スキーム

この章の目標

• 冪零元・生成点・数論的対象の具体例で、スキームが必要な理由を説明できる
• アフィンスキームの構造層を構成し、$\mathcal{O}(D(f)) = A_f$ と茎が $A_{\mathfrak{p}}$ であることを証明できる
• $\operatorname{Hom}(X, \operatorname{Spec} A) = \operatorname{Hom}(A, \mathcal{O}_X(X))$ を証明し、$T$ 値点の計算に使える
• 貼り合わせと $\operatorname{Proj}$ で射影空間や原点が 2 つある直線を構成できる

前提：第1章〜第3章、13-commutative-algebra 第2章（局所化と素スペクトル）、12-category-homological-algebra 第2章（米田の補題）

以下、環はすべて可換で単位元をもつ。

4.1 なぜスキームが必要か

第1章〜第3章の古典的な多様体は、代数閉体 $k$ 上の有限生成被約代数（座標環）と対応していた。この枠組みには次の三つの不足がある。

1. 冪零元：放物線 $y = x^2$ と接線 $y = 0$ の交わりは環 $k[x]/(x^2)$ で表され、「2 重の点」であることを記憶している（例 1.14）。直線 $y = c$ との 2 交点が $c \to 0$ で合流する極限もこの環である。しかし被約な環しか扱わない理論では、これは 1 点 $k$ と区別できない。
2. 生成点：多様体の点は極大イデアルに対応したが、素イデアルは既約な部分多様体に対応していた（系 1.13）。素イデアルも「点」として扱うと、既約な集合の「一般の点」が一つの点（生成点）として実在する。
3. 数論的対象：$\mathbb{Z}$ や $\mathbb{Z}[i]$ も幾何的に扱いたい。方程式 $x^2 + y^2 = 1$ を $\mathbb{Z}$ 上で考えると、$\mathbb{Q}$ 上の円と、すべての素数 $p$ についての $\mathbb{F}_p$ 上の曲線が一つの対象の「ファイバー」として並ぶ（第5章）。代数閉でない体 $\mathbb{R}$ 上の $x^2 + 1 = 0$ も、剰余体 $\mathbb{C}$ をもつ 1 点として扱える。

グロタンディークのスキーム (scheme) は、任意の環 $A$ に局所環付き空間 $\operatorname{Spec} A$ を対応させ、それを貼り合わせることで、これらすべてを一つの幾何学に収める。

4.2 素スペクトル

環 $A$ の素イデアル全体 $\operatorname{Spec} A$ に、$V(I) = \lbrace \mathfrak{p} \mid \mathfrak{p} \supset I \rbrace$ を閉集合とするザリスキー位相を入れる（13-commutative-algebra 第2章）。$f \in A$ に対し $D(f) = \operatorname{Spec} A \setminus V(f)$ とおく。

命題 4.1 (1) $D(f)$ は開基をなし、$D(f) \cap D(g) = D(fg)$。 (2) $D(f) \subset D(g) \Leftrightarrow f \in \sqrt{(g)}$。特に $D(f) = \emptyset \Leftrightarrow f$ は冪零。 (3) $\overline{\lbrace \mathfrak{p} \rbrace} = V(\mathfrak{p})$。特に閉点は極大イデアルであり、$V(I)$ が既約 $\Leftrightarrow \sqrt{I}$ が素イデアルで、既約閉集合はただ一つの生成点 (generic point) $\sqrt{I}$ をもつ。 (4) $D(f)$（特に $\operatorname{Spec} A = D(1)$）はコンパクトである。 (5) 環準同型 $\varphi\colon A \to B$ は連続写像 $\operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$, $\mathfrak{q} \mapsto \varphi^{-1}(\mathfrak{q})$ を引き起こす。

証明. (2) $\sqrt{(g)}$ は $g$ を含む素イデアルの共通部分なので、$V(g) \subset V(f) \Leftrightarrow f \in \sqrt{(g)}$。(4) $D(f) \subset \bigcup_i D(g_i)$ なら $V((g_i)_i) \subset V(f)$ なので $f \in \sqrt{(g_i)_i}$、すなわち $f^n = \sum a_i g_i$（有限和）と書け、そこに現れる有限個の $D(g_i)$ で覆われる。(5) $\varphi$ による逆像は $V(I)$ を $V(\varphi(I)B)$ に写す。他は定義から直ちに従う。$\square$

例 4.2 (1) $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$：閉点 $(2), (3), (5), \dots$ と生成点 $(0)$ からなり、$(0)$ の閉包は全体である。空でない開集合は、$(0)$ を含み有限個の素数を除いた集合である。

(2) $\operatorname{Spec} k[x]$（$k$ 代数閉）：閉点 $(x - a)$（$a \in k$）と生成点 $(0)$。古典的な直線 $\mathbb{A}^1$ に生成点を 1 つ加えたものである。

(3) $\operatorname{Spec} \mathbb{R}[x]$：閉点は $(x - a)$（$a \in \mathbb{R}$）と $(x^2 + bx + c)$（$b^2 < 4c$）で、後者は共役な複素数の組 $\lbrace z, \bar{z} \rbrace$ に対応する。これに生成点 $(0)$ が加わる。

(4) $\operatorname{Spec} k[x, y]$：閉点 $(x - a, y - b)$、既約曲線の生成点 $(f)$（$f$ は既約多項式）、全体の生成点 $(0)$。

(5) 離散付値環 $R$（たとえば $\mathbb{Z}_{(p)}$）：閉点 $\mathfrak{m}$ と開点である生成点 $(0)$ の 2 点（問題 3.2 の空間）。

(6) $\operatorname{Spec} k[x]/(x^2)$：素イデアルは $(x)$ だけで 1 点である。位相空間としては $\operatorname{Spec} k$ と同じだが、環は冪零元 $x$ をもつ。

4.3 構造層

$\operatorname{Spec} A$ の上の「関数」として、局所的に分数 $a/f$ で書けるものを考える。$\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} A$ における値は局所環 $A_{\mathfrak{p}}$ に属する。

定義 4.3（構造層, structure sheaf）$X = \operatorname{Spec} A$ の開集合 $U$ に対し、$\mathcal{O}(U)$ を写像 $s\colon U \to \bigsqcup_{\mathfrak{p} \in U} A_{\mathfrak{p}}$ で $s(\mathfrak{p}) \in A_{\mathfrak{p}}$ かつ次を満たすものの全体とする：各 $\mathfrak{p} \in U$ に対し、開近傍 $V \subset U$ と $a, f \in A$ があって、すべての $\mathfrak{q} \in V$ で $f \notin \mathfrak{q}$ かつ $A_{\mathfrak{q}}$ の中で $s(\mathfrak{q}) = a/f$。

条件は局所的なので、$\mathcal{O}$ は環の層である。

定理 4.4 $X = \operatorname{Spec} A$ とする。 (1) 各 $\mathfrak{p}$ で、茎 $\mathcal{O}_{\mathfrak{p}}$ は $A_{\mathfrak{p}}$ に同型である。 (2) 各 $f \in A$ で $\mathcal{O}(D(f)) \cong A_f$。特に $\Gamma(X, \mathcal{O}) = A$。

証明. (1) $s \mapsto s(\mathfrak{p})$ は準同型 $\mathcal{O}_{\mathfrak{p}} \to A_{\mathfrak{p}}$ を定める。全射：$a/f \in A_{\mathfrak{p}}$（$f \notin \mathfrak{p}$）は、$D(f)$ 上の切断 $\mathfrak{q} \mapsto a/f$ の芽の像である。単射：$s$ の芽の像が 0 とし、$\mathfrak{p}$ の近傍 $V$ で $s = a/f$ と書く。$A_{\mathfrak{p}}$ で $a/f = 0$ なので $ha = 0$ となる $h \notin \mathfrak{p}$ がある。すると $V \cap D(h)$ の各 $\mathfrak{q}$ で $A_{\mathfrak{q}}$ の中で $a/f = 0$ となり、芽は 0 である。

(2) $\psi\colon A_f \to \mathcal{O}(D(f))$ を $a/f^n \mapsto (\mathfrak{q} \mapsto a/f^n)$ で定める。

単射：$\psi(a/f^n) = 0$ とし、$\mathfrak{a} = \operatorname{Ann}(a)$ とおく。各 $\mathfrak{q} \in D(f)$ で $A_{\mathfrak{q}}$ の中で $a = 0$ なので、$ha = 0$ となる $h \notin \mathfrak{q}$ があり、$\mathfrak{a} \not\subset \mathfrak{q}$。よって $V(\mathfrak{a}) \subset V(f)$ で、$f \in \sqrt{\mathfrak{a}}$、すなわち $f^m a = 0$ となり、$A_f$ で $a/f^n = 0$。

全射：$s \in \mathcal{O}(D(f))$ とする。$D(f)$ を開集合 $V_i$ で覆い、$V_i$ 上 $s = a_i/g_i$（$g_i$ は $V_i$ 上で 0 にならない）とする。開基 $D(h_i) \subset V_i$ に縮めると $D(h_i) \subset D(g_i)$ より $h_i^m = c g_i$ と書け、$a_i/g_i = c a_i/h_i^m$。$h_i^m$ を改めて $h_i$ とおいて、$D(h_i)$ 上で $s = a_i/h_i$ としてよい。命題 4.1(4) より有限個 $i = 1, \dots, r$ で $D(f)$ が覆われる。$D(h_i h_j) = D(h_i) \cap D(h_j)$ 上で $a_i/h_i$ と $a_j/h_j$ は同じ切断を定めるので、単射性（環 $A$ と $D(h_i h_j)$ に適用）から $A_{h_i h_j}$ で等しく、ある $N$ ですべての $i, j$ について $(h_i h_j)^N (h_j a_i - h_i a_j) = 0$。$h_i^{N+1}$ を $h_i$、$h_i^N a_i$ を $a_i$ と置き直すと、$D(h_i)$ 上 $s = a_i/h_i$ のまま

となる。$D(f) \subset \bigcup D(h_i)$ より $f^n = \sum_i b_i h_i$ と書ける。$a = \sum_i b_i a_i$ とおくと $h_j a = \sum_i b_i h_i a_j = f^n a_j$ なので、$D(h_j)$ 上 $a/f^n = a_j/h_j = s$。よって $s = \psi(a/f^n)$。$\square$

定義 4.5（アフィンスキーム, affine scheme）局所環付き空間 $(\operatorname{Spec} A, \mathcal{O})$ を $\operatorname{Spec} A$ と書き、これに同型な局所環付き空間をアフィンスキームという。点 $\mathfrak{p}$ の剰余体を $\kappa(\mathfrak{p}) = A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ とし、$f \in A$ の $\kappa(\mathfrak{p})$ への像を $f$ の $\mathfrak{p}$ での値 $f(\mathfrak{p})$ という。

たとえば $15 \in \mathbb{Z}$ は $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ 上の「関数」で、$(2)$ での値は $1 \in \mathbb{F}_2$、$(3)$ での値は $0 \in \mathbb{F}_3$、$(0)$ での値は $15 \in \mathbb{Q}$ である。値をとる体が点ごとに違う。さらに $k[x]/(x^2)$ の元 $x$ はただ一つの点で値 0 をとるが 0 ではない。スキーム上の関数は値だけでは決まらない。これが古典的な多様体との本質的な違いである。

4.4 スキームの定義と $\operatorname{Spec}$ の関手性

定義 4.6（スキーム, scheme）局所環付き空間 $(X, \mathcal{O}_X)$ で、各点が開近傍 $U$ をもち $(U, \mathcal{O}_X\vert_U)$ がアフィンスキームになるものをスキームという。スキームの射は局所環付き空間の射とする。

$D(f) \subset \operatorname{Spec} A$ は $\operatorname{Spec} A_f$ と同型であり（定理 4.4 を $D(f)$ の中の $D(fg)$ に適用すればよい）、したがってスキームの開集合はスキームになる（開部分スキーム）。

定理 4.7 $X$ をスキーム、$A$ を環とする。射 $(f, f^{\sharp})$ に大域切断の準同型 $f^{\sharp}\colon A = \Gamma(\operatorname{Spec} A, \mathcal{O}) \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ を対応させる写像

$$\operatorname{Hom}_{\mathbf{Sch}}(X, \operatorname{Spec} A) \to \operatorname{Hom}_{\mathbf{Ring}}(A, \Gamma(X, \mathcal{O}_X))$$

は全単射である。

証明. まず $X = \operatorname{Spec} B$ の場合を示す。

単射：射 $(f, f^{\sharp})$ から $\varphi = f^{\sharp}\colon A \to B$ が得られたとする。$\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} B$ で茎の準同型 $f^{\sharp}_{\mathfrak{p}}$ は次の図式を可換にする。

$f^{\sharp}_{\mathfrak{p}}$ は局所準同型なので、極大イデアルの逆像をとって $A$ に引き戻すと $f(\mathfrak{p}) = \varphi^{-1}(\mathfrak{p})$。また局所化の普遍性から $f^{\sharp}_{\mathfrak{p}}$ は $\varphi$ の局所化 $\varphi_{\mathfrak{p}}$ に等しい。切断はその芽で決まるので、$f$ と $f^{\sharp}$ はともに $\varphi$ で決まる。

全射：$\varphi\colon A \to B$ に対し $f(\mathfrak{p}) = \varphi^{-1}(\mathfrak{p})$ とおくと連続である（命題 4.1(5)）。$\operatorname{Spec} A$ の開集合 $V$ 上の切断 $s$ に対し $f^{\sharp}(s)(\mathfrak{p}) = \varphi_{\mathfrak{p}}(s(f(\mathfrak{p})))$ と定めると、$s = a/g$ と書ける所では $f^{\sharp}(s) = \varphi(a)/\varphi(g)$ となるので $f^{-1}(V)$ 上の切断である。茎での写像 $\varphi_{\mathfrak{p}}$ は局所準同型であり、大域切断では $\varphi$ に等しい。

一般の $X$ の場合：$X$ をアフィン開集合 $U_i$ で覆い、$U_i \cap U_j$ をアフィン開集合 $U_{ijk}$ で覆う。射は局所的に定まり貼り合わさるので、$\operatorname{Hom}(X, \operatorname{Spec} A)$ は $\prod_i \operatorname{Hom}(U_i, \operatorname{Spec} A) \rightrightarrows \prod_{i,j,k} \operatorname{Hom}(U_{ijk}, \operatorname{Spec} A)$ のイコライザーである。層の条件から $\Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ も $\prod \Gamma(U_i) \rightrightarrows \prod \Gamma(U_{ijk})$ のイコライザーで、$\operatorname{Hom}(A, -)$ はイコライザーを保つ。アフィンの場合の全単射はこれらの図式と両立するので、全単射が得られる。$\square$

系 4.8 (1) $A \mapsto \operatorname{Spec} A$ は環の圏とアフィンスキームの圏の反変同値を与える（定理 1.21 の一般化）。 (2) $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ はスキームの圏の終対象である。すなわち任意のスキームはただ一通りに $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ 上のスキームである。 (3) 任意のスキーム $X$ に対し、$\mathrm{id}_{\Gamma(X, \mathcal{O}_X)}$ に対応する標準的な射 $X \to \operatorname{Spec} \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ がある。$X$ がアフィンであることと、この射が同型であることは同値である。

(2) は $\mathbb{Z}$ が環の圏の始対象であることによる。環 $R$ に対し、射 $X \to \operatorname{Spec} R$ を与えたスキームを $R$ 上のスキームという。

4.5 例：二重点・生成点・数論

例 4.9（二重点と接ベクトル）$D = \operatorname{Spec} k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ は 1 点だが冪零元をもつ。$X = \operatorname{Spec} k[x_1, \dots, x_n]/I$ に対し、$k$ 上の射 $D \to X$ は $k$ 準同型 $k[x]/I \to k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$、すなわち $x_i \mapsto a_i + \varepsilon v_i$ で $I$ の元を 0 に写すものである。テイラー展開

より、条件は $a \in V(I)$ かつ $v$ が $a$ での接空間（定義 1.28 の式を $I$ で計算したもの）に属することである。二重点からの射とは「点と接ベクトルの組」であり、冪零元は無限小の情報を担っている。

例 4.10（生成点）$A$ が整域なら $(0)$ は $\operatorname{Spec} A$ の生成点 $\eta$ で、$\overline{\lbrace \eta \rbrace} = \operatorname{Spec} A$、$\mathcal{O}_{\eta} = \operatorname{Frac} A$。$\eta$ は空でない任意の開集合に属するので、「$\eta$ で成り立つ」ことは「稠密な開集合で成り立つ」ことの言い換えになる。たとえば $f \in A$ が $\eta$ で 0 でない $\Leftrightarrow$ $f \neq 0$ $\Leftrightarrow$ $D(f)$ は空でない開集合。平面曲線 $V(f) \subset \mathbb{A}^2$ の「一般の点」は、$\operatorname{Spec} k[x, y]$ の点 $(f)$ として実在する。

例 4.11（数論的な例）包含 $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}[i]$ から射 $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}[i] \to \operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ が定まる。素数 $p$ の上にある点は $\mathbb{Z}[i]/(p) \cong \mathbb{F}_p[x]/(x^2 + 1)$ の素イデアルで、$p = 2$ では $(x+1)^2$ より 1 点、$p \equiv 1 \pmod 4$ では $x^2 + 1$ が相異なる 2 根をもつので 2 点、$p \equiv 3 \pmod 4$ では既約なので 1 点（剰余体 $\mathbb{F}_{p^2}$）である。$\operatorname{Spec} \mathbb{Z}[i]$ は $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ の「2 重被覆」で、$(2)$ の上で分岐している。詳しくは第5章でファイバーとして扱う（15-algebraic-number-theory 第2章も参照）。

4.6 貼り合わせ

命題 4.12（貼り合わせ、主張）スキーム $X_i$ と開部分スキーム $U_{ij} \subset X_i$、同型 $\varphi_{ij}\colon U_{ij} \to U_{ji}$ が与えられ、$U_{ii} = X_i$, $\varphi_{ii} = \mathrm{id}$, $\varphi_{ij}(U_{ij} \cap U_{ik}) = U_{ji} \cap U_{jk}$ かつ $U_{ij} \cap U_{ik}$ 上で $\varphi_{ik} = \varphi_{jk} \circ \varphi_{ij}$（コサイクル条件）を満たすとする。このとき、スキーム $X$ と開埋め込み $\psi_i\colon X_i \to X$ で、$X = \bigcup \psi_i(X_i)$、$U_{ij}$ 上 $\psi_j \circ \varphi_{ij} = \psi_i$、$\psi_i(U_{ij}) = \psi_i(X_i) \cap \psi_j(X_j)$ となるものが同型を除いて一意に存在する。

証明は位相空間を貼り合わせたのち層を貼り合わせればよい（Hartshorne 第 II 章演習 2.12）。

例 4.13（射影直線）$X_0 = \operatorname{Spec} A[t]$ と $X_1 = \operatorname{Spec} A[s]$ を、$D(t) \cong D(s)$（環の同型 $A[t, t^{-1}] \cong A[s, s^{-1}]$, $t \leftrightarrow s^{-1}$）で貼り合わせたものが $\mathbb{P}^1_A$ である。大域切断は、$A[t, t^{-1}]$ の中で $f(t) = g(t^{-1})$ となる多項式の組 $(f, g)$ であり、両辺の $t$ の次数を比べると定数に限るので $\Gamma(\mathbb{P}^1_A, \mathcal{O}) = A$。$\mathbb{P}^1_k$ がアフィンなら系 4.8(3) より $\operatorname{Spec} k$（1 点）に同型になるので、$\mathbb{P}^1_k$ はアフィンでない。

例 4.14（原点が 2 つある直線）$\mathbb{A}^1_k = \operatorname{Spec} k[t]$ の 2 つのコピーを、開集合 $D(t)$ どうしを恒等写像で貼り合わせたスキーム $X$ を考える。原点だけが 2 つ（$0_1, 0_2$）ある。大域切断は $k[t]$ の元の組 $(f, g)$ で $k[t, t^{-1}]$ の中で $f = g$ となるもの、すなわち $\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = k[t]$。標準的な射 $X \to \operatorname{Spec} k[t]$ は $0_1, 0_2$ をともに $(t)$ に写すので単射でなく、系 4.8(3) より $X$ はアフィンでない。これはハウスドルフでない多様体の類似で、第5章で「分離的でない」スキームの典型例として現れる。

4.7 $\operatorname{Proj}$ と射影空間

定義 4.15（$\operatorname{Proj}$）次数付き環 $S = \bigoplus_{d \geq 0} S_d$ と $S_+ = \bigoplus_{d > 0} S_d$ に対し、$S_+$ を含まない斉次素イデアルの全体を $\operatorname{Proj} S$ とする。閉集合を $V_+(\mathfrak{a}) = \lbrace \mathfrak{p} \supset \mathfrak{a} \rbrace$（$\mathfrak{a}$ は斉次イデアル）とし、正の次数の斉次元 $f$ に対し $D_+(f) = \lbrace \mathfrak{p} \mid f \notin \mathfrak{p} \rbrace$ とおく。$S_f$ の次数 0 の部分を $S_{(f)}$ と書く。

命題 4.16（主張）$\operatorname{Proj} S$ には、各 $D_+(f)$ が $\operatorname{Spec} S_{(f)}$ に同型なアフィンスキームになる構造層が入り、スキームになる。

証明は Hartshorne 第 II 章 2 節（命題 2.5）を参照。

例 4.17 (1) $\mathbb{P}^n_A = \operatorname{Proj} A[x_0, \dots, x_n]$ は $D_+(x_i) \cong \operatorname{Spec} A[x_0/x_i, \dots, x_n/x_i] \cong \mathbb{A}^n_A$ で覆われる。$n = 1$ では例 4.13 に一致する。

(2) 斉次イデアル $I$ による $\operatorname{Proj} A[x_0, \dots, x_n]/I$ を $A$ 上の射影スキームという。たとえば $X = \operatorname{Proj} \mathbb{Z}[x, y, z]/(x^2 + y^2 - z^2)$ は「$\mathbb{Z}$ 上の円錐曲線」である。$\mathbb{F}_2$ に還元すると $x^2 + y^2 - z^2 \equiv (x + y + z)^2$ なので、$(2)$ の上には「2 重の直線」が現れる。冪零元は数論の中でも自然に現れるのである。

4.8 古典的な多様体からスキームへ

定理 4.18（主張）$k$ を代数閉体とする。$k$ 上の多様体 $X$ に対し、$X$ の既約閉集合全体を $t(X)$ とし、$X$ の閉集合 $Y$ に対する $t(Y)$ を閉集合とする位相と、$\alpha\colon X \to t(X)$, $p \mapsto \lbrace p \rbrace$ による層 $\alpha_{\ast}\mathcal{O}_X$ を入れる。このとき $t(X)$ は $k$ 上のスキームで、$t$ は多様体の圏から $k$ 上のスキームの圏への忠実充満な関手である。アフィン多様体 $X$ については $t(X) = \operatorname{Spec} A(X)$ である。

証明は Hartshorne 第 II 章命題 2.6 を参照。$\alpha$ は $X$ を $t(X)$ の閉点の集合と同一視し、$t(X)$ は $X$ の各既約閉集合に生成点を付け加えたものである。像は $k$ 上の有限型で分離的な整スキーム（第5章）のうち準射影的なものからなる。以後、多様体と対応するスキームを同一視する。

4.9 関手的な見方：$T$ 値点

定義 4.19（$T$ 値点）スキーム $X, T$ に対し $X(T) = \operatorname{Hom}(T, X)$ を $X$ の $T$ 値点という。環 $R$ に対し $X(R) = X(\operatorname{Spec} R)$ と書く。$S$ 上のスキームでは $S$ 上の射を考える。

命題 4.20 $X = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}[x_1, \dots, x_n]/(f_1, \dots, f_r)$ と環 $R$ について、$X(R) = \lbrace a \in R^n \mid f_j(a) = 0 \ (1 \leq j \leq r) \rbrace$。

証明. 定理 4.7 より $X(R) = \operatorname{Hom}(\mathbb{Z}[x]/(f_1, \dots, f_r), R)$ で、準同型は $x_i$ の像 $a_i$ で決まり、$f_j(a) = 0$ が条件である。$\square$

例 4.21 (1) $X = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}[x, y]/(x^2 + y^2 - 1)$ に対し、$X(\mathbb{R})$ は円、$X(\mathbb{F}_p)$ は有限集合、$X(\mathbb{Z}) = \lbrace (\pm 1, 0), (0, \pm 1) \rbrace$、$X(\mathbb{Q})$ はピタゴラス数と対応する（$t \mapsto \bigl(\frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \frac{2t}{1 + t^2}\bigr)$）。一つのスキームが、あらゆる環での解の集合を一度に表している。

(2)（群スキーム）$\mathbb{G}_m = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}[x, x^{-1}]$ は $\mathbb{G}_m(R) = R^{\times}$、$\mathbb{G}_a = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}[x]$ は $\mathbb{G}_a(R) = R$、$\mu_n = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}[x]/(x^n - 1)$ は $\mu_n(R) = \lbrace r \in R \mid r^n = 1 \rbrace$ を与え、いずれも群を値にもつ関手である。$\mathbb{F}_p$ 上の $\mu_p = \operatorname{Spec} \mathbb{F}_p[x]/((x - 1)^p)$ は 1 点からなるが、$R = \mathbb{F}_p[\varepsilon]/(\varepsilon^p)$ では $1 + \varepsilon \in \mu_p(R)$ のように自明でない点をもつ。

米田の補題（12-category-homological-algebra 第2章）より $X \mapsto X(-)$ は忠実充満であり、スキームはその $T$ 値点の関手で決まる（さらに環 $R$ 上の値だけで決まる）。

まとめ

• スキームは冪零元（無限小・重複度）、生成点（一般の点）、数論的対象（$\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ 上の族）を統一的に扱うために導入される。
• $\operatorname{Spec} A$ の構造層は局所的な分数の層で、$\mathcal{O}(D(f)) = A_f$, $\mathcal{O}_{\mathfrak{p}} = A_{\mathfrak{p}}$, $\Gamma = A$。
• スキームはアフィンスキームで覆われる局所環付き空間。関数は値だけでは決まらない。
• $\operatorname{Hom}(X, \operatorname{Spec} A) = \operatorname{Hom}(A, \Gamma(X, \mathcal{O}_X))$。特に環の圏とアフィンスキームの圏は反変同値で、$\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ は終対象。
• 貼り合わせで $\mathbb{P}^1$ や原点が 2 つある直線ができ、$\operatorname{Proj}$ で射影スキームができる。いずれもアフィンでない。
• 古典的な多様体は、生成点を加えることでスキームとみなせる。
• $T$ 値点の関手は方程式の解の集合を環ごとに与え、スキームを決定する。

演習問題