層のコホモロジー

この章の目標

• 層のコホモロジーを導来関手として定義し、長完全列を使って計算できる
• チェック・コホモロジーを計算し、アフィン被覆では導来関手のコホモロジーと一致することを使える
• チェック複体を使って $\mathbb{P}^n$ 上の $\mathcal{O}(m)$ のコホモロジーを計算できる
• オイラー標数・ヒルベルト多項式・セール双対性を使い、平面曲線の種数 $(d-1)(d-2)/2$ を導ける

前提：第3章、第6章、12-category-homological-algebra 第4章・第5章（導来関手）。09-algebraic-topology 第6章 の特異コホモロジーを知っていると比較ができる。

7.1 動機：局所から大域への障害

層の完全列 $0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}'' \to 0$ に対し、大域切断の列 $0 \to \Gamma(\mathcal{F}') \to \Gamma(\mathcal{F}) \to \Gamma(\mathcal{F}'')$ は完全だが、右端は全射とは限らない（例 3.14）。$\mathbb{P}^1$ 上で「2 点 $p, q$ で指定した値をとる関数」を求める問題がその典型である。そこで長完全列

を作る群 $H^i$ が欲しい。$H^1(\mathcal{F}')$ が 0 なら持ち上げの障害は消える。さらに $H^i$ の次元は多様体の重要な不変量を与える。曲線 $C$ の種数は $\dim H^1(C, \mathcal{O}_C)$ であり、$\sum (-1)^i \dim H^i(\mathcal{O}_X(m))$ は第2章のヒルベルト多項式になる。

7.2 導来関手としてのコホモロジー

定理 7.1（主張）位相空間 $X$ 上のアーベル群の層の圏 $\mathbf{Ab}(X)$ は十分多くの入射的対象をもつ。環付き空間上の $\mathcal{O}_X$ 加群の圏も同様である。

証明は Hartshorne 第 III 章命題 2.2, 系 2.3 を参照。これにより次の定義ができる。

定義 7.2（層のコホモロジー, sheaf cohomology）$\mathcal{F} \in \mathbf{Ab}(X)$ の入射的分解 $0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{I}^0 \to \mathcal{I}^1 \to \cdots$ をとり、$H^i(X, \mathcal{F}) = H^i(\Gamma(X, \mathcal{I}^{\bullet}))$ とおく。すなわち $H^i(X, -) = R^i\Gamma(X, -)$ は大域切断関手の右導来関手である。

導来関手の一般論（12-category-homological-algebra 第5章）から、$H^i$ は分解のとり方によらず、$H^0 = \Gamma$、入射的な層では $i > 0$ で $H^i = 0$、そして短完全列から長完全列が得られる。$\mathcal{O}_X$ 加群の圏の入射的分解で計算しても同じ群が得られる（Hartshorne 第 III 章命題 2.6）ので、$H^i(X, \mathcal{F})$ は $\Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ 加群である。

7.3 脆弱層

入射的分解は具体的に計算できないので、コホモロジーが消える扱いやすい層を用意する。

定義 7.3（脆弱層, flasque sheaf）すべての開集合 $U$ について制限 $\mathcal{F}(X) \to \mathcal{F}(U)$ が全射であるとき、$\mathcal{F}$ は脆弱であるという。

例 7.4 (1) 既約な空間上の定数層 $\underline{A}$ は脆弱である：既約空間の空でない開集合は既約、特に連結なので $\underline{A}(U) = A$ となり、制限は恒等写像である。(2) 摩天楼層は脆弱。(3) $\mathcal{G}(U) = \prod_{p \in U} \mathcal{F}_p$（不連続な切断の層）は脆弱で、$\mathcal{F} \to \mathcal{G}$, $s \mapsto (s_p)_p$ は単射である。

命題 7.5 層の完全列 $0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \xrightarrow{\beta} \mathcal{F}'' \to 0$ で $\mathcal{F}'$ が脆弱なら、任意の開集合 $U$ で $\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}''(U)$ は全射である。さらに $\mathcal{F}$ も脆弱なら $\mathcal{F}''$ も脆弱である。

証明. $t \in \mathcal{F}''(U)$ とする。開集合 $V \subset U$ と $s \in \mathcal{F}(V)$ で $\beta(s) = t\vert_V$ となる組 $(V, s)$ の全体に、延長による順序を入れる。鎖の上限は貼り合わせで得られるので、ツォルンの補題より極大元 $(V, s)$ がある。$V \neq U$ と仮定し $p \in U \setminus V$ をとる。$\beta$ は茎で全射なので、$p$ の近傍 $W \subset U$ と $s' \in \mathcal{F}(W)$ で $\beta(s') = t\vert_W$ となるものがある。$V \cap W$ 上 $\beta(s - s') = 0$ なので $s - s'$ はある $r \in \mathcal{F}'(V \cap W)$ の像であり、脆弱性から $r$ は $\tilde{r} \in \mathcal{F}'(W)$ に延びる。$s' + \tilde{r}$ は $V \cap W$ 上で $s$ と一致するので、$V \cup W$ 上の切断に貼り合わさり、極大性に反する。後半：$t \in \mathcal{F}''(V)$ を $\mathcal{F}(V)$ に持ち上げ、脆弱性で $\mathcal{F}(X)$ に延ばして $\beta$ で写せばよい。$\square$

命題 7.6 脆弱層 $\mathcal{F}$ について、$i > 0$ で $H^i(X, \mathcal{F}) = 0$。

証明. $\mathcal{F}$ を入射的な層 $\mathcal{I}$ に埋め込み、$\mathcal{G} = \mathcal{I}/\mathcal{F}$ とおく。入射的な層は脆弱であり（Hartshorne 第 III 章補題 2.4）、命題 7.5 より $\mathcal{G}$ も脆弱で $\Gamma(\mathcal{I}) \to \Gamma(\mathcal{G})$ は全射である。長完全列 $\Gamma(\mathcal{I}) \to \Gamma(\mathcal{G}) \to H^1(\mathcal{F}) \to H^1(\mathcal{I}) = 0$ より $H^1(\mathcal{F}) = 0$。$i \geq 2$ では $H^i(\mathcal{F}) \cong H^{i-1}(\mathcal{G})$ なので、脆弱層すべてについての $i$ に関する帰納法で結論を得る。$\square$

したがって脆弱層による分解でコホモロジーが計算できる。例 7.4(1) と合わせると、既約な空間上の定数層のザリスキー位相でのコホモロジーは $i > 0$ で消える。$\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$ は複素位相では球面 $S^2$ で $H^2(S^2; \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}$ だが、ザリスキー位相の $H^2(\underline{\mathbb{Z}})$ は 0 である。ザリスキー位相は粗すぎて位相的な情報を捉えられず、これが第9章のエタール・コホモロジーの動機になる。

定理 7.7（グロタンディークの消滅定理、主張）$X$ を $n$ 次元のネーター位相空間とすると、任意の $\mathcal{F} \in \mathbf{Ab}(X)$ と $i > n$ について $H^i(X, \mathcal{F}) = 0$。

7.4 チェック・コホモロジー

定義 7.8（チェック複体, Čech complex）$\mathfrak{U} = (U_i)_{i \in I}$ を $X$ の開被覆とし、$I$ に整列順序を固定する。$U_{i_0 \cdots i_p} = U_{i_0} \cap \cdots \cap U_{i_p}$ とおき、

$$C^p(\mathfrak{U}, \mathcal{F}) = \prod_{i_0 < \cdots < i_p} \mathcal{F}(U_{i_0 \cdots i_p}), \qquad (d\alpha)_{i_0 \cdots i_{p+1}} = \sum_{k=0}^{p+1} (-1)^k \alpha_{i_0 \cdots \widehat{i_k} \cdots i_{p+1}}\big\vert_{U_{i_0 \cdots i_{p+1}}}$$

と定める。$d^2 = 0$ であり、このコホモロジーを $\check{H}^p(\mathfrak{U}, \mathcal{F})$ と書く。

層の公理から $\check{H}^0(\mathfrak{U}, \mathcal{F}) = \Gamma(X, \mathcal{F})$ である。

例 7.9（円周）$S^1$ を 2 つの開弧 $U_0, U_1$ で覆い、$U_{01}$ が 2 つの連結成分をもつようにする。定数層 $\underline{\mathbb{Z}}$ について $C^0 = \mathbb{Z}^2$, $C^1 = \underline{\mathbb{Z}}(U_{01}) = \mathbb{Z}^2$, $d(a, b) = (b - a, b - a)$ なので、$\check{H}^0 = \mathbb{Z}$, $\check{H}^1 = \mathbb{Z}^2/\lbrace (c, c) \rbrace \cong \mathbb{Z}$。これは $S^1$ の特異コホモロジー $H^1(S^1; \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}$ に一致する。

例 7.10（射影直線）$\mathbb{P}^1_k$ を $U_0 = \operatorname{Spec} k[t]$, $U_1 = \operatorname{Spec} k[t^{-1}]$ で覆うと、$\mathcal{O}$ のチェック複体は $k[t] \times k[t^{-1}] \to k[t, t^{-1}]$, $(f, g) \mapsto g - f$ である。任意のローラン多項式は $t$ の多項式と $t^{-1}$ の多項式の差に書けるので $\check{H}^1 = 0$、また $\check{H}^0 = k[t] \cap k[t^{-1}] = k$。

定理 7.11（主張）$X$ をネーター的な分離的スキーム、$\mathfrak{U}$ をアフィン開被覆、$\mathcal{F}$ を準連接層とする。すべての $p$ で自然な同型 $\check{H}^p(\mathfrak{U}, \mathcal{F}) \cong H^p(X, \mathcal{F})$ がある。

証明は Hartshorne 第 III 章定理 4.5 を参照。分離性によりアフィン開集合の共通部分がアフィンになり（命題 5.16）、次節の消滅定理がすべての $U_{i_0 \cdots i_p}$ に適用できることが要点である。また変換関数の議論（6.3 節）から $\operatorname{Pic}(X) \cong H^1(X, \mathcal{O}_X^{\times})$ が成り立つ。

7.5 アフィンスキーム上の消滅

定理 7.12（セール、主張）$X$ をアフィンスキーム、$\mathcal{F}$ を準連接層とすると、$i > 0$ で $H^i(X, \mathcal{F}) = 0$。逆に、ネータースキーム $X$ で、すべての連接なイデアル層 $\mathcal{I}$ について $H^1(X, \mathcal{I}) = 0$ ならば、$X$ はアフィンである（セールの判定法）。

証明は Hartshorne 第 III 章定理 3.5, 3.7 を参照（ネーターの場合）。アフィンスキーム上で「準連接層の全射は大域切断で全射」ということであり、定理 6.5（$M \mapsto \widetilde{M}$ の完全性）の裏返しである。

例 7.13（$\mathbb{A}^2 \setminus \lbrace 0 \rbrace$）$U = \mathbb{A}^2_k \setminus \lbrace 0 \rbrace$ を $D(x), D(y)$ で覆う。$U$ は分離的で $D(x) \cap D(y) = D(xy)$ はアフィンなので、定理 7.11 より

であり、これは $i < 0$ かつ $j < 0$ の単項式 $x^i y^j$ で張られる無限次元空間である。$H^1 \neq 0$ なので定理 7.12 より $U$ はアフィンでない（問題 4.3 の別証明）。

7.6 $\mathbb{P}^n$ 上の $\mathcal{O}(m)$ のコホモロジー

定理 7.14 $A$ をネーター環、$X = \mathbb{P}^n_A$（$n \geq 1$）、$S = A[x_0, \dots, x_n]$ とする。 (a) $H^0(X, \mathcal{O}(m)) = S_m$。 (b) $0 < i < n$ ならすべての $m$ で $H^i(X, \mathcal{O}(m)) = 0$。 (c) $H^n(X, \mathcal{O}(m))$ は、$l_i \leq -1$（すべての $i$）かつ $\sum l_i = m$ を満たすローラン単項式 $x_0^{l_0} \cdots x_n^{l_n}$ を基底とする自由 $A$ 加群である。特に $H^n(X, \mathcal{O}(-n-1)) \cong A$（基底 $x_0^{-1} \cdots x_n^{-1}$）で、$m > -n-1$ なら $H^n(X, \mathcal{O}(m)) = 0$。 (d) 積から定まる $H^0(X, \mathcal{O}(m)) \times H^n(X, \mathcal{O}(-m-n-1)) \to H^n(X, \mathcal{O}(-n-1)) \cong A$ は完全対（各基底が互いの双対基底になる）である。

証明. $U_i = D_+(x_i)$ はアフィン開被覆で $X$ は分離的なので、定理 7.11 よりチェック複体で計算できる。$I = \lbrace i_0 < \cdots < i_p \rbrace$ について $\mathcal{O}(m)(U_I) = (S_{x_{i_0} \cdots x_{i_p}})_m$ であり、これはローラン単項式 $x^l$（$l \in \mathbb{Z}^{n+1}$, $\sum l_i = m$）のうち $S_{x_I}$ に属するものを基底とする自由 $A$ 加群である。チェック複体の微分は単項式の係数を足し引きするだけなので、複体は多重次数 $l$ ごとの部分複体 $C^{\bullet}_l$ の直和に分かれる。

$J = \lbrace i \mid l_i < 0 \rbrace$ とおく。$x^l \in S_{x_I} \Leftrightarrow J \subset I$ なので、$C^p_l$ は $J \subset I$, $\lvert I \rvert = p + 1$ となる $I$ ごとに $A$ を並べたものである。

• $J = \emptyset$ のとき：$C^{\bullet}_l$ は頂点 $\lbrace 0, \dots, n \rbrace$ 上の単体（全単体）の単体的コチェイン複体であり、単体は可縮なので、コホモロジーは次数 0 の $A$ だけである（09-algebraic-topology 第4章）。
• $J = \lbrace 0, \dots, n \rbrace$ のとき：$I = \lbrace 0, \dots, n \rbrace$ だけが現れ、$C^{\bullet}_l$ は次数 $n$ の $A$ だけである。
• $\emptyset \neq J \subsetneq \lbrace 0, \dots, n \rbrace$ のとき：$I \mapsto I \setminus J$ により、$C^{\bullet}_l$ は（符号を調整し次数を $\lvert J \rvert$ ずらすと）頂点集合 $V = \lbrace 0, \dots, n \rbrace \setminus J \neq \emptyset$ 上の単体の、空な面も含めた添加コチェイン複体に一致する。$\alpha_I$ で $I$ から $J$ の元を除く項は $x^l \notin S_{x_{I \setminus \lbrace j \rbrace}}$ なので 0 になることに注意する。単体の添加複体は（錐の構造により）完全なので、$C^{\bullet}_l$ は完全である。

以上より $H^0$ はすべての $l_i \geq 0$ の単項式、すなわち $S_m$ で張られ (a)、$0 < p < n$ の $H^p$ は 0 で (b)、$H^n$ はすべての $l_i < 0$ の単項式で張られる (c)。(d) $l_i \geq 0$, $\sum l_i = m$ と $l'_i \leq -1$, $\sum l'_i = -m-n-1$ について、$x^{l + l'}$ が $H^n(\mathcal{O}(-n-1))$ で 0 でないのは、すべての $l_i + l'_i \leq -1$ かつ和が $-n-1$、すなわち $l' = -l - (1, \dots, 1)$ のときに限る。よって二つの単項式基底は互いに双対である。$\square$

系 7.15 $k$ を体、$X = \mathbb{P}^n_k$ とすると、$h^i = \dim_k H^i$ として

$$h^0(\mathcal{O}(m)) = \binom{m+n}{n} \ (m \geq 0), \qquad h^n(\mathcal{O}(m)) = \binom{-m-1}{n} \ (m \leq -n-1)$$

であり、他は 0 である。オイラー標数 $\chi(\mathcal{O}(m)) = \sum_i (-1)^i h^i(\mathcal{O}(m))$ はすべての $m \in \mathbb{Z}$ で多項式 $\binom{m+n}{n} = \frac{(m+1)(m+2) \cdots (m+n)}{n!}$ に等しい。

証明. $h^n$：$a_i = -l_i - 1 \geq 0$ とおくと $\sum a_i = -m - n - 1$ で、その個数は $\binom{-m-1}{n}$。$m \leq -n-1$ では $(-1)^n \binom{-m-1}{n} = (-1)^n \frac{(-m-1) \cdots (-m-n)}{n!} = \frac{(m+1) \cdots (m+n)}{n!}$。$-n-1 < m < 0$ ではすべての $h^i$ が 0 で、多項式も $m = -1, \dots, -n$ で 0 である。$\square$

たとえば $\mathbb{P}^2$ では次のようになり、$h^0(\mathcal{O}(m)) = h^2(\mathcal{O}(-m-3))$ という対称性が見える（7.9 節）。

7.7 セールの有限性定理と消滅定理

定理 7.16（セール、主張）$X$ をネーター環 $A$ 上の射影スキーム、$\mathcal{O}_X(1)$ を非常に豊富な直線束、$\mathcal{F}$ を連接層とする。 (a) すべての $i$ で $H^i(X, \mathcal{F})$ は有限生成 $A$ 加群である。 (b) ある $m_0$ があって、$i > 0$, $m \geq m_0$ で $H^i(X, \mathcal{F}(m)) = 0$。

証明の方針. 閉埋め込み $X \to \mathbb{P}^n_A$ で押し出してもコホモロジーは変わらないので $X = \mathbb{P}^n_A$ としてよい。連接層 $\mathcal{F}$ は $\bigoplus_j \mathcal{O}(-q_j)$ の商になり（十分大きい $q$ で $\mathcal{F}(q)$ は大域切断で生成される）、核 $\mathcal{R}$ も連接である。完全列 $0 \to \mathcal{R} \to \bigoplus_j \mathcal{O}(-q_j) \to \mathcal{F} \to 0$ の長完全列と定理 7.14 を使い、$i$ について大きい方からの帰納法で示す（$i > n$ では $n + 1$ 個の開集合のチェック複体から $H^i = 0$）。詳しくは Hartshorne 第 III 章定理 5.2 を参照。$\square$

7.8 オイラー標数とヒルベルト多項式

体 $k$ 上の射影スキーム $X$ と連接層 $\mathcal{F}$ に対し、定理 7.16 と定理 7.7 から $\chi(\mathcal{F}) = \sum_i (-1)^i \dim_k H^i(X, \mathcal{F})$（オイラー標数）は有限和で定まる。短完全列 $0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}'' \to 0$ について、有限次元空間の長完全列の交代和は 0 なので

が成り立つ（加法性）。

定理 7.17（主張）$X \subset \mathbb{P}^n_k$ を閉部分スキームとし、斉次イデアル $I$ で定義されているとする。$m \mapsto \chi(\mathcal{O}_X(m))$ は多項式で、第2章のヒルベルト多項式 $P_{S/I}$ に一致する。したがって $X$ の算術種数は $p_a(X) = (-1)^{\dim X} (\chi(\mathcal{O}_X) - 1)$ である。

理由は、十分大きい $m$ で $H^i(\mathcal{O}_X(m)) = 0$（$i > 0$、定理 7.16）かつ $H^0(\mathcal{O}_X(m)) = (S/I)_m$ となるからである（Hartshorne 第 III 章演習 5.2 と第 II 章演習 5.9）。コホモロジーを使うと、ヒルベルト多項式の値をすべての $m$、特に $m = 0$ で解釈できる。

例 7.18（平面曲線の種数）$C = V_+(F) \subset \mathbb{P}^2_k$ を $d$ 次曲線とする。$C$ のイデアル層は $F \cdot \mathcal{O}(-d) \cong \mathcal{O}(-d)$ なので、完全列

がある。系 7.15 より $\mathbb{P}^2$ 上で $H^1(\mathcal{O}(j)) = 0$（すべての $j$）、$H^0(\mathcal{O}(-d)) = 0$、$H^2(\mathcal{O}) = 0$ なので、長完全列は

に分かれる。よって $H^0(\mathcal{O}_C) = k$（$C$ は連結）で

である。直線・円錐曲線では 0、3 次曲線では 1、4 次曲線では 3。$\chi(\mathcal{O}_C) = 1 - \frac{(d-1)(d-2)}{2}$ は例 2.13(2) のヒルベルト多項式 $dm + 1 - \frac{(d-1)(d-2)}{2}$ の $m = 0$ での値と一致する。$C$ が非特異なら、この数が第8章の種数 $g$ である。

例 7.19 ねじれ 3 次曲線はヒルベルト多項式 $3m + 1$（例 2.13(3)）より $\chi(\mathcal{O}_C) = 1$、$p_a = 0$ で、$C \cong \mathbb{P}^1$ と整合する。

7.9 セール双対性

定理 7.20（セール双対性, Serre duality、主張）$X$ を代数閉体 $k$ 上の $n$ 次元非特異射影多様体、$\omega_X$ を標準層とする。 (a) $H^n(X, \omega_X) \cong k$。 (b) 有限階数の局所自由層 $\mathcal{E}$ について、自然な対 $H^i(X, \mathcal{E}) \times H^{n-i}(X, \mathcal{E}^{\vee} \otimes \omega_X) \to H^n(X, \omega_X) \cong k$ は完全対であり、$H^i(X, \mathcal{E}) \cong H^{n-i}(X, \mathcal{E}^{\vee} \otimes \omega_X)^{\ast}$。

証明は Hartshorne 第 III 章 7 節を参照。$X = \mathbb{P}^n$ では $\omega = \mathcal{O}(-n-1)$（命題 6.25）で、$\mathcal{E} = \mathcal{O}(m)$, $i = 0$ の場合が定理 7.14(d) そのものである。上の表の対称性 $h^0(\mathcal{O}(m)) = h^2(\mathcal{O}(-m-3))$ もこれで説明される。これは向き付けられた閉多様体のポアンカレ双対性（09-algebraic-topology 第7章）の類似である。

曲線 $C$（$n = 1$）では $\mathcal{E} = \mathcal{O}_C$ として $h^1(\mathcal{O}_C) = h^0(\omega_C)$：算術種数は、大域的な正則 1 形式の空間の次元（幾何種数）に等しい。非特異な平面曲線では $\omega_C \cong \mathcal{O}_C(d-3)$（6.9 節）であり、問題 7.6 で $h^0(\mathcal{O}_C(d-3)) = \frac{(d-1)(d-2)}{2}$ を直接確かめる。

まとめ

• 層のコホモロジーは大域切断関手の右導来関手で、短完全列から長完全列を与える。$H^1$ は局所から大域への持ち上げの障害を測る。
• 脆弱層はコホモロジーが消える。既約空間上の定数層は脆弱なので、ザリスキー位相は位相的な情報を捉えない。
• 分離的スキームの準連接層のコホモロジーはアフィン被覆のチェック複体で計算できる。アフィンスキーム上では高次のコホモロジーが消える（セール）。
• $\mathbb{P}^n$ 上の $\mathcal{O}(m)$ のコホモロジーは $H^0$ と $H^n$ だけに現れ、ローラン単項式で具体的に書ける。$\chi(\mathcal{O}(m)) = \binom{m+n}{n}$。
• オイラー標数は加法的で、$\chi(\mathcal{O}_X(m))$ はヒルベルト多項式。平面曲線では $h^1(\mathcal{O}_C) = (d-1)(d-2)/2$。
• セール双対性 $H^i(\mathcal{E}) \cong H^{n-i}(\mathcal{E}^{\vee} \otimes \omega)^{\ast}$ はポアンカレ双対性の類似で、曲線では $h^1(\mathcal{O}) = h^0(\omega)$。

演習問題