円分体と平方剰余の相互法則

この章の目標

• ガウス和を定義し、$g^2 = p^{\ast}$ や $\lvert g(\chi) \rvert = \sqrt{p}$ を証明できる
• すべての二次体が円分体に含まれることを示す
• 平方剰余の相互法則を、ガウス和による方法と円分体の分解法則による方法の二通りで証明できる
• ヤコビ記号を用いてルジャンドル記号を効率よく計算できる
• クロネッカー–ウェーバーの定理、クンマーによるフェルマーの最終定理の研究の概要を知る

前提：第1章、第2章（二次体・円分体の分解法則、フロベニウス元）、代数学 第1章（ルジャンドル記号、オイラーの規準）、代数学 第9章（円分体のガロア群）

平方剰余の相互法則は、オイラーが発見し、ガウスが初めて証明した初等整数論の頂点である。ガウスは生涯に 8 通りの証明を与えたが、その一つはガウス和を用いるもので、円分体の算術と深く結びついている。本章では、相互法則が「二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{p^{\ast}})$ が円分体 $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ に含まれる」という事実の帰結であることを見る。この視点は第7章の類体論――アーベル拡大における素数の分解は合同条件で決まる――の出発点である。

4.1 平方剰余の相互法則

$p$ を奇素数とする。整数 $a$ に対し、ルジャンドル記号 (Legendre symbol) $\left(\frac{a}{p}\right)$ は、$p \mid a$ なら $0$、$a$ が $\bmod p$ で平方数なら $1$、そうでなければ $-1$ と定める（代数学 第1章）。オイラーの規準 $\left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{(p-1)/2} \pmod p$ より、$a \mapsto \left(\frac{a}{p}\right)$ は $\mathbb{F}_p^\times$ から $\lbrace \pm 1 \rbrace$ への全射準同型である。$\mathbb{F}_p^\times$ は巡回群なので、これは位数 2 のただ 1 つの指標であり、その核は平方元のなす指数 2 の部分群である。

以下、奇素数 $p$ に対し

とおく。

定理 4.1（平方剰余の相互法則, quadratic reciprocity law）$p, q$ を相異なる奇素数とすると

$$\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2}}$$

が成り立つ。さらに（第 1・第 2 補充法則）

$$\left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{(p-1)/2}, \qquad \left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{(p^2-1)/8}$$

である。

第 1 補充法則はオイラーの規準で $a = -1$ とおけば得られる。これを使うと

なので、相互法則は次の形と同値である：

(1) の左辺は「$q$ が $\mathbb{Q}(\sqrt{p^{\ast}})$ で分解するか」（定理 2.18）、右辺は「$q \bmod p$ が平方元か」を表している。以下、(1) を二通りに証明する。

4.2 ガウス和

$p$ を奇素数、$\zeta = \zeta_p$ とする。準同型 $\chi\colon \mathbb{F}_p^\times \to \mathbb{C}^\times$ を $\mathbb{F}_p$ の（乗法的）指標 (character) といい、$\chi(0) = 0$ と約束する（$\chi$ が自明指標 $\chi_0$ のときは $\chi_0(0) = 1$ とする流儀もあるが、ここでは非自明な $\chi$ だけを扱う）。$a \in \mathbb{F}_p$ に対して $\zeta^a$ は well-defined である。

定義 4.2（ガウス和, Gauss sum）指標 $\chi$ に対し

$$g(\chi) = \sum_{a \in \mathbb{F}_p}\chi(a)\zeta^a$$

をガウス和という。$\chi = \left(\frac{\cdot}{p}\right)$ のとき、$g = g\left(\left(\frac{\cdot}{p}\right)\right) = \sum_{a=1}^{p-1}\left(\frac{a}{p}\right)\zeta^a$ を二次ガウス和という。

命題 4.3 $\chi \neq \chi_0$ とする。

1. $b \in \mathbb{F}_p^\times$ について $\sum_{a}\chi(a)\zeta^{ab} = \overline{\chi}(b)g(\chi)$。
2. $g(\chi)\overline{g(\chi)} = p$、すなわち $\lvert g(\chi) \rvert = \sqrt{p}$。また $g(\chi)g(\overline{\chi}) = \chi(-1)p$。
3. 特に二次ガウス和について $g^2 = p^{\ast}$ である。

証明. (1) $c = ab$ と置換すると $\sum_c\chi(cb^{-1})\zeta^c = \chi(b^{-1})g(\chi)$ で、$\chi(b^{-1}) = \chi(b)^{-1} = \overline{\chi}(b)$（$\lvert \chi(b) \rvert = 1$）。

(2) $\overline{g(\chi)} = \sum_b\overline{\chi}(b)\zeta^{-b}$ なので

（$a = bc$ と置換し、$\chi(bc)\overline{\chi}(b) = \chi(c)$ を用いた）。内側の和は $c = 1$ なら $p - 1$、$c \neq 1$ なら $\sum_{b \neq 0}\zeta^{b(c-1)} = -1$。$\chi \neq \chi_0$ より $\sum_{c \neq 0}\chi(c) = 0$ なので、全体は $(p - 1) - \sum_{c \neq 0, 1}\chi(c) = (p - 1) + 1 = p$。また $\overline{g(\chi)} = \sum_b\overline{\chi}(b)\zeta^{-b} = \overline{\chi}(-1)g(\overline{\chi})$ で、$\overline{\chi}(-1) = \chi(-1) = \pm 1$。

(3) $\chi = \overline{\chi} = \left(\frac{\cdot}{p}\right)$ に (2) を適用し、第 1 補充法則を用いる。$\square$

例 4.4 $p = 3$：$g = \zeta_3 - \zeta_3^2 = \sqrt{-3}$。$p = 5$：$g = \zeta - \zeta^2 - \zeta^3 + \zeta^4 = 2\cos\frac{2\pi}{5} - 2\cos\frac{4\pi}{5} \approx 0.618 + 1.618 = 2.236 \approx \sqrt{5}$。

(3) は符号を除いて $g = \pm\sqrt{p^{\ast}}$ を決定する。符号の決定はずっと難しい。

定理 4.5（ガウス）$g = \sqrt{p}$（$p \equiv 1 \pmod 4$）、$g = i\sqrt{p}$（$p \equiv 3 \pmod 4$）。

証明は Ireland–Rosen 第 6 章を参照。$p = 3, 5, 7, 11, 13$ では数値計算で確かめられる。

4.3 二次体は円分体に含まれる

定理 4.6 $p$ を奇素数とする。$\sqrt{p^{\ast}} = \pm g \in \mathbb{Z}[\zeta_p]$ であり、$\mathbb{Q}(\sqrt{p^{\ast}})$ は $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ のただ 1 つの二次部分体である。$\sigma_a \in \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q})$（$\sigma_a(\zeta) = \zeta^a$）について $\sigma_a(g) = \left(\frac{a}{p}\right)g$ であり、$\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q}(\sqrt{p^{\ast}}))$ は平方元 $a$ に対応する $\sigma_a$ 全体である。

証明. 命題 4.3 (3) から $g^2 = p^{\ast}$。$\sigma_a(g) = \sum_b\left(\frac{b}{p}\right)\zeta^{ab} = \left(\frac{a}{p}\right)g$（命題 4.3 (1)、二次指標は $\overline{\chi} = \chi$）。よって $\sigma_a$ が $\sqrt{p^{\ast}}$ を固定する $\iff \left(\frac{a}{p}\right) = 1$。ガロア群 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ は偶数位数の巡回群で指数 2 の部分群はただ 1 つだから、ガロア理論の基本定理により二次部分体もただ 1 つである。$\square$

定理 4.7 任意の二次体 $K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ は円分体 $\mathbb{Q}(\zeta_{\lvert d_K \rvert})$ に含まれる。

証明. $\zeta_4 = i$、$\zeta_8 + \zeta_8^{-1} = \sqrt{2}$、$\zeta_8 + \zeta_8^3 = \sqrt{-2}$ に注意する（$(\zeta_8 + \zeta_8^3)^2 = \zeta_8^2 + 2\zeta_8^4 + \zeta_8^6 = i - 2 - i = -2$）。$d$ の奇素因数を $p_1, \dots, p_k$ とする。$P = \prod_i p_i^{\ast}$ は $\pm\prod_i p_i$ で $P \equiv 1 \pmod 4$、$\sqrt{P} = \prod_i\sqrt{p_i^{\ast}} \in \mathbb{Q}(\zeta_{p_1\cdots p_k})$（定理 4.6）。

• $d \equiv 1 \pmod 4$ なら、$\pm\prod p_i$ のうち $4$ を法として $1$ となるのは一方だけなので $d = P$、$\sqrt{d} \in \mathbb{Q}(\zeta_{\lvert d \rvert})$、$d_K = d$。
• $d \equiv 3 \pmod 4$ なら $d = -P$、$\sqrt{d} = i\sqrt{P} \in \mathbb{Q}(\zeta_{4\lvert d \rvert})$、$d_K = 4d$。
• $d = 2d'$（$d'$ は奇数）なら $d = \pm 2P$、$\sqrt{d} = \sqrt{\pm 2}\sqrt{P} \in \mathbb{Q}(\zeta_{8\lvert d' \rvert})$、$\lvert d_K \rvert = 4\lvert d \rvert = 8\lvert d' \rvert$。

いずれの場合も $\sqrt{d} \in \mathbb{Q}(\zeta_{\lvert d_K \rvert})$ である（$\mathbb{Q}(\zeta_a), \mathbb{Q}(\zeta_b) \subset \mathbb{Q}(\zeta_{\operatorname{lcm}(a,b)})$ に注意）。$\square$

例 4.8 $\mathbb{Q}(\sqrt{5}) \subset \mathbb{Q}(\zeta_5)$（$\sqrt{5} = \zeta_5 - \zeta_5^2 - \zeta_5^3 + \zeta_5^4$）、$\mathbb{Q}(\sqrt{-7}) \subset \mathbb{Q}(\zeta_7)$、$\mathbb{Q}(\sqrt{3}) \subset \mathbb{Q}(\zeta_{12})$（$\sqrt{3} = \zeta_{12} + \zeta_{12}^{-1} = 2\cos\frac{\pi}{6}$）、$\mathbb{Q}(\sqrt{-5}) \subset \mathbb{Q}(\zeta_{20})$（$\sqrt{-5} = i\sqrt{5}$）。$K \subset \mathbb{Q}(\zeta_m)$ となる最小の $m$ を $K$ の導手 (conductor) といい、二次体の導手は $\lvert d_K \rvert$ である（第7章）。

4.4 ガウス和による相互法則の証明

定理 4.1 の証明（その 1）. $p \neq q$ を奇素数、$R = \mathbb{Z}[\zeta_p]$ とし、(1) を示す。$R/qR$ は標数 $q$ の環なので、$(x + y)^q \equiv x^q + y^q \pmod{qR}$ が成り立つ。一方で、オイラーの規準から

他方で、$\left(\frac{a}{p}\right)^q = \left(\frac{a}{p}\right)$（$q$ は奇数）と命題 4.3 (1) から

両辺に $g$ を掛けると $\left(\frac{p^{\ast}}{q}\right)p^{\ast} \equiv \left(\frac{q}{p}\right)p^{\ast} \pmod{qR}$。両辺は整数で、$qR \cap \mathbb{Z} = q\mathbb{Z}$（$n \in qR$ なら $n/q \in R \cap \mathbb{Q} = \mathbb{Z}$）なので、これは $\bmod q$ の合同式である。$p^{\ast}$ は $\bmod q$ で可逆だから $\left(\frac{p^{\ast}}{q}\right) \equiv \left(\frac{q}{p}\right) \pmod q$ で、両辺は $\pm 1$、$q > 2$ なので等しい。$\square$

4.5 円分体の分解法則による証明

定理 4.1 の証明（その 2）. $L = \mathbb{Q}(\zeta_p)$、$F = \mathbb{Q}(\sqrt{p^{\ast}}) \subset L$ とする。$p^{\ast} \equiv 1 \pmod 4$ なので $d_F = p^{\ast}$ で、$q$ は $F$ で不分岐である。$q$ が $F$ で分解するかどうかを二通りに計算する。

• 定理 2.18 より、$q$ が $F$ で分解する $\iff \left(\frac{p^{\ast}}{q}\right) = 1$。
• 定理 2.29 より $q$ の $L$ でのフロベニウス元は $\sigma_q$ であり、命題 2.25 (3) よりその $F$ への制限は $q$ の $F$ でのフロベニウス元である。$q$ が $F$ で分解する $\iff \sigma_q\vert_F = 1 \iff \sigma_q \in \operatorname{Gal}(L/F) \iff \left(\frac{q}{p}\right) = 1$（定理 4.6）。

よって $\left(\frac{p^{\ast}}{q}\right) = \left(\frac{q}{p}\right)$。$\square$

4.6 第 2 補充法則

命題 4.9 奇素数 $p$ について $\left(\frac{2}{p}\right) = 1 \iff p \equiv \pm 1 \pmod 8$。これは $\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{(p^2 - 1)/8}$ と同値である。

証明. 第 2 の証明と同じ考え方で、$F = \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \subset L = \mathbb{Q}(\zeta_8)$ を用いる。$p$ は $L$ で不分岐で $\operatorname{Frob}_p = \sigma_p$。定理 2.18 より $p$ が $F$ で分解する $\iff \left(\frac{2}{p}\right) = 1$。一方、それは $\sigma_p$ が $\sqrt{2} = \zeta_8 + \zeta_8^{-1}$ を固定することと同値である。$\zeta_8^{\pm 1} + \zeta_8^{\mp 1} = \sqrt{2}$、$\zeta_8^{3} + \zeta_8^{-3} = -\sqrt{2}$ なので、これは $p \equiv \pm 1 \pmod 8$ と同値。最後の同値性は $p \equiv \pm 1 \pmod 8$ なら $(p^2 - 1)/8$ が偶数、$p \equiv \pm 3 \pmod 8$ なら奇数であることから分かる。$\square$

例 4.10（3 が平方剰余となる素数）$p \neq 2, 3$ について、相互法則から $\left(\frac{3}{p}\right) = (-1)^{(p-1)/2}\left(\frac{p}{3}\right)$。$\left(\frac{p}{3}\right) = 1 \iff p \equiv 1 \pmod 3$ なので、$\left(\frac{3}{p}\right) = 1 \iff p \equiv \pm 1 \pmod{12}$。たとえば $p = 11$ では $5^2 = 25 \equiv 3$、$p = 13$ では $4^2 = 16 \equiv 3$ で、$p = 7$（平方剰余は $1, 2, 4$）では 3 は平方剰余でない。これは $\mathbb{Q}(\sqrt{3}) \subset \mathbb{Q}(\zeta_{12})$ と、$(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})^\times$ の部分群 $\lbrace \pm 1 \rbrace$ の関係として理解できる。

4.7 ヤコビ記号

ルジャンドル記号を相互法則で計算するには、途中で現れる数を素因数分解する必要がある。ヤコビ記号はこの手間を省く。

定義 4.11（ヤコビ記号, Jacobi symbol）$n$ を正の奇数、$n = p_1p_2\cdots p_k$（素数の積、重複を許す）とする。整数 $a$ に対し

$$\left(\frac{a}{n}\right) = \prod_{i=1}^{k}\left(\frac{a}{p_i}\right)$$

と定める（$n = 1$ なら $1$）。

命題 4.12 $m, n$ を正の奇数とする。

1. $\left(\frac{a}{n}\right)$ は $a \bmod n$ だけで決まり、$a$ についても $n$ についても乗法的である。
2. $\left(\frac{-1}{n}\right) = (-1)^{(n-1)/2}$, $\left(\frac{2}{n}\right) = (-1)^{(n^2-1)/8}$。
3. $\gcd(m, n) = 1$ ならば $\left(\frac{m}{n}\right)\left(\frac{n}{m}\right) = (-1)^{\frac{m-1}{2} \cdot \frac{n-1}{2}}$。

証明. (1) は定義から明らか。(2), (3) は、奇数 $m, n$ について

が成り立つこと（差がそれぞれ $\frac{(m-1)(n-1)}{2}$, $\frac{(m^2-1)(n^2-1)}{8}$ で偶数）から、両辺が $m, n$ について乗法的になり、素数の場合（定理 4.1）に帰着する。$\square$

例 4.13 $3083$ と $10007$ はともに素数である。$\left(\frac{3083}{10007}\right)$ を計算する。いずれも $\equiv 3 \pmod 4$ であることなどに注意して

ここで $10007 = 3 \cdot 3083 + 758$、$3083 = 8 \cdot 379 + 51$、$379 = 7 \cdot 51 + 22$、$3083 \equiv 51 \equiv 3 \pmod 8$ を用いた。$51 = 3 \cdot 17$ は合成数だが、ヤコビ記号なので分解せずに計算を続けられる。よって $3083$ は $\bmod 10007$ で平方非剰余である。

4.8 クロネッカー–ウェーバーの定理

定理 4.7 は、次の深い定理の特別な場合である。

定理 4.14（クロネッカー–ウェーバーの定理, Kronecker–Weber）$\mathbb{Q}$ の有限次アーベル拡大（ガロア群がアーベル群であるガロア拡大）は、ある円分体 $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ に含まれる。

証明は Neukirch の本（局所類体論を用いる方法）や、Marcus の本の演習問題（初等的な方法）を参照。第7章では類体論の系として位置づける。

この定理により、$\mathbb{Q}$ のアーベル拡大は $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ の部分群 $H$ に対応する固定体 $\mathbb{Q}(\zeta_m)^H$ で尽くされる。そして $p \nmid m$ の分解は $\sigma_p\vert_K$ で決まるから、$p$ の分解は $p \bmod m$ だけで決まる。

例 4.15（$\mathbb{Q}(\zeta_7)$ の三次部分体）$\eta = \zeta_7 + \zeta_7^{-1} = 2\cos\frac{2\pi}{7}$ とすると、$K = \mathbb{Q}(\eta)$ は $\lbrace \sigma_{\pm 1} \rbrace$ の固定体で、$[K : \mathbb{Q}] = 3$。$\eta$ の最小多項式は $x^3 + x^2 - 2x - 1$、判別式は $49$ である。$p \neq 7$ が $K$ で完全分解する $\iff \sigma_p \in \lbrace \sigma_{\pm 1} \rbrace \iff p \equiv \pm 1 \pmod 7$。実際 $p = 13 \equiv -1$ では $x^3 + x^2 - 2x - 1 \equiv (x + 3)(x + 5)(x + 6) \pmod{13}$、$p = 29 \equiv 1$ でも 3 つの 1 次式に分かれる。$p = 2$ では $x^3 + x^2 + 1$ は $\mathbb{F}_2$ で根をもたず、2 は惰性的である（$2 \bmod 7$ の $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^\times/\lbrace \pm 1 \rbrace$ での位数は 3）。

対照的に、$K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ のガロア閉包は非アーベル拡大（ガロア群 $\mathfrak{S}_3$）である。$p \equiv 1 \pmod 3$ のとき $x^3 - 2$ が $\bmod p$ で根をもつかどうか（$p = 31$ ではもつ、$p = 7$ ではもたない）は、どんな法 $m$ についても $p \bmod m$ だけでは決まらない（第6章のチェボタレフの密度定理から導かれる）。この問題は第7章で $p = x^2 + 27y^2$ という二次形式の問題として扱う。

4.9 クンマーの仕事とフェルマーの最終定理

$p$ を奇素数、$K = \mathbb{Q}(\zeta_p)$、$h_p$ をその類数とする。

定義 4.16（正則素数, regular prime）$p \nmid h_p$ のとき、$p$ を正則素数という。そうでない奇素数を非正則素数という。

定理 4.17（クンマー, 1850）$p$ が正則素数ならば、$x^p + y^p = z^p$ は $xyz \neq 0$ となる整数解をもたない。

証明の概略（第 1 の場合）. $p \geq 5$ とし、$x, y, z$ は互いに素で $p \nmid xyz$ と仮定する（$p = 3$ は $\bmod 9$ の考察で直接扱える）。$\zeta = \zeta_p$、$\lambda = 1 - \zeta$ とする。

1. $\mathbb{Z}[\zeta]$ で $\prod_{i=0}^{p-1}(x + \zeta^iy) = z^p$ と分解する。
2. イデアル $(x + \zeta^iy)$（$0 \leq i \leq p-1$）は互いに素である。実際、共通の素因子 $\mathfrak{P}$ があれば $(\zeta^i - \zeta^j)y$ と $(\zeta^i - \zeta^j)x$ を含むので、$x, y$ が互いに素であることから $\mathfrak{P} \ni \zeta^i - \zeta^j$、すなわち $\mathfrak{P} = (\lambda)$（補題 1.28 と定理 2.30）。すると $z^p \in (\lambda) \cap \mathbb{Z} = p\mathbb{Z}$ となり $p \mid z$ に反する。
3. 積が $p$ 乗なので、素イデアル分解の一意性から各 $(x + \zeta^iy)$ はイデアルの $p$ 乗である：$(x + \zeta y) = \mathfrak{a}^p$。$[\mathfrak{a}]^p = 1$ で $p \nmid h_p$ だから $[\mathfrak{a}] = 1$、$\mathfrak{a} = (\alpha)$。よって $x + \zeta y = u\alpha^p$（$u$ は単元）。
4. クンマーの単数補題：$u/\overline{u}$ は $\zeta$ のべきである（問題 4.7）。また $\alpha = \sum a_i\zeta^i$ とすると $\alpha^p \equiv \sum a_i^p \pmod p$ は有理整数と合同である。これらから $\zeta^{-r}(x + \zeta y) \equiv \zeta^{r}(x + \zeta^{-1}y) \pmod p$ となる $r$ が存在する。
5. $1, \zeta, \dots, \zeta^{p-2}$ が $\mathbb{Z}[\zeta]$ の $\mathbb{Z}$ 基底であることを使って係数を比較すると（$p \geq 5$ が必要）、$p \mid x$、$p \mid y$ または $x \equiv y \pmod p$ が導かれる。前二者は仮定に反し、最後の場合は方程式を $x^p + (-z)^p = (-y)^p$ と書き換えて同じ議論をすると $x \equiv -z$ となり、$3x^p \equiv x^p + y^p - z^p \equiv 0$ から矛盾する。

第 2 の場合（$p \mid xyz$）は、より強い単数補題（正則素数に対し、$\bmod p$ で有理整数と合同な単元は $p$ 乗である）と無限降下法を用いる。詳細は Marcus の本や L. C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields (Springer) を参照。$\square$

正則性は類数を計算せずに判定できる。ベルヌーイ数 $B_k$ を $\dfrac{t}{e^t - 1} = \sum_{k \geq 0}B_k\dfrac{t^k}{k!}$ で定める。$B_2 = \frac{1}{6}$, $B_4 = -\frac{1}{30}$, $B_6 = \frac{1}{42}$, $B_8 = -\frac{1}{30}$, $B_{10} = \frac{5}{66}$, $B_{12} = -\frac{691}{2730}$ である。

定理 4.18（クンマーの判定法）奇素数 $p$ が正則であるための必要十分条件は、$p$ が $B_2, B_4, \dots, B_{p-3}$ の分子のどれも割らないことである。

証明は L. C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields (Springer) などを参照（類数公式と $p$ 進 L 関数を用いる）。100 以下の非正則素数は $37, 59, 67$ だけで、たとえば

より 37 は非正則である（実際 $h_{37} = 37$）。また $B_{12}$ の分子 691 は素数で、$691$ も非正則素数である。非正則素数は無限に存在することが知られている（正則素数が無限に存在するかは未解決）。フェルマーの最終定理そのものは 1995 年にワイルズ（とテイラー）によって、楕円曲線のモジュラー性を通じて証明された（第7章 7.8 節）。

4.10 ヤコビ和と素数の表示

ガウス和の積を扱うと、素数を二次形式で表す問題に具体的な答えが得られる。

定義 4.19（ヤコビ和, Jacobi sum）$\mathbb{F}_p$ の非自明な指標 $\chi, \psi$ に対し

$$J(\chi, \psi) = \sum_{a \in \mathbb{F}_p}\chi(a)\psi(1 - a)$$

をヤコビ和という（$\chi(0) = \psi(0) = 0$ と約束しているので、和は実質 $a \neq 0, 1$ にわたる）。

命題 4.20 $\chi, \psi, \chi\psi$ がいずれも非自明ならば $J(\chi, \psi) = \dfrac{g(\chi)g(\psi)}{g(\chi\psi)}$ であり、特に $\lvert J(\chi, \psi) \rvert = \sqrt{p}$ である。

証明. $g(\chi)g(\psi) = \sum_{a, b}\chi(a)\psi(b)\zeta^{a+b} = \sum_{c \in \mathbb{F}_p}\Bigl(\sum_{a + b = c}\chi(a)\psi(b)\Bigr)\zeta^c$。$c \neq 0$ なら $a = ca'$, $b = cb'$（$a' + b' = 1$）と置換して内側の和は $\chi\psi(c)J(\chi, \psi)$。$c = 0$ なら $\sum_a\chi(a)\psi(-a) = \psi(-1)\sum_a\chi\psi(a) = 0$（$\chi\psi$ は非自明）。よって $g(\chi)g(\psi) = J(\chi, \psi)\sum_{c \neq 0}\chi\psi(c)\zeta^c = J(\chi, \psi)g(\chi\psi)$。絶対値は命題 4.3 (2) から従う。$\square$

系 4.21 (1) $p \equiv 1 \pmod 4$ とし、$\chi$ を位数 4 の指標とすると $J(\chi, \chi) = a + bi \in \mathbb{Z}[i]$ で、$p = a^2 + b^2$。(2) $p \equiv 1 \pmod 3$ とし、$\chi$ を位数 3 の指標、$\omega = e^{2\pi i/3}$ とすると $J(\chi, \chi) = a + b\omega \in \mathbb{Z}[\omega]$ で、$p = a^2 - ab + b^2$。

証明. $\mathbb{F}_p^\times$ は位数 $p - 1$ の巡回群なので、位数 4（または 3）の指標 $\chi$ が存在し、$\chi^2$ は非自明である。$\chi$ の値は $\lbrace \pm 1, \pm i \rbrace$（または $\lbrace 1, \omega, \omega^2 \rbrace$）に属するので $J(\chi, \chi) \in \mathbb{Z}[i]$（または $\mathbb{Z}[\omega]$）。命題 4.20 より $\lvert J \rvert^2 = p$ で、左辺は $a^2 + b^2$（または $N(a + b\omega) = a^2 - ab + b^2$）である。$\square$

例 4.22 $p = 13$ では 2 が原始根で、$\chi(2^k) = i^k$ とおく。$2^k \bmod 13$ は $k = 0, 1, \dots, 11$ で $1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 11, 9, 5, 10, 7$ だから、$\chi$ の値は $\chi(1) = \chi(3) = \chi(9) = 1$、$\chi(2) = \chi(5) = \chi(6) = i$、$\chi(4) = \chi(10) = \chi(12) = -1$、$\chi(7) = \chi(8) = \chi(11) = -i$。$a = 2, \dots, 12$ について $\chi(a)\chi(1 - a)$ を足すと

で、$13 = 3^2 + 2^2$ を得る。$p = 7$ では 3 が原始根で、$\chi(3^k) = \omega^k$ とすると $J(\chi, \chi) = 2 + 3\omega^2 = -1 - 3\omega$、$(-1)^2 - (-1)(-3) + (-3)^2 = 7$。

まとめ

• 二次ガウス和 $g = \sum\left(\frac{a}{p}\right)\zeta_p^a$ は $g^2 = p^{\ast} = (-1)^{(p-1)/2}p$ をみたし、非自明指標のガウス和の絶対値は $\sqrt{p}$ である。
• $\mathbb{Q}(\sqrt{p^{\ast}})$ は $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ のただ 1 つの二次部分体で、$\sigma_a(g) = \left(\frac{a}{p}\right)g$。すべての二次体は $\mathbb{Q}(\zeta_{\lvert d_K \rvert})$ に含まれる。
• 相互法則は $\left(\frac{p^{\ast}}{q}\right) = \left(\frac{q}{p}\right)$ と同値である。ガウス和の $q$ 乗を 2 通りに計算するか、$q$ の $\mathbb{Q}(\sqrt{p^{\ast}}) \subset \mathbb{Q}(\zeta_p)$ での分解を 2 通りに調べることで証明できる。
• 第 2 補充法則は $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \subset \mathbb{Q}(\zeta_8)$ から従う。
• ヤコビ記号は素因数分解なしに相互法則を適用できる計算の道具である。
• クロネッカー–ウェーバーの定理：$\mathbb{Q}$ のアーベル拡大は円分体に含まれ、素数の分解は合同条件で決まる。
• クンマーは正則素数についてフェルマーの最終定理を証明し、正則性をベルヌーイ数で判定した。
• ヤコビ和 $J(\chi, \psi) = g(\chi)g(\psi)/g(\chi\psi)$ は絶対値 $\sqrt{p}$ をもち、$p = a^2 + b^2$ や $p = a^2 - ab + b^2$ の解を具体的に与える。

演習問題