数の幾何学：類数と単数

この章の目標

• 格子とミンコフスキーの凸体定理を理解し、証明できる
• 代数体を $\mathbb{R}^n$ の格子として実現し、ミンコフスキーの限界から類数の有限性を証明する
• ミンコフスキーの限界を使って、具体的な代数体の類数と類群を計算できる
• ディリクレの単数定理を証明し、実二次体の基本単数を求め、ペル方程式を解ける

前提：第1章（判別式）、第2章（イデアルのノルム、デデキント–クンマーの定理）、測度と積分 第2章（ルベーグ測度の平行移動不変性と線形変換）

代数的整数論の二つの基本的な有限性定理――イデアル類群は有限群である、単数群は有限生成である――は、どちらも「$\mathbb{R}^n$ の格子と凸集合」という幾何学的な考察から導かれる。ミンコフスキーが「数の幾何学」と名づけたこの方法は、面積や体積を比べるだけで整数論的な対象の存在を保証する。本章では、まずこの方法で類数を計算し、次にディリクレの単数定理を証明する。

3.1 格子と基本領域

定義 3.1（格子, lattice）$\mathbb{R}^n$ の基底 $v_1, \dots, v_n$ によって $\Lambda = \mathbb{Z}v_1 + \cdots + \mathbb{Z}v_n$ と書ける部分群を格子という。$\Phi = \lbrace \sum_i t_iv_i \mid 0 \leq t_i < 1 \rbrace$ を基本平行体 (fundamental parallelotope) といい、その体積

$$\operatorname{vol}(\mathbb{R}^n/\Lambda) = \lvert \det(v_1, \dots, v_n) \rvert$$

を $\Lambda$ の余体積 (covolume) という。

別の基底への変換行列は $\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$ に属し行列式が $\pm 1$ なので、余体積は基底によらない。$\mathbb{R}^n = \bigsqcup_{\lambda \in \Lambda}(\Phi + \lambda)$（非交和）である。部分格子 $\Lambda' \subset \Lambda$ については $\operatorname{vol}(\mathbb{R}^n/\Lambda') = [\Lambda : \Lambda']\operatorname{vol}(\mathbb{R}^n/\Lambda)$ が成り立つ（指数は基底変換行列の行列式の絶対値）。

命題 3.2 $\Gamma$ を $\mathbb{R}^m$ の離散部分群とする。$\Gamma$ は $\mathbb{R}$ 上一次独立なベクトル $v_1, \dots, v_r$ を用いて $\Gamma = \mathbb{Z}v_1 \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}v_r$ と書ける。特に $r \leq m$ である。

証明. まず、有界集合 $B$ に含まれる $\Gamma$ の元は有限個である。無限個あればボルツァーノ–ワイエルシュトラスの定理により集積点をもち、差をとると $0$ に収束する $\Gamma \setminus \lbrace 0 \rbrace$ の点列が得られて離散性に反する。$\Gamma$ が張る部分空間 $V$ の基底 $u_1, \dots, u_r$ を $\Gamma$ からとり、$\Gamma_0 = \bigoplus_i\mathbb{Z}u_i$ とおく。$\gamma \in \Gamma$ を $\gamma = \gamma_0 + \sum_i t_iu_i$（$\gamma_0 \in \Gamma_0$, $0 \leq t_i < 1$）と書くと $\sum_i t_iu_i \in \Gamma$ は有界集合に属するから、剰余類 $\Gamma/\Gamma_0$ は有限で、その位数を $q$ とすると $q\Gamma \subset \Gamma_0$。よって $\Gamma_0 \subset \Gamma \subset \frac{1}{q}\Gamma_0 \cong \mathbb{Z}^r$ で、$\Gamma$ は階数 $r$ の自由アーベル群である（代数学 第7章）。その基底 $v_1, \dots, v_r$ は $V$ を張るので一次独立である。$\square$

3.2 ミンコフスキーの凸体定理

補題 3.3（ブリクフェルト, Blichfeldt）$\Lambda \subset \mathbb{R}^n$ を格子、$S \subset \mathbb{R}^n$ を可測集合とし、$\operatorname{vol}(S) > \operatorname{vol}(\mathbb{R}^n/\Lambda)$ とする。このとき $x \neq y$ となる $x, y \in S$ で $x - y \in \Lambda$ となるものが存在する。

証明. $S_\lambda = (S \cap (\Phi + \lambda)) - \lambda \subset \Phi$ とおく。ルベーグ測度の平行移動不変性と可算加法性より $\sum_{\lambda \in \Lambda}\operatorname{vol}(S_\lambda) = \operatorname{vol}(S) > \operatorname{vol}(\Phi)$。$S_\lambda$ がどれも交わらなければ左辺は $\operatorname{vol}(\Phi)$ 以下なので、ある $\lambda \neq \mu$ について $S_\lambda \cap S_\mu \neq \emptyset$。共通の点を $x - \lambda = y - \mu$（$x, y \in S$）と書けば $x - y = \lambda - \mu \in \Lambda \setminus \lbrace 0 \rbrace$。$\square$

定理 3.4（ミンコフスキーの凸体定理, Minkowski's convex body theorem）$\Lambda \subset \mathbb{R}^n$ を格子、$X \subset \mathbb{R}^n$ を原点対称（$x \in X \Rightarrow -x \in X$）な凸集合とする。

$$\operatorname{vol}(X) > 2^n\operatorname{vol}(\mathbb{R}^n/\Lambda)$$

ならば、$X$ は $\Lambda$ の $0$ でない点を含む。$X$ がコンパクトなら、$\geq$ でも同じ結論が成り立つ。

証明. $\operatorname{vol}(\frac{1}{2}X) = 2^{-n}\operatorname{vol}(X) > \operatorname{vol}(\mathbb{R}^n/\Lambda)$ なので、補題 3.3 より $x \neq y \in \frac{1}{2}X$ で $x - y \in \Lambda$ となるものがある。$2x, -2y \in X$ だから凸性より $x - y = \frac{1}{2}(2x) + \frac{1}{2}(-2y) \in X$。

$X$ がコンパクトで等号の場合、各 $k \in \mathbb{N}$ について $(1 + \frac{1}{k})X$ に前半を適用して $0 \neq \lambda_k \in \Lambda \cap (1 + \frac{1}{k})X$ を得る。これらは有界集合 $2X$ に属し、格子の有界部分は有限集合だから、ある $\lambda$ が無限個の $k$ で現れる。$\lambda \in \bigcap_k(1 + \frac{1}{k})X = X$（$X$ は閉集合）である。$\square$

例 3.5（二平方和定理の別証明）$p \equiv 1 \pmod 4$ を素数とし、$u^2 \equiv -1 \pmod p$ となる $u$ をとる（代数学 第1章 のオイラーの規準）。$\Lambda = \lbrace (a, b) \in \mathbb{Z}^2 \mid b \equiv ua \pmod p \rbrace$ は $\mathbb{Z}^2$ の指数 $p$ の部分格子で、余体積は $p$。円板 $X = \lbrace a^2 + b^2 < 2p \rbrace$ の面積 $2\pi p$ は $4p$ より大きいので、$0 \neq (a, b) \in \Lambda \cap X$ がある。$a^2 + b^2 \equiv a^2(1 + u^2) \equiv 0 \pmod p$ かつ $0 < a^2 + b^2 < 2p$ だから $a^2 + b^2 = p$。

3.3 代数体の格子としての実現

$K$ を $n$ 次の代数体とし、実埋め込みを $\sigma_1, \dots, \sigma_{r_1}$、複素埋め込みの各対から 1 つずつ選んだものを $\tau_1, \dots, \tau_{r_2}$ とする。

とおき、$\mathbb{C} \ni z = x + iy \mapsto (x, y) \in \mathbb{R}^2$ によって $K_{\mathbb{R}} = \mathbb{R}^n$ とみなす（体積は $\mathbb{R}^n$ のルベーグ測度）。

命題 3.6 $\mathfrak{a} \neq 0$ を $\mathcal{O}_K$ のイデアルとすると、$j(\mathfrak{a})$ は $\mathbb{R}^n$ の格子で

$$\operatorname{vol}(\mathbb{R}^n/j(\mathfrak{a})) = 2^{-r_2}\sqrt{\lvert d_K \rvert}\ N(\mathfrak{a})$$

である。

証明. 整基底 $\omega_1, \dots, \omega_n$ をとる。$j(\omega_k)$ の座標を並べた $n \times n$ 行列 $B$ の各行は、$\sigma_i(\omega_k)$ または $\operatorname{Re}\tau_j(\omega_k) = \frac{1}{2}(\tau_j + \overline{\tau}_j)(\omega_k)$, $\operatorname{Im}\tau_j(\omega_k) = \frac{1}{2i}(\tau_j - \overline{\tau}_j)(\omega_k)$ である。一方 $A = (\sigma(\omega_k))_{\sigma, k}$（$\sigma$ はすべての埋め込み）について、$\tau_j, \overline{\tau}_j$ の 2 行を上の 2 行に置き換える操作は、2 行に左から行列

を掛けることなので、行列式を $i/2$ 倍する。よって $\lvert \det B \rvert = 2^{-r_2}\lvert \det A \rvert = 2^{-r_2}\sqrt{\lvert d_K \rvert}$（命題 1.19）。特に $B$ は正則で $j(\mathcal{O}_K)$ は格子である。$j(\mathfrak{a})$ は指数 $[\mathcal{O}_K : \mathfrak{a}] = N(\mathfrak{a})$ の部分格子である。$\square$

3.4 ミンコフスキーの限界と類数の有限性

補題 3.7 $t > 0$ に対し $X_t = \lbrace (x, z) \in \mathbb{R}^{r_1} \times \mathbb{C}^{r_2} \mid \sum_i\lvert x_i \rvert + 2\sum_j\lvert z_j \rvert \leq t \rbrace$ とおくと

$$\operatorname{vol}(X_t) = 2^{r_1}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{r_2}\frac{t^n}{n!} \qquad (n = r_1 + 2r_2)$$

証明. $V_{a,b}(t) = \operatorname{vol}(X_t)$（$r_1 = a$, $r_2 = b$）とおく。$X_t$ は $t$ 倍の相似で得られるから $V_{a,b}(t) = c_{a,b}t^{m}$（$m = a + 2b$）と書ける。示すべき式は $c_{a,b} = 2^a(\pi/2)^b/m!$ で、$c_{1,0} = 2$（区間 $[-t, t]$）、$c_{0,1} = \pi/4$（半径 $t/2$ の円板）は正しい。実座標を 1 つ分離すると、フビニの定理より

複素座標 $z = \rho e^{i\phi}$ を 1 つ分離すると、極座標により

（$u = 2\rho$ と置換し $\int_0^t(t-u)^{m-2}u\ du = t^m/(m(m-1))$ を用いた）。よって $c_{a,b} = 2c_{a-1,b}/m$、$c_{a,b} = \frac{\pi}{2}c_{a,b-1}/(m(m-1))$ で、これらは $2^a(\pi/2)^b/m!$ がみたす漸化式と同じである。帰納法により主張が従う。$\square$

定理 3.8（ミンコフスキーの限界, Minkowski bound）$\mathfrak{a} \neq 0$ を $\mathcal{O}_K$ のイデアルとすると、$0 \neq \alpha \in \mathfrak{a}$ で

$$\lvert N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha) \rvert \leq M_K\,N(\mathfrak{a}), \qquad M_K = \frac{n!}{n^n}\left(\frac{4}{\pi}\right)^{r_2}\sqrt{\lvert d_K \rvert}$$

をみたすものが存在する。$M_K$ をミンコフスキーの限界という。

証明. $X_t$ はコンパクトで原点対称な凸集合である。$\operatorname{vol}(X_t) = 2^n\operatorname{vol}(\mathbb{R}^n/j(\mathfrak{a}))$ となるように $t$ を選ぶと、補題 3.7 と命題 3.6 より

（$n - r_1 - r_2 = r_2$ を用いた）。定理 3.4 より $0 \neq \alpha \in \mathfrak{a}$ で $j(\alpha) \in X_t$ となるものがある。$n$ 個の数 $\lvert \sigma_i(\alpha) \rvert$（$i \leq r_1$）と $\lvert \tau_j(\alpha) \rvert$（各 2 回）に相加相乗平均の不等式を適用すると

これが求める不等式である。$\square$

系 3.9 任意のイデアル類は、$N(\mathfrak{b}) \leq M_K$ をみたす整イデアル $\mathfrak{b}$ を含む。したがって $\operatorname{Cl}_K$ は、$N(\mathfrak{p}) \leq M_K$ をみたす素イデアル $\mathfrak{p}$ の類で生成される。

証明. 類 $c$ に対し、$c^{-1}$ に属する整イデアル $\mathfrak{a}$ をとる（分数イデアルに適当な整数を掛ければよい）。定理 3.8 の $\alpha \in \mathfrak{a}$ について $\mathfrak{b} = \alpha\mathfrak{a}^{-1}$ は整イデアル（$\alpha\mathcal{O}_K \subset \mathfrak{a}$ より）で、類 $c$ に属し、$N(\mathfrak{b}) = \lvert N(\alpha) \rvert/N(\mathfrak{a}) \leq M_K$。後半は、$\mathfrak{b}$ の素因子のノルムがすべて $N(\mathfrak{b})$ 以下であることから従う。$\square$

定理 3.10（類数の有限性）$h_K = \lvert \operatorname{Cl}_K \rvert$ は有限である。

証明. 系 3.9 より、ノルムが $M_K$ 以下の整イデアルが有限個であることを示せばよい。$N(\mathfrak{b}) = m$ なら $m \in \mathfrak{b}$（定理 2.10 (4)）なので $\mathfrak{b} \supset m\mathcal{O}_K$、すなわち $\mathfrak{b}$ は $m\mathcal{O}_K$ の約数であり、そのようなイデアルは有限個しかない。$\square$

3.5 判別式の下界

定理 3.11（ミンコフスキー）$K \neq \mathbb{Q}$ ならば $\lvert d_K \rvert > 1$ である。したがって、$\mathbb{Q}$ 以外の代数体では少なくとも 1 つの素数が分岐する。

証明. 定理 3.8 を $\mathfrak{a} = \mathcal{O}_K$ に適用すると、$0 \neq \alpha \in \mathcal{O}_K$ で $1 \leq \lvert N(\alpha) \rvert \leq M_K$ となるものがある。よって $M_K \geq 1$ で、$r_2 \leq n/2$ と $\pi/4 < 1$ から

$b_2 = \pi/2 > 1$ であり、$b_{n+1}/b_n = (1 + \frac{1}{n})^n\sqrt{\pi/4} \geq 2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} > 1$ なので、$n \geq 2$ で $b_n > 1$。後半は定理 2.16 から従う。$\square$

$b_n$ は指数関数的に増大するので、次数 $n$ は $\lvert d_K \rvert$ で上から抑えられる（問題 3.7）。これを精密化すると次の定理が得られる。

定理 3.12（エルミートの定理, Hermite）与えられた $D > 0$ に対し、$\lvert d_K \rvert \leq D$ をみたす代数体 $K$（$\mathbb{C}$ の部分体として）は有限個しかない。

証明は Neukirch の本などを参照（ミンコフスキーの定理を精密化して用いる）。

3.6 類数の計算例

系 3.9 の手順は次のとおりである。(i) $M_K$ を計算する。(ii) $M_K$ 以下の素数 $p$ の分解をデデキント–クンマーの定理で求め、$N(\mathfrak{p}) \leq M_K$ の素イデアルを列挙する。(iii) ノルムの計算によって、それらの間の関係（単項かどうか、どの積が単項か）を調べる。二次体では $M_K = \frac{1}{2}\sqrt{d_K}$（実二次体）、$M_K = \frac{2}{\pi}\sqrt{\lvert d_K \rvert}$（虚二次体）である。

例 3.13（類数 1 の例）$\mathbb{Q}(i)$ は $M = \frac{2}{\pi} \cdot 2 \approx 1.27$、$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ は $\approx 1.10$、$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ は $\frac{1}{2}\sqrt{8} \approx 1.41$、$\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ は $\approx 1.12$ で、いずれも $M < 2$。ノルム 1 の整イデアルは $\mathcal{O}_K$ だけなので、類数は 1 である。

例 3.14（$\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$、$h = 2$）$d_K = -20$、$M = \frac{2}{\pi}\sqrt{20} \approx 2.85$。調べるのは $p = 2$ の上の素イデアルだけで、$(2) = \mathfrak{p}_2^2$、$\mathfrak{p}_2 = (2, 1 + \sqrt{-5})$。$a^2 + 5b^2 = 2$ に解はないので $\mathfrak{p}_2$ は単項でなく、$\mathfrak{p}_2^2 = (2)$ は単項。よって $\operatorname{Cl}_K = \langle[\mathfrak{p}_2]\rangle \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$、$h = 2$。

例 3.15（$\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$、$h = 3$）$d_K = -23$、$M = \frac{2}{\pi}\sqrt{23} \approx 3.05$。$\omega = (1 + \sqrt{-23})/2$ の最小多項式は $x^2 - x + 6$、$N(a + b\omega) = a^2 + ab + 6b^2$ である。例 2.20 より 2, 3 は分解し

（$x^2 - x + 6 \equiv x(x - 1)$ を $\bmod 2$, $\bmod 3$ で用いた）。

• $\mathfrak{p}$ は単項でない：$a^2 + ab + 6b^2 = (a + b/2)^2 + \frac{23}{4}b^2$ は $b \neq 0$ なら $\geq 23/4 > 2$、$b = 0$ なら平方数で、2 にならない。同様に $\mathfrak{p}^2$ も単項でない（ノルム 4 の元は $\pm 2$ だけで、$(2) = \mathfrak{p}\overline{\mathfrak{p}} \neq \mathfrak{p}^2$）。
• $\mathfrak{p}^3$ は単項：$N(1 + \omega) = 1 + 1 + 6 = 8$。$1 + \omega \equiv 1 \pmod{\mathfrak{p}}$ で $1 + \omega \equiv 2 \equiv 0 \pmod{\overline{\mathfrak{p}}}$ なので、$(1 + \omega)$ は $\overline{\mathfrak{p}}$ だけで割り切れ、$(1 + \omega) = \overline{\mathfrak{p}}^3$。共役をとって $\mathfrak{p}^3 = (1 + \overline{\omega})$。
• $N(\omega) = 6$ で $\omega \in \mathfrak{p} \cap \mathfrak{q}$ より $(\omega) = \mathfrak{p}\mathfrak{q}$。よって $[\mathfrak{q}] = [\mathfrak{p}]^{-1}$、$[\overline{\mathfrak{q}}] = [\mathfrak{p}]$。

したがって $\operatorname{Cl}_K = \langle[\mathfrak{p}]\rangle \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$、$h = 3$。

例 3.16（$\mathbb{Q}(\sqrt{10})$、$h = 2$）$d_K = 40$、$M = \frac{1}{2}\sqrt{40} = \sqrt{10} \approx 3.16$。$x^2 - 10$ を $\bmod 2, 3$ で分解して、$(2) = \mathfrak{p}_2^2$（$\mathfrak{p}_2 = (2, \sqrt{10})$）、$(3) = \mathfrak{p}_3\mathfrak{p}_3'$（$\mathfrak{p}_3 = (3, 1 + \sqrt{10})$, $\mathfrak{p}_3' = (3, 1 - \sqrt{10})$）。実二次体ではノルムが負にもなり得るので $a^2 - 10b^2 = \pm 2, \pm 3$ を調べる。$\bmod 5$ で平方数は $0, \pm 1$ なので $a^2 \equiv \pm 2, \pm 3 \pmod 5$ は不可能であり、$\mathfrak{p}_2, \mathfrak{p}_3, \mathfrak{p}_3'$ はどれも単項でない。一方 $N(2 + \sqrt{10}) = -6$ で、$\sqrt{10} \equiv 1 \pmod{\mathfrak{p}_3'}$ より $2 + \sqrt{10} \in \mathfrak{p}_3'$ だから $(2 + \sqrt{10}) = \mathfrak{p}_2\mathfrak{p}_3'$。よって $[\mathfrak{p}_3'] = [\mathfrak{p}_2]^{-1} = [\mathfrak{p}_2]$、$[\mathfrak{p}_3] = [\mathfrak{p}_3']^{-1} = [\mathfrak{p}_2]$ で、$\operatorname{Cl}_K \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。

例 3.17（$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$、$h = 1$）$n = 3$, $r_2 = 1$, $d_K = -108$ より $M = \frac{6}{27} \cdot \frac{4}{\pi} \cdot \sqrt{108} \approx 2.94$。ノルム 2 の素イデアルは $(\theta)$（$(2) = (\theta)^3$、例 2.15）だけで、これは単項。よって $h = 1$。

3.7 ディリクレの単数定理

$\mathcal{O}_K^\times$ の構造を決める。$K$ に含まれる 1 のべき根全体を $\mu_K$ と書く。

補題 3.18 $C > 0$ に対し、すべての埋め込み $\sigma$ について $\lvert \sigma(\alpha) \rvert \leq C$ となる $\alpha \in \mathcal{O}_K$ は有限個である。特に（クロネッカーの定理）すべての共役の絶対値が 1 である $\alpha \in \mathcal{O}_K$ は 1 のべき根であり、$\mu_K$ は有限巡回群である。

証明. 特性多項式 $P_\alpha(x) = \prod_\sigma(x - \sigma(\alpha))$ の $x^{n-k}$ の係数は絶対値が $\binom{n}{k}C^k$ 以下の整数なので、$P_\alpha$ の候補は有限個であり、その根も有限個である。すべての共役の絶対値が 1 なら、べき $\alpha^k$ もすべてその有限集合に属するので $\alpha^a = \alpha^b$（$a > b$）となり、$\alpha^{a-b} = 1$。$\mu_K$ は体の乗法群の有限部分群なので巡回群である。$\square$

$r = r_1 + r_2 - 1$ とおく。対数写像を

で定める。$\ell$ は準同型で、$\lvert N(u) \rvert = 1$ より像は超平面 $H = \lbrace y \mid \sum_i y_i = 0 \rbrace$（$r$ 次元）に含まれる。以下、$\ell$ の第 $i$ 成分を $\ell_i$ と書く。

定理 3.19（ディリクレの単数定理, Dirichlet's unit theorem）

$$\mathcal{O}_K^\times \cong \mu_K \times \mathbb{Z}^{r}, \qquad r = r_1 + r_2 - 1$$

すなわち、単元 $\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_r$ が存在して、任意の単元は $\zeta\varepsilon_1^{k_1}\cdots\varepsilon_r^{k_r}$（$\zeta \in \mu_K$, $k_i \in \mathbb{Z}$）と一意的に表される。

証明. (1) 核と離散性. $\ell(u) = 0$ はすべての共役の絶対値が 1 であることを意味するので、補題 3.18 より $\ker\ell = \mu_K$。また $\mathbb{R}^{r_1+r_2}$ の有界集合に像をもつ単元はすべての共役が有界なので有限個であり、$\ell(\mathcal{O}_K^\times)$ は離散部分群である。命題 3.2 より $\ell(\mathcal{O}_K^\times) \cong \mathbb{Z}^s$、$s \leq \dim H = r$。

(2) 単元の構成. $B = (2/\pi)^{r_2}\sqrt{\lvert d_K \rvert}$ とおく。$k \in \lbrace 1, \dots, r + 1 \rbrace$ を固定し、次を示す：「$0 \neq \alpha \in \mathcal{O}_K$ に対し、$0 \neq \beta \in \mathcal{O}_K$ で $\lvert N(\beta) \rvert \leq B$ かつ $k$ 以外のすべての添字 $i$ で $\lvert \rho_i(\beta) \rvert < \lvert \rho_i(\alpha) \rvert$ となるものがある」（$\rho_1, \dots, \rho_{r+1}$ は $\sigma_1, \dots, \sigma_{r_1}, \tau_1, \dots, \tau_{r_2}$ を並べたもの）。実際、$i \neq k$ について $0 < c_i < \lvert \rho_i(\alpha) \rvert$ を選び、$c_k$ を $\prod_{i \leq r_1}c_i\prod_{i > r_1}c_i^2 = B$ となるように定める。集合 $\lbrace \lvert \rho_i \rvert \leq c_i\ (\forall i) \rbrace$ はコンパクトで原点対称な凸集合で、体積は $2^{r_1}\pi^{r_2}B = 2^{r_1 + r_2}\sqrt{\lvert d_K \rvert} = 2^n\operatorname{vol}(\mathbb{R}^n/j(\mathcal{O}_K))$。定理 3.4 より求める $\beta$ がある。

$\alpha_1 = 1$ から始めてこれを繰り返すと、$\alpha_1, \alpha_2, \dots$ で、$i \neq k$ について $\lvert \rho_i(\alpha_m) \rvert$ が $m$ について狭義単調減少し、$\lvert N(\alpha_m) \rvert \leq B$ となるものが得られる。ノルムが $B$ 以下の単項イデアルは有限個（定理 3.10 の証明）なので、ある $m < m'$ で $(\alpha_m) = (\alpha_{m'})$。$u_k = \alpha_{m'}/\alpha_m$ は単元で、$i \neq k$ について $\lvert \rho_i(u_k) \rvert < 1$、すなわち $\ell_i(u_k) < 0$ である。$\sum_i\ell_i(u_k) = 0$ より $\ell_k(u_k) > 0$。

(3) 階数. $k = 1, \dots, r$ について (2) の $u_k$ をとり、$r \times r$ 行列 $A = (\ell_i(u_k))_{1 \leq i, k \leq r}$ を考える。第 $k$ 列の対角成分は正、非対角成分は負で、列和は $\sum_{i=1}^{r}\ell_i(u_k) = -\ell_{r+1}(u_k) > 0$。よって $a_{kk} > \sum_{i \neq k}\lvert a_{ik} \rvert$。もし $y^{T}A = 0$（$y \neq 0$）なら、$\lvert y_k \rvert$ が最大となる $k$ について $a_{kk}y_k = -\sum_{i \neq k}a_{ik}y_i$ で、$a_{kk}\lvert y_k \rvert \leq \sum_{i \neq k}\lvert a_{ik} \rvert\lvert y_k \rvert < a_{kk}\lvert y_k \rvert$ となり矛盾。よって $A$ は正則で、$\ell(u_1), \dots, \ell(u_r)$ は一次独立、$s = r$。

(4) 構造. $\mathcal{O}_K^\times/\mu_K \cong \ell(\mathcal{O}_K^\times) \cong \mathbb{Z}^r$ は自由アーベル群なので、$\ell(\varepsilon_i)$ が基底となる $\varepsilon_i$ をとれば $\mathcal{O}_K^\times = \mu_K \times \langle\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_r\rangle$ である。$\square$

定義 3.20（基本単数と単数規準）定理 3.19 の $\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_r$ を基本単数系 (system of fundamental units) という。$(r + 1) \times r$ 行列 $(\ell_i(\varepsilon_j))$ から 1 行を除いた $r$ 次正方行列の行列式の絶対値

$$R_K = \lvert \det(\ell_i(\varepsilon_j))_{1 \leq i, j \leq r} \rvert$$

を $K$ の単数規準 (regulator) という（$r = 0$ なら $R_K = 1$）。

除く行によらないことは、全行の和が 0 であることから分かる（除いた後の行列の 1 行を他の行との和で置き換えると、除いた行の $-1$ 倍になる）。基本単数系の取り替えは $\operatorname{GL}_r(\mathbb{Z})$ の元を掛けることなので、$R_K$ は基本単数系のとり方にもよらない。$R_K$ は $\ell(\mathcal{O}_K^\times)$ の $H$ における余体積（の定数倍）であり、第6章の類数公式に現れる。

例 3.21（単数群の階数）虚二次体では $r = 0$ で $\mathcal{O}_K^\times = \mu_K$ は有限（$\mathbb{Q}(i)$ で位数 4、$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ で位数 6、それ以外は $\pm 1$）。実二次体では $r = 1$。$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ は $(r_1, r_2) = (1, 1)$ で $r = 1$、$\mathcal{O}_K^\times = \lbrace \pm 1 \rbrace \times \langle\varepsilon\rangle$、$\varepsilon = 1 + \theta + \theta^2 \approx 3.847$（例 1.17 の単元 $\theta - 1$ の逆元）が基本単数であることが知られており、$R_K = \log\varepsilon \approx 1.347$。$\mathbb{Q}(\zeta_p)$（$p$ は奇素数）は $r = (p-3)/2$ である。

3.8 実二次体の基本単数とペル方程式

$K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$（$d > 1$ は平方因子をもたない）とする。定理 3.19 より $\mathcal{O}_K^\times = \lbrace \pm\varepsilon^k \mid k \in \mathbb{Z} \rbrace$ で、$\varepsilon > 1$ ととれる。これを $K$ の基本単数 (fundamental unit) という。$R_K = \log\varepsilon$ である。

命題 3.22（基本単数の求め方）$\mathcal{O}_K$ の単元 $u > 1$ は $u = (a + b\sqrt{d})/2$（$a, b$ は正の整数、$a^2 - db^2 = \pm 4$）と書ける。基本単数 $\varepsilon$ は、そのような $u$ のうち $b$ が最小のもの（そのうち $a$ が最小のもの）である。特に $d \equiv 2, 3 \pmod 4$ のときは、$db^2 \pm 1$ が平方数 $a^2$ となる最小の $b \geq 1$ をとれば $\varepsilon = a + b\sqrt{d}$ である。

証明. $u$ の共役を $u'$ とすると $uu' = \pm 1$ なので $\lvert u' \rvert = 1/u < 1$。$a = u + u'$, $b\sqrt{d} = u - u'$ はともに正である。$\varepsilon^k = (a_k + b_k\sqrt{d})/2$ とすると、積の公式から $b_{k+1} = (a_kb_1 + a_1b_k)/2 \geq (b_1 + b_k)/2$ なので、帰納法により $b_k \geq b_1$（$k \geq 1$）。単元 $u > 1$ は $\varepsilon^k$（$k \geq 1$）の形なので、$b$ の最小値は $b_1$ である。$b$ を固定すると $u$ は $a$ について増加し、$\varepsilon$ は最小の単元 $> 1$ だから、$b = b_1$ のうち $a$ が最小のものが $\varepsilon$。$d \equiv 2, 3 \pmod 4$ なら $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ で、$a, b$ は偶数、$a/2 + (b/2)\sqrt{d}$ について同じ議論をすればよい（このとき $db^2 + 1$ と $db^2 - 1$ が同時に平方数になることはない）。$\square$

例 3.23 命題 3.22 で小さい $b$ から順に調べると、次の表を得る。

たとえば $d = 7$ では $7b^2 \pm 1$ が $b = 1$ で $8, 6$、$b = 2$ で $29, 27$、$b = 3$ で $64 = 8^2$ となる。$d = 19, 94$ のように、$d$ が小さくても基本単数が非常に大きくなることがある。

ペル方程式. $d > 1$ を平方数でない整数とする。$x^2 - dy^2 = 1$ の整数解は、$\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ のノルム 1 の単元 $x + y\sqrt{d}$ と対応する。