を理解する
• 代数体の素点と完備化、積公式、ハッセ–ミンコフスキーの定理（局所大域原理）を知る

前提：第2章（素イデアル分解）、集合と位相 第7章（完備距離空間）、可換環論 第6章（完備化）、可換環論 第7章（離散付値環）

合同式 $f(x) \equiv 0 \pmod{p^n}$ をすべての $n$ について同時に考えることは、関数を 1 点のまわりでテイラー展開することに似ている。ヘンゼルはこの類似を推し進め、$\mathbb{Z}$ の中で「$p$ のまわりの無限小の世界」を表す環 $\mathbb{Z}_p$ と体 $\mathbb{Q}_p$ を導入した。$\mathbb{Q}_p$ は $\mathbb{R}$ と同様に $\mathbb{Q}$ の完備化であり、オストロフスキーの定理によれば、$\mathbb{Q}$ の完備化は $\mathbb{R}$ と $\mathbb{Q}_p$ で尽くされる。本章では $p$ 進数の基本性質を調べ、代数体を各素数の「局所的な」情報に分解して調べる方法を学ぶ。

5.1 絶対値と付値

定義 5.1（絶対値, absolute value）体 $K$ 上の関数 $\lvert \cdot \rvert\colon K \to \mathbb{R}_{\geq 0}$ が

1. $\lvert x \rvert = 0 \iff x = 0$
2. $\lvert xy \rvert = \lvert x \rvert\lvert y \rvert$
3. $\lvert x + y \rvert \leq \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$

をみたすとき絶対値という。3 より強い超距離不等式 $\lvert x + y \rvert \leq \max(\lvert x \rvert, \lvert y \rvert)$ をみたすものを非アルキメデス的 (non-archimedean)、そうでないものをアルキメデス的という。すべての $x \neq 0$ で $\lvert x \rvert = 1$ となるものを自明な絶対値という。

例 5.2（$p$ 進絶対値）素数 $p$ と $0 \neq x \in \mathbb{Q}$ に対し、$x = p^{n}a/b$（$a, b$ は $p$ と互いに素な整数）と書いて $v_p(x) = n$、$\lvert x \rvert_p = p^{-n}$ とおく（$\lvert 0 \rvert_p = 0$、$v_p(0) = \infty$）。$v_p(xy) = v_p(x) + v_p(y)$、$v_p(x + y) \geq \min(v_p(x), v_p(y))$ なので $\lvert \cdot \rvert_p$ は非アルキメデス的絶対値である。$p$ で何度も割り切れる数ほど「小さい」。たとえば $x = 12/35$ では $\lvert x \rvert_2 = \frac{1}{4}$, $\lvert x \rvert_3 = \frac{1}{3}$, $\lvert x \rvert_5 = 5$, $\lvert x \rvert_7 = 7$ である。$\lvert p^n \rvert_p = p^{-n} \to 0$ であり、$1, 1 + p, 1 + p + p^2, \dots$ は $\lvert \cdot \rvert_p$ に関してコーシー列になる。通常の絶対値を $\lvert \cdot \rvert_\infty$ と書く。

一般に、写像 $v\colon K \to \mathbb{Z} \cup \lbrace \infty \rbrace$ で $v(x) = \infty \iff x = 0$、$v(xy) = v(x) + v(y)$、$v(x + y) \geq \min(v(x), v(y))$ をみたす全射を離散付値 (discrete valuation) という。$0 < c < 1$ に対し $\lvert x \rvert = c^{v(x)}$ は非アルキメデス的絶対値である。代数体の素イデアル $\mathfrak{p}$ に対する $v_{\mathfrak{p}}$（定理 2.5）は離散付値である。

定義 5.3（同値な絶対値）$\lvert \cdot \rvert_1 = \lvert \cdot \rvert_2^{s}$ となる $s > 0$ があるとき、2 つの絶対値は同値であるという。同値な絶対値は同じ位相を定める。

命題 5.4 絶対値 $\lvert \cdot \rvert$ について、非アルキメデス的であることと、$\lbrace \lvert n \cdot 1 \rvert \mid n \in \mathbb{Z} \rbrace$ が有界であることは同値である。このとき $\lvert n \cdot 1 \rvert \leq 1$ である。

証明. 非アルキメデス的なら $\lvert n \cdot 1 \rvert = \lvert 1 + \cdots + 1 \rvert \leq 1$。逆に $\lvert n \cdot 1 \rvert \leq C$ とすると、二項展開と三角不等式から

$N$ 乗根をとって $N \to \infty$ とすると $\lvert x + y \rvert \leq \max(\lvert x \rvert, \lvert y \rvert)$。$\square$

特に、正標数の体の絶対値はすべて非アルキメデス的である。

5.2 オストロフスキーの定理

定理 5.5（オストロフスキーの定理, Ostrowski's theorem）$\mathbb{Q}$ の自明でない絶対値は、$\lvert \cdot \rvert_\infty$ か、ただ 1 つの素数 $p$ についての $\lvert \cdot \rvert_p$ のいずれかに同値である。

証明. 非アルキメデス的な場合. 命題 5.4 より $\lvert n \rvert \leq 1$（$n \in \mathbb{Z}$）。$\mathfrak{a} = \lbrace n \in \mathbb{Z} \mid \lvert n \rvert < 1 \rbrace$ は超距離不等式と乗法性から $\mathbb{Z}$ のイデアルで、$1 \notin \mathfrak{a}$、また $\lvert ab \rvert < 1$ なら $\lvert a \rvert < 1$ または $\lvert b \rvert < 1$ なので素イデアルである。$\mathfrak{a} = 0$ なら $0$ でない整数の絶対値がすべて 1 で、乗法性から絶対値は自明になる。よって $\mathfrak{a} = p\mathbb{Z}$（$p$ は素数）。$c = \lvert p \rvert < 1$ とおくと、$n = p^km$（$p \nmid m$）について $\lvert m \rvert = 1$ だから $\lvert n \rvert = c^k = \lvert n \rvert_p^{s}$（$s = -\log c/\log p > 0$）。乗法性により $\mathbb{Q}$ 全体で $\lvert \cdot \rvert = \lvert \cdot \rvert_p^s$。

アルキメデス的な場合. 整数 $m, n \geq 2$ をとり、$m^k$ を $n$ 進法で $m^k = a_0 + a_1n + \cdots + a_rn^r$（$0 \leq a_i < n$, $r \leq k\log m/\log n$）と書く。三角不等式より正の整数 $a$ について $\lvert a \rvert \leq a$ なので

$k$ 乗根をとって $k \to \infty$ とすると $\lvert m \rvert \leq \max(1, \lvert n \rvert)^{\log m/\log n}$。仮定より $\lvert m_0 \rvert > 1$ となる $m_0$ があるので、$m = m_0$ とすると任意の $n \geq 2$ で $\lvert n \rvert > 1$ が分かり、$\lvert m \rvert^{1/\log m} \leq \lvert n \rvert^{1/\log n}$。$m, n$ を入れ替えて等号が成り立ち、$\lvert n \rvert^{1/\log n} = e^{s}$（$s > 0$ は定数）、すなわち $\lvert n \rvert = n^s = \lvert n \rvert_\infty^s$。

最後に、$\lvert p \rvert_p < 1 = \lvert p \rvert_q$（$q \neq p$）、$\lvert p \rvert_\infty > 1$ なので、これらは互いに同値でない。$\square$

$\mathbb{Q}$ の絶対値の同値類を素点 (place) といい、$p$ に対応するものを有限素点、$\lvert \cdot \rvert_\infty$ に対応するものを無限素点 $\infty$ という。

5.3 完備化と $\mathbb{Q}_p$

絶対値 $\lvert \cdot \rvert$ をもつ体 $K$ のコーシー列全体を、$0$ に収束する列のなす極大イデアルで割ると、完備な体 $\widehat{K}$ が得られ、$\lvert \cdot \rvert$ は $\widehat{K}$ に一意的に延長され、$K$ は $\widehat{K}$ で稠密である（$\mathbb{Q}$ から $\mathbb{R}$ を作る構成と同じ。集合と位相 第7章）。$\widehat{K}$ を $K$ の完備化 (completion) という。

定義 5.6 $(\mathbb{Q}, \lvert \cdot \rvert_p)$ の完備化を $\mathbb{Q}_p$ と書き、$p$ 進数体 (field of $p$-adic numbers) という。$\mathbb{Z}_p = \lbrace x \in \mathbb{Q}_p \mid \lvert x \rvert_p \leq 1 \rbrace$ を $p$ 進整数環 (ring of $p$-adic integers) という。

命題 5.7 $K$ を非アルキメデス的絶対値について完備な体とする。

1. $\lvert x \rvert \neq \lvert y \rvert$ ならば $\lvert x + y \rvert = \max(\lvert x \rvert, \lvert y \rvert)$（すべての三角形は二等辺三角形）。特に $x_n \to x \neq 0$ なら十分大きい $n$ で $\lvert x_n \rvert = \lvert x \rvert$。
2. 級数 $\sum a_n$ が収束するための必要十分条件は $a_n \to 0$ である。

証明. (1) $\lvert x \rvert > \lvert y \rvert$ とすると $\lvert x + y \rvert \leq \lvert x \rvert$ かつ $\lvert x \rvert = \lvert (x + y) - y \rvert \leq \max(\lvert x + y \rvert, \lvert y \rvert)$ で、後者の最大は $\lvert x + y \rvert$ でなければならない。後半は $\lvert x_n - x \rvert < \lvert x \rvert$ となる $n$ で (1) を使う。(2) 部分和 $s_n$ について $\lvert s_m - s_n \rvert \leq \max_{n < k \leq m}\lvert a_k \rvert$ だから、$a_n \to 0$ ならコーシー列である。$\square$

(1) より $\lvert \mathbb{Q}_p^\times \rvert_p = \lvert \mathbb{Q}^\times \rvert_p = p^{\mathbb{Z}}$ で、$v_p$ は $\mathbb{Q}_p$ に延長される。

命題 5.8

1. $\mathbb{Z}_p$ は部分環で、$\mathbb{Z}_p^\times = \lbrace \lvert x \rvert_p = 1 \rbrace$。$0 \neq x \in \mathbb{Q}_p$ は $x = p^nu$（$n = v_p(x)$, $u \in \mathbb{Z}_p^\times$）と一意的に書ける。
2. $\mathbb{Z}_p$ は離散付値環で、$0$ でないイデアルは $p^n\mathbb{Z}_p$（$n \geq 0$）だけである。
3. $\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}_p$ で稠密であり、$\mathbb{Z}_p/p^n\mathbb{Z}_p \cong \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$。

証明. (1) 超距離不等式と乗法性から。(2) $x \in \mathbb{Z}_p$ が単元でない $\iff \lvert x \rvert_p < 1 \iff x \in p\mathbb{Z}_p$。$0$ でないイデアル $I$ の元で $v_p$ が最小のもの $p^nu$ をとれば $I = p^n\mathbb{Z}_p$。(3) $x \in \mathbb{Z}_p$ と $n$ に対し、$\lvert x - a/b \rvert_p \leq p^{-n}$ となる有理数 $a/b$ をとる。$\lvert a/b \rvert_p \leq 1$ なので $p \nmid b$ としてよく、$bb' \equiv 1 \pmod{p^n}$ となる整数 $b'$ をとると $\lvert a/b - ab' \rvert_p = \lvert a \rvert_p\lvert 1 - bb' \rvert_p/\lvert b \rvert_p \leq p^{-n}$。よって $\lvert x - ab' \rvert_p \leq p^{-n}$ で、$\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_p/p^n\mathbb{Z}_p$ は全射、核は $\mathbb{Z} \cap p^n\mathbb{Z}_p = p^n\mathbb{Z}$。$\square$

定理 5.9（射影極限と $p$ 進展開）

1. 写像 $x \mapsto (x \bmod p^n)_{n \geq 1}$ は環同型 $\mathbb{Z}_p \cong \varprojlim_n\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ を与える。
2. 任意の $x \in \mathbb{Z}_p$ は $x = \sum_{i=0}^{\infty}a_ip^i$（$a_i \in \lbrace 0, 1, \dots, p - 1 \rbrace$）と一意的に表される。$x \in \mathbb{Q}_p$ は $x = \sum_{i \geq -N}a_ip^i$ と表される。

証明. (1) 準同型であることは明らか。$\bigcap_n p^n\mathbb{Z}_p = 0$ より単射。整合的な列 $(x_n)$ が与えられたとき、整数の代表 $\tilde{x}_n$ をとると $\lvert \tilde{x}_{n+1} - \tilde{x}_n \rvert_p \leq p^{-n}$ でコーシー列となり、極限 $x$ は $x \equiv \tilde{x}_n \pmod{p^n}$ をみたす。(2) $x \bmod p^n$ の $0$ 以上 $p^n$ 未満の代表 $s_n$ を $p$ 進法で書くと、整合性から $s_{n+1} = s_n + a_np^n$（$0 \leq a_n < p$）となり、$x = \lim s_n = \sum a_ip^i$。一意性は (1) の単射性から。$\mathbb{Q}_p$ の元は $p^{-N}x$（$x \in \mathbb{Z}_p$）の形である。$\square$

例 5.10 (a) $-1 = \sum_{i \geq 0}(p - 1)p^i$（$1 + \sum(p-1)p^i$ の部分和は $p^n$ で、$0$ に収束する）。(b) $\frac{1}{1 - p} = \sum_{i \geq 0}p^i$。(c) $\frac{1}{3} \in \mathbb{Z}_5$：$3a_0 \equiv 1 \pmod 5$ から $a_0 = 2$、$(\frac{1}{3} - 2)/5 = -\frac{1}{3}$。$3a_1 \equiv -1$ から $a_1 = 3$、$(-\frac{1}{3} - 3)/5 = -\frac{2}{3}$。$3a_2 \equiv -2$ から $a_2 = 1$、$(-\frac{2}{3} - 1)/5 = -\frac{1}{3}$ で以下くり返し、

検算：$2 + (3 \cdot 5 + 5^2)(1 + 5^2 + 5^4 + \cdots) = 2 + \frac{40}{1 - 25} = 2 - \frac{5}{3} = \frac{1}{3}$。一般に、有理数であることと $p$ 進展開が循環的であることは同値である。

命題 5.11 $\mathbb{Z}_p$ はコンパクトであり、$\mathbb{Q}_p$ は局所コンパクトである。

証明. $\mathbb{Z}_p$ は距離空間なので点列コンパクト性を示せばよい。点列 $(x_k)$ の $p$ 進展開の第 0 桁は $p$ 通りなので、無限個の $x_k$ が同じ第 0 桁をもつ。その中で無限個が同じ第 1 桁をもつ。これを続けて対角線論法で部分列をとると、第 $n$ 桁までが一致する部分列が得られ、それは収束する。$\mathbb{Q}_p$ の各点 $a$ は $a + \mathbb{Z}_p$ というコンパクトな近傍をもつ。$\square$

5.4 ヘンゼルの補題

定理 5.12（ヘンゼルの補題, Hensel's lemma）$f \in \mathbb{Z}_p[x]$、$a_0 \in \mathbb{Z}_p$ が

$$\lvert f(a_0) \rvert_p < \lvert f'(a_0) \rvert_p^2$$

をみたすとする。このとき $f(a) = 0$ かつ $\lvert a - a_0 \rvert_p < \lvert f'(a_0) \rvert_p$ となる $a \in \mathbb{Z}_p$ がただ 1 つ存在する。特に、$f(a_0) \equiv 0$, $f'(a_0) \not\equiv 0 \pmod p$ ならば、$a \equiv a_0 \pmod p$ となる $f$ の根 $a \in \mathbb{Z}_p$ がただ 1 つ存在する。

証明. ニュートン法 $a_{n+1} = a_n - f(a_n)/f'(a_n)$ を用いる。$\lvert \cdot \rvert = \lvert \cdot \rvert_p$、$t = \lvert f(a_0) \rvert/\lvert f'(a_0) \rvert^2 < 1$ とおく。$f(x + h) = f(x) + f'(x)h + h^2g(x, h)$（$g \in \mathbb{Z}_p[x, h]$）と展開できることに注意して、帰納法で

を示す。$n$ で成り立つとし、$h_n = -f(a_n)/f'(a_n)$ とおくと $\lvert h_n \rvert \leq \lvert f'(a_0) \rvert t^{2^n} < \lvert f'(a_0) \rvert \leq 1$ なので $a_{n+1} = a_n + h_n \in \mathbb{Z}_p$。$f(a_{n+1}) = h_n^2g(a_n, h_n)$ より $\lvert f(a_{n+1}) \rvert \leq \lvert h_n \rvert^2 \leq \lvert f'(a_0) \rvert^2t^{2^{n+1}}$。また $f'(a_{n+1}) = f'(a_n) + h_n \cdot (\mathbb{Z}_p\ \text{の元})$ で $\lvert h_n \rvert < \lvert f'(a_n) \rvert$ だから、命題 5.7 (1) より $\lvert f'(a_{n+1}) \rvert = \lvert f'(a_n) \rvert$。

$\lvert a_{n+1} - a_n \rvert = \lvert h_n \rvert \to 0$ なので $(a_n)$ はコーシー列で、極限 $a$ は $f(a) = 0$、$\lvert a - a_0 \rvert \leq \max_n\lvert h_n \rvert \leq \lvert f'(a_0) \rvert t < \lvert f'(a_0) \rvert$ をみたし、$\lvert f'(a) \rvert = \lvert f'(a_0) \rvert$。一意性：$b$ も条件をみたす根とし $h = b - a$ とすると $\lvert h \rvert < \lvert f'(a) \rvert$ で、$0 = f(b) - f(a) = h(f'(a) + hg(a, h))$。$h \neq 0$ なら $\lvert f'(a) \rvert = \lvert hg(a, h) \rvert \leq \lvert h \rvert$ となり矛盾。$\square$

例 5.13（$\sqrt{-1} \in \mathbb{Z}_5$）$f = x^2 + 1$、$a_0 = 2$ とすると $f(2) = 5 \equiv 0$、$f'(2) = 4 \not\equiv 0 \pmod 5$。根を桁ごとに求める。$\bmod 25$：$(2 + 5t)^2 = 4 + 20t + 25t^2 \equiv -1$ から $20t \equiv 20$、$t = 1$ で $7$（$7^2 = 49 = 50 - 1$）。$\bmod 125$：$(7 + 25t)^2 \equiv 49 + 350t \equiv -1$ から $100t \equiv 75 \pmod{125}$、$4t \equiv 3 \pmod 5$、$t = 2$ で $57$（$57^2 + 1 = 3250 = 26 \cdot 125$）。$\bmod 625$：同様に $t = 1$ で $182$（$182^2 + 1 = 33125 = 53 \cdot 625$）。よって

（$a_0 = 3$ から始めると $-\sqrt{-1}$ が得られる）。$\mathbb{Q}_3$ には $\sqrt{-1}$ は存在しない（$-1$ は $\bmod 3$ で平方数でない）。

定理 5.14（$\mathbb{Z}_p^\times$ の構造）$U_n = 1 + p^n\mathbb{Z}_p$ とおく。

1. $\mathbb{Q}_p$ は 1 の $(p - 1)$ 乗根をちょうど $p - 1$ 個含み、それらのなす群 $\mu_{p-1}$ について $\mathbb{Z}_p^\times = \mu_{p-1} \times U_1$。
2. $p$ が奇素数なら $U_1 \cong \mathbb{Z}_p$（加法群）。したがって $\mathbb{Z}_p^\times \cong \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_p$、$\mathbb{Q}_p^\times \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_p$。
3. $p = 2$ なら $\mathbb{Z}_2^\times = \lbrace \pm 1 \rbrace \times U_2$、$U_2 \cong \mathbb{Z}_2$。

証明. (1) $f = x^{p-1} - 1$ は $\mathbb{F}_p$ 上で $p - 1$ 個の相異なる根 $1, \dots, p - 1$ をもち、$f'(a) = (p-1)a^{p-2} \not\equiv 0$。ヘンゼルの補題により各根が一意的に持ち上がり、$\mu_{p-1} \to \mathbb{F}_p^\times$ は同型になる。$\mathbb{Z}_p^\times \to \mathbb{F}_p^\times$ は全射で核は $U_1$、$\mu_{p-1}$ がその切断を与えるので直積に分解する。

(2) まず $(1 + p)^{p^k} = 1 + p^{k+1}u_k$（$u_k \in \mathbb{Z}_p^\times$）を $k$ についての帰納法で示す。$(1 + p^{k+1}u)^p = 1 + p^{k+2}u + \binom{p}{2}p^{2k+2}u^2 + \cdots$ で、$p$ が奇数なら 2 項目以降の項は $p^{k+3}$ で割り切れる（$\binom{p}{2}$ は $p$ の倍数、$p$ 乗の項は $p^{p(k+1)}$ で $p(k+1) \geq k + 3$）。次に $U_1/U_n$ の位数は $p^{n-1}$ である（$1 + px$ と $1 + py$ が同じ剰余類 $\iff x \equiv y \pmod{p^{n-1}}$）。$1 + p$ の $U_1/U_n$ での位数は、上の式からちょうど $p^{n-1}$ なので、$U_1/U_n$ は $1 + p$ で生成される巡回群であり、$a \mapsto (1 + p)^a$ は同型 $\mathbb{Z}/p^{n-1}\mathbb{Z} \cong U_1/U_n$ を与える。これらは $n$ について整合的で、$U_1$ は完備かつ $\bigcap_nU_n = \lbrace 1 \rbrace$ だから、射影極限をとって $\mathbb{Z}_p \cong U_1$。

(3) $-1 \notin U_2$ で $\mathbb{Z}_2^\times = U_1 = \lbrace \pm 1 \rbrace \times U_2$。$5^{2^k} = 1 + 2^{k+2}u_k$（$u_k$ は単元）を同様に示せば、$U_2 \cong \mathbb{Z}_2$ が従う（問題 5.7）。$\square$

$\mu_{p-1}$ の元 $\omega(a)$（$a \bmod p$ の持ち上げ）をタイヒミュラー代表元という。例 5.13 の $\sqrt{-1}$ は $\omega(2)$ に等しい（$\omega(2)^2 = \omega(4) = \omega(-1) = -1$）。

系 5.15（平方元の判定）

1. $p$ が奇素数のとき、$u \in \mathbb{Z}_p^\times$ が $\mathbb{Q}_p$ で平方数 $\iff$ $u \bmod p$ が $\mathbb{F}_p$ で平方数。$x = p^nu$ が平方数 $\iff$ $n$ が偶数かつ $u$ が平方数。$\mathbb{Q}_p^\times/(\mathbb{Q}_p^\times)^2$ は位数 4 で、代表は $1, \varepsilon, p, \varepsilon p$（$\varepsilon$ は平方数でない単数）。
2. $u \in \mathbb{Z}_2^\times$ が平方数 $\iff u \equiv 1 \pmod 8$。$\mathbb{Q}_2^\times/(\mathbb{Q}_2^\times)^2$ は位数 8 で、代表は $\pm 1, \pm 5, \pm 2, \pm 10$。

証明. (1) $f = x^2 - u$、$f'(a) = 2a$ は単元なので、$\bmod p$ の根が持ち上がる。逆は明らか。(2) $u \equiv 1 \pmod 8$ なら $a_0 = 1$ で $\lvert f(1) \rvert_2 = \lvert 1 - u \rvert_2 \leq 2^{-3} < 2^{-2} = \lvert f'(1) \rvert_2^2$ なので定理 5.12 が使える。逆に奇数の平方は $\equiv 1 \pmod 8$。指数は (1), (2) と定理 5.14 から数えられる。$\square$

例 5.16 $-7 \equiv 1 \pmod 8$ より $\sqrt{-7} \in \mathbb{Z}_2$（$\sqrt{-7} = 1 + 2 + 2^3 + \cdots$）。$\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$ で 2 が分解すること（第2章 問題 2.2）はこれに対応している（5.7 節）。$7 \equiv 1 \pmod 3$ より $\sqrt{7} \in \mathbb{Z}_3$。$2$ は $\mathbb{Q}_3$ で平方数でないが、$\mathbb{Q}_7$ では平方数である（$3^2 \equiv 2 \pmod 7$）。

5.5 局所体

定義 5.17（局所体, local field）離散的でない局所コンパクトな位相体を局所体という。

定理 5.18（局所体の分類）局所体は、$\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$、$\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大体、有限体 $\mathbb{F}_q$ 上の形式的ローラン級数体 $\mathbb{F}_q((t))$ の有限次拡大体のいずれかと同型である。

証明は Neukirch 第 II 章や Serre の Local Fields を参照（本教材では主張のみ）。以下、$\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大を扱う。

定理 5.19（絶対値の延長）$K$ を $\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大、$n = [K : \mathbb{Q}_p]$ とする。

1. $\lvert \cdot \rvert_p$ は $K$ 上の絶対値に一意的に延長され、それは $\lvert x \rvert = \lvert N_{K/\mathbb{Q}_p}(x) \rvert_p^{1/n}$ で与えられる。$K$ はこの絶対値について完備である。
2. $\mathcal{O}_K = \lbrace \lvert x \rvert \leq 1 \rbrace$ は $\mathbb{Z}_p$ の $K$ における整閉包で、離散付値環である。その極大イデアルの生成元 $\pi_K$ を素元 (uniformizer) という。
3. $p\mathcal{O}_K = \pi_K^e\mathcal{O}_K$、剰余体 $\kappa_K = \mathcal{O}_K/\pi_K\mathcal{O}_K$ を $\mathbb{F}_{p^f}$ とすると $ef = n$。

証明は Neukirch 第 II 章などを参照。$e$ を分岐指数、$f$ を剰余次数といい、$e = 1$ のとき $K/\mathbb{Q}_p$ は不分岐 (unramified)、$f = 1$ のとき完全分岐 (totally ramified) であるという。第2章の $e, f$ との関係は 5.7 節で述べる。

5.6 不分岐拡大と完全分岐拡大

定理 5.20（不分岐拡大）各 $f \geq 1$ に対し、$\mathbb{Q}_p$ の $f$ 次不分岐拡大は（$\overline{\mathbb{Q}}_p$ の中で）ただ 1 つ存在し、それは $\mathbb{Q}_p(\zeta_{p^f - 1})$ である。これはガロア拡大で、ガロア群は剰余体の拡大のガロア群 $\operatorname{Gal}(\mathbb{F}_{p^f}/\mathbb{F}_p)$ と同型な位数 $f$ の巡回群であり、フロベニウス元 $\zeta_{p^f-1} \mapsto \zeta_{p^f-1}^p$ で生成される。

証明の方針. $x^{p^f - 1} - 1$ は $\mathbb{F}_p$ 上分離的なので、その既約因子は定理 5.12 の多項式版（既約分解の持ち上げ）により $\mathbb{Z}_p[x]$ の既約因子に持ち上がる。$\mathbb{Q}_p(\zeta_{p^f-1})$ の剰余体は $\mathbb{F}_p(\overline{\zeta}) = \mathbb{F}_{p^f}$ を含み、次数は $f$ 以下なので $e = 1$, 次数 $f$ となる。逆に $f$ 次不分岐拡大 $K$ では $\kappa_K = \mathbb{F}_{p^f}$ で、ヘンゼルの補題により $K$ は 1 の $(p^f - 1)$ 乗根をすべて含むから $K \supset \mathbb{Q}_p(\zeta_{p^f-1})$、次数を比べて等号が成り立つ。詳細は Serre の Local Fields などを参照。$\square$

完全分岐拡大はエイゼンシュタイン多項式で特徴づけられる。以下、$\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大 $K$ 上の付値 $v$ を $v(\pi_K) = 1$ と正規化する。

命題 5.21（エイゼンシュタイン多項式）$K$ を $\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大、$\pi = \pi_K$ とする。

1. $g = x^n + c_{n-1}x^{n-1} + \cdots + c_0 \in \mathcal{O}_K[x]$ がエイゼンシュタイン多項式（$v(c_i) \geq 1$, $v(c_0) = 1$）ならば、$g$ は既約で、その根 $\alpha$ について $L = K(\alpha)$ は $n$ 次完全分岐拡大、$\alpha$ は $L$ の素元である。
2. 逆に $L/K$ が $n$ 次完全分岐拡大なら、$L$ の素元の $K$ 上の最小多項式はエイゼンシュタイン多項式である。

証明. (1) $L = K(\alpha)$ 上に付値 $v$ を延長する（値は $\frac{1}{e(L/K)}\mathbb{Z}$ に入る）。$v(\alpha) \leq 0$ とすると $\alpha^n = -\sum_{i < n}c_i\alpha^i$ の左辺の付値 $nv(\alpha)$ が右辺の各項の付値 $v(c_i) + iv(\alpha) \geq 1 + iv(\alpha)$ より小さく矛盾するので、$v(\alpha) > 0$。すると $i \geq 1$ の項は $v(c_i\alpha^i) > 1 = v(c_0)$ なので、命題 5.7 (1) より $nv(\alpha) = v(c_0) = 1$、$v(\alpha) = 1/n$。よって $e(L/K) \geq n \geq [L : K] \geq e(L/K)$ となり、$[L : K] = n$（$g$ は既約）、$e = n$、$\alpha$ は素元である。(2) 素元 $\pi_L$ の最小多項式の根（共役）はすべて同じ絶対値 $\lvert \pi_L \rvert < 1$ をもつ（定理 5.19 の一意性）ので、係数（根の基本対称式）の付値は正、すなわち $\geq 1$。定数項は $\pm N_{L/K}(\pi_L)$ で、その付値は $n \cdot v(\pi_L) = n \cdot \frac{1}{n} = 1$。$\square$

例 5.22 (a) $\mathbb{Q}_p(\zeta_p)/\mathbb{Q}_p$ は、$\Phi_p(x + 1)$ がアイゼンシュタイン多項式なので $p - 1$ 次完全分岐拡大で、$\zeta_p - 1$ が素元である（定理 2.30 の局所版）。(b) $\mathbb{Q}_2(i)$：$(x + 1)^2 + 1 = x^2 + 2x + 2$ はアイゼンシュタインで、分岐する。$\mathbb{Q}_2(\sqrt{-3}) = \mathbb{Q}_2(\zeta_3)$ は 2 次不分岐拡大である（剰余体 $\mathbb{F}_4$）。(c) 系 5.15 より、$p$ が奇素数なら $\mathbb{Q}_p$ の 2 次拡大は $\mathbb{Q}_p(\sqrt{\varepsilon})$（不分岐）、$\mathbb{Q}_p(\sqrt{p})$、$\mathbb{Q}_p(\sqrt{\varepsilon p})$（完全分岐）の 3 つ、$\mathbb{Q}_2$ の 2 次拡大は $\mathbb{Q}_2(\sqrt{d})$（$d = -1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$）の 7 つで、不分岐なのは $\mathbb{Q}_2(\sqrt{5}) = \mathbb{Q}_2(\sqrt{-3})$ だけである。

5.7 大域体の素点と完備化

代数体 $K$ の素点 (place) とは、$K$ の自明でない絶対値の同値類である。オストロフスキーの定理の一般化により、素点は次のもので尽くされる。

• 有限素点：$0$ でない素イデアル $\mathfrak{p}$ に対し、$\lvert x \rvert_{\mathfrak{p}} = N(\mathfrak{p})^{-v_{\mathfrak{p}}(x)}$。
• 無限素点：実埋め込み $\sigma$ に対し $\lvert x \rvert_\sigma = \lvert \sigma(x) \rvert$、複素埋め込みの対 $\lbrace \tau, \overline{\tau} \rbrace$ に対し $\lvert x \rvert_\tau = \lvert \tau(x) \rvert^2$。

ここで選んだ正規化（正規化された絶対値）は、複素素点で三角不等式をみたさないが、積公式を簡潔にする。素点 $v$ での完備化を $K_v$ と書く。有限素点 $\mathfrak{p} \mid p$ の完備化 $K_{\mathfrak{p}}$ は $\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大で、無限素点では $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ である。

定理 5.23 $K = \mathbb{Q}(\alpha)$、$\alpha$ の最小多項式を $f$ とし、$f = f_1\cdots f_g$ を $\mathbb{Q}_p[x]$ での既約分解とする。このとき

$$K \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_p \cong \mathbb{Q}_p[x]/(f) \cong \prod_{i=1}^{g}\mathbb{Q}_p[x]/(f_i)$$

であり、$p$ の上の素イデアル $\mathfrak{p}_1, \dots, \mathfrak{p}_g$ と $f_1, \dots, f_g$ が 1 対 1 に対応して $K_{\mathfrak{p}_i} \cong \mathbb{Q}_p[x]/(f_i)$、$[K_{\mathfrak{p}_i} : \mathbb{Q}_p] = e_if_i$（第2章の分岐指数・剰余次数）が成り立つ。