整拡大と零点定理

この章の目標

• 整元の同値な条件を行列式トリックで証明し、整閉包・正規環を具体例で計算できる
• 上昇定理（lying over・going up）と比較可能性を証明し、整拡大で次元が保たれることを示せる
• ネーターの正規化定理を証明し、それを用いてヒルベルトの零点定理（弱形・強形）を導ける
• 体上有限生成な代数の極大イデアルと剰余体を記述し、ジャコブソン環の意味を理解する

前提：第1章〜第3章、代数学 第8章（代数拡大・最小多項式）

代数的整数 $(1 + \sqrt{5})/2$ はモニック多項式 $x^2 - x - 1$ の根であり、$\mathbb{Z}$ 上「整」である。整拡大 $A \subset B$ は、幾何的には各点の上に有限個の点しかなく、点が「無限遠に逃げない」写像 $\operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$ に対応する。たとえば尖点 $y^2 = x^3$ の $x$ 軸への射影は整だが、双曲線 $xy = 1$ の $x$ 軸への射影は、$x \to 0$ で点が無限遠に逃げるので整でない。本章では整拡大の基本定理を証明し、その応用として、代数幾何学の出発点であるヒルベルトの零点定理を導く。

4.1 整元

定義 4.1（整, integral）$A \subset B$ を環の拡大とする。$b \in B$ がモニック多項式の根になる、すなわち $b^n + a_1 b^{n-1} + \cdots + a_n = 0$ $(a_i \in A)$ をみたすとき、$b$ は $A$ 上整であるという。$B$ のすべての元が整なら $B$ は $A$ 上整（整拡大）であるという。$A$ 上整な $B$ の元全体を $A$ の $B$ における整閉包 (integral closure) という。

命題 4.2 $b \in B$ について次は同値である。 (i) $b$ は $A$ 上整 (ii) $A[b]$ は有限生成 $A$ 加群 (iii) $A[b] \subset C \subset B$ となる部分環 $C$ で、有限生成 $A$ 加群であるものが存在する (iv) 有限生成 $A$ 加群であって、忠実な（$yM = 0 \Rightarrow y = 0$）$A[b]$ 加群 $M$ が存在する

証明. (i)⇒(ii)：$b^n$ は $1, b, \dots, b^{n-1}$ の $A$ 係数の一次結合なので、帰納的に $A[b] = A + Ab + \cdots + Ab^{n-1}$。(ii)⇒(iii)：$C = A[b]$。(iii)⇒(iv)：$M = C$ とすると $1 \in C$ より忠実。(iv)⇒(i)：$b$ 倍写像 $\varphi\colon M \to M$ に $I = A$ として命題 1.19 を適用すると、$(b^n + a_1 b^{n-1} + \cdots + a_n)M = 0$。忠実性より $b^n + a_1 b^{n-1} + \cdots + a_n = 0$。$\square$

系 4.3 (1) $b_1, \dots, b_n$ が $A$ 上整なら $A[b_1, \dots, b_n]$ は有限生成 $A$ 加群。 (2) $A$ の $B$ における整閉包は $B$ の部分環である。 (3)（推移律）$A \subset B \subset C$ で $B$ が $A$ 上整、$C$ が $B$ 上整なら、$C$ は $A$ 上整。 (4) $A$ 代数 $B$ が有限 $\iff$ $B$ は $A$ 上整かつ有限型。

証明. (1) $b_n$ は $A[b_1, \dots, b_{n-1}]$ 上でも整なので帰納法による（有限生成加群上の有限生成加群は有限生成）。(2) $b, c$ が整なら $A[b, c]$ は有限生成で $b \pm c, bc$ を含むので、(iii) よりこれらは整。(3) $c \in C$ が $c^n + b_1 c^{n-1} + \cdots + b_n = 0$ $(b_i \in B)$ をみたせば、$A' = A[b_1, \dots, b_n]$ は $A$ 上有限、$A'[c]$ は $A'$ 上有限なので $A[c] \subset A'[c]$ に (iii) を使う。(4) 有限なら各 $b$ に (iii) を $C = B$ として使う。逆は (1)。$\square$

例 4.4 (1) $\sqrt{-5}$（$x^2 + 5$ の根）、$(1 + \sqrt{5})/2$（$x^2 - x - 1$ の根）は $\mathbb{Z}$ 上整。 (2) 尖点の座標環 $K[x, y]/(y^2 - x^3)$ は $K[x]$ 上整（$y$ はモニック多項式 $Y^2 - x^3$ の根）。同じことだが $K[t]$ は $K[t^2, t^3]$ 上整（$t$ は $T^2 - t^2$ の根）。 (3) 双曲線 $K[x, y]/(xy - 1) \cong K[x, x^{-1}]$ は $K[x]$ 上整でない。$x^{-1}$ が整なら、$K[x]$ は一意分解整域なので整閉（命題 4.6）であり $x^{-1} \in K[x]$ となってしまう。点 $x = 0$ の上に点がないことに対応している。

4.2 整閉包と正規環

定義 4.5 整域 $A$ が分数体 $\operatorname{Frac} A$ の中で整閉であるとき、$A$ を整閉整域または正規 (normal) という。$A$ の $\operatorname{Frac} A$ における整閉包 $\bar{A}$ を $A$ の正規化 (normalization) という。

命題 4.6 一意分解整域は正規である。

証明. $a/b$（$a, b$ は共通の素因子をもたない）が $(a/b)^n + c_1(a/b)^{n-1} + \cdots + c_n = 0$ をみたせば $a^n = -b(c_1 a^{n-1} + \cdots + c_n b^{n-1})$。$b$ が単元でなければ、その素因子が $a^n$、したがって $a$ を割り矛盾。よって $a/b \in A$。$\square$

命題 4.7 $A$ を正規整域、$K = \operatorname{Frac} A$、$L$ を $K$ の代数拡大とする。$b \in L$ が $A$ 上整 $\iff$ $b$ の $K$ 上の最小多項式の係数がすべて $A$ に属する。

証明. ($\Leftarrow$) は明らか。($\Rightarrow$) $b$ がモニック多項式 $g \in A[x]$ の根なら、最小多項式 $f$ は $g$ を割るので、$f$ の根（分解体の中の $b$ の共役）はすべて $g$ の根で $A$ 上整である。$f$ の係数は根の基本対称式なので $A$ 上整（系 4.3 (2)）で、かつ $K$ に属するから、正規性より $A$ に属する。$\square$

例 4.8 (1) $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ は正規である。$\alpha = a + b\sqrt{-5}$ $(a, b \in \mathbb{Q}, b \neq 0)$ の最小多項式は $x^2 - 2ax + (a^2 + 5b^2)$ なので、整 $\iff$ $m = 2a \in \mathbb{Z}$ かつ $a^2 + 5b^2 \in \mathbb{Z}$。このとき $20b^2 \in \mathbb{Z}$ から $k = 2b \in \mathbb{Z}$ で、$m^2 + 5k^2 \equiv m^2 + k^2 \equiv 0 \pmod 4$ より $m, k$ はともに偶数。よって $a, b \in \mathbb{Z}$。 (2) $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ と $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ は正規でない。$(1 + \sqrt{5})/2$、$(-1 + \sqrt{-3})/2$（$x^2 + x + 1$ の根）が整だが属さない。一般の $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ については問題 4.3。 (3) $2^{-1/2^m}$ は代数的整数でない：$x^{2^m} - 2$ はアイゼンシュタインの判定法より既約で、$2^{-1/2^m}$ の最小多項式は $x^{2^m} - 1/2$ だからである（第3章 例 3.5 (3) の根拠）。 (4) $A = K[t^2, t^3]$ は正規でない：$t = t^3/t^2 \in \operatorname{Frac} A$ は整だが $A$ に属さない。$K[t]$ は正規（命題 4.6）で $A$ 上整だから $\bar{A} = K[t]$。正規化 $\operatorname{Spec} K[t] \to \operatorname{Spec} A$ は尖点を「ほどいて」直線にする。 (5) 結節点 (node) をもつ曲線 $A = K[x, y]/(y^2 - x^2(x + 1))$（標数 $\neq 2$）では、$t = y/x$ が $t^2 = x + 1$ をみたして整であり、$\bar{A} = K[t]$（$x = t^2 - 1$, $y = t^3 - t$）。原点の上には $t = \pm 1$ の 2 点があり、正規化は交差する 2 本の枝を引き離す。

命題 4.9 $A \subset B$、$C$ を $A$ の $B$ における整閉包、$S \subset A$ を積閉集合とすると、$S^{-1}C$ は $S^{-1}A$ の $S^{-1}B$ における整閉包である。

証明. $c \in C$ が $c^n + a_1 c^{n-1} + \cdots + a_n = 0$ をみたせば、$c/s$ は $(c/s)^n + (a_1/s)(c/s)^{n-1} + \cdots + a_n/s^n = 0$ をみたす。逆に $b/s$ が $(b/s)^n + \sum_{i=1}^n (a_i/s_i)(b/s)^{n-i} = 0$ をみたすとする。$t = s_1 \cdots s_n$ として $(st)^n$ を掛けると、$(bt)^n + \sum_i a_i' (bt)^{n-i} = 0$（$a_i' = a_i s^i t^i/s_i \in A$）が $S^{-1}B$ で成り立ち、ある $u \in S$ で $u\bigl((bt)^n + \sum a_i'(bt)^{n-i}\bigr) = 0$ が $B$ で成り立つ。$u^{n-1}$ を掛けると $ubt$ は $A$ 上整で $ubt \in C$、よって $b/s = ubt/(ust) \in S^{-1}C$。$\square$

系 4.10（正規性は局所的）整域 $A$ について、$A$ が正規 $\iff$ すべての $\mathfrak{p}$ で $A_{\mathfrak{p}}$ が正規 $\iff$ すべての極大イデアル $\mathfrak{m}$ で $A_{\mathfrak{m}}$ が正規。

証明. $K = \operatorname{Frac} A$ とすると $K_{\mathfrak{p}} = K$ で、命題 4.9 より $(\bar{A})_{\mathfrak{p}}$ は $A_{\mathfrak{p}}$ の正規化である。$A$ が正規 $\iff$ 包含 $A \to \bar{A}$ が全射で、命題 2.13 よりこれは各 $\mathfrak{m}$ での全射性と同値である。$\square$

4.3 上昇定理と比較可能性

補題 4.11 整域の整拡大 $A \subset B$ について、$A$ が体 $\iff$ $B$ が体。

証明. ($\Rightarrow$) $0 \neq y \in B$ の整従属の式 $y^n + a_1 y^{n-1} + \cdots + a_n = 0$ を $n$ 最小にとると、整域なので $a_n \neq 0$ で、$y^{-1} = -a_n^{-1}(y^{n-1} + a_1 y^{n-2} + \cdots + a_{n-1}) \in B$。($\Leftarrow$) $0 \neq x \in A$ の逆元 $x^{-1} \in B$ は $x^{-m} + a_1 x^{-m+1} + \cdots + a_m = 0$ をみたすので、$x^{m-1}$ を掛けて $x^{-1} = -(a_1 + a_2 x + \cdots + a_m x^{m-1}) \in A$。$\square$

系 4.12 $A \subset B$ が整拡大、$\mathfrak{q} \in \operatorname{Spec} B$、$\mathfrak{p} = \mathfrak{q} \cap A$ なら、$\mathfrak{q}$ が極大 $\iff$ $\mathfrak{p}$ が極大。

証明. $A/\mathfrak{p} \subset B/\mathfrak{q}$ は整域の整拡大なので補題 4.11 を使う。$\square$

定理 4.13（比較不能性, incomparability）整拡大 $A \subset B$ で、$\mathfrak{q} \subset \mathfrak{q}'$ が $B$ の素イデアルで $\mathfrak{q} \cap A = \mathfrak{q}' \cap A = \mathfrak{p}$ ならば $\mathfrak{q} = \mathfrak{q}'$。

証明. $S = A \setminus \mathfrak{p}$ で局所化すると、$A_{\mathfrak{p}} \subset B_{\mathfrak{p}} := S^{-1}B$ は整拡大（命題 4.9）で、$\mathfrak{q}B_{\mathfrak{p}} \subset \mathfrak{q}'B_{\mathfrak{p}}$ は素イデアル（$\mathfrak{q} \cap S = \emptyset$）である。これらの $A_{\mathfrak{p}}$ への引き戻しは $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ を含む素イデアル、つまり極大イデアル $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ なので、系 4.12 より両者とも極大で等しい。定理 2.17 より $\mathfrak{q} = \mathfrak{q}'$。$\square$

定理 4.14（上に横たわる定理, lying over）整拡大 $A \subset B$ と $\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} A$ に対し、$\mathfrak{q} \cap A = \mathfrak{p}$ となる $\mathfrak{q} \in \operatorname{Spec} B$ が存在する。

証明. $A_{\mathfrak{p}} \subset B_{\mathfrak{p}}$ は整拡大で（局所化は単射を保つ）、$B_{\mathfrak{p}} \neq 0$ なので極大イデアル $\mathfrak{n}$ をもつ。系 4.12 より $\mathfrak{n} \cap A_{\mathfrak{p}}$ は極大、すなわち $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$。$\mathfrak{q}$ を $\mathfrak{n}$ の $B$ への引き戻しとすると、可換図式 $A \to A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$、$A \to B \to B_{\mathfrak{p}}$ より $\mathfrak{q} \cap A$ は $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ の $A$ への引き戻し $\mathfrak{p}$ に等しい。$\square$

定理 4.15（上昇定理, going up）整拡大 $A \subset B$、$\mathfrak{p}_1 \subset \mathfrak{p}_2$ を $A$ の素イデアル、$\mathfrak{q}_1 \cap A = \mathfrak{p}_1$ とする。$\mathfrak{q}_1 \subset \mathfrak{q}_2$ かつ $\mathfrak{q}_2 \cap A = \mathfrak{p}_2$ となる $\mathfrak{q}_2$ が存在する。

証明. $A/\mathfrak{p}_1 \subset B/\mathfrak{q}_1$ は整拡大なので、$\mathfrak{p}_2/\mathfrak{p}_1$ に定理 4.14 を適用し、得られた素イデアルを $B$ に引き戻す。$\square$

系 4.16 整拡大 $A \subset B$ について $\dim A = \dim B$（クルル次元：素イデアルの真の鎖の長さの上限、第5章）。また $\operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$ は全射で、各点のファイバーの点どうしには包含関係がない。

証明. $B$ の真の鎖 $\mathfrak{q}_0 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{q}_n$ を $A$ に引き戻すと定理 4.13 より真の鎖なので $\dim B \leq \dim A$。$A$ の鎖は定理 4.14 と 4.15 で $B$ の鎖に持ち上がるので $\dim A \leq \dim B$。$\square$

例 4.17 $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ は整拡大で、$(2)$ の上には $(2, 1 + \sqrt{-5})$ だけ、$(3)$ の上には $(3, 1 + \sqrt{-5})$ と $(3, 1 - \sqrt{-5})$、$(0)$ の上には $(0)$ がある（例 1.35）。$\dim \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] = \dim \mathbb{Z} = 1$。一方、整でない $K[x] \subset K[x, x^{-1}]$ では $(x)$ の上に素イデアルがない（$x$ が単元になる）。整性を外すと lying over が失敗する。

定理 4.18（下降定理, going down：主張と証明の概略）$A \subset B$ を整域の整拡大とし、$A$ は正規とする。$\mathfrak{p}_1 \supset \mathfrak{p}_2$ を $A$ の素イデアル、$\mathfrak{q}_1 \cap A = \mathfrak{p}_1$ とすると、$\mathfrak{q}_1 \supset \mathfrak{q}_2$ かつ $\mathfrak{q}_2 \cap A = \mathfrak{p}_2$ となる $\mathfrak{q}_2$ が存在する。

証明の概略. $\mathfrak{p}_2 B_{\mathfrak{q}_1} \cap A = \mathfrak{p}_2$ を示せば、局所環 $B_{\mathfrak{q}_1}$ の素イデアルで $\mathfrak{p}_2$ の上にあるものがとれ、それが $\mathfrak{q}_1$ に含まれる $\mathfrak{q}_2$ を与える。鍵は、正規性から従う「$\mathfrak{p}_2B$ の根基に入る元の $\operatorname{Frac} A$ 上の最小多項式は、最高次以外の係数が $\mathfrak{p}_2$ に入る」という補題（命題 4.7 の精密化）で、$x = y/s \in \mathfrak{p}_2 B_{\mathfrak{q}_1} \cap A$、$x \notin \mathfrak{p}_2$ と仮定して $y$ と $s = y/x$ の最小多項式を比べると $s \in \mathfrak{q}_1$ となり矛盾する。詳しくは [Atiyah–Macdonald] 第5章を参照。$\square$

正規性の仮定は外せない。平面の 2 本の平行線を貼り合わせて得られる曲面（その正規化は平面）では下降定理が成り立たない例が作れる（詳細は省略）。下降定理は第5章の次元の等式や、平坦射の性質（平坦なら going down が成り立つ）と深く関係する。

4.4 ネーターの正規化定理

定理 4.19（ネーターの正規化定理, Noether normalization）$K$ を体、$B$ を有限生成 $K$ 代数とする。$K$ 上代数的に独立な $y_1, \dots, y_d \in B$ が存在して、$B$ は $K[y_1, \dots, y_d]$ 上有限（整）になる。

証明. $B = K[x_1, \dots, x_n]$ として $n$ に関する帰納法。$x_i$ が代数的に独立なら $d = n$ でよい。そうでなければ $f(x_1, \dots, x_n) = 0$ となる $0 \neq f \in K[X_1, \dots, X_n]$ がある。$r$ を $f$ に現れる指数すべてより大きい整数とし、$z_i = x_i - x_1^{r^{i-1}}$ $(2 \leq i \leq n)$ とおく。

$f$ の単項式 $cX_1^{a_1} \cdots X_n^{a_n}$ は、$x_1$ の多項式として $c x_1^{a_1 + a_2 r + \cdots + a_n r^{n-1}}$ ＋（$x_1$ について低次で係数が $K[z_2, \dots, z_n]$ の項）になる。$0 \leq a_i < r$ なので指数 $a_1 + a_2 r + \cdots + a_n r^{n-1}$（$r$ 進展開）は単項式ごとに異なり、その最大値を $N$ とすると上式は $c x_1^N + (\text{低次の項}) = 0$（$c \in K^\times$）となる。$c^{-1}$ を掛ければ $x_1$ は $K[z_2, \dots, z_n]$ 上整で、$B = K[x_1, z_2, \dots, z_n]$ は $B' = K[z_2, \dots, z_n]$ 上有限。帰納法の仮定より $B'$ は代数的に独立な $y_1, \dots, y_d$ による $K[y_1, \dots, y_d]$ 上有限で、系 4.3 (3)(4) より $B$ もそうである。$\square$

幾何的には、$d$ 次元のアフィン多様体は $d$ 次元アフィン空間への有限全射をもつ（全射性は定理 4.14）。$d$ は $\operatorname{Frac} B$ の超越次数であり（$B$ が整域のとき）、第5章でこれがクルル次元に等しいことを示す。

例 4.20 双曲線 $B = K[x, y]/(xy - 1)$ は $K[x]$ 上有限でないが、$z = x + y$ とおくと $x^2 - zx + 1 = x^2 - x^2 - xy + 1 = 0$ なので $x$ は $K[z]$ 上整で、$y = z - x$ も整。直線 $x + y = z$ 方向への射影は、各 $z$ の上に（重複を込めて）2 点をもち、点が無限遠に逃げない。

4.5 ヒルベルトの零点定理

定理 4.21（ザリスキーの補題, Zariski's lemma）$K$ を体、$L$ を有限生成 $K$ 代数とする。$L$ が体ならば $L$ は $K$ の有限次拡大である。

証明. 定理 4.19 より $L$ は $K[y_1, \dots, y_d]$ 上整。補題 4.11 より $K[y_1, \dots, y_d]$ は体でなければならないが、$d \geq 1$ なら $y_1$ は単元でない。よって $d = 0$ で、$L$ は $K$ 上有限。$\square$

以下、$K$ が代数閉体のとき、$J \subset K[x_1, \dots, x_n]$ に対し $Z(J) := \lbrace a \in K^n \mid f(a) = 0 \ (\forall f \in J) \rbrace$、$X \subset K^n$ に対し $I(X) := \lbrace f \mid f\vert_X = 0 \rbrace$ とおく。

定理 4.22（弱零点定理, weak Nullstellensatz）$K$ を代数閉体とする。$K[x_1, \dots, x_n]$ の極大イデアルは $(x_1 - a_1, \dots, x_n - a_n)$ $(a_i \in K)$ の形に限る。したがって $J \neq (1)$ ならば $Z(J) \neq \emptyset$。

証明. 極大イデアル $\mathfrak{m}$ について $L = K[x_1, \dots, x_n]/\mathfrak{m}$ は体で、定理 4.21 より $K$ 上有限次。$K$ は代数閉なので $L = K$ で、$x_i \equiv a_i$ $(a_i \in K)$。よって $\mathfrak{m} \supset (x_1 - a_1, \dots, x_n - a_n)$ で、右辺は極大（剰余環が $K$）なので等号。$J \neq (1)$ なら $J$ を含む極大イデアル $(x_i - a_i)$ があり、$a = (a_i)$ は $J$ の共通零点。$\square$

定理 4.23（強零点定理, strong Nullstellensatz）$K$ を代数閉体とすると、$J \subset K[x_1, \dots, x_n]$ に対し $I(Z(J)) = \sqrt{J}$。

証明. $\supset$ は明らか。$f \in I(Z(J))$、$f \neq 0$ とする（ラビノウィッチの技巧）。$K[x_1, \dots, x_n, t]$ のイデアル $J' = J + (1 - tf)$ の共通零点は存在しない（$J$ の零点では $f = 0$ なので $1 - tf = 1$）。定理 4.22 より $J' = (1)$ で、$1 = \sum_i g_i h_i + q(1 - tf)$ $(h_i \in J)$ と書ける。$K(x_1, \dots, x_n)$ の中で $t = 1/f$ を代入し、分母を払うために $f^N$ を掛ければ $f^N = \sum_i \tilde{g}_i h_i \in J$。$\square$

系 4.24 $K$ が代数閉体なら、$J \mapsto Z(J)$ は $K[x_1, \dots, x_n]$ の根基イデアルと $K^n$ の代数的集合の間の包含を逆にする全単射で、極大イデアルは $K^n$ の点に対応する。

例 4.25（代数閉でないと失敗する）$\mathbb{R}[x]$ の極大イデアル $(x^2 + 1)$ は $(x - a)$ の形でなく、$Z_{\mathbb{R}}(x^2 + 1) = \emptyset$ だが $(x^2 + 1) \neq (1)$。$\mathbb{R}[x, y]$ の素イデアル $(x^2 + y^2)$ の実零点は原点だけで、$I(Z) = (x, y) \neq \sqrt{(x^2 + y^2)} = (x^2 + y^2)$。スキームの言葉では、$\operatorname{Spec} \mathbb{R}[x, y]$ の点 $(x^2 + y^2)$ は「実点をほとんどもたない曲線」の生成点として正しく存在している。

代数閉でない体でも、零点定理は次の形で成り立つ。

定理 4.26 $K$ を体、$B$ を有限生成 $K$ 代数とする。 (1) $B$ の極大イデアル $\mathfrak{m}$ の剰余体 $B/\mathfrak{m}$ は $K$ の有限次拡大である。 (2) $\operatorname{nil}(B) = \operatorname{rad}(B)$。より一般に、$B$ の素イデアルはそれを含む極大イデアルの共通部分である。 (3) 有限生成 $K$ 代数の $K$ 準同型 $\varphi\colon A \to B$ について、$B$ の極大イデアルの引き戻しは極大イデアルである。

証明. (1) 定理 4.21。(2) $f \notin \operatorname{nil}(B)$ とすると $B_f = B[t]/(ft - 1) \neq 0$ は有限生成 $K$ 代数で、極大イデアル $\mathfrak{n}$ をもつ。$\mathfrak{m} = \mathfrak{n} \cap B$ とすると $K \subset B/\mathfrak{m} \subset B_f/\mathfrak{n}$ で、右辺は (1) より $K$ 上有限次なので、整域 $B/\mathfrak{m}$ も $K$ 上有限次元、よって体（補題 4.11 と同じ議論）。$\mathfrak{m}$ は $f$ を含まない極大イデアルで $f \notin \operatorname{rad}(B)$。後半は $B/\mathfrak{p}$ に適用する。(3) $A/\varphi^{-1}(\mathfrak{n}) \hookrightarrow B/\mathfrak{n}$ で右辺は $K$ 上有限次なので、左辺は $K$ 上有限次元の整域、すなわち体。$\square$

幾何的には、(2) は「$\operatorname{Spec} B$ の任意の閉集合で閉点が稠密」、(3) は「多様体の射は閉点を閉点に写す」ことを意味する。したがって有限生成代数では、古典的な点（閉点）の集合がスキーム全体を決めてしまう。

定義 4.27 任意の素イデアルが極大イデアルの共通部分になる環をジャコブソン環 (Jacobson ring) という。

体上有限生成な代数はジャコブソン環である（定理 4.26 (2)）。また（主張のみ）$\mathbb{Z}$ はジャコブソン環であり、ジャコブソン環上有限生成な代数はジャコブソン環である。有限生成 $\mathbb{Z}$ 代数の極大イデアルの剰余体は有限体になる（$\mathbb{Z}[x]$ の場合は問題 4.7）。一方、次元 $1$ 以上の局所環、たとえば $\mathbb{Z}_{(p)}$ や $K[[x]]$ はジャコブソン環でない：素イデアル $(0)$ は唯一の極大イデアルの共通部分 $\mathfrak{m} \neq 0$ に一致しない。

まとめ

• $b$ が整 $\iff$ $A[b]$ が有限生成 $\iff$ 有限生成で忠実な $A[b]$ 加群がある（行列式トリック）。整閉包は環で、整性は推移的。有限 $=$ 整 $+$ 有限型。
• 一意分解整域は正規。正規性は局所的で、正規化は曲線の特異点（尖点・結節点）を解消する。
• 整拡大では lying over・going up・比較不能性が成り立ち、$\dim A = \dim B$。going down には正規性が要る。整性を外すと lying over が失敗する（$K[x] \subset K[x, x^{-1}]$）。
• ネーターの正規化定理：有限生成 $K$ 代数は多項式環上有限。ここからザリスキーの補題が従う。
• 零点定理：代数閉体上で極大イデアル $=$ 点、$I(Z(J)) = \sqrt{J}$。一般の体上では剰余体が有限次拡大で、$\operatorname{nil} = \operatorname{rad}$（ジャコブソン環）。

演習問題