層

この章の目標

• 前層・層・茎を定義し、連続関数・正則関数・定数層・摩天楼層の例で確かめられる
• 層の射の単射・全射・同型が茎で判定できることを証明できる
• 層化を構成してその普遍性を証明し、大域切断関手が右完全でない例を挙げられる
• 順像と逆像の随伴を証明し、多様体を局所環付き空間として捉えられる

前提：第1章、第2章、03-topology 第2章、12-category-homological-algebra 第3章（随伴関手）。例で 05-complex-analysis 第3章 を使う。

3.1 動機：局所的なデータとその貼り合わせ

アフィン直線 $\mathbb{A}^1$ と尖点曲線 $C' = V(y^2 - x^3)$ は、位相空間としては区別できない。どちらも濃度 $\lvert k \rvert$ の集合に補有限位相を入れたもので、$t \mapsto (t^2, t^3)$ は同相写像である。両者を区別するのは「どの関数が正則か」という情報であった（例 1.23）。そして正則関数は各点の近くの条件で定義される（定義 1.17）。

一方、局所的に存在するものが大域的に存在するとは限らない。$\mathbb{C} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ の各点の近くには $z$ の対数の分枝があるが、全体で定義された対数は存在しない。

層 (sheaf) は、「各開集合の上の関数（のようなもの）」と「それを小さい開集合に制限する操作」と「局所的なデータの貼り合わせ」を公理化したものである。局所から大域へ移るときの障害を測るのが層のコホモロジー（第7章）である。

3.2 前層と層

定義 3.1（前層, presheaf）位相空間 $X$ 上のアーベル群の前層 $\mathcal{F}$ とは、各開集合 $U$ にアーベル群 $\mathcal{F}(U)$ を、開集合の包含 $V \subset U$ に準同型 $\rho_{UV}\colon \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)$ を対応させ、$\rho_{UU} = \mathrm{id}$, $\rho_{VW} \circ \rho_{UV} = \rho_{UW}$（$W \subset V \subset U$）を満たすものである。$\mathcal{F}(U)$ の元を $U$ 上の切断 (section) といい、$\rho_{UV}(s)$ を $s\vert_V$ と書く。$\mathcal{F}(U)$ を $\Gamma(U, \mathcal{F})$ とも書く。

開集合を対象、包含を射とする圏を $\mathbf{Open}(X)$ とすれば、前層は反変関手 $\mathbf{Open}(X)^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Ab}$ にほかならない。集合・環などの前層も同様に定める。

定義 3.2（層, sheaf）前層 $\mathcal{F}$ が層であるとは、任意の開集合 $U$ と開被覆 $U = \bigcup_i U_i$ について次が成り立つことをいう。

• (S1)（局所性）$s \in \mathcal{F}(U)$ がすべての $i$ で $s\vert_{U_i} = 0$ を満たせば $s = 0$。
• (S2)（貼り合わせ）$s_i \in \mathcal{F}(U_i)$ がすべての $i, j$ で $s_i\vert_{U_i \cap U_j} = s_j\vert_{U_i \cap U_j}$ を満たせば、$s\vert_{U_i} = s_i$ となる $s \in \mathcal{F}(U)$ が存在する。

(S1)(S2) は、列 $0 \to \mathcal{F}(U) \to \prod_i \mathcal{F}(U_i) \to \prod_{i,j} \mathcal{F}(U_i \cap U_j)$（2 番目の写像は $(s_i) \mapsto (s_i\vert_{U_i \cap U_j} - s_j\vert_{U_i \cap U_j})$）が完全であることと同値である。空集合の空な被覆を考えると $\mathcal{F}(\emptyset) = 0$ となる。

例 3.3（層の例）(1) 位相空間 $X$ 上の実数値連続関数の全体 $C_X(U)$。連続性は局所的な性質で、一致する関数は貼り合わさる。(2) 同様に、多様体上の滑らかな関数の層 $C^\infty_M$、$\mathbb{C}$ の開集合上の正則関数の層 $\mathcal{O}$、代数多様体 $X$ 上の正則関数の層 $\mathcal{O}_X$（定義 1.17・2.6 は局所的な条件である）。(3) 定数層 (constant sheaf) $\underline{A}$：$\underline{A}(U)$ は局所定数関数 $U \to A$ の全体。$U$ が連結なら $\underline{A}(U) = A$、$U = U_1 \sqcup U_2$（開集合の非交和）なら $A \times A$。(4) 摩天楼層 (skyscraper sheaf) $i_{p\ast} A$：$p \in U$ なら $A$、そうでなければ $0$。(5) 連続写像 $\pi\colon E \to X$ の連続な切断 $s\colon U \to E$（$\pi \circ s = \mathrm{id}_U$）の全体（集合の層）。

例 3.4（層でない前層）(1) $\mathbb{R}$ 上の有界連続関数の前層：関数 $x$ は各区間 $(n-1, n+1)$ 上では有界だが、貼り合わせた $\mathbb{R}$ 上の関数は有界でなく、(S2) が成り立たない。(2) $A \neq 0$ に対し $U \mapsto A$（すべての制限は恒等写像）とする定数前層：$\mathcal{F}(\emptyset) = A \neq 0$ であり、交わらない開集合 $U_1, U_2$ 上の異なる元 $a, b$ は貼り合わさらない。

3.3 茎と芽

定義 3.5（茎, stalk）前層 $\mathcal{F}$ と $p \in X$ に対し、$p$ の開近傍 $U$ と $s \in \mathcal{F}(U)$ の組 $(U, s)$ に、「$p$ のある開近傍 $W \subset U \cap V$ で $s\vert_W = t\vert_W$」で同値関係を入れた商を $\mathcal{F}_p = \varinjlim_{U \ni p} \mathcal{F}(U)$ と書き、$p$ における茎という。$(U, s)$ の類を $s$ の $p$ における芽 (germ) といい $s_p$ と書く。

例 3.6 (1) $\mathbb{C}$ 上の正則関数の層の茎 $\mathcal{O}_a$ は、$z - a$ の収束べき級数環である（一致の定理により芽はテイラー展開で決まる）。(2) 代数多様体 $X$ では $\mathcal{O}_{X,p} \cong A(X)_{\mathfrak{m}_p}$（定理 1.18）。(3) 摩天楼層 $i_{p\ast} A$ の茎は、$q \in \overline{\lbrace p \rbrace}$ なら $A$、そうでなければ $0$ である。実際 $q \in \overline{\lbrace p \rbrace}$ なら $q$ の任意の開近傍は $p$ を含み、そうでなければ $p$ を含まない $q$ の開近傍がある。$X$ がハウスドルフ（あるいは 1 点が閉）なら茎は $p$ でだけ $A$ だが、第4章で扱う $\operatorname{Spec}$ のように閉でない点をもつ空間では、その閉包全体で茎が $A$ になる。

命題 3.7 $\mathcal{F}$ を層とする。$s \in \mathcal{F}(U)$ がすべての $p \in U$ で $s_p = 0$ を満たせば $s = 0$。

証明. 各 $p$ に開近傍 $W_p \subset U$ があって $s\vert_{W_p} = 0$。$U = \bigcup_p W_p$ なので (S1) より $s = 0$。$\square$

3.4 層の射と茎による判定

定義 3.8（層の射）前層の射 $\varphi\colon \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ とは、準同型の族 $\varphi_U\colon \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)$ で制限と可換なもの（関手の間の自然変換）である。射は茎の準同型 $\varphi_p\colon \mathcal{F}_p \to \mathcal{G}_p$ を引き起こす。層の射 $\varphi$ が

• 単射 (injective) であるとは、すべての $\varphi_U$ が単射であることをいう。
• 全射 (surjective) であるとは、任意の $t \in \mathcal{G}(U)$ と $p \in U$ に対し、$p$ の開近傍 $W \subset U$ と $s \in \mathcal{F}(W)$ があって $\varphi(s) = t\vert_W$ となること（局所的に持ち上がること）をいう。

核 $U \mapsto \ker \varphi_U$ は層である（問題 3.1）が、像 $U \mapsto \operatorname{im} \varphi_U$ は一般に層でない（例 3.10）。全射の定義で各 $\varphi_U$ の全射性を要求しないのはこのためである。

定理 3.9 $\varphi\colon \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ を層の射とする。 (1) $\varphi$ が単射 $\Leftrightarrow$ すべての $p$ で $\varphi_p$ が単射。 (2) $\varphi$ が全射 $\Leftrightarrow$ すべての $p$ で $\varphi_p$ が全射。 (3) すべての $\varphi_U$ が同型 $\Leftrightarrow$ すべての $p$ で $\varphi_p$ が同型 $\Leftrightarrow$ $\varphi$ は単射かつ全射。

証明. (1) ($\Rightarrow$) $\varphi_p(s_p) = 0$ なら $p$ の近傍 $W$ で $\varphi(s)\vert_W = \varphi(s\vert_W) = 0$、単射性から $s\vert_W = 0$ で $s_p = 0$。($\Leftarrow$) $\varphi(s) = 0$ なら各 $p$ で $\varphi_p(s_p) = 0$ より $s_p = 0$、命題 3.7 より $s = 0$。

(2) ($\Rightarrow$) 定義から直ちに従う。($\Leftarrow$) $t \in \mathcal{G}(U)$, $p \in U$ とする。$t_p = \varphi_p(\sigma)$ となる芽 $\sigma$ を $s \in \mathcal{F}(V)$ で代表させると、$\varphi(s)_p = t_p$ なので、$p$ の近傍 $W \subset U \cap V$ で $\varphi(s\vert_W) = t\vert_W$。

(3) 第 1 の条件から第 2 の条件は明らかで、第 2 の条件から第 3 の条件は (1)(2) による。第 3 から第 1 を示す。(1) より各 $\varphi_U$ は単射。$t \in \mathcal{G}(U)$ に対し、全射性から開被覆 $U = \bigcup U_i$ と $s_i \in \mathcal{F}(U_i)$ で $\varphi(s_i) = t\vert_{U_i}$ となるものがある。$U_i \cap U_j$ 上で $\varphi(s_i - s_j) = 0$ なので、単射性から $s_i$ と $s_j$ は一致し、(S2) で $s \in \mathcal{F}(U)$ に貼り合わさる。$\varphi(s)$ と $t$ は各 $U_i$ 上で一致するので (S1) より $\varphi(s) = t$。$\square$

例 3.10（指数関数）$X = \mathbb{C} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ 上で、正則関数の加法群の層 $\mathcal{O}$ から、至るところ 0 でない正則関数の乗法群の層 $\mathcal{O}^{\times}$ への射 $e(f) = \exp(2\pi i f)$ を考える。円板上では対数の分枝がとれるので $e$ は全射（すべての茎で全射）である。しかし $e\colon \mathcal{O}(X) \to \mathcal{O}^{\times}(X)$ は全射でない：$\exp(2\pi i g) = z$ となる $g \in \mathcal{O}(X)$ があれば $2\pi i\ g' = 1/z$ となり、単位円に沿った積分で $0 = \oint 2\pi i g'\ dz = \oint dz/z = 2\pi i$ という矛盾が生じる。関数 $z$ は局所的には像に属するが大域的には属さず、像の前層は (S2) を満たさない。

3.5 層化

定理 3.11（層化, sheafification）前層 $\mathcal{F}$ に対し、層 $\mathcal{F}^+$ と前層の射 $\theta\colon \mathcal{F} \to \mathcal{F}^+$ で次を満たすものが存在する。 (a) すべての $p$ で $\theta_p\colon \mathcal{F}_p \to \mathcal{F}^+_p$ は同型。 (b) 任意の層 $\mathcal{G}$ と前層の射 $\varphi\colon \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ に対し、$\varphi = \psi \circ \theta$ となる層の射 $\psi\colon \mathcal{F}^+ \to \mathcal{G}$ がただ一つ存在する。

証明. 構成：$\mathcal{F}^+(U)$ を、写像 $s\colon U \to \bigsqcup_{p \in U} \mathcal{F}_p$ で $s(p) \in \mathcal{F}_p$ かつ次を満たすものの全体とする：各 $p \in U$ に開近傍 $W \subset U$ と $t \in \mathcal{F}(W)$ があって、すべての $q \in W$ で $s(q) = t_q$。制限は写像の制限、$\theta(t) = (p \mapsto t_p)$ とする。条件が局所的なので $\mathcal{F}^+$ は層である（写像は局所的に一致すれば一致し、局所的に定義されていれば貼り合わさる）。

(a) 全射：$\mathcal{F}^+_p$ の元を代表する $s$ は $p$ の近傍 $W$ 上で $\theta(t)$ に一致するので、その芽は $\theta_p(t_p)$。単射：$\theta(t)_p = 0$ なら $p$ の近傍で $\theta(t) = 0$、特に $t_p = \theta(t)(p) = 0$。

(b) 一意性：$\psi_1, \psi_2$ が条件を満たせば、茎で $\psi_{i,p} \circ \theta_p = \varphi_p$ で $\theta_p$ は同型なので $\psi_{1,p} = \psi_{2,p}$。よって $\psi_1(s)$ と $\psi_2(s)$ の芽はすべて一致し、命題 3.7 より $\psi_1 = \psi_2$。存在：$s \in \mathcal{F}^+(U)$ に対し、開被覆 $U = \bigcup W_i$ と $t_i \in \mathcal{F}(W_i)$ で $s\vert_{W_i} = \theta(t_i)$ となるものをとる。$\varphi(t_i) \in \mathcal{G}(W_i)$ の $q \in W_i \cap W_j$ での芽は $\varphi_q(s(q))$ で、$i$ によらない。命題 3.7 より $\varphi(t_i)$ と $\varphi(t_j)$ は $W_i \cap W_j$ 上一致するので、$\mathcal{G}(U)$ の元に貼り合わさる。これを $\psi(s)$ とすれば、被覆のとり方によらず（芽が $\varphi_q(s(q))$ で決まるため）、$\psi$ は層の射で $\psi \circ \theta = \varphi$ を満たす。$\square$

$\mathcal{F}^+$ を $\mathcal{F}$ の層化という。定数前層の層化は定数層である。層の射 $\varphi\colon \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ の像の前層の層化を像層 $\operatorname{im} \varphi$ という。茎は $\operatorname{im} \varphi_p \subset \mathcal{G}_p$ なので、定理 3.9(1) より $\operatorname{im} \varphi$ は $\mathcal{G}$ の部分層であり、$\varphi$ が全射 $\Leftrightarrow \operatorname{im} \varphi = \mathcal{G}$ である。同様に余核の前層の層化を余核層とする。こうして $X$ 上のアーベル群の層の全体はアーベル圏 $\mathbf{Ab}(X)$ をなす（12-category-homological-algebra 第4章）。

3.6 層の完全列と大域切断

定義 3.12（完全列）層の射の列 $\mathcal{F}' \xrightarrow{\alpha} \mathcal{F} \xrightarrow{\beta} \mathcal{F}''$ が $\mathcal{F}$ で完全であるとは、$\ker \beta = \operatorname{im} \alpha$（部分層として）となることをいう。茎は核・像と可換なので、これはすべての $p$ で茎の列 $\mathcal{F}'_p \to \mathcal{F}_p \to \mathcal{F}''_p$ が完全であることと同値である。

命題 3.13（大域切断の左完全性）層の完全列 $0 \to \mathcal{F}' \xrightarrow{\alpha} \mathcal{F} \xrightarrow{\beta} \mathcal{F}''$ に対し、任意の開集合 $U$ で $0 \to \mathcal{F}'(U) \to \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}''(U)$ は完全である。

証明. $\alpha_U$ の単射性は定理 3.9(1) による。$\beta \circ \alpha$ は茎で 0 なので命題 3.7 より 0 である。$s \in \mathcal{F}(U)$, $\beta(s) = 0$ とする。各 $p$ で $s_p \in \ker \beta_p = \operatorname{im} \alpha_p$ なので、定理 3.9(2) の証明と同様に、開被覆 $U = \bigcup W_i$ と $t_i \in \mathcal{F}'(W_i)$ で $\alpha(t_i) = s\vert_{W_i}$ となるものがとれる。$\alpha(t_i - t_j) = 0$ と単射性から $t_i$ たちは貼り合わさって $t \in \mathcal{F}'(U)$ となり、(S1) より $\alpha(t) = s$。$\square$

層の全射 $\mathcal{F} \to \mathcal{F}''$ から大域切断の全射は従わない。つまり関手 $\Gamma(X, -)$ は右完全でない。

例 3.14 (1) 例 3.10 の $e$ の核は、局所定数関数で値が整数のもの、すなわち定数層 $\underline{\mathbb{Z}}$ なので、層の完全列

（指数関数列）を得るが、$X = \mathbb{C} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ 上の大域切断では右端が全射でない。

(2)（代数的な例）$X = \mathbb{P}^1$ と相異なる 2 点 $p, q$ に対し、$\mathcal{O}_X \to i_{p\ast} k \oplus i_{q\ast} k$, $f \mapsto (f(p), f(q))$ を考える。$p$ での茎の写像は評価写像 $\mathcal{O}_{X,p} \to k$ で全射、$q$ でも同様、他の点 $r$ では右辺の茎が 0 である（1 点は閉集合）。よってこれは層の全射だが、大域切断は $\mathcal{O}(\mathbb{P}^1) = k$（命題 2.8）から $k^2$ への $c \mapsto (c, c)$ で、全射でない。「$p$ と $q$ で値を指定した大域的な関数」が存在しないのである。この障害は第7章で $H^1$ として測られる。

3.7 順像・逆像と随伴

定義 3.15（順像と逆像）$f\colon X \to Y$ を連続写像とする。

• $X$ 上の層 $\mathcal{F}$ の順像 (direct image) $f_{\ast}\mathcal{F}$ を $(f_{\ast}\mathcal{F})(V) = \mathcal{F}(f^{-1}(V))$ で定める（$Y$ 上の層）。
• $Y$ 上の層 $\mathcal{G}$ の逆像 (inverse image) $f^{-1}\mathcal{G}$ を、前層 $f^{p}\mathcal{G}\colon U \mapsto \varinjlim_{V \supset f(U)} \mathcal{G}(V)$ の層化で定める。

例 $f\colon X \to \lbrace \mathrm{pt} \rbrace$ なら $f_{\ast}\mathcal{F} = \Gamma(X, \mathcal{F})$。$i\colon \lbrace p \rbrace \to X$ なら $i^{-1}\mathcal{G} = \mathcal{G}_p$ で、$i_{\ast} A$ は摩天楼層。開集合の包含 $j\colon U \to X$ なら $j^{-1}\mathcal{G} = \mathcal{G}\vert_U$（制限）。茎については $(f^{-1}\mathcal{G})_x = \mathcal{G}_{f(x)}$ が成り立つ（問題 3.5）。

定理 3.16（随伴）$f\colon X \to Y$ を連続写像とする。$X$ 上の層 $\mathcal{F}$ と $Y$ 上の層 $\mathcal{G}$ について、自然な全単射

$$\operatorname{Hom}_X(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) \cong \operatorname{Hom}_Y(\mathcal{G}, f_{\ast}\mathcal{F})$$

が存在する。すなわち $f^{-1}$ は $f_{\ast}$ の左随伴である。

証明. 定理 3.11(b) より左辺は前層の射 $f^p\mathcal{G} \to \mathcal{F}$ の全体に等しい。帰納極限の普遍性から、そのような射 $\alpha$ は、$U \subset f^{-1}(V)$ を満たす開集合の組 $(U, V)$ ごとの準同型 $\alpha_{U,V}\colon \mathcal{G}(V) \to \mathcal{F}(U)$ で、$U$ の縮小と $V$ の縮小の両方について制限と両立するものと同じである。右辺の元 $\beta$ は、制限と両立する準同型 $\beta_V\colon \mathcal{G}(V) \to \mathcal{F}(f^{-1}V)$ の族である。$\beta$ に対し $\alpha_{U,V} = (\text{制限 } \mathcal{F}(f^{-1}V) \to \mathcal{F}(U)) \circ \beta_V$ とおき、$\alpha$ に対し $\beta_V = \alpha_{f^{-1}V, V}$ とおく。$\alpha$ の $U$ についての両立性から $\alpha_{U,V}$ は $\alpha_{f^{-1}V,V}$ の制限に等しいので、二つの対応は互いに逆である。自然性は構成から明らかである。$\square$

随伴の一般論から、$f_{\ast}$ は極限を保ち左完全であり、$f^{-1}$ は茎の計算から完全である。

3.8 環付き空間と局所環付き空間

多様体を「位相空間と正則関数の層の組」として捉え直す。

定義 3.17（局所環付き空間, locally ringed space）位相空間 $X$ と $X$ 上の環の層 $\mathcal{O}_X$ の組 $(X, \mathcal{O}_X)$ を環付き空間という。環付き空間の射 $(f, f^{\sharp})\colon (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)$ は、連続写像 $f$ と環の層の射 $f^{\sharp}\colon \mathcal{O}_Y \to f_{\ast}\mathcal{O}_X$ の組である。$f^{\sharp}$ は茎の準同型 $f^{\sharp}_x\colon \mathcal{O}_{Y,f(x)} \to \mathcal{O}_{X,x}$ を引き起こす。すべての茎が局所環である環付き空間を局所環付き空間といい、その射としては、各 $f^{\sharp}_x$ が局所準同型（$(f^{\sharp}_x)^{-1}(\mathfrak{m}_x) = \mathfrak{m}_{f(x)}$）であるものだけを考える。

局所性の意味は「$f(x)$ で 0 になる関数の引き戻しは $x$ で 0 になる」である。

例 3.18 (1) 滑らかな多様体 $(M, C^\infty_M)$ や代数多様体 $(X, \mathcal{O}_X)$ は局所環付き空間であり、茎の極大イデアルはその点で 0 になる関数の芽の全体である。(2) 1 点に環 $\mathbb{Z}_{(p)}$ をのせた空間 $Y$ と、1 点に $\mathbb{Q}$ をのせた空間 $X$ の間で、包含 $\mathbb{Z}_{(p)} \to \mathbb{Q}$ は環付き空間の射 $X \to Y$ を定めるが、極大イデアルの元 $p$ が単元に写るので局所環付き空間の射ではない。

命題 3.19 $X, Y$ を $k$ 上の多様体とする。 (1) 多様体の射 $\varphi\colon X \to Y$ は、$\varphi^{\sharp}(g) = g \circ \varphi$ によって局所環付き空間の射を定める。 (2) 逆に、局所環付き空間の射 $(f, f^{\sharp})\colon (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)$ で $f^{\sharp}$ が $k$ 線形なものは、つねに $f^{\sharp}(g) = g \circ f$ を満たし、$f$ は多様体の射である。

証明. (1) $g \circ \varphi$ が $x$ で 0 になることと $g$ が $\varphi(x)$ で 0 になることは同値なので、$\varphi^{\sharp}_x$ は局所準同型である。(2) $g \in \mathcal{O}_{Y,f(x)}$ に対し $g - g(f(x)) \in \mathfrak{m}_{f(x)}$ である。$f^{\sharp}_x$ は $k$ 線形な局所準同型なので $f^{\sharp}_x(g) - g(f(x)) \in \mathfrak{m}_x$、すなわち $f^{\sharp}(g)(x) = g(f(x))$。正則関数は値で決まるので $f^{\sharp}(g) = g \circ f$ であり、$f$ は正則関数を正則関数に引き戻す連続写像、すなわち多様体の射である（定義 2.6）。$\square$

こうして $k$ 上の多様体は「アフィン多様体 $(X, \mathcal{O}_X)$ に局所的に同型な局所環付き空間」とみなせ、射は局所環付き空間の射と一致する。アフィン多様体を任意の環 $A$ の $\operatorname{Spec} A$ に置き換えたものが次章のスキームである。

まとめ

• 前層は開集合の圏上の反変関手、層は局所性 (S1) と貼り合わせ (S2) を満たす前層である。
• 茎 $\mathcal{F}_p$ は $p$ の近くの切断の芽の全体。層の切断は芽で決まる。
• 層の射の単射・全射・同型は茎で判定できる。全射は「局所的に持ち上がる」ことで、各開集合上の全射ではない。
• 層化 $\mathcal{F}^+$ は茎を変えずに前層を層にする普遍的な構成で、像層・余核層を与える。
• $\Gamma(U, -)$ は左完全だが右完全でない（指数関数列、$\mathbb{P}^1$ 上の 2 点での評価）。
• 逆像 $f^{-1}$ は順像 $f_{\ast}$ の左随伴。
• 多様体は局所環付き空間であり、射は局所環付き空間の射と一致する。

演習問題