環における因数分解

この章の目標

• 整域における単元・同伴・既約元・素元を理解し、ユークリッド整域 ⇒ 単項イデアル整域 ⇒ 一意分解整域を証明できる
• $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ で一意分解が崩れることを確かめ、各含意の逆が成り立たない例を挙げられる
• ガウスの補題を証明し、$R$ が一意分解整域なら $R[x]$ もそうであることを示せる
• アイゼンシュタインの判定法と $\bmod p$ 還元で多項式の既約性を判定できる
• ガウス整数環 $\mathbb{Z}[i]$ の素元を決定し、フェルマーの二平方和定理を証明できる

前提：第1章（素因数分解の一意性、ウィルソンの定理）、第5章（イデアル、剰余環、多項式環）

整数の素因数分解の一意性（第1章 定理 1.15）は、除法の原理 → ベズーの等式 → ユークリッドの補題 → 一意性、という流れで証明された。同じ論法は多項式環 $K[x]$ やガウス整数環 $\mathbb{Z}[i]$ でも通用する。一方、$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ では $6 = 2 \cdot 3 = (1 + \sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5})$ と、本質的に異なる 2 通りの分解が起こる。

本章では「どのような環で素因数分解が一意的か」を調べる。答えは、除法の原理が使える環（ユークリッド整域）、すべてのイデアルが単項である環（単項イデアル整域）、一意分解整域、という 3 段階の階層として整理される。後半では多項式の既約性を判定する実用的な方法を学び、最後にガウス整数の算術から「$4k + 1$ 型の素数は 2 つの平方数の和である」というフェルマーの定理を導く。

本章を通じて $R$ は整域 とする。

6.1 同伴・既約元・素元

定義 6.1（整除と同伴）$a, b \in R$ について、$b = ac$ となる $c \in R$ があるとき $a \mid b$ と書く。$a = ub$ となる単元 $u$ が存在するとき、$a$ と $b$ は同伴 (associate) であるといい、$a \sim b$ と書く。

$a \mid b \iff (b) \subset (a)$ であり、$a \sim b \iff (a) = (b)$ である（後者の $\Leftarrow$：$a = bc$, $b = ad$ なら $a = adc$ で、$a \neq 0$ なら $dc = 1$。$a = 0$ なら $b = 0$）。

定義 6.2（既約元と素元）$0$ でも単元でもない $a \in R$ について、

1. $a = bc$ ならば $b$ または $c$ が単元であるとき、$a$ を既約元 (irreducible element) という。
2. $a \mid bc$ ならば $a \mid b$ または $a \mid c$ であるとき、$a$ を素元 (prime element) という。

$p \neq 0$ が素元 $\iff$ $(p)$ が素イデアル、である。

命題 6.3 整域において、素元は既約元である。

証明. 素元 $p$ が $p = bc$ と書けたとする。$p \mid bc$ なので、たとえば $p \mid b$、$b = pd$ とすると $p = pdc$、整域なので $dc = 1$ で $c$ は単元である。$\square$

逆は一般には成り立たない（例 6.5）。

例 6.4

1. $\mathbb{Z}$ の既約元・素元は $\pm p$（$p$ は素数）である。
2. 体 $K$ 上の $K[x]$ の単元は $0$ でない定数であり（第5章 例 5.7）、$f \sim g \iff f = cg$（$c \in K^\times$）。既約元は既約多項式（1 次以上で、より低い次数の多項式の積に分解しない多項式）である。1 次式は既約である。$x^2 + 1$ は $\mathbb{R}[x]$ で既約だが、$\mathbb{C}[x]$ では $(x + i)(x - i)$ と分解する。2 次・3 次の多項式が体 $K$ 上既約であるための必要十分条件は $K$ に根をもたないことである（分解すれば 1 次因子をもつので、因数定理による）。
3. $2x$ は $\mathbb{Q}[x]$ で既約（$x$ と同伴）だが、$\mathbb{Z}[x]$ では $2 \cdot x$ で $2$ が単元でないので既約でない。
4. $\mathbb{Z}[i]$ ではノルム $N(a + bi) = a^2 + b^2$ が乗法的で、$\alpha$ が単元 $\iff N(\alpha) = 1$ である。$N(\alpha)$ が素数なら $\alpha$ は既約である（$\alpha = \beta\gamma$ なら $N(\beta)N(\gamma)$ は素数なので一方が $1$）。たとえば $1 + i$, $2 + i$ は既約。$3$ も既約である：$3 = \beta\gamma$（非単元）なら $N(\beta) = 3 = a^2 + b^2$ となるが、これは解をもたない。一方 $2 = -i(1 + i)^2$, $5 = (2 + i)(2 - i)$ は既約でない。

例 6.5（$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$）$R = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ で $N(a + b\sqrt{-5}) = a^2 + 5b^2$ とおくと、これも乗法的である。$N(\alpha) = 1 \iff \alpha = \pm 1$ なので $R^\times = \lbrace \pm 1 \rbrace$。$a^2 + 5b^2 = 2$ や $3$ となる整数解はないので、ノルムが $2, 3$ の元は存在しない。

$2, 3, 1 + \sqrt{-5}, 1 - \sqrt{-5}$ のノルムはそれぞれ $4, 9, 6, 6$ であり、非単元の積に分解すれば因子のノルムは $2$ または $3$ になってしまうので、これら 4 つはすべて既約である。また、ノルムが異なる（または $\pm 1$ 倍でない）ので互いに同伴でない。そして

と、既約元の積への分解が 2 通りある。特に $2$ は既約だが素元でない：$2 \mid (1 + \sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5})$ だが、$(1 \pm \sqrt{-5})/2 \notin R$ なので $2 \nmid 1 \pm \sqrt{-5}$。

6.2 一意分解整域

定義 6.6（一意分解整域, unique factorization domain）整域 $R$ が次の 2 条件をみたすとき、一意分解整域（UFD）という。

1. （存在）$0$ でも単元でもない任意の元は、有限個の既約元の積として表される。
2. （一意性）$p_1 \cdots p_m = q_1 \cdots q_n$（$p_i, q_j$ は既約元）ならば、$m = n$ であり、番号を付け替えると各 $i$ について $p_i \sim q_i$ となる。

命題 6.7 整域 $R$ が定義 6.6 の条件 1 をみたすとする。このとき、$R$ が一意分解整域であることと、$R$ のすべての既約元が素元であることは同値である。

証明. (⇐) $p_1 \cdots p_m = q_1 \cdots q_n$ とし、$m$ についての帰納法で示す。$p_1$ は素元なので、ある $q_j$ を割り切る（$p_1 \mid q_1 \cdots q_n$ から、素元の定義を繰り返し使う）。番号を付け替えて $j = 1$ とし $q_1 = p_1u$ とすると、$q_1$ は既約で $p_1$ は単元でないので $u$ は単元、$p_1 \sim q_1$。簡約律より $p_2 \cdots p_m = (uq_2)q_3 \cdots q_n$ で、$uq_2$ も既約なので帰納法の仮定から主張が従う（$m = 1$ のときは $n = 1$ でなければならない。$n \geq 2$ なら $p_1 = q_1 \cdots q_n$ が既約であることに反する。同様に $m \geq 2$ のときは $n \geq 2$ である。$n = 1$ なら簡約律より $p_2 \cdots p_m = u$ が単元となり、$p_2$ が単元になって矛盾する）。

(⇒) $p$ を既約元とし、$p \mid ab$, $ab = pc$ とする。$a$ が単元なら $p \mid b$ なので、$a, b$ は単元でないとしてよい（$a = 0$ または $b = 0$ なら自明）。$c$ が単元なら $ab = pc$ は既約元の単元倍で、既約元は 2 つの非単元の積にならないので矛盾する。よって $a, b, c$ をそれぞれ既約元の積に分解すると、$ab = pc$ の両辺は既約元の積であり、一意性より $p$ は $a$ または $b$ の分解に現れるある既約元と同伴である。よって $p \mid a$ または $p \mid b$。$\square$

一意分解整域では、$0$ でない元 $a, b$ の最大公約数 $\gcd(a, b)$（$a, b$ の公約数で、任意の公約数で割り切れるもの）が単元倍を除いて存在する：既約元の代表系をとって $a, b$ を分解し、各既約元の指数の小さい方をとればよい。

6.3 ユークリッド整域・単項イデアル整域・一意分解整域

定義 6.8（ユークリッド整域, Euclidean domain）整域 $R$ と写像 $\delta\colon R \setminus \lbrace 0 \rbrace \to \mathbb{Z}_{\geq 0}$ があって、任意の $a \in R$, $b \in R \setminus \lbrace 0 \rbrace$ に対し

$$a = bq + r, \qquad r = 0 \text{ または } \delta(r) < \delta(b)$$

をみたす $q, r \in R$ が存在するとき、$R$ をユークリッド整域という。

定義 6.9（単項イデアル整域, principal ideal domain）すべてのイデアルが単項イデアルである整域を単項イデアル整域（PID）という。

例 6.10

1. $\mathbb{Z}$ は $\delta(a) = \lvert a \rvert$ でユークリッド整域（第1章 定理 1.4）。
2. 体 $K$ 上の $K[x]$ は $\delta(f) = \deg f$ でユークリッド整域（第5章 定理 5.28）。
3. $\mathbb{Z}[i]$ は $\delta = N$ でユークリッド整域である。$a, b \in \mathbb{Z}[i]$, $b \neq 0$ に対し、$\mathbb{C}$ で $a/b = s + ti$（$s, t \in \mathbb{Q}$）と書き、$\lvert s - m \rvert \leq \frac{1}{2}$, $\lvert t - n \rvert \leq \frac{1}{2}$ となる整数 $m, n$ をとる。$q = m + ni$, $r = a - bq \in \mathbb{Z}[i]$ とおくと

幾何的には、格子 $b\mathbb{Z}[i]$ の正方形の中の任意の点から最も近い格子点までの距離が、正方形の一辺より短いことを使っている。

定理 6.11 ユークリッド整域は単項イデアル整域である。

証明. $I \neq (0)$ をイデアルとし、$I \setminus \lbrace 0 \rbrace$ の中で $\delta$ が最小の $b$ をとる。$a \in I$ を $a = bq + r$ と割ると $r = a - bq \in I$ で、$\delta$ の最小性から $r = 0$。よって $I = (b)$。$\square$

補題 6.12 $R$ を単項イデアル整域とする。

1. $p$ が既約元ならば $(p)$ は極大イデアルであり、特に $p$ は素元である。
2. （昇鎖条件）イデアルの増大列 $I_1 \subset I_2 \subset \cdots$ は、ある番号から先で一定になる。

証明. (1) $(p) \subset J \subsetneq R$ とし、$J = (m)$ と書く。$p = mc$ で、$m$ は単元でない（$J \neq R$）から既約性より $c$ が単元、よって $J = (m) = (p)$。$(p) \neq R$（$p$ は単元でない）なので $(p)$ は極大イデアル、したがって素イデアルで、$p$ は素元である。

(2) $I = \bigcup_n I_n$ は（増大列なので）イデアルであり、$I = (a)$ と書ける。$a \in I_N$ となる $N$ をとると、$n \geq N$ で $I = (a) \subset I_N \subset I_n \subset I$。$\square$

定理 6.13 単項イデアル整域は一意分解整域である。

証明. 命題 6.7 と補題 6.12(1) より、既約元の積への分解の存在を示せばよい。$0$ でも単元でもない $a$ で、既約元の積に書けないものがあると仮定する。$a$ は既約でないので $a = a_1b_1$（$a_1, b_1$ は非単元）と書け、$a_1, b_1$ の少なくとも一方は既約元の積に書けない。それを $a_1$ とすると、$b_1$ が単元でないので $(a) \subsetneq (a_1)$。同じ議論を $a_1$ に繰り返すと、狭義の増大列 $(a) \subsetneq (a_1) \subsetneq (a_2) \subsetneq \cdots$ が得られ、補題 6.12(2) に矛盾する。$\square$

系 6.14 $\mathbb{Z}$, 体 $K$ 上の $K[x]$, $\mathbb{Z}[i]$ は一意分解整域である。

単項イデアル整域では、$(a, b) = (d)$ となる $d$ が $\gcd(a, b)$ であり、ベズーの等式 $ax + by = d$ が成り立つ。ユークリッド整域では、これを互除法で計算できる（問題 6.3）。

$K[x]$ については、次の事実が体論（第8章）の出発点となる。

系 6.15 $K$ を体、$f \in K[x]$ を 1 次以上の多項式とすると、次は同値である。

1. $f$ は既約多項式である。
2. $(f)$ は $K[x]$ の極大イデアルである。
3. $K[x]/(f)$ は体である。

証明. (1)⇒(2) は補題 6.12(1)。(2)⇔(3) は第5章 定理 5.17。(2)⇒(1)：$f = gh$（$g, h$ は 1 次以上）なら $(f) \subsetneq (g) \subsetneq K[x]$ となり極大でない。$\square$

例 6.16（含意の逆が成り立たない例）

• $\mathbb{Z}[x]$ と $K[x, y]$ が一意分解整域であることは次節の定理 6.22 で示す。$\mathbb{Z}[x]$ のイデアル $(2, x)$ は単項でない（第5章 問題 5.2）。$K[x, y]$ の $(x, y)$ も単項でない：$(x, y) = (f)$ なら $f \mid x$, $f \mid y$ から $f$ は $0$ でない定数、すると $(x, y) = K[x, y]$ だが、$K[x, y]/(x, y) \cong K \neq 0$ に矛盾する。
• $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ は例 6.5 より一意分解整域でない。
• $\mathbb{Z}[(1 + \sqrt{-19})/2]$ が単項イデアル整域だがユークリッド整域でないことは知られているが、証明は省略する。

6.4 ガウスの補題と一意分解整域上の多項式環

$\mathbb{Z}[x]$ の多項式の $\mathbb{Q}[x]$ における分解と $\mathbb{Z}[x]$ における分解の関係を調べる。この節では $R$ を一意分解整域、$K = \operatorname{Frac}(R)$ とする。

定義 6.17（内容と原始多項式）$0$ でない $f \in R[x]$ の係数の最大公約数を $f$ の内容 (content) といい $c(f)$ と書く（単元倍を除いて定まる）。$c(f)$ が単元であるとき、$f$ を原始多項式 (primitive polynomial) という。

たとえば $c(6x^2 + 4x + 2) = 2$ で、$3x^2 + 2x + 1$ は原始多項式である。

補題 6.18（ガウスの補題, Gauss's lemma）原始多項式の積は原始多項式である。より一般に、$f, g \in R[x] \setminus \lbrace 0 \rbrace$ について $c(fg) \sim c(f)c(g)$。

証明. $f, g$ が原始的で $fg$ が原始的でないとすると、$c(fg)$ を割る既約元、すなわち素元 $p$ がある（$R$ は一意分解整域なので既約元は素元）。$p$ は $fg$ のすべての係数を割る。係数を $\bmod p$ で還元する準同型 $R[x] \to (R/(p))[x]$ を考えると、$\overline{f}\ \overline{g} = \overline{fg} = 0$。$(p)$ は素イデアルなので $R/(p)$ は整域、したがって $(R/(p))[x]$ も整域で、$\overline{f} = 0$ または $\overline{g} = 0$。すなわち $p$ は $f$ または $g$ のすべての係数を割り、原始性に反する。

一般の場合は $f = c(f)f_0$, $g = c(g)g_0$（$f_0, g_0$ は原始的）と書けば、$fg = c(f)c(g)f_0g_0$ で $f_0g_0$ は原始的なので $c(fg) \sim c(f)c(g)$。$\square$

補題 6.19 $0$ でない $f \in K[x]$ は、$f = cf_0$（$c \in K^\times$, $f_0 \in R[x]$ は原始多項式）と表され、$c$ と $f_0$ は $R$ の単元倍を除いて一意的である。特に、$f \in R[x]$ が原始多項式 $f_0$ により $f = cf_0$（$c \in K^\times$）と書ければ $c \in R$ である。

証明. 係数の分母の積 $d \in R$ を掛けると $df \in R[x]$ で、$df = c(df)f_0$（$f_0$ は原始的）より $f = (c(df)/d)f_0$。一意性：$cf_0 = c'f'_0$ とし、$c = a/b$, $c' = a'/b'$（$a, b, a', b' \in R$）と書くと $ab'f_0 = a'bf'_0$。両辺の内容を比べると $ab' \sim a'b$、すなわち $c' = uc$（$u \in R^\times$）で、$f_0 = uf'_0$。最後の主張：$f = c(f) \cdot f_1$（$f_1$ 原始的）とも書けるので、一意性より $c \sim c(f) \in R$。$\square$

定理 6.20（ガウス）$f \in R[x]$ を 1 次以上の原始多項式とする。

1. $f$ が $K[x]$ で $f = gh$（$g, h$ は 1 次以上）と分解すれば、$R[x]$ でも $\deg g_1 = \deg g$, $\deg h_1 = \deg h$ となる $f = g_1h_1$ に分解する。
2. $f$ が $R[x]$ で既約 $\iff$ $f$ が $K[x]$ で既約。

証明. (1) $g = c_1g_0$, $h = c_2h_0$（$g_0, h_0$ は原始的）と書くと $f = c_1c_2 \cdot g_0h_0$ で、ガウスの補題より $g_0h_0$ は原始的。補題 6.19 より $c_1c_2 \in R$、しかも $f$ は原始的なので $c_1c_2$ は単元。$g_1 = c_1c_2g_0$, $h_1 = h_0$ とおけばよい。

(2) (⇐) $f = gh$ を $R[x]$ での分解とする。$K[x]$ で既約なので $g, h$ の一方、たとえば $g$ は定数 $a \in R$ である。$a$ は $f$ のすべての係数を割るので $a \mid c(f)$、よって $a$ は単元。(⇒) (1) の対偶である（$K[x]$ の単元は $0$ でない定数、$R[x]$ で 1 次以上の因子は単元でない）。$\square$

定理 6.21 $R[x]$ の既約元は、(i) $R$ の既約元（定数多項式）と、(ii) $K[x]$ で既約な 1 次以上の原始多項式、で尽くされ、これらはすべて $R[x]$ の素元である。

証明. $f \in R[x]$ が既約とする。$\deg f = 0$ なら $f \in R$ で、$R$ で分解すれば $R[x]$ でも分解するので $R$ の既約元である。$\deg f \geq 1$ なら $f = c(f)f_0$ より $c(f)$ は単元（そうでなければ非単元の積に分解）で $f$ は原始的、定理 6.20(2) より $K[x]$ で既約。逆に (i), (ii) の元が既約であることも同様に示される。

素元であること：(i) $p \in R$ が既約なら素元で、$R[x]/(p) \cong (R/(p))[x]$ は整域なので $p$ は $R[x]$ の素元。(ii) $f$ を $K[x]$ で既約な原始多項式とし、$f \mid gh$（$R[x]$ で）とする。$K[x]$ は単項イデアル整域なので $f$ は $K[x]$ の素元であり、たとえば $g = fk$（$k \in K[x]$）。$k = ck_0$（$k_0$ 原始的）と書くと $g = c \cdot fk_0$ で、$fk_0$ はガウスの補題より原始的だから、補題 6.19 より $c \in R$。よって $k \in R[x]$ で、$f \mid g$ が $R[x]$ で成り立つ。$\square$

定理 6.22 $R$ が一意分解整域ならば、$R[x]$ も一意分解整域である。

証明. 命題 6.7 と定理 6.21 より、既約元の積への分解の存在を示せばよい。$f \in R[x]$ を $0$ でも単元でもない元とし、$f = c(f)f_0$ と書く。$c(f)$ は（単元でなければ）$R$ で既約元の積に分解する。$\deg f_0 \geq 1$ なら、$K[x]$ は一意分解整域なので $f_0 = g_1 \cdots g_k$（$g_i$ は $K[x]$ の既約元）と書ける。$g_i = c_ig'_i$（$g'_i$ は原始的）とすると $f_0 = (c_1 \cdots c_k)g'_1 \cdots g'_k$ で、ガウスの補題と補題 6.19 から $c_1 \cdots c_k$ は $R$ の単元である。各 $g'_i$ は $K[x]$ で既約な原始多項式、すなわち $R[x]$ の既約元なので、$f$ の既約元への分解が得られる。$\square$

系 6.23 $\mathbb{Z}[x_1, \dots, x_n]$ と、体 $K$ 上の $K[x_1, \dots, x_n]$ は一意分解整域である。

証明. $R[x_1, \dots, x_n] = R[x_1, \dots, x_{n-1}][x_n]$ と定理 6.22 に、$n$ についての帰納法を適用する。$\square$

6.5 既約性の判定法

$\mathbb{Q}[x]$ の多項式の既約性は、定理 6.20 により $\mathbb{Z}[x]$ の原始多項式の既約性に帰着する。さらに素数 $p$ で係数を還元することで、判定のための強力な道具が得られる。

定理 6.24（アイゼンシュタインの判定法, Eisenstein's criterion）$R$ を一意分解整域、$K = \operatorname{Frac}(R)$、$p$ を $R$ の素元とする。$f = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0 \in R[x]$（$n \geq 1$）が

$$p \nmid a_n, \qquad p \mid a_i \ (0 \leq i \leq n - 1), \qquad p^2 \nmid a_0$$

をみたすならば、$f$ は $K[x]$ で既約である。

証明. $f$ が $K[x]$ で 1 次以上の 2 つの多項式の積に分解すると仮定する。$f = c(f)f_0$ とすると $f_0$ も $K[x]$ で分解するので、定理 6.20(1) より $f_0 = g_0h_0$（$g_0, h_0 \in R[x]$、1 次以上）と書け、$f = gh$（$g = c(f)g_0$, $h = h_0$）は $R[x]$ における 1 次以上の多項式への分解である。$\bmod p$ で還元すると、仮定より $\overline{f} = \overline{a_n}x^n$ なので

$g, h$ の最高次係数の積は $a_n$ で $p$ で割り切れないので、$\deg \overline{g} = \deg g \geq 1$, $\deg \overline{h} = \deg h \geq 1$。$R/(p)$ は整域なのでその分数体 $F$ 上の多項式環 $F[x]$（一意分解整域）で考えると、$x$ は素元であり、$\overline{a_n}x^n$ の約元は $cx^k$ の形に限る。よって $\overline{g} = bx^k$, $\overline{h} = b'x^{n-k}$（$k, n - k \geq 1$）で、$\overline{g}, \overline{h}$ の定数項は $0$、すなわち $p \mid g(0)$, $p \mid h(0)$。すると $p^2 \mid g(0)h(0) = a_0$ となり矛盾する。$\square$

例 6.25

1. $x^n - 2$ は任意の $n \geq 1$ で $\mathbb{Q}[x]$ の既約多項式である（$p = 2$）。特に $\mathbb{Q}$ 上には任意の次数の既約多項式がある。
2. $x^5 - 6x + 3$（$p = 3$）、$x^4 + 10x + 5$（$p = 5$）は $\mathbb{Q}$ 上既約。
3. 変数変換も有効である：$\varphi(x) \mapsto \varphi(x + 1)$ は $\mathbb{Q}[x]$ の環自己同型（逆は $x \mapsto x - 1$ の代入）なので既約性を保つ。$x^4 + 1$ に $x \mapsto x + 1$ を施すと $x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 2$ となり、$p = 2$ でアイゼンシュタインの条件をみたすので、$x^4 + 1$ は $\mathbb{Q}$ 上既約である。

定理 6.26（円分多項式 $\Phi_p$ の既約性）$p$ を素数とすると、

$$\Phi_p(x) = \frac{x^p - 1}{x - 1} = x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1$$

は $\mathbb{Q}[x]$ の既約多項式である。

証明. $x = y + 1$ を代入すると、二項定理より

最高次係数は $1$、$1 \leq k \leq p - 1$ で $p \mid \binom{p}{k}$（第5章 命題 5.36 の証明）、定数項 $\binom{p}{1} = p$ は $p^2$ で割り切れない。アイゼンシュタインの判定法より $\Phi_p(y + 1)$ は既約で、例 6.25(3) の注意により $\Phi_p(x)$ も既約である。$\square$

$\Phi_p$ の根は 1 の原始 $p$ 乗根 $e^{2\pi ik/p}$（$1 \leq k \leq p - 1$）である。一般の円分多項式 $\Phi_n$ の既約性は第9章で証明する。

定理 6.27（$\bmod p$ 還元）$f \in \mathbb{Z}[x]$, $\deg f = n \geq 1$ とし、素数 $p$ は $f$ の最高次係数を割らないとする。$f$ を $\bmod p$ で還元した $\overline{f} \in \mathbb{F}_p[x]$ が既約ならば、$f$ は $\mathbb{Q}[x]$ で既約である。

証明. $f$ が $\mathbb{Q}[x]$ で 1 次以上の多項式の積に分解すれば、定理 6.24 の証明と同様に $f = gh$（$g, h \in \mathbb{Z}[x]$, 1 次以上）と書ける。最高次係数の積が $p$ で割り切れないので $\deg \overline{g} = \deg g$, $\deg \overline{h} = \deg h$ で、$\overline{f} = \overline{g}\ \overline{h}$ は $\mathbb{F}_p[x]$ における 1 次以上の多項式への分解となり、仮定に反する。$\square$

例 6.28

1. $x^3 - 3x - 1$ を $\bmod 2$ で還元すると $x^3 + x + 1$。$\mathbb{F}_2$ で $0, 1$ を代入するといずれも $1$ なので根がなく、3 次なので $\mathbb{F}_2$ 上既約。よって $x^3 - 3x - 1$ は $\mathbb{Q}$ 上既約である。この多項式は $2\cos 20^\circ$ を根にもち、第8章で角の三等分の不可能性を示すのに使う。
2. $x^4 + x + 1$ は $\mathbb{F}_2$ 上既約である：根をもたず（$0, 1$ で値 $1$）、2 次の既約多項式の積でもない（$\mathbb{F}_2$ 上の 2 次の既約多項式は $x^2 + x + 1$ だけで、$(x^2 + x + 1)^2 = x^4 + x^2 + 1$）。したがって、$\bmod 2$ でこれに還元される $x^4 + 2x^3 + 3x + 5$ などは $\mathbb{Q}$ 上既約である。
3. 有理根定理：$f = a_nx^n + \cdots + a_0 \in \mathbb{Z}[x]$ が有理数の根 $r/s$（既約分数）をもてば、$r \mid a_0$ かつ $s \mid a_n$。実際 $a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1}s + \cdots + a_0s^n = 0$ から $r \mid a_0s^n$, $s \mid a_nr^n$ で、$\gcd(r, s) = 1$ による。2 次・3 次の多項式では根の候補を調べ尽くせば既約性が判定できる。

6.6 ガウス整数とフェルマーの二平方和定理

どの素数が 2 つの平方数の和で表されるだろうか。小さい素数で試すと

であり、$3, 7, 11, 19, 23, 31$ は表せない。平方数は $\bmod 4$ で $0$ か $1$ なので、$4k + 3$ 型の数は 2 つの平方数の和にならない。フェルマーは逆に $4k + 1$ 型の素数はすべて表されると主張した。$a^2 + b^2 = (a + bi)(a - bi)$ に注目すると、この問題は $\mathbb{Z}[i]$ における素数の分解の問題になる。

補題 6.29 $p \equiv 1 \pmod 4$ を素数とすると、$x^2 \equiv -1 \pmod p$ となる整数 $x$ が存在する。

証明. ウィルソンの定理（第1章 定理 1.38）より $-1 \equiv (p - 1)!$。$k$ と $p - k$（$1 \leq k \leq (p-1)/2$）を組にすると $k(p - k) \equiv -k^2$ なので

$(p - 1)/2$ は偶数なので、$x = ((p-1)/2)!$ とおけば $x^2 \equiv -1 \pmod p$。$\square$

定理 6.30（フェルマーの二平方和定理, Fermat's theorem on sums of two squares）奇素数 $p$ が 2 つの整数の平方の和で表されるための必要十分条件は、$p \equiv 1 \pmod 4$ である。

証明. 必要性は上で見た。$p \equiv 1 \pmod 4$ とし、補題 6.29 の $x$ をとると

$(x \pm i)/p = x/p \pm i/p \notin \mathbb{Z}[i]$ なので $p \nmid x \pm i$。よって $p$ は $\mathbb{Z}[i]$ の素元でない。$\mathbb{Z}[i]$ は一意分解整域（系 6.14）なので既約元と素元は一致し、$p$ は既約でない：$p = \alpha\beta$（$\alpha, \beta$ は非単元）。$p^2 = N(p) = N(\alpha)N(\beta)$ で $N(\alpha), N(\beta) > 1$ なので $N(\alpha) = p$。$\alpha = a + bi$ とすれば $p = a^2 + b^2$。$\square$

定理 6.31（ガウス整数の素元）$\mathbb{Z}[i]$ の素元は、同伴を除いて次のもので尽くされる。

1. $1 + i$（$2 = -i(1 + i)^2$）
2. $p \equiv 1 \pmod 4$ となる素数 $p$ に対し、$p = a^2 + b^2$ と表したときの $a + bi$ と $a - bi$（この 2 つは同伴でない）
3. $q \equiv 3 \pmod 4$ となる素数 $q$

証明. (1), (2) の元はノルムが素数なので既約（例 6.4(4)）、したがって素元である。(3)：$q = \alpha\beta$（非単元）なら $N(\alpha) = q$ となり、$q$ が 2 つの平方の和になって矛盾するので $q$ は既約。

逆に $\pi$ を素元とする。$\pi \mid \pi\overline{\pi} = N(\pi)$ で、$N(\pi)$ を素因数分解すると $\pi$ はある素数 $p$ を割る。$N(\pi) \mid N(p) = p^2$ より $N(\pi) = p$ または $p^2$。$N(\pi) = p$ なら $p = a^2 + b^2$ で、$p = 2$ または $p \equiv 1 \pmod 4$、$\pi$ は (1) か (2) の元と同伴である（$N(\pi) = p$ となる $\pi$ は、$p = \pi\overline{\pi}$ の分解の一意性から $a + bi$, $a - bi$ のいずれかと同伴）。$N(\pi) = p^2$ なら $p = \pi u$ で $N(u) = 1$、$u$ は単元なので $p \sim \pi$ は素元である。$p = 2$ や $p \equiv 1 \pmod 4$ は $p = (a + bi)(a - bi)$ と分解するので素元でなく、$p \equiv 3 \pmod 4$。