準連接層・直線束・因子

この章の目標

• $\widetilde{M}$ を構成し、アフィンスキーム上の準連接層と加群の対応を説明できる
• 射影空間上の $\mathcal{O}(m)$ を定義し、その大域切断を計算できる
• ヴェイユ因子・カルティエ因子・直線束の関係を理解し、$\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^n) \cong \mathbb{Z}$ や二次錐の因子類群を計算できる
• 直線束と大域切断から射影空間への射を作り、豊富性・標準層を例で説明できる

前提：第4章、第5章、13-commutative-algebra 第7章（離散付値環・デデキント環）。ベクトル束の直観には 17-riemannian-geometry 第6章 が役立つ。

6.1 動機：スキーム上の線形代数

環 $A$ 上の加群は $\operatorname{Spec} A$ 上の「ベクトル束のようなもの」を与える。多様体論でベクトル束（接束、メビウスの帯）が重要なように、スキーム上でも関数の層 $\mathcal{O}_X$ だけでなく、その上の加群の層が必要になる。たとえば $\mathbb{P}^n$ 上の $d$ 次斉次多項式は関数ではない（命題 2.8 より大域的な関数は定数だけ）が、直線束 $\mathcal{O}(d)$ の切断として意味をもつ。また「指定した点で零点・極をもつ関数」は因子の言葉で記述され、射影空間への射は直線束とその切断で記述される。

6.2 $\mathcal{O}_X$ 加群と準連接層

定義 6.1（$\mathcal{O}_X$ 加群）環付き空間 $(X, \mathcal{O}_X)$ 上の $\mathcal{O}_X$ 加群とは、アーベル群の層 $\mathcal{F}$ で、各 $\mathcal{F}(U)$ が $\mathcal{O}_X(U)$ 加群であり、制限写像が加群の構造と両立するものをいう。

核・余核・直和、テンソル積 $\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}$（前層 $U \mapsto \mathcal{F}(U) \otimes_{\mathcal{O}_X(U)} \mathcal{G}(U)$ の層化）、$\mathcal{H}om(\mathcal{F}, \mathcal{G})$ が定義される。$\mathcal{O}_X$ の部分加群をイデアル層という。射 $f\colon X \to Y$ に対し、引き戻し $f^{\ast}\mathcal{G} = f^{-1}\mathcal{G} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_X$ が定まる。

定義 6.2（$\widetilde{M}$）$A$ 加群 $M$ に対し、$\operatorname{Spec} A$ 上の $\mathcal{O}$ 加群 $\widetilde{M}$ を定義 4.3 と同様に定める：$\widetilde{M}(U)$ は写像 $s\colon U \to \bigsqcup_{\mathfrak{p}} M_{\mathfrak{p}}$ で、局所的に $m/f$（$m \in M$, $f \in A$）の形のものの全体である。

命題 6.3 (1) $\widetilde{M}_{\mathfrak{p}} \cong M_{\mathfrak{p}}$、$\widetilde{M}(D(f)) \cong M_f$、特に $\Gamma(\operatorname{Spec} A, \widetilde{M}) = M$。 (2) $M \mapsto \widetilde{M}$ は完全な忠実充満関手で、直和とテンソル積を保つ：$\widetilde{M \otimes_A N} \cong \widetilde{M} \otimes \widetilde{N}$。

証明. (1) は定理 4.4 の証明で $A_{\mathfrak{p}}$ を $M_{\mathfrak{p}}$ に置き換えればよい。(2) 完全性は茎で判定でき、局所化は完全関手である。忠実充満性は、射 $\widetilde{M} \to \widetilde{N}$ が大域切断の準同型 $M \to N$ で決まり、逆に準同型は局所化で射を定めることによる。テンソル積は茎で $(M \otimes N)_{\mathfrak{p}} = M_{\mathfrak{p}} \otimes_{A_{\mathfrak{p}}} N_{\mathfrak{p}}$ となることによる。$\square$

定義 6.4（準連接層・連接層）スキーム $X$ 上の $\mathcal{O}_X$ 加群 $\mathcal{F}$ が準連接 (quasi-coherent) であるとは、アフィン開被覆 $U_i = \operatorname{Spec} A_i$ があって $\mathcal{F}\vert_{U_i} \cong \widetilde{M_i}$ となることをいう。$X$ がネーターで各 $M_i$ が有限生成のとき連接 (coherent) という。

定理 6.5（主張）$X = \operatorname{Spec} A$ 上の準連接層 $\mathcal{F}$ について $\mathcal{F} \cong \widetilde{\Gamma(X, \mathcal{F})}$。したがって $M \mapsto \widetilde{M}$ は $A$ 加群の圏と $X$ 上の準連接層の圏の圏同値を与え、準逆は $\Gamma(X, -)$ である。$A$ がネーターなら、有限生成加群は連接層に対応する。

証明の方針. 要点は、準連接層 $\mathcal{F}$ と $f \in A$ について $\mathcal{F}(D(f)) = \Gamma(X, \mathcal{F})_f$ となることである。$X$ を有限個の $D(g_i)$ で $\mathcal{F}\vert_{D(g_i)} \cong \widetilde{M_i}$ となるように覆い、各 $D(g_i)$ 上では (1) を使い、定理 4.4(2) の証明と同じ議論（分母を揃えて貼り合わせる）を繰り返す。これから自然な射 $\widetilde{\Gamma(X, \mathcal{F})} \to \mathcal{F}$ が各 $D(f)$ 上で同型となる（Hartshorne 第 II 章補題 5.3, 系 5.5）。$\square$

例 6.6（準連接でない層）離散付値環 $R$（商体 $K$）の $X = \operatorname{Spec} R = \lbrace s, \eta \rbrace$ 上で、$\mathcal{F}(X) = 0$, $\mathcal{F}(\lbrace \eta \rbrace) = K$ とすると $\mathcal{O}_X$ 加群になる（問題 3.2）。$\mathcal{F} \neq 0$ だが $\Gamma(X, \mathcal{F}) = 0$ なので、定理 6.5 より準連接でない。

閉部分スキームのイデアル層（命題 5.6）、$\mathcal{O}_X$ 自身、次節の局所自由層は準連接である。

6.3 局所自由層と直線束

定義 6.7（局所自由層, locally free sheaf）$\mathcal{O}_X$ 加群 $\mathcal{E}$ が階数 $r$ の局所自由層であるとは、開被覆 $U_i$ があって $\mathcal{E}\vert_{U_i} \cong \mathcal{O}_{U_i}^{\oplus r}$ となることをいう。階数 1 の局所自由層を可逆層 (invertible sheaf) または直線束 (line bundle) という。

$U_i$ 上の自明化を比べると、$U_i \cap U_j$ 上の変換関数 $g_{ij} \in \operatorname{GL}_r(\mathcal{O}(U_i \cap U_j))$ がコサイクル条件 $g_{ik} = g_{ij} g_{jk}$ を満たし、逆にコサイクルから局所自由層が貼り合わせで得られる。これは多様体上のベクトル束の変換関数と同じ構造である。

命題 6.8（ピカール群, Picard group）直線束の同型類の全体はテンソル積で群をなす。単位元は $\mathcal{O}_X$、$\mathcal{L}$ の逆元は $\mathcal{L}^{\vee} = \mathcal{H}om(\mathcal{L}, \mathcal{O}_X)$ である。この群を $\operatorname{Pic}(X)$ と書く。

証明. 結合性・可換性はテンソル積の性質から。評価写像 $\mathcal{L} \otimes \mathcal{L}^{\vee} \to \mathcal{O}_X$ は、$\mathcal{L}\vert_U \cong \mathcal{O}_U$ となる $U$ 上では $\mathcal{O}_U \otimes \mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_U$ となり同型である。同型であることは局所的に判定できる。$\square$

変換関数 $g_{ij} \in \mathcal{O}^{\times}(U_i \cap U_j)$ の言葉では、テンソル積は積に、同型は $g_{ij}$ を $h_i g_{ij} h_j^{-1}$ に取り替えることに対応する。第7章の言葉では $\operatorname{Pic}(X) \cong \check{H}^1(X, \mathcal{O}_X^{\times})$ である。

例 6.9（数論的な直線束）デデキント環 $A$ では、有限生成射影加群の階数 1 のもの（可逆イデアル）が直線束に対応し、$\operatorname{Pic}(\operatorname{Spec} A)$ はイデアル類群である（15-algebraic-number-theory 第2章）。$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ のイデアル $(2, 1 + \sqrt{-5})$ は $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 上の自明でない直線束を与える（問題 6.3）。

6.4 射影空間上の $\mathcal{O}(m)$

次数付き環 $S$ 上の次数付き加群 $M$ に対し、$\operatorname{Proj} S$ 上の準連接層 $\widetilde{M}$ が $\widetilde{M}(D_+(f)) = M_{(f)}$（$M_f$ の次数 0 の部分）となるように定まる（Hartshorne 第 II 章命題 5.11）。$S(m)$ を $S(m)_d = S_{m+d}$ で定まる次数付き加群とし、$\mathcal{O}(m) = \widetilde{S(m)}$、$\mathcal{F}(m) = \mathcal{F} \otimes \mathcal{O}(m)$ とおく。

命題 6.10 $X = \mathbb{P}^n_A$, $S = A[x_0, \dots, x_n]$, $n \geq 1$, $U_i = D_+(x_i)$ とする。 (1) $\mathcal{O}(m)\vert_{U_i}$ は $x_i^m$ で生成される自由加群で、変換関数は $(x_i/x_j)^m$ である。特に $\mathcal{O}(m)$ は直線束。 (2) $\mathcal{O}(a) \otimes \mathcal{O}(b) \cong \mathcal{O}(a + b)$。 (3) $\Gamma(X, \mathcal{O}(m)) = S_m$（$m < 0$ なら 0）。

証明. (1) $S(m)_{(x_i)}$ は $F/x_i^r$（$\deg F - r = m$）の全体で、$x_i^m \cdot S_{(x_i)}$ に等しい。$x_i^m = (x_i/x_j)^m x_j^m$ から変換関数を得る。(2) 局所的な生成元どうしが対応する。(3) 大域切断は各 $U_i$ 上の切断の組で共通部分上一致するもの、すなわち $S_{x_0 x_1 \cdots x_n}$ の次数 $m$ の部分の中の $\bigcap_i (S_{x_i})_m$ である。これらの局所化は（$A$ 加群として）ローラン単項式 $x^l = x_0^{l_0} \cdots x_n^{l_n}$（$l \in \mathbb{Z}^{n+1}$）で張られ、$x^l \in S_{x_i} \Leftrightarrow$ $i$ 以外のすべての $j$ で $l_j \geq 0$。$n \geq 1$ なので、すべての $S_{x_i}$ に属するのはすべての $l_j \geq 0$ のときに限る。よって $\bigcap_i S_{x_i} = S$ で、次数 $m$ の部分は $S_m$。$\square$

$\Gamma(\mathcal{O}(1)) = S_1$ は階数 $n + 1$ なので $\mathcal{O}(1) \not\cong \mathcal{O}$。$d$ 次斉次多項式 $F$ は $\mathcal{O}(d)$ の大域切断であり、超曲面 $V_+(F)$ はその零点集合である。$\mathcal{O}(-1)$ は、各点 $[\ell] \in \mathbb{P}^n$ に直線 $\ell \subset k^{n+1}$ 自身をのせたトートロジカル直線束に対応する。

6.5 ヴェイユ因子と因子類群

この節では $X$ をネーター的・整・分離的で、余次元 1 で正則（余次元 1 の点の局所環が正則局所環、すなわち離散付値環）なスキームとする。正規な多様体、非特異な多様体、デデキント環の $\operatorname{Spec}$ はこれを満たす。

定義 6.11（ヴェイユ因子, Weil divisor）余次元 1 の整な閉部分スキームを素因子といい、素因子の整数係数の有限形式和をヴェイユ因子という。その全体 $\operatorname{Div}(X)$ は自由アーベル群である。素因子 $Y$ の生成点での局所環は離散付値環で、関数体 $K = K(X)$ 上の付値 $v_Y$ を定める。$f \in K^{\times}$ の主因子を $\operatorname{div}(f) = \sum_Y v_Y(f) Y$（有限和）と定め、$\operatorname{Cl}(X) = \operatorname{Div}(X)/\lbrace \operatorname{div}(f) \rbrace$ を因子類群 (divisor class group) という。$\operatorname{div}(f)$ の差で移り合う因子は線形同値 $D \sim D'$ であるという。

命題 6.12 $A$ がネーター的な一意分解整域なら $\operatorname{Cl}(\operatorname{Spec} A) = 0$。特に $\operatorname{Cl}(\mathbb{A}^n_k) = 0$。

証明. 高さ 1 の素イデアル $\mathfrak{p}$ は 0 でない元を含み、その素因数の一つ $\pi$ を含む。$(\pi) \subset \mathfrak{p}$ は 0 でない素イデアルなので、高さ 1 から $\mathfrak{p} = (\pi)$。素因子 $Y = V(\pi)$ について、$\pi$ は他の素元 $\pi'$ による局所化 $A_{(\pi')}$ では単元なので、$\operatorname{div}(\pi) = Y$。よってすべての素因子は主因子である。$\square$

命題 6.13 $Z \subsetneq X$ を閉集合、$U = X \setminus Z$ とする。(1) $\sum n_i Y_i \mapsto \sum n_i (Y_i \cap U)$（空なら除く）は全射 $\operatorname{Cl}(X) \to \operatorname{Cl}(U)$ を与える。(2) $Z$ が素因子なら、$\mathbb{Z} \to \operatorname{Cl}(X) \to \operatorname{Cl}(U) \to 0$（$1 \mapsto [Z]$）は完全である。

証明. $U$ の素因子は、$Z$ に含まれない $X$ の素因子と閉包をとることで一対一に対応し、$K(U) = K(X)$ なので主因子は主因子に写る。よって (1) の写像は well-defined で全射。(2) $D\vert_U = \operatorname{div}(f)\vert_U$ なら $D - \operatorname{div}(f)$ は $Z$ に台をもつので $Z$ の整数倍である。$\square$

定理 6.14 $k$ を体とする。$\mathbb{P}^n_k$ の素因子は既約な斉次多項式 $g$ による $V_+(g)$ であり、$\deg V_+(g) = \deg g$ を線形に延ばした $\deg\colon \operatorname{Div}(\mathbb{P}^n) \to \mathbb{Z}$ は同型 $\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^n_k) \cong \mathbb{Z}$ を与える。超平面 $H$ の類が生成元である。

証明. 素因子は $S = k[x_0, \dots, x_n]$ の高さ 1 の斉次素イデアルに対応し、命題 6.12 の証明と同様にそれは既約な斉次多項式で生成される。$K^{\times}$ の元は同じ次数の斉次多項式の比 $f = g/h$ で、$V_+(q)$ での付値は $g$ と $h$ の素因数分解における $q$ の指数の差である（$q$ で割れない座標 $x_j$ の開集合 $U_j \cong \mathbb{A}^n$ で非斉次化して計算できる）。よって $\deg \operatorname{div}(g/h) = \deg g - \deg h = 0$ で、$\deg$ は $\operatorname{Cl}$ 上に定まる。逆に $\sum n_i \deg g_i = 0$ なら $D = \sum n_i V_+(g_i) = \operatorname{div}(\prod g_i^{n_i})$ は主因子。$\deg H = 1$ なので全射である。$\square$

$U = \mathbb{P}^n \setminus H = \mathbb{A}^n$ について、命題 6.13(2) の完全列 $\mathbb{Z} \to \operatorname{Cl}(\mathbb{P}^n) \to \operatorname{Cl}(\mathbb{A}^n) = 0$ と整合している。

例 6.15（二次錐）$k$ を代数閉体（標数 $\neq 2$）、$A = k[x, y, z]/(xy - z^2)$, $X = \operatorname{Spec} A$ とする。$A$ は正規な整域である（主張）。直線 $Y = V(y, z)$（$A/(y, z) = k[x]$ より素因子）について $\operatorname{Cl}(X) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ で、$[Y]$ が生成元であることを示す。

(i) $\operatorname{div}(y) = 2Y$：$y = 0$ なら $z^2 = 0$ なので、$V(y)$ は集合として $Y$。$Y$ の生成点では $x$ は単元で $y = z^2/x$ なので、極大イデアルは $z$ で生成され、$v_Y(y) = 2$。

(ii) $X \setminus Y = D(y)$ で、$A_y = k[y, y^{-1}, z]$（$x = z^2/y$）は一意分解整域なので $\operatorname{Cl}(D(y)) = 0$。命題 6.13(2) より $\operatorname{Cl}(X)$ は $[Y]$ で生成され、(i) より $2[Y] = 0$。

(iii) $Y$ は主因子でない：$Y = \operatorname{div}(f)$ とすると、正規整域では $A = \bigcap_{\operatorname{ht} \mathfrak{p} = 1} A_{\mathfrak{p}}$ なので $f \in A$ であり、$g \in \mathfrak{p}_Y = (y, z)$ について $\operatorname{div}(g/f) \geq 0$ から $g \in fA$、つまり $(y, z) = (f)$。頂点の極大イデアル $\mathfrak{m} = (x, y, z)$ について、$xy - z^2 \in \mathfrak{m}^2$ より $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ は $\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}$ を基底とする 3 次元空間で、$(y, z)$ の像は 2 次元だが単項イデアル $(f)$ の像は高々 1 次元であり、矛盾。

6.6 カルティエ因子と直線束

ヴェイユ因子は「局所的に一つの方程式で書ける」とは限らない（二次錐の $Y$ は頂点でそう書けない）。局所的な方程式のデータを因子とみなすのがカルティエ因子である。

定義 6.16（カルティエ因子, Cartier divisor）整スキーム $X$（関数体 $K$）上のカルティエ因子とは、開被覆 $U_i$ と $f_i \in K^{\times}$ の組 $\lbrace (U_i, f_i) \rbrace$ で、$f_i/f_j \in \mathcal{O}^{\times}(U_i \cap U_j)$ を満たすものである（$f_i$ を単元倍したものや被覆の細分は同じとみなす）。$\lbrace (X, f) \rbrace$ の形のものを主カルティエ因子といい、商群を $\operatorname{CaCl}(X)$ と書く。カルティエ因子 $D$ に対し、$U_i$ 上で $f_i^{-1}$ が生成する定数層 $K$ の部分 $\mathcal{O}_X$ 加群を $\mathcal{O}(D)$ とする（直線束）。

定理 6.17（主張）(1) 整スキーム $X$ について、$D \mapsto \mathcal{O}(D)$ は同型 $\operatorname{CaCl}(X) \cong \operatorname{Pic}(X)$ を与える。(2) $X$ がネーター的・整・分離的で局所分解的（すべての局所環が一意分解整域：たとえば非特異な多様体）なら、$\lbrace (U_i, f_i) \rbrace \mapsto$（$U_i$ 上 $\operatorname{div}(f_i)$）によりヴェイユ因子とカルティエ因子は一致し、$\operatorname{Cl}(X) \cong \operatorname{CaCl}(X) \cong \operatorname{Pic}(X)$。

証明は Hartshorne 第 II 章 6 節（命題 6.11, 6.13, 6.15）を参照。したがって $\operatorname{Pic}(\mathbb{P}^n_k) \cong \mathbb{Z}$ であり、超平面 $H = V_+(x_0)$ について $\mathcal{O}(H) \cong \mathcal{O}(1)$（$U_i$ 上の生成元 $x_i/x_0$ と $x_i$ が $x_0$ 倍で対応する）なので、$\mathbb{P}^n$ 上の直線束は $\mathcal{O}(m)$ に限る。

正規なスキームでは $\operatorname{CaCl}$ は「局所的に主因子であるヴェイユ因子」の類のなす $\operatorname{Cl}$ の部分群と同一視できる。二次錐では $\operatorname{Cl} = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ だが、$[Y]$ の類のどの因子 $Y + \operatorname{div}(f)$ も頂点で局所的に主因子にならない（例 6.15(iii) の議論を頂点の局所環で行う）ので、$\operatorname{Pic} = \operatorname{CaCl} = 0$ である。局所分解的でないと $\operatorname{Cl}$ と $\operatorname{Pic}$ はずれる。

6.7 大域切断と射影空間への射

定理 6.18（主張）$X$ を環 $A$ 上のスキームとする。 (1) $A$ 上の射 $\varphi\colon X \to \mathbb{P}^n_A$ は、直線束 $\mathcal{L} = \varphi^{\ast}\mathcal{O}(1)$ と、$\mathcal{L}$ を生成する（各点でどれかが 0 にならない）大域切断 $s_i = \varphi^{\ast}(x_i)$（$0 \leq i \leq n$）を定める。 (2) 逆に、直線束 $\mathcal{L}$ と $\mathcal{L}$ を生成する $s_0, \dots, s_n \in \Gamma(X, \mathcal{L})$ に対し、$\mathcal{L} \cong \varphi^{\ast}\mathcal{O}(1)$, $s_i = \varphi^{\ast}(x_i)$ となる $\varphi$ がただ一つ存在する。

証明の方針. (2) $X_i = \lbrace x \mid s_i(x) \neq 0 \rbrace$ は $X$ の開被覆で、$X_i$ 上 $s_j/s_i$ は関数である。準同型 $A[x_0/x_i, \dots, x_n/x_i] \to \mathcal{O}(X_i)$, $x_j/x_i \mapsto s_j/s_i$ から定理 4.7 で射 $X_i \to U_i$ が得られ、これらは貼り合わさる（Hartshorne 第 II 章定理 7.1）。$\square$

例 6.19 (1) $\mathbb{P}^1$ 上の $\mathcal{O}(d)$ の基底 $s^d, s^{d-1}t, \dots, t^d$ はヴェロネーゼ埋め込み $\nu_d$（例 2.9）を与える。(2) $\mathbb{P}^2$ 上の $\mathcal{O}(1)$ の切断 $x, y$ は $[0 : 0 : 1]$ で同時に 0 になる（基点）ので、$\mathbb{P}^2 \setminus \lbrace [0 : 0 : 1] \rbrace \to \mathbb{P}^1$（点からの射影）しか定めず、これは $\mathbb{P}^2$ 全体に延びない（問題 6.6）。

6.8 豊富な直線束

定義 6.20（豊富, ample）$X$ を環 $A$ 上のスキームとする。直線束 $\mathcal{L}$ が $A$ 上非常に豊富 (very ample) であるとは、はめ込み（閉埋め込みと開埋め込みの合成）$i\colon X \to \mathbb{P}^n_A$ で $\mathcal{L} \cong i^{\ast}\mathcal{O}(1)$ となるものがあることをいう。$X$ がネーターのとき、任意の連接層 $\mathcal{F}$ について十分大きな $m$ で $\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m}$ が大域切断で生成されるとき、$\mathcal{L}$ は豊富であるという。

定理 6.21（グロタンディーク、主張）$X$ をネーター環 $A$ 上有限型とする。$\mathcal{L}$ が豊富 $\Leftrightarrow$ ある $m > 0$ で $\mathcal{L}^{\otimes m}$ が $A$ 上非常に豊富。

例 6.22 (1) $\mathbb{P}^n$ 上の $\mathcal{O}(d)$ は $d > 0$ なら非常に豊富（$d \geq 2$ はヴェロネーゼ埋め込み）で、$d \leq 0$ なら豊富でない（$d < 0$ では大域切断が 0、$d = 0$ でも $\mathcal{O}(-1) \otimes \mathcal{O}^{\otimes m}$ はつねに切断をもたない）。(2) $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ では $\operatorname{Pic} \cong \mathbb{Z}^2$ で、$\mathcal{O}(a, b) = p_1^{\ast}\mathcal{O}(a) \otimes p_2^{\ast}\mathcal{O}(b)$ は $a, b > 0$ のとき、かつそのときに限り豊富であり、$\mathcal{O}(1, 1)$ はセグレ埋め込みを与える（主張）。(3) 非特異射影曲線上の直線束は次数が正のとき豊富である（第8章）。楕円曲線上の 1 点 $P$ による $\mathcal{O}(P)$ は豊富だが非常に豊富でない。

6.9 微分形式の層と標準層

定義 6.23（ケーラー微分, Kähler differentials）$A$ 代数 $B$ に対し、記号 $db$（$b \in B$）で生成され、関係 $d(b + b') = db + db'$, $d(bb') = b\ db' + b'\ db$, $da = 0$（$a \in A$）を課した $B$ 加群を $\Omega_{B/A}$ とする。

$\Omega_{A[x_1, \dots, x_n]/A} = \bigoplus_i B\ dx_i$ であり、$B = A[x]/I$ なら $\Omega_{B/A} = \bigoplus_i B\ dx_i / (df \mid f \in I)$ である（主張）。たとえば尖点曲線 $B = k[x, y]/(y^2 - x^3)$ では $\Omega = (B\ dx \oplus B\ dy)/(2y\ dy - 3x^2\ dx)$ で、原点での $\Omega \otimes \kappa$ は 2 次元、他の点では 1 次元であり、特異点で局所自由でない。貼り合わせてスキームの射 $X \to Y$ に対し準連接層 $\Omega_{X/Y}$ が定まる。

定理 6.24（主張）$X$ を代数閉体 $k$ 上の $n$ 次元非特異多様体とすると、$\Omega_X = \Omega_{X/k}$ は階数 $n$ の局所自由層である。

$\mathcal{T}_X = \mathcal{H}om(\Omega_X, \mathcal{O}_X)$ を接層、$\omega_X = \bigwedge^n \Omega_X$ を標準層 (canonical sheaf) といい、$\omega_X \cong \mathcal{O}(K_X)$ となる因子 $K_X$ を標準因子という。

命題 6.25 $\omega_{\mathbb{P}^n} \cong \mathcal{O}(-n-1)$。

証明. $U_0$ の座標 $t_i = x_i/x_0$ について、有理的な $n$ 形式 $\theta = dt_1 \wedge \cdots \wedge dt_n$ は $U_0$ 上で $\omega$ の生成元である。$U_1$ の座標 $s_1 = x_0/x_1$, $s_j = x_j/x_1$（$j \geq 2$）では $t_1 = 1/s_1$, $t_j = s_j/s_1$ なので

であり、$ds_1$ を含む項は $dt_1$ との外積で消えるから $\theta = -s_1^{-(n+1)}\ ds_1 \wedge \cdots \wedge ds_n$。他の $U_j$ でも同様なので、$\theta$ は $H = V_+(x_0)$ に沿って $n + 1$ 位の極をもち、他に零点・極をもたない。よって $K_{\mathbb{P}^n} = \operatorname{div}(\theta) = -(n+1)H$ で、定理 6.17 より $\omega \cong \mathcal{O}(-(n+1)H) \cong \mathcal{O}(-n-1)$。$\square$

$n = 1$ では $\omega_{\mathbb{P}^1} \cong \mathcal{O}(-2)$ で、$dt$ は $\infty$ で 2 位の極をもつ。さらに随伴公式（主張）により、$\mathbb{P}^n$ の $d$ 次の非特異超曲面 $X$ では $\omega_X \cong \mathcal{O}_X(d - n - 1)$ である。平面曲線では $\omega_C \cong \mathcal{O}_C(d - 3)$ で、3 次曲線では自明（問題 6.5）、4 次曲線では $\mathcal{O}_C(1)$ になる。これは第8章の種数公式の源である。

まとめ

• アフィンスキーム上の準連接層は加群と同じもの（$\widetilde{M} \leftrightarrow M$）。連接層は有限生成加群に対応する。
• 局所自由層はベクトル束、直線束の同型類はピカール群 $\operatorname{Pic}(X)$ をなす。デデキント環ではイデアル類群になる。
• $\mathbb{P}^n$ 上の $\mathcal{O}(m)$ は変換関数 $(x_i/x_j)^m$ の直線束で、$\Gamma(\mathcal{O}(m)) = S_m$。
• ヴェイユ因子は余次元 1 の部分多様体の形式和。$\operatorname{Cl}(\mathbb{A}^n) = 0$, $\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^n) \cong \mathbb{Z}$、二次錐では $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。
• 局所分解的なら $\operatorname{Cl} = \operatorname{CaCl} = \operatorname{Pic}$。$\mathbb{P}^n$ 上の直線束は $\mathcal{O}(m)$ だけ。
• 射影空間への射は、直線束とそれを生成する大域切断の組と同じもの。豊富性は「十分なべきが埋め込みを与える」こと。
• 標準層 $\omega_X = \bigwedge^n \Omega_X$。$\omega_{\mathbb{P}^n} = \mathcal{O}(-n-1)$、平面曲線では $\omega_C = \mathcal{O}_C(d-3)$。

演習問題