局所化と素スペクトル

この章の目標

• 積閉集合による分数環・分数加群を構成し、局所化が完全関手（したがって平坦）であることを証明する
• 加群が $0$ であること・単射・全射・平坦性が局所的性質であることを証明する
• 局所化での素イデアルの対応を証明し、$\operatorname{Spec} A$ のザリスキー位相（準コンパクト性・生成点・関手性）を扱える
• $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$、$\operatorname{Spec} K[x]$、$\operatorname{Spec} \mathbb{C}[x, y]$ の点を分類できる

前提：第1章、集合と位相 第2章（位相空間）、集合と位相 第5章（コンパクト性）

関数 $f$ の分母を許すことは、$f$ の零点を取り除くことである。$K[x]$ に $1/x$ を加えた $K[x, x^{-1}]$ は「原点を除いた直線」上の関数の環であり、$x$ で割り切れない（原点で $0$ にならない）多項式をすべて分母に許した $K[x]_{(x)}$ は「原点のいくらでも小さな近傍」上の関数の環である。この操作が局所化であり、幾何的には開集合への制限、あるいは 1 点のまわりへのズームにあたる。局所化で調べて全体に戻す「局所–大域」の議論は、可換環論と代数幾何学の基本技法である。

2.1 積閉集合と分数環

定義 2.1 部分集合 $S \subset A$ が $1 \in S$ をみたし乗法で閉じているとき、積閉集合 (multiplicative subset) という。

定理 2.2（分数環, ring of fractions）$S$ を積閉集合とする。$A \times S$ 上の関係

$$(a, s) \sim (b, t) \iff \text{ある } u \in S \text{ で } u(at - bs) = 0$$

は同値関係であり、$(a, s)$ の類を $a/s$、商集合を $S^{-1}A$ と書くと、$a/s + b/t = (at + bs)/st$、$(a/s)(b/t) = ab/st$ により $S^{-1}A$ は環になる。$\iota\colon A \to S^{-1}A$, $a \mapsto a/1$ は環準同型で、$\iota(S) \subset (S^{-1}A)^\times$、$\operatorname{Ker}\iota = \lbrace a \mid sa = 0 \ (\exists s \in S) \rbrace$ である。さらに次の普遍性をもつ：環準同型 $\varphi\colon A \to B$ が $\varphi(S) \subset B^\times$ をみたせば、$\psi \circ \iota = \varphi$ となる環準同型 $\psi\colon S^{-1}A \to B$ がただ一つ存在する。

証明. 反射律・対称律は明らか。推移律：$u(at - bs) = 0$, $v(br - ct) = 0$ の第 1 式に $vr$、第 2 式に $us$ を掛けて加えると $uvrat - uvsct = 0$、すなわち $(uvt)(ar - cs) = 0$ で $uvt \in S$。加法の well-definedness：$u(as' - a's) = 0$ なら

乗法も同様で、環の公理は分数の通常の計算と同じく確かめられる。$\iota(s) \cdot (1/s) = 1$ であり、$a/1 = 0/1 \iff u a = 0$ $(\exists u \in S)$ である。普遍性：$\psi(a/s) := \varphi(a)\varphi(s)^{-1}$ とおく。$u(at - bs) = 0$ なら $\varphi(u)$ が単元なので $\varphi(a)\varphi(t) = \varphi(b)\varphi(s)$ となり well-defined。準同型であることは直接確かめられる。一意性は $\psi(a/s)\psi(s/1) = \psi(a/1) = \varphi(a)$ から従う。$\square$

注意 2.3 同値関係に $u$ が必要なのは零因子のためである。$A = K[x, y]/(xy)$、$S = \lbrace 1, x, x^2, \dots \rbrace$ で素朴に $at = bs$ と定めると、$(0, 1) \sim (0, x)$, $(0, x) \sim (y, 1)$（$0 \cdot 1 = y \cdot x = 0$）だが $(0, 1) \not\sim (y, 1)$ となり推移律が壊れる。$A$ が整域で $0 \notin S$ なら $u$ は不要である。

例 2.4 (1) $f \in A$ に対し $S = \lbrace f^n \mid n \geq 0 \rbrace$ のとき $S^{-1}A =: A_f$。普遍性から $A_f \cong A[t]/(ft - 1)$ であり、$A_f = 0 \iff 0 \in S \iff f$ は冪零。 (2) 素イデアル $\mathfrak{p}$ に対し $S = A \setminus \mathfrak{p}$ のとき $S^{-1}A =: A_{\mathfrak{p}}$（$\mathfrak{p}$ での局所化）。$\mathbb{Z}_{(p)}$, $K[x]_{(x)}$ はこの例である。 (3) $A$ が整域で $S = A \setminus \lbrace 0 \rbrace$ なら $S^{-1}A = \operatorname{Frac} A$。 (4) $A = K[x, y]/(xy)$ では $x \cdot y = 0$ より $A_x$ で $y/1 = 0$ となり、$A_x \cong K[x, x^{-1}]$。2 本の座標軸の和集合から $x \neq 0$ の部分を取り出すと「原点を除いた $x$ 軸」が残る。

2.2 分数加群と完全性

定義 2.5 $A$ 加群 $M$ に対し、$M \times S$ に $(x, s) \sim (y, t) \iff u(tx - sy) = 0$ $(\exists u \in S)$ で同値関係を入れた商を $S^{-1}M$ と書く。$S^{-1}A$ 加群であり、$\mathfrak{p}$ に対しては $M_{\mathfrak{p}}$、$f$ に対しては $M_f$ と書く。準同型 $\varphi\colon M \to N$ は $S^{-1}\varphi(x/s) = \varphi(x)/s$ を誘導する。

命題 2.6 $S^{-1}A \otimes_A M \cong S^{-1}M$（$(a/s) \otimes x \mapsto ax/s$）。

証明. $(a/s, x) \mapsto ax/s$ は well-defined な双線形写像で、誘導される $\alpha$ は全射である。$S^{-1}A \otimes M$ の元は通分により $(1/s) \otimes x$ の形に書ける：$\sum (a_i/s_i) \otimes x_i = \sum (1/s) \otimes t_i a_i x_i$（$s = \prod s_i$, $t_i = s/s_i$）。$\alpha((1/s) \otimes x) = x/s = 0$ なら $ux = 0$ となる $u \in S$ があり、$(1/s) \otimes x = (u/us) \otimes x = (1/us) \otimes ux = 0$。よって $\alpha$ は単射である。$\square$

定理 2.7（局所化の完全性）$M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M''$ が $M$ で完全ならば、$S^{-1}M' \to S^{-1}M \to S^{-1}M''$ も完全である。

証明. $gf = 0$ より合成は $0$。$S^{-1}g(x/s) = g(x)/s = 0$ なら $u g(x) = 0$ となる $u \in S$ があり、$g(ux) = 0$ だから $ux = f(x')$ と書ける。このとき $x/s = ux/us = S^{-1}f(x'/us)$。$\square$

系 2.8 (1) $S^{-1}A$ は平坦な $A$ 加群である。特に $\mathbb{Q}$ は平坦な $\mathbb{Z}$ 加群である。 (2) 部分加群 $N, P \subset M$ について $S^{-1}(N + P) = S^{-1}N + S^{-1}P$、$S^{-1}(N \cap P) = S^{-1}N \cap S^{-1}P$、$S^{-1}(M/N) \cong S^{-1}M/S^{-1}N$。

証明. (1) 命題 2.6 と定理 2.7。(2) 和は明らか。$0 \to N \cap P \to M \to M/N \oplus M/P$ と $0 \to N \to M \to M/N \to 0$ の完全性が局所化で保たれることから従う。$\square$

定義 2.9（台, support）$\operatorname{Supp} M := \lbrace \mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} A \mid M_{\mathfrak{p}} \neq 0 \rbrace$ を $M$ の台という。

命題 2.10 $M$ が有限生成ならば $\operatorname{Supp} M = V(\operatorname{Ann} M)$。

証明. $M = \sum_{i=1}^n Ax_i$ とする。$M_{\mathfrak{p}} = 0 \iff$ 各 $i$ で $s_i x_i = 0$ となる $s_i \notin \mathfrak{p}$ がある $\iff$ $\operatorname{Ann} M \not\subset \mathfrak{p}$。実際、前者なら $s = \prod s_i \in \operatorname{Ann} M \setminus \mathfrak{p}$、後者なら $s \in \operatorname{Ann} M \setminus \mathfrak{p}$ がすべての $x_i$ を零化する。$\square$

例 2.11 $\operatorname{Supp}(\mathbb{Z}/12) = \lbrace (2), (3) \rbrace$、$\operatorname{Supp}(A/I) = V(I)$。有限生成でないと命題 2.10 は成り立たない：$M = \bigoplus_p \mathbb{Z}/p$ では $\operatorname{Ann} M = 0$ で $V(0) = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ だが、$M_{(0)} = M \otimes \mathbb{Q} = 0$ なので $\operatorname{Supp} M$ は閉点全体であり、閉集合ですらない（例 2.29）。

2.3 局所的性質

性質 $P$ が「$M$ が $P$ をもつ $\iff$ すべての $\mathfrak{p}$ で $M_{\mathfrak{p}}$ が $P$ をもつ」をみたすとき、$P$ は局所的性質 (local property) であるという。

命題 2.12 次は同値である：(a) $M = 0$ (b) すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ で $M_{\mathfrak{p}} = 0$ (c) すべての極大イデアル $\mathfrak{m}$ で $M_{\mathfrak{m}} = 0$。

証明. (a)⇒(b)⇒(c) は明らか。$M \neq 0$ として $0 \neq x \in M$ をとる。$\operatorname{Ann}(x) \neq A$ を含む極大イデアル $\mathfrak{m}$ をとると、$x/1 = 0$ in $M_{\mathfrak{m}}$ なら $sx = 0$ となる $s \notin \mathfrak{m}$ があるが、$s \in \operatorname{Ann}(x) \subset \mathfrak{m}$ に反する。よって $M_{\mathfrak{m}} \neq 0$。$\square$

命題 2.13 $\varphi\colon M \to N$ が単射（全射）$\iff$ すべての極大イデアル $\mathfrak{m}$ で $\varphi_{\mathfrak{m}}\colon M_{\mathfrak{m}} \to N_{\mathfrak{m}}$ が単射（全射）。

証明. 完全列 $0 \to \operatorname{Ker}\varphi \to M \to N \to \operatorname{Coker}\varphi \to 0$ を局所化すると、定理 2.7 より $(\operatorname{Ker}\varphi)_{\mathfrak{m}} = \operatorname{Ker}\varphi_{\mathfrak{m}}$、$(\operatorname{Coker}\varphi)_{\mathfrak{m}} = \operatorname{Coker}\varphi_{\mathfrak{m}}$。命題 2.12 を適用する。$\square$

補題 2.14 (1) $S^{-1}A$ 加群 $P$ に対し $P \otimes_{S^{-1}A} S^{-1}M \cong P \otimes_A M$。(2) $S^{-1}(M \otimes_A N) \cong S^{-1}M \otimes_{S^{-1}A} S^{-1}N$。

証明. (1) 命題 2.6 とテンソル積の結合法則 $P \otimes_{S^{-1}A} (S^{-1}A \otimes_A M) \cong (P \otimes_{S^{-1}A} S^{-1}A) \otimes_A M \cong P \otimes_A M$（普遍性から命題 1.27 と同様に示せる）による。(2) (1) で $P = S^{-1}N$ とすると、右辺 $\cong S^{-1}N \otimes_A M \cong S^{-1}A \otimes_A N \otimes_A M \cong S^{-1}(N \otimes_A M)$。$\square$

命題 2.15（平坦性は局所的）$A$ 加群 $M$ について次は同値である：(a) $M$ は平坦 (b) すべての $\mathfrak{p}$ で $M_{\mathfrak{p}}$ は平坦な $A_{\mathfrak{p}}$ 加群 (c) すべての極大イデアル $\mathfrak{m}$ で $M_{\mathfrak{m}}$ は平坦な $A_{\mathfrak{m}}$ 加群。

証明. (a)⇒(b)：$A_{\mathfrak{p}}$ 加群の単射 $N' \to N$ は $A$ 加群の単射でもあり、補題 2.14 (1) より $N' \otimes_{A_{\mathfrak{p}}} M_{\mathfrak{p}} \to N \otimes_{A_{\mathfrak{p}}} M_{\mathfrak{p}}$ は $N' \otimes_A M \to N \otimes_A M$ と同一視されるので単射。(b)⇒(c) は明らか。(c)⇒(a)：$A$ 加群の単射 $N' \to N$ に対し、補題 2.14 (2) より $(N' \otimes_A M)_{\mathfrak{m}} \to (N \otimes_A M)_{\mathfrak{m}}$ は $N'_{\mathfrak{m}} \otimes M_{\mathfrak{m}} \to N_{\mathfrak{m}} \otimes M_{\mathfrak{m}}$ と同一視される。$N'_{\mathfrak{m}} \to N_{\mathfrak{m}}$ は単射（定理 2.7）で $M_{\mathfrak{m}}$ は平坦なのでこれは単射。命題 2.13 より $N' \otimes M \to N \otimes M$ は単射。$\square$

例 2.16（局所的でない性質）(1) 整域であること：$A = K \times K$ の素イデアルは $K \times 0$ と $0 \times K$ で、どちらの局所化も $K$（体）だが、$A$ は整域でない。 (2) 自由であること：$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ のイデアル $(2, 1 + \sqrt{-5})$ は各局所化で単項（階数 1 の自由加群）だが、単項イデアルではない（第7章）。「局所自由」と「自由」の差が類群を生む。 (3) ネーター性：$\prod_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{F}_2$ はネーター環でないが、すべての局所化は $\mathbb{F}_2$ である（第3章の問題 3.1）。

2.4 局所化と素イデアルの対応

定理 2.17 $\iota\colon A \to S^{-1}A$ を自然な準同型とする。$\mathfrak{p} \mapsto S^{-1}\mathfrak{p}$ と $\mathfrak{q} \mapsto \iota^{-1}(\mathfrak{q})$ は、$S$ と交わらない $A$ の素イデアルの集合と $S^{-1}A$ の素イデアルの集合の間の、包含関係を保つ互いに逆な全単射である。

証明. $S^{-1}A$ の任意のイデアル $J$ について $J = S^{-1}(\iota^{-1}J)$ である（$a/s \in J$ なら $a/1 = s \cdot (a/s) \in J$）。$\mathfrak{q}$ が素イデアルなら $\iota^{-1}(\mathfrak{q})$ は素イデアルで、$S$ の元は単元に写るので $S$ と交わらない。逆に $\mathfrak{p} \cap S = \emptyset$ とする。$a/s \in S^{-1}\mathfrak{p}$ なら $a/s = p/t$ $(p \in \mathfrak{p})$ と書け、$u(at - ps) = 0$ より $uta \in \mathfrak{p}$、$ut \notin \mathfrak{p}$ なので $a \in \mathfrak{p}$。すなわち $a/s \in S^{-1}\mathfrak{p} \iff a \in \mathfrak{p}$ である。これから $1 \notin S^{-1}\mathfrak{p}$、$S^{-1}\mathfrak{p}$ は素イデアル、$\iota^{-1}(S^{-1}\mathfrak{p}) = \mathfrak{p}$ が従う。$\square$

系 2.18 (1) $A_{\mathfrak{p}}$ は $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ を極大イデアルとする局所環で、その素イデアルは $\mathfrak{p}$ に含まれる $A$ の素イデアルと 1 対 1 に対応する。 (2) $A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}} \cong \kappa(\mathfrak{p})$。 (3) $\operatorname{nil}(S^{-1}A) = S^{-1}\operatorname{nil}(A)$。

証明. (1) 定理 2.17 で $S = A \setminus \mathfrak{p}$。(2) 系 2.8 より $A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}} \cong (A/\mathfrak{p})_{\mathfrak{p}}$ で、これは整域 $A/\mathfrak{p}$ の非零元をすべて分母に許したものだから $\operatorname{Frac}(A/\mathfrak{p})$。(3) $(a/s)^n = 0$ なら $ua^n = 0$、$(ua)^n = 0$ より $a/s = ua/us \in S^{-1}\operatorname{nil}(A)$。逆は明らか。$\square$

幾何的には、$\operatorname{Spec} A_{\mathfrak{p}}$ は「$\mathfrak{p}$ を通るすべての既約閉集合の生成点」の集合で、点 $\mathfrak{p}$ の無限小の近傍にあたる。たとえば $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}_{(p)} = \lbrace (0), (p) \rbrace$、$\operatorname{Spec} K[x, y]_{(x, y)}$ は原点・原点を通る既約曲線の生成点・平面の生成点 $(0)$ からなる。

命題 2.19（ファイバー）環準同型 $\varphi\colon A \to B$ と $\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} A$ について、$B \otimes_A \kappa(\mathfrak{p})$ の素イデアルは、$\varphi^{-1}(\mathfrak{q}) = \mathfrak{p}$ となる $\mathfrak{q} \in \operatorname{Spec} B$ と 1 対 1 に対応する。

証明. $T = \varphi(A \setminus \mathfrak{p})$ とおくと $B \otimes_A \kappa(\mathfrak{p}) \cong B \otimes_A A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}} \cong T^{-1}(B/\mathfrak{p}B)$。その素イデアルは、$\mathfrak{p}B$ を含み $T$ と交わらない $B$ の素イデアル $\mathfrak{q}$、すなわち $\varphi^{-1}(\mathfrak{q}) \supset \mathfrak{p}$ かつ $\varphi^{-1}(\mathfrak{q}) \subset \mathfrak{p}$ となるものに対応する（定理 2.17 と剰余環の素イデアルの対応）。$\square$

これで第1章の例 1.35（$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ のファイバー）の解釈が正当化される。

2.5 ザリスキー位相

$V(I)$ を閉集合とする位相を入れると、$\operatorname{Spec} A$ は幾何的な空間になる。

命題 2.20（ザリスキー位相, Zariski topology）$\operatorname{Spec} A$ の部分集合 $V(I)$（$I$ はイデアル）全体は閉集合の公理をみたす：$V(0) = \operatorname{Spec} A$、$V(A) = \emptyset$、$\bigcap_\lambda V(I_\lambda) = V(\sum_\lambda I_\lambda)$、$V(I) \cup V(J) = V(IJ)$。

証明. 最後の等式は命題 1.5、他は定義から明らか。$\square$

$f \in A$ に対し $D(f) := \operatorname{Spec} A \setminus V((f))$ を基本開集合という。$D(f)$ は「$f$ の値が $0$ でない点」の集合である。

命題 2.21 (1) $D(f)$ たちは開基をなし、$D(f) \cap D(g) = D(fg)$。 (2) $D(f) = \emptyset \iff f$ は冪零。$D(f) = \operatorname{Spec} A \iff f \in A^\times$。 (3) $D(f) \subset D(g) \iff f \in \sqrt{(g)}$。

証明. (1) 開集合 $\operatorname{Spec} A \setminus V(I) = \bigcup_{f \in I} D(f)$。$\mathfrak{p} \not\ni fg \iff \mathfrak{p} \not\ni f$ かつ $\mathfrak{p} \not\ni g$。(2) 定理 1.9 と、非単元が極大イデアルに含まれること。(3) $D(f) \subset D(g) \iff V(g) \subset V(f) \iff f \in \bigcap_{\mathfrak{p} \ni g} \mathfrak{p} = \sqrt{(g)}$（系 1.10）。$\square$

定理 2.22 $\operatorname{Spec} A$ は準コンパクトである（任意の開被覆が有限部分被覆をもつ）。

証明. 基本開集合による被覆 $\operatorname{Spec} A = \bigcup_\lambda D(f_\lambda)$ について示せば十分。これは $V(\sum_\lambda (f_\lambda)) = \emptyset$、すなわち $(f_\lambda)_\lambda = A$ を意味するので、$1 = a_1 f_{\lambda_1} + \cdots + a_n f_{\lambda_n}$ と有限個で書け、$\operatorname{Spec} A = D(f_{\lambda_1}) \cup \cdots \cup D(f_{\lambda_n})$。$\square$

「準」とつけるのは、一般にはハウスドルフでないからである。実際、次に見るように 1 点が閉集合とは限らない。

命題 2.23 部分集合 $Y \subset \operatorname{Spec} A$ に対し $I(Y) := \bigcap_{\mathfrak{p} \in Y} \mathfrak{p}$ とおくと $\overline{Y} = V(I(Y))$。特に $\overline{\lbrace \mathfrak{p} \rbrace} = V(\mathfrak{p})$ であり、$\lbrace \mathfrak{p} \rbrace$ が閉集合 $\iff$ $\mathfrak{p}$ は極大イデアル。さらに $I \mapsto V(I)$ は根基イデアルと閉集合の間の包含を逆にする全単射で、逆写像は $Y \mapsto I(Y)$ である。

証明. $V(J) \supset Y \iff$ すべての $\mathfrak{p} \in Y$ が $J$ を含む $\iff J \subset I(Y)$ なので、$Y$ を含む最小の閉集合は $V(I(Y))$。$I(V(J)) = \sqrt{J}$（系 1.10）なので、根基イデアル $J$ について $I(V(J)) = J$、閉集合 $Y$ について $V(I(Y)) = \overline{Y} = Y$。$\square$

定義 2.24 空でない位相空間が、2 つの真の閉部分集合の和集合に書けないとき既約 (irreducible) という。既約閉集合 $Y$ に対し $\overline{\lbrace \eta \rbrace} = Y$ となる点 $\eta$ を $Y$ の生成点 (generic point) という。

定理 2.25 閉集合 $Y \subset \operatorname{Spec} A$ が既約 $\iff$ $I(Y)$ は素イデアル。したがって既約閉集合は素イデアル $\mathfrak{p}$ により $V(\mathfrak{p})$ と書け、ただ一つの生成点 $\mathfrak{p}$ をもつ。

証明. $V(\mathfrak{p}) = Y_1 \cup Y_2$（閉集合）なら $\mathfrak{p} \in Y_1$ としてよく、$V(\mathfrak{p}) = \overline{\lbrace \mathfrak{p} \rbrace} \subset Y_1$ だから既約。逆に $Y$ が既約で $ab \in I(Y)$ なら、$Y = (Y \cap V(a)) \cup (Y \cap V(b))$ より $Y \subset V(a)$ または $Y \subset V(b)$、すなわち $a \in I(Y)$ または $b \in I(Y)$。$Y \neq \emptyset$ より $I(Y) \neq A$。生成点の一意性は命題 2.23 の全単射性による。$\square$

命題 2.26（関手性）環準同型 $\varphi\colon A \to B$ は連続写像 $\varphi^{\ast}\colon \operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$, $\mathfrak{q} \mapsto \varphi^{-1}(\mathfrak{q})$ を誘導し、$(\varphi^{\ast})^{-1}(V(I)) = V(\varphi(I)B)$、$(\varphi^{\ast})^{-1}(D(f)) = D(\varphi(f))$。$(\psi \circ \varphi)^{\ast} = \varphi^{\ast} \circ \psi^{\ast}$ である。さらに (1) $A \to A/I$ は $\operatorname{Spec}(A/I)$ から閉集合 $V(I)$ への同相を誘導する。 (2) $A \to S^{-1}A$ は $\operatorname{Spec} S^{-1}A$ から部分空間 $\lbrace \mathfrak{p} \mid \mathfrak{p} \cap S = \emptyset \rbrace$ への同相を誘導する。特に $\operatorname{Spec} A_f \cong D(f)$。

証明. $\varphi^{-1}(\mathfrak{q}) \supset I \iff \mathfrak{q} \supset \varphi(I) \iff \mathfrak{q} \supset \varphi(I)B$ より前半が従う。(1) 全単射性は剰余環の素イデアルの対応による。$V(I)$ 内の閉集合 $V(J)$ $(J \supset I)$ は $V(J/I)$ の像なので同相。(2) 全単射性は定理 2.17。$S^{-1}A$ のイデアル $J$ と素イデアル $\mathfrak{q}$、$\mathfrak{p} = \iota^{-1}(\mathfrak{q})$ について $\mathfrak{q} \supset J \iff \mathfrak{p} \supset \iota^{-1}(J)$（$\Leftarrow$ は $\mathfrak{q} = S^{-1}\mathfrak{p} \supset S^{-1}\iota^{-1}(J) = J$）なので、$V(J)$ の像は $V(\iota^{-1}J)$ と像との共通部分であり、閉集合は閉集合に写る。$\square$

この命題が「局所化 $A_f$ = 開集合 $D(f)$ への制限」「剰余環 $A/I$ = 閉集合 $V(I)$ への制限」という辞書の正確な意味である。$D(f)$ も $\operatorname{Spec} A_f$ と同相なので準コンパクトである。

2.6 例：点の分類

例 2.27（$\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$）点は $(0)$ と $(p)$。$V((n)) = \lbrace (p) \mid p \mid n \rbrace$ $(n \neq 0)$ だから、閉集合は閉点の有限集合と全体だけである。$\overline{\lbrace (0) \rbrace} = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ で、$(0)$ はあらゆる空でない開集合に含まれる生成点である。$D(n) \cong \operatorname{Spec} \mathbb{Z}[1/n]$ は $n$ を割る素数を取り除いた部分である。

例 2.28（$\operatorname{Spec} K[x]$）$K[x]$ は単項イデアル整域なので、点は $(0)$ と、モニック既約多項式 $f$ に対する $(f)$ である。$K$ が代数閉体なら $(x - a) \leftrightarrow a \in K$ で、$\operatorname{Spec} K[x]$ は「直線 $K$ に生成点を 1 つ加えたもの」である。$K = \mathbb{R}$ なら閉点は $(x - a)$ $(a \in \mathbb{R})$ と、$(x - z)(x - \bar{z})$ $(\operatorname{Im} z > 0)$ で生成されるイデアルであり、後者の剰余体は $\mathbb{C}$ である。閉点は「実数」と「共役な複素数の対」に対応する（問題 2.5）。

例 2.29 $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ の閉点全体は無限集合なので閉集合でない（その閉包は全体）。例 2.11 の $\operatorname{Supp} M$ はこれである。

定理 2.30（$\operatorname{Spec} K[x, y]$ の点）$K$ を代数閉体とする。$K[x, y]$ の素イデアルは次のいずれかである。 (1) $(0)$ (2) 既約多項式 $f$ に対する $(f)$ (3) $(x - a, y - b)$ $(a, b \in K)$（極大イデアル）

証明. $\mathfrak{p} \neq 0$ が単項でないとする。$\mathfrak{p}$ の非零元の既約因子のうち $\mathfrak{p}$ に属するもの $f$ をとると、$(f) \subsetneq \mathfrak{p}$ なので $g \in \mathfrak{p} \setminus (f)$ がとれる。まず $0 \neq d(x) \in (f, g) \cap K[x]$ を見つける。$f \in K[x]$ なら $d = f$ とする。そうでなければ $f$ は $y$ について正の次数をもつ $K[x][y]$ の既約元なので原始的で、ガウスの補題（代数学 第6章 6.4 節）より $K(x)[y]$ でも既約であり、$K(x)[y]$ で $f \nmid g$（割り切れれば $K[x][y]$ でも割り切れる）。単項イデアル整域 $K(x)[y]$ で $af + bg = 1$ となる $a, b$ があり、分母を払うと $d(x) = a'f + b'g$ $(a', b' \in K[x, y])$。$d \in \mathfrak{p}$ は $K$ 上一次式の積に分解するので、ある $x - a \in \mathfrak{p}$。$x$ と $y$ の役割を入れ替えて同様にある $y - b \in \mathfrak{p}$。よって $\mathfrak{p} \supset (x - a, y - b)$ で、右辺は極大なので等号が成り立つ。$\square$

幾何的には、$\operatorname{Spec} \mathbb{C}[x, y]$ は「平面 $\mathbb{C}^2$ の点（閉点）」「既約曲線ごとの生成点」「平面全体の生成点」からなり、$(f)$ の閉包 $V(f)$ は曲線 $f = 0$ 上の閉点すべてと $(f)$ 自身からなる。

例 2.31（尖点）$A = K[x, y]/(y^2 - x^3) \cong K[t^2, t^3]$（$K$ は代数閉体）の点は、命題 2.26 (1) により $y^2 - x^3$ を含む $K[x, y]$ の素イデアル、すなわち $(y^2 - x^3)$ と $(x - t^2, y - t^3)$ $(t \in K)$ である（$b^2 = a^3$ なら $a = t^2, b = t^3$ となる $t$ が一意にある）。こうして $\operatorname{Spec} A$ は位相空間として直線 $\operatorname{Spec} K[t]$ と同相であるが、例 1.25 で見たとおり環としては同型でない。位相だけでは特異点は見えない。環（関数の層）を込めて空間を考える必要がある。

まとめ

• 積閉集合 $S$ による分数環 $S^{-1}A$ は、零因子に対応するため $u(at - bs) = 0$ で同値関係を定める。普遍性は「$S$ を可逆にする最小の拡大」。
• $S^{-1}M \cong S^{-1}A \otimes_A M$ であり、局所化は完全、したがって $S^{-1}A$ は平坦。
• 加群が $0$ であること、準同型の単射性・全射性、平坦性は局所的性質。整域性・自由性・ネーター性は局所的でない。
• $S^{-1}A$ の素イデアルは $S$ と交わらない $A$ の素イデアルに対応し、$A_{\mathfrak{p}}$ は剰余体 $\kappa(\mathfrak{p})$ をもつ局所環。
• $\operatorname{Spec} A$ のザリスキー位相は準コンパクトで、閉点は極大イデアル、既約閉集合はただ一つの生成点をもつ。
• 環準同型は連続写像を誘導し、$A_f$ は開集合 $D(f)$、$A/I$ は閉集合 $V(I)$ への制限にあたる。
• $\operatorname{Spec} K[x, y]$（$K$ 代数閉体）の点は $(0)$、既約曲線 $(f)$、平面の点 $(x - a, y - b)$ に限る。

演習問題