第7章導来圏入門（圏論とホモロジー代数）

この章の目標

コホモロジーだけでは失われる情報があることを具体例で理解し、導来圏を考える動機を説明できる

複体のホモトピー圏・写像錐・擬同型を扱い、導来圏が擬同型を可逆にした局所化であることを理解する

三角圏の公理の概要と、完全三角形から長完全列が得られるしくみを説明できる

導来関手 $R\operatorname{Hom}$ , $\otimes^{L}$ と公式 $\operatorname{Ext}^i(A, B) = \operatorname{Hom}_{D}(A, B[i])$ を使える

体・ $\mathbb{Z}$ 上の導来圏では複体がコホモロジーの直和と同型になることを証明できる

前提：第4章、第5章。第6章はなくても読めるが、あると 7.5 節の意味がよくわかる。

本章では複体をコホモロジー的な添字（ $d^n\colon X^n \to X^{n+1}$ ）で書き、 $\mathcal{A}$ はアーベル圏（主に $R\text{-}\mathbf{Mod}$ ）とする。 $\mathcal{A}$ の対象 $A$ は、次数 $0$ に $A$ を置き他を $0$ とした複体とみなす。

7.1 なぜ導来圏か

ホモロジー代数では、加群そのものの代わりにその分解（複体）を使って計算してきた。しかし最終的にはコホモロジーだけを取り出すので、複体がもっていた情報の一部が失われる。

$R = \mathbb{Z}/4$ 上で、次数 $-1, 0$ に置いた複体 $X = (\mathbb{Z}/4 \xrightarrow{2} \mathbb{Z}/4)$ と、 $Y = \mathbb{Z}/2[1] \oplus \mathbb{Z}/2$ （次数 $-1$ と $0$ に $\mathbb{Z}/2$ を置き、微分を $0$ とした複体）を比べよう。どちらもコホモロジーは $H^{-1} = H^0 = \mathbb{Z}/2$ で、ほかは $0$ である。ところが 7.6 節で見るように、この二つは「本質的に異なる」複体である。 $X$ では二つのコホモロジーが「貼り合わさって」いて、その貼り合わせ方はコホモロジーには現れない。空間のホモロジー群が同じでも、カップ積や接着写像が違えば空間が異なるのと同じである。

そこで、コホモロジーに移る前の複体そのものを対象とし、ただし「計算の途中で選んだもの（分解の取り方など）」には依存しないように、コホモロジーに同型を誘導する射（擬同型）をすべて同型とみなした圏を作る。これが導来圏 (derived category) である。位相幾何学で、弱ホモトピー同値を可逆にしたホモトピー圏を考え、空間を CW 複体で置き換えるのと同じ発想である（射影分解が CW 近似にあたる）。

導来圏では、導来関手はコホモロジーの列 $R^n F$ ではなく一つの関手 $RF$ になり、適当な条件（ $F$ が入射対象を $G$ 非輪状な対象に写すなど。7.5 節）のもとで合成公式 $R(G \circ F) \cong RG \circ RF$ が成り立つ（第6章のグロタンディークのスペクトル系列はその「影」である）。さらに代数幾何学や表現論の深い定理の多くが、導来圏の同値として述べられる（7.7 節）。

7.2 複体のホモトピー圏と写像錐

定義 7.1（ホモトピー圏） $\mathcal{A}$ の複体を対象とし、鎖写像の鎖ホモトピー類を射とする圏を複体のホモトピー圏といい $K(\mathcal{A})$ と書く。

$f \simeq f'$ （ $f - f' = dh + hd$ ）なら $g f - g f' = d(gh) + (gh)d$ なので合成は well-defined であり、 $K(\mathcal{A})$ は加法圏である。命題 5.3 により、コホモロジー $H^n$ は $K(\mathcal{A})$ 上の関手になる。

定義 7.2（シフトと写像錐）複体 $X$ のシフト $X[1]$ を $X[1]^n = X^{n+1}$ , $d_{X[1]} = -d_X$ で定める（ $X[k]$ も同様）。鎖写像 $f\colon X \to Y$ の写像錐 (mapping cone) $\operatorname{Cone}(f)$ を
$\operatorname{Cone}(f)^n = X^{n+1} \oplus Y^n, \qquad d(x, y) = (-dx,\ f(x) + dy)$
で定める。

$d^2(x, y) = d(-dx, f(x) + dy) = (d^2 x, -f(dx) + d f(x) + d^2 y) = 0$ なので $\operatorname{Cone}(f)$ は複体である。加群の準同型 $f\colon A \to B$ （次数 $0$ の複体の射）の写像錐は、次数 $-1, 0$ に置いた 2 項の複体 $A \xrightarrow{f} B$ である。

命題 7.3 (1) $i(y) = (0, y)$ , $p(x, y) = x$ は複体の短完全列 $0 \to Y \xrightarrow{i} \operatorname{Cone}(f) \xrightarrow{p} X[1] \to 0$ を与え、その連結射 $H^n(X[1]) = H^{n+1}(X) \to H^{n+1}(Y)$ は $H^{n+1}(f)$ に等しい。(2) $f$ が擬同型であるための必要十分条件は、 $\operatorname{Cone}(f)$ が非輪状 (acyclic, すべてのコホモロジーが $0$ ) であることである。

証明. (1) $p(d(x, y)) = -dx = d_{X[1]}(x)$ , $i(dy) = d(0, y)$ なので鎖写像であり、各次数で短完全である。 $dx = 0$ となる $x \in X^{n+1}$ に対し、持ち上げ $(x, 0)$ の微分は $(-dx, f(x)) = (0, f(x)) = i(f(x))$ なので、連結射は $[x] \mapsto [f(x)]$ （定理 5.4）。(2) (1) の長完全列

\cdots \to H^n(Y) \to H^n(\operatorname{Cone}(f)) \to H^{n+1}(X) \xrightarrow{H^{n+1}(f)} H^{n+1}(Y) \to H^{n+1}(\operatorname{Cone}(f)) \to \cdots

から、すべての $H^n(f)$ が同型であることとすべての $H^n(\operatorname{Cone}(f))$ が $0$ であることは同値である。 $\square$

写像錐は位相幾何学の写像錐 $Y \cup_f CX$ の代数版であり、「 $f$ がどれだけ同型から離れているか」を測る複体である。

7.3 擬同型と導来圏

定義 7.4（導来圏） $K(\mathcal{A})$ から圏 $D(\mathcal{A})$ への関手 $Q$ で、擬同型を同型に写し、次の普遍性をもつものを導来圏という：擬同型を同型に写す任意の関手 $F\colon K(\mathcal{A}) \to \mathcal{E}$ は、ただ一つの関手 $\overline{F}\colon D(\mathcal{A}) \to \mathcal{E}$ により $F = \overline{F} \circ Q$ と分解する。コホモロジーが有界な複体、下に有界な複体、上に有界な複体に制限したものを $D^b(\mathcal{A})$ , $D^+(\mathcal{A})$ , $D^-(\mathcal{A})$ と書く。

定理 7.5（主張と構成の概略） $D(\mathcal{A})$ は存在する。その射 $X \to Y$ は「屋根」
$X \xleftarrow{\ s\ } X' \xrightarrow{\ f\ } Y \qquad (s \text{ は擬同型})$
の適当な同値類で表され、 $Q(s)^{-1}$ と $Q(f)$ の合成 $f \circ s^{-1}$ にあたる。

構成の概略. 擬同型のクラスが $K(\mathcal{A})$ の中で乗法的系 (multiplicative system) をなすこと、すなわち (i) 合成で閉じ、(ii) $X' \xrightarrow{f} Y \xleftarrow{t} Y'$ （ $t$ は擬同型）が擬同型 $t'$ を含む可換な正方形 $X'' \xrightarrow{f'} Y'$ , $X'' \xrightarrow{t'} X'$ に補完でき（オーレ条件）、(iii) 擬同型 $t$ で $t \circ f = t \circ g$ なら擬同型 $s$ で $f \circ s = g \circ s$ 、が確かめられる（(ii) は写像錐を使う）。すると屋根の合成が (ii) で定義でき、分数の計算のように局所化が構成される。ホモトピー類をとる前の鎖写像の圏では (ii) が成り立たないので、 $K(\mathcal{A})$ を経由する必要がある。詳細は Weibel の第 10 章、Gelfand–Manin の第 III 章、Kashiwara–Schapira を参照。 $\square$

一般には Hom が集合になるかという集合論的な問題があるが、 $D^{-}(R\text{-}\mathbf{Mod})$ や、入射対象を十分もつアーベル圏の $D^+$ では次の定理により問題ない（非有界な $D(R\text{-}\mathbf{Mod})$ でも、K 射影分解・K 入射分解を用いて Hom が集合であることが示される）。

例 7.6 次数 $-1, 0$ に置いた $C = (\mathbb{Z} \xrightarrow{2} \mathbb{Z})$ から $\mathbb{Z}/2$ への射影は擬同型なので、 $D(\mathbb{Z})$ では $C \cong \mathbb{Z}/2$ である。問題 5.2 で見たように $K(\mathbb{Z})$ では同型でない。一般に、射影分解 $P_\bullet \to M$ （コホモロジー的添字で次数 $\leq 0$ に置く）は擬同型なので、導来圏では加群 $M$ とその射影分解は同じ対象である。

定理 7.7（分解による記述, 主張と証明の方針） $\mathcal{A}$ は入射対象を十分もつとし、入射対象からなる下に有界な複体の全体を $K^+(\mathcal{I})$ とする。

下に有界な任意の複体 $X$ に対し、擬同型 $X \to I$ で $I \in K^+(\mathcal{I})$ となるものがある（入射分解）。

$I \in K^+(\mathcal{I})$ と非輪状な複体 $Z$ について $\operatorname{Hom}_K(Z, I) = 0$ であり、任意の $X$ について $\operatorname{Hom}_K(X, I) \to \operatorname{Hom}_D(X, I)$ は全単射である。

したがって $K^+(\mathcal{I}) \to D^+(\mathcal{A})$ は圏同値である。双対的に、射影加群からなる上に有界な複体のホモトピー圏 $K^-(\mathcal{P})$ は $D^-(R\text{-}\mathbf{Mod})$ と同値である。

証明の方針. 1 は、第5章の入射分解を複体に拡張したもの（カルタン–アイレンベルグ分解の全複体をとる、または次数ごとに帰納的に構成する）である。2 の前半は、比較定理（定理 5.7）の一意性の部分と同じ帰納法で零ホモトピーを作る（射影版は問題 7.7）。後半は、擬同型 $s\colon X' \to X$ に対し $\operatorname{Cone}(s)$ が非輪状なので $\operatorname{Hom}_K(-, I)$ が $s$ を全単射に写すことから、屋根がすべて本物の射で代表されることによる。 $\square$

$A, B \in \mathcal{A}$ について $\operatorname{Hom}_D(A, B) = \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(A, B)$ であり（定理 7.10 で $i = 0$ の場合）、 $\mathcal{A}$ は $D(\mathcal{A})$ の充満部分圏とみなせる。

7.4 三角圏

$D(\mathcal{A})$ は一般にアーベル圏ではない。たとえば $D(\mathbb{Z})$ では、 $\mathbf{Ab}$ で単射な $2\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ が、 $0$ でない射 $\mathbb{Z}/2[-1] \to \mathbb{Z}$ （ $\operatorname{Hom}_D(\mathbb{Z}/2[-1], \mathbb{Z}) = \operatorname{Ext}^1(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/2$ の生成元、7.5 節）を $0$ に写すので、もはやモノ射でない。核・余核・短完全列の代わりをするのが、写像錐から作られる三角形である。

定義 7.8（三角圏, 概観）三角圏 (triangulated category) とは、加法圏 $\mathcal{T}$ と自己圏同値 $X \mapsto X[1]$ （シフト）と、完全三角形 (distinguished triangle) と呼ばれる図式 $X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z \xrightarrow{h} X[1]$ の族の組で、次を満たすものである。

(TR1) $X \xrightarrow{\mathrm{id}} X \to 0 \to X[1]$ は完全三角形であり、任意の射 $f\colon X \to Y$ はある完全三角形 $X \xrightarrow{f} Y \to Z \to X[1]$ に含まれ、完全三角形と同型な三角形は完全三角形である。

(TR2)（回転） $X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z \xrightarrow{h} X[1]$ が完全三角形であることと、 $Y \xrightarrow{g} Z \xrightarrow{h} X[1] \xrightarrow{-f[1]} Y[1]$ が完全三角形であることは同値である。

(TR3) 二つの完全三角形の最初の 2 項の間の可換な正方形は、（一意とは限らない）三角形の射に延長できる。

(TR4)（八面体公理） $f$ , $g$ , $g \circ f$ の三つの完全三角形の第 3 項の間に、両立する完全三角形がある（正確な形は省略する）。

定理 7.9（主張のみ） $K(\mathcal{A})$ と $D(\mathcal{A})$ は、 $X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{i} \operatorname{Cone}(f) \xrightarrow{p} X[1]$ と同型な三角形を完全三角形として三角圏になる。さらに次が成り立つ。

複体の短完全列 $0 \to X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z \to 0$ に対し、 $(x, y) \mapsto g(y)$ は擬同型 $\operatorname{Cone}(f) \to Z$ であり、 $D(\mathcal{A})$ の完全三角形 $X \to Y \to Z \to X[1]$ が得られる。

完全三角形 $X \to Y \to Z \to X[1]$ と任意の対象 $W$ に対し、 $\operatorname{Hom}(W, -)$ は長完全列 $\cdots \to \operatorname{Hom}(W, X) \to \operatorname{Hom}(W, Y) \to \operatorname{Hom}(W, Z) \to \operatorname{Hom}(W, X[1]) \to \operatorname{Hom}(W, Y[1]) \to \cdots$ を与え、 $\operatorname{Hom}(-, W)$ も同様の長完全列を与える。 $D(\mathcal{A})$ ではコホモロジーの長完全列 $\cdots \to H^n(X) \to H^n(Y) \to H^n(Z) \to H^{n+1}(X) \to \cdots$ も得られる。

1 の擬同型であることは、 $(x, y) \mapsto g(y)$ が全射でその核 $\lbrace (x, f(x')) \rbrace \cong \operatorname{Cone}(\mathrm{id}_X)$ が非輪状であること（問題 7.1）から従う。2 は TR1〜TR3 から形式的に導かれる（Weibel の第 10 章）。こうして「短完全列 → 長完全列」という第5章の基本構造は、三角圏の言葉に移される。ただし TR3 の延長が一意でないこと（写像錐が関手的でないこと）は三角圏の弱点であり、これを補うために dg 圏や安定 $\infty$ 圏が導入された。

7.5 導来関手 $R\operatorname{Hom}$ と $\otimes^{L}$

左完全関手 $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ （ $\mathcal{A}$ は入射対象を十分もつ）に対し、 $X \in D^+(\mathcal{A})$ の入射分解 $X \to I$ （定理 7.7）をとって

RF(X) = F(I) \in D^+(\mathcal{B})

とおく。分解はホモトピーを除いて一意で、 $F$ は鎖ホモトピーを保つので、 $RF\colon D^+(\mathcal{A}) \to D^+(\mathcal{B})$ は well-defined な関手であり、完全三角形を完全三角形に写す。 $\mathcal{A}$ の対象 $A$ について $H^n(RF(A)) = R^n F(A)$ であり、第5章の導来関手は $RF$ のコホモロジーとして回収される。導来関手の長完全列は、短完全列から得られる完全三角形（定理 7.9）を $RF$ で写してコホモロジーをとったものにほかならない。

複体 $X, Y$ に対し、Hom 複体を

\operatorname{Hom}^n(X, Y) = \prod_p \operatorname{Hom}(X^p, Y^{p+n}), \qquad d f = d_Y \circ f - (-1)^n f \circ d_X

で定める。 $H^n(\operatorname{Hom}^{\bullet}(X, Y)) = \operatorname{Hom}_K(X, Y[n])$ である（問題 7.2）。 $Y$ の入射分解 $Y \to I$ をとり $R\operatorname{Hom}(X, Y) = \operatorname{Hom}^{\bullet}(X, I)$ とおく。同様に、 $R$ を可換環とし、 $X \in D^-(R\text{-}\mathbf{Mod})$ の射影分解 $P \to X$ （ $P \in K^-(\mathcal{P})$ ）をとって $X \otimes^{L} Y = P \otimes Y$ （全複体）とおく。加群 $M, N$ について $H^{-n}(M \otimes^{L} N) = \operatorname{Tor}_n(M, N)$ , $H^n(R\operatorname{Hom}(M, N)) = \operatorname{Ext}^n(M, N)$ である。

定理 7.10 $\mathcal{A}$ は入射対象を十分もつとする。 $A, B \in \mathcal{A}$ と整数 $i$ について
$\operatorname{Hom}_{D(\mathcal{A})}(A, B[i]) \cong \operatorname{Ext}^i(A, B)$
である（ $i < 0$ では両辺 $0$ ）。

証明. $B$ の入射分解 $B \to I^{\bullet}$ は擬同型なので、 $D$ で $B[i] \cong I[i]$ である。定理 7.7 と問題 7.2 により

\operatorname{Hom}_D(A, I[i]) = \operatorname{Hom}_K(A, I[i]) = H^i(\operatorname{Hom}^{\bullet}(A, I)) = H^i(\operatorname{Hom}(A, I^{\bullet})) = \operatorname{Ext}^i(A, B)

（最後の等号は定理 5.13）。 $i < 0$ では $\operatorname{Hom}(A, I^{\bullet})$ の負の次数の項が $0$ だから両辺 $0$ である。 $\square$

この同一視のもとで、射の合成 $\operatorname{Hom}_D(B, C[j]) \times \operatorname{Hom}_D(A, B[i]) \to \operatorname{Hom}_D(A, C[i+j])$ は Ext の米田積になる。また短完全列 $0 \to A \to B \to C \to 0$ から得られる完全三角形 $A \to B \to C \xrightarrow{\delta} A[1]$ の $\delta \in \operatorname{Hom}_D(C, A[1]) = \operatorname{Ext}^1(C, A)$ は、（符号の規約を除いて）定理 5.17 の拡大の類に一致する（主張のみ）。 $\operatorname{Ext}$ は「導来圏でのずれた Hom」なのである。

さらに、 $G$ が入射対象を $F$ 非輪状な対象に写すとき $R(F \circ G) \cong RF \circ RG$ が成り立つ（主張のみ）。第6章のグロタンディークのスペクトル系列は、この合成公式の両辺のコホモロジーをつなぐものである。

7.6 例：体上・ $\mathbb{Z}$ 上の導来圏

定理 7.11 $R$ を体または単項イデアル整域とする。 $D^b(R\text{-}\mathbf{Mod})$ の任意の対象 $X$ は、 $\bigoplus_n H^n(X)[-n]$ （ $H^n(X)$ を次数 $n$ に置き微分を $0$ とした複体）と同型である。 $R$ が体なら、任意の複体は（ホモトピー圏の中で） $\bigoplus_n H^n(X)[-n]$ とホモトピー同値である。

証明. 定理 7.7 の射影版により、 $X$ を射影加群からなる上に有界な複体 $P$ で置き換えてよい。 $R$ 上では射影加群の部分加群は射影的（自由加群の部分加群は自由）なので、 $B^{n+1} = d(P^n) \subset P^{n+1}$ は射影的であり、短完全列 $0 \to Z^n \to P^n \to B^{n+1} \to 0$ （ $Z^n = \ker d^n$ ）は分裂する： $P^n = Z^n \oplus B'^n$ で、 $d$ は $B'^n$ を $B^{n+1}$ に同型に写す。すると $P$ は、次数 $n-1, n$ に置いた 2 項の複体

E_n = (B'^{n-1} \xrightarrow{\ d\ } Z^n)

の直和に分解する（各次数 $P^m = Z^m \oplus B'^m$ の $Z^m$ は $E_m$ に、 $B'^m$ は $E_{m+1}$ に属する）。 $d\colon B'^{n-1} \to Z^n$ は単射で余核は $Z^n/B^n = H^n(P)$ なので、 $E_n \to H^n(P)[-n]$ は擬同型である。 $H^n(P) = H^n(X)$ は有限個の $n$ を除き $0$ で、各次数には有限個の $E_n$ しか寄与しないので、 $P = \bigoplus_n E_n \to \bigoplus_n H^n(X)[-n]$ は擬同型である。体の場合は、任意の複体の各項が射影的なので同じ分解が $X$ 自身に使え、さらに $Z^n = B^n \oplus H'^n$ と分けると $E_n = (B'^{n-1} \xrightarrow{\cong} B^n) \oplus H'^n$ で、前者は可縮（恒等射が零ホモトピック）だから、 $X$ は $\bigoplus_n H^n(X)[-n]$ とホモトピー同値である。 $\square$

したがって $D^b(\mathbb{Z})$ の対象はコホモロジー群の列だけで決まる。一方、射はコホモロジーの間の射だけではない。定理 7.10 により

\operatorname{Hom}_D(A[-i], B[-j]) = \operatorname{Hom}_D(A, B[i-j]) = \operatorname{Ext}^{i-j}(A, B)

は $i - j = 0, 1$ で $0$ でありうるので、 $\operatorname{Hom}_{D}(X, Y) \cong \prod_n \operatorname{Hom}(H^n X, H^n Y) \times \prod_n \operatorname{Ext}^1(H^n X, H^{n-1} Y)$ となる。後者の成分はコホモロジーに $0$ を誘導する射であり、そのため定理 7.11 の同型は関手的（自然）には選べない（問題 7.6）。普遍係数定理の分裂が自然でないことも同じ現象である。

大域次元が 2 以上になると定理 7.11 は成り立たない。7.1 節の $\mathbb{Z}/4$ 上の複体 $X = (\mathbb{Z}/4 \xrightarrow{2} \mathbb{Z}/4)$ と $Y = \mathbb{Z}/2[1] \oplus \mathbb{Z}/2$ を、関手 $- \otimes^{L} \mathbb{Z}/2$ で比べる。 $X$ は自由加群の複体なので $X \otimes^{L} \mathbb{Z}/2 = X \otimes \mathbb{Z}/2 = (\mathbb{Z}/2 \xrightarrow{0} \mathbb{Z}/2)$ で、コホモロジーは次数 $-1, 0$ にしかない。一方、例 5.15 により $\mathbb{Z}/2 \otimes^{L} \mathbb{Z}/2$ はすべての $n \geq 0$ で $H^{-n} = \operatorname{Tor}_n^{\mathbb{Z}/4}(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/2) = \mathbb{Z}/2 \neq 0$ をもつ。同型な対象は $- \otimes^{L} \mathbb{Z}/2$ で同型な対象に写るので、 $D(\mathbb{Z}/4)$ で $X \not\cong Y$ である。二つのコホモロジーの「貼り合わせ方」は $\operatorname{Ext}^2_{\mathbb{Z}/4}(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/2) \neq 0$ の元として記録されている。

7.7 代数幾何学と表現論での使われ方（主張のみ）

この節の主張はすべて証明を省略する。詳しくは Kashiwara–Schapira や、14-algebraic-geometry 第9章を参照。

連接層の導来圏. 体上の滑らかな射影多様体 $X$ に対し、連接層の有界導来圏 $D^b(X) = D^b(\operatorname{Coh} X)$ を考える。射 $f$ に対する $Rf_{\ast}$ , $Lf^{\ast}$ , $\otimes^{L}$ が定義され、セール双対性は $D^b(X)$ の中の同型 $\operatorname{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \cong \operatorname{Hom}(\mathcal{G}, \mathcal{F} \otimes \omega_X[\dim X])^{\vee}$ として簡潔に述べられる。
フーリエ–向井変換. $\mathcal{P} \in D^b(X \times Y)$ に対し $\Phi_{\mathcal{P}}(\mathcal{F}) = Rp_{2\ast}(p_1^{\ast}\mathcal{F} \otimes^{L} \mathcal{P})$ は関手 $D^b(X) \to D^b(Y)$ を定める（ $p_1, p_2$ は射影）。向井は、アーベル多様体 $A$ とその双対 $\hat{A}$ の間でポアンカレ束を核とする変換が圏同値 $D^b(A) \simeq D^b(\hat{A})$ を与えることを示した。 $A$ と $\hat{A}$ は同型とは限らないので、導来圏は多様体そのものより粗い不変量である。一方、標準束が豊富または反豊富なら $D^b(X)$ から $X$ が復元される（ボンダル–オルロフ）。
ベイリンソンの定理. 射影空間 $\mathbb{P}^n$ 上の直線束 $\mathcal{O}, \mathcal{O}(1), \dots, \mathcal{O}(n)$ は $D^b(\mathbb{P}^n)$ を生成し、 $T = \bigoplus_{i=0}^n \mathcal{O}(i)$ の自己準同型環 $A = \operatorname{End}(T)$ （有限次元多元環）について圏同値 $D^b(\operatorname{Coh} \mathbb{P}^n) \simeq D^b(\operatorname{mod} A)$ が成り立つ。 $n = 1$ では $A$ は 2 頂点と 2 本の矢からなるクロネッカー箙の道多元環である（ $\operatorname{Hom}(\mathcal{O}, \mathcal{O}(1)) = H^0(\mathcal{O}(1))$ が 2 次元）。幾何学的な対象が有限次元多元環という代数的な対象と「導来同値」になる。
表現論. 有限次元多元環の導来同値（傾理論）、リー環の表現と旗多様体上の $\mathcal{D}$ 加群の対応（ベイリンソン–ベルンシュタインの局在化）、確定特異点型ホロノミー $\mathcal{D}$ 加群と構成可能層の導来圏の同値（柏原・メブクーのリーマン–ヒルベルト対応）などが導来圏の言葉で定式化され、カジュダン–ルスティック予想の解決に使われた（16-lie-groups-representations）。

まとめ

コホモロジーは複体の「貼り合わせ方」の情報を失う。導来圏は、複体そのものを擬同型を除いて扱う枠組みである。
写像錐は $f$ が擬同型であるかどうかを測り（ $\operatorname{Cone}(f)$ が非輪状 $\iff$ $f$ が擬同型）、完全三角形の源になる。
導来圏はホモトピー圏 $K(\mathcal{A})$ を擬同型で局所化したもので、射は屋根で表される。入射（射影）分解により $D^+(\mathcal{A}) \simeq K^+(\mathcal{I})$ である。
三角圏では完全三角形が短完全列の役割を果たし、Hom やコホモロジーの長完全列を与える。
導来関手は $RF$ , $R\operatorname{Hom}$ , $\otimes^{L}$ として導来圏の間の関手になり、 $\operatorname{Ext}^i(A, B) = \operatorname{Hom}_D(A, B[i])$ が成り立つ。
体・単項イデアル整域上では、有界な複体はコホモロジーの直和と同型だが、その同型は自然でなく、射には $\operatorname{Ext}^1$ の成分がある。 $\mathbb{Z}/4$ 上ではこの分解が成り立たない。
導来圏の同値は、フーリエ–向井変換やベイリンソンの定理など、現代の代数幾何学と表現論の中心的な言葉である。

演習問題

問題 7.1 ★ 任意の複体 $X$ について $\operatorname{Cone}(\mathrm{id}_X)$ は可縮（恒等射が零ホモトピック）であり、特に非輪状であることを示せ。

解答

$h\colon \operatorname{Cone}^n = X^{n+1} \oplus X^n \to \operatorname{Cone}^{n-1} = X^n \oplus X^{n-1}$ を $h(x, y) = (y, 0)$ とおく。 $d(x, y) = (-dx, x + dy)$ なので

(dh + hd)(x, y) = d(y, 0) + h(-dx, x + dy) = (-dy, y) + (x + dy, 0) = (x, y)

よって $\mathrm{id} = dh + hd$ であり、命題 5.3 により恒等射がコホモロジーに誘導する写像は $0$ 、すなわちコホモロジーは $0$ である。

問題 7.2 ★ Hom 複体について $H^n(\operatorname{Hom}^{\bullet}(X, Y)) = \operatorname{Hom}_K(X, Y[n])$ を示せ。

解答

$f \in \operatorname{Hom}^n(X, Y)$ は射の族 $f^p\colon X^p \to Y^{p+n} = Y[n]^p$ である。 $Y[n]$ の微分は $(-1)^n d_Y$ なので、 $f$ が鎖写像 $X \to Y[n]$ であることは $(-1)^n d_Y f = f d_X$ 、すなわち $df = d_Y f - (-1)^n f d_X = 0$ と同値である。 $h \in \operatorname{Hom}^{n-1}$ について $dh = d_Y h + (-1)^n h d_X = (-1)^n((-1)^n d_Y h + h d_X) = (-1)^n(d_{Y[n]} h + h d_X)$ なので、 $f - g$ が境界であることと $f, g$ が鎖ホモトピックであることは同値である。

問題 7.3 ★★ すべての整数 $i$ について次を求めよ。(1) $\operatorname{Hom}_{D(\mathbb{Z})}(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}[i])$ 。(2) $\operatorname{Hom}_{D(\mathbb{Z})}(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/2[i])$ 。(3) $\operatorname{Hom}_{D(\mathbb{Z}/4)}(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/2[i])$ 。

解答

定理 7.10 によりいずれも $\operatorname{Ext}^i$ である。(1) $i = 1$ で $\mathbb{Z}/2$ 、それ以外は $0$ （ $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}) = 0$ ）。(2) $i = 0, 1$ で $\mathbb{Z}/2$ 、それ以外は $0$ （例 5.14）。(3) 例 5.15 により、すべての $i \geq 0$ で $\mathbb{Z}/2$ 、 $i < 0$ で $0$ 。大域次元の違い（ $1$ と $\infty$ ）がそのまま現れている。

問題 7.4 ★★ $K$ を体、 $R = K[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ とし、次数 $-1, 0$ に置いた複体 $X = (R \xrightarrow{\varepsilon} R)$ を考える。 $H^{-1}(X) \cong H^0(X) \cong K$ だが、 $D(R)$ で $X \not\cong K[1] \oplus K$ であることを示せ。

解答

$\ker \varepsilon = \varepsilon R \cong K$ , $R/\varepsilon R \cong K$ より前半が従う。関手 $- \otimes^{L}_R K$ で比べる。 $X$ は自由加群の複体なので $X \otimes^{L} K = X \otimes K = (K \xrightarrow{0} K)$ で、コホモロジーは次数 $-1, 0$ だけにある。一方 $K$ の自由分解 $\cdots \xrightarrow{\varepsilon} R \xrightarrow{\varepsilon} R \to K \to 0$ に $- \otimes K$ を施すと微分がすべて $0$ になるので、 $\operatorname{Tor}_n^R(K, K) = K$ （すべての $n \geq 0$ ）であり、 $(K[1] \oplus K) \otimes^{L} K$ はすべての $n \geq 0$ で $H^{-n} \neq 0$ をもつ。同型な対象は同型な対象に写るので $X \not\cong K[1] \oplus K$ 。

問題 7.5 ★★ $\mathcal{A}$ の短完全列 $0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0$ から得られる完全三角形を $A \to B \to C \xrightarrow{\delta} A[1]$ とする。この短完全列が分裂することと $\delta = 0$ は同値であることを示せ。（定理 7.9 の 2 と、 $\mathcal{A}$ が $D(\mathcal{A})$ の充満部分圏であることを使ってよい。）

解答

$\operatorname{Hom}_D(C, -)$ の長完全列の一部 $\operatorname{Hom}_D(C, B) \xrightarrow{g \circ -} \operatorname{Hom}_D(C, C) \xrightarrow{\delta \circ -} \operatorname{Hom}_D(C, A[1])$ は完全である。分裂すれば $g \circ s = \mathrm{id}_C$ となる $s$ があり、 $\delta = \delta \circ g \circ s = 0$ （完全性より $\delta \circ g = 0$ ）。逆に $\delta = 0$ なら $\mathrm{id}_C$ は $\delta \circ -$ の核に入るので、 $g \circ s = \mathrm{id}_C$ となる $s \in \operatorname{Hom}_D(C, B) = \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(C, B)$ があり、命題 4.8 により分裂する。

問題 7.6 ★★ $D^b(\mathbb{Z})$ の各対象 $X$ に対し、同型 $\eta_X\colon X \to \Phi(X) = \bigoplus_n H^n(X)[-n]$ を $X$ について自然に（ $\Phi(f) = \bigoplus_n H^n(f)[-n]$ に関する自然変換として）選ぶことはできないことを示せ。

解答

$0$ でない射 $f\colon \mathbb{Z}/2 \to \mathbb{Z}[1]$ をとる（ $\operatorname{Hom}_D(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}[1]) = \operatorname{Ext}^1(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/2$ ）。 $\mathbb{Z}/2$ のコホモロジーは次数 $0$ に、 $\mathbb{Z}[1]$ のコホモロジーは次数 $-1$ にしかないので、すべての $n$ で $H^n(f) = 0$ 、よって $\Phi(f) = 0$ 。自然同型 $\eta$ があれば $f = \eta^{-1} \circ \Phi(f) \circ \eta = 0$ となり矛盾する。

問題 7.7 ★★★ $P$ を射影加群からなる上に有界な複体（ $n > N$ で $P^n = 0$ ）、 $Z$ を非輪状な複体とする。任意の鎖写像 $f\colon P \to Z$ は零ホモトピックであること、すなわち $\operatorname{Hom}_K(P, Z) = 0$ を示せ。さらに、擬同型 $s\colon Y \to Y'$ に対し $\operatorname{Hom}_K(P, Y) \to \operatorname{Hom}_K(P, Y')$ が全単射であることを導け。

解答

$h^n\colon P^n \to Z^{n-1}$ を $f^n = d h^n + h^{n+1} d$ となるように $n$ の大きい方から帰納的に作る。 $n > N$ では $h^n = 0$ とする。 $h^m$ （ $m > n$ ）まで作ったとし、 $g = f^n - h^{n+1} d\colon P^n \to Z^n$ とおくと

dg = f^{n+1} d - d h^{n+1} d = (f^{n+1} - d h^{n+1}) d = h^{n+2} d d = 0

（ $n = N$ では $P^{N+1} = 0$ より $dg = f^{N+1} d = 0$ ）。 $Z$ は非輪状なので $g$ の像は $\ker d = \operatorname{Im} d$ に含まれ、 $P^n$ は射影的なので $dh^n = g$ となる $h^n\colon P^n \to Z^{n-1}$ がとれる。これで $f^n = dh^n + h^{n+1} d$ 。

後半： $K(\mathcal{A})$ の完全三角形 $Y \xrightarrow{s} Y' \to \operatorname{Cone}(s) \to Y[1]$ に $\operatorname{Hom}_K(P, -)$ を施した長完全列（定理 7.9 の 2）で、 $\operatorname{Cone}(s)$ とそのシフトは非輪状（命題 7.3）なので前半よりその項は $0$ であり、 $s \circ -$ は全単射になる。これが定理 7.7 の射影版の核心である。