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この章の目標

• 曲面の交点理論とリーマン–ロッホの定理を述べ、$\mathbb{P}^2$ や $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ で確かめられる
• 極小モデル理論とモジュライ空間が何を目指しているかを説明でき、$\dim M_g = 3g - 3$ の理由を述べられる
• 合同ゼータ関数を計算し、ヴェイユ予想の主張と意義を説明できる
• ホッジ分解・ホッジ予想・モーデル–ヴェイユの定理の主張を述べられる
• 自分の関心に応じて次の学習計画を立てられる

前提：第1章〜第8章

この章はサーベイである。定理はすべて主張のみを述べ（証明の一部の考え方を示すことはある）、参照先を挙げる。第1章〜第8章で学んだ概念が、現代の代数幾何学のどこにつながっているかを見渡すことが目的である。以下 $k$ は代数閉体とする。

9.1 曲面上の交点理論

第8章の曲線論では因子の次数が中心的な役割を果たした。曲面 $X$（非特異射影的な 2 次元多様体）では、因子は曲線であり、2 つの曲線の交点数が次数の役割を果たす。

定理 9.1（交点形式、主張）非特異射影曲面 $X$ 上に、対称な双線形形式 $\operatorname{Pic}(X) \times \operatorname{Pic}(X) \to \mathbb{Z}$, $(D, E) \mapsto D.E$ で、共通成分のない曲線 $C, D$（局所方程式 $f, g$）について

$$C.D = \sum_{P \in C \cap D} \dim_k \mathcal{O}_{X,P}/(f, g)$$

となるものがただ一つ存在する。$D.E$ は線形同値類だけで決まるので、自己交点数 $C^2 = C.C$ も定まり、負にもなりうる。

証明は Hartshorne 第 V 章定理 1.1 を参照。

例 9.2 (1) $\mathbb{P}^2$：$\operatorname{Pic} = \mathbb{Z} H$（$H$ は直線）、$H^2 = 1$ で、$d$ 次曲線と $e$ 次曲線の交点数は $de$（ベズーの定理 2.16）。

(2) $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$（二次曲面、例 2.11）：$\operatorname{Pic} = \mathbb{Z} F_1 \oplus \mathbb{Z} F_2$（2 つの直線族の類）。同じ族の 2 直線は交わらず線形同値なので $F_1^2 = F_2^2 = 0$、異なる族は 1 点で交わるので $F_1.F_2 = 1$。型 $(a, b)$ と $(c, d)$ の曲線の交点数は $ad + bc$ である。

(3)（爆発）曲面 $X$ の点 $P$ での爆発 $\pi\colon \widetilde{X} \to X$（例 5.26 の一般化）では、$P$ の上の例外曲線 $E \cong \mathbb{P}^1$ は $E^2 = -1$ を満たし、$\operatorname{Pic}(\widetilde{X}) = \pi^{\ast}\operatorname{Pic}(X) \oplus \mathbb{Z} E$、$K_{\widetilde{X}} = \pi^{\ast}K_X + E$ となる。

定理 9.3（主張）$X$ を非特異射影曲面、$K$ を標準因子とする。 (1)（随伴公式）非特異曲線 $C \subset X$ の種数は $2g(C) - 2 = C.(C + K)$。 (2)（曲面のリーマン–ロッホの定理）因子 $D$ について $\chi(\mathcal{O}(D)) = \frac{1}{2} D.(D - K) + \chi(\mathcal{O}_X)$。 (3)（ネーターの公式）$\chi(\mathcal{O}_X) = \frac{1}{12}(K^2 + c_2)$。$k = \mathbb{C}$ なら $c_2$ は $X(\mathbb{C})$ の位相的オイラー標数である。 (4)（ホッジの指数定理）$H$ が豊富で $D.H = 0$ なら $D^2 \leq 0$ であり、等号は $D$ が数値的に 0 のときに限る。

証明は Hartshorne 第 V 章 1 節を参照。$\mathbb{P}^2$ で確かめると、$K = -3H$ なので $d$ 次曲線 $C = dH$ について $C.(C + K) = d(d - 3)$ となり、平面曲線の種数公式が再び得られる。$D = mH$ ではリーマン–ロッホの右辺は $\frac{m(m+3)}{2} + 1 = \frac{(m+1)(m+2)}{2}$ で、系 7.15 の $\chi(\mathcal{O}(m))$ と一致する。ネーターの公式は $K^2 = 9$, $c_2 = \chi_{\mathrm{top}}(\mathbb{C}P^2) = 3$ から $\frac{9 + 3}{12} = 1 = \chi(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2})$ となる。

古典的な成果として、$\mathbb{P}^3$ の非特異な 3 次曲面はちょうど 27 本の直線を含む（ケイリー–サーモン）。3 次曲面は $\mathbb{P}^2$ を一般の位置の 6 点で爆発したものであり、27 本の直線は 6 本の例外曲線、6 点のうち 2 点を通る直線 15 本の強変換、5 点を通る円錐曲線 6 本の強変換として現れる。

9.2 双有理幾何と極小モデル理論

曲線では双有理同値なら同型であった（定理 8.2）。曲面では爆発があるので、双有理同値類の中に無限に多くの曲面がある。

• カステルヌオーヴォの収縮定理（主張）：非特異射影曲面上の曲線 $E \cong \mathbb{P}^1$ で $E^2 = -1$ となるもの（$(-1)$ 曲線）は、ある曲面の点の爆発の例外曲線として収縮できる。収縮のたびにピカール数が 1 減るので、有限回で $(-1)$ 曲線をもたない極小モデルに到達する。
• 小平次元 $\kappa(X) \in \lbrace -\infty, 0, 1, \dots, \dim X \rbrace$ は、$h^0(mK)$ が $m$ についてどの速さで増えるかで定まる双有理不変量である。曲線では $g = 0, 1, \geq 2$ がそれぞれ $\kappa = -\infty, 0, 1$ に対応する。
• エンリケス–小平の分類（主張）：曲面は $\kappa$ によって、有理曲面と線織面（$\kappa = -\infty$）、K3 曲面・エンリケス曲面・アーベル曲面・超楕円曲面（$\kappa = 0$）、楕円曲面（$\kappa = 1$）、一般型曲面（$\kappa = 2$）に分類される。たとえば $\mathbb{P}^3$ の $d$ 次非特異曲面は随伴公式 $K = \mathcal{O}(d - 4)$ から、$d \leq 3$ で有理曲面、$d = 4$ で K3 曲面、$d \geq 5$ で一般型である。
• 極小モデル理論（森理論）：3 次元以上では $(-1)$ 曲線の収縮の代わりに、「錐定理」「収縮定理」とフリップという新しい双有理変換が必要になる。森重文は 3 次元でフリップの存在を証明し（1988 年）、Birkar–Cascini–Hacon–McKernan は一般型の多様体について任意の次元で極小モデルの存在と標準環の有限生成性を証明した（2010 年）。一般の場合のアバンダンス予想は未解決である。

9.3 モジュライ空間

モジュライ問題とは、ある種の幾何的対象の同型類全体に、それ自身幾何的な構造を与える問題である。$\mathbb{P}^n$ が $k^{n+1}$ の直線全体を点とする多様体であるように、グラスマン多様体（例 2.20）は部分空間全体を点とする多様体であり、最も簡単なモジュライ空間の例である。

曲線のモジュライ空間 $M_g$（$g \geq 2$）は、種数 $g$ の非特異射影曲線の同型類を点とする粗モジュライ空間で、$3g - 3$ 次元の既約な準射影多様体である（マンフォードの幾何的不変式論、ドリーニュ–マンフォード）。$g = 0$ では 1 点、$g = 1$ では $j$ 不変量 $j = 1728 \cdot \frac{4a^3}{4a^3 + 27b^2}$ により $M_{1,1} \cong \mathbb{A}^1$ である。$M_g$ は安定曲線を加えることでコンパクト化 $\overline{M}_g$ をもつ。

$\dim M_g = 3g - 3$ の理由は二通りに説明できる。

• リーマンの数え上げ：十分大きい $n$ をとり、曲線 $X$ と単純分岐のみをもつ次数 $n$ の射 $f\colon X \to \mathbb{P}^1$ の組を考える。フルヴィッツの公式より分岐点は $2g - 2 + 2n$ 個で、分岐点を与えるとこのような組は有限個しかない（リーマンの存在定理）ので、組全体は $2g + 2n - 2$ 次元である。一方、固定した $X$ について $f$ は $\operatorname{Pic}^n(X)$ の元（$g$ 次元）と、$H^0(\mathcal{L})$（リーマン–ロッホにより $n + 1 - g$ 次元）の 2 元の組のスカラー倍を除いたもの（$2(n + 1 - g) - 1$ 次元）で決まる。よって $\dim M_g + g + 2(n + 1 - g) - 1 = 2g + 2n - 2$、すなわち $\dim M_g = 3g - 3$。
• 変形理論：$X$ の無限小変形は $H^1(X, \mathcal{T}_X)$ で与えられ、セール双対性より $H^1(\mathcal{T}_X) \cong H^0(\omega_X^{\otimes 2})^{\ast}$。$g \geq 2$ なら $\deg 2K = 4g - 4 > 2g - 2$ なので、リーマン–ロッホより $\ell(2K) = 4g - 4 + 1 - g = 3g - 3$（問題 9.4）。

他にも、射影空間の閉部分スキームを分類するヒルベルト・スキーム、直線束を分類するピカール・スキームがある。曲線 $X$ の $\operatorname{Pic}^0(X)$ は $g$ 次元のアーベル多様体（ヤコビ多様体）になり、$k = \mathbb{C}$ では $H^0(\omega_X)^{\ast}/H_1(X(\mathbb{C}), \mathbb{Z})$ という複素トーラスである。

9.4 合同ゼータ関数とヴェイユ予想

定義 9.4（合同ゼータ関数, congruence zeta function）$X$ を有限体 $\mathbb{F}_q$ 上有限型のスキームとし、$N_m = \lvert X(\mathbb{F}_{q^m}) \rvert$ とおく。

$$Z(X, t) = \exp\left( \sum_{m=1}^{\infty} \frac{N_m}{m} t^m \right)$$

を $X$ の合同ゼータ関数という。

閉点についてのオイラー積 $Z(X, t) = \prod_{x} (1 - t^{\deg x})^{-1}$（$\deg x = [\kappa(x) : \mathbb{F}_q]$）が成り立ち、$\zeta_X(s) = Z(X, q^{-s})$ はリーマン・ゼータ関数の類似である（15-algebraic-number-theory 第6章）。

例 9.5 (1) $\mathbb{A}^1$：$N_m = q^m$ なので $Z = \exp\bigl(\sum (qt)^m/m\bigr) = \frac{1}{1 - qt}$。

(2) $\mathbb{P}^n$：$N_m = 1 + q^m + \cdots + q^{nm}$ なので $Z = \frac{1}{(1 - t)(1 - qt) \cdots (1 - q^n t)}$。

(3) 楕円曲線 $E$ では $Z(E, t) = \frac{1 - at + qt^2}{(1 - t)(1 - qt)}$（$a = q + 1 - N_1$）の形になる。$E\colon y^2 = x^3 - x$ を $\mathbb{F}_3$ 上で考えると、$\mathbb{F}_3$ のすべての元で $x^3 = x$ なので $y = 0$ の 3 点と無限遠点で $N_1 = 4$、$a = 0$ である。$1 + 3t^2 = (1 - \alpha t)(1 - \beta t)$ とすると $\alpha = \sqrt{-3}$, $\beta = -\sqrt{-3}$ で $\lvert \alpha \rvert = \lvert \beta \rvert = \sqrt{3}$。$N_m = q^m + 1 - \alpha^m - \beta^m$ から $N_2 = 9 + 1 - (\alpha^2 + \beta^2) = 10 + 6 = 16$ と予言される。直接数えて確かめよう：$\mathbb{F}_9 = \mathbb{F}_3(i)$（$i^2 = -1$）の元 $x = u + vi$ についてフロベニウスは $x^3 = u - vi$ なので $x^3 - x = -2vi = vi$。$v = 0$ の 3 個の $x$ では $y = 0$ のみ、$v \neq 0$ の 6 個の $x$ では右辺は $\pm i$ である。$\mathbb{F}_9^{\times}$ は位数 8 の巡回群なので平方元は $z^4 = 1$ を満たす元に一致し、$(\pm i)^4 = 1$ より $\pm i$ は平方元だから、$y$ は 2 個ずつある。合計 $3 + 12 + 1 = 16$ で一致する。

定理 9.6（ヴェイユ予想、主張）$X$ を $\mathbb{F}_q$ 上の $n$ 次元の非特異射影多様体（幾何的に既約）とする。 (1)（有理性）$Z(X, t) = \dfrac{P_1(t) P_3(t) \cdots P_{2n-1}(t)}{P_0(t) P_2(t) \cdots P_{2n}(t)}$、$P_i \in \mathbb{Z}[t]$、$P_0 = 1 - t$, $P_{2n} = 1 - q^n t$。 (2)（関数等式）$Z(X, 1/(q^n t)) = \pm q^{nE/2} t^{E} Z(X, t)$（$E$ は対角線の自己交点数）。 (3)（リーマン予想）$P_i(t) = \prod_j (1 - \alpha_{ij} t)$ で、$\lvert \alpha_{ij} \rvert = q^{i/2}$。 (4)（ベッチ数）$X$ が数体上の非特異射影多様体 $Y$ の還元なら、$\deg P_i$ は $Y(\mathbb{C})$ の $i$ 番目のベッチ数に等しい。

曲線の場合（ヴェイユ、1948 年）は $Z = \frac{P_1(t)}{(1 - t)(1 - qt)}$, $\deg P_1 = 2g$ で、$N_m = q^m + 1 - \sum_{j=1}^{2g} \alpha_j^m$, $\lvert \alpha_j \rvert = \sqrt{q}$ からハッセ–ヴェイユの評価 $\lvert N_1 - (q + 1) \rvert \leq 2g\sqrt{q}$ が従う。

意義：ヴェイユの洞察は、$N_m$ が $X(\overline{\mathbb{F}}_q)$ 上のフロベニウス写像 $F$ の $m$ 乗の不動点の個数であることに注目し、位相幾何学のレフシェッツ不動点定理 $N_m = \sum_i (-1)^i \operatorname{tr}(F^m \mid H^i)$ を適用できる「良いコホモロジー理論」があれば (1)(2)(4) が従うと見抜いた点にある（(3) はそれだけでは従わず、さらに深い議論を要した）。第7章で見たとおりザリスキー位相の定数層のコホモロジーは役に立たない（7.3 節）。グロタンディークは M. アルタン、J.-L. ヴェルディエらとともに、エタール射を「開集合」とみなすグロタンディーク位相の上で $\ell$ 進エタール・コホモロジー $H^i_{\mathrm{et}}(X_{\overline{\mathbb{F}}_q}, \mathbb{Q}_\ell)$（$\ell \neq p$）を構成し、$P_i(t) = \det(1 - tF \mid H^i_{\mathrm{et}})$ として (1)(2)(4) を示した（有理性は B. ドゥオークが 1960 年に $p$ 進解析で先に証明した）。リーマン予想 (3) は P. ドリーニュが 1974 年に証明した。有限体上の方程式の解の個数が、複素多様体の位相（ベッチ数）で支配されるのである。

9.5 ホッジ理論との関係

$X$ を $\mathbb{C}$ 上の非特異射影多様体とすると、$X(\mathbb{C})$ はコンパクトなケーラー多様体である。

定理 9.7（ホッジ分解、主張）$H^n(X(\mathbb{C}), \mathbb{C}) = \bigoplus_{p + q = n} H^{p,q}$、$\overline{H^{p,q}} = H^{q,p}$ であり、$H^{p,q} \cong H^q(X, \Omega^p_X)$。

右辺は代数的な連接層のコホモロジーであり、セールの GAGA により解析的なものと一致する。解析的な基礎は 17-riemannian-geometry 第7章 を参照。帰結として、奇数次のベッチ数は偶数である。曲線では $h^{1,0} = h^0(\omega) = g$, $h^{0,1} = h^1(\mathcal{O}) = g$ なので $b_1 = 2g$ となり、代数的に定義した種数が位相的な種数（穴の数）に一致する。$h^{p,q}$ を菱形に並べたホッジ・ダイヤモンドは、$\mathbb{P}^2$ では対角線上に 1 が並ぶだけ、K3 曲面では $h^{0,0} = h^{2,0} = h^{0,2} = h^{2,2} = 1$, $h^{1,1} = 20$（他は 0）である。セール双対性から $h^{p,q} = h^{n-p, n-q}$ も成り立つ。

ホッジ予想（主張）：$X$ を $\mathbb{C}$ 上の非特異射影多様体とすると、$H^{2p}(X, \mathbb{Q}) \cap H^{p,p}$ の任意の元は、余次元 $p$ の部分多様体のコホモロジー類の $\mathbb{Q}$ 係数の一次結合である。

$p = 1$ の場合はレフシェッツの (1,1) 定理として知られている。その証明は指数関数列 $0 \to \mathbb{Z} \to \mathcal{O} \to \mathcal{O}^{\times} \to 0$（例 3.14）の長完全列 $H^1(X, \mathcal{O}^{\times}) = \operatorname{Pic}(X) \to H^2(X, \mathbb{Z}) \to H^2(X, \mathcal{O})$ を使う。一般の $p$ ではクレイ研究所のミレニアム問題の一つとして未解決である。

9.6 数論幾何への展望

数論幾何学は、数体上の多様体の有理点を幾何学の方法で調べる。$\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ 上のスキーム（第4章・第5章）がその舞台である。

定理 9.8（モーデル–ヴェイユの定理、主張）数体 $K$ 上の楕円曲線 $E$ について、$E(K)$ は有限生成アーベル群であり、$E(K) \cong \mathbb{Z}^r \oplus E(K)_{\mathrm{tors}}$（$r$ を階数という）。

$K = \mathbb{Q}$ のときねじれ部分群は、$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$（$1 \leq n \leq 10$ または $n = 12$）か $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2n\mathbb{Z}$（$1 \leq n \leq 4$）のいずれかである（メイザー、1977 年）。

例 9.9 (1) $y^2 = x^3 - x$ では $E(\mathbb{Q}) = \lbrace O, (0, 0), (\pm 1, 0) \rbrace \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$ で階数 0 である（主張）。これは「1 は合同数でない」というフェルマーの定理と同値である。(2) $y^2 = x^3 - 2$ の点 $(3, 5)$ は無限位数である。ナゲル–ルッツの定理（整数係数 $y^2 = x^3 + ax + b$ の有限位数の点は整数座標で、$y = 0$ または $y^2 \mid 4a^3 + 27b^2$）で $4a^3 + 27b^2 = 108$ は $25$ で割れないからである。よって階数は 1 以上である。

• バーチ–スウィンナートン=ダイアー予想（ミレニアム問題）：階数 $r$ は $L$ 関数 $L(E, s) = \prod_p (1 - a_p p^{-s} + p^{1-2s})^{-1}$（良い還元をもつ素数についての積、$a_p = p + 1 - \lvert E(\mathbb{F}_p) \rvert$）の $s = 1$ での零点の位数に等しい。$a_p$ は $E$ の $p$ を法とする還元（第5章のファイバー）の合同ゼータ関数から来る。$y^2 = x^3 - x$ では $a_3 = 0$（例 9.5）、$a_5 = -2$（問題 9.2）。
• ファルティングスの定理（1983 年、旧モーデル予想）：数体上の種数 2 以上の曲線の有理点は有限個である。フェルマー曲線 $x^n + y^n = z^n$（$n \geq 4$ で種数 $\geq 3$）の原始解は有限個しかない。実際には解は自明なものしかない（ワイルズ、テイラー–ワイルズ、1995 年）。その証明は、楕円曲線のモジュラー性という、代数幾何・保型形式・ガロア表現を結ぶ深い定理による。

9.7 学習ロードマップと文献案内

段階 1：古典的な代数幾何の補強（第1章・第2章・第8章）

具体例の感覚を養う段階である。I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry 1 (Springer) は多様体の幾何を豊富な例で扱う。W. Fulton, Algebraic Curves は平面曲線の交点数とリーマン–ロッホの定理を初等的に扱う。日本語では桂利行『代数幾何入門』（共立出版）、川又雄二郎『射影空間の幾何学』（朝倉書店）がよい。

段階 2：スキーム論とコホモロジー（第3章〜第7章）

R. Hartshorne, Algebraic Geometry (Springer) の第 II 章・第 III 章を演習問題とともに読むのが標準的な道である。例と直観を補うには R. Vakil, The Rising Sea、D. Eisenbud, J. Harris, The Geometry of Schemes (Springer)、D. Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes (Springer) を併読するとよい。より網羅的・厳密な参考書として U. Görtz, T. Wedhorn, Algebraic Geometry I (Springer)、日本語では上野健爾『代数幾何』（岩波書店）がある。可換環論の補強には D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry (Springer) と松村英之『可換環論』（共立出版）が役立つ。

段階 3：専門分野への分岐

進め方の提案

• 数論志向：15（代数的整数論）と並行して Silverman を読み、次に Liu で算術曲面へ進む。楕円曲線の点を実際に数える計算（例 9.5、問題 9.2）を繰り返すとよい。
• 複素幾何志向：19（リーマン面）で第8章を解析的に見直し、Griffiths–Harris または Huybrechts でホッジ理論に進む。17（リーマン幾何）の第6章・第7章が基礎になる。
• 双有理幾何志向：Hartshorne 第 V 章と Beauville で曲面を具体的に学んでから、Kollár–Mori に進む。
• 表現論志向：グラスマン多様体・旗多様体（例 2.20）は 16（リー群と表現論）と結びつく。ボレル–ヴェイユの定理（直線束の大域切断として既約表現を実現する）が接点である。
• いずれの方向でも、Hartshorne の演習問題の主要なものを自力で解くことが、専門書を読むための最良の準備になる。1 日 1 題でも継続する価値がある。

まとめ

• 曲面では交点形式が次数の役割を果たし、随伴公式・リーマン–ロッホ・ネーターの公式・ホッジの指数定理が基本道具である。
• 極小モデル理論は双有理同値類の良い代表を探す理論で、曲面ではエンリケス–小平の分類、高次元では森理論に至る。
• 曲線のモジュライ空間 $M_g$ は $3g - 3$ 次元で、その数はリーマン–ロッホとフルヴィッツの公式から読み取れる。
• 合同ゼータ関数は有限体上の点の個数の母関数で、ヴェイユ予想はそれを複素多様体の位相と結びつける。証明にはエタール・コホモロジーが必要だった。
• ホッジ分解は代数的な層のコホモロジーと位相的なコホモロジーを結ぶ。ホッジ予想は未解決である。
• 数論幾何では $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ 上のスキームが舞台となり、モーデル–ヴェイユ、ファルティングス、BSD 予想などが中心的な主題である。

演習問題