スペクトル系列

この章の目標

• スペクトル系列の定義・ページ図の読み方・収束の意味を理解し、拡大問題が残ることを説明できる
• フィルター付き複体と二重複体からスペクトル系列が生じるしくみ（構成の概略）を理解する
• 二重複体のスペクトル系列を用いて $\operatorname{Tor}$ の平衡性と普遍係数定理を証明し、キュネット公式と 5 項完全列を使える
• グロタンディークのスペクトル系列とルレイ–セールのスペクトル系列の主張を述べ、$H^{\ast}(\mathbb{C}P^n)$ を計算できる

前提：第5章。例で 09-algebraic-topology 第5章〜第6章（ホモロジー・コホモロジーとカップ積）、第8章（ファイブレーション）を使う。

6.1 動機

複体 $C$ のコホモロジーを直接計算するのが難しいとき、$C$ を部分複体の列 $C = F^0 C \supset F^1 C \supset F^2 C \supset \cdots$ でフィルター付けし、各段の商 $F^p C/F^{p+1} C$ のコホモロジー（こちらは計算しやすいことが多い）から出発して、段階的に $H(C)$ に近づくことを考える。2 段のフィルター $0 \subset A \subset B$ なら、これは短完全列 $0 \to A \to B \to B/A \to 0$ の長完全列（定理 5.4）にほかならない。段数が増えると、長完全列の代わりに「連結射が何段にも分かれて現れる」構造が必要になる。それがスペクトル系列である。

スペクトル系列は、次のような場面で現れる。

• 二重複体（$\operatorname{Tor}$ の計算、キュネット公式）：行と列のどちらから先にコホモロジーをとるか。
• 関手の合成の導来関手（グロタンディーク）：$R(F \circ G)$ を $R F$ と $R G$ から計算する。
• ファイブレーション $F \to E \to B$（ルレイ–セール）：$E$ のコホモロジーを $B$ と $F$ のコホモロジーから計算する。

6.2 定義とページ図

定義 6.1（スペクトル系列, spectral sequence）（コホモロジー的な）スペクトル系列とは、$r \geq r_0$ ごとに与えられた対象 $E_r^{p,q}$（$p, q \in \mathbb{Z}$）と射 $d_r\colon E_r^{p,q} \to E_r^{p+r, q-r+1}$ で $d_r \circ d_r = 0$ を満たすものと、同型

$$E_{r+1}^{p,q} \cong \frac{\ker(d_r\colon E_r^{p,q} \to E_r^{p+r, q-r+1})}{\operatorname{Im}(d_r\colon E_r^{p-r, q+r-1} \to E_r^{p,q})}$$

の組である。$E_r = (E_r^{p,q})_{p,q}$ を第 $r$ ページ、$p + q$ を全次数という。$d_r$ は全次数を 1 上げる。

ページは、横軸 $p$・縦軸 $q$ の格子点に $E_r^{p,q}$ を置いた図で表す。$d_2$ は「右へ 2、下へ 1」、$d_3$ は「右へ 3、下へ 2」と、ページが進むほど長く斜めに下る矢印になる。たとえば第 2 ページの左下の部分は

であり、$d_2\colon E_2^{0,1} \to E_2^{2,0}$, $d_2\colon E_2^{1,1} \to E_2^{3,0}$, $d_2\colon E_2^{0,2} \to E_2^{2,1}$ などが矢印である。

$p < 0$ または $q < 0$ で $E_r^{p,q} = 0$ となるものを第 1 象限のスペクトル系列という。このとき $(p, q)$ から出る $d_r$ の行き先は $r > q + 1$ で $q$ 座標が負になり、$(p, q)$ に入る $d_r$ の出発点は $r > p$ で $p$ 座標が負になる。したがって $r > \max(p, q + 1)$ では $E_r^{p,q} = E_{r+1}^{p,q} = \cdots$ となり、この値を $E_\infty^{p,q}$ と書く。

定義 6.2（収束）第 1 象限のスペクトル系列が対象の列 $H^n$ に収束するとは、各 $H^n$ に有限のフィルター $H^n = F^0 H^n \supset F^1 H^n \supset \cdots \supset F^{n+1} H^n = 0$ があって

$$E_\infty^{p,q} \cong F^p H^{p+q} / F^{p+1} H^{p+q}$$

となることをいい、$E_2^{p,q} \Rightarrow H^{p+q}$ と書く。

ホモロジー的なスペクトル系列 $E^r_{p,q}$ では $d^r\colon E^r_{p,q} \to E^r_{p-r, q+r-1}$（左へ $r$、上へ $r - 1$）とし、増大するフィルター $F_p H_n$ について $E^\infty_{p,q} \cong F_p H_{p+q}/F_{p-1} H_{p+q}$ となることを収束という。

6.3 収束と拡大問題

収束によってわかるのは $H^n$ そのものではなく、フィルターの各段の商 $E_\infty^{p, n-p}$ だけである。$H^n$ を復元するには、短完全列 $0 \to F^{p+1} H^n \to F^p H^n \to E_\infty^{p, n-p} \to 0$ を順に解く必要がある。これを拡大問題 (extension problem) という。たとえば全次数 $n$ で $E_\infty^{0, n} = E_\infty^{1, n-1} = \mathbb{Z}/2$ でほかが $0$ なら、$H^n$ は $\mathbb{Z}/4$ か $\mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/2$ のどちらかだが、スペクトル系列だけではどちらか決まらない（第5章の $\operatorname{Ext}^1$ の問題そのものである）。ただし係数が体なら $H^n \cong \bigoplus_{p+q=n} E_\infty^{p,q}$（次元の和）であり、各 $E_\infty^{p, n-p}$ が自由アーベル群なら短完全列がすべて分裂して同じ結論が成り立つ。

すべての $r \geq 2$ で $d_r = 0$ のとき、スペクトル系列は $E_2$ で退化するといい、$E_2 = E_\infty$ である。次の形は頻繁に使う。

命題 6.3 第 1 象限のスペクトル系列 $E_2^{p,q} \Rightarrow H^{p+q}$ について： (1) $E_2^{p,q} = 0$（$p \neq 0, 1$）なら、$E_2 = E_\infty$ であり、短完全列 $0 \to E_2^{1, n-1} \to H^n \to E_2^{0, n} \to 0$ がある。 (2) $E_2^{p,q} = 0$（$q \neq 0$）なら、$H^n \cong E_2^{n, 0}$ である。

証明. (1) $d_r$（$r \geq 2$）は列 $p$ から列 $p + r$ への射で、どちらかは $0$ なので $d_r = 0$。$H^n$ のフィルターの商は $E_\infty^{0, n}$ と $E_\infty^{1, n-1}$ だけなので、$F^2 H^n = 0$, $F^1 H^n \cong E_\infty^{1, n-1}$, $H^n/F^1 H^n \cong E_\infty^{0, n}$。(2) 同様に $d_r$ は行 $0$ から行 $1 - r < 0$ への射なので $0$ であり、$H^n$ のフィルターの商は $E_\infty^{n, 0}$ だけである。$\square$

6.4 フィルター付き複体のスペクトル系列

余鎖複体 $C$（$n < 0$ で $C^n = 0$）と部分複体の減少列 $C = F^0 C \supset F^1 C \supset \cdots$ で、各 $n$ について $F^{n+1} C^n = 0$ となるもの（有界なフィルター）を考える。

定理 6.4（主張と構成の概略）上の状況で、第 1 象限のスペクトル系列

$$E_1^{p,q} = H^{p+q}(F^p C / F^{p+1} C) \Rightarrow H^{p+q}(C)$$

が存在する。ここで $d_1$ は短完全列 $0 \to F^{p+1}C/F^{p+2}C \to F^pC/F^{p+2}C \to F^pC/F^{p+1}C \to 0$ の連結射であり、$H^n(C)$ のフィルターは $F^p H^n(C) = \operatorname{Im}(H^n(F^p C) \to H^n(C))$ である。

構成の概略. 全次数 $n = p + q$ を固定して上付きの $q$ を省き、

とおき、$d_r[x] = [dx]$ と定める（$dx \in F^{p+r} C$ で $d(dx) = 0$ なので $dx \in Z_r^{p+r}$）。$Z_r^p$ は「誤差 $F^{p+r}$ を除いて輪体」である元の全体であり、$d_r$ は「$dx$ の $F^{p+r}$ における主要項」を取り出す。$r = 0$ では $E_0^p = F^p C/F^{p+1} C$、$r = 1$ では $E_1^p = H(F^p C/F^{p+1} C)$ となることは定義からすぐわかる。$H(E_r, d_r) \cong E_{r+1}$ の確認は、定義に従った直接の（長いが初等的な）計算である（Weibel の第 5 章を参照）。フィルターが有界なので、$r$ が十分大きいと $Z_r^p = Z(C) \cap F^p C$, $d Z_{r-1}^{p-r+1} = dC \cap F^p C$ となり、

が得られる。$\square$

2 段のフィルター $0 = F^2 C \subset F^1 C = A \subset F^0 C = B$ の場合、$E_1^{0, q} = H^q(B/A)$, $E_1^{1, q} = H^{q+1}(A)$ で、$d_1$ は長完全列の連結射 $\delta$ である（$E_1^{1, -1} = H^0(A)$ のように $q = -1$ の項も現れるが、フィルターが有限なので同じ議論が成り立つ）。命題 6.3 (1) の短完全列 $0 \to \operatorname{coker} \delta \to H^n(B) \to \ker \delta \to 0$ は長完全列と同じ情報をもつ。スペクトル系列は長完全列の一般化である。

6.5 二重複体の 2 つのスペクトル系列

定義 6.5（二重複体, double complex）対象 $C^{p,q}$（$p, q \geq 0$）と射 $d_h\colon C^{p,q} \to C^{p+1,q}$, $d_v\colon C^{p,q} \to C^{p,q+1}$ で、$d_h^2 = 0$, $d_v^2 = 0$, $d_h d_v + d_v d_h = 0$ を満たすものを（第 1 象限の）二重複体という。$\operatorname{Tot}^n(C) = \bigoplus_{p+q=n} C^{p,q}$, $d = d_h + d_v$ とおくと $d^2 = d_h^2 + (d_h d_v + d_v d_h) + d_v^2 = 0$ であり、これを全複体 (total complex) という。

可換な微分 $d_h d_v = d_v d_h$ が与えられた場合は、$d_v$ を $(-1)^p d_v$ に取り替えれば反可換になる。

定理 6.6（二重複体のスペクトル系列）第 1 象限の二重複体 $C$ に対し、$H^{\ast}(\operatorname{Tot} C)$ に収束する 2 つのスペクトル系列

$${}^{I}E_2^{p,q} = H^p_h(H^q_v(C)) \Rightarrow H^{p+q}(\operatorname{Tot} C), \qquad {}^{II}E_2^{p,q} = H^p_v(H^q_h(C)) \Rightarrow H^{p+q}(\operatorname{Tot} C)$$

が存在する。ここで $H^q_v(C)$ は各列 $C^{p, \bullet}$ の $d_v$ についてのコホモロジー（$p$ ごとに並べると $d_h$ で複体になる）であり、${}^{II}E$ では行と列の役割を入れ替えている（${}^{II}E_2^{p,q}$ は行 $p$ の $d_h$ についての $q$ 次コホモロジーを、$d_v$ についてとったもの）。

証明. 列によるフィルター $F^p \operatorname{Tot}^n = \bigoplus_{p' \geq p} C^{p', n - p'}$ は部分複体の有界な減少列であり、$F^p/F^{p+1}$ は列 $C^{p, \bullet}$（微分 $d_v$）そのものである。定理 6.4 により $E_1^{p,q} = H^q_v(C^{p, \bullet})$ で、$d_1$ は $d_h$ から誘導される射なので $E_2^{p,q} = H^p_h(H^q_v(C))$。行によるフィルターについても同様である。$\square$

二つの計算の順序が同じものに収束するので、一方が簡単に計算できれば他方の情報が得られる。これが次節の応用の原理である。とくに、すべての列が $q > 0$ で完全（$H^q_v = 0$）なら ${}^{I}E_2$ は 1 行だけなので、命題 6.3 (2) により $H^n(\operatorname{Tot} C) \cong H^n_h(H^0_v(C))$ となる。以下ではホモロジー的な（添字が下で、微分が次数を下げる）二重複体にも、同じ結果を断りなく使う。

6.6 応用：平衡性・普遍係数定理・キュネット公式・5 項完全列

例 6.7（$\operatorname{Tor}$ の平衡性：定理 5.13 の証明）$R$ を可換環、$P_\bullet \to M$ と $Q_\bullet \to N$ を射影分解とし、ホモロジー的な二重複体 $C_{p,q} = P_p \otimes Q_q$ を考える。$p$ を固定すると、$P_p$ は射影的なので $P_p \otimes -$ は完全であり、

よって一方のスペクトル系列は $E^2_{p,0} = H_p(P_\bullet \otimes N) = \operatorname{Tor}_p(M, N)$ の 1 行だけからなり、$H_n(\operatorname{Tot}) \cong \operatorname{Tor}_n(M, N)$。同じ議論を $q$ を固定して行えば $H_n(\operatorname{Tot}) \cong H_n(M \otimes Q_\bullet)$。したがって $\operatorname{Tor}_n(M, N) \cong H_n(M \otimes Q_\bullet)$ であり、特に $\operatorname{Tor}_n(M, N) \cong \operatorname{Tor}_n(N, M)$ である。$\square$

例 6.8（普遍係数定理）$C_\bullet$ を自由アーベル群の鎖複体（$n < 0$ で $0$）、$A$ をアーベル群とし、自由分解 $0 \to Q_1 \to Q_0 \to A \to 0$ をとる。二重複体 $C_p \otimes Q_q$ を考える。$p$ を固定すると $C_p$ は自由なので例 6.7 と同様に $H_n(\operatorname{Tot}) \cong H_n(C \otimes A)$。一方 $q$ を固定すると $Q_q$ は自由なので $H_p(C_\bullet \otimes Q_q) = H_p(C) \otimes Q_q$ であり、もう一方のスペクトル系列は

となる。このスペクトル系列のフィルターの添字は $q$ で、$q$ は 0 と 1 の 2 通りしかないので、命題 6.3 (1) と同じ理由で $E^2 = E^\infty$ であり、短完全列

を得る。$C$ を特異鎖複体にとれば、ホモロジーの普遍係数定理である（分裂することは別の議論による）。

定理 6.9（キュネット公式, 主張）$R$ を単項イデアル整域、$C, D$ を自由 $R$ 加群の鎖複体とする。自然な短完全列

$$0 \to \bigoplus_{p+q=n} H_p(C) \otimes H_q(D) \to H_n(C \otimes D) \to \bigoplus_{p+q=n-1} \operatorname{Tor}_1^R(H_p(C), H_q(D)) \to 0$$

が存在し、（自然ではないが）分裂する。

これはキュネットのスペクトル系列 $E^2_{p,q} = \bigoplus_{s+t=q} \operatorname{Tor}_p^R(H_s(C), H_t(D)) \Rightarrow H_{p+q}(C \otimes D)$（Weibel の第 5 章）から、単項イデアル整域では $\operatorname{Tor}_p = 0$（$p \geq 2$）なので列が $p = 0, 1$ の 2 本しかないこと（命題 6.3 (1) のホモロジー版）により得られる。$R$ が体なら $\operatorname{Tor}_1 = 0$ で $H_n(C \otimes D) \cong \bigoplus_{p+q=n} H_p(C) \otimes H_q(D)$ となる。アイレンベルグ–ジルバーの定理 $C_\bullet(X \times Y) \simeq C_\bullet(X) \otimes C_\bullet(Y)$ と合わせると、積空間のホモロジーが計算できる（問題 6.5）。

命題 6.10（5 項完全列）第 1 象限のスペクトル系列 $E_2^{p,q} \Rightarrow H^{p+q}$ に対し、完全列

$$0 \to E_2^{1,0} \to H^1 \to E_2^{0,1} \xrightarrow{\ d_2\ } E_2^{2,0} \to H^2$$

が存在する。

証明. $(1, 0)$ に出入りする $d_r$（$r \geq 2$）は $q < 0$ または $p < 0$ の位置とを結ぶので、$E_\infty^{1,0} = E_2^{1,0}$。$(0, 1)$ から出る $d_r$ は $r = 2$ だけが $0$ になりえず、入る $d_r$ はないので $E_\infty^{0,1} = \ker d_2$。$(2, 0)$ に入る $d_r$ は $r = 2$（$(0, 1)$ から）だけなので $E_\infty^{2,0} = \operatorname{coker} d_2$。$H^1$ のフィルターから短完全列 $0 \to E_\infty^{1,0} \to H^1 \to E_\infty^{0,1} \to 0$ があり、$E_\infty^{2,0} = F^2 H^2 \subset H^2$ である。これらを

とつなげればよい。$\square$

6.7 グロタンディークのスペクトル系列

定理 6.11（グロタンディークのスペクトル系列, 主張のみ）$\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}$ を入射対象を十分もつアーベル圏、$G\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$, $F\colon \mathcal{B} \to \mathcal{C}$ を左完全な加法関手とし、$G$ は入射対象を $F$ 非輪状な対象（$n \geq 1$ で $R^n F = 0$ となる対象）に写すとする。このとき各 $A \in \mathcal{A}$ について

$$E_2^{p,q} = R^p F(R^q G(A)) \Rightarrow R^{p+q}(F \circ G)(A)$$

が存在する。

証明は、$A$ の入射分解に $G$ を施した複体の「カルタン–アイレンベルグ分解」から二重複体を作り、定理 6.6 を適用するものである（Weibel の第 5 章）。導来関手の合成は合成の導来関手に一致しないが、その食い違いをスペクトル系列が正確に記述する。

例 6.12 (1)（ホッホシルト–セールのスペクトル系列）$N$ を群 $G$ の正規部分群、$A$ を $G$ 加群とする。定理 6.11 の関手 $G$ として $(-)^N$（$G$ 加群から $G/N$ 加群へ）を、$F$ として $(-)^{G/N}$ をとると、合成は $(-)^G$ であり（$(-)^N$ は入射対象を入射対象に写す）、

を得る。5 項完全列（命題 6.10）はインフレーション–制限完全列

を与え、類体論で基本的な役割を果たす。(2)（ルレイのスペクトル系列）連続写像 $f\colon X \to Y$ と $X$ 上のアーベル群の層 $\mathcal{F}$ について、$G = f_{\ast}$, $F = \Gamma(Y, -)$（大域切断）とすると $F \circ G = \Gamma(X, -)$ であり、$E_2^{p,q} = H^p(Y, R^q f_{\ast} \mathcal{F}) \Rightarrow H^{p+q}(X, \mathcal{F})$（14-algebraic-geometry 第7章）。

6.8 ルレイ–セールのスペクトル系列

ファイブレーション（ファイバー束など）$F \to E \xrightarrow{\pi} B$ について、$E$ のコホモロジーを $B$ と $F$ から計算する道具がルレイ–セールのスペクトル系列である。

定理 6.13（ルレイ–セールのスペクトル系列, 主張のみ）$F \to E \to B$ をファイブレーションとし、$B$ は弧状連結かつ単連結とする。$R$ を可換環とすると、第 1 象限のスペクトル系列

$$E_2^{p,q} = H^p(B; H^q(F; R)) \Rightarrow H^{p+q}(E; R)$$

が存在する。さらに各ページ $E_r$ は積をもつ次数つき環で、$d_r$ は導分（$x \in E_r^{p,q}$ に対し $d_r(xy) = d_r(x) y + (-1)^{p+q} x\ d_r(y)$）であり、$E_\infty$ の積は $H^{\ast}(E; R)$ のカップ積から誘導される。各 $H^q(F; R)$ が有限生成自由 $R$ 加群なら $E_2^{p,q} \cong H^p(B; R) \otimes_R H^q(F; R)$ であり、$E_2$ の積はカップ積のテンソル積（符号を除く）である。

例 6.14（$H^{\ast}(\mathbb{C}P^n; \mathbb{Z})$ の計算）$n \geq 1$ とし、ホップ・ファイブレーション $S^1 \to S^{2n+1} \to \mathbb{C}P^n$（$S^{2n+1} \subset \mathbb{C}^{n+1}$ の点をその張る複素直線に写す）を考える。$B = \mathbb{C}P^n$ は単連結で、$2n$ 次元の CW 複体なので $p > 2n$ で $H^p(B) = 0$ である。$H^{\ast}(S^1) = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}u$（$\deg u = 1$）なので、$E_2$ は 2 行 $q = 0, 1$ だけからなり、$E_2^{p,0} = H^p(B)$, $E_2^{p,1} = H^p(B) u$ である。0 でありうる微分は行 1 から行 0 への $d_2$ だけで、$E_3 = E_\infty$ である。

(a) $H^{\ast}(S^{2n+1})$ は次数 $0$ と $2n+1$ にしかないので、全次数 $1, \dots, 2n$ の $E_\infty$ はすべて $0$ である。

(b) $E_2^{1,0} = H^1(B)$ には $d_2$ の出入りがないので $H^1(B) = E_\infty^{1,0} = 0$。

(c) $d_2\colon E_2^{0,1} = \mathbb{Z}u \to E_2^{2,0} = H^2(B)$ の核 $E_\infty^{0,1}$ と余核 $E_\infty^{2,0}$ はともに $0$ なので、$d_2$ は同型であり、$x = d_2(u)$ は $H^2(B) \cong \mathbb{Z}$ の生成元である。

(d) $a \in E_2^{p,0}$ について $d_2(a) \in E_2^{p+2,-1} = 0$ だから、導分の性質により $d_2(a u) = (-1)^p a x$。すなわち $d_2\colon E_2^{p,1} \to E_2^{p+2,0}$ は（符号を除いて）$x$ を掛ける写像 $H^p(B) \to H^{p+2}(B)$ である。$E_\infty^{p,1} = \ker d_2$（全次数 $p+1$）と $E_\infty^{p+2,0} = \operatorname{coker} d_2$（全次数 $p+2$）が (a) により $0$ となる範囲 $0 \leq p \leq 2n - 2$ で、$x \cdot\colon H^p(B) \to H^{p+2}(B)$ は同型である。

(b), (c), (d) と $p > 2n$ での消滅から、$H^{2k}(B) = \mathbb{Z} x^k$（$0 \leq k \leq n$）、奇数次と $2n$ より上は $0$ であり、環として

を得る。第 2 ページは次のとおりで、$d_2$ は $x^k u \mapsto \pm x^{k+1}$ という右下への矢印である。

生き残るのは $E_\infty^{0,0} = \mathbb{Z}$ と $E_\infty^{2n,1} = \mathbb{Z}x^n u$（全次数 $2n+1$）だけで、$H^{\ast}(S^{2n+1})$ と合っている。この計算はポアンカレ双対性を使った計算（09-algebraic-topology 第7章）とは独立であり、しかも環構造まで一度に得られる。

6.9 読み方の練習

スペクトル系列の計算は、次の手順で行うのが定石である。

1. ページ図を描く。 横軸 $p$、縦軸 $q$ の格子に $E_2^{p,q}$ を書き込み、$0$ になる領域（第 1 象限の外、既知の消滅）を塗りつぶす。
2. 可能な微分を列挙する。 $d_r$ の双次数は $(r, 1 - r)$ なので、出発点と行き先の両方が $0$ でない矢印だけが問題になる。行や列が少なければ、ほとんどの $d_r$ が自動的に $0$ になる（命題 6.3）。
3. 既知の答えと突き合わせる。 全空間が可縮なら $E_\infty$ は $(0, 0)$ 以外 $0$、全空間の $H^n$ が小さければ全次数 $n$ の $E_\infty$ も小さい。これから未知の $E_2$ の項や $d_r$ が決まる（例 6.14 の (a)〜(d)）。
4. 積の構造を使う。 $d_r$ が導分であることから、生成元での値だけで $d_r$ 全体が決まる。
5. 最後に拡大問題を解く。 係数が体なら不要、そうでなければ別の情報（普遍係数定理、ねじれの有無など）を使う。

まとめ

• スペクトル系列はページ $E_r$ と微分 $d_r$（双次数 $(r, 1 - r)$）の列で、$E_{r+1}$ は $E_r$ のコホモロジーである。第 1 象限なら各項は有限回で安定し $E_\infty$ に達する。
• 収束 $E_2 \Rightarrow H$ は $E_\infty$ が $H$ のフィルターの商であることを意味し、$H$ を復元するには拡大問題が残る。
• フィルター付き複体から $E_1 = H(\operatorname{gr} C)$ のスペクトル系列が生じ、2 段のフィルターでは長完全列に一致する。
• 二重複体の全複体のコホモロジーには 2 つのスペクトル系列が収束し、その比較から $\operatorname{Tor}$ の平衡性・普遍係数定理・キュネット公式が得られる。
• 5 項完全列は低次の項の関係を与え、群のコホモロジーのインフレーション–制限完全列になる。
• グロタンディークのスペクトル系列は合成関手の導来関手を計算し、ホッホシルト–セールやルレイのスペクトル系列を含む。
• ルレイ–セールのスペクトル系列と積構造により $H^{\ast}(\mathbb{C}P^n) = \mathbb{Z}[x]/(x^{n+1})$ が計算できる。

演習問題