代数体と整数環

この章の目標

• 代数的整数の和と積が再び代数的整数であることを、有限生成加群を使って証明できる
• 体への埋め込みを使ってノルム・トレース・判別式を計算できる
• 整基底の存在を証明し、判別式から整数環を決定する方法を使える
• 二次体と素数次の円分体 $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ の整数環を決定できる

前提：代数学 第6章（ガウスの補題、アイゼンシュタインの判定法）、代数学 第8章（最小多項式、原始元定理）、代数学 第9章（円分体）、可換環論 第4章（整拡大）

整数論の多くの問題は、有理整数 $\mathbb{Z}$ の中だけで考えるより、$\sqrt{-2}$ や 1 の $p$ 乗根 $\zeta_p$ を付け加えた大きな環で考えるほうが見通しがよくなる。たとえば $x^2 + 2 = y^3$ は $(x + \sqrt{-2})(x - \sqrt{-2}) = y^3$ と因数分解できる。フェルマーの方程式 $x^p + y^p = z^p$ は $\prod_{k=0}^{p-1}(x + \zeta_p^k y) = z^p$ となる。ただし、こうした議論が正しく働くには、その環で素因数分解の一意性のような性質が成り立つ必要がある。本章では「代数体の中の整数」とは何かを定め、その基本的な不変量である判別式を調べる。

1.1 なぜ整数環を考えるのか

例 1.1（$x^2 + 2 = y^3$ の整数解）整数解が $(x, y) = (\pm 5, 3)$ だけであることを示す。$y$ が偶数なら $x$ も偶数で、$x^2 + 2 \equiv 2 \pmod 4$ だが $y^3 \equiv 0 \pmod 8$ となり矛盾する。よって $x, y$ は奇数である。$R = \mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ はノルム $a^2 + 2b^2$ に関してユークリッド整域であり、したがって一意分解整域である（代数学 第6章 のガウス整数と同じ議論）。$R$ の単元は $\pm 1$ だけである。$\delta$ が $x + \sqrt{-2}$ と $x - \sqrt{-2}$ の共通の素因子なら $\delta$ は差 $2\sqrt{-2} = -(\sqrt{-2})^3$ を割るので $\delta$ は $\sqrt{-2}$ に同伴であり、ノルムをとると $2 \mid x^2 + 2$ となって $x$ が奇数であることに反する。よって両者は互いに素で、積が立方数だから、単元 $\pm 1$ が立方数であることにも注意すると $x + \sqrt{-2} = (a + b\sqrt{-2})^3$（$a, b \in \mathbb{Z}$）と書ける。展開すると

なので $b(3a^2 - 2b^2) = 1$。よって $b = \pm 1$ かつ $3a^2 - 2 = \pm 1$、すなわち $b = 1$, $a = \pm 1$ で、$x = a^3 - 6a = \mp 5$、$y = 3$ を得る。

この議論の要は、$R$ で素因数分解が一意的であることだった。ところが、同じような環でも一意性が成り立たないことがある。

例 1.2 $R = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ で

である。$N(a + b\sqrt{-5}) = a^2 + 5b^2$ は乗法的で、値 $2, 3$ をとらない。したがってノルム $4, 9, 6$ の元 $2, 3, 1 \pm \sqrt{-5}$ はどれも既約元であり、互いに同伴でもない。よって $R$ は一意分解整域ではない。

この「一意分解の破綻」をイデアルの素因数分解で回復するのが第2章の主題である。その前に、どの環を考えるのが正しいかを決めておく必要がある。たとえば $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ では $4 = 2 \cdot 2 = (1 + \sqrt{-3})(1 - \sqrt{-3})$ と一意性が壊れるが、少し大きい環 $\mathbb{Z}[\omega]$（$\omega = (-1 + \sqrt{-3})/2$）は一意分解整域である。実は $\omega$ も $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ というモニック整数係数多項式の根であり、「整数」の仲間に入れるべきものだった。こうして次の定義に至る。

1.2 代数的整数

定義 1.3（代数体, number field）$\mathbb{Q}$ の有限次拡大体 $K$ を代数体という。$n = [K : \mathbb{Q}]$ を $K$ の次数という。$n = 2$ のとき二次体 (quadratic field) という。

原始元定理により $K = \mathbb{Q}(\theta)$ と書け、$K$ は $\mathbb{C}$ の部分体と同型である。以下、必要に応じて $K \subset \mathbb{C}$ とみなす。

定義 1.4（代数的整数, algebraic integer）複素数 $\alpha$ が、モニックな整数係数多項式 $x^m + c_{m-1}x^{m-1} + \cdots + c_0 \in \mathbb{Z}[x]$ の根であるとき、$\alpha$ を代数的整数という。代数的整数全体を $\overline{\mathbb{Z}}$ と書く。

命題 1.5 代数的数 $\alpha$ が代数的整数であるための必要十分条件は、$\alpha$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式 $m_\alpha$ が $\mathbb{Z}[x]$ に属することである。

証明. 十分性は定義から明らかである。必要性を示す。$\alpha$ がモニックな $g \in \mathbb{Z}[x]$ の根なら $g = m_\alpha h$（$h \in \mathbb{Q}[x]$ はモニック）と書ける。正の有理数 $c, c'$ を $c m_\alpha$, $c' h$ が原始多項式（係数の最大公約数が 1 の整数係数多項式）となるようにとる。ガウスの補題（代数学 第6章）により $cc' g = (cm_\alpha)(c'h)$ は原始多項式である。$g$ も原始的（モニック）なので $cc' = 1$。$cm_\alpha$, $c'h$ の最高次係数はそれぞれ $c$, $c'$ で、どちらも整数だから $c = c' = 1$。よって $m_\alpha \in \mathbb{Z}[x]$ である。$\square$

特に、有理数 $a/b$ の最小多項式は $x - a/b$ なので、$\overline{\mathbb{Z}} \cap \mathbb{Q} = \mathbb{Z}$ である。

例 1.6 $(1 + \sqrt{5})/2$ の最小多項式は $x^2 - x - 1$ なので代数的整数である。一方 $(1 + \sqrt{3})/2$ の最小多項式は $x^2 - x - \frac{1}{2}$ なので代数的整数でない。$\alpha = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ については $\alpha^2 = 5 + 2\sqrt{6}$ から $(\alpha^2 - 5)^2 = 24$、すなわち $\alpha^4 - 10\alpha^2 + 1 = 0$ で、代数的整数である。

和や積が代数的整数になることを、最小多項式を直接計算して示すのは難しい。次の判定法が鍵になる。

補題 1.7（有限生成加群による判定）$\alpha \in \mathbb{C}$ について次は同値である。

1. $\alpha$ は代数的整数である。
2. $\mathbb{Z}[\alpha]$ は有限生成 $\mathbb{Z}$ 加群である。
3. $0$ でない有限生成 $\mathbb{Z}$ 部分加群 $M \subset \mathbb{C}$ で $\alpha M \subset M$ となるものが存在する。

証明. (1)⇒(2)：$\alpha^m = -(c_{m-1}\alpha^{m-1} + \cdots + c_0)$ を繰り返し使うと、すべての $\alpha^k$ は $1, \alpha, \dots, \alpha^{m-1}$ の整数係数一次結合になる。(2)⇒(3)：$M = \mathbb{Z}[\alpha]$ とすればよい。(3)⇒(1)：$M$ の生成元を $v_1, \dots, v_r$ とすると、$\alpha v_i = \sum_j a_{ij}v_j$（$a_{ij} \in \mathbb{Z}$）と書ける。行列 $A = (a_{ij})$ とベクトル $v = (v_1, \dots, v_r)^{T} \neq 0$ について $(\alpha I - A)v = 0$ だから $\det(\alpha I - A) = 0$ である。$\det(xI - A)$ はモニックな整数係数多項式なので、$\alpha$ は代数的整数である。$\square$

定理 1.8 代数的整数の和・差・積は代数的整数である。すなわち $\overline{\mathbb{Z}}$ は $\mathbb{C}$ の部分環である。

証明. $\alpha, \beta$ がそれぞれ $m$ 次、$l$ 次のモニック整数係数多項式の根とする。補題 1.7 の証明と同様に、$M = \mathbb{Z}[\alpha, \beta]$ は $\alpha^i\beta^j$（$0 \leq i < m$, $0 \leq j < l$）で生成される有限生成 $\mathbb{Z}$ 加群である。$M$ は $\alpha \pm \beta$ 倍と $\alpha\beta$ 倍で閉じているから、補題 1.7 の (3) により $\alpha \pm \beta$, $\alpha\beta$ は代数的整数である。$\square$

定義 1.9（整数環, ring of integers）代数体 $K$ に対し、$\mathcal{O}_K = K \cap \overline{\mathbb{Z}}$ を $K$ の整数環という。定理 1.8 により $\mathcal{O}_K$ は $K$ の部分環である。$\mathcal{O}_K$ の元を $K$ の整数という。

これは可換環論の言葉では「$\mathbb{Z}$ の $K$ における整閉包」である（可換環論 第4章）。

命題 1.10 $K$ を代数体とする。

1. 任意の $\alpha \in K$ に対し、$d\alpha \in \mathcal{O}_K$ となる $d \in \mathbb{N}$ が存在する。特に $K = \operatorname{Frac}(\mathcal{O}_K)$ であり、$\mathcal{O}_K$ は $K$ の $\mathbb{Q}$ 基底を含む。
2. $\mathcal{O}_K$ は整閉整域である。すなわち、$K$ の元で $\mathcal{O}_K$ 係数のモニック多項式の根になるものは $\mathcal{O}_K$ に属する。

証明. (1) $\alpha$ が $a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0$（$a_i \in \mathbb{Z}$, $a_n \neq 0$）の根なら、両辺に $a_n^{n-1}$ を掛けると $a_n\alpha$ はモニック多項式 $x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}a_n x^{n-2} + \cdots + a_0 a_n^{n-1}$ の根である。$d = \lvert a_n \rvert$ とすればよい。

(2) $\beta \in K$ が $\beta^m + c_{m-1}\beta^{m-1} + \cdots + c_0 = 0$（$c_i \in \mathcal{O}_K$）をみたすとする。定理 1.8 の証明と同様に $\mathbb{Z}[c_0, \dots, c_{m-1}]$ は有限生成 $\mathbb{Z}$ 加群で、$M = \sum_{j=0}^{m-1}\mathbb{Z}[c_0, \dots, c_{m-1}]\beta^j$ は有限生成かつ $\beta M \subset M$ をみたす。補題 1.7 により $\beta \in \overline{\mathbb{Z}} \cap K = \mathcal{O}_K$。$\square$

1.3 埋め込み、ノルムとトレース

命題 1.11 $[K : \mathbb{Q}] = n$ のとき、体の準同型 $\sigma\colon K \to \mathbb{C}$（埋め込み, embedding）はちょうど $n$ 個ある。

証明. $K = \mathbb{Q}(\theta)$ とし、$\theta$ の最小多項式を $f$ とする。埋め込み $\sigma$ は $\sigma(\theta)$ で決まり、$\sigma(\theta)$ は $f$ の根である。逆に $f$ の各根 $\theta'$ に対し $\theta \mapsto \theta'$ で定まる埋め込みがある（代数学 第8章）。標数 0 では既約多項式は重根をもたないので、$f$ の根は $n$ 個ある。$\square$

埋め込みのうち像が $\mathbb{R}$ に含まれるものを実埋め込み、そうでないものを複素埋め込みという。複素埋め込みは複素共役 $\overline{\sigma}$ と対になって現れる。実埋め込みの個数を $r_1$、複素埋め込みの対の個数を $r_2$ とすると $n = r_1 + 2r_2$ である。

例 1.12 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ は $d > 0$ なら $(r_1, r_2) = (2, 0)$、$d < 0$ なら $(0, 1)$。$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ は $x^3 - 2$ の実根が 1 つなので $(1, 1)$。$p$ が奇素数のとき $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ は実埋め込みをもたず $(0, (p-1)/2)$。

定義 1.13（ノルムとトレース）$\alpha \in K$ に対し、$\mathbb{Q}$ 線形写像 $\mu_\alpha\colon K \to K$, $x \mapsto \alpha x$ の特性多項式を $P_\alpha(x)$ と書き、

$$\operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha) = \operatorname{tr}(\mu_\alpha), \qquad N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha) = \det(\mu_\alpha)$$

をそれぞれ $\alpha$ のトレース (trace)、ノルム (norm) という。

$\mu_{\alpha + \beta} = \mu_\alpha + \mu_\beta$, $\mu_{\alpha\beta} = \mu_\alpha \mu_\beta$ より、トレースは加法的、ノルムは乗法的である。（最小多項式の記号 $m_\alpha$ と混同しないように、掛け算写像は $\mu_\alpha$ と書く。）

定理 1.14 $K$ の埋め込みを $\sigma_1, \dots, \sigma_n$、$\alpha \in K$ の $\mathbb{Q}$ 上の次数を $d$ とすると

$$P_\alpha(x) = m_\alpha(x)^{n/d} = \prod_{i=1}^{n}(x - \sigma_i(\alpha))$$

である。特に $\operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha) = \sum_i \sigma_i(\alpha)$, $N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha) = \prod_i \sigma_i(\alpha)$ である。

証明. $L = \mathbb{Q}(\alpha)$ の基底 $1, \alpha, \dots, \alpha^{d-1}$ に関する $\mu_\alpha\vert_L$ の行列は最小多項式 $m_\alpha$ の同伴行列で、その特性多項式は $m_\alpha(x)$ である。$K$ の $L$ 上の基底 $\beta_1, \dots, \beta_{n/d}$ をとると $K = \bigoplus_j L\beta_j$ で、各 $L\beta_j$ は $\mu_\alpha$ で保たれ、$L$ 上の $\mu_\alpha$ と同じ行列で表される。よって $P_\alpha = m_\alpha^{n/d}$。次に、$L$ の埋め込みは $\alpha$ を $m_\alpha$ の各根に送る $d$ 個であり、そのそれぞれは $K$ の埋め込みにちょうど $[K : L] = n/d$ 通りに延長される（代数学 第8章、標数 0 なので分離的）。したがって $\sigma_1(\alpha), \dots, \sigma_n(\alpha)$ には $m_\alpha$ の各根がちょうど $n/d$ 回ずつ現れ、第 2 の等号を得る。$\square$

系 1.15 $\alpha \in \mathcal{O}_K$ ならば $P_\alpha \in \mathbb{Z}[x]$、特に $\operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha), N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha) \in \mathbb{Z}$ である。さらに、$\alpha \in \mathcal{O}_K$ が $\mathcal{O}_K$ の単元であるための必要十分条件は $N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha) = \pm 1$ である。

証明. 前半は命題 1.5 と定理 1.14 から従う。$\alpha\beta = 1$（$\beta \in \mathcal{O}_K$）なら $N(\alpha)N(\beta) = 1$ で両者は整数だから $\pm 1$。逆に $N(\alpha) = \pm 1$ とし、$P_\alpha(x) = x^n + c_{n-1}x^{n-1} + \cdots + c_1 x + c_0$ とおくと $c_0 = (-1)^n N(\alpha) = \pm 1$ で、$P_\alpha(\alpha) = 0$ から $\alpha(\alpha^{n-1} + c_{n-1}\alpha^{n-2} + \cdots + c_1) = -c_0$。よって $\alpha^{-1} = -c_0(\alpha^{n-1} + \cdots + c_1) \in \mathcal{O}_K$。$\square$

例 1.16 二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ の埋め込みは $\sqrt{d} \mapsto \pm\sqrt{d}$ なので、$\operatorname{Tr}(a + b\sqrt{d}) = 2a$, $N(a + b\sqrt{d}) = a^2 - db^2$ である。

例 1.17（純三次体）$\theta = \sqrt[3]{2}$, $K = \mathbb{Q}(\theta)$ とし、$\alpha = a + b\theta + c\theta^2$（$a, b, c \in \mathbb{Q}$）とする。$\alpha\theta = 2c + a\theta + b\theta^2$, $\alpha\theta^2 = 2b + 2c\theta + a\theta^2$ だから、基底 $1, \theta, \theta^2$ に関する $\mu_\alpha$ の行列と、そのトレース・行列式は

となる。たとえば $N(\theta - 1) = -1 + 2 = 1$ なので $\theta - 1$ は単元であり、実際 $(\theta - 1)(\theta^2 + \theta + 1) = \theta^3 - 1 = 1$ である。$\theta - 1 \approx 0.26$ は $\pm 1$ でも 1 のべき根でもないので、そのべき $(\theta - 1)^k$ はすべて異なる単元である。$\mathcal{O}_K$ の単元群は無限群であり、その構造は第3章のディリクレの単数定理で決まる。

1.4 判別式と整基底

定義 1.18（判別式, discriminant）$\alpha_1, \dots, \alpha_n \in K$（$n = [K : \mathbb{Q}]$）に対し

$$d(\alpha_1, \dots, \alpha_n) = \det\bigl(\operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha_i\alpha_j)\bigr)_{1 \leq i, j \leq n}$$

を $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ の判別式という。

命題 1.19

1. $d(\alpha_1, \dots, \alpha_n) = \det\bigl(\sigma_i(\alpha_j)\bigr)^2$。
2. $\beta_j = \sum_k c_{jk}\alpha_k$（$C = (c_{jk}) \in \operatorname{M}_n(\mathbb{Q})$）ならば $d(\beta_1, \dots, \beta_n) = (\det C)^2 d(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$。
3. $K = \mathbb{Q}(\theta)$、$\theta$ の最小多項式を $f$、その根を $\theta_1, \dots, \theta_n$ とすると

$$d(1, \theta, \dots, \theta^{n-1}) = \prod_{i < j}(\theta_i - \theta_j)^2 = (-1)^{n(n-1)/2}N_{K/\mathbb{Q}}(f'(\theta))$$

4. $d(\alpha_1, \dots, \alpha_n) \neq 0$ であるための必要十分条件は、$\alpha_1, \dots, \alpha_n$ が $K$ の $\mathbb{Q}$ 基底であることである。

証明. (1) $A = (\sigma_i(\alpha_j))$ とおくと $(A^{T}A)_{jk} = \sum_i \sigma_i(\alpha_j\alpha_k) = \operatorname{Tr}(\alpha_j\alpha_k)$（定理 1.14）。(2) $(\sigma_i(\beta_j)) = AC^{T}$ と (1) から従う。(3) $\sigma_i(\theta) = \theta_i$ とすると $(\sigma_i(\theta^{j-1}))$ はヴァンデルモンド行列で、その行列式は $\prod_{i < j}(\theta_j - \theta_i)$。また $f'(\theta_i) = \prod_{j \neq i}(\theta_i - \theta_j)$ なので $\prod_i f'(\theta_i) = \prod_{i \neq j}(\theta_i - \theta_j) = (-1)^{n(n-1)/2}\prod_{i < j}(\theta_i - \theta_j)^2$、左辺は $N(f'(\theta))$ に等しい。(4) 一次従属なら $A$ の列が一次従属で行列式は 0。基底なら (2) により冪基底の場合に帰着し、$\theta_i$ は相異なるので (3) より 0 でない。$\square$

例 1.20 $f = x^3 - 2$, $\theta = \sqrt[3]{2}$ では $f'(\theta) = 3\theta^2$、$N(3\theta^2) = 27N(\theta)^2 = 27 \cdot 4 = 108$ なので $d(1, \theta, \theta^2) = (-1)^3 \cdot 108 = -108$。一般に $f = x^3 + ax + b$ なら $d(1, \theta, \theta^2) = -4a^3 - 27b^2$ である（問題 1.3）。

定理 1.21（整基底の存在）$[K : \mathbb{Q}] = n$ とすると、$\mathcal{O}_K$ は階数 $n$ の自由 $\mathbb{Z}$ 加群である。すなわち、$\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}\omega_1 \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}\omega_n$ となる $\omega_1, \dots, \omega_n \in \mathcal{O}_K$ が存在する。

証明. 命題 1.10 により、$\mathcal{O}_K$ に含まれる $K$ の $\mathbb{Q}$ 基底が存在する。そのような基底の判別式は、系 1.15 により整数行列 $(\operatorname{Tr}(\alpha_i\alpha_j))$ の行列式なので整数であり、命題 1.19 (4) により 0 でない。そこで $\lvert d(\omega_1, \dots, \omega_n) \rvert$ が最小となる基底 $\omega_1, \dots, \omega_n \subset \mathcal{O}_K$ をとる。$\mathcal{O}_K = \sum_i \mathbb{Z}\omega_i$ を示す。$\alpha \in \mathcal{O}_K$ を $\alpha = \sum_i c_i\omega_i$（$c_i \in \mathbb{Q}$）と書き、ある $c_i$、たとえば $c_1$ が整数でないと仮定する。$c_1 = m + r$（$m \in \mathbb{Z}$, $0 < r < 1$）とし、$\omega_1' = \alpha - m\omega_1 = r\omega_1 + c_2\omega_2 + \cdots + c_n\omega_n \in \mathcal{O}_K$ とおく。$\omega_1', \omega_2, \dots, \omega_n$ も $\mathcal{O}_K$ に含まれる基底で、基底変換行列の行列式は $r$ だから、命題 1.19 (2) より判別式は $r^2 d(\omega_1, \dots, \omega_n)$ となり、絶対値が真に小さい。これは最小性に反する。$\square$

定義 1.22（整基底と判別式）定理 1.21 の $\omega_1, \dots, \omega_n$ を $K$ の整基底 (integral basis) という。$d_K = d(\omega_1, \dots, \omega_n)$ を $K$ の判別式という。

別の整基底への変換行列 $C$ は $\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$ の元で $\det C = \pm 1$ だから、$d_K$ は整基底のとり方によらない。

命題 1.23 $\alpha_1, \dots, \alpha_n \in \mathcal{O}_K$ を $K$ の $\mathbb{Q}$ 基底とし、$M = \sum_i \mathbb{Z}\alpha_i$ とおく。このとき

$$d(\alpha_1, \dots, \alpha_n) = [\mathcal{O}_K : M]^2 \, d_K$$

である。特に $d(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ が平方因子をもたなければ $M = \mathcal{O}_K$ である。

証明. 整基底 $\omega_1, \dots, \omega_n$ を用いて $\alpha_j = \sum_k c_{jk}\omega_k$（$c_{jk} \in \mathbb{Z}$）と書くと、自由 $\mathbb{Z}$ 加群の部分加群の指数は $[\mathcal{O}_K : M] = \lvert \det C \rvert$ である（単因子標準形による。代数学 第7章）。命題 1.19 (2) から従う。$\square$

1.5 アイゼンシュタイン多項式と指数

判別式だけでは $\mathcal{O}_K$ が決まらないことが多い。次の補題は、$\mathbb{Z}[\theta]$ の指数が特定の素数で割り切れないことを保証する。

命題 1.24 $K = \mathbb{Q}(\theta)$、$\theta \in \mathcal{O}_K$ とし、$\theta$ の最小多項式 $f$ が素数 $p$ に関してアイゼンシュタイン多項式であるとする。このとき $p \nmid [\mathcal{O}_K : \mathbb{Z}[\theta]]$ である。

証明. $f = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0$ で $p \mid a_i$（すべての $i$）, $p^2 \nmid a_0$ とする。$\theta^n = -(a_{n-1}\theta^{n-1} + \cdots + a_0)$ なので $\theta^n/p \in \mathbb{Z}[\theta]$、したがって $\theta^k/p \in \mathbb{Z}[\theta]$（$k \geq n$）である。また $N(\theta) = (-1)^n a_0$ である。

$p$ が指数を割り切ると仮定すると、有限アーベル群 $\mathcal{O}_K/\mathbb{Z}[\theta]$ は位数 $p$ の元をもつ。すなわち $\beta \in \mathcal{O}_K \setminus \mathbb{Z}[\theta]$ で $p\beta \in \mathbb{Z}[\theta]$ となるものがある。$p\beta = c_0 + c_1\theta + \cdots + c_{n-1}\theta^{n-1}$（$c_i \in \mathbb{Z}$）と書くと、$\beta \notin \mathbb{Z}[\theta]$ よりある $c_i$ は $p$ で割り切れない。そのような最小の添字を $j$ とすると

である。$\gamma\theta^{n-1-j} = \dfrac{c_j\theta^{n-1}}{p} + \dfrac{c_{j+1}\theta^{n} + \cdots + c_{n-1}\theta^{2n-2-j}}{p}$ の右辺第 2 項は $\mathbb{Z}[\theta]$ に属するから、$c_j\theta^{n-1}/p \in \mathcal{O}_K$。そのノルム $c_j^n a_0^{n-1}/p^n$（符号を除く）は整数でなければならないが、$p \nmid c_j$ かつ $a_0$ は $p$ でちょうど 1 回割り切れるので分子の $p$ べき指数は $n - 1$ で、$p^n$ で割り切れない。矛盾である。$\square$

例 1.25 $K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ では $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\theta]$、$d_K = -108$ である。実際、$d(1, \theta, \theta^2) = -108 = -2^2 \cdot 3^3$ なので命題 1.23 より指数の 2 乗は $2^2 \cdot 3^3$ を割り、指数は $2^a3^b$ の形である。$x^3 - 2$ は $p = 2$ でアイゼンシュタインだから指数は偶数でない。また $\theta + 1$ の最小多項式は $(x - 1)^3 - 2 = x^3 - 3x^2 + 3x - 3$ で $p = 3$ でアイゼンシュタインであり、$\mathbb{Z}[\theta + 1] = \mathbb{Z}[\theta]$ だから指数は 3 でも割り切れない。よって指数は 1 である。

1.6 二次体の整数環

定理 1.26（二次体の整数環）$d \neq 0, 1$ を平方因子をもたない整数とし、$K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ とする。

$$\mathcal{O}_K = \begin{cases} \mathbb{Z}[\sqrt{d}], & d \equiv 2, 3 \pmod 4, \\ \mathbb{Z}\left[\dfrac{1 + \sqrt{d}}{2}\right], & d \equiv 1 \pmod 4, \end{cases} \qquad d_K = \begin{cases} 4d, & d \equiv 2, 3 \pmod 4, \\ d, & d \equiv 1 \pmod 4. \end{cases}$$

証明. $\alpha = a + b\sqrt{d}$（$a, b \in \mathbb{Q}$, $b \neq 0$）の最小多項式は $x^2 - 2ax + (a^2 - db^2)$ なので、命題 1.5 より $\alpha \in \mathcal{O}_K \iff 2a \in \mathbb{Z}$ かつ $a^2 - db^2 \in \mathbb{Z}$ である（$b = 0$ のときも同じ条件で正しい）。$A = 2a$ とおくと $A^2 - d(2b)^2 \in 4\mathbb{Z}$ より $d(2b)^2 \in \mathbb{Z}$。$2b = u/v$（既約分数, $v \geq 1$）とすると $v^2 \mid du^2$、$\gcd(u, v) = 1$ より $v^2 \mid d$ で、$d$ は平方因子をもたないから $v = 1$。よって $B = 2b \in \mathbb{Z}$ で、条件は $A^2 \equiv dB^2 \pmod 4$ となる。

• $A$ が偶数なら $dB^2 \equiv 0 \pmod 4$。$4 \nmid d$ なので $B$ は偶数。
• $A$ が奇数なら $dB^2 \equiv 1 \pmod 4$ で、$B$ は奇数かつ $d \equiv 1 \pmod 4$。

したがって $d \equiv 2, 3 \pmod 4$ なら $a, b \in \mathbb{Z}$ で $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt{d}]$。$d \equiv 1 \pmod 4$ なら $\mathcal{O}_K = \lbrace (A + B\sqrt{d})/2 \mid A \equiv B \pmod 2 \rbrace = \mathbb{Z} + \mathbb{Z}\omega$（$\omega = (1 + \sqrt{d})/2$）である。

判別式は、$\operatorname{Tr}(1) = 2$, $\operatorname{Tr}(\sqrt{d}) = 0$, $\operatorname{Tr}(d) = 2d$ から $d(1, \sqrt{d}) = 4d$。また $\operatorname{Tr}(\omega) = 1$, $\omega^2 = (1 + d + 2\sqrt{d})/4$ より $\operatorname{Tr}(\omega^2) = (1 + d)/2$ で、$d(1, \omega) = 2 \cdot \frac{1+d}{2} - 1 = d$。$\square$

例 1.27 いくつかの二次体の整数環と判別式を挙げる。

$(1 + \sqrt{-3})/2 = -\omega^2$ なので $\mathbb{Z}[(1 + \sqrt{-3})/2] = \mathbb{Z}[\omega]$ である。1.1 節で $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ が「正しい環」でなかったのは、それが整数環 $\mathbb{Z}[\omega]$ の指数 2 の部分環だったからである。

1.7 円分体の整数環

$p$ を素数、$\zeta = \zeta_p = e^{2\pi i/p}$、$K = \mathbb{Q}(\zeta)$ とする。円分多項式 $\Phi_p(x) = x^{p-1} + \cdots + x + 1$ は既約で（代数学 第6章 定理 6.26）、$[K : \mathbb{Q}] = p - 1$、$K$ の埋め込みは $\zeta \mapsto \zeta^k$（$1 \leq k \leq p-1$）である。

補題 1.28

1. $p \nmid k$ ならば $(1 - \zeta^k)/(1 - \zeta)$ は $\mathbb{Z}[\zeta]$ の単元である。
2. $\prod_{k=1}^{p-1}(1 - \zeta^k) = p$。特に $N_{K/\mathbb{Q}}(1 - \zeta) = p$ であり、$p = u(1 - \zeta)^{p-1}$（$u \in \mathbb{Z}[\zeta]^\times$）と書ける。
3. $p \nmid k$ ならば $\operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\zeta^k) = -1$。

証明. (1) $(1 - \zeta^k)/(1 - \zeta) = 1 + \zeta + \cdots + \zeta^{k-1} \in \mathbb{Z}[\zeta]$。$kl \equiv 1 \pmod p$ となる $l$ をとると $\zeta = (\zeta^k)^l$ なので、逆数 $(1 - \zeta)/(1 - \zeta^k) = 1 + \zeta^k + \cdots + \zeta^{k(l-1)}$ も $\mathbb{Z}[\zeta]$ に属する。(2) $\Phi_p(x) = \prod_{k=1}^{p-1}(x - \zeta^k)$ に $x = 1$ を代入すると $\Phi_p(1) = p$。左辺は $1 - \zeta$ の共役の積すなわちノルムであり、(1) から $p = \prod_k \frac{1 - \zeta^k}{1 - \zeta} \cdot (1 - \zeta)^{p-1}$。(3) $\zeta^k$ の共役は原始 $p$ 乗根全体で、その和は $\Phi_p$ の $x^{p-2}$ の係数の符号を変えた $-1$ である。$\square$