次元論

この章の目標

• クルル次元と高さを定義し、体・単項イデアル整域・多項式環で計算できる
• クルルの単項イデアル定理とその一般化（高さ定理）を証明し、ネーター局所環の次元が有限であることを示せる
• パラメータ系を用いて次元を特徴づけ、ヒルベルト–サミュエル関数との関係（次元定理）を理解する
• 体上有限生成な整域の次元が超越次数に等しいことを証明する
• 正則局所環を定義し、ヤコビアン判定法で代数多様体の特異点を判定できる

前提：第2章〜第4章

平面は 2 次元、曲線は 1 次元、点は 0 次元である。この直観を環の言葉で表すと、「既約閉集合の鎖 点 $\subsetneq$ 曲線 $\subsetneq$ 平面 の長さ」、つまり素イデアルの鎖の長さになる。これがクルル次元である。本章では、クルル次元が (1) 素イデアルの鎖の長さ、(2) 点を切り出すのに必要な方程式の個数（パラメータ系）、(3) 局所環の「体積の増え方」（ヒルベルト–サミュエル多項式の次数）、(4) 関数体の超越次数、という異なる量と一致することを見る。さらに、次元と余接空間の次元を比べることで特異点を定義する。

5.1 クルル次元と高さ

定義 5.1 素イデアルの真の鎖 $\mathfrak{p}_0 \subsetneq \mathfrak{p}_1 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_n$ の長さ $n$ の上限を $A$ のクルル次元 (Krull dimension) といい $\dim A$ と書く。素イデアル $\mathfrak{p}$ で終わる鎖の長さの上限を $\mathfrak{p}$ の高さ (height) といい $\operatorname{ht}\mathfrak{p}$ と書く。$\operatorname{ht}\mathfrak{p} = \dim A_{\mathfrak{p}}$（系 2.18）、$\dim A/\mathfrak{p}$ は $\mathfrak{p}$ から始まる鎖の長さの上限であり、$\operatorname{ht}\mathfrak{p} + \dim A/\mathfrak{p} \leq \dim A$。イデアル $I$ の高さは $I$ を含む素イデアルの高さの最小値とする。加群 $M$ については $\dim M := \dim A/\operatorname{Ann} M$。

幾何的には、$\dim A$ は $\operatorname{Spec} A$ の既約閉集合の鎖の最大長、$\operatorname{ht}\mathfrak{p}$ は既約閉集合 $V(\mathfrak{p})$ の余次元、$\dim A/\mathfrak{p}$ は $V(\mathfrak{p})$ の次元である。

例 5.2 (1) 体の次元は $0$。アルティン環の次元は $0$（定理 3.11）。 (2) 体でない単項イデアル整域の次元は $1$：非零素イデアル $(p)$ は $p$ が既約元なので極大。$\dim \mathbb{Z} = \dim K[x] = 1$、$\dim \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] = 1$（系 4.16）。 (3) $K[x_1, \dots, x_n]$ には鎖 $0 \subsetneq (x_1) \subsetneq (x_1, x_2) \subsetneq \cdots \subsetneq (x_1, \dots, x_n)$ があり $\dim \geq n$。等号は系 5.15 で示す。 (4) $K[x_1, x_2, \dots]$ は無限次元。ネーター環でも無限次元になりうる（永田の例、主張のみ）が、ネーター局所環の次元は有限である（系 5.6）。

5.2 クルルの単項イデアル定理

方程式を 1 本課すと次元は高々 1 しか下がらない。これが単項イデアル定理であり、次元論の要である。証明には素イデアル $\mathfrak{q}$ の記号的べき $\mathfrak{q}^{(n)} := \mathfrak{q}^nA_{\mathfrak{q}} \cap A$ を用いる。これは $\mathfrak{q}^n$ の $\mathfrak{q}$ 準素成分であり、$\mathfrak{q}^{(n)}A_{\mathfrak{q}} = \mathfrak{q}^nA_{\mathfrak{q}}$ をみたす。

定理 5.3（クルルの単項イデアル定理, Krull's principal ideal theorem）$A$ をネーター環、$x \in A$、$\mathfrak{p}$ を $(x)$ を含む極小な素イデアルとすると、$\operatorname{ht}\mathfrak{p} \leq 1$。

証明. $A_{\mathfrak{p}}$ に移って、$A$ は極大イデアル $\mathfrak{p}$ をもつ局所環で、$\mathfrak{p}$ は $(x)$ 上極小としてよい。このとき $A/(x)$ の素イデアルは $\mathfrak{p}/(x)$ だけなので、定理 3.11 より $A/(x)$ はアルティン環。$\mathfrak{q} \subsetneq \mathfrak{p}$ を素イデアルとして $\operatorname{ht}\mathfrak{q} = 0$ を示せばよい。$A/(x)$ の降鎖 $\mathfrak{q}^{(n)} + (x)$ は止まるので、$n \geq N$ で $\mathfrak{q}^{(n)} + (x) = \mathfrak{q}^{(n+1)} + (x)$。$y \in \mathfrak{q}^{(n)}$ を $y = z + ax$ $(z \in \mathfrak{q}^{(n+1)})$ と書くと $ax \in \mathfrak{q}^{(n)}$ で、$x \notin \mathfrak{q}$（$\mathfrak{p}$ の極小性）より $x$ は $A_{\mathfrak{q}}$ で単元なので $a \in \mathfrak{q}^{(n)}$。よって $\mathfrak{q}^{(n)} = \mathfrak{q}^{(n+1)} + x\mathfrak{q}^{(n)}$ となり、中山の補題（$x \in \mathfrak{p} = \operatorname{rad}(A)$）より $\mathfrak{q}^{(n)} = \mathfrak{q}^{(n+1)}$。$A_{\mathfrak{q}}$ に移すと $\mathfrak{q}^nA_{\mathfrak{q}} = \mathfrak{q}^{n+1}A_{\mathfrak{q}}$ で、再び中山の補題より $\mathfrak{q}^nA_{\mathfrak{q}} = 0$。$A_{\mathfrak{q}}$ の極大イデアルが冪零なので、それが唯一の素イデアルであり $\operatorname{ht}\mathfrak{q} = \dim A_{\mathfrak{q}} = 0$。$\square$

定理 5.4（クルルの高さ定理）$A$ をネーター環、$\mathfrak{p}$ を $(x_1, \dots, x_r)$ を含む極小な素イデアルとすると、$\operatorname{ht}\mathfrak{p} \leq r$。

証明. $r$ に関する帰納法。$r = 1$ は定理 5.3。$A_{\mathfrak{p}}$ に移って $A$ は極大イデアル $\mathfrak{p}$ の局所環とする。鎖 $\mathfrak{p} \supsetneq \mathfrak{p}_1 \supsetneq \cdots \supsetneq \mathfrak{p}_m$ に対し、$\mathfrak{p}_1 \subset \mathfrak{q} \subsetneq \mathfrak{p}$ で $\mathfrak{q}$ と $\mathfrak{p}$ の間に素イデアルがないものがとれる（ネーター性）。$\operatorname{ht}\mathfrak{q} \leq r - 1$ を示せば $m \leq r$ となる。$\mathfrak{p}$ の極小性より $(x_1, \dots, x_r) \not\subset \mathfrak{q}$ で、$x_1 \notin \mathfrak{q}$ としてよい。$\mathfrak{q} + (x_1)$ を含む素イデアルは $\mathfrak{p}$ だけなので $\sqrt{\mathfrak{q} + (x_1)} = \mathfrak{p}$ で、各 $i \geq 2$ について $x_i^{n} = y_i + a_i x_1$ $(y_i \in \mathfrak{q})$ と書ける。すると $\sqrt{(y_2, \dots, y_r, x_1)} \supset (x_1, \dots, x_r)$ より $\mathfrak{p}$ は $(y_2, \dots, y_r, x_1)$ 上極小。$\bar{A} = A/(y_2, \dots, y_r)$ で $\bar{\mathfrak{p}}$ は $(\bar{x}_1)$ 上極小なので、定理 5.3 より $\operatorname{ht}\bar{\mathfrak{p}} \leq 1$。$\mathfrak{q} \supset (y_2, \dots, y_r)$ で、$\mathfrak{q}$ より真に小さい素イデアル $\mathfrak{q}'$ が $(y_2, \dots, y_r)$ を含めば $\bar{A}$ で $\bar{\mathfrak{q}'} \subsetneq \bar{\mathfrak{q}} \subsetneq \bar{\mathfrak{p}}$ となり矛盾。よって $\mathfrak{q}$ は $(y_2, \dots, y_r)$ 上極小で、帰納法の仮定より $\operatorname{ht}\mathfrak{q} \leq r - 1$。$\square$

系 5.5 ネーター環の素イデアルの高さは有限で、素イデアルは降鎖条件をみたす。

証明. $\mathfrak{p}$ は有限生成 $(x_1, \dots, x_r)$ なので、自分自身の上に極小で $\operatorname{ht}\mathfrak{p} \leq r$。$\square$

系 5.6 $(A, \mathfrak{m}, k)$ をネーター局所環とすると、$\dim A \leq \dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 < \infty$。

証明. 系 1.23 より $\mathfrak{m}$ は $\dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ 個の元で生成されるので、定理 5.4 を使う。$\square$

例 5.7 $f \in K[x_1, \dots, x_n]$ が定数でなければ、$(f)$ 上極小な素イデアルの高さはちょうど $1$ である（$\leq 1$ は定理 5.3、$\geq 1$ は整域で $f \neq 0$ だから）。幾何的には超曲面の既約成分はすべて余次元 1 である。一方 $(xy, xz) = (x) \cap (y, z)$ の極小素イデアル $(y, z)$ は高さ $2$ で、定理 5.4 の限界 $r = 2$ に達している。

5.3 パラメータ系

定義 5.8 $(A, \mathfrak{m})$ を $d$ 次元ネーター局所環とする。$x_1, \dots, x_d \in \mathfrak{m}$ で $(x_1, \dots, x_d)$ が $\mathfrak{m}$ 準素（$\sqrt{(x_1, \dots, x_d)} = \mathfrak{m}$）となるものをパラメータ系（巴系, system of parameters）という。$\mathfrak{m}$ 準素イデアルの生成元の個数の最小値を $\delta(A)$ と書く。

定理 5.9 ネーター局所環 $(A, \mathfrak{m})$ はパラメータ系をもち、$\dim A = \delta(A)$ である。

証明. $d = \dim A$（系 5.6 より有限）。$\mathfrak{m}$ が $s$ 個の元で生成される $\mathfrak{m}$ 準素イデアル上極小なので、定理 5.4 より $d \leq \delta(A)$。逆に、$(x_1, \dots, x_i)$ を含む素イデアルの高さがすべて $i$ 以上となる $x_1, \dots, x_i \in \mathfrak{m}$ を帰納的に作る。$x_1, \dots, x_{i-1}$ $(i \leq d)$ まで作れたとし、$(x_1, \dots, x_{i-1})$ 上極小な素イデアルのうち高さがちょうど $i - 1$ のものを $\mathfrak{p}_1, \dots, \mathfrak{p}_s$ とする（有限個：命題 3.8）。$i - 1 < d = \operatorname{ht}\mathfrak{m}$ より $\mathfrak{p}_j \neq \mathfrak{m}$ なので、素イデアル回避（補題 1.7）により $x_i \in \mathfrak{m} \setminus \bigcup_j \mathfrak{p}_j$ がとれる。$\mathfrak{q} \supset (x_1, \dots, x_i)$ は $(x_1, \dots, x_{i-1})$ 上極小なある $\mathfrak{p}$ を含み、$\operatorname{ht}\mathfrak{p} \geq i$ ならよく、$\operatorname{ht}\mathfrak{p} = i - 1$ なら $\mathfrak{p} = \mathfrak{p}_j$ で $x_i \notin \mathfrak{p}_j$ より $\mathfrak{q} \supsetneq \mathfrak{p}$、$\operatorname{ht}\mathfrak{q} \geq i$。$i = d$ まで進めると、$(x_1, \dots, x_d)$ を含む素イデアルは高さ $d$ 以上、すなわち $\mathfrak{m}$ だけであり、$(x_1, \dots, x_d)$ は $\mathfrak{m}$ 準素。よって $\delta(A) \leq d$。$\square$

幾何的には、$d$ 次元の点は $d$ 本の方程式で（集合として）切り出せ、それより少なくはできない。

命題 5.10 ネーター局所環 $(A, \mathfrak{m})$ と $x \in \mathfrak{m}$ について $\dim A/(x) \geq \dim A - 1$ であり、$x$ が $A$ のどの極小素イデアルにも属さなければ等号が成り立つ。

証明. $e = \dim A/(x)$ とし、$A/(x)$ のパラメータ系の持ち上げ $y_1, \dots, y_e$ をとると $(x, y_1, \dots, y_e)$ は $\mathfrak{m}$ 準素なので、定理 5.9 より $\dim A \leq e + 1$。後半：$A/(x)$ の長さ $e$ の鎖 $\mathfrak{p}_0 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_e$ について $\mathfrak{p}_0 \ni x$ は $A$ の極小素イデアルでないので、その下に素イデアルがあり、$A$ に長さ $e + 1$ の鎖ができる。$\square$

これを繰り返すと、$x_1, \dots, x_i \in \mathfrak{m}$ がパラメータ系の一部に延長できる $\iff$ $\dim A/(x_1, \dots, x_i) = \dim A - i$、がわかる。

5.4 ヒルベルト–サミュエル関数と次元定理

第 3 の特徴づけは「局所環の大きさ」の増え方である。$\mathfrak{q}$ を $\mathfrak{m}$ 準素イデアルとすると $A/\mathfrak{q}^n$ はアルティン環なので長さが有限である。

定理 5.11（次元定理：主張と証明の概略）$(A, \mathfrak{m})$ をネーター局所環、$\mathfrak{q}$ を $\mathfrak{m}$ 準素イデアルとする。ヒルベルト–サミュエル関数 $\chi_{\mathfrak{q}}(n) := \ell(A/\mathfrak{q}^n)$ は十分大きな $n$ で $n$ の多項式に一致し、その次数 $d(A)$ は $\mathfrak{q}$ によらない。さらに

$$\dim A = d(A) = \delta(A)$$

証明の概略. (i) $\mathfrak{q}$ が $s$ 個の元で生成されるとき、次数付き環 $\operatorname{gr}_{\mathfrak{q}} A = \bigoplus_n \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ は $(A/\mathfrak{q})[t_1, \dots, t_s]$ の剰余環であり、ヒルベルト–セールの定理により $\ell(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1})$ は次数 $s - 1$ 以下の多項式、したがって $\chi_{\mathfrak{q}}$ は次数 $s$ 以下の多項式になる。これで $d(A) \leq \delta(A)$。$\mathfrak{q}$ によらないことは $\mathfrak{m}^r \subset \mathfrak{q} \subset \mathfrak{m}$ から $\chi_{\mathfrak{m}}(n) \leq \chi_{\mathfrak{q}}(n) \leq \chi_{\mathfrak{m}}(rn)$ となることによる。(ii) $\dim A \leq d(A)$ は $d(A)$ に関する帰納法で示す。素イデアルの鎖 $\mathfrak{p}_0 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_r$ に対し $x \in \mathfrak{p}_1 \setminus \mathfrak{p}_0$ をとると、$x$ は整域 $A' = A/\mathfrak{p}_0$ の零因子でないので $d(A'/(x)) \leq d(A') - 1 \leq d(A) - 1$（第6章のアルティン–リースの補題を使う）。$A'/(x)$ には長さ $r - 1$ の鎖があるので、帰納法の仮定より $r - 1 \leq d(A) - 1$。(iii) $\delta(A) \leq \dim A$ は定理 5.9。詳しくは [Atiyah–Macdonald] 第11章を参照。$\square$

$\chi_{\mathfrak{m}}(n)$ の最高次係数を $e/d!$ と書いたときの整数 $e = e(A)$ を $A$ の重複度 (multiplicity) という。

例 5.12 (1) $A = K[x, y]_{(x, y)}$ では $\ell(A/\mathfrak{m}^n) = n(n+1)/2$（次数 $< n$ の単項式の個数）で、次数 $2$、重複度 $1$。 (2) 尖点 $A = K[x, y]_{(x, y)}/(f)$, $f = y^2 - x^3$ では、$A/\mathfrak{m}^n \cong K[x, y]/((x, y)^n + (f))$。$\mathfrak{n} = (x, y)$ とおくと $((f) + \mathfrak{n}^n)/\mathfrak{n}^n \cong K[x, y]/\mathfrak{n}^{n-2}$（$g \mapsto fg$ による。$fg \in \mathfrak{n}^n \iff g \in \mathfrak{n}^{n-2}$：$f$ の最低次部分 $y^2$ と $g$ の最低次部分の積が $0$ にならないため）なので、$n \geq 2$ で

次数 $1$（$= \dim A$）で重複度 $2$。尖点は「2 重の点」である。一般に滑らかな曲線上の点では $\ell(A/\mathfrak{m}^n) = n$（第7章の離散付値環）で、重複度は $1$ である。

5.5 体上有限生成な整域の次元

補題 5.13 $A$ を体 $K$ 上有限生成な整域、$\mathfrak{p} \neq 0$ を素イデアルとすると、$\operatorname{trdeg}_K (A/\mathfrak{p}) < \operatorname{trdeg}_K A$（整域の超越次数は分数体の超越次数とする）。

証明. $d = \operatorname{trdeg}_K A$。$A/\mathfrak{p}$ の元 $\bar{a}_1, \dots, \bar{a}_e$ が代数的に独立なら持ち上げ $a_1, \dots, a_e$ も独立なので $e \leq d$。$e = d$ と仮定すると、$\operatorname{Frac} A$ は $K(a_1, \dots, a_d)$ 上代数的である。$0 \neq p \in \mathfrak{p}$ の関係式 $c_0 p^n + \cdots + c_{n-1} p + c_n = 0$（$c_i \in K[a_1, \dots, a_d]$）を $n$ 最小にとると、整域なので $c_n \neq 0$。すると $c_n = -p(\cdots) \in \mathfrak{p}$ で、$c_n = g(a_1, \dots, a_d)$（$g \neq 0$）から $g(\bar{a}_1, \dots, \bar{a}_d) = 0$ となり独立性に反する。$\square$

定理 5.14 $A$ を体 $K$ 上有限生成な整域とすると $\dim A = \operatorname{trdeg}_K \operatorname{Frac} A$。

証明. $d = \operatorname{trdeg}_K A$。鎖 $0 = \mathfrak{p}_0 \subsetneq \mathfrak{p}_1 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_m$ があれば、補題 5.13 を $A/\mathfrak{p}_i$ と素イデアル $\mathfrak{p}_{i+1}/\mathfrak{p}_i \neq 0$ に繰り返し使って $0 \leq \operatorname{trdeg}(A/\mathfrak{p}_m) \leq d - m$、よって $m \leq d$（$\mathfrak{p}_0 \neq 0$ の鎖は先頭に $0$ を加えればよい）。逆にネーターの正規化定理（定理 4.19）により $A$ は $K[y_1, \dots, y_d]$ 上整で（$\operatorname{Frac} A$ は $K(y_1, \dots, y_d)$ 上代数的なので $y$ の個数は $d$）、系 4.16 より $\dim A = \dim K[y_1, \dots, y_d] \geq d$（例 5.2 (3)）。$\square$

系 5.15 $\dim K[x_1, \dots, x_n] = n$。

定理 5.16（主張のみ）$A$ を体上有限生成な整域とすると、$A$ の極大な素イデアルの鎖はすべて長さ $\dim A$ をもち、任意の素イデアル $\mathfrak{p}$ について $\operatorname{ht}\mathfrak{p} + \dim A/\mathfrak{p} = \dim A$。特にすべての極大イデアルの高さは $\dim A$ に等しい。

証明は正規化定理と下降定理（定理 4.18）を組み合わせて行う（[Atiyah–Macdonald] 第11章、[松村] を参照）。幾何的には、既約多様体はどの点でも同じ次元をもち、部分多様体の次元と余次元の和は全体の次元になる。

例 5.17 尖点 $K[x, y]/(y^2 - x^3) \cong K[t^2, t^3]$ は超越次数 $1$ で $\dim = 1$。錐 $K[x, y, z]/(xy - z^2)$ は $\dim = 2$。$K[x, y, z]/(xy, xz)$ は整域でなく、平面成分（次元 $2$）と直線成分（次元 $1$）をもつので、極大イデアルの高さが点によって異なる（問題 5.1）。

例 5.18（有限生成性を外すと定理 5.16 は失敗する）$R = K[x]_{(x)}$、$A = R[y]$ とする。$\mathfrak{m} = (1 - xy)$ について $A/\mathfrak{m} \cong R[1/x] = K(x)$ は体なので $\mathfrak{m}$ は極大で、定理 5.3 より $\operatorname{ht}\mathfrak{m} = 1$。一方 $0 \subsetneq (x) \subsetneq (x, y)$ より $\dim A \geq 2$。よって $\operatorname{ht}\mathfrak{m} + \dim A/\mathfrak{m} = 1 < \dim A$。$A$ はネーター整域だが、体上有限生成ではない。

5.6 正則局所環と特異点

系 5.6 の不等式 $\dim A \leq \dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ で等号が成り立つ点が「滑らかな点」である。$\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ は余接空間、その双対はザリスキー接空間とよばれる。

定義 5.19（正則局所環, regular local ring）ネーター局所環 $(A, \mathfrak{m}, k)$ について $\operatorname{edim} A := \dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ を埋め込み次元 (embedding dimension) という。$\operatorname{edim} A = \dim A$、すなわち $\mathfrak{m}$ が $\dim A$ 個の元で生成されるとき、$A$ を正則局所環という。多様体（有限型 $K$ 代数）の点で局所環が正則でないものを特異点 (singular point) という。

例 5.20 (1) 体。$\mathbb{Z}_{(p)}$, $K[x]_{(x)}$（$\dim 1$、$\mathfrak{m}$ は単項）。 (2) $A = K[x_1, \dots, x_n]_{(x_1, \dots, x_n)}$：鎖 $0 \subsetneq (x_1) \subsetneq \cdots$ より $\dim A \geq n$、$\mathfrak{m}$ は $n$ 元生成なので $\dim A = n = \operatorname{edim} A$。$K[[x_1, \dots, x_n]]$ も同様に正則。 (3) 正則でない例：$K[x]/(x^2)$（$\dim 0$, $\operatorname{edim} 1$）、尖点の原点（$\dim 1$, $\operatorname{edim} 2$、例 1.25）、錐 $xy = z^2$ の頂点（$\dim 2$, $\operatorname{edim} 3$）、$K[x, y]_{(x, y)}/(xy)$（$\dim 1$, $\operatorname{edim} 2$）。

定理 5.21（主張のみ）正則局所環は整域である。より精密に、$(A, \mathfrak{m}, k)$ が $d$ 次元正則局所環 $\iff$ $\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}} A \cong k[t_1, \dots, t_d]$（多項式環）。

証明は [Atiyah–Macdonald] 第11章を参照。$K[x, y]_{(x, y)}/(xy)$ が正則でないことはこの定理からもわかる（整域でない）。幾何的には、滑らかな点では 1 本の枝しか通らない。

具体的な多様体の特異点は、偏微分で判定できる。

命題 5.22（ヤコビアン判定法）$K$ を体、$A = K[x_1, \dots, x_n]/(f_1, \dots, f_r)$、$a = (a_1, \dots, a_n) \in K^n$ を $f_i(a) = 0$ $(\forall i)$ をみたす点、$\mathfrak{m}_a$ を対応する極大イデアルとする。

$$\dim_K \mathfrak{m}_a/\mathfrak{m}_a^2 = n - \operatorname{rank}\left( \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a) \right)_{i, j}$$

したがって $A_{\mathfrak{m}_a}$ が正則 $\iff$ ヤコビ行列の $a$ での階数が $n - \dim A_{\mathfrak{m}_a}$。

証明. $\mathfrak{n} = (x_1 - a_1, \dots, x_n - a_n)$、$J = (f_1, \dots, f_r)$ とすると $\mathfrak{m}_a/\mathfrak{m}_a^2 \cong \mathfrak{n}/(\mathfrak{n}^2 + J)$（$\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ は局所化しても変わらない）。$g \in \mathfrak{n}$ を $x_j - a_j$ の多項式に展開すると、1 次の係数は $\frac{\partial g}{\partial x_j}(a)$ なので、$d\colon \mathfrak{n} \to K^n$, $g \mapsto (\frac{\partial g}{\partial x_j}(a))_j$ は核 $\mathfrak{n}^2$ の全射で、$\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2 \cong K^n$。$d(hf_i) = h(a)\ d(f_i)$（$f_i(a) = 0$）より、$J$ の像はヤコビ行列の行ベクトルが張る空間である。$\square$

例 5.23 (1) 尖点 $f = y^2 - x^3$：$\operatorname{grad} f = (-3x^2, 2y)$ は曲線上で原点でのみ $0$ になる（標数 $2$ でも $3$ でも確かめられる）。$\dim A_{\mathfrak{m}} = 1$ なので特異点は原点だけ。 (2) 錐 $f = xy - z^2$（標数 $\neq 2$）：$\operatorname{grad} f = (y, x, -2z)$ は原点でのみ $0$。頂点だけが特異点。 (3) $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ は $(2, 1 + \sqrt{-3})$ で正則でない（問題 5.5）。数論的な「特異点」であり、正規でないこと（例 4.8 (2)）と対応している（第7章で、1 次元では正則 $\iff$ 正規となることを示す）。

まとめ

• クルル次元は素イデアルの鎖の最大長、高さは余次元。$\operatorname{ht}\mathfrak{p} + \dim A/\mathfrak{p} \leq \dim A$。
• 単項イデアル定理：$(x)$ 上極小な素イデアルの高さは $1$ 以下。高さ定理：$r$ 元生成なら $r$ 以下。ネーター局所環の次元は有限で $\operatorname{edim}$ 以下。
• ネーター局所環の次元は、パラメータ系の長さ（$\mathfrak{m}$ 準素イデアルの生成元の最小個数）、ヒルベルト–サミュエル多項式の次数と一致する。
• 体上有限生成な整域の次元は超越次数に等しく、$\dim K[x_1, \dots, x_n] = n$。有限生成性を外すと極大イデアルの高さがそろわない例がある。
• 正則局所環は $\mathfrak{m}$ が $\dim A$ 個で生成される局所環で、整域である。多様体の特異点はヤコビ行列の階数で判定できる。

演習問題