ゼータ関数と L 関数

この章の目標

• デデキントゼータ関数とディリクレ L 関数をオイラー積として理解し、二次体・円分体でゼータ関数が L 関数の積に分解することを示す
• ディリクレ指標の直交関係を使いこなす
• $L(1, \chi) \neq 0$ を証明し、算術級数中の素数に関するディリクレの定理を証明する
• 類数公式を理解し、L 関数の値から類数や基本単数を検算できる
• 関数等式、チェボタレフの密度定理、BSD 予想やラングランズ・プログラムへの展望を知る

前提：第2章（素数の分解、フロベニウス元）、第3章（類数、単数規準）、第4章（二次体と円分体）、複素関数論 第8章（リーマンゼータ関数）、複素関数論 第3章（正則関数のべき級数展開）

オイラーは $\sum_p 1/p = \infty$ を $\zeta(s) = \prod_p(1 - p^{-s})^{-1}$ から導いた。ディリクレはこの方法を「$p \equiv a \pmod m$ となる素数」に拡張するために L 関数を導入し、算術級数中に素数が無限に存在することを証明した（1837 年）。この証明の核心 $L(1, \chi) \neq 0$ は、実は円分体のゼータ関数が $s = 1$ で極をもつこと、すなわち代数体の算術（類数・単数）と解析的な量の関係に帰着する。本章では、ゼータ関数と L 関数を通じて代数的整数論と解析学が出会う様子を見る。

6.1 リーマンゼータ関数の復習

$\operatorname{Re} s > 1$ で $\zeta(s) = \sum_{n \geq 1}n^{-s} = \prod_p(1 - p^{-s})^{-1}$（オイラー積）であり、$\zeta(s) - \frac{1}{s - 1}$ は $\operatorname{Re} s > 0$ で正則に延長される（複素関数論 第8章 定理 8.1, 8.4）。

命題 6.1 実数 $s \to 1 + 0$ のとき $\sum_p p^{-s} = \log\dfrac{1}{s - 1} + O(1)$。特に $\sum_p 1/p = \infty$。

証明. $\log\zeta(s) = \sum_p\sum_{k \geq 1}\frac{1}{kp^{ks}} = \sum_p p^{-s} + R(s)$ で、$0 \leq R(s) \leq \sum_p\sum_{k \geq 2}p^{-k} = \sum_p\frac{1}{p(p-1)} \leq 1$。$(s - 1)\zeta(s) \to 1$ より $\log\zeta(s) = \log\frac{1}{s-1} + o(1)$。$\square$

6.2 デデキントゼータ関数

定義 6.2（デデキントゼータ関数, Dedekind zeta function）代数体 $K$ に対し

$$\zeta_K(s) = \sum_{\mathfrak{a}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^{s}}$$

（和は $\mathcal{O}_K$ の $0$ でないイデアル全体にわたる）をデデキントゼータ関数という。$\zeta_{\mathbb{Q}} = \zeta$ である。

命題 6.3 $\zeta_K(s)$ は $\operatorname{Re} s > 1$ で絶対収束し、オイラー積 $\zeta_K(s) = \prod_{\mathfrak{p}}(1 - N(\mathfrak{p})^{-s})^{-1}$ をもつ。$p\mathcal{O}_K = \prod_{i=1}^{g}\mathfrak{p}_i^{e_i}$ で剰余次数が $f_i$ なら、$p$ の上の因子は $\prod_{i=1}^{g}(1 - p^{-f_is})^{-1}$ である。

証明. 実数 $\sigma > 1$ で示せばよい。$p$ の上の素イデアルは高々 $n$ 個で、いずれも $N(\mathfrak{p}) \geq p$ だから $\prod_{\mathfrak{p} \mid p}(1 - N(\mathfrak{p})^{-\sigma})^{-1} \leq (1 - p^{-\sigma})^{-n}$。$\prod_{p \leq x}\prod_{\mathfrak{p} \mid p}(1 - N(\mathfrak{p})^{-\sigma})^{-1}$ を展開すると、素イデアル分解の一意性（定理 2.5）により、素因子がすべて $p \leq x$ の上にあるイデアル $\mathfrak{a}$ についての $N(\mathfrak{a})^{-\sigma}$ の和になり、これは $\zeta(\sigma)^n$ 以下である。$x \to \infty$ として主張が従う。$\square$

したがって、$\zeta_K$ のオイラー因子は素数の分解の型を記録している。

例 6.4（$\mathbb{Q}(i)$）$\chi_{-4}(n) = (-1)^{(n-1)/2}$（$n$ 奇数）、$\chi_{-4}(n) = 0$（$n$ 偶数）とおく。定理 2.18 より、$p \equiv 1 \pmod 4$ の因子は $(1 - p^{-s})^{-2}$、$p \equiv 3 \pmod 4$ の因子は $(1 - p^{-2s})^{-1} = (1 - p^{-s})^{-1}(1 + p^{-s})^{-1}$、$p = 2$ の因子は $(1 - 2^{-s})^{-1}$ である。いずれも $(1 - p^{-s})^{-1}(1 - \chi_{-4}(p)p^{-s})^{-1}$ に等しいので

係数を比べると、ノルム $n$ のイデアルの個数は $\sum_{d \mid n}\chi_{-4}(d)$ である。$\mathbb{Z}[i]$ は単項イデアル整域で単元は 4 個なので、これは「$n = a^2 + b^2$ となる $(a, b) \in \mathbb{Z}^2$ の個数は $4\sum_{d \mid n}\chi_{-4}(d)$」というヤコビの二平方和定理を意味する（例：$n = 5$ で $4 \cdot 2 = 8$ 個、$(\pm 1, \pm 2), (\pm 2, \pm 1)$）。

6.3 ディリクレ指標

定義 6.5（ディリクレ指標, Dirichlet character）$m \in \mathbb{N}$ とする。群準同型 $\chi\colon (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times \to \mathbb{C}^\times$ を、$\gcd(n, m) = 1$ なら $\chi(n) = \chi(n \bmod m)$、そうでなければ $\chi(n) = 0$ として $\mathbb{Z}$ 上の関数とみなしたものを、法 $m$ のディリクレ指標という。$\chi(n) = 1$（$\gcd(n, m) = 1$）となるものを単位指標 $\chi_0$ という。

ディリクレ指標は完全乗法的（$\chi(ab) = \chi(a)\chi(b)$）で、周期 $m$ をもつ。

命題 6.6（直交関係）$G$ を有限アーベル群、$\widehat{G} = \operatorname{Hom}(G, \mathbb{C}^\times)$ をその指標群とする。

1. $\lvert \widehat{G} \rvert = \lvert G \rvert$ であり、部分群 $H$ への制限 $\widehat{G} \to \widehat{H}$ は全射である。
2. $\sum_{g \in G}\chi(g) = \lvert G \rvert$（$\chi = 1$）、$0$（$\chi \neq 1$）。
3. $\sum_{\chi \in \widehat{G}}\chi(g) = \lvert G \rvert$（$g = 1$）、$0$（$g \neq 1$）。

証明. (1) 巡回群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の指標は $k \mapsto e^{2\pi ijk/n}$（$0 \leq j < n$）の $n$ 個で、有限アーベル群は巡回群の直積だから（代数学 第7章）$\lvert \widehat{G} \rvert = \lvert G \rvert$。また $g \neq 1$ なら $\chi(g) \neq 1$ となる $\chi$ がある（直積分解の成分ごとに考える）。制限写像の核は $G/H$ の指標群と同一視でき、位数 $\lvert G/H \rvert$ なので、像の位数は $\lvert G \rvert/\lvert G/H \rvert = \lvert H \rvert = \lvert \widehat{H} \rvert$。(2) $\chi(h) \neq 1$ となる $h$ をとると $\chi(h)\sum_g\chi(g) = \sum_g\chi(hg) = \sum_g\chi(g)$ より和は 0。(3) $g \neq 1$ なら $\chi'(g) \neq 1$ となる $\chi'$ をとり、同様に $\chi'(g)\sum_\chi\chi(g) = \sum_\chi(\chi'\chi)(g)$ から従う。$\square$

系 6.7 $\gcd(a, m) = 1$ ならば、法 $m$ のディリクレ指標全体にわたる和について

$$\frac{1}{\varphi(m)}\sum_{\chi}\overline{\chi}(a)\chi(n) = \begin{cases} 1, & n \equiv a \pmod m, \\ 0, & \text{それ以外}. \end{cases}$$

証明. $\gcd(n, m) > 1$ なら両辺 0。そうでなければ $\overline{\chi}(a)\chi(n) = \chi(a^{-1}n)$ で、命題 6.6 (3) から従う。$\square$

法 $m'$ の指標 $\chi'$（$m' \mid m$）から $\gcd(n, m) = 1$ のとき $\chi(n) = \chi'(n)$ として得られる法 $m$ の指標を、$\chi'$ から誘導された指標という。$\chi$ を誘導する最小の $m'$ を $\chi$ の導手 (conductor) といい、導手が $m$ に等しい指標を原始的 (primitive) という。

例 6.8 法 5 の指標は $\chi(2) \in \lbrace 1, i, -1, -i \rbrace$ で決まる 4 個で、$\chi(2) = -1$ のものはルジャンドル記号 $\left(\frac{\cdot}{5}\right)$ である。$(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times = \lbrace 1, 3, 5, 7 \rbrace$ の指標は 4 個で、$\chi_0$ 以外は $(\chi(3), \chi(5), \chi(7)) = (-1, 1, -1)$（導手 4 の $\chi_{-4}$ から誘導）、$(-1, -1, 1)$（導手 8、$\chi_8$）、$(1, -1, -1)$（導手 8、$\chi_{-8}$）である。

命題 6.9（二次体の指標）二次体 $K$ に対し、法 $\lvert d_K \rvert$ のディリクレ指標 $\chi_K$ で、素数 $p$ について

$$\chi_K(p) = \begin{cases} 1, & p\ \text{が}\ K\ \text{で分解}, \\ -1, & p\ \text{が}\ K\ \text{で惰性的}, \\ 0, & p\ \text{が}\ K\ \text{で分岐} \end{cases}$$

となるものが存在する。

証明. $m = \lvert d_K \rvert$ とすると、定理 4.7 より $K \subset \mathbb{Q}(\zeta_m)$。$\chi_K$ を合成 $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times \cong \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_m)/\mathbb{Q}) \to \operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q}) \cong \lbrace \pm 1 \rbrace$ とする。$p \nmid m$ なら $\operatorname{Frob}_p = \sigma_p$ で、その $K$ への制限は $p$ の $K$ でのフロベニウス元（命題 2.25 (3)）なので、$\chi_K(p) = 1 \iff p$ は $K$ で分解する。$p \mid m = \lvert d_K \rvert$ なら $\chi_K(p) = 0$ で、$p$ は分岐する（定理 2.16）。$\square$

たとえば $\chi_{\mathbb{Q}(i)} = \chi_{-4}$、$\chi_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})} = \chi_8$、$\chi_{\mathbb{Q}(\sqrt{-2})} = \chi_{-8}$、$\chi_{\mathbb{Q}(\sqrt{5})} = \left(\frac{\cdot}{5}\right)$ である。奇素数 $p \nmid d$ については、定理 2.18 と比べて $\chi_K(p) = \left(\frac{d}{p}\right)$ であり、「これが $p \bmod \lvert d_K \rvert$ の関数である」ことは平方剰余の相互法則そのものである。

6.4 ディリクレ L 関数

定義 6.10（ディリクレ L 関数）法 $m$ のディリクレ指標 $\chi$ に対し

$$L(s, \chi) = \sum_{n \geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s} = \prod_p\frac{1}{1 - \chi(p)p^{-s}} \qquad (\operatorname{Re} s > 1)$$

をディリクレ L 関数という（絶対収束とオイラー積は $\zeta$ と同様に完全乗法性から従う）。

単位指標については $L(s, \chi_0) = \zeta(s)\prod_{p \mid m}(1 - p^{-s})$ なので、$L(s, \chi_0)$ は $\operatorname{Re} s > 0$ で有理型、$s = 1$ に留数 $\varphi(m)/m$ の単純極をもつ。

命題 6.11 $\chi \neq \chi_0$ ならば、$\sum_n\chi(n)n^{-s}$ は $\operatorname{Re} s > 0$ で収束し、$L(s, \chi)$ はそこで正則である。

証明. $A(x) = \sum_{n \leq x}\chi(n)$ は、1 周期の和が命題 6.6 (2) より 0 なので $\lvert A(x) \rvert \leq \varphi(m)$。アーベルの総和法により

で、$\lvert n^{-s} - (n + 1)^{-s} \rvert = \lvert s\int_n^{n+1}t^{-s-1}dt \rvert \leq \lvert s \rvert n^{-\sigma - 1}$（$\sigma = \operatorname{Re} s$）。よって $\operatorname{Re} s \geq \delta > 0$, $\lvert s \rvert \leq R$ 上で一様にコーシー条件をみたし、正則関数の一様収束極限として $L(s, \chi)$ は正則である。$\square$

例 6.12 $L(1, \chi_{-4}) = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}$（ライプニッツの級数）。

6.5 ゼータ関数の L 関数への分解

定理 6.13 二次体 $K$ について $\zeta_K(s) = \zeta(s)L(s, \chi_K)$。

証明. 各 $p$ のオイラー因子を比べる。分解するなら $(1 - p^{-s})^{-2}$、惰性的なら $(1 - p^{-2s})^{-1} = (1 - p^{-s})^{-1}(1 + p^{-s})^{-1}$、分岐するなら $(1 - p^{-s})^{-1}$ で、いずれも $(1 - p^{-s})^{-1}(1 - \chi_K(p)p^{-s})^{-1}$ に等しい（命題 6.9）。$\square$

円分体についても同様の分解が成り立つ。鍵は次の補題である。

補題 6.14 $G$ を有限アーベル群、$g \in G$ の位数を $f$ とすると、$T$ を変数として

$$\prod_{\chi \in \widehat{G}}(1 - \chi(g)T) = (1 - T^f)^{\lvert G \rvert/f}$$

証明. $\chi(g)$ は $\chi\vert_{\langle g \rangle}$ で決まり、命題 6.6 (1) より制限写像 $\widehat{G} \to \widehat{\langle g \rangle}$ は全射で各ファイバーの大きさは $\lvert G \rvert/f$。$\widehat{\langle g \rangle}$ の元の $g$ での値は 1 の $f$ 乗根全体を 1 回ずつ動くので、$\prod_{w^f = 1}(1 - wT) = 1 - T^f$ から従う。$\square$

定理 6.15 $L = \mathbb{Q}(\zeta_m)$ とする。$p \nmid m$ のとき、$\zeta_L$ の $p$ でのオイラー因子は $\prod_{\chi \bmod m}(1 - \chi(p)p^{-s})^{-1}$ に等しい。特に $m = \ell$ が素数なら

$$\zeta_{\mathbb{Q}(\zeta_\ell)}(s) = \prod_{\chi \bmod \ell}L(s, \chi^{\ast})$$

である。ここで $\chi^{\ast}$ は $\chi$ を誘導する原始指標（$\chi = \chi_0$ なら $\chi^{\ast} = 1$、$L(s, 1) = \zeta(s)$）である。

証明. 定理 2.29 より $p \nmid m$ の因子は $(1 - p^{-fs})^{-g}$（$f$ は $p \bmod m$ の位数、$g = \varphi(m)/f$）で、補題 6.14 を $G = (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$, $T = p^{-s}$ に適用すればよい。$m = \ell$ のとき、$\chi \neq \chi_0$ はすべて原始的で $\chi(\ell) = 0$。$\ell$ は完全分岐し（定理 2.30）、$\zeta_L$ の $\ell$ での因子は $(1 - \ell^{-s})^{-1}$ で、これは $\zeta(s)$ の $\ell$ での因子に一致する。$\square$

一般の $m$ についても、原始指標を用いれば $\zeta_{\mathbb{Q}(\zeta_m)}(s) = \prod_{\chi}L(s, \chi^{\ast})$ が成り立つ（$p \mid m$ の因子の比較には導手と分岐の関係を用いる。証明は省略）。

6.6 $L(1, \chi) \neq 0$

補題 6.16（ランダウ, Landau）$a_n \geq 0$ とし、ディリクレ級数 $F(s) = \sum_n a_nn^{-s}$ が $\operatorname{Re} s > 1$ で収束するとする。$F$ が $\operatorname{Re} s > 0$ 上の正則関数に延長されるならば、級数 $\sum_n a_nn^{-s}$ はすべての実数 $s > 0$ で収束する。

証明. $a_n \geq 0$ なので、実数 $\sigma$ に対する収束・発散は $\sigma$ について単調であり、$\rho = \inf\lbrace \sigma \mid \sum a_nn^{-\sigma} < \infty \rbrace \leq 1$ とおくと $\operatorname{Re} s > \rho$ で級数は絶対収束する。$\rho > 0$ と仮定して矛盾を導く。$a = \rho + \frac{1}{2}$ とおくと、$F$ は円板 $\lvert s - a \rvert < a$（$\operatorname{Re} s > 0$ に含まれる）で正則なので、そのテイラー展開は円板全体で収束する（複素関数論 第3章）。$a$ の近くでは項別微分により $F^{(k)}(a) = \sum_na_n(-\log n)^kn^{-a}$。$0 < s < \rho$ となる実数 $s$ をとると、すべての項が非負なので和の順序を交換できて

右辺の級数が収束することになり、$s < \rho$ に反する。$\square$

定理 6.17 $\chi \neq \chi_0$ を法 $m$ のディリクレ指標とすると $L(1, \chi) \neq 0$ である。

証明. $F(s) = \prod_{\chi \bmod m}L(s, \chi)$ とおく。補題 6.14 より

で（$f_p$ は $p \bmod m$ の位数、$f_pg_p = \varphi(m)$）、$F$ は非負整数係数のディリクレ級数 $\sum a_nn^{-s}$ である（$\zeta_{\mathbb{Q}(\zeta_m)}$ から有限個のオイラー因子を除いたものであることに注意）。ある $\chi_1 \neq \chi_0$ で $L(1, \chi_1) = 0$ と仮定する。$L(s, \chi_0)$ の $s = 1$ での単純極は $L(s, \chi_1)$ の零点で打ち消され、他の因子は $\operatorname{Re} s > 0$ で正則（命題 6.11）なので、$F$ は $\operatorname{Re} s > 0$ で正則である。補題 6.16 より $\sum a_nn^{-s}$ はすべての実数 $s > 0$ で収束する。

一方、$(1 - p^{-f s})^{-g} = (1 + p^{-fs} + p^{-2fs} + \cdots)^g$ を展開すると $p^{-\varphi(m)s} = (p^{-fs})^g$ の係数は 1 以上である。係数 $a_n$ は乗法的なので、$\gcd(k, m) = 1$ なる $k$ について $a_{k^{\varphi(m)}} \geq 1$。よって $s = 1/\varphi(m)$ で

となり矛盾する。$\square$

6.7 算術級数中の素数

定理 6.18（ディリクレの算術級数定理, Dirichlet）$\gcd(a, m) = 1$ ならば、実数 $s \to 1 + 0$ のとき

$$\sum_{p \equiv a \pmod m}\frac{1}{p^s} = \frac{1}{\varphi(m)}\log\frac{1}{s - 1} + O(1)$$

である。特に $p \equiv a \pmod m$ となる素数 $p$ は無限に存在する。

証明. 実数 $s > 1$ に対し $\ell_\chi(s) = \sum_p\sum_{k \geq 1}\frac{\chi(p)^k}{kp^{ks}}$ とおくと、オイラー積から $\exp\ell_\chi(s) = L(s, \chi)$ で、命題 6.1 の証明と同様に $\ell_\chi(s) = \sum_p\chi(p)p^{-s} + O(1)$。

• $\chi = \chi_0$ なら $L(s, \chi_0) = \zeta(s)\prod_{p \mid m}(1 - p^{-s})$ より $\ell_{\chi_0}(s) = \log\frac{1}{s - 1} + O(1)$。
• $\chi \neq \chi_0$ なら、$L(s, \chi)$ は $s = 1$ の近傍で正則かつ $0$ にならない（定理 6.17）ので、そこで正則な対数 $\lambda(s)$ をもつ。$(1, 1 + \delta)$ 上で $\ell_\chi$ と $\lambda$ はともに $L(s, \chi)$ の連続な対数だから差は定数 $2\pi ik$ で、$\ell_\chi(s)$ は $s \to 1 + 0$ で有界である。

系 6.7 より

左辺は $\chi_0$ の項以外は有界なので $\log\frac{1}{s-1} + O(1)$ に等しい。$\square$

素数の集合 $P$ について、極限 $\delta(P) = \lim_{s \to 1+0}\sum_{p \in P}p^{-s}/\log\frac{1}{s-1}$ が存在するとき、それを $P$ のディリクレ密度という。定理 6.18 は、$p \equiv a \pmod m$ となる素数の密度が $1/\varphi(m)$ であることを述べている（自然密度 $\lim_{x \to \infty}\lvert \lbrace p \leq x \mid p \in P \rbrace \rvert/\pi(x)$ についても同じことが成り立つ：算術級数の素数定理）。実際、$10^6$ 未満の奇素数のうち $p \equiv 1 \pmod 4$ は 39175 個、$p \equiv 3$ は 39322 個であり、$p \neq 5$ を $\bmod 5$ で分けると $1, 2, 3, 4$ の順に 19617, 19622, 19665, 19593 個である。

6.8 類数公式

定理 6.19（類数公式, class number formula）$\zeta_K(s)$ は $\mathbb{C}$ 上の有理型関数に延長され、$s = 1$ に単純極をもつ以外は正則で、その留数は

$$\lim_{s \to 1}(s - 1)\zeta_K(s) = \frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}h_KR_K}{w_K\sqrt{\lvert d_K \rvert}}$$

である。ここで $w_K = \lvert \mu_K \rvert$ は $K$ に含まれる 1 のべき根の個数である。

証明は Neukirch 第 VII 章などを参照。ここでは虚二次体の場合の概略を述べる。

証明の概略（虚二次体）. $r_1 = 0$, $r_2 = 1$, $R_K = 1$ である。イデアル類 $C$ ごとに $I_C(x) = \lvert \lbrace \mathfrak{a} \in C \mid \mathfrak{a} \subset \mathcal{O}_K,\ N(\mathfrak{a}) \leq x \rbrace \rvert$ を数える。$\mathfrak{b} \in C^{-1}$ を 1 つ固定すると、$\mathfrak{a} \mapsto \mathfrak{a}\mathfrak{b} = (\alpha)$ により、$C$ の整イデアルは $\mathfrak{b}$ の $0$ でない元 $\alpha$ を単元倍の違いを除いたものと 1 対 1 に対応し、$N(\mathfrak{a}) = \lvert \alpha \rvert^2/N(\mathfrak{b})$。よって $I_C(x)$ は格子 $\mathfrak{b} \subset \mathbb{C}$（余体積 $\frac{1}{2}\sqrt{\lvert d_K \rvert}N(\mathfrak{b})$、命題 3.6）の円板 $\lvert \alpha \rvert^2 \leq xN(\mathfrak{b})$ 内の $0$ でない点の個数の $1/w_K$ である。円板の面積 $\pi xN(\mathfrak{b})$ を余体積で割って

（誤差は円周付近の格子点の個数）。$C$ について足すと $\sum_{n \leq x}a_n = cx + O(\sqrt{x})$、$c = \frac{2\pi h_K}{w_K\sqrt{\lvert d_K \rvert}}$（$a_n$ はノルム $n$ のイデアルの個数）。アーベルの総和法により $\zeta_K(s) - c\zeta(s)$ は $\operatorname{Re} s > \frac{1}{2}$ で正則となり、留数は $c$ である。$\square$

定理 6.13 と $\zeta$ の留数が 1 であることを合わせると、二次体では次の公式を得る。

系 6.20 (1) 虚二次体では $h_K = \dfrac{w_K\sqrt{\lvert d_K \rvert}}{2\pi}L(1, \chi_K)$。(2) 実二次体では $h_K\log\varepsilon_K = \dfrac{\sqrt{d_K}}{2}L(1, \chi_K)$（$\varepsilon_K$ は基本単数）。

特に $h_K \geq 1$ だから $L(1, \chi_K) > 0$ であり、実指標についての定理 6.17 の別証明を与える。

例 6.21（数値検算）

• $\mathbb{Q}(i)$：$w = 4$, $d = -4$ で $h = \frac{4 \cdot 2}{2\pi} \cdot \frac{\pi}{4} = 1$。
• $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$：$L(1, \chi_{-20}) = 1.404962\ldots$ で $h = \frac{2\sqrt{20}}{2\pi} \times 1.404962 = 2.0000$（例 3.14 と一致）。
• $\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$：$L(1, \chi_{-23}) = 1.965202\ldots$ で $h = \frac{2\sqrt{23}}{2\pi} \times 1.965202 = 3.0000$（例 3.15）。
• $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$：$L(1, \chi_5) = 0.430409\ldots$ で $\frac{\sqrt{5}}{2} \times 0.430409 = 0.481212 = \log\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$、よって $h = 1$。

$L(1, \chi)$ はガウス和を用いて有限和で表すことができ、そこから次の公式が得られる（証明は省略する。Marcus の本などを参照）。

定理 6.22（ディリクレの類数公式）$d = d_K < 0$ を虚二次体の判別式とすると

$$h_K = -\frac{w_K}{2\lvert d \rvert}\sum_{a=1}^{\lvert d \rvert - 1}\chi_K(a)\,a$$

たとえば $d = -20$ で $\sum\chi(a)a = -40$ より $h = 2$、$d = -56$ で $-224$ より $h = 4$（問題 3.4 と一致）。$d = -23$ は問題 6.3 で扱う。

6.9 関数等式

リーマンゼータ関数の関数等式（複素関数論 第8章 定理 8.5）は、次のように一般化される。$\Gamma_{\mathbb{R}}(s) = \pi^{-s/2}\Gamma(s/2)$, $\Gamma_{\mathbb{C}}(s) = 2(2\pi)^{-s}\Gamma(s)$ とおく。

定理 6.23（ヘッケ）$\Lambda_K(s) = \lvert d_K \rvert^{s/2}\Gamma_{\mathbb{R}}(s)^{r_1}\Gamma_{\mathbb{C}}(s)^{r_2}\zeta_K(s)$ は $\mathbb{C}$ 上の有理型関数に延長され、極は $s = 0, 1$ の単純極だけで、$\Lambda_K(s) = \Lambda_K(1 - s)$ をみたす。

定理 6.24 $\chi$ を法 $m > 1$ の原始的ディリクレ指標、$\chi(-1) = (-1)^\delta$（$\delta \in \lbrace 0, 1 \rbrace$）、$g(\chi) = \sum_{a \bmod m}\chi(a)e^{2\pi ia/m}$ とする。$\Lambda(s, \chi) = (m/\pi)^{(s+\delta)/2}\Gamma(\frac{s+\delta}{2})L(s, \chi)$ は整関数に延長され

$$\Lambda(1 - s, \overline{\chi}) = \frac{i^\delta\sqrt{m}}{g(\chi)}\Lambda(s, \chi)$$

証明はテータ関数のメリン変換による（Neukirch 第 VII 章）。関数等式により負の整数点での値が $s = 1$ 側の値と結びつく。たとえば虚二次体では $L(0, \chi_K) = 2h_K/w_K$ となり、定理 6.22 は $L(0, \chi_K) = -\frac{1}{\lvert d \rvert}\sum_a\chi_K(a)a$ という計算と同値である（$d = -23$ で $L(0, \chi_K) = 3$）。

6.10 チェボタレフの密度定理

ディリクレの定理は、円分体での「フロベニウス元 $\sigma_p$ の分布は一様である」と言い換えられる。これを一般のガロア拡大に拡張したのが次の定理である。

定理 6.25（チェボタレフの密度定理, Chebotarev density theorem）$L/\mathbb{Q}$ を有限次ガロア拡大、$G = \operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})$、$C \subset G$ を共役類とする。$L$ で不分岐な素数 $p$ で、$p$ の上の素イデアルのフロベニウス元が $C$ に属するものの集合は、ディリクレ密度 $\lvert C \rvert/\lvert G \rvert$ をもつ。

証明は Neukirch 第 VII 章などを参照（本教材では主張のみ）。$C = \lbrace 1 \rbrace$ の場合（完全分解する素数の密度は $1/[L : \mathbb{Q}]$）は $\zeta_L$ の極だけから導ける（問題 6.7）。

例 6.26（$x^3 - 2$）$L = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)$、$G \cong \mathfrak{S}_3$。命題 2.27 より、$p \neq 2, 3$ について $\operatorname{Frob}_p$ の巡回型は $x^3 - 2 \bmod p$ の分解の型である。

6.11 展望：BSD 予想とラングランズ・プログラム

楕円曲線の L 関数. 有理数体上の楕円曲線 $E$ に対し、良い還元をもつ素数 $p$ で $a_p = p + 1 - \lvert E(\mathbb{F}_p) \rvert$ とおき、ハッセ–ヴェイユの L 関数 $L(E, s) = \prod_{p}(1 - a_pp^{-s} + p^{1-2s})^{-1}$（悪い還元の素数では因子を修正する）を定める。たとえば $E\colon y^2 + y = x^3 - x^2$（導手 11）では $\lvert E(\mathbb{F}_2) \rvert = 5$（$\mathbb{F}_2$ の 4 点すべてと無限遠点）、$\lvert E(\mathbb{F}_3) \rvert = 5$、$\lvert E(\mathbb{F}_5) \rvert = 5$、$\lvert E(\mathbb{F}_7) \rvert = 10$ で、$a_2 = -2$, $a_3 = -1$, $a_5 = 1$, $a_7 = -2$ である。

予想 6.27（バーチ–スウィンナートン=ダイアー予想, BSD 予想）$L(E, s)$ の $s = 1$ での零点の位数は、有理点のなすアーベル群 $E(\mathbb{Q})$ の階数に等しい。

さらに、$L(E, s)$ の $s = 1$ での主要項は、テイト–シャファレビッチ群の位数・単数規準にあたる高さの規準・ねじれ部分などで表されると予想されている。これは類数公式（定理 6.19）の類似であり、テイト–シャファレビッチ群は類群に、$E(\mathbb{Q})$ は単数群に対応する。

ラングランズ・プログラム. ディリクレ L 関数は、ガロア群の 1 次元表現（第7章の類体論によってディリクレ指標と対応する）の L 関数とみなせる。より一般に、ガロア群の $n$ 次元表現 $\rho$ に対してアルティン L 関数 $L(s, \rho)$ が定義され、定理 6.15 の一般化として $\zeta_L(s) = \prod_\rho L(s, \rho)^{\dim\rho}$（$\rho$ は $\operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の既約表現）が成り立つ。ラングランズ予想は、これらのガロア側の L 関数が、保型形式（$\operatorname{GL}_n$ の保型表現）の L 関数と一致することを主張する。$E$ の場合には、$L(E, s)$ が重さ 2 のモジュラー形式の L 関数に一致すること（モジュラー性定理）が証明されており、第7章で具体例を見る。

まとめ

• デデキントゼータ関数 $\zeta_K(s) = \sum N(\mathfrak{a})^{-s} = \prod_{\mathfrak{p}}(1 - N(\mathfrak{p})^{-s})^{-1}$ のオイラー因子は素数の分解の型を記録する。
• ディリクレ指標は直交関係をもち、合同条件 $n \equiv a \pmod m$ を指標の和で表す。
• 二次体では $\zeta_K = \zeta \cdot L(s, \chi_K)$、円分体では $\zeta_{\mathbb{Q}(\zeta_m)} = \prod_\chi L(s, \chi^{\ast})$。$\chi_K$ が法 $\lvert d_K \rvert$ の指標であることは相互法則と同値である。
• $\prod_\chi L(s, \chi)$ が非負係数のディリクレ級数であることとランダウの補題から $L(1, \chi) \neq 0$ が従い、算術級数中の素数の密度は $1/\varphi(m)$ である。
• 類数公式：$\operatorname{Res}_{s=1}\zeta_K = 2^{r_1}(2\pi)^{r_2}h_KR_K/(w_K\sqrt{\lvert d_K \rvert})$。二次体では $L(1, \chi_K)$ から類数や $\log\varepsilon$ が求まる。
• $\zeta_K$ と原始的な $L(s, \chi)$ はガンマ因子を補うと関数等式をみたす。
• チェボタレフの密度定理：フロベニウス元は共役類の大きさに比例して分布する。
• BSD 予想やラングランズ・プログラムは、L 関数を通じて算術と解析を結ぶ現代数論の中心問題である。