スキームの性質と射

この章の目標

• 被約・整・ネーターなどスキームの性質と、開・閉部分スキーム、被約化を例で扱える
• ファイバー積とファイバーを計算できる（$\operatorname{Spec} \mathbb{Z}[i] \to \operatorname{Spec} \mathbb{Z}$、曲線の族の退化）
• 有限型・有限・分離的・固有な射を定義し、原点が 2 つある直線や $\mathbb{A}^1$ が反例になる理由を説明できる
• 平坦性とファイバーの次元の関係を例で説明できる

前提：第4章、13-commutative-algebra 第1章（テンソル積・平坦性）、第4章（整拡大）、第5章（次元）

5.1 動機：相対的な視点

グロタンディークの基本的な発想は、スキーム $X$ そのものより射 $f\colon X \to S$ を調べることである。$f$ は $S$ の点 $s$ でパラメータ付けられたスキームの族 $X_s$（ファイバー）と考えられる。

• $xy = t$ を $t$ 軸 $\mathbb{A}^1$ 上の族とみると、$t \neq 0$ では双曲線、$t = 0$ では 2 直線 $xy = 0$ に退化する。
• $x^2 = t$ では、$t \neq 0$ の 2 点が $t = 0$ で合流して二重点 $k[x]/(x^2)$ になる。
• $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}[i] \to \operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ は、素数 $p$ ごとに有限個の点を並べた族である。

射の性質（有限・固有・分離的・平坦）は、ファイバーが「有限集合である」「コンパクトである」「ハウスドルフである」「連続的に変化する」ことの代数的な表現である。

5.2 スキームの性質

定義 5.1 スキーム $X$ が

• 被約 (reduced) とは、すべての開集合 $U$ で $\mathcal{O}_X(U)$ が冪零元 $\neq 0$ をもたないこと（すべての茎が被約であることと同値）。
• 整 (integral) とは、空でないすべての開集合 $U$ で $\mathcal{O}_X(U)$ が整域であること。
• 局所ネーター (locally noetherian) とは、ネーター環 $A_i$ の $\operatorname{Spec} A_i$ で覆われること。さらに準コンパクト（任意の開被覆が有限部分被覆をもつ。局所ネーターなスキームでは、有限個のそのような $\operatorname{Spec} A_i$ で覆えることと同値）ならネーターという。

命題 5.2 スキーム $X$ が整であるための必要十分条件は、被約かつ既約であることである。

証明. ($\Rightarrow$) 被約は明らか。$X = Z_1 \cup Z_2$（$Z_i \subsetneq X$ は閉）なら $U_i = X \setminus Z_i$ は空でなく交わらないので、$\mathcal{O}_X(U_1 \sqcup U_2) = \mathcal{O}_X(U_1) \times \mathcal{O}_X(U_2)$ は整域でない。($\Leftarrow$) 空でない開集合 $U$ と $f, g \in \mathcal{O}_X(U)$ で $fg = 0$ とする。$Z_f = \lbrace x \in U \mid f_x \in \mathfrak{m}_x \rbrace$ は閉集合である（補集合は $f$ が単元となる点で、単元であることは近傍に広がる）。$f_x g_x = 0 \in \mathfrak{m}_x$ より $U = Z_f \cup Z_g$ で、$U$ は既約なので例えば $U = Z_f$。$U$ に含まれるアフィン開集合 $\operatorname{Spec} A$ 上では、$f$ はすべての素イデアルに属するので冪零、被約性から 0 である。層の性質より $f = 0$。$\square$

整スキームは生成点 $\eta$ をもち、$K(X) = \mathcal{O}_{X, \eta}$ を関数体という。

例 5.3 (1) $\operatorname{Spec} k[x]/(x^2)$ は被約でない。(2) $\operatorname{Spec} k[x, y]/(xy)$ は被約だが既約でない。(3) $\mathbb{P}^n_k$, $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$, $\mathbb{A}^n_{\mathbb{Z}}$ は整でネーター。(4) $A = k[x_1, x_2, \dots]/(x_1, x_2, \dots)^2$ の $\operatorname{Spec}$ は 1 点（位相空間としてはネーター）だが、$A$ はネーター環でないのでネータースキームではない（$\operatorname{Spec} A$ が局所ネーター $\Leftrightarrow$ $A$ がネーター：Hartshorne 第 II 章命題 3.2）。

5.3 開部分スキームと閉部分スキーム

定義 5.4（閉埋め込み, closed immersion）スキームの射 $f\colon Z \to X$ が閉埋め込みであるとは、$f$ が $Z$ から $X$ の閉集合への同相写像で、$f^{\sharp}\colon \mathcal{O}_X \to f_{\ast}\mathcal{O}_Z$ が（層の射として）全射であることをいう。閉埋め込みの同型類を閉部分スキームという。開集合 $U$ と $\mathcal{O}_X\vert_U$ の組は開部分スキーム、それへの同型は開埋め込みである。

例 5.5 イデアル $I \subset A$ について $\operatorname{Spec} A/I \to \operatorname{Spec} A$ は閉埋め込みである（像は $V(I)$ で、茎の写像 $A_{\mathfrak{p}} \to (A/I)_{\mathfrak{p}}$ は全射）。同じ閉集合に異なる閉部分スキームの構造が入りうる。$\mathbb{A}^2 = \operatorname{Spec} k[x, y]$ の中で

• $V(x)$：直線、
• $V(x^2)$：直線を「2 重にした」もの（$y$ 軸が、それと直交する $x$ 軸方向に無限小の厚みをもつ）、
• $V(x^2, xy)$：直線の原点だけに「埋め込まれた点」がついたもの（問題 5.3）

は、いずれも集合としては $y$ 軸である。

命題 5.6（主張）アフィンスキーム $\operatorname{Spec} A$ の閉部分スキームは、イデアル $I$ による $\operatorname{Spec} A/I$ に限る。一般のスキーム $X$ の閉部分スキームは、準連接なイデアル層 $\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X$（第6章）と一対一に対応する。

証明は Hartshorne 第 II 章命題 5.9, 系 5.10 を参照。

被約化 (reduction)：$\mathcal{O}_X$ の冪零元のなすイデアル層 $\mathcal{N}$ で定まる閉部分スキーム $X_{\mathrm{red}}$ は、$X$ と同じ位相空間をもつ被約スキームで、アフィンなら $\operatorname{Spec} A/\operatorname{nil}(A)$ である。被約スキームから $X$ への射は $X_{\mathrm{red}}$ を一意に経由する（主張）。閉集合 $Z$ に対しても、$Z$ 上で 0 になる関数全体のイデアル層で被約な誘導構造が定まる。

5.4 ファイバー積

定理 5.7（ファイバー積の存在）スキームの射 $f\colon X \to S$, $g\colon Y \to S$ に対し、スキーム $X \times_S Y$ と射 $p_1, p_2$ で次の図式を可換にし、同じ性質をもつ任意の $(T, q_1, q_2)$ がただ一つの射 $T \to X \times_S Y$ を経由するものが存在する。

$$\begin{array}{ccc} X \times_S Y & \xrightarrow{\ p_2\ } & Y \\ {\scriptstyle p_1}\downarrow & & \downarrow{\scriptstyle g} \\ X & \xrightarrow{\ f\ } & S \end{array}$$

アフィンの場合は $\operatorname{Spec} A \times_{\operatorname{Spec} R} \operatorname{Spec} B = \operatorname{Spec}(A \otimes_R B)$ である。

証明の方針. アフィンの場合：任意のスキーム $T$ について、定理 4.7 とテンソル積の普遍性（$R$ 代数の圏での余積）から

が自然に成り立ち、これが普遍性そのものである。一般の場合は $S, X, Y$ をアフィン開集合で覆い、アフィンの場合のファイバー積を普遍性による一意性を使って貼り合わせる（Hartshorne 第 II 章定理 3.3）。$\square$

定義 5.8（ファイバーと基底変換）射 $f\colon X \to Y$ と $y \in Y$ に対し、$X_y = X \times_Y \operatorname{Spec} \kappa(y)$ を $y$ 上のファイバー (fiber) という。$X_y$ の位相空間は $f^{-1}(y)$ に同相である（主張）。$Y' \to Y$ に対し $X \times_Y Y' \to Y'$ を基底変換 (base change) という。$\mathbb{R}$ 上の $X$ から $X_{\mathbb{C}}$ を作る係数拡大、$\mathbb{Z}$ 上の $X$ から $X_{\mathbb{F}_p}$ を作る「$p$ を法とする還元」は基底変換である。$Y$ が整なら生成点上のファイバーを生成ファイバーという。

例 5.9（$\operatorname{Spec} \mathbb{Z}[i] \to \operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ のファイバー）素数 $p$ 上のファイバーは

である。

• $p = 2$：$x^2 + 1 = (x + 1)^2$ なので、1 点からなる被約でないスキーム $\operatorname{Spec} \mathbb{F}_2[x]/((x+1)^2)$。$(2) = (1 + i)^2$ は分岐する。
• $p \equiv 1 \pmod 4$：$-1$ は平方剰余で $x^2 + 1 = (x - a)(x + a)$, $a \neq -a$ なので、$\operatorname{Spec}(\mathbb{F}_p \times \mathbb{F}_p)$ は被約な 2 点。$p$ は分解する（例：$p = 5$, $x^2 + 1 = (x - 2)(x + 2)$）。
• $p \equiv 3 \pmod 4$：$x^2 + 1$ は既約で、$\operatorname{Spec} \mathbb{F}_{p^2}$ の 1 点。$p$ は惰性的である。
• 生成ファイバーは $\operatorname{Spec} \mathbb{Q}(i)$。

どのファイバーでも環の $\kappa(y)$ 上の次元は 2 で一定である（5.9 節の平坦性）。分解する素数が $p = a^2 + b^2$ と書ける奇素数であること（$2 = 1^2 + 1^2$ は分岐する）（04-algebra 第6章）は、この幾何的な描像の数論的な内容である。

例 5.10（曲線の族）$k$ を代数閉体（標数 $\neq 2$）とする。(1) $X = \operatorname{Spec} k[x, y, t]/(xy - t) \to \mathbb{A}^1_t$ の $t = a \neq 0$ 上のファイバーは双曲線 $xy = a$、$t = 0$ 上のファイバーは 2 直線 $xy = 0$ である。(2) $X' = \operatorname{Spec} k[x, t]/(x^2 - t) \to \mathbb{A}^1_t$ のファイバーは、$t = a \neq 0$ では 2 点 $x = \pm\sqrt{a}$、$t = 0$ では二重点 $\operatorname{Spec} k[x]/(x^2)$ である。冪零元は族の極限として自然に現れる。

5.5 有限型の射と有限射

定義 5.11 射 $f\colon X \to Y$ について、$Y$ のアフィン開被覆 $V_i = \operatorname{Spec} B_i$ で次を満たすものがあるとする。

• $f^{-1}(V_i)$ が有限生成 $B_i$ 代数 $A_{ij}$ の $\operatorname{Spec}$ で覆われるとき局所有限型、さらに各 $i$ で有限個で覆えるとき有限型 (finite type)。
• $f^{-1}(V_i) = \operatorname{Spec} A_i$ で $A_i$ が有限生成 $B_i$ 加群のとき有限 (finite)。

例 5.12 (1) $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}[i] \to \operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ は有限（$\mathbb{Z}[i] = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} i$）。(2) $\mathbb{A}^1 \to \mathbb{A}^1$, $x \mapsto x^2$（$t \mapsto x^2$）は有限（$k[x] = k[t] \oplus k[t] x$）。(3) 射影 $V(xy - 1) \to \mathbb{A}^1_x$ は有限型でファイバーは 1 点か空だが、$k[x, x^{-1}]$ は $k[x]$ 上有限生成加群でないので有限でない。(4) $\mathbb{P}^n_A \to \operatorname{Spec} A$（$n \geq 1$）は有限型だが有限でない。(5) $\operatorname{Spec} \mathbb{Q} \to \operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ は局所有限型でない。

有限射のファイバーは有限個の点からなり（有限次元 $\kappa(y)$ 代数の $\operatorname{Spec}$）、有限射は閉写像である（問題 5.4）。

5.6 分離的射

位相空間 $X$ がハウスドルフであることは、対角線 $\Delta \subset X \times X$ が積位相で閉であることと同値である。ザリスキー位相では積位相を使えないので（例 1.5）、スキームのファイバー積の対角射で代用する。

定義 5.13（分離的, separated）射 $f\colon X \to Y$ の対角射 $\Delta\colon X \to X \times_Y X$ を $p_1 \circ \Delta = p_2 \circ \Delta = \mathrm{id}_X$ で定める。$\Delta$ が閉埋め込みのとき $f$ は分離的であるという。$X \to \operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ が分離的なとき $X$ は分離的であるという。

命題 5.14 アフィンスキームの間の射は分離的である。

証明. $\operatorname{Spec} A \to \operatorname{Spec} B$ の対角射は乗法 $A \otimes_B A \to A$, $a \otimes a' \mapsto aa'$ に対応し、これは全射なので例 5.5 より閉埋め込みである。$\square$

例 5.15（原点が 2 つある直線）例 4.14 の $X = U_1 \cup U_2$（$U_i \cong \mathbb{A}^1 = \operatorname{Spec} k[t]$）を考える。$X \times_k X$ は 4 つのアフィン開集合 $U_a \times U_b \cong \mathbb{A}^2$ で覆われる。$\Delta^{-1}(U_1 \times U_2) = U_1 \cap U_2 = \mathbb{A}^1 \setminus \lbrace 0 \rbrace$ の像は、$U_1 \times U_2 = \operatorname{Spec} k[s, t]$ の中で対角線 $V(s - t)$ から原点を除いたものであり、閉でない（閉包は $(0_1, 0_2)$ に当たる原点を含む）。よって $\Delta(X)$ は閉でなく、$X$ は分離的でない。

命題 5.16（主張）(1) 開埋め込み・閉埋め込みは分離的であり、分離的な射の合成と基底変換は分離的である。射影スキーム・準射影多様体は分離的である。(2) 分離的なスキームでは、2 つのアフィン開集合の共通部分はアフィンである。

(2) は第7章のチェック・コホモロジーで重要になる。平面 $\mathbb{A}^2$ の原点を 2 つにしたスキームでは、2 つのアフィン開集合の共通部分が $\mathbb{A}^2 \setminus \lbrace 0 \rbrace$ となりアフィンでない（問題 4.3）ので、分離的でない。

定理 5.17（分離性の付値判定法、主張）$X$ をネータースキーム、$f\colon X \to Y$ を射とする。$f$ が分離的であるための必要十分条件は、任意の付値環 $R$（商体 $K$）と可換図式 $\operatorname{Spec} K \to X$, $\operatorname{Spec} R \to Y$ に対し、$\operatorname{Spec} R \to X$ への持ち上げが高々一つであることである。

証明は Hartshorne 第 II 章定理 4.3 を参照。$\operatorname{Spec} R$ は「生成点 $\operatorname{Spec} K$ と閉点からなる小さな曲線の芽」であり、判定法は「曲線の極限点は高々一つ」と読める。原点が 2 つある直線では、$t \to 0$ となる曲線の極限が $0_1, 0_2$ の 2 つある。

5.7 固有射

定義 5.18（固有, proper）射 $f\colon X \to Y$ が普遍的に閉 (universally closed) とは、任意の基底変換 $X \times_Y Y' \to Y'$ が閉写像であることをいう。分離的・有限型・普遍的に閉である射を固有射という。

例 5.19 $\mathbb{A}^1_k \to \operatorname{Spec} k$ は閉写像（像は 1 点）だが固有でない。$\mathbb{A}^1_k$ への基底変換 $\mathbb{A}^2_k \to \mathbb{A}^1_k$ で、閉集合 $V(xy - 1)$ の像は $\mathbb{A}^1 \setminus \lbrace 0 \rbrace$ で閉でない。同様に $\mathbb{A}^1_{\mathbb{Z}} \to \operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ は閉写像でない（問題 5.5）。

定理 5.20（主張）(1) 有限射は固有である。(2) 射影的な射（閉埋め込み $X \to \mathbb{P}^n_Y$ と射影 $\mathbb{P}^n_Y \to Y$ の合成）は固有である。特に $\mathbb{P}^n_k \to \operatorname{Spec} k$ は固有で、定理 2.18 はこの特別な場合である。(3)（固有性の付値判定法）$X$ をネータースキーム、$f$ を有限型の射とする。$f$ が固有 $\Leftrightarrow$ 定理 5.17 の状況で持ち上げがちょうど一つ存在する。

証明は Hartshorne 第 II 章定理 4.7, 4.9 を参照。(3) でネーターの場合は離散付値環だけを考えれば十分である（同 演習 4.11）。

例 5.21（$\mathbb{P}^1$ と $\mathbb{A}^1$）$R$ を $k$ を含む離散付値環、$\pi$ を素元、$K$ を商体、$v$ を付値とする。$k$ 上の射 $\operatorname{Spec} K \to \mathbb{P}^1_k$ は $[a : b]$（$a, b \in K$ は同時に 0 でない）で与えられる。$m = \min(v(a), v(b))$ とおくと $[a : b] = [\pi^{-m} a : \pi^{-m} b]$ で、両成分は $R$ に属し一方は単元なので、$\operatorname{Spec} R \to \mathbb{P}^1_k$ への延長が得られる。一方 $\mathbb{A}^1_k$ の $K$ 値点 $x = \pi^{-1}$ は $R$ 値点に延びない。$R = k[t]_{(t)}$ なら、これは「$t \to 0$ で $x = 1/t$ が無限遠に逃げる」ことであり、$\mathbb{P}^1$ では $\infty$ が極限として補われている。

5.8 スキームの次元

スキームの次元は位相空間としての次元（定義 1.24）とする。$\dim \operatorname{Spec} A = \dim A$ である。

例 5.22 $\dim \operatorname{Spec} \mathbb{Z} = 1$、$\dim \mathbb{A}^n_k = n$、$\dim \mathbb{A}^n_{\mathbb{Z}} = n + 1$（ネーター環 $A$ で $\dim A[x] = \dim A + 1$）、$\dim \operatorname{Spec} k[x]/(x^2) = 0$。$\operatorname{Spec} \mathbb{Z}[x]$ は 2 次元の「数論的曲面」である（問題 4.6）。

5.9 平坦射とファイバーの次元

定義 5.23（平坦, flat）射 $f\colon X \to Y$ が $x \in X$ で平坦であるとは、$\mathcal{O}_{X,x}$ が平坦 $\mathcal{O}_{Y, f(x)}$ 加群であることをいう。すべての点で平坦なとき $f$ は平坦であるという。

$B$ が平坦 $A$ 加群なら $\operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$ は平坦である（局所化は平坦性を保つ）。単項イデアル整域 $A$ 上の加群は、ねじれがないとき、かつそのときに限り平坦である。

例 5.24 (1) 開埋め込みは平坦（局所化は平坦）。(2) $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}[i] \to \operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ と $x^2 = t$ の族（例 5.10(2)）は、階数 2 の自由加群なので平坦。ファイバーの「長さ」がつねに 2 であることと対応する。(3) $\operatorname{Spec} k \to \mathbb{A}^1_k$（$t = 0$ での閉埋め込み）は平坦でない：単射 $k[t] \xrightarrow{t} k[t]$ に $\otimes k[t]/(t)$ を施すと零写像 $k \to k$ になる。(4) $\operatorname{Spec} k[x, t]/(xt) \to \mathbb{A}^1_t$ は平坦でない：$t \cdot x = 0$ なので $t$ 倍が単射でなく、ねじれがある。幾何的には、ファイバーは $t \neq 0$ で 1 点 $x = 0$ だが、$t = 0$ では直線 $\mathbb{A}^1_x$ 全体で、次元が跳ね上がる。

平坦性は「ファイバーが連続的に変化する」ことの代数的な定式化であり、次の定理が成り立つ。

定理 5.25（ファイバーの次元、主張）(1) $f\colon X \to Y$ を体 $k$ 上有限型のスキームの間の平坦な射、$x \in X$ を閉点、$y = f(x)$ とすると、$\dim_x X_y = \dim_x X - \dim_y Y$（$\dim_x$ は $x$ を含む既約成分の次元の最大値）。 (2) $f\colon X \to Y$ を $k$ 上有限型の整スキームの間の支配的な射とすると、空でない各ファイバーの既約成分の次元は $\dim X - \dim Y$ 以上であり、$Y$ の空でない開集合上では等号が成り立つ。

証明は Hartshorne 第 III 章 9 節と第 II 章演習 3.22 を参照。

例 5.26（原点での爆発）$\widetilde{\mathbb{A}}^2 = \lbrace ((x, y), [u : v]) \mid xv = yu \rbrace \subset \mathbb{A}^2 \times \mathbb{P}^1$ と射影 $\pi\colon \widetilde{\mathbb{A}}^2 \to \mathbb{A}^2$ を考える。$(x, y) \neq 0$ 上のファイバーは 1 点 $[x : y]$、原点上のファイバーは $\mathbb{P}^1$ 全体である。$\widetilde{\mathbb{A}}^2$ と $\mathbb{A}^2$ はともに 2 次元なので、定理 5.25(1) より $\pi$ は原点上の点で平坦でない。$\pi$ は固有で、原点の外では同型である（爆発 (blow-up)：第9章）。

まとめ

• 整 $\Leftrightarrow$ 被約かつ既約。閉部分スキームはイデアル（層）に対応し、同じ集合に冪零元を含む様々な構造が入る。
• ファイバー積はアフィンではテンソル積で、ファイバー $X_y$ は $X \times_Y \operatorname{Spec} \kappa(y)$。$\operatorname{Spec} \mathbb{Z}[i]$ のファイバーは素数の分岐・分解・惰性を表す。
• 有限射は有限生成加群に対応し、ファイバーは有限集合。
• 分離的 = 対角が閉（ハウスドルフの類似）。原点が 2 つある直線は分離的でない。
• 固有 = 分離的・有限型・普遍的に閉（コンパクトの類似）。射影的な射は固有で、$\mathbb{A}^1$ は固有でない。付値判定法は「曲線の極限がただ一つ存在する」と読める。
• 平坦性はファイバーの連続的な変化を表し、平坦ならファイバーの次元は $\dim X - \dim Y$ で一定である。

演習問題