完備化

この章の目標

• $I$ 進位相と射影極限による完備化を定義し、$\mathbb{Z}_p$ や形式的べき級数環を完備化として理解する
• アルティン–リースの補題とクルルの交叉定理を証明し、仮定を外した反例を挙げられる
• 有限生成加群上での完備化の完全性と、$\hat{A}$ の平坦性を証明する
• ヘンゼルの補題を証明して $p$ 進数やべき級数での方程式の解の存在に使い、完備化が「解析的な局所構造」を表すことを理解する

前提：第1章〜第5章、圏論 第2章（射影極限）

局所化 $A_{\mathfrak{m}}$ は「点のいくらでも小さい近傍」を表すが、ザリスキー位相の開集合は大きく、局所環は点の近くの形を十分には反映しない。たとえば結節点 $y^2 = x^2(x + 1)$ は原点で 2 本の枝が交わっているのに、原点での局所環は整域であり、2 本の枝を分離できない。解析学ならば、原点のまわりで $y = \pm x\sqrt{1 + x}$ とべき級数で書いて枝を分けるだろう。この「べき級数展開」を代数的に行う操作が完備化である。完備化はテイラー展開・$p$ 進展開の一般化であり、ヘンゼルの補題（代数版の陰関数定理）により方程式を逐次近似で解くことを可能にする。

6.1 $I$ 進位相と完備化

定義 6.1 $I$ を $A$ のイデアル、$M$ を $A$ 加群とする。$\lbrace x + I^nM \rbrace_{x \in M, n \geq 0}$ を開基とする $M$ の位相を $I$ 進位相 (I-adic topology) という。この位相がハウスドルフであることは $\bigcap_n I^nM = 0$ と同値である。

$x_k - x_l \in I^nM$ $(k, l \geq N(n))$ なる列がコーシー列で、$I$ 進位相では「$I$ の高いべきで割り切れる差は小さい」。

定義 6.2（完備化, completion）$\hat{M} := \varprojlim_n M/I^nM$（射影極限）を $M$ の $I$ 進完備化という。自然な写像 $M \to \hat{M}$ が同型のとき $M$ は $I$ 進完備であるという。$\hat{A}$ は環、$\hat{M}$ は $\hat{A}$ 加群になる。

$\hat{M}$ の元は、$x_n \in M/I^nM$ で $x_{n+1} \mapsto x_n$ をみたす列 $(x_n)$ であり、コーシー列の極限と同一視できる。$M \to \hat{M}$ の核は $\bigcap_n I^nM$ である。

例 6.3 (1) $\mathbb{Z}$ の $(p)$ 進完備化 $\mathbb{Z}_p = \varprojlim \mathbb{Z}/p^n$ は $p$ 進整数環である。その元は $\sum_{k \geq 0} a_k p^k$ $(0 \leq a_k < p)$ と一意に展開される。$\mathbb{Z}_{(p)}/p^n\mathbb{Z}_{(p)} \cong \mathbb{Z}/p^n$ なので、局所環 $\mathbb{Z}_{(p)}$ の完備化も $\mathbb{Z}_p$ である（代数的整数論 第5章）。 (2) $K[x]$ の $(x)$ 進完備化は $\varprojlim K[x]/(x^n) = K[[x]]$ で、元はテイラー展開 $\sum a_k x^k$ である。同様に $K[x_1, \dots, x_n]$ の $(x_1, \dots, x_n)$ 進完備化は $K[[x_1, \dots, x_n]]$。 (3) $K[x]$ の $(x - a)$ 進完備化は $K[[x - a]]$ で、多項式の点 $a$ でのテイラー展開に対応する。

命題 6.4 $A$ が $I$ 進完備ならば $1 + I \subset A^\times$、すなわち $I \subset \operatorname{rad}(A)$。特に、局所環 $(A, \mathfrak{m})$ の $\mathfrak{m}$ 進完備化 $\hat{A}$ は局所環である（ネーターなら極大イデアルは $\mathfrak{m}\hat{A}$）。

証明. $x \in I$ なら部分和 $\sum_{k < n} x^k$ は $I$ 進コーシー列で、その極限 $s$ は $(1 - x)s = 1$ をみたす（$(1 - x)\sum_{k < n} x^k = 1 - x^n$）。後半：$\hat{A} \to A/\mathfrak{m}$ の核 $\hat{\mathfrak{m}}$ の元 $y$ について、$1 - y$ は上と同じ幾何級数で可逆なので、命題 1.16 (2) より $\hat{A}$ は $\hat{\mathfrak{m}}$ を極大イデアルとする局所環。$\hat{\mathfrak{m}} = \mathfrak{m}\hat{A}$ は定理 6.14 による。$\square$

$K[[x]]$ では定数項が $0$ でない元はすべて単元であり、$1/(1 - x) = 1 + x + x^2 + \cdots$ である。

6.2 アルティン–リースの補題

部分加群 $N \subset M$ 上には、$N$ 自身の $I$ 進位相と、$M$ から誘導される位相 $\lbrace I^nM \cap N \rbrace$ の 2 つがある。ネーター環では両者が一致する。これが完備化の完全性の鍵である。

定理 6.5（アルティン–リースの補題, Artin–Rees lemma）$A$ をネーター環、$I$ をイデアル、$M$ を有限生成 $A$ 加群、$N \subset M$ を部分加群とする。ある $c \geq 0$ が存在して、$n \geq c$ ならば

$$I^nM \cap N = I^{n-c}(I^cM \cap N)$$

証明. $I = (a_1, \dots, a_r)$ とし、リース環 $A^{\ast} := \bigoplus_{n \geq 0} I^n t^n \subset A[t]$ を考える。$A^{\ast} = A[a_1 t, \dots, a_r t]$ は有限型 $A$ 代数なのでネーター環である（系 3.7）。$M^{\ast} := \bigoplus_n I^nM$ は $M$ の生成元で生成される有限生成次数付き $A^{\ast}$ 加群であり、$N^{\ast} := \bigoplus_n (I^nM \cap N)$ はその次数付き部分加群なので（$I(I^nM \cap N) \subset I^{n+1}M \cap N$）、系 3.4 より有限生成である。斉次生成元 $g_j$ の次数を $d_j$ とし、$c = \max d_j$ とおくと、$n \geq c$ で

逆の包含は明らか。$\square$

系 6.6 上の状況で $I^nN \subset I^nM \cap N \subset I^{n-c}N$ $(n \geq c)$。したがって $M$ の $I$ 進位相が $N$ に誘導する位相は、$N$ の $I$ 進位相に一致する。

6.3 クルルの交叉定理

「すべての階数のテイラー係数が $0$ なら関数は $0$」という事実の代数版である。

定理 6.7（クルルの交叉定理, Krull intersection theorem）$A$ をネーター環、$I$ をイデアル、$M$ を有限生成 $A$ 加群、$N = \bigcap_n I^nM$ とする。このとき $IN = N$ であり、$(1 - a)N = 0$ となる $a \in I$ が存在する。特に (1) $I \subset \operatorname{rad}(A)$ ならば $\bigcap_n I^nM = 0$。ネーター局所環では $\bigcap_n \mathfrak{m}^n = 0$。 (2) $A$ がネーター整域で $I \neq A$ ならば $\bigcap_n I^n = 0$。

証明. 定理 6.5 を $N \subset M$ に適用すると、$n > c$ で $N = I^nM \cap N = I^{n-c}(I^cM \cap N) = I^{n-c}N \subset IN$。$N$ は有限生成なので系 1.20 より $(1 - a)N = 0$ となる $a \in I$ がある。(1) $1 - a$ は単元（命題 1.13）。(2) $M = A$ とすると $N$ はイデアルで、$1 - a \neq 0$（$I \neq A$）と整域性より $N = 0$。$\square$

例 6.8（仮定を外すと失敗する）(1) ネーター性：$0$ の近くで定義された $C^\infty$ 関数の芽の環 $\mathcal{E}$ は極大イデアル $\mathfrak{m} = (x)$ をもつ局所環だが、$e^{-1/x^2}$ はすべての $\mathfrak{m}^n$ に属する非零元である（問題 6.4）。$\mathcal{E}$ はネーター環でない。 (2) $I \subset \operatorname{rad}(A)$：$A = K \times K$、$I = K \times 0$ では $I^n = I$ なので $\bigcap I^n = I \neq 0$。$A = \mathbb{Z}$、$I = (2)$、$M = \mathbb{Z}/3$ では $2^nM = M$。

幾何的には、(1) は「ネーター局所環の元は、その点での無限次のテイラー展開で決まる」こと、すなわち $A \to \hat{A}$ の単射性を意味する。例 6.8 (1) の $e^{-1/x^2}$ はテイラー展開が $0$ の非零関数で、滑らかな関数の世界がネーター環の世界と違うことを示している。

6.4 完備化の完全性と平坦性

補題 6.9 射影系の完全列 $0 \to (A_n) \to (B_n) \to (C_n) \to 0$（各 $n$ で完全で、遷移写像と可換）において、$A_{n+1} \to A_n$ がすべて全射ならば、$0 \to \varprojlim A_n \to \varprojlim B_n \to \varprojlim C_n \to 0$ は完全である。

証明. 左完全性は射影極限の定義から直接確かめられる（極限は左完全、圏論 第2章）。全射性：$(c_n) \in \varprojlim C_n$ に対し $b_n \mapsto c_n$ で両立する列を帰納的に作る。$b_n$ まで作れたとし、$c_{n+1}$ の任意の持ち上げ $b' \in B_{n+1}$ をとる。$b'$ の $B_n$ への像と $b_n$ の差は $c_n$ の上で $0$ なので $A_n$ の元 $a$ から来る。$a$ を $a' \in A_{n+1}$ に持ち上げ、$b_{n+1} = b' - a'$ とおけばよい。$\square$

定理 6.10 $A$ をネーター環、$I$ をイデアルとする。 (1) 有限生成加群の完全列 $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ に対し、$0 \to \hat{M'} \to \hat{M} \to \hat{M''} \to 0$ は完全である。 (2) 有限生成 $A$ 加群 $M$ について $\hat{A} \otimes_A M \cong \hat{M}$。

証明. (1) 各 $n$ で $0 \to M'/(M' \cap I^nM) \to M/I^nM \to M''/I^nM'' \to 0$ は完全で、左の系の遷移写像は全射なので、補題 6.9 より極限をとっても完全。系 6.6 より $M' \cap I^nM$ と $I^nM'$ は互いに挟み合うので、左端の極限は $\hat{M'}$ に一致する。 (2) 自然な準同型 $\hat{A} \otimes_A M \to \hat{M}$ は $M = A^n$ のとき同型である（有限直和は極限と可換）。$M$ は有限表示（系 3.4）なので完全列 $A^m \to A^n \to M \to 0$ があり、$\hat{A} \otimes -$ は右完全、完備化は (1) より有限生成加群の完全列を保つ。両者を比較する可換図式で、左の 2 つの縦の写像が同型なので右も同型である。$\square$

補題 6.11（平坦性は有限生成加群で判定できる）$A$ 加群 $F$ が、有限生成加群の間の任意の単射 $N' \hookrightarrow N$ について $N' \otimes F \to N \otimes F$ を単射にするなら、$F$ は平坦である。

証明. 任意の単射 $N' \subset N$ と、$N \otimes F$ で $0$ になる $u = \sum x_i' \otimes f_i \in N' \otimes F$ をとる。$N \otimes F$ で $\sum x_i' \otimes f_i = 0$ となるのは、テンソル積の構成（定理 1.26）において $\sum [x_i', f_i]$ が有限個の関係式の和で書けるからで、それらに現れる $N$ の有限個の元と $x_i'$ で生成される有限生成部分加群 $N_0$ の中ですでに $\sum x_i' \otimes f_i = 0$ である。$N_0' = \sum Ax_i' \subset N_0 \cap N'$ とすると、仮定より $\sum x_i' \otimes f_i$ は $N_0' \otimes F$ で $0$ で、その像である $u$ も $N' \otimes F$ で $0$。$\square$

定理 6.12 $A$ がネーター環ならば、$\hat{A}$ は平坦な $A$ 加群である。

証明. 補題 6.11 より、有限生成加群の単射 $N' \hookrightarrow N$ について $\hat{A} \otimes N' \to \hat{A} \otimes N$ が単射であることを示せばよい。定理 6.10 (2) の同型は自然なので、これは $\hat{N'} \to \hat{N}$ と同一視され、定理 6.10 (1) より単射である。$\square$

例 6.13（有限生成性は外せない）$A = \mathbb{Z}$、$I = (p)$、$M = \mathbb{Q}$ とすると $p\mathbb{Q} = \mathbb{Q}$ なので $\hat{\mathbb{Q}} = 0$ だが、$\mathbb{Z}_p \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \cong \mathbb{Q}_p \neq 0$（問題 6.5）。定理 6.10 (2) は有限生成加群でないと成り立たない。

定理 6.14（主張のみ）$A$ をネーター環、$I$ をイデアルとする。$\hat{A}$ はネーター環であり、$\hat{A}$ の $I\hat{A}$ 進位相について完備で、$\hat{A}/I^n\hat{A} \cong A/I^n$ である。$(A, \mathfrak{m})$ がネーター局所環なら、$\hat{A}$ は極大イデアル $\mathfrak{m}\hat{A}$ のネーター局所環で、$\dim \hat{A} = \dim A$、$A \to \hat{A}$ は忠実平坦である。

ネーター性は、$I = (a_1, \dots, a_r)$ のとき $x_i \mapsto a_i$ による全射 $A[[x_1, \dots, x_r]] \to \hat{A}$ と問題 3.7 から従う（全射性の証明は [Atiyah–Macdonald] 第10章を参照）。$\hat{A}/\mathfrak{m}^n\hat{A} \cong A/\mathfrak{m}^n$ より $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ も同じなので、$A$ が正則 $\iff$ $\hat{A}$ が正則である。

6.5 ヘンゼルの補題

ニュートン法 $a_{n+1} = a_n - f(a_n)/f'(a_n)$ は、実数では初期値が良ければ 2 次収束する。完備局所環でも同じことが起きる。

定理 6.15（ヘンゼルの補題, Hensel's lemma）$(A, \mathfrak{m})$ を $\mathfrak{m}$ 進完備な局所環とし、$f \in A[x]$、$a_0 \in A$ が $f(a_0) \in \mathfrak{m}$ かつ $f'(a_0) \in A^\times$ をみたすとする。このとき $f(a) = 0$ かつ $a \equiv a_0 \pmod{\mathfrak{m}}$ となる $a \in A$ がただ一つ存在する。

証明. テイラー展開より $f(a + h) = f(a) + f'(a)h + h^2 g(a, h)$（$g$ は $A$ 係数の 2 変数多項式）。$a_{n+1} = a_n - f(a_n)f'(a_n)^{-1}$ とおき、$f'(a_n) \in A^\times$、$f(a_n) \in \mathfrak{m}^{2^n}$、$a_{n+1} - a_n \in \mathfrak{m}^{2^n}$ を帰納法で示す。$h = -f(a_n)f'(a_n)^{-1} \in \mathfrak{m}^{2^n}$ とすると、$f(a_{n+1}) = f(a_n) + f'(a_n)h + h^2 g = h^2 g \in \mathfrak{m}^{2^{n+1}}$。$f'(a_{n+1}) \equiv f'(a_n) \pmod{\mathfrak{m}}$ は単元である（局所環で、単元と $\mathfrak{m}$ を法として合同な元は単元）。$(a_n)$ はコーシー列なので、完備性より $a \equiv a_n \pmod{\mathfrak{m}^{2^n}}$（すべての $n$）となる $a$ があり、$f(a) \in \bigcap_n \mathfrak{m}^{2^n} = 0$。一意性：$f(a) = f(b) = 0$, $a \equiv b \pmod{\mathfrak{m}}$ なら $0 = f(b) - f(a) = (b - a)(f'(a) + (b - a)c)$（$c \in A$）で、第 2 因子は単元なので $b = a$。$\square$

注意 6.16 より一般に、$f$ がモニックで $\bar{f} = g_0 h_0$（$k = A/\mathfrak{m}$ 上の互いに素なモニック多項式）と分解すれば、$f = gh$（$g, h$ はモニックで $\bar{g} = g_0$, $\bar{h} = h_0$）と持ち上がる（問題 6.7）。定理 6.15 は $g_0 = x - \bar{a}_0$ の場合である。

例 6.17 (1) $f = x^2 + 1$ は $\mathbb{F}_5$ で根 $2$ をもち $f'(2) = 4 \neq 0$ なので、$\mathbb{Z}_5$ に $\sqrt{-1}$ がある（問題 6.2）。$\mathbb{Z}_7$ には $\sqrt{2}$ がある（$3^2 \equiv 2$）。 (2) 標数 $\neq 2$ の体 $K$ 上、$A = K[[x]]$、$f = y^2 - (1 + x)$、$a_0 = 1$ とすると $f(1) = -x \in \mathfrak{m}$、$f'(1) = 2$ は単元なので、$\sqrt{1 + x} \in K[[x]]$ が存在する（二項級数）。 (3) 完備性は外せない：$\mathbb{Z}_{(5)}$ は $\mathbb{F}_5$ に根をもつ $x^2 + 1$ の根をもたない（$\mathbb{Q}$ に $\sqrt{-1}$ はない）。 (4) $f'(a_0) \in A^\times$ も外せない：$x^2 - 2$ は $\mathbb{F}_2$ で根 $0$ をもつが、$\mathbb{Z}_2$ に根はない（根 $a$ があれば $2 \mid a$ から $4 \mid a^2 = 2$）。ただし $x^2 - 17$ は $f' = 2x$ が単元にならないのに $\mathbb{Z}_2$ に根をもつ（$17 \equiv 1 \pmod 8$、ヘンゼルの補題の精密版による）。

例 6.18（結節点は完備化で 2 本の枝に分かれる）標数 $\neq 2$ とし、$A = K[x, y]/(f)$、$f = y^2 - x^2(1 + x)$、$\mathfrak{m} = (x, y)$ とする。$A$ は整域（$x^2(1 + x)$ は $K(x)$ で平方でない）なので $A_{\mathfrak{m}}$ も整域である。一方、定理 6.10 (1) を $K[x, y] \xrightarrow{f} K[x, y] \to A \to 0$ に適用すると、$A$ の $\mathfrak{m}$ 進完備化（$A_{\mathfrak{m}}$ の完備化と同じ）は $K[[x, y]]/(f)$ であり、例 6.17 (2) の $u = \sqrt{1 + x}$ を使うと

と分解するので、$\hat{A}$ は整域でない。完備化は、局所環では見えない「解析的な枝」を分離する。さらに $s = y - xu$, $t = y + xu$ とおくと $K[[x, y]] = K[[s, t]]$（1 次の部分 $y - x, y + x$ が一次独立なので、形式的な逆関数定理により座標変換になる）で、$\hat{A} \cong K[[s, t]]/(st)$。結節点は形式的には 2 本の座標軸の交わりと同じである。これに対し尖点 $K[[x, y]]/(y^2 - x^3) \cong K[[t^2, t^3]]$ は整域のままであり、尖点は解析的にも既約（1 本の枝）である。

6.6 コーエンの構造定理と幾何的意味

定理 6.19（コーエンの構造定理, Cohen structure theorem：主張のみ）$(A, \mathfrak{m}, k)$ を完備ネーター局所環とする。 (1) $A$ が体を含むならば、$A \cong k[[x_1, \dots, x_n]]/I$ となる $n$ とイデアル $I$ がある。さらに $A$ が $d$ 次元正則なら $A \cong k[[x_1, \dots, x_d]]$。 (2) $A$ が体を含まない（混標数）場合は、完備離散付値環 $C$（たとえば $\mathbb{Z}_p$）上のべき級数環 $C[[x_1, \dots, x_n]]$ の剰余環に同型である。

証明は [松村] や [Eisenbud] 第7章を参照。

幾何的意味. 代数閉体 $k$ 上の $d$ 次元多様体の滑らかな点では、局所環の完備化はつねに $k[[x_1, \dots, x_d]]$ である。すなわち、形式的には滑らかな点はすべて同じ形をしており、これは多様体論の「局所座標」の代数版である（完備化は解析的な局所構造を与える）。一方ザリスキー局所環 $A_{\mathfrak{m}}$ は関数体 $\operatorname{Frac} A$ を覚えているので、関数体が同型でない（双有理同値でない）曲線どうしでは、滑らかな点の局所環は同型にならない。特異点の分類は完備化（形式的同型）で行うのが自然であり、例 6.18 の結節点 $k[[s, t]]/(st)$ はその最初の例である。

まとめ

• $I$ 進完備化 $\hat{M} = \varprojlim M/I^nM$ は、テイラー展開・$p$ 進展開の一般化。完備なら $I \subset \operatorname{rad}(A)$。
• アルティン–リースの補題：ネーター環では部分加群上の誘導位相と $I$ 進位相が一致する（リース環のネーター性による）。
• クルルの交叉定理：ネーター局所環では $\bigcap \mathfrak{m}^n = 0$。ネーター性や $I \subset \operatorname{rad}(A)$ を外すと失敗する（$e^{-1/x^2}$、冪等イデアル）。
• ネーター環上、完備化は有限生成加群の完全列を保ち、$\hat{M} \cong \hat{A} \otimes M$、$\hat{A}$ は平坦。有限生成でない加群では失敗する（$\hat{\mathbb{Q}} = 0$）。
• ヘンゼルの補題：完備局所環では単純根はニュートン法で一意的に持ち上がる。完備性・単純根の仮定は外せない。
• 完備化は解析的な局所構造を表し、結節点の 2 本の枝を分離する。コーエンの構造定理により、正則な完備局所環はべき級数環である。

演習問題