第1章リーマン計量（リーマン幾何学） | Lemma

この章の目標

リーマン計量の定義を述べ、局所座標での成分 $g_{ij}$ を用いて長さ・角度・勾配・体積を計算できる

球面・積多様体・平坦トーラス・双曲空間（3 つのモデル）の計量を書き下し、モデルどうしが等長であることを計算で確かめられる

1 の分割を用いてリーマン計量の存在を証明できる

曲線の長さからリーマン距離を定義し、それが多様体の位相を与える距離であることを説明できる

等長写像・体積形式・擬リーマン計量の基本事項を理解する

前提：多様体第2章（1 の分割）、第3章（接空間・はめ込み）、第5章（テンソル場）、第6章（向きと積分）、線形代数第7章（内積空間）

多様体第1章では、 $\mathbb{R}^3$ 内の曲面の長さ・角度・面積がすべて第一基本形式 $E\ du^2 + 2F\ du\ dv + G\ dv^2$ から計算でき、ガウス曲率さえ第一基本形式だけで決まる（驚異の定理）ことを見た。リーマンはこの発想を任意の次元に拡げ、「各点の接空間に内積が与えられた空間」を幾何学の舞台とすることを提案した。外側の空間を必要としないので、 $\mathbb{R}^3$ に収まらない双曲平面のような空間も、球面と同じ足場の上で扱える。

多様体はハウスドルフかつ第二可算とし、「滑らか」は $C^\infty$ 級を意味する。

1.1 リーマン計量の定義

接ベクトルは足したり定数倍したりできるが、 $T_pM$ はただのベクトル空間なので「長さ」や「角度」は測れない。そこで各点の接空間に内積を、点について滑らかに与える。

定義 1.1（リーマン計量, Riemannian metric） $M$ を滑らかな多様体とする。各点 $p \in M$ に $T_pM$ 上の内積 $g_p$ を対応させる $g$ が滑らかである、すなわち任意の滑らかなベクトル場 $X, Y$ に対して関数 $p \mapsto g_p(X_p, Y_p)$ が滑らかであるとき、 $g$ を $M$ 上のリーマン計量という。組 $(M, g)$ をリーマン多様体 (Riemannian manifold) という。

$g_p(v, w)$ を $\langle v, w \rangle$ とも書き、 $\lvert v \rvert := \sqrt{\langle v, v \rangle}$ を長さ、 $\cos \theta = \langle v, w \rangle / (\lvert v \rvert \lvert w \rvert)$ で定まる $\theta \in [0, \pi]$ を $v, w$ のなす角という。テンソルの言葉では、リーマン計量とは各点で正定値な滑らかな対称 2 階共変テンソル場（多様体第5章 5.2 節）である。

1.2 局所座標と記法の約束

注意 1.2（縮約記法）本科目ではアインシュタインの縮約記法 (Einstein summation convention) を用いる。一つの項の中に同じ添字が上と下に 1 回ずつ現れたら、その添字について $1$ から $n$ まで和をとり、和の記号を省略する。例えば $g_{ij}v^iw^j = \sum_{i,j=1}^n g_{ij}v^iw^j$ 。座標関数とベクトルの成分の添字は上に、1 形式の成分と座標基底 $\partial_i := \partial/\partial x^i$ の添字は下につける。多様体の科目では和の記号を省略しなかったが、テンソル計算の多い本科目ではこの記法を採用する。

座標近傍 $(U, (x^1, \dots, x^n))$ で $g_{ij} := g(\partial_i, \partial_j)$ とおく。行列 $(g_{ij})$ は各点で正定値対称であり、 $g(X, Y) = g_{ij}X^iY^j$ なので、 $g$ の滑らかさは $g_{ij}$ の滑らかさと同値である。対称積 $dx^i\ dx^j := \frac{1}{2}(dx^i \otimes dx^j + dx^j \otimes dx^i)$ を用いて $g = g_{ij}\ dx^i dx^j$ と書く（古典的には線素 $ds^2$ と書く）。逆行列の成分を $g^{ij}$ で表す： $g^{ij}g_{jk} = \delta^i_k$ 。

命題 1.3（座標変換則）別の座標 $(y^k)$ で $g = \tilde{g}_{kl}\ dy^k dy^l$ とすると $\tilde{g}_{kl} = g_{ij}\ (\partial x^i/\partial y^k)(\partial x^j/\partial y^l)$ 、すなわちヤコビ行列 $J = (\partial x^i/\partial y^k)$ により $\tilde{G} = J^{\top} G J$ である。

証明. 連鎖律 $\partial/\partial y^k = (\partial x^i/\partial y^k)\partial_i$ を $\tilde{g}_{kl} = g(\partial/\partial y^k, \partial/\partial y^l)$ に代入すればよい。 $\square$

例 1.4（極座標） $x = r\cos\theta$ , $y = r\sin\theta$ とし、 $dx = \cos\theta\ dr - r\sin\theta\ d\theta$ , $dy = \sin\theta\ dr + r\cos\theta\ d\theta$ を代入すると交差項が消えて $dx^2 + dy^2 = dr^2 + r^2d\theta^2$ 。よって $(g_{ij}) = \operatorname{diag}(1, r^2)$ , $(g^{ij}) = \operatorname{diag}(1, r^{-2})$ 。

定義 1.5（添字の上げ下げと勾配） $v \in T_pM$ に対し $v^{\flat} := \langle v, \cdot \rangle \in T_p^{\ast}M$ とおく。 $v \mapsto v^{\flat}$ は線形同型であり、その逆を $\omega \mapsto \omega^{\sharp}$ と書く。成分では $(v^{\flat})_i = g_{ij}v^j$ , $(\omega^{\sharp})^i = g^{ij}\omega_j$ である（添字の下げ・上げ）。関数 $f$ の勾配 (gradient) を $\operatorname{grad} f := (df)^{\sharp}$ と定める。これは $\langle \operatorname{grad} f, X \rangle = Xf$ で特徴づけられ、局所的には $\operatorname{grad} f = g^{ij}\ \partial_j f\ \partial_i$ である。

偏導関数の組 $(\partial_1 f, \dots, \partial_n f)$ は 1 形式 $df$ の成分であって、ベクトルの成分ではない。例えば極座標では $\operatorname{grad} f = \partial_r f\ \partial_r + r^{-2}\partial_\theta f\ \partial_\theta$ である（演習問題 1.1）。

補足

本科目の規約（全章共通）。曲率テンソルは $R(X,Y)Z = \nabla_X\nabla_Y Z - \nabla_Y\nabla_X Z - \nabla_{[X,Y]}Z$ 、断面曲率は $K(X,Y) = \langle R(X,Y)Y, X \rangle / (\lvert X \rvert^2 \lvert Y \rvert^2 - \langle X, Y \rangle^2)$ で定義する（第4章）。この規約で単位球面の断面曲率は $+1$ になる。座標成分は $R(\partial_i, \partial_j)\partial_k = R_{ijk}{}^l\partial_l$ , $R_{ijkl} = \langle R(\partial_i,\partial_j)\partial_k, \partial_l \rangle$ とする。ラプラシアンは非負の作用素 $\Delta = d\delta + \delta d$ とする（第7章）。符号や添字の位置は本によって異なるので、他書を読むときは必ず規約を確認すること。

1.3 例：部分多様体・積・商

例 1.6（ユークリッド空間） $\mathbb{R}^n$ に $\bar{g} = \delta_{ij}\ dx^i dx^j$ を与えたもの。以下 $\lvert dx \rvert^2 := (dx^1)^2 + \dots + (dx^n)^2$ と略記する。

命題 1.7（誘導計量） $F\colon M \to (N, h)$ をはめ込みとすると、 $(F^{\ast}h)_p(v, w) := h_{F(p)}(dF_p v, dF_p w)$ は $M$ 上のリーマン計量である（誘導計量, induced metric）。

証明. 局所表示 $(F^{\ast}h)_{ij} = h_{ab}(F(x))\ \partial_i F^a\ \partial_j F^b$ は滑らかである。 $v \neq 0$ なら $dF_p$ の単射性から $(F^{\ast}h)(v, v) = \lvert dF_pv \rvert_h^2 > 0$ 。 $\square$

$M \subset \mathbb{R}^N$ の局所パラメータ表示 $\varphi$ に対し $g_{ij} = \langle \partial_i\varphi, \partial_j\varphi \rangle$ であり、曲面の第一基本形式（多様体第1章 1.3 節）の一般化になっている。

例 1.8（球面）半径 $r$ の球面 $S^n(r) \subset \mathbb{R}^{n+1}$ に誘導計量を与える。 $n = 2$ で極角 $\theta \in (0, \pi)$ と経度 $\phi$ による $\varphi(\theta, \phi) = r(\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)$ では $\lvert \partial_\theta \varphi \rvert^2 = r^2$ , $\lvert \partial_\phi \varphi \rvert^2 = r^2\sin^2\theta$ , $\langle \partial_\theta\varphi, \partial_\phi\varphi \rangle = 0$ より

g = r^2\left(d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\phi^2\right)

である。単位球面では、北極からの立体射影 $\sigma(x) = (x^1, \dots, x^n)/(1 - x^{n+1})$ の逆写像 $\sigma^{-1}(u) = \left( 2u/(1 + \lvert u \rvert^2),\ (\lvert u \rvert^2 - 1)/(\lvert u \rvert^2 + 1) \right)$ により

(\sigma^{-1})^{\ast}\bar{g} = \frac{4\lvert du \rvert^2}{(1 + \lvert u \rvert^2)^2}

となる（演習問題 1.3）。計量がユークリッド計量の関数倍なので、立体射影は角度を保つ。

例 1.9（積計量） $(M_1, g_1)$ , $(M_2, g_2)$ に対し、 $T_{(p,q)}(M_1 \times M_2) = T_pM_1 \oplus T_qM_2$ の直交和として定まる内積を積計量 $g_1 \oplus g_2$ という。 $S^1 \times S^1 \subset \mathbb{R}^4$ の誘導計量は $d\theta_1^2 + d\theta_2^2$ で平坦だが、 $\mathbb{R}^3$ 内の回転トーラスの誘導計量 $(R + r\cos v)^2du^2 + r^2dv^2$ はガウス曲率 $\cos v/(r(R + r\cos v))$ をもつ。同じ多様体 $T^2$ に幾何学的に異なる計量が入る。

命題 1.10（商計量）群 $\Gamma$ がリーマン多様体 $(\tilde{M}, \tilde{g})$ に等長写像（定義 1.24）として自由かつ真性不連続に作用するとき、 $M = \tilde{M}/\Gamma$ 上に、射影 $\pi$ が $\pi^{\ast}g = \tilde{g}$ を満たすリーマン計量 $g$ がただ一つ存在する。

証明. $\pi$ は局所微分同相なので $g_{\pi(\tilde{p})}(v, w) := \tilde{g}_{\tilde{p}}(d\pi_{\tilde{p}}^{-1}v, d\pi_{\tilde{p}}^{-1}w)$ とおく。別の持ち上げ $\gamma\tilde{p}$ では $d\pi_{\gamma\tilde{p}} \circ d\gamma_{\tilde{p}} = d\pi_{\tilde{p}}$ で $\gamma$ が等長なので値は同じ。一意性は $\pi^{\ast}g = \tilde{g}$ が $g$ を強制することから従う。 $\square$

例 1.11（平坦トーラスと射影空間）格子 $\Lambda \subset \mathbb{R}^n$ による平行移動は等長写像なので、 $T^n = \mathbb{R}^n/\Lambda$ に計量が入る（平坦トーラス）。正方格子と六角格子から得られる 2 次元トーラスは微分同相だが等長ではない（各点を通る最短の閉測地線の本数が 2 と 3 で異なる。第3章）。また $\mathbb{R}P^n = S^n/\lbrace \pm 1 \rbrace$ に標準的な計量が入る。

1.4 双曲空間の 3 つのモデル

双曲幾何学の模型として、定曲率 $-1$ の空間（第4章）が必要になる。ヒルベルトの定理によれば、定曲率負の完備曲面は $\mathbb{R}^3$ に等長的にはめ込めない（主張のみ）ので、双曲平面は外側の空間なしに定義されたリーマン多様体として扱うほかない。

定義 1.12（双曲空間のモデル） $\mathbb{R}^{n+1}$ に $\langle x, y \rangle_L := x^1y^1 + \dots + x^ny^n - x^{n+1}y^{n+1}$ を与えたものをミンコフスキー空間 $\mathbb{R}^{n,1}$ という。

双曲面モデル： $\mathbb{H}^n := \lbrace x \in \mathbb{R}^{n+1} \mid \langle x, x \rangle_L = -1,\ x^{n+1} > 0 \rbrace$ に $\langle \cdot, \cdot \rangle_L$ の制限 $g_{\mathbb{H}}$ を与えたもの。

ポアンカレ球体モデル： $\mathbb{B}^n := \lbrace u \in \mathbb{R}^n \mid \lvert u \rvert < 1 \rbrace$ に $g_{\mathbb{B}} := 4\lvert du \rvert^2/(1 - \lvert u \rvert^2)^2$ を与えたもの（ $n = 2$ でポアンカレ円板）。

上半空間モデル： $\mathbb{U}^n := \lbrace x \in \mathbb{R}^n \mid x^n > 0 \rbrace$ に $g_{\mathbb{U}} := \lvert dx \rvert^2/(x^n)^2$ を与えたもの（ $n = 2$ で上半平面）。

$\langle \cdot, \cdot \rangle_L$ は正定値でないので、 $g_{\mathbb{H}}$ が計量であることには確認が要る。

命題 1.13 $\mathbb{H}^n$ は $\mathbb{R}^{n+1}$ の $n$ 次元部分多様体で、 $T_x\mathbb{H}^n = \lbrace v \mid \langle x, v \rangle_L = 0 \rbrace$ であり、 $\langle \cdot, \cdot \rangle_L$ は $T_x\mathbb{H}^n$ 上で正定値である。

証明. $Q(x) = \langle x, x \rangle_L$ の微分 $dQ_x(v) = 2\langle x, v \rangle_L$ は $Q(x) = -1$ のとき $0$ でないので、正則値定理から前半が従う。 $v \in T_x\mathbb{H}^n \setminus \lbrace 0 \rbrace$ とし $\bar{x} = (x^1, \dots, x^n)$ , $\bar{v}$ も同様とする。 $x^{n+1}v^{n+1} = \langle \bar{x}, \bar{v} \rangle$ とコーシー–シュワルツ、 $\lvert \bar{x} \rvert^2 = (x^{n+1})^2 - 1$ から $\lvert v^{n+1} \rvert \leq (\lvert \bar{x} \rvert/x^{n+1})\lvert \bar{v} \rvert$ 。 $\bar{v} = 0$ なら $v = 0$ となるので $\bar{v} \neq 0$ で、 $\lvert v^{n+1} \rvert < \lvert \bar{v} \rvert$ 、すなわち $\langle v, v \rangle_L > 0$ 。 $\square$

補題 1.14（反転）中心 $c$ 、半径 $r$ の反転 $\iota(x) = c + r^2(x - c)/\lvert x - c \rvert^2$ は $\iota^{\ast}\lvert dx \rvert^2 = r^4 \lvert dx \rvert^2 / \lvert x - c \rvert^4$ を満たす。

証明. $c = 0$ としてよい。 $d\iota_x(v) = (r^2/\lvert x \rvert^2)\left(v - 2\langle x, v \rangle x/\lvert x \rvert^2\right)$ であり、括弧内は超平面 $x^{\perp}$ に関する鏡映なので長さを保つ。 $\square$

定理 1.15（3 つのモデルの等長性） (1) $\pi(x) := (x^1, \dots, x^n)/(1 + x^{n+1})$ は等長写像 $\mathbb{H}^n \to \mathbb{B}^n$ で、逆写像は $\pi^{-1}(u) = \left( 2u/(1 - \lvert u \rvert^2),\ (1 + \lvert u \rvert^2)/(1 - \lvert u \rvert^2) \right)$ である。

(2) $\iota(u) := -e_n + 2(u + e_n)/\lvert u + e_n \rvert^2$ は等長写像 $\mathbb{B}^n \to \mathbb{U}^n$ である。

証明. (1) $\rho = \lvert u \rvert^2 < 1$ , $x = \pi^{-1}(u)$ とすると $\langle x, x \rangle_L = (4\rho - (1 + \rho)^2)/(1 - \rho)^2 = -1$ であり、 $\pi \circ \pi^{-1} = \mathrm{id}$ と $\pi^{-1} \circ \pi = \mathrm{id}$ （ $x \in \mathbb{H}^n$ なら $\lvert \pi(x) \rvert^2 = (x^{n+1} - 1)/(x^{n+1} + 1) < 1$ ）は直接確かめられる。 $\bar{x} = 2u/(1 - \rho)$ , $x^{n+1} = -1 + 2/(1 - \rho)$ と $u \cdot du = d\rho/2$ から

\lvert d\bar{x} \rvert^2 = \frac{4\lvert du \rvert^2}{(1-\rho)^2} + \frac{4\, d\rho^2}{(1-\rho)^3} + \frac{4\rho\, d\rho^2}{(1-\rho)^4} = \frac{4\lvert du \rvert^2}{(1-\rho)^2} + \frac{4\, d\rho^2}{(1-\rho)^4}, \qquad (dx^{n+1})^2 = \frac{4\, d\rho^2}{(1-\rho)^4}

なので $(\pi^{-1})^{\ast}g_{\mathbb{H}} = \lvert d\bar{x} \rvert^2 - (dx^{n+1})^2 = 4\lvert du \rvert^2/(1 - \rho)^2$ 。

(2) $\iota$ は中心 $-e_n$ 、半径 $\sqrt{2}$ の反転で、対合である。 $\iota(u)$ の第 $n$ 成分は

y(u) = -1 + \frac{2(u^n + 1)}{\lvert u + e_n \rvert^2} = \frac{1 - \lvert u \rvert^2}{\lvert u + e_n \rvert^2}

なので $\iota(u) \in \mathbb{U}^n \Leftrightarrow u \in \mathbb{B}^n$ であり、対合性から $\iota\colon \mathbb{B}^n \to \mathbb{U}^n$ は全単射。補題 1.14 より $\iota^{\ast} g_{\mathbb{U}} = (4\lvert du \rvert^2/\lvert u + e_n \rvert^4)/y(u)^2 = 4\lvert du \rvert^2/(1 - \lvert u \rvert^2)^2$ 。 $\square$

$\pi$ は点 $-e_{n+1}$ から見た「双曲的な立体射影」である。以下、3 つのモデルを区別せず双曲空間 $\mathbb{H}^n$ と呼ぶ。双曲面モデルは球面との類似が明快で、等長変換が線形写像になる。上半空間モデルは水平な平行移動と拡大 $x \mapsto \lambda x$ ( $\lambda > 0$ ) が等長写像になり、座標計算に向く。 $n = 2$ ではケーリー変換 $w = i(1+z)/(1-z)$ も円板から上半平面への等長写像である。

1.5 リーマン計量の存在

定理 1.16 任意の滑らかな多様体 $M$ はリーマン計量をもつ。

証明. 座標近傍の被覆 $\lbrace (U_\alpha, \varphi_\alpha) \rbrace$ と、それに従属する 1 の分割 $\lbrace \psi_\alpha \rbrace$ （多様体第2章 2.6 節）をとり、

g := \sum_\alpha \psi_\alpha\, \varphi_\alpha^{\ast}\bar{g}

とおく（各項は $U_\alpha$ の外で $0$ と拡張する）。台が局所有限なので各点の近くでは有限和であり、 $g$ は滑らかな対称 2 テンソル場である。 $v \in T_pM \setminus \lbrace 0 \rbrace$ に対し、 $\sum_\alpha \psi_\alpha(p) = 1$ よりある $\alpha$ で $\psi_\alpha(p) > 0$ 、このとき $p \in U_\alpha$ で $\varphi_\alpha^{\ast}\bar{g}(v, v) > 0$ 。他の項は非負なので $g_p(v, v) > 0$ 。 $\square$

要点は、正定値な内積の全体が凸錐をなすことにある。ホイットニーの埋め込み定理で $M \subset \mathbb{R}^N$ とみなし、誘導計量をとってもよい。

注意

同じ議論は擬リーマン計量（1.9 節）には通用しない。 $dx^2 - dy^2$ と $-dx^2 + dy^2$ の平均は $0$ である（演習問題 1.2）。実際、コンパクト多様体がローレンツ計量をもつための必要十分条件はオイラー標数が $0$ であることが知られており、 $S^2$ にはローレンツ計量がない。

計量はいつでも無数に存在する。リーマン幾何学の関心は、どのような性質（例えば曲率一定）の計量が入るか、また計量の性質が多様体の形をどう制約するかにある。

1.6 曲線の長さとリーマン距離

定義 1.17（長さ）連続写像 $\gamma\colon [a, b] \to M$ が区分的に滑らか (piecewise smooth) であるとは、分割 $a = t_0 < \dots < t_k = b$ があって各 $\gamma\vert_{[t_{i-1}, t_i]}$ が滑らかであることをいう。その長さを $L(\gamma) := \int_a^b \lvert \dot{\gamma}(t) \rvert\ dt$ （各区間の積分の和）と定める。

置換積分により、 $L(\gamma)$ は単調なパラメータ変換で変わらない。 $\dot{\gamma} \neq 0$ なら弧長で径数づけし直して $\lvert \dot{\gamma} \rvert \equiv 1$ にできる。例えば単位球面の緯線 $t \mapsto (\theta_0, t)$ ( $0 \leq t \leq 2\pi$ ) の長さは $2\pi \sin\theta_0$ である。

定義 1.18（リーマン距離）連結なリーマン多様体 $(M, g)$ の 2 点 $p, q$ に対し、 $p$ と $q$ を結ぶ区分的に滑らかな曲線の長さの下限を $d_g(p, q)$ と書き、リーマン距離 (Riemannian distance) という。

連結なら 2 点は区分的に滑らかな曲線で結べる（ $p$ と結べる点全体が開かつ閉）ので、 $d_g$ は有限である。

補題 1.19 座標近傍 $(U, x)$ 内のコンパクト集合 $K$ に対し、定数 $0 < c \leq C$ があって、 $p \in K$ , $v \in T_pM$ について $c\lvert v \rvert_e \leq \lvert v \rvert_g \leq C\lvert v \rvert_e$ が成り立つ。ここで $\lvert v \rvert_e$ は座標成分のユークリッドノルムである。

証明. 連続関数 $(p, v) \mapsto \lvert v \rvert_g$ のコンパクト集合 $\lbrace p \in K,\ \lvert v \rvert_e = 1 \rbrace$ 上の最小値と最大値をとり、斉次性を使えばよい。 $\square$

定理 1.20 連結なリーマン多様体 $(M, g)$ に対し、 $d_g$ は距離であり、その定める位相は多様体としての位相と一致する。

証明の概略. 対称性と三角不等式は、曲線を逆にたどる・つなぐことから従う。 $p \neq q$ のとき $d_g(p, q) > 0$ を示す。 $p$ のまわりの座標で $x(p) = 0$ とし、ハウスドルフ性を使って閉ユークリッド球 $\bar{B}_\varepsilon = \lbrace \lvert x \rvert \leq \varepsilon \rbrace \subset U$ が $q$ を含まないようにし、 $\bar{B}_\varepsilon$ 上で補題 1.19 の $c, C$ をとる。 $p$ から $q$ への曲線は $\bar{B}_\varepsilon$ から出るので、ユークリッドの長さ $\varepsilon$ 以上の部分弧を含み、 $L(\gamma) \geq c\varepsilon$ 。同じ評価から、 $0 < \delta \leq \varepsilon$ について距離球 $B(p, c\delta)$ は座標球 $\lbrace \lvert x \rvert < \delta \rbrace$ に含まれ、座標球 $\lbrace \lvert x \rvert < \delta \rbrace$ は $B(p, C\delta)$ に含まれる（座標で線分を考える）。よって位相は一致する。 $\square$

例 1.21（ユークリッド空間） $\mathbb{R}^n$ では $d(p, q) = \lvert p - q \rvert$ 。実際 $e = (q - p)/\lvert q - p \rvert$ とおくと $L(\gamma) \geq \int \langle \dot{\gamma}, e \rangle\ dt = \lvert q - p \rvert$ で、等号は $\gamma$ が線分の単調な径数づけのときに限る。

例 1.22（最短曲線が存在しない例） $M = \mathbb{R}^2 \setminus \lbrace 0 \rbrace$ で $p = (1, 0)$ , $q = (-1, 0)$ とする。原点を半径 $\varepsilon$ の半円で迂回する曲線の長さ $2 - 2\varepsilon + \pi\varepsilon$ は $2$ に近づくので $d(p, q) = 2$ だが、長さ $2$ の曲線は原点を通る線分に限り $M$ 内にない。最短曲線の存在は自明でなく、第3章の完備性が鍵になる。

例 1.23（上半平面の距離） $\mathbb{U}^2$ で曲線 $\gamma(s) = (x(s), y(s))$ ( $a \leq s \leq b$ ) が $i = (0, 1)$ と $(0, t)$ を結ぶとき

L(\gamma) = \int_a^b \frac{\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}}{y}\, ds \geq \int_a^b \frac{\lvert \dot{y} \rvert}{y}\, ds \geq \left\lvert \int_a^b \frac{\dot{y}}{y}\, ds \right\rvert = \lvert \log t \rvert

であり、線分で等号が成り立つ。よって $d(i, ti) = \lvert \log t \rvert$ 。同様に $d(i, x + iy) \geq \lvert \log y \rvert$ なので、実軸に近づく点は $i$ から無限に遠い。

1.7 等長写像

定義 1.24（等長写像）微分同相 $F\colon (M, g) \to (N, h)$ が $F^{\ast}h = g$ を満たすとき等長写像 (isometry) という。局所微分同相で $F^{\ast}h = g$ を満たすものを局所等長写像という。 $(M, g)$ の等長写像全体は群 $\operatorname{Isom}(M, g)$ をなす。

等長写像は曲線の長さを保つので、リーマン距離も保つ。逆に次が知られている。

定理 1.25（マイヤーズ–スティーンロッド）連結なリーマン多様体の間の全射で距離を保つ写像は、滑らかな等長写像である。さらに $\operatorname{Isom}(M, g)$ はリー群であり、 $M$ がコンパクトならコンパクトである。（主張のみ）

$\operatorname{Isom}(M, g)$ の次元は $n(n+1)/2$ 以下で、最大値は $\mathbb{R}^n$ , $S^n$ , $\mathbb{H}^n$ で達成される。

例 1.26（モデル空間の等長変換） $\mathbb{R}^n$ では $x \mapsto Ax + b$ ( $A \in O(n)$ ) が等長写像であり、これで全部であることを第3章で示す（演習問題 3.5）。 $O(n+1)$ は $S^n$ の等長写像からなる。 $\langle \cdot, \cdot \rangle_L$ を保つ線形写像のうち $\mathbb{H}^n$ を保つものの群 $O^{+}(n,1)$ は $\mathbb{H}^n$ の等長写像からなる。上半平面では一次分数変換 $z \mapsto (az+b)/(cz+d)$ ( $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ , $ad - bc = 1$ ) が等長写像である（演習問題 1.4）。

定義 1.27（等質・等方） $\operatorname{Isom}(M, g)$ が $M$ に推移的に作用するとき等質 (homogeneous)、点 $p$ の固定部分群が微分を通じて $T_pM$ の単位球面に推移的に作用するとき $p$ で等方的 (isotropic) という。

$S^n$ は等質かつ各点で等方的である（ $e_{n+1}$ の固定部分群 $O(n)$ が $T_{e_{n+1}}S^n = \mathbb{R}^n$ に標準的に作用する）。 $\mathbb{H}^n$ も同様である（演習問題 1.6）。平坦トーラス $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ は等質だが、 $[0]$ を固定する等長写像は $\mathbb{Z}^2$ を保つ直交行列から来るもの（有限個）に限られ、等方的でない。

$F^{\ast}h = \lambda^2 g$ （ $\lambda$ は正値関数）を満たす写像を等角写像 (conformal map) という。立体射影や反転は等角であり、ポアンカレ球体モデルと上半空間モデルでは角度がユークリッドの角度と一致する。

1.8 体積形式と体積

命題 1.28（リーマン体積形式）向き付けられた $n$ 次元リーマン多様体 $(M, g)$ には、正の向きの任意の正規直交基底 $(e_1, \dots, e_n)$ に対して値 $1$ をとる $n$ 形式 $dV_g$ がただ一つ存在し、正の向きの座標では $dV_g = \sqrt{\det (g_{ij})}\ dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n$ である。

証明. 正の向きの座標で $\omega := \sqrt{\det G}\ dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n$ （ $G = (g_{ij})$ ）とおく。正の向きの正規直交基底を $e_j = A^i{}_j\partial_i$ とすると、 $A^{\top}GA = I$ より $(\det A)^2\det G = 1$ 、 $\det A > 0$ なので $\omega(e_1, \dots, e_n) = \sqrt{\det G}\ \det A = 1$ 。正の向きの正規直交基底どうしは $SO(n)$ で移り合うので、この条件は $n$ 形式を座標によらず一意に定め、局所的な $\omega$ は貼り合う。 $\square$

$\operatorname{vol}(M) := \int_M dV_g$ を体積という（多様体第6章 6.6 節）。向き付け不可能でも、密度 $\sqrt{\det(g_{ij})}\ \lvert dx^1 \cdots dx^n \rvert$ で関数を積分できる。

例 1.29（双曲平面の円板）単位球面では $dV = \sin\theta\ d\theta \wedge d\phi$ で面積は $4\pi$ 。ポアンカレ円板で $u = s(\cos\theta, \sin\theta)$ , $s = \tanh(\rho/2)$ とおくと、 $ds = \frac{1}{2}\cosh^{-2}(\rho/2)\ d\rho$ , $1 - s^2 = \cosh^{-2}(\rho/2)$ から

g_{\mathbb{B}} = \frac{4(ds^2 + s^2 d\theta^2)}{(1 - s^2)^2} = d\rho^2 + \sinh^2\rho\ d\theta^2

を得る（ $4\sinh^2(\rho/2)\cosh^2(\rho/2) = \sinh^2\rho$ ）。 $g_{\mathbb{B}} \geq d\rho^2$ なので、例 1.23 と同じ議論で原点からの距離は $\rho$ であり、半径 $R$ の距離球の面積は $\int_0^{2\pi}\int_0^R \sinh\rho\ d\rho\ d\theta = 2\pi(\cosh R - 1)$ である。ユークリッド平面の $\pi R^2$ と違い、指数関数的に増大する（演習問題 1.5）。

1.9 擬リーマン計量

定義 1.30（擬リーマン計量）各点で非退化な対称 2 テンソル場で、指数（負の固有値の個数）が一定のものを擬リーマン計量 (pseudo-Riemannian metric) という。指数 $1$ のときローレンツ計量 (Lorentzian metric) という。

ミンコフスキー空間 $\mathbb{R}^{n,1}$ はローレンツ多様体の基本例であり、 $\langle v, v \rangle_L$ が負・零・正に応じて $v$ を時間的・光的・空間的という。双曲面 $\mathbb{H}^n$ は時間的ベクトル $x$ に直交する接空間をもつ空間的超曲面で、「虚の半径の球面」と見なせる。一方 $\lbrace \langle x, x \rangle_L = 1 \rbrace$ （ド・ジッター空間）の誘導計量はローレンツ計量である。

第2章以降のレヴィ–チヴィタ接続・測地線・曲率の定義と局所計算は非退化性しか使わないので、擬リーマン計量にもそのまま通用する。一方、長さと距離は意味を失い、ホップ–リノウの定理や比較定理は成り立たない。一般相対性理論は 4 次元ローレンツ多様体の曲率を扱う理論である（第4章 4.8 節）。

まとめ

リーマン計量は接空間ごとの内積を滑らかに与えたものであり、局所的には正定値対称行列 $(g_{ij})$ で表され、座標変換で $\tilde{G} = J^{\top}GJ$ と変換する。
計量によりベクトルと 1 形式が同一視され、勾配 $\operatorname{grad} f = g^{ij}\partial_jf\ \partial_i$ が定まる。
誘導計量・積計量・商計量から多くの例が得られる。双曲空間の 3 つのモデルは、双曲的立体射影と反転によって互いに等長である。
正定値性が凸条件なので、1 の分割により任意の多様体にリーマン計量が存在する。擬リーマン計量では成り立たない。
曲線の長さの下限としてリーマン距離が定まり、多様体の位相を与える。ただし最短曲線は存在するとは限らない。
等長写像は距離を保ち、距離を保つ全射は等長写像である。
向き付けられたリーマン多様体には体積形式 $dV_g = \sqrt{\det g}\ dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n$ がある。

演習問題

問題 1.1 ★ $\mathbb{R}^2$ の極座標で $f(x, y) = x$ の勾配を $\operatorname{grad} f = g^{ij}\partial_jf\ \partial_i$ により計算し、 $\partial_x$ に一致することを確かめよ。また $\partial_rf\ \partial_r + \partial_\theta f\ \partial_\theta$ は一般に $\partial_x$ でないことを確かめよ。

解答

$f = r\cos\theta$ より $\partial_rf = \cos\theta$ , $\partial_\theta f = -r\sin\theta$ なので $\operatorname{grad} f = \cos\theta\ \partial_r - r^{-1}\sin\theta\ \partial_\theta$ 。 $\partial_r = \cos\theta\ \partial_x + \sin\theta\ \partial_y$ , $\partial_\theta = -r\sin\theta\ \partial_x + r\cos\theta\ \partial_y$ を代入すると $\partial_x$ の係数は $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ 、 $\partial_y$ の係数は $0$ 。一方 $\cos\theta\ \partial_r - r\sin\theta\ \partial_\theta = (\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta)\partial_x + (1 - r^2)\sin\theta\cos\theta\ \partial_y$ は $r \neq 1$ かつ $\sin\theta \neq 0$ で $\partial_x$ と異なる。

問題 1.2 ★ (1) $g_0, g_1$ が $M$ 上のリーマン計量なら、 $0 \leq t \leq 1$ に対し $(1-t)g_0 + tg_1$ もリーマン計量であることを示せ。(2) $h_0 = dx^2 - dy^2$ , $h_1 = -dx^2 + dy^2$ に対し、 $\frac{1}{2}(h_0 + h_1)$ が非退化でないことを確かめよ。

解答

(1) $v \neq 0$ なら $(1-t)g_0(v,v) + tg_1(v,v)$ は非負の数の和で、 $1 - t$ と $t$ の一方は正なので正。(2) $\frac{1}{2}(h_0 + h_1) = 0$ 。ローレンツ計量の全体は凸でないので、定理 1.16 の証明は使えない。

問題 1.3 ★★ 例 1.8 の $\sigma^{-1}$ について $(\sigma^{-1})^{\ast}\bar{g} = 4\lvert du \rvert^2/(1 + \lvert u \rvert^2)^2$ を示せ。

解答

$\rho = \lvert u \rvert^2$ とおくと $d\rho = 2u \cdot du$ で、 $\sigma^{-1}(u) = (x, t)$ , $x = 2u/(1 + \rho)$ , $t = 1 - 2/(1 + \rho)$ 。

\lvert dx \rvert^2 = \frac{4\lvert du \rvert^2}{(1+\rho)^2} - \frac{4\, d\rho^2}{(1+\rho)^3} + \frac{4\rho\, d\rho^2}{(1+\rho)^4}, \qquad dt^2 = \frac{4\, d\rho^2}{(1+\rho)^4}

であり、 $d\rho^2$ の係数の和は $(-4(1+\rho) + 4\rho + 4)/(1+\rho)^4 = 0$ 。よって $\lvert dx \rvert^2 + dt^2 = 4\lvert du \rvert^2/(1+\rho)^2$ 。検算： $u = 0$ の近くで $\sigma^{-1}(u) \approx (2u, -1)$ なので計量は $4\lvert du \rvert^2$ となり公式と合う。

問題 1.4 ★★ (1) $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ , $ad - bc = 1$ のとき、 $\phi(z) = (az + b)/(cz + d)$ が上半平面の等長写像であることを示せ。(2) $z, w \in \mathbb{U}^2$ に対し $1 + \lvert z - w \rvert^2/(2\operatorname{Im} z \operatorname{Im} w)$ が $\phi$ で不変であることを示し、 $z = i$ , $w = ti$ のときにこれが $\cosh d(z, w)$ に等しいことを確かめよ（一般の $z, w$ でも等しいことを演習問題 3.6 で示す）。

解答

(1) $\phi'(z) = 1/(cz + d)^2$ 、また $\operatorname{Im}\phi(z) = \operatorname{Im}((az+b)(c\bar{z}+d))/\lvert cz+d \rvert^2 = (ad - bc)\operatorname{Im} z/\lvert cz+d \rvert^2$ なので $\phi$ は $\mathbb{U}^2$ を自身に写し、逆写像も同じ形である。 $g_{\mathbb{U}} = \lvert dz \rvert^2/(\operatorname{Im} z)^2$ と $\phi^{\ast}\lvert dw \rvert^2 = \lvert \phi'(z) \rvert^2\lvert dz \rvert^2$ より

\phi^{\ast} g_{\mathbb{U}} = \frac{\lvert dz \rvert^2/\lvert cz+d \rvert^4}{(\operatorname{Im} z)^2/\lvert cz+d \rvert^4} = g_{\mathbb{U}}.

(2) 直接計算で $\phi(z) - \phi(w) = (z - w)/((cz+d)(cw+d))$ なので、 $\lvert \phi(z) - \phi(w) \rvert^2$ と $\operatorname{Im}\phi(z)\operatorname{Im}\phi(w)$ はともに $\lvert cz+d \rvert^{-2}\lvert cw+d \rvert^{-2}$ 倍になり、比は不変。 $z = i$ , $w = ti$ では $1 + (t - 1)^2/(2t) = (t^2 + 1)/(2t) = \cosh(\log t)$ であり、例 1.23 の $d(i, ti) = \lvert \log t \rvert$ と合う。

問題 1.5 ★★ 単位球面を北極 $N$ からの極角 $\rho$ と経度 $\phi$ で $g = d\rho^2 + \sin^2\rho\ d\phi^2$ と表す。(1) $0 < R \leq \pi$ に対し、 $N$ からの距離が $R$ 未満の点全体は $\lbrace \rho < R \rbrace$ であることを示せ。(2) その面積 $A(R)$ を求め、例 1.29 の双曲平面の場合とともに $R \to 0$ で展開して $\pi R^2$ と比較せよ。

解答

(1) $N$ と極角 $\rho_0$ の点を結ぶ曲線について、 $\lvert \dot{\gamma} \rvert^2 = \dot{\rho}^2 + \sin^2\rho\ \dot{\phi}^2 \geq \dot{\rho}^2$ なので（ $N$ を最後に出た時刻以降で評価して）長さは $\rho_0$ 以上で、経線で等号が成り立つ。よって $d(N, \cdot) = \rho$ 。

(2) $A(R) = \int_0^{2\pi}\int_0^R \sin\rho\ d\rho\ d\phi = 2\pi(1 - \cos R)$ であり

2\pi(1 - \cos R) = \pi R^2 - \frac{\pi}{12}R^4 + O(R^6), \qquad 2\pi(\cosh R - 1) = \pi R^2 + \frac{\pi}{12}R^4 + O(R^6).

正の曲率では面積がユークリッドより小さく、負の曲率では大きい。一般の曲面では $A(R) = \pi R^2 - \frac{\pi K(p)}{12}R^4 + O(R^5)$ となる（演習問題 5.6 の周長の展開を積分すればよい）。

問題 1.6 ★★★ (1) $\langle \cdot, \cdot \rangle_L$ を保つ線形写像 $A$ が $Ae_{n+1} \in \mathbb{H}^n$ を満たせば $A(\mathbb{H}^n) = \mathbb{H}^n$ であることを示せ。(2) $O^{+}(n,1)$ は $\lbrace (x, v) \mid x \in \mathbb{H}^n,\ v \in T_x\mathbb{H}^n,\ \langle v, v \rangle_L = 1 \rbrace$ に推移的に作用することを示し、 $\mathbb{H}^n$ が等質かつ各点で等方的であることを導け。

解答

(1) $A$ は二葉双曲面 $\lbrace \langle x, x \rangle_L = -1 \rbrace$ を自身に写す。 $\mathbb{H}^n$ は連結なのでその像は一方の葉に含まれ、 $Ae_{n+1}$ が上の葉にあるので $A(\mathbb{H}^n) \subset \mathbb{H}^n$ 。 $A^{-1}(\mathbb{H}^n)$ も一方の葉に含まれ、 $e_{n+1} = A^{-1}(Ae_{n+1})$ を含むので上の葉に入る。よって等号が成り立つ。

(2) 命題 1.13 より $T_x\mathbb{H}^n = x^{\perp_L}$ 上で $\langle \cdot, \cdot \rangle_L$ は正定値なので、グラム–シュミットにより $f_1 = v$ から始まる正規直交基底 $f_1, \dots, f_n$ がとれる。列ベクトルが $f_1, \dots, f_n, x$ の行列 $A$ は $\langle Ay, Az \rangle_L = \langle y, z \rangle_L$ を満たし、 $Ae_{n+1} = x$ なので (1) より $\mathbb{H}^n$ を保つ。 $A$ は線形なので微分も $A$ であり、 $(e_{n+1}, e_1)$ を $(x, v)$ に写す。任意の 2 つの組は $(e_{n+1}, e_1)$ を経由して移り合うので作用は推移的である。特に $\mathbb{H}^n$ への作用は推移的（等質）で、 $x$ の固定部分群は $T_x\mathbb{H}^n$ の単位ベクトル全体に推移的（等方的）である。