接続と共変微分

この章の目標

• ベクトル場の成分の微分が座標に依存することを理解し、アフィン接続とクリストッフェル記号を使いこなせる
• 曲線に沿った共変微分と平行移動を定義し、その存在と一意性を証明できる
• レヴィ–チヴィタ接続の基本定理をコシュルの公式で証明し、クリストッフェル記号を計量から計算できる
• 部分多様体の誘導接続・ガウスの公式・第二基本形式を理解する
• 球面上の平行移動を計算し、ホロノミーが囲まれた面積を測ることを確かめる

前提：第1章、多様体 第4章（リー括弧）、微分方程式 第2章（線形常微分方程式の解の存在と一意性）

以下、$\mathfrak{X}(M)$ で $M$ 上の滑らかなベクトル場全体を、$C^\infty(M)$ で滑らかな関数全体を表す。

2.1 なぜ接続が必要か

$\mathbb{R}^n$ ではベクトル場 $Y = Y^i\partial_i$ を $X$ 方向に微分するには、成分を微分して $\bar{D}_XY := X(Y^i)\ \partial_i$ とすればよい。多様体上で同じことを座標で行うと、結果が座標に依存してしまう。別の座標 $(y^k)$ での成分は $\tilde{Y}^k = (\partial y^k/\partial x^i) Y^i$ であり

の第 2 項（座標変換の 2 階微分）のために、「成分を微分する」操作は座標変換と両立しない。例えば $\mathbb{R}^2$ の定ベクトル場 $\partial_x$ は、極座標では $\cos\theta\ \partial_r - r^{-1}\sin\theta\ \partial_\theta$ と成分が一定でない。「ベクトル場が一定である」ことは座標によらない概念ではないのである。

根本的な理由は、微分するには $Y_{\gamma(t)} \in T_{\gamma(t)}M$ と $Y_p \in T_pM$ という異なるベクトル空間の元を比べる必要があることにある。その比べ方を指定する付加構造が接続である。$\mathbb{R}^3$ 内の曲面なら、普通の微分を接平面に射影するという自然な方法がある（2.6 節）。リーマン多様体では、計量から標準的な接続がただ一つ決まる（2.5 節）。

2.2 アフィン接続

定義 2.1（アフィン接続, affine connection）写像 $\nabla\colon \mathfrak{X}(M) \times \mathfrak{X}(M) \to \mathfrak{X}(M)$, $(X, Y) \mapsto \nabla_XY$ が次を満たすとき、$M$ 上のアフィン接続（または単に接続）という。

1. $\nabla_XY$ は $X$ について $C^\infty(M)$ 線形：$\nabla_{fX + hX'}Y = f\nabla_XY + h\nabla_{X'}Y$。
2. $\nabla_XY$ は $Y$ について $\mathbb{R}$ 線形。
3. ライプニッツ則：$\nabla_X(fY) = (Xf)Y + f\nabla_XY$。

$\nabla_XY$ を $Y$ の $X$ 方向の共変微分 (covariant derivative) という。

補題 2.2（局所性）$(\nabla_XY)_p$ は $X_p$ と、$p$ の近傍での $Y$ の値だけで決まる。

証明. $Y$ が $p$ の近傍 $U$ で $0$ とする。台が $U$ に含まれ $\psi(p) = 1$ の隆起関数 $\psi$ をとると $\psi Y = 0$ なので、$0 = \nabla_X(\psi Y) = (X\psi)Y + \psi\nabla_XY$ を $p$ で評価して $(\nabla_XY)_p = 0$。次に $X_p = 0$ とする。$p$ の近くで $X = X^i\partial_i$ と書き、$X^i$, $\partial_i$ を隆起関数で $M$ 全体に延長すれば、1 と局所性（$X$ についての局所性も、$X$ が $p$ の近傍で $0$ なら $\psi X = 0$ から $0 = \nabla_{\psi X}Y = \psi\nabla_XY$ となることで同様に従う）より $(\nabla_XY)_p = X^i(p)(\nabla_{\partial_i}Y)_p = 0$。$\square$

したがって $v \in T_pM$ に対し $\nabla_vY$ が意味をもち、$\nabla$ は開集合に制限できる。座標近傍で

により $n^3$ 個の関数 $\Gamma^k_{ij}$ を定め、クリストッフェル記号 (Christoffel symbols) という。1〜3 より

である。第 2 項が 2.1 節で見た座標依存性を打ち消す補正項である。

命題 2.3（クリストッフェル記号の変換則）別の座標 $(y^a)$ でのクリストッフェル記号を $\tilde{\Gamma}^c_{ab}$ とすると

$$\tilde{\Gamma}^c_{ab} = \frac{\partial y^c}{\partial x^k}\left( \frac{\partial x^i}{\partial y^a}\frac{\partial x^j}{\partial y^b}\,\Gamma^k_{ij} + \frac{\partial^2 x^k}{\partial y^a\, \partial y^b} \right)$$

である。特に $\Gamma^k_{ij}$ はテンソルの成分ではない。

証明. $\tilde{\partial}_a = (\partial x^i/\partial y^a)\partial_i$ とライプニッツ則から $\nabla_{\tilde{\partial}_a}\tilde{\partial}_b = (\partial^2x^k/\partial y^a\partial y^b)\partial_k + (\partial x^i/\partial y^a)(\partial x^j/\partial y^b)\Gamma^k_{ij}\partial_k$ であり、$\partial_k = (\partial y^c/\partial x^k)\tilde{\partial}_c$ を代入すればよい。$\square$

一方、2 つの接続の差 $A(X, Y) = \nabla^1_XY - \nabla^0_XY$ は両変数について $C^\infty(M)$ 線形であり（ライプニッツ則の項が打ち消す）、$(1,2)$ 型テンソル場である（演習問題 2.1）。接続の全体はテンソル場の空間をモデルとするアフィン空間であり、1 の分割で局所的な接続 $\nabla^\alpha$ を $\sum_\alpha \psi_\alpha\nabla^\alpha$ と貼り合わせれば（$\sum \psi_\alpha = 1$ なのでライプニッツ則が保たれる）、任意の多様体に接続が存在する。

例 2.4（極座標のクリストッフェル記号）$\mathbb{R}^n$ の $\bar{D}$ は直交座標で $\Gamma^k_{ij} = 0$ である。$\mathbb{R}^2$ の極座標では $\partial_r = (\cos\theta, \sin\theta)$, $\partial_\theta = (-r\sin\theta, r\cos\theta)$ を成分ごとに微分して

を得る。すなわち $\Gamma^r_{\theta\theta} = -r$, $\Gamma^\theta_{r\theta} = \Gamma^\theta_{\theta r} = 1/r$ で他は $0$。平坦な空間でも曲線座標ではクリストッフェル記号は消えない。

接続はテンソル場に自然に拡張される。関数には $\nabla_Xf = Xf$、1 形式には $(\nabla_X\omega)(Y) := X(\omega(Y)) - \omega(\nabla_XY)$ と定め（成分は $\nabla_i\omega_j = \partial_i\omega_j - \Gamma^k_{ij}\omega_k$）、一般のテンソルにはテンソル積についてのライプニッツ則で拡張する。$(k, l)$ 型テンソル場 $T$ に対し $\nabla T(X, \dots) := (\nabla_XT)(\dots)$ は $(k, l+1)$ 型テンソル場である（全共変微分）。例えば関数 $f$ のヘッシアン $\nabla^2 f := \nabla df$ は $\nabla^2f(X, Y) = X(Yf) - (\nabla_XY)f$、成分 $\partial_i\partial_jf - \Gamma^k_{ij}\partial_kf$ である。

2.3 曲線に沿った共変微分と平行移動

曲線 $\gamma\colon I \to M$ に沿ったベクトル場 $V$（各 $t$ に $V(t) \in T_{\gamma(t)}M$ を滑らかに対応させたもの）を微分したい。$V$ は $M$ 上のベクトル場の制限とは限らない（$\gamma$ が自己交差すれば同じ点で異なる値をとりうる）。

定理 2.5（曲線に沿った共変微分）$\nabla$ を $M$ の接続、$\gamma\colon I \to M$ を滑らかな曲線とする。$\gamma$ に沿ったベクトル場 $V$ に $\gamma$ に沿ったベクトル場 $D_tV$ を対応させる作用素で、(a) $\mathbb{R}$ 線形、(b) $D_t(fV) = \dot{f}V + fD_tV$ ($f \in C^\infty(I)$)、(c) $V$ があるベクトル場 $\tilde{V}$ の制限 $V(t) = \tilde{V}_{\gamma(t)}$ ならば $D_tV(t) = \nabla_{\dot{\gamma}(t)}\tilde{V}$、を満たすものがただ一つ存在する。座標では

$$D_tV = \left( \dot{V}^k(t) + \Gamma^k_{ij}(\gamma(t))\, \dot{\gamma}^i(t)\, V^j(t) \right)\partial_k \tag{2.2}$$

である。

証明. 一意性：座標近傍内で $V = V^j(t)\partial_j$ と書くと、(a)(b) より $D_tV = \dot{V}^j\partial_j + V^jD_t\partial_j$ であり、(c) より $D_t\partial_j = \nabla_{\dot{\gamma}}\partial_j = \dot{\gamma}^i\Gamma^k_{ij}\partial_k$。よって (2.2) に限る。存在：各座標近傍で (2.2) により定めると (a)(b) は明らかで、(c) は (2.1) から従う。一意性より座標近傍の共通部分で定義は一致し、貼り合う。$\square$

定義 2.6（平行）$D_tV \equiv 0$ のとき、$V$ は $\gamma$ に沿って平行 (parallel) であるという。

定理 2.7（平行移動の存在と一意性）$\gamma\colon [a, b] \to M$ を区分的に滑らかな曲線、$t_0 \in [a, b]$, $v \in T_{\gamma(t_0)}M$ とする。$\gamma$ に沿った平行なベクトル場 $V$（折れ点で連続、各区間で滑らか）で $V(t_0) = v$ を満たすものがただ一つ存在する。

証明. $\gamma$ の像が一つの座標近傍に入る区間では、(2.2) より平行性は線形常微分方程式

であり、係数が区間上で滑らかなので、初期値に対して解は区間全体で存在し一意である（微分方程式 第2章。線形方程式の解は爆発しない）。ルベーグ数の議論により $[a, b]$ を有限個の小区間に分けて、各小区間の像が一つの座標近傍と $\gamma$ の滑らかな区間に入るようにし、$t_0$ から順に解をつないでいけばよい。一意性も各小区間の一意性から従う。$\square$

$P^\gamma_{t_0 t_1}(v) := V(t_1)$ で定まる線形同型写像 $P^\gamma_{t_0 t_1}\colon T_{\gamma(t_0)}M \to T_{\gamma(t_1)}M$ を平行移動 (parallel transport) という（逆写像は逆向きの平行移動）。逆に平行移動から接続が復元できる：$\nabla_{\dot{\gamma}(0)}Y = \frac{d}{dt}\big\vert_{t=0} P^\gamma_{t0}(Y_{\gamma(t)})$（演習問題 2.2）。

2.4 捩れと計量との両立

リーマン多様体上には接続がたくさんあるが、次の 2 つの条件で一つに決まる。

定義 2.8（捩れ）$T(X, Y) := \nabla_XY - \nabla_YX - [X, Y]$ は $C^\infty(M)$ 双線形で、$(1,2)$ 型テンソル場を定める。これを $\nabla$ の捩れ (torsion) といい、$T = 0$ のとき $\nabla$ は対称 (symmetric) または捩れがない (torsion-free) という。

$T(\partial_i, \partial_j) = (\Gamma^k_{ij} - \Gamma^k_{ji})\partial_k$ なので、対称性は「どの座標でも $\Gamma^k_{ij} = \Gamma^k_{ji}$」と同値である。

定義 2.9（計量との両立）リーマン多様体 $(M, g)$ 上の接続 $\nabla$ が任意の $X, Y, Z$ について

$$X\langle Y, Z \rangle = \langle \nabla_XY, Z \rangle + \langle Y, \nabla_XZ \rangle$$

を満たすとき、$\nabla$ は計量と両立する (compatible with the metric) という。

命題 2.10 次は同値である。(a) $\nabla$ は計量と両立する。(b) $\nabla g = 0$。(c) 任意の曲線 $\gamma$ とそれに沿ったベクトル場 $V, W$ について $\frac{d}{dt}\langle V, W \rangle = \langle D_tV, W \rangle + \langle V, D_tW \rangle$。(d) 平行移動はすべて線形等長写像である。

証明. (a)⇔(b)：$(\nabla_Xg)(Y, Z) = X\langle Y, Z \rangle - \langle \nabla_XY, Z \rangle - \langle Y, \nabla_XZ \rangle$ である。(a)⇒(c)：座標で $V = V^i\partial_i$, $W = W^j\partial_j$ とし、$\frac{d}{dt}(g_{ij}V^iW^j)$ を展開して、(a) を $X = \dot{\gamma}$, $Y = \partial_i$, $Z = \partial_j$ に適用した $\dot{\gamma}(g_{ij}) = \langle \nabla_{\dot{\gamma}}\partial_i, \partial_j \rangle + \langle \partial_i, \nabla_{\dot{\gamma}}\partial_j \rangle$ と $D_tV = \dot{V}^i\partial_i + V^i\nabla_{\dot{\gamma}}\partial_i$ を使えばよい。(c)⇒(d)：$V, W$ が平行なら $\langle V, W \rangle$ は定数。(d)⇒(c)：$T_{\gamma(t_0)}M$ の正規直交基底を平行移動した $E_1, \dots, E_n$ は各時刻で正規直交であり、$V = V^iE_i$, $W = W^iE_i$ とすると $D_tV = \dot{V}^iE_i$ なので両辺は $\sum_i(\dot{V}^iW^i + V^i\dot{W}^i)$ に等しい。(c)⇒(a)：$\dot{\gamma}(0) = X_p$ となる曲線に沿って $V = Y \circ \gamma$, $W = Z \circ \gamma$ とすればよい。$\square$

2.5 レヴィ–チヴィタ接続

定理 2.11（リーマン幾何学の基本定理）リーマン多様体 $(M, g)$ 上に、対称かつ計量と両立する接続 $\nabla$ がただ一つ存在する。これをレヴィ–チヴィタ接続 (Levi-Civita connection) という。$\nabla$ はコシュルの公式 (Koszul formula)

$$2\langle \nabla_XY, Z \rangle = X\langle Y, Z \rangle + Y\langle Z, X \rangle - Z\langle X, Y \rangle + \langle [X, Y], Z \rangle - \langle [Y, Z], X \rangle + \langle [Z, X], Y \rangle \tag{2.3}$$

で特徴づけられる。

証明. 一意性：$\nabla$ が対称で計量と両立するとする。両立条件を 3 回使うと

となる（2 行目で対称性 $\nabla_YX = \nabla_XY - [X, Y]$ などを使った）。移項すれば (2.3) を得る。右辺は $\nabla$ によらないので、$\nabla_XY$ は一意に決まる。

存在：(2.3) の右辺を $K(X, Y, Z)$ とおく。$Z$ を $fZ$ に替えると、右辺に現れる余分な項は

（第 1, 2 項から出る項と、$[Y, fZ] = f[Y, Z] + (Yf)Z$, $[fZ, X] = f[Z, X] - (Xf)Z$ から出る項）であり、$K$ は $Z$ について $C^\infty(M)$ 線形である。よって $K(X, Y, \cdot)/2$ は 1 形式であり、それに $\sharp$ を施したものを $\nabla_XY$ と定義できる。同様の計算で、$X$ を $fX$ に替えても余分な項は打ち消し合い、$Y$ を $fY$ に替えると余分な項は $2(Xf)\langle Y, Z \rangle$ となる（第 1 項と $[X, fY]$ から $(Xf)\langle Y, Z \rangle$ ずつ、第 3 項と $[fY, Z]$ からの $\mp(Zf)\langle X, Y \rangle$ は打ち消す）。したがって $\nabla$ は接続である。$K(X, Y, Z) - K(Y, X, Z) = 2\langle [X, Y], Z \rangle$（最初の 3 項は $X, Y$ について対称）より $\nabla$ は対称であり、$K(X, Y, Z) + K(X, Z, Y) = 2X\langle Y, Z \rangle$（括弧の項は打ち消す）より計量と両立する。$\square$

以下、リーマン多様体上の接続は特に断らない限りレヴィ–チヴィタ接続とする。

系 2.12 レヴィ–チヴィタ接続のクリストッフェル記号は

$$\Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2}\, g^{kl}\left( \partial_i g_{jl} + \partial_j g_{il} - \partial_l g_{ij} \right)$$

である。

証明. (2.3) で $X = \partial_i$, $Y = \partial_j$, $Z = \partial_l$ とすると括弧の項は $0$ で、$2g_{kl}\Gamma^k_{ij} = \partial_ig_{jl} + \partial_jg_{il} - \partial_lg_{ij}$。$g^{kl}$ を掛けて $l$ について和をとればよい。$\square$

例 2.13（球面）$S^2(r)$ の計量 $r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta\ d\phi^2)$ では $g_{\theta\theta} = r^2$, $g_{\phi\phi} = r^2\sin^2\theta$ で $\phi$ によらない。系 2.12 より

であり、他の成分は $0$ である（$r$ によらない）。

例 2.14（上半平面）$g = (dx^2 + dy^2)/y^2$ では $g_{xx} = g_{yy} = y^{-2}$, $g^{xx} = g^{yy} = y^2$ で、$\partial_yg_{xx} = \partial_yg_{yy} = -2y^{-3}$ だけが 0 でない微分である。系 2.12 より

で、他は $0$ である（演習問題 2.3 の共形変換の公式でも確かめられる）。

命題 2.15（自然性）$F\colon (M, g) \to (N, h)$ が等長写像なら、$dF(\nabla_XY) = \nabla_{F_{\ast}X}F_{\ast}Y$ である。特に等長写像は平行移動を平行移動に写す。

証明. $(F^{\ast}\nabla)_XY := dF^{-1}(\nabla_{F_{\ast}X}F_{\ast}Y)$ は $M$ 上の接続で、$F$ がリー括弧と計量を保つので対称かつ $g$ と両立する。定理 2.11 の一意性より $F^{\ast}\nabla$ は $g$ のレヴィ–チヴィタ接続に一致する。$\square$

2.6 部分多様体：ガウスの公式と第二基本形式

$M$ を $(\bar{M}, \bar{g})$ の埋め込まれた部分多様体とし、誘導計量 $g$ を与える。$p \in M$ で $T_p\bar{M} = T_pM \oplus N_pM$（直交補空間 $N_pM$ を法空間という）と分解し、射影を $(\cdot)^{\top}$, $(\cdot)^{\perp}$ と書く。$X, Y \in \mathfrak{X}(M)$ を $\bar{M}$ のベクトル場に任意に延長して $\bar{\nabla}_XY$ を考えると、$M$ 上の値は延長によらない（補題 2.2 と同様、$(\bar{\nabla}_{\bar{X}}\bar{Y})_p$ は $X_p$ と、$X_p$ に接する $M$ 内の曲線に沿った $Y$ の値だけで決まる）。

定理 2.16（ガウスの公式, Gauss formula）$X, Y \in \mathfrak{X}(M)$ に対し

$$\bar{\nabla}_XY = \nabla_XY + \mathrm{II}(X, Y), \qquad \nabla_XY := (\bar{\nabla}_XY)^{\top}, \quad \mathrm{II}(X, Y) := (\bar{\nabla}_XY)^{\perp}$$

と分解すると、$\nabla$ は $(M, g)$ のレヴィ–チヴィタ接続であり、$\mathrm{II}$ は法ベクトル値の対称な $C^\infty(M)$ 双線形写像である。$\mathrm{II}$ を $M$ の第二基本形式 (second fundamental form) という。

証明. $\nabla$ が接続であることは $\bar{\nabla}$ の性質を射影すれば分かる（$(\bar{\nabla}_X(fY))^{\top} = (Xf)Y + f(\bar{\nabla}_XY)^{\top}$）。$M$ に接するベクトル場のリー括弧は $M$ に接し、制限の括弧に等しいので、$\bar{\nabla}_XY - \bar{\nabla}_YX = [X, Y]$ は $M$ に接する。その接成分から $\nabla$ の対称性が、法成分から $\mathrm{II}(X, Y) = \mathrm{II}(Y, X)$ が従う。また $X\langle Y, Z \rangle = \langle \bar{\nabla}_XY, Z \rangle + \langle Y, \bar{\nabla}_XZ \rangle$ で $Y, Z$ が接ベクトルなので法成分は内積に寄与せず、$\nabla$ は $g$ と両立する。定理 2.11 の一意性より $\nabla$ はレヴィ–チヴィタ接続である。$\mathrm{II}$ は $X$ について $C^\infty(M)$ 線形で、対称性から $Y$ についても線形。$\square$

$N$ を $M$ に沿った法ベクトル場とし、$\langle N, Y \rangle = 0$ を $X$ で微分するとワインガルテンの公式 $\langle \bar{\nabla}_XN, Y \rangle = -\langle N, \mathrm{II}(X, Y) \rangle$ を得る。$S_N(X) := -(\bar{\nabla}_XN)^{\top}$ を形作用素 (shape operator) といい、$\langle S_NX, Y \rangle = \langle \mathrm{II}(X, Y), N \rangle$ より自己随伴である。超曲面で単位法ベクトル $N$ を選べば、$h(X, Y) := \langle \mathrm{II}(X, Y), N \rangle$ はスカラー値の第二基本形式、$S_N$ の固有値は主曲率であり、$\mathbb{R}^3$ 内の曲面では 多様体 第1章 1.4 節の第二基本形式と形作用素に一致する（符号は $N$ の選び方による）。

$M \subset \mathbb{R}^N$ の場合、ガウスの公式と定理 2.5 (c) から、曲線に沿った共変微分は普通の微分の接成分 $D_tV = (\dot{V})^{\top}$ である。

例 2.17（球面）単位球面 $S^n \subset \mathbb{R}^{n+1}$ の外向き単位法ベクトルは $N(x) = x$ で、$\bar{D}_XN = X$。ワインガルテンの公式より $\mathrm{II}(X, Y) = -\langle X, Y \rangle N$, $S_N = -\mathrm{id}$ であり

（後者は $\langle V, \gamma \rangle = 0$ から $\langle \dot{V}, \gamma \rangle = -\langle V, \dot{\gamma} \rangle$ を使った）。$\mathrm{II} = 0$ となる部分多様体を全測地的 (totally geodesic) という。線形部分空間 $W$ との交わり $S^n \cap W$（大球面）は、$X, Y$ が $W$ に接すれば $\nabla_XY \in W$ となるので $S^n$ の全測地的部分多様体である。

2.7 例：球面上の平行移動とホロノミー

単位球面 $S^2$ の極角 $\theta_0 \in (0, \pi)$ の緯線 $\gamma(t) = (\theta_0, t)$ ($0 \leq t \leq 2\pi$) に沿って $V = a\ \partial_\theta + b\ \partial_\phi$ を平行移動する。$\dot{\gamma} = \partial_\phi$ と例 2.13 のクリストッフェル記号から、(2.2) は

となる。$\ddot{a} = \sin\theta_0\cos\theta_0\ \dot{b} = -\cos^2\theta_0\ a$ なので、$V(0) = \partial_\theta$ ($a(0) = 1$, $b(0) = 0$, $\dot{a}(0) = 0$) の解は $a = \cos(t\cos\theta_0)$, $b = -\sin(t\cos\theta_0)/\sin\theta_0$ である（$\cos\theta_0 = 0$ でも正しい）。正規直交枠 $e_1 = \partial_\theta$, $e_2 = \partial_\phi/\sin\theta_0$ を使えば

$(e_1, e_2)$ は外向き法線に関して正の向きの枠で（赤道上の点 $(1,0,0)$ で $e_1 = (0,0,-1)$, $e_2 = (0,1,0)$ となり、外積 $e_1 \times e_2 = (1,0,0)$ は外向き）、緯線は北極側の帽子 $\lbrace \theta \leq \theta_0 \rbrace$ を左手に見て進むので、帽子の正の向きの境界である。一周すると $V(2\pi)$ は $V(0)$ を角 $-2\pi\cos\theta_0$、すなわち $2\pi$ を法として

だけ正の向きに回転したものになる。

• 赤道 ($\theta_0 = \pi/2$) では回転角は $2\pi \equiv 0$ である。赤道は測地線（第3章）なので、速度ベクトルは平行であり（例 2.17 の $D_t\dot{\gamma} = \ddot{\gamma} + \lvert \dot{\gamma} \rvert^2\gamma = 0$）、戻ってくるのは当然である。
• 緯度 $\lambda = \pi/2 - \theta_0$ の地点でフーコーの振り子の振動面が 1 恒星日に回転する角は $2\pi\sin\lambda = 2\pi\cos\theta_0$ であり、上の計算と一致する。
• 球面に緯線で接する円錐を切り開くと、中心角 $2\pi\cos\theta_0$ の扇形になる。緯線に沿った平行移動は平坦な扇形上の平行移動と同じなので、この角だけずれが生じる、と幾何学的に理解できる。

一般に、点 $p$ を始点とする閉曲線に沿った平行移動全体は $O(T_pM)$ の部分群をなし、ホロノミー群 (holonomy group) $\operatorname{Hol}_p$ と呼ばれる。$\mathbb{R}^n$ では自明であり、$S^2$ では上の計算から回転角 $2\pi(1 - \cos\theta_0)$ ($0 < \theta_0 < \pi$) がすべて現れるので $\operatorname{Hol}_p = SO(2)$ である。平行移動が経路によること、そして小さな閉曲線を回ったときのずれが囲んだ面積に比例することは、曲率の存在を示している。第4章では、この「無限小のホロノミー」として曲率テンソルを定義し、第6章ではガウス–ボネの定理（ホロノミー角 = 曲率の積分）を接続の言葉で見直す。

まとめ

• ベクトル場の成分の微分は座標に依存する。接続 $\nabla$ はその補正を与える構造で、局所的にはクリストッフェル記号 $\Gamma^k_{ij}$ で決まる。$\Gamma^k_{ij}$ はテンソルではないが、2 つの接続の差はテンソルである。
• 曲線に沿った共変微分 $D_tV = (\dot{V}^k + \Gamma^k_{ij}\dot{\gamma}^iV^j)\partial_k$ が一意に定まり、平行移動は線形常微分方程式の解として区間全体で一意に存在する。
• リーマン多様体には、対称かつ計量と両立する接続（レヴィ–チヴィタ接続）がただ一つ存在し、コシュルの公式と $\Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2}g^{kl}(\partial_ig_{jl} + \partial_jg_{il} - \partial_lg_{ij})$ で計算できる。
• 計量と両立する接続の平行移動は等長写像であり、等長写像はレヴィ–チヴィタ接続を保つ。
• 部分多様体では $\bar{\nabla}_XY = \nabla_XY + \mathrm{II}(X, Y)$（ガウスの公式）が成り立ち、$\mathbb{R}^N$ 内では共変微分は普通の微分の接成分である。
• 球面の緯線に沿った平行移動は、囲まれた帽子の面積だけベクトルを回転させる。平行移動の経路依存性は曲率の現れである。

演習問題