環と加群の基礎

この章の目標

• イデアルの和・積・商・根基を計算し、素スペクトル上の図形の演算との対応を理解する
• 冪零元根基が素イデアル全体の共通部分であることを証明し、ジャコブソン根基と局所環を扱える
• 行列式トリックと中山の補題を証明し、局所環上の加群の生成系の議論に使える
• テンソル積を構成して普遍性と右完全性を証明し、係数拡大・ファイバー・平坦性の計算に使える

前提：代数学 第5章（イデアル・素イデアル・極大イデアル）、代数学 第7章（加群・完全列）、線形代数 第4章（余因子行列）

この科目では、環はすべて可換で単位元 $1$ をもち、環準同型は $1$ を $1$ に写すとする。$A, B$ は環、$K$ は体を表す。

可換環論は代数幾何学と代数的整数論の共通の土台である。基本方針は、環 $A$ を「空間 $\operatorname{Spec} A$ 上の関数の環」とみなすことにある。$\mathbb{C}[x, y]$ の元は平面 $\mathbb{C}^2$ 上の多項式関数であり、整数 $12$ も「素数 $p$ での値 $12 \bmod p$」をもつ関数とみなせる。この見方では、イデアルは図形に、局所化は開集合への制限に、クルル次元は図形の次元に、正則局所環は特異点でない点に対応する。本章ではその準備として、イデアルの演算・局所環・中山の補題・テンソル積を扱う。

1.1 素スペクトルと元の「値」

定義 1.1（素スペクトル, prime spectrum）環 $A$ の素イデアル全体の集合を $\operatorname{Spec} A$ と書き、その元を点とよぶ。$\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} A$ に対し $\kappa(\mathfrak{p}) := \operatorname{Frac}(A/\mathfrak{p})$ を $\mathfrak{p}$ の剰余体 (residue field) といい、$f \in A$ の $\kappa(\mathfrak{p})$ への像を $f(\mathfrak{p})$ と書いて $f$ の $\mathfrak{p}$ での値とよぶ。イデアル $I$ に対し $V(I) := \lbrace \mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} A \mid \mathfrak{p} \supset I \rbrace$ とおく。

$f(\mathfrak{p}) = 0 \iff f \in \mathfrak{p}$ だから、$V(I)$ は「$I$ の元がすべて $0$ になる点の集合」、つまり $I$ の元を方程式とする図形である。$\operatorname{Spec} A$ の位相は第2章で入れる。

例 1.2 (1) $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ の点は $(0)$ と素数 $p$ に対する $(p)$ である。$12$ の $(p)$ での値は $12 \bmod p \in \mathbb{F}_p$、$(0)$ での値は $12 \in \mathbb{Q}$ で、$V((12)) = \lbrace (2), (3) \rbrace$ である。

(2) $K$ が代数閉体なら $K[x, y]$ の極大イデアルは $(x - a, y - b)$ の形に限る（第4章の零点定理）。$K[x, y]/\mathfrak{m} \cong K$ と同一視すれば $f(\mathfrak{m}) = f(a, b)$ である。$\operatorname{Spec} K[x, y]$ にはこのほか $(0)$ や、既約多項式 $g$ に対する $(g)$ という点がある（第2章）。点 $(g)$ は曲線 $g = 0$ 全体を代表する「ぼやけた点」である。

1.2 イデアルの演算

図形の交わりや和集合を方程式の側で計算するために、イデアルの演算を整理しておく。

定義 1.3 $I, J$ を $A$ のイデアルとする。和 $I + J$、共通部分 $I \cap J$、積 $IJ$（$ab$ $(a \in I, b \in J)$ で生成されるイデアル）のほか、次を定める。

• イデアル商 (ideal quotient) $(I : J) := \lbrace a \in A \mid aJ \subset I \rbrace$。特に $\operatorname{Ann}(J) := (0 : J)$ を零化イデアル (annihilator) という。
• 根基 (radical) $\sqrt{I} := \lbrace a \in A \mid a^n \in I \ (\exists n \geq 1) \rbrace$。$\sqrt{I} = I$ となる $I$ を根基イデアルという。

命題 1.4 (1) $\sqrt{I}$ はイデアルで、$\sqrt{\sqrt{I}} = \sqrt{I}$ である。 (2) $IJ \subset I \cap J$ であり、$I + J = A$ ならば $IJ = I \cap J$ である。

証明. (1) $a^m, b^n \in I$ なら、二項展開 $(a + b)^{m + n - 1} = \sum_k \binom{m+n-1}{k} a^k b^{m+n-1-k}$ の各項は $k \geq m$ または $m + n - 1 - k \geq n$ をみたすので $I$ に属する。$ra \in \sqrt{I}$ は明らか。$a^n \in \sqrt{I}$ なら $(a^n)^m \in I$ だから $a \in \sqrt{I}$。 (2) 前半は明らか。$1 = u + v$ $(u \in I, v \in J)$ とすると、$x \in I \cap J$ に対し $x = xu + xv \in JI + IJ = IJ$。$\square$

命題 1.5 (1) $V(I + J) = V(I) \cap V(J)$ (2) $V(IJ) = V(I \cap J) = V(I) \cup V(J)$ (3) $V(\sqrt{I}) = V(I)$ (4) $I \subset J$ ならば $V(I) \supset V(J)$。

証明. (1)(3)(4) は定義から直ちにわかる（(3) は素イデアルが $a^n$ を含めば $a$ も含むことによる）。(2) $IJ \subset I \cap J \subset I$ より $V(I) \cup V(J) \subset V(I \cap J) \subset V(IJ)$。$\mathfrak{p} \supset IJ$ かつ $\mathfrak{p} \not\supset I$ とし、$a \in I \setminus \mathfrak{p}$ をとる。任意の $b \in J$ で $ab \in \mathfrak{p}$ だから $b \in \mathfrak{p}$、すなわち $\mathfrak{p} \in V(J)$。$\square$

したがって「イデアルの和 ↔ 図形の交わり」「積・共通部分 ↔ 和集合」という辞書ができる。ただし $V$ は $I$ と $\sqrt{I}$ を区別しない。この「見えない部分」が可換環論の面白さの源である。

例 1.6 (1) $\mathbb{Z}$ では $(m) + (n) = (\gcd(m, n))$、$(m) \cap (n) = (\operatorname{lcm}(m, n))$、$((m) : (n)) = (m/\gcd(m, n))$ である。たとえば $(4) + (6) = (2)$、$(4)(6) = (24)$、$(4) \cap (6) = (12)$、$((4) : (6)) = (2)$、$\sqrt{(72)} = (6)$。

(2) $K[x, y]$ で $(x) \cap (y) = (xy)$（一意分解整域なので最小公倍元）、$(x) + (y) = (x, y)$。図形では「2 本の座標軸の和集合」と「原点」である。

(3) $I = (x^2, xy) = (x)(x, y)$ とすると $\sqrt{I} = (x)$ で、$V(I) = V((x))$ は $y$ 軸である。しかし $I \neq (x)$ であり、$(I : y) = (x)$、$(I : x) = (x, y)$ となる。$A/I$ の元 $\bar{x}$ は $0$ でないが $x$ にも $y$ にも零化される。つまり $\bar{x}$ は「原点にだけ存在する関数」であり、$I$ は $y$ 軸に原点で余分な構造が付着したものと見るべきである（第3章の埋没素イデアル）。

$\mathfrak{p}_1, \dots, \mathfrak{p}_n$ のどれにも含まれないイデアルは、それらの「和集合」にも含まれない。これは後の章で繰り返し使う。

補題 1.7（素イデアル回避, prime avoidance）$\mathfrak{p}_1, \dots, \mathfrak{p}_n$ を素イデアル、$I$ をイデアルとする。$I \subset \bigcup_{i=1}^n \mathfrak{p}_i$ ならば、ある $i$ で $I \subset \mathfrak{p}_i$ である。

証明. $n$ に関する帰納法。$n = 1$ は明らか。$n \geq 2$ で、どの $i$ についても $I \not\subset \mathfrak{p}_i$ と仮定する。帰納法の仮定より各 $i$ について $I \not\subset \bigcup_{j \neq i} \mathfrak{p}_j$ なので、$x_i \in I \setminus \bigcup_{j \neq i} \mathfrak{p}_j$ がとれ、$I \subset \bigcup \mathfrak{p}_j$ より $x_i \in \mathfrak{p}_i$ である。$y = x_1 + x_2 x_3 \cdots x_n \in I$ とおく。$i \geq 2$ なら $x_2 \cdots x_n \in \mathfrak{p}_i$, $x_1 \notin \mathfrak{p}_i$ より $y \notin \mathfrak{p}_i$。$i = 1$ なら $x_1 \in \mathfrak{p}_1$ で、$x_2, \dots, x_n \notin \mathfrak{p}_1$ と素性から $x_2 \cdots x_n \notin \mathfrak{p}_1$、よって $y \notin \mathfrak{p}_1$。これは $I \subset \bigcup \mathfrak{p}_i$ に反する。$\square$

幾何的には「$V(I)$ が有限個の点 $\mathfrak{p}_i$ のどれも含まないなら、それらすべてで値が $0$ でない $f \in I$ がある」ということである。

注意 1.8 無限個では成り立たない。$A = K[x, y]$、$\mathfrak{m} = (x, y)$ とする。$f \in \mathfrak{m}$ は $\mathfrak{m}$ に属する既約因子 $g$ をもつので $f \in (g) \subset \mathfrak{m}$。よって $\mathfrak{m}$ は $\mathfrak{m}$ に含まれる単項素イデアル $(g)$ 全体の和集合に含まれるが、どの $(g)$ にも含まれない。原点は原点を通る無数の曲線で覆われる、ということである。

1.3 冪零元根基とジャコブソン根基

定理 1.9 $A$ の冪零元全体 $\operatorname{nil}(A) := \sqrt{(0)}$ を冪零元根基 (nilradical) という。

$$\operatorname{nil}(A) = \bigcap_{\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} A} \mathfrak{p}$$

証明. $f^n = 0$ なら任意の素イデアル $\mathfrak{p}$ について $f^n \in \mathfrak{p}$ より $f \in \mathfrak{p}$。逆に $f$ が冪零でないとし、$S = \lbrace 1, f, f^2, \dots \rbrace$ とおくと $0 \notin S$。$S$ と交わらないイデアル全体 $\Sigma$ は $(0)$ を含み、包含に関する鎖の和集合はまた $\Sigma$ に属するので、ツォルンの補題により極大元 $\mathfrak{p}$ をもつ。$1 \in S$ より $\mathfrak{p} \neq A$。$a, b \notin \mathfrak{p}$ とすると、極大性より $\mathfrak{p} + (a)$, $\mathfrak{p} + (b)$ は $S$ と交わり、$f^m = p_1 + ra$, $f^n = p_2 + sb$ $(p_i \in \mathfrak{p})$ と書ける。積をとると $f^{m+n} \in \mathfrak{p} + (ab)$ なので $\mathfrak{p} + (ab) \notin \Sigma$、よって $ab \notin \mathfrak{p}$。ゆえに $\mathfrak{p}$ は $f$ を含まない素イデアルである。$\square$

系 1.10 $\sqrt{I} = \bigcap_{\mathfrak{p} \supset I} \mathfrak{p}$。

証明. $A/I$ に定理 1.9 を適用し、$A/I$ の素イデアルと $I$ を含む $A$ の素イデアルの対応を使う。$\square$

幾何的には、$f$ が冪零 ⇔ $f$ が $\operatorname{Spec} A$ のすべての点で値 $0$ である。冪零元は「どの点でも 0 だが 0 ではない関数」である。

例 1.11 (1) $A = K[x]/(x^2)$ の素イデアルは $(\bar{x})$ だけで、$\bar{x} \neq 0$ はその点で値 $0$ をとる。$A$ は「接ベクトルの方向に無限小の広がりをもつ点」（二重点）とみなせる。 (2) $\mathbb{Z}/12$ の素イデアルは $(2), (3)$ で、$\operatorname{nil}(\mathbb{Z}/12) = (6)/(12)$。 (3) $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]/(2) \cong \mathbb{F}_2[x]/(x^2 + 1) = \mathbb{F}_2[x]/((x + 1)^2)$ では $1 + \sqrt{-5}$ の像が冪零である。これは素数 $2$ の「分岐」の現れである（例 1.35、第7章）。

定義 1.12 $\operatorname{nil}(A) = 0$ のとき $A$ は被約 (reduced) であるという。$A_{\mathrm{red}} := A/\operatorname{nil}(A)$ とおく。極大イデアル全体の共通部分 $\operatorname{rad}(A)$ をジャコブソン根基 (Jacobson radical) という。

命題 1.13 $x \in \operatorname{rad}(A) \iff$ 任意の $y \in A$ に対し $1 - xy \in A^\times$。

証明. ($\Rightarrow$) $1 - xy$ が単元でなければ、ある極大イデアル $\mathfrak{m}$ に含まれる（代数学 第5章 定理 5.20）。$x \in \mathfrak{m}$ なので $1 \in \mathfrak{m}$ となり矛盾。($\Leftarrow$) ある極大イデアル $\mathfrak{m}$ で $x \notin \mathfrak{m}$ なら $\mathfrak{m} + (x) = A$ で、$1 = u + xy$ $(u \in \mathfrak{m})$ と書ける。$1 - xy = u$ は単元でない。$\square$

例 1.14 $\operatorname{rad}(\mathbb{Z}) = \bigcap_p (p) = 0$、$\operatorname{rad}(K[x]) = 0$、$\operatorname{rad}(\mathbb{Z}/12) = (6)/(12)$。一方、形式的べき級数環 $K[[x]]$ では $\operatorname{nil} = 0$ だが $\operatorname{rad} = (x)$ である。幾何的には $\operatorname{rad}(A)$ は「すべての閉点（極大イデアル）で $0$ になる関数」であり、閉点でない点を見落としうる。体上有限生成な代数では $\operatorname{nil} = \operatorname{rad}$ となる（第4章）。

1.4 局所環

1 点の近くだけを見るための環が局所環である。

定義 1.15（局所環, local ring）極大イデアルをただ一つもつ環を局所環という。極大イデアル $\mathfrak{m}$、剰余体 $k = A/\mathfrak{m}$ を明示して $(A, \mathfrak{m}, k)$ と書く。

命題 1.16 (1) $A$ が局所環 $\iff$ 非単元全体がイデアルをなす。 (2) 極大イデアル $\mathfrak{m}$ が $1 + \mathfrak{m} \subset A^\times$ をみたせば、$A$ は $\mathfrak{m}$ を極大イデアルとする局所環である。

証明. (1) 非単元全体 $\mathfrak{m}$ がイデアルなら、真のイデアルは非単元からなるので $\mathfrak{m}$ に含まれ、$\mathfrak{m}$ が唯一の極大イデアルである。逆に局所環の非単元 $x$ は $(x) \neq A$ より唯一の極大イデアルに含まれる。(2) $x \notin \mathfrak{m}$ なら $1 = xy + m$ $(m \in \mathfrak{m})$ と書け、$xy = 1 - m$ は単元なので $x$ も単元。よって非単元全体は $\mathfrak{m}$ に一致し (1) が使える。$\square$

例 1.17 体、$K[[x]]$（単元は定数項が $0$ でない元）、$\mathbb{Z}_{(p)} := \lbrace a/b \in \mathbb{Q} \mid p \nmid b \rbrace$、$\mathbb{Z}/p^n$、$K[x]/(x^n)$ は局所環である。$K[x]_{(x)} := \lbrace f/g \mid f, g \in K[x], g(0) \neq 0 \rbrace$ は「原点の近くで定義された有理関数」の環で、極大イデアルは原点で $0$ になる関数全体である。$\mathbb{Z}$, $K[x]$, $K \times K$ は局所環でない。第2章の局所化により、任意の環の任意の点から局所環 $A_{\mathfrak{p}}$ が作られる。

1.5 有限生成加群と有限表示加群

定義 1.18 $A$ 加群 $M$ が有限生成 (finitely generated) とは、全射 $A^n \to M$ が存在することをいう。完全列 $A^m \to A^n \to M \to 0$ が存在するとき有限表示 (finitely presented) という。

完全列・分裂などの基本事項は 代数学 第7章 による。有限表示加群は「有限個の生成元と有限個の関係式」で決まる加群である。ネーター環上では有限生成加群は有限表示である（第3章）が、一般には異なる（問題 1.5）。また $\mathbb{Q}$ は有限生成 $\mathbb{Z}$ 加群でない。有限個の元 $a_i/b_i$ で生成される部分加群の元の分母は $b_1 \cdots b_n$ を割るからである。

1.6 行列式トリックと中山の補題

線形代数のケーリー–ハミルトンの定理は、有限生成加群の自己準同型に一般化される。

命題 1.19（行列式トリック, determinant trick）$M$ を $n$ 個の元で生成される $A$ 加群、$I$ をイデアル、$\varphi\colon M \to M$ を $\varphi(M) \subset IM$ をみたす $A$ 準同型とする。このとき $a_i \in I^i$ が存在して

$$\varphi^n + a_1 \varphi^{n-1} + \cdots + a_{n-1}\varphi + a_n = 0$$

証明. 生成元を $x_1, \dots, x_n$ とし、$\varphi(x_i) = \sum_j a_{ij} x_j$ $(a_{ij} \in I)$ と書く。$M$ を $t$ が $\varphi$ として作用する $A[t]$ 加群とみると $\sum_j (\delta_{ij} t - a_{ij}) x_j = 0$ である。可換環 $A[t]$ 上の行列 $P = (\delta_{ij} t - a_{ij})$ に左から余因子行列 $\operatorname{adj} P$ を掛けると、$(\operatorname{adj} P) P = (\det P) E$（線形代数 第4章 定理 4.28 の等式は成分の多項式恒等式なので任意の可換環上で成り立つ）より $(\det P) x_j = 0$ がすべての $j$ で成り立ち、$\det P$ は $M$ を零化する。$\det P = t^n + a_1 t^{n-1} + \cdots + a_n$ の $a_i$ は $(a_{kl})$ の $i$ 次主小行列式の和の $\pm 1$ 倍なので $I^i$ に属する。$\square$

系 1.20 $M$ が有限生成で $IM = M$ ならば、$a \equiv 1 \pmod{I}$ かつ $aM = 0$ となる $a \in A$ が存在する。

証明. $\varphi = \mathrm{id}_M$ に命題 1.19 を適用し、$a = 1 + a_1 + \cdots + a_n$ とおく。$\square$

定理 1.21（中山の補題, Nakayama's lemma）$M$ を有限生成 $A$ 加群、$I \subset \operatorname{rad}(A)$ をイデアルとする。$IM = M$ ならば $M = 0$ である。

証明. 系 1.20 の $a$ は $a = 1 - x$ $(x \in I \subset \operatorname{rad}(A))$ の形なので、命題 1.13 より単元である。$aM = 0$ より $M = 0$。$\square$

系 1.22 $M$ を有限生成、$N \subset M$ を部分加群、$I \subset \operatorname{rad}(A)$ とする。$M = N + IM$ ならば $M = N$。

証明. $M/N$ は有限生成で $I(M/N) = (IM + N)/N = M/N$ なので、定理 1.21 より $M/N = 0$。$\square$

系 1.23 $(A, \mathfrak{m}, k)$ を局所環、$M$ を有限生成 $A$ 加群とする。$x_1, \dots, x_n \in M$ が $M$ を生成するための必要十分条件は、その像が $k$ ベクトル空間 $M/\mathfrak{m}M$ を張ることである。特に $M$ の生成元の最小個数は $\dim_k M/\mathfrak{m}M$ に等しく、極小な生成系はすべてこの個数の元からなる。

証明. 必要性は明らか。像が $M/\mathfrak{m}M$ を張れば、$N = \sum A x_i$ について $M = N + \mathfrak{m}M$ なので系 1.22 より $M = N$。後半：生成系の像は $M/\mathfrak{m}M$ を張るので個数は $\dim_k M/\mathfrak{m}M$ 以上。極小な生成系の像が一次従属なら、ある元を除いても像はなお $M/\mathfrak{m}M$ を張り、前半より残りが $M$ を生成して極小性に反する。よって像は基底をなす。$\square$

$M/\mathfrak{m}M = M \otimes_A k$（命題 1.28）は $M$ の閉点でのファイバーである。中山の補題は「ファイバーが 0 なら（その点の近くで）加群自体が 0」「ファイバーの基底は生成系に持ち上がる」と読める。

例 1.24（仮定を外すと失敗する）(1) 有限生成性：$A = \mathbb{Z}_{(p)}$, $M = \mathbb{Q}$ では $pM = M$ だが $M \neq 0$。 (2) $I \subset \operatorname{rad}(A)$：$A = \mathbb{Z}$, $I = (2)$, $M = \mathbb{Z}/3$ では $2M = M \neq 0$（系 1.20 の $a$ としては $a = 3$ がとれる）。 (3) 局所性：$\mathbb{Z} = (1) = (2, 3)$ はどちらも極小な生成系だが個数が異なる。系 1.23 は局所環でないと成り立たない。

例 1.25（尖点の余接空間）$A = K[x, y]/(y^2 - x^3)$ は尖点 (cusp) をもつ曲線の座標環である。原点に対応する極大イデアル $\mathfrak{m} = (x, y)/(y^2 - x^3)$ について、$y^2 - x^3 \in (x, y)^2$ だから $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 \cong (x, y)/(x, y)^2$ は $\bar{x}, \bar{y}$ を基底とする 2 次元空間である。一方、点 $(1, 1)$ では $\mathfrak{n} = (x - 1, y - 1)$ とおくと

であり、$2$ と $3$ が同時に $0$ になる体はないので、$\mathfrak{m}_{(1,1)}/\mathfrak{m}_{(1,1)}^2 \cong \mathfrak{n}/(\mathfrak{n}^2 + (y^2 - x^3))$ は 1 次元である。系 1.23 を第2章の局所環 $A_{\mathfrak{m}}$ に適用すると、原点での局所環の極大イデアルの生成元の最小個数は 2、点 $(1,1)$ での局所環では 1 である（局所化する前の $A$ のイデアル $\mathfrak{m}_{(1,1)}$ 自身は単項ではない。「1 個で生成される」のは点の近くだけを見たときの話である）。曲線は 1 次元なので、原点は「余分な方向」をもつ特異点である（第5章）。

1.7 テンソル積

双線形写像を線形写像として扱うための道具がテンソル積である。係数の取り替えやファイバーの計算もすべてテンソル積で書ける。

定理 1.26（テンソル積の存在と普遍性）$A$ 加群 $M, N$ に対し、$A$ 加群 $M \otimes_A N$ と双線形写像 $\beta\colon M \times N \to M \otimes_A N$, $(x, y) \mapsto x \otimes y$ の組で、次の普遍性をもつものが存在する：任意の $A$ 加群 $P$ と双線形写像 $f\colon M \times N \to P$ に対し、$\tilde{f} \circ \beta = f$ となる $A$ 準同型 $\tilde{f}\colon M \otimes_A N \to P$ がただ一つ存在する。この組は同型を除いて一意的である。

証明. $M \times N$ の元 $(x, y)$ を基底とする自由加群 $F$ をとり、基底の元を $[x, y]$ と書く。$[x + x', y] - [x, y] - [x', y]$、$[x, y + y'] - [x, y] - [x, y']$、$[ax, y] - a[x, y]$、$[x, ay] - a[x, y]$ の形の元全体で生成される部分加群を $R$ とし、$M \otimes_A N := F/R$、$x \otimes y := [x, y] \bmod R$ とおく。$R$ の定義から $\beta$ は双線形である。双線形写像 $f$ に対し、$[x, y] \mapsto f(x, y)$ で定まる $F \to P$ は $f$ の双線形性より $R$ を $0$ に写すので、$\tilde{f}$ を誘導する。$M \otimes_A N$ は $x \otimes y$ たちで生成されるので $\tilde{f}$ は一意である。一意性は普遍性の標準的な議論（圏論 第2章）による。$\square$

$M \otimes_A N$ の元は有限和 $\sum x_i \otimes y_i$ で書けるが、一般に 1 つの $x \otimes y$ の形（純テンソル）にはならない。

命題 1.27 次の自然な同型がある：$A \otimes_A M \cong M$、$M \otimes N \cong N \otimes M$、$(M \otimes N) \otimes P \cong M \otimes (N \otimes P)$、$(\bigoplus_i M_i) \otimes N \cong \bigoplus_i (M_i \otimes N)$。特に $A^m \otimes_A A^n \cong A^{mn}$。

証明. いずれも普遍性から写像を両方向に作り、生成元 $x \otimes y$ 上で互いに逆であることを確かめればよい。たとえば $A \times M \to M$, $(a, x) \mapsto ax$ は双線形なので $A \otimes M \to M$ を誘導し、$x \mapsto 1 \otimes x$ がその逆である（$a \otimes x = 1 \otimes ax$ による）。$\square$

命題 1.28 イデアル $I$ に対し $A/I \otimes_A M \cong M/IM$（$\bar{a} \otimes x \mapsto \overline{ax}$）。

証明. $(\bar{a}, x) \mapsto \overline{ax}$ は well-defined な双線形写像なので $\alpha\colon A/I \otimes M \to M/IM$ を誘導する。逆向きに $\bar{x} \mapsto \bar{1} \otimes x$ を考える。$x = \sum a_i y_i$ $(a_i \in I)$ なら $\bar{1} \otimes x = \sum \bar{a_i} \otimes y_i = 0$ なので well-defined であり、$\alpha$ の逆写像になる（$\bar{a} \otimes x = \bar{1} \otimes ax$ に注意）。$\square$

例 1.29 (1) $\mathbb{Z}/m \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/n \cong (\mathbb{Z}/n)/m(\mathbb{Z}/n) \cong \mathbb{Z}/\gcd(m, n)$。 (2) $\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/n = 0$：$q \otimes \bar{a} = (q/n) \otimes n\bar{a} = 0$。 (3) $K[x] \otimes_K K[y] \cong K[x, y]$（$f \otimes g \mapsto fg$）。幾何的には直線と直線の直積が平面である。 (4) 素イデアル $\mathfrak{p}$ に対し $M \otimes_A \kappa(\mathfrak{p})$ を $M$ の $\mathfrak{p}$ でのファイバーという。$\kappa(\mathfrak{p})$ 上のベクトル空間である。

定理 1.30（右完全性）$M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M'' \to 0$ が完全ならば、任意の $N$ に対し次も完全である。

$$M' \otimes N \xrightarrow{f \otimes 1} M \otimes N \xrightarrow{g \otimes 1} M'' \otimes N \to 0$$

証明. $g$ は全射なので、生成元 $x'' \otimes y$ は $g(x) = x''$ となる $x$ により $x \otimes y$ の像になり、$g \otimes 1$ は全射。$(g \otimes 1)(f \otimes 1) = gf \otimes 1 = 0$ より $E := \operatorname{Im}(f \otimes 1) \subset \operatorname{Ker}(g \otimes 1)$ で、$g \otimes 1$ は $\bar{g}\colon (M \otimes N)/E \to M'' \otimes N$ を誘導する。$\bar{g}$ が単射であることを示せばよい。写像 $M'' \times N \to (M \otimes N)/E$ を $(x'', y) \mapsto [x \otimes y]$（$g(x) = x''$）で定める。$g(x_1) = g(x_2)$ なら $x_1 - x_2 = f(x')$ となる $x'$ があり $(x_1 - x_2) \otimes y \in E$ なので、これは well-defined で双線形である。誘導される $\psi\colon M'' \otimes N \to (M \otimes N)/E$ は $\psi \bar{g}([x \otimes y]) = [x \otimes y]$ をみたし、生成元上で $\psi \circ \bar{g} = \mathrm{id}$。よって $\bar{g}$ は単射である。$\square$

例 1.31（左完全でない）$0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{2} \mathbb{Z}$ に $\otimes \mathbb{Z}/2$ をほどこすと $\mathbb{Z}/2 \xrightarrow{0} \mathbb{Z}/2$ となり単射でない。この失敗を測るのが $\operatorname{Tor}$ である（圏論 第5章）。右完全性は、$\otimes N$ が $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ の左随伴であることからも従う（圏論 第3章）。

1.8 代数と係数拡大

定義 1.32 環準同型 $\varphi\colon A \to B$ があるとき $B$ を $A$ 代数 (algebra) という。$B = A[b_1, \dots, b_n]$（$A$ 上の多項式環の剰余環）と書けるとき有限型 (of finite type)、$B$ が $A$ 加群として有限生成のとき有限 (finite) という。有限なら有限型である。

例 1.33 (1) $A = K[x, y]/(y^2 - x^3)$ は $K$ 上有限型で、$K[x]$ 上では $1, \bar{y}$ を基底とする自由加群なので有限である（$y^2 - x^3$ は $y$ についてモニックだから割り算ができる）。さらに $x \mapsto t^2$, $y \mapsto t^3$ で $A \cong K[t^2, t^3] \subset K[t]$ となる。実際、$A$ の元は $p(x) + q(x)y$ と書け、その像 $p(t^2) + q(t^2)t^3$ は偶数次と奇数次の部分に分かれるので、$0$ になるのは $p = q = 0$ のときに限る。尖点は直線の像 $t \mapsto (t^2, t^3)$ である。 (2) $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \cong \mathbb{Z}[x]/(x^2 + 5)$ は $\mathbb{Z}$ 上有限（基底 $1, \sqrt{-5}$）。 (3) $K[x]$ は $K$ 上有限型だが有限でない。$\mathbb{Q}$ は $\mathbb{Z}$ 上有限型でない。$\mathbb{Q} = \mathbb{Z}[a_1/b, \dots, a_n/b]$ なら $\mathbb{Q}$ の元の分母は $b$ のべきになるが、$b$ を割らない素数 $p$ について $1/p$ はそうならない。

命題 1.34（係数拡大, base change）$A \to B$ を環準同型、$M$ を $A$ 加群とすると、$M_B := B \otimes_A M$ は $b(b' \otimes x) = bb' \otimes x$ により $B$ 加群になる。$B \otimes_A A^n \cong B^n$、$B \otimes_A A/I \cong B/IB$、$B \otimes_A A[x]/(f) \cong B[x]/(f)$ である（最後の式の右辺の $f$ は係数を $B$ に写したもの）。

証明. 1 番目は命題 1.27、2 番目は命題 1.28 と $I \cdot B = IB$ による。3 番目は $B \otimes_A A[x] \cong B[x]$（$A[x] \cong \bigoplus_n A x^n$ と命題 1.27）と右完全性（定理 1.30）を完全列 $A[x] \xrightarrow{f} A[x] \to A[x]/(f) \to 0$ に適用して得られる。$\square$

例 1.35（$\operatorname{Spec} \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \to \operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ のファイバー）素数 $p$ 上のファイバーは $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \otimes \mathbb{F}_p \cong \mathbb{F}_p[x]/(x^2 + 5)$ で、その素イデアルは $x^2 + 5$ の $\mathbb{F}_p$ 上の既約因子に対応し、$p$ を含む $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ の素イデアル（$p$ の上にある点）と 1 対 1 に対応する。

$\operatorname{Spec} \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ は $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ の「$2$ と $5$ で分岐する 2 重被覆」のように見える。同様に $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \cong \mathbb{C}[x]/(x^2 + 1) = \mathbb{C}[x]/((x - i)(x + i)) \cong \mathbb{C} \times \mathbb{C}$（中国剰余定理）であり、実数体上の 1 点が $\mathbb{C}$ 上では 2 点に分かれる。

1.9 平坦加群

テンソル積は単射を保たない。単射を保つ加群が平坦加群であり、幾何的には「ファイバーが連続的に変化する族」を表す。

定義 1.36（平坦, flat）$A$ 加群 $M$ が平坦とは、任意の単射 $N' \to N$ に対し $N' \otimes_A M \to N \otimes_A M$ が単射であることをいう。定理 1.30 より、これは $- \otimes_A M$ が完全列を完全列に写すことと同値である。

命題 1.37 平坦加群の直和・直和因子は平坦である。特に自由加群と射影加群は平坦である。

証明. 命題 1.27 より $N \otimes (\bigoplus M_i) \cong \bigoplus (N \otimes M_i)$ であり、準同型の直和が単射であることと各成分が単射であることは同値である。$A$ は $A \otimes N \cong N$ より平坦。射影加群は自由加群の直和因子である。$\square$

例 1.38 $\mathbb{Z}/n$ $(n \geq 2)$ は平坦な $\mathbb{Z}$ 加群でない（例 1.31 で $\mathbb{Z}/2$）。一般に $A/I$ は平坦とは限らない。$\mathbb{Q}$ は平坦な $\mathbb{Z}$ 加群である（第2章：局所化は平坦）が、自由加群ではない。

定理 1.39（主張のみ）単項イデアル整域上の加群が平坦であるための必要十分条件は、捩れをもたないことである。特に捩れのない $\mathbb{Z}$ 加群は平坦である。

証明の方針だけ述べる。$M$ を捩れのない加群とすると、その有限生成部分加群は捩れのない有限生成加群なので自由であり（代数学 第7章 定理 7.16）、したがって平坦である（命題 1.37）。単射 $N' \to N$ と、$N \otimes M$ で $0$ になる $u \in N' \otimes M$ をとる。$u$ に現れる $M$ の元と、「$N \otimes M$ で $0$ になる」ことを示す有限個の関係式に現れる $M$ の元で生成される有限生成部分加群 $M_0$ を考えると、$u$ は $N \otimes M_0$ ですでに $0$ になる $u_0 \in N' \otimes M_0$ の像である。$M_0$ は平坦なので $u_0 = 0$、よって $u = 0$。逆に平坦なら、非零元 $a$ による乗法 $A \xrightarrow{a} A$ の単射性が $M$ 上に遺伝する。

例 1.40（平坦性の幾何）$A = K[x]$ とし、$K$ は標数 $2$ でない代数閉体とする。 (1) $B = K[x, y]/(y^2 - x)$ は $A$ 上 $1, y$ を基底とする自由加群なので平坦である。$x = a$ 上のファイバー $B/(x - a)B = K[y]/(y^2 - a)$ は、$a \neq 0$ なら 2 点、$a = 0$ なら二重点 $K[y]/(y^2)$ で、いずれも $K$ 上 2 次元である。「重複度を込めた点の個数が一定」なのが平坦な族の特徴である。 (2) $C = K[x, y]/(xy)$ では、$a \neq 0$ 上のファイバーは $K[y]/(ay) \cong K$（1 点）だが、$a = 0$ 上は $K[y]$（直線全体）である。実際 $C$ は平坦でない：$A \xrightarrow{x} A$ は単射だが、$\otimes_A C$ をほどこした $C \xrightarrow{x} C$ は $xy = 0$ より単射でない。