ホッジ理論と大域解析

この章の目標

• ホッジスター作用素・余微分・ホッジ・ラプラシアンを定義し、具体例で計算できる
• ホッジ分解定理の主張と、楕円型作用素の理論による証明の概略を説明できる（平坦トーラスではフーリエ級数で完全に証明できる）
• 調和形式とド・ラーム・コホモロジーの同型を導き、ポアンカレ双対性を解析的に証明できる
• ワイツェンベック公式を証明し、ボホナーの技法で「$\operatorname{Ric} > 0$ ならば $b_1 = 0$」を示せる
• アティヤ–シンガーの指数定理の主張と、ガウス–ボネ–チャーンの定理・符号数定理との関係を説明できる

前提：第4章、第6章、多様体 第7章、関数解析 第2章・第5章

ド・ラーム・コホモロジー類は閉形式の同値類であり、一つの類には無数の代表元がある。計量があれば、その中で「最も小さい」代表元を選べる。それは $L^2$ ノルムを最小にする形式であり、ラプラス方程式 $\Delta\alpha = 0$ の解（調和形式）として特徴づけられる。こうして位相（コホモロジー）が偏微分方程式（楕円型方程式）の解空間として実現され、さらに曲率を通じて位相が制約される。これが大域解析の出発点である。以下、特に断らない限り $M$ は向き付けられた $n$ 次元の閉（コンパクトで境界のない）リーマン多様体とする。

7.1 ホッジスター作用素

$T_p^{\ast}M$ の内積（計量から誘導）を $\Lambda^kT_p^{\ast}M$ に $\langle \alpha^1 \wedge \dots \wedge \alpha^k, \beta^1 \wedge \dots \wedge \beta^k \rangle := \det(\langle \alpha^i, \beta^j \rangle)$ で拡張する。正規直交余枠 $\theta^1, \dots, \theta^n$ について、$\theta^I = \theta^{i_1} \wedge \dots \wedge \theta^{i_k}$ ($i_1 < \dots < i_k$) は正規直交基底である。

定義 7.1（ホッジスター作用素, Hodge star operator）線形写像 $\ast\colon \Lambda^kT_p^{\ast}M \to \Lambda^{n-k}T_p^{\ast}M$ を

$$\alpha \wedge \ast\beta = \langle \alpha, \beta \rangle\, dV \qquad (\alpha, \beta \in \Lambda^k)$$

で定める。

ウェッジ積による対 $\Lambda^k \times \Lambda^{n-k} \to \Lambda^n \cong \mathbb{R}$ は非退化なので $\ast$ は一意に定まる。正の向きの正規直交余枠では、$J$ を $I$ の補集合、$\theta^I \wedge \theta^J = \varepsilon_I\ dV$ ($\varepsilon_I = \pm 1$) として $\ast\theta^I = \varepsilon_I\theta^J$ である。

命題 7.2 $\ast 1 = dV$, $\ast dV = 1$、$k$ 形式上で $\ast\ast = (-1)^{k(n-k)}$ であり、$\ast$ は内積を保つ。

証明. 基底で確かめる。$\ast\ast\theta^I = \varepsilon_I\varepsilon_J\theta^I$ で、$\theta^J \wedge \theta^I = (-1)^{k(n-k)}\theta^I \wedge \theta^J$ より $\varepsilon_J = (-1)^{k(n-k)}\varepsilon_I$。$\ast$ は正規直交基底を符号を除いて正規直交基底に写す。$\square$

例 7.3

• $\mathbb{R}^3$：$\ast dx = dy \wedge dz$, $\ast dy = dz \wedge dx$, $\ast dz = dx \wedge dy$。1 形式 $\omega = F_1dx + F_2dy + F_3dz$ について $\ast d\omega$ は回転 $\operatorname{rot}F$ に対応する（多様体 第5章 5.7 節）。
• $\mathbb{R}^2$：$\ast dx = dy$, $\ast dy = -dx$。1 形式上の $\ast$ は 90 度回転であり、$\ast\ast = -1$ は複素構造にほかならない。
• $\mathbb{R}^4$ の 2 形式上では $\ast\ast = 1$ で、$\ast(dx^1 \wedge dx^2) = dx^3 \wedge dx^4$ など。固有値 $\pm 1$ の固有空間 $\Lambda^{\pm}$（自己双対・反自己双対形式）はともに 3 次元である（演習問題 7.1）。

計量を $\lambda^2g$（$\lambda$ は正値関数）に変えると、正規直交余枠は $\lambda\theta^i$ になり、$k$ 形式上の $\ast$ は $\lambda^{n-2k}$ 倍になる。特に $n = 2k$ のとき、$k$ 形式上の $\ast$ は共形不変である。

$L^2$ 内積を $(\alpha, \beta) := \int_M\langle \alpha, \beta \rangle\ dV = \int_M \alpha \wedge \ast\beta$、ノルムを $\lVert \alpha \rVert := (\alpha, \alpha)^{1/2}$ と書く。

7.2 余微分とホッジ・ラプラシアン

定義 7.4（余微分）$k$ 形式上で $\delta := (-1)^{n(k+1)+1}\ast d\ast\colon \Omega^k(M) \to \Omega^{k-1}(M)$ と定める（関数上では $\delta = 0$）。

命題 7.5 $\alpha \in \Omega^{k-1}(M)$, $\beta \in \Omega^k(M)$ について $(d\alpha, \beta) = (\alpha, \delta\beta)$ であり、$\delta^2 = 0$ である。

証明. ストークスの定理より $0 = \int_M d(\alpha \wedge \ast\beta) = \int_M d\alpha \wedge \ast\beta + (-1)^{k-1}\int_M \alpha \wedge d\ast\beta$。$(n-k+1)$ 形式 $d\ast\beta$ を $\ast\gamma$（$\gamma = \ast^{-1}d\ast\beta$）と書けば $\alpha \wedge d\ast\beta = \langle \alpha, \gamma \rangle dV$ なので $(d\alpha, \beta) = (-1)^k(\alpha, \ast^{-1}d\ast\beta)$。$(n-k+1)$ 形式上で $\ast^{-1} = (-1)^{(n-k+1)(k-1)}\ast$ であり、符号の指数は $k + (n-k+1)(k-1) \equiv n(k+1) + 1 \pmod 2$ となる。$\delta^2 = \pm\ast d\ast\ast d\ast = \pm\ast dd\ast = 0$。$\square$

つまり $\delta$ は $d$ の形式的随伴である。証明はコンパクト台の形式についてなら非コンパクトな $M$ でも通用する。

計算には、次の枠を用いた表示が便利である。

補題 7.6 $e_1, \dots, e_n$ を局所正規直交枠、$\theta^i$ を双対余枠とすると、任意の微分形式について

$$d = \sum_i \theta^i \wedge \nabla_{e_i}, \qquad \delta = -\sum_i \iota_{e_i}\nabla_{e_i}$$

である（$\iota$ は内部積、$\nabla$ はレヴィ–チヴィタ接続から誘導される形式の共変微分）。

証明. $d' := \sum_i\theta^i \wedge \nabla_{e_i}$ は枠によらず、$\nabla_{e_i}$ がウェッジ積の導分であることから $d'(\alpha \wedge \beta) = d'\alpha \wedge \beta + (-1)^{\deg\alpha}\alpha \wedge d'\beta$ を満たす。関数では $d'f = \sum_i(e_if)\theta^i = df$、また $d'(df) = \sum_{i,j}\nabla^2f(e_i, e_j)\theta^i \wedge \theta^j = 0$（ヘッシアンの対称性は捩れがないことによる）$= d(df)$。局所的に微分形式は $f\ dx^{i_1} \wedge \dots \wedge dx^{i_k}$ の和なので $d' = d$。

次に $\delta' := -\sum_i\iota_{e_i}\nabla_{e_i}$ とし、点 $p$ で $\nabla e_i(p) = 0$ となる枠（$p$ からの動径測地線に沿った平行移動で作れる）を使う。$\langle Z, X \rangle := \langle \alpha, \iota_X\beta \rangle$ で定まるベクトル場 $Z$ について、$p$ で $\operatorname{div}Z = \sum_ie_i\langle \alpha, \iota_{e_i}\beta \rangle = \sum_i(\langle \nabla_{e_i}\alpha, \iota_{e_i}\beta \rangle + \langle \alpha, \iota_{e_i}\nabla_{e_i}\beta \rangle)$。$\theta^i \wedge$ と $\iota_{e_i}$ は各点で互いに随伴なので、第 1 項の和は $\langle d\alpha, \beta \rangle$ であり、$\langle d\alpha, \beta \rangle - \langle \alpha, \delta'\beta \rangle = \operatorname{div}Z$。コンパクト台の $\alpha$ について積分すると $(d\alpha, \beta) = (\alpha, \delta'\beta)$ となり、命題 7.5 と比べて $(\alpha, (\delta - \delta')\beta) = 0$ がすべての $\alpha$ で成り立つので $\delta = \delta'$。$\square$

特に 1 形式では $\delta\omega = -\sum_i(\nabla_{e_i}\omega)(e_i) = -\operatorname{div}\omega^{\sharp}$、局所座標では $\delta\omega = -\frac{1}{\sqrt{\det g}}\partial_i(\sqrt{\det g}\ g^{ij}\omega_j)$ である。

定義 7.7（ホッジ・ラプラシアン）$\Delta := d\delta + \delta d\colon \Omega^k(M) \to \Omega^k(M)$ をホッジ・ラプラシアン (Hodge Laplacian) といい、$\Delta\alpha = 0$ となる $\alpha$ を調和形式 (harmonic form) という。$k$ 次の調和形式の空間を $\mathcal{H}^k$ と書く。

関数に対しては $\Delta f = \delta df = -\operatorname{div}\operatorname{grad} f = -\frac{1}{\sqrt{\det g}}\partial_i(\sqrt{\det g}\ g^{ij}\partial_jf)$ であり（ラプラス–ベルトラミ作用素）、$\mathbb{R}^n$ では $\Delta = -\sum_i\partial_i^2$ である。本教材は $\Delta$ が非負になるこの符号を採用する（解析学の本では逆符号が多いので注意）。

例 7.8

• 単位球面 $d\theta^2 + \sin^2\theta\ d\phi^2$ では $\sqrt{\det g} = \sin\theta$ で、$\Delta f = -\frac{1}{\sin\theta}\partial_\theta(\sin\theta\ \partial_\theta f) - \frac{1}{\sin^2\theta}\partial_\phi^2f$。$f = \cos\theta$（座標関数 $x^3$ の制限）では $\Delta f = -\frac{1}{\sin\theta}\partial_\theta(-\sin^2\theta) = 2\cos\theta$ となり、固有値 $2 = l(l+1)$ ($l = 1$) を得る。
• 上半平面では $\sqrt{\det g} = y^{-2}$, $g^{ij} = y^2\delta^{ij}$ なので $\Delta = -y^2(\partial_x^2 + \partial_y^2)$ であり、$\Delta y^s = s(1-s)y^s$。この固有関数は保型形式の理論で基本的である（リーマン面 第3章）。

命題 7.9 $(\Delta\alpha, \beta) = (\alpha, \Delta\beta)$ かつ $(\Delta\alpha, \alpha) = \lVert d\alpha \rVert^2 + \lVert \delta\alpha \rVert^2 \geq 0$。したがって $\Delta\alpha = 0 \Leftrightarrow d\alpha = 0$ かつ $\delta\alpha = 0$。また $\ast\Delta = \Delta\ast$ である。

証明. 命題 7.5 から $(\Delta\alpha, \beta) = (d\alpha, d\beta) + (\delta\alpha, \delta\beta)$ で、これは対称である。$\ast\Delta = \Delta\ast$ は演習問題 7.4。$\square$

特に連結な閉多様体上の調和関数は $df = 0$ より定数である。

7.3 ホッジ分解定理

定理 7.10（ホッジ分解定理, Hodge decomposition）$M$ を向き付けられた閉リーマン多様体とする。 (1) $\mathcal{H}^k$ は有限次元である。

(2) $L^2$ 直交直和分解

$$\Omega^k(M) = \mathcal{H}^k \oplus d\Omega^{k-1}(M) \oplus \delta\Omega^{k+1}(M)$$

が成り立つ。同値な言い方として、$\beta \in \Omega^k(M)$ が $\mathcal{H}^k$ に直交するならば $\Delta\alpha = \beta$ を満たす $\alpha \in \Omega^k(M)$ が存在する。

証明（直交性）. $(d\alpha, \delta\beta) = (dd\alpha, \beta) = 0$、$h \in \mathcal{H}^k$ なら $(h, d\alpha) = (\delta h, \alpha) = 0$, $(h, \delta\beta) = (dh, \beta) = 0$。後半の主張から (2) が従うことは、$\beta - (\mathcal{H}^k \text{ への射影}) = \Delta\alpha = d(\delta\alpha) + \delta(d\alpha)$ から分かる。

存在の証明の概略. 本質的な部分は楕円型偏微分方程式の理論による。

1. 微分形式のソボレフ空間 $H^s$ を、1 の分割と局所座標で成分ごとに定める。コンパクト性からレリッヒの定理：包含 $H^{s+1} \hookrightarrow H^s$ はコンパクト作用素である。
2. $\Delta$ は局所座標で $-g^{ij}\partial_i\partial_j$（成分ごと）に低階の項を加えた形をしており、主表象が $\lvert \xi \rvert^2\mathrm{id}$ で可逆、すなわち楕円型である。これから楕円型評価 $\lVert \alpha \rVert_{H^{s+2}} \leq C(\lVert \Delta\alpha \rVert_{H^s} + \lVert \alpha \rVert_{H^s})$ が得られる。
3. 楕円型正則性：$\beta$ が滑らかで、$\alpha \in L^2$ が弱い意味で $\Delta\alpha = \beta$ を満たせば、$\alpha$ は滑らかである。
4. 1〜3 から、$\ker\Delta$ の単位球は $L^2$ でコンパクトなので $\mathcal{H}^k$ は有限次元。また $\Delta$ の値域は閉で、自己随伴性から $\operatorname{im}\Delta = (\ker\Delta)^{\perp}$ となる（フレドホルムの択一定理、関数解析 第5章）。正則性から解は滑らかにとれる。

詳細は Warner の Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups のホッジの定理の章、ソボレフ空間と楕円型評価は 偏微分方程式論 第3章・第4章 を参照。$\square$

平坦トーラスでは、すべてを初等的に確かめられる。

例 7.11（平坦トーラスのホッジ分解）$T^n = \mathbb{R}^n/2\pi\mathbb{Z}^n$ にユークリッド計量を与える。$dx^i$ は平行なので、補題 7.6 より $d = \sum_idx^i \wedge \partial_i$, $\delta = -\sum_i\iota_{\partial_i}\partial_i$（係数の偏微分）であり、$dx^j \wedge \iota_{\partial_i} + \iota_{\partial_i}(dx^j \wedge \cdot) = \delta_{ij}$ から

となる。係数をフーリエ級数 $f_I = \sum_{m \in \mathbb{Z}^n}\hat{f}_I(m)e^{i\langle m, x \rangle}$ に展開すると、滑らかさは係数の急減少と同値であり（微分方程式 第6章 の多変数版）、$\Delta e^{i\langle m, x \rangle} = \lvert m \rvert^2e^{i\langle m, x \rangle}$。よって調和形式は定数係数の形式 $\sum_Ic_Idx^I$ に限り、$\dim\mathcal{H}^k = \binom{n}{k}$。$\beta \perp \mathcal{H}^k$（すなわち $\hat{\beta}_I(0) = 0$）なら、$\alpha = \sum_I\sum_{m \neq 0}\lvert m \rvert^{-2}\hat{\beta}_I(m)e^{i\langle m, x \rangle}dx^I$ は係数が急減少なので滑らかで、$\Delta\alpha = \beta$ を満たす。こうして定理 7.10 が $T^n$ で完全に証明される。

系 7.12（ホッジの定理）$M$ を向き付けられた閉リーマン多様体とする。各ド・ラーム・コホモロジー類はただ一つの調和形式を含み、$\mathcal{H}^k \cong H^k_{\mathrm{dR}}(M)$ である。調和形式はその類の中で $L^2$ ノルムを最小にする元であり、特にベッチ数 $b_k = \dim H^k_{\mathrm{dR}}(M)$ は有限である。

証明. 閉形式 $\alpha$ を $\alpha = h + d\beta + \delta\gamma$ と分解すると、$0 = d\alpha = d\delta\gamma$ より $\lVert \delta\gamma \rVert^2 = (\gamma, d\delta\gamma) = 0$。よって $\alpha = h + d\beta$ で、$[\alpha]$ は調和形式 $h$ を含む。$h$ が完全形式 $d\beta$ なら $\lVert h \rVert^2 = (h, d\beta) = (\delta h, \beta) = 0$ なので、代表元は一意である。最小性は $\lVert h + d\beta \rVert^2 = \lVert h \rVert^2 + \lVert d\beta \rVert^2$ から。$\square$

例 7.11 と合わせると、$H^k_{\mathrm{dR}}(T^n) \cong \Lambda^k(\mathbb{R}^n)^{\ast}$ であり、各類は定数係数の形式で代表される（多様体 第7章 の計算と一致する）。ホッジの定理はド・ラーム・コホモロジーの有限次元性の解析的な証明も与えている。

7.4 ポアンカレ双対性の解析的証明

定理 7.13（ポアンカレ双対性）$M$ を向き付けられた $n$ 次元閉多様体とする。双線形形式

$$H^k_{\mathrm{dR}}(M) \times H^{n-k}_{\mathrm{dR}}(M) \to \mathbb{R}, \qquad ([\alpha], [\beta]) \mapsto \int_M \alpha \wedge \beta$$

は非退化である。特に $H^{n-k}_{\mathrm{dR}}(M) \cong H^k_{\mathrm{dR}}(M)^{\ast}$, $b_{n-k} = b_k$。

証明. ストークスの定理より積分は代表元によらない。リーマン計量を一つとる。$h \in \mathcal{H}^k$ なら $d\ast h = \pm\ast\delta h = 0$, $\delta\ast h = \pm\ast dh = 0$（$\delta = \pm\ast d\ast$ と $\ast\ast = \pm 1$）なので $\ast h \in \mathcal{H}^{n-k}$ である。$[\alpha] \neq 0$ なら系 7.12 よりその調和代表元 $h \neq 0$ をとれて、$\int_M h \wedge \ast h = \lVert h \rVert^2 > 0$。よって $[\ast h]$ との対が $0$ でない。$\square$

位相幾何学的な証明（位相幾何学 第7章）と比べ、調和形式が $\ast$ で対応するという具体的な形で双対性が実現されている。帰結として、奇数次元の向き付けられた閉多様体では $b_k = b_{n-k}$ の符号が打ち消し合い、$\chi(M) = \sum_k(-1)^kb_k = 0$ となる。

$n = 4l$ のとき、$H^{2l}$ 上の交叉形式 $Q([\alpha], [\beta]) = \int_M\alpha \wedge \beta$ は対称で非退化であり、その符号数（正の固有値の個数 $-$ 負の固有値の個数）を $M$ の符号数 $\sigma(M)$ という。

命題 7.14 $n = 4l$ のとき $\ast$ は $\mathcal{H}^{2l}$ 上の対合で、その $\pm 1$ 固有空間を $\mathcal{H}^{\pm}$ とすると $\sigma(M) = \dim\mathcal{H}^{+} - \dim\mathcal{H}^{-}$。

証明. $2l$ 形式上で $\ast\ast = (-1)^{(2l)^2} = 1$。$h \in \mathcal{H}^{\pm}$ なら $Q(h, h) = \int h \wedge h = \pm\int h \wedge \ast h = \pm\lVert h \rVert^2$ で、$\mathcal{H}^{+}$ 上で正定値、$\mathcal{H}^{-}$ 上で負定値。$h_{+} \in \mathcal{H}^{+}$, $h_{-} \in \mathcal{H}^{-}$ については $h_{-} = -\ast h_{-}$ より $Q(h_{+}, h_{-}) = -\int h_{+} \wedge \ast h_{-} = -(h_{+}, h_{-}) = 0$（$\ast$ は等長な対合なので固有空間は直交する）。よって $Q$ はこの分解で対角化される。$\square$

$\mathbb{C}P^2$ は $b_2 = 1$ で生成元 $a$ が $\int a^2 = 1$ を満たすので $\sigma = 1$、$S^2 \times S^2$ は $\sigma = 0$ である（演習問題 7.6）。

7.5 ワイツェンベック公式とボホナーの技法

1 形式 $\omega$ のラフ・ラプラシアンを $\nabla^{\ast}\nabla\omega := -\sum_i\nabla^2_{e_i, e_i}\omega$（$\nabla^2_{X,Y} = \nabla_X\nabla_Y - \nabla_{\nabla_XY}$、正規直交枠によらない）と定める。点 $p$ で $\nabla e_i(p) = 0$ の枠を使い、$\langle Z, X \rangle := \langle \nabla_X\omega, \omega \rangle$ で定まる $Z$ について $\operatorname{div}Z = -\langle \nabla^{\ast}\nabla\omega, \omega \rangle + \lvert \nabla\omega \rvert^2$ となるので、積分して $(\nabla^{\ast}\nabla\omega, \omega) = \lVert \nabla\omega \rVert^2$ を得る。

定理 7.15（ワイツェンベック公式, Weitzenböck formula）1 形式 $\omega$ について

$$\Delta\omega = \nabla^{\ast}\nabla\omega + \operatorname{Ric}(\omega^{\sharp}, \cdot\,) .$$

証明. 点 $p$ で $\nabla e_i(p) = 0$ となる正規直交枠をとり、補題 7.6 を使う。$p$ では $\nabla\theta^i = 0$ なので

である。$p$ では $\nabla_{e_j}\nabla_{e_i} = \nabla^2_{e_j, e_i}$ なので、和の第 1 項は $\nabla^{\ast}\nabla\omega$、残りはリッチ恒等式（4.1 節、1 形式では $(R(X,Y)\omega)(Z) = -\omega(R(X,Y)Z)$）により

ここで曲率の対称性 (d) より $\langle \sum_jR(e_i, e_j)e_j, Y \rangle = \sum_j\langle R(e_j, Y)e_i, e_j \rangle = \operatorname{Ric}(Y, e_i)$ なので、右辺は $\sum_i\operatorname{Ric}(e_i, \omega^{\sharp})\theta^i = \operatorname{Ric}(\omega^{\sharp}, \cdot)$。$\square$

定理 7.16（ボホナー, Bochner）$M$ を向き付けられた連結な閉リーマン多様体とする。 (1) $\operatorname{Ric} \geq 0$ ならば、調和 1 形式はすべて平行であり、$b_1(M) \leq n$。

(2) $\operatorname{Ric} \geq 0$ で、ある点で $\operatorname{Ric} > 0$（正定値）ならば $b_1(M) = 0$。特に $\operatorname{Ric} > 0$ ならば $b_1(M) = 0$。

証明. 調和 1 形式 $\omega$ についてワイツェンベック公式と $\omega$ の内積を積分すると

$\operatorname{Ric} \geq 0$ なら両項とも非負なので、$\nabla\omega = 0$ かつ $\operatorname{Ric}(\omega^{\sharp}, \omega^{\sharp}) \equiv 0$。平行な形式は 1 点での値で決まる（平行移動、連結性）ので $\dim\mathcal{H}^1 \leq n$ で、ホッジの定理より $b_1 = \dim\mathcal{H}^1 \leq n$。(2) では $\operatorname{Ric} > 0$ の点で $\omega = 0$ となり、平行なので $\omega \equiv 0$。$\square$

$\operatorname{Ric} > 0$ ならボネ–マイヤーズの定理から $\pi_1(M)$ は有限で、$H_1(M; \mathbb{Z})$ も有限なので $b_1 = 0$ となる。ボホナーの結論はこれより弱いが、完全に異なる方法（積分公式）による点が重要で、このボホナーの技法は多くの場面に一般化される。例えば (1) の等号 $b_1 = n$ は平坦トーラスで起こり、$b_1 = n$ となるのは平坦トーラスに限ることが知られている。一般の $k$ 形式にもワイツェンベック公式 $\Delta = \nabla^{\ast}\nabla + \mathfrak{R}_k$ があり、曲率作用素が正なら $0 < k < n$ で $b_k = 0$ となる（主張のみ）。関数への応用として、固有値の下からの評価も得られる（演習問題 7.7）。

7.6 アティヤ–シンガーの指数定理

ベクトル束の間の線形微分作用素 $D\colon \Gamma(E) \to \Gamma(F)$ の最高階の部分を、微分 $\partial_j$ を余ベクトル $i\xi_j$ に置き換えて得られる線形写像 $\sigma_D(\xi)\colon E_x \to F_x$ ($\xi \in T_x^{\ast}M$) を主表象という。$\xi \neq 0$ で $\sigma_D(\xi)$ が可逆のとき $D$ は楕円型である。例えば $\Delta$ の主表象は $\lvert \xi \rvert^2$、$d + \delta$ の主表象は $i(\xi \wedge \cdot - \iota_{\xi^{\sharp}})$ で、その 2 乗は $\lvert \xi \rvert^2$ なので楕円型である。

閉多様体上の楕円型作用素はフレドホルム作用素であり、核と余核は有限次元である。その差

を指数という。指数は $D$ を楕円型のまま連続に変形しても変わらず、主表象のホモトピー類だけで決まる（主張のみ）。

定理 7.17（アティヤ–シンガーの指数定理, Atiyah–Singer）閉多様体上の楕円型作用素の指数は、主表象と $M$ の特性類から作られる位相的な量（位相的指数）に等しい。（主張のみ。一般の公式はチャーン指標とトッド類を用いて書かれる）

以下の 2 例では、定理の内容が具体的な形になる。

例 7.18（オイラー標数とガウス–ボネ–チャーン）$D = d + \delta\colon \Omega^{\mathrm{even}}(M) \to \Omega^{\mathrm{odd}}(M)$ を考える。形式的随伴は $d + \delta\colon \Omega^{\mathrm{odd}} \to \Omega^{\mathrm{even}}$ である。$\lVert (d + \delta)\alpha \rVert^2 = \lVert d\alpha \rVert^2 + \lVert \delta\alpha \rVert^2 + 2(d\alpha, \delta\alpha)$ で $(d\alpha, \delta\alpha) = (dd\alpha, \alpha) = 0$ なので、$\ker(d + \delta)$ は調和形式の空間である。ホッジの定理より

指数定理の右辺はこの作用素について $\int_Me(TM)$ となり、ガウス–ボネ–チャーンの定理（定理 6.14）が再現される。

例 7.19（符号数定理）$n = 4l$ とし、複素化した微分形式上で $p$ 形式に $\tau := i^{p(p-1) + 2l}\ast$ と作用させると $\tau^2 = 1$ で、$d + \delta$ は $\tau$ と反可換である。$\tau$ の固有空間を $\Omega^{\pm}$ として $D^{+} = d + \delta\colon \Omega^{+} \to \Omega^{-}$ の指数は符号数 $\sigma(M)$ に等しい（$p \neq 2l$ の寄与は打ち消し合い、$p = 2l$ では $\tau = \ast$ で命題 7.14 に帰着する）。指数定理はこの場合ヒルツェブルフの符号数定理

を与える。4 次元では $\sigma(M) = \frac{1}{3}\int_Mp_1(TM)$ である。検算：$S^4$ は定曲率なのでポントリャーギン形式が $0$（演習問題 6.6）で $\sigma = 0$、$\mathbb{C}P^2$ は $p_1 = 3a^2$（主張のみ）で $\sigma = 1$。特に向き付けられた閉 4 次元多様体の $\int p_1$ は $3$ の倍数でなければならない。

他にも、リーマン面上の直線束 $L$ のドルボー作用素にこの定理を適用するとリーマン–ロッホの定理 $\dim H^0(L) - \dim H^1(L) = \deg L + 1 - g$（リーマン面 第5章）が得られ、スピン多様体のディラック作用素に適用すると指数は $\hat{A}$ 種数になる。ディラック作用素に対するワイツェンベック公式（リヒネロヴィッツの公式）からスカラー曲率が正なら核が消えるので、「スカラー曲率が正のスピン閉多様体では $\hat{A}(M) = 0$」という位相的な障害が得られる。解析（ボホナーの技法）と位相（指数定理）が曲率を介して結びつく典型例であり、本科目の主題「曲率が大域的な形を制約する」の到達点の一つである。

まとめ

• ホッジスター $\ast$ は $\alpha \wedge \ast\beta = \langle \alpha, \beta \rangle dV$ で定まり、$\ast\ast = (-1)^{k(n-k)}$。余微分 $\delta = \pm\ast d\ast$ は $d$ の $L^2$ 随伴である。
• ホッジ・ラプラシアン $\Delta = d\delta + \delta d$ は非負自己随伴で、閉多様体では $\Delta\alpha = 0 \Leftrightarrow d\alpha = \delta\alpha = 0$。
• ホッジ分解 $\Omega^k = \mathcal{H}^k \oplus d\Omega^{k-1} \oplus \delta\Omega^{k+1}$ は楕円型理論で証明され、平坦トーラスではフーリエ級数で直接確かめられる。
• 各ド・ラーム類はただ一つの調和代表元（ノルム最小）をもち、$\mathcal{H}^k \cong H^k_{\mathrm{dR}}(M)$。$\ast$ が調和形式を対応させることからポアンカレ双対性が従う。
• ワイツェンベック公式 $\Delta\omega = \nabla^{\ast}\nabla\omega + \operatorname{Ric}(\omega^{\sharp}, \cdot)$ から、$\operatorname{Ric} \geq 0$ なら $b_1 \leq n$、$\operatorname{Ric} > 0$ なら $b_1 = 0$（ボホナー）。
• 楕円型作用素の指数は位相的に計算できる（アティヤ–シンガー）。$d + \delta$ からガウス–ボネ–チャーンの定理、符号数作用素からヒルツェブルフの符号数定理が得られる。

演習問題