微分形式

この章の目標

• 余接空間・1 形式・テンソル場を定義し、座標変換の規則を計算できる
• $k$ 形式のウェッジ積・引き戻しを座標で計算できる
• 外微分の存在と一意性、$d \circ d = 0$、引き戻しとの可換性を証明できる
• 内部積・リー微分・カルタンの公式を使いこなせる
• 閉形式と完全形式の違いを例で理解し、$\mathbb{R}^3$ の grad・rot・div との対応を説明できる

前提：第3章、第4章、線形代数 第3章（双対空間）、第9章（外積代数）、微分積分学 第10章

線積分 $\int P\ dx + Q\ dy$ や面積分に現れる「$dx$」「$dx\ dy$」に正確な意味を与えるのが微分形式である。微分形式は引き戻しによって座標変換と自然に整合し、外微分 $d$ という一つの演算が grad・rot・div をすべて含む。次章では、微分形式を多様体上で積分してストークスの定理を得る。

以下、$M$ は $n$ 次元の滑らかな多様体とする。

5.1 余接空間と 1 形式

定義 5.1（余接空間, 1 形式）$T_pM$ の双対空間 $T_p^{\ast}M$ を余接空間、その元を余接ベクトルという。$f \in C^\infty(M)$ に対し $df_p(v) = v(f)$ で定まる $df_p \in T_p^{\ast}M$ を $f$ の微分という。各点 $p$ に $\omega_p \in T_p^{\ast}M$ を対応させたもので、座標で書いたときの係数が滑らかなものを 1 形式 (1-form) という。

命題 5.2 チャート $(x^i)$ について、$dx^1\vert_p, \dots, dx^n\vert_p$ は $\partial/\partial x^1\vert_p, \dots, \partial/\partial x^n\vert_p$ の双対基底である。1 形式は $\omega = \sum_i\omega_i\ dx^i$（$\omega_i = \omega(\partial/\partial x^i)$）と書け、特に

$$df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x^i}\,dx^i$$

である。別のチャート $(y^j)$ については $dy^j = \sum_i (\partial y^j/\partial x^i)\ dx^i$ が成り立つ。

証明. $dx^j(\partial/\partial x^i) = \partial x^j/\partial x^i = \delta^j_i$ である。双対基底に関する成分は $\omega(\partial/\partial x^i)$ であり、$df(\partial/\partial x^i) = \partial f/\partial x^i$ となる。最後の式は $f = y^j$ の場合である。$\square$

接ベクトルの成分が $\partial y^j/\partial x^i$ で変換される（命題 3.7）のに対し、1 形式の成分は $\omega = \sum_j\omega'_j\ dy^j$ とすると $\omega_i = \sum_j (\partial y^j/\partial x^i)\ \omega'_j$ と、逆向きに変換される。

例 5.3（極座標）$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ より、$dx = \cos\theta\ dr - r\sin\theta\ d\theta$, $dy = \sin\theta\ dr + r\cos\theta\ d\theta$ である。したがって

となる。$\mathbb{R}^2 \setminus \lbrace 0 \rbrace$ 上の 1 形式 $\omega = (-y\ dx + x\ dy)/(x^2 + y^2)$ は、$\theta$ が定義される範囲では $d\theta$ に等しい。ただし $\theta$ 自身は $\mathbb{R}^2 \setminus \lbrace 0 \rbrace$ 全体の関数ではない。この $\omega$ を角形式と呼ぶことにする。

定義 5.4（1 形式の引き戻し）滑らかな写像 $F\colon M \to N$ と $N$ 上の 1 形式 $\omega$ に対し、$(F^{\ast}\omega)_p(v) = \omega_{F(p)}(dF_p(v))$ で $M$ 上の 1 形式 $F^{\ast}\omega$ を定める。

連鎖律から $F^{\ast}(dg) = d(g \circ F)$ であり、$F^{\ast}(\sum_j\omega_j\ dy^j) = \sum_j (\omega_j \circ F)\ d(y^j \circ F)$ となる。すなわち、引き戻しは「$y^j$ に $F$ の成分を代入して形式的に微分する」ことで計算できる。例えば $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ による角形式の引き戻しは $\gamma^{\ast}\omega = (-\sin t \cdot (-\sin t) + \cos t\cos t)\ dt = dt$ である。

5.2 テンソル場

定義 5.5（共変テンソル）ベクトル空間 $V$ 上の $k$ 重線形写像 $V \times \dots \times V \to \mathbb{R}$ を $V$ 上の共変 $k$ テンソルといい、その全体を $T^k(V^{\ast})$ と書く。$S \in T^k(V^{\ast})$, $T \in T^l(V^{\ast})$ のテンソル積を $(S \otimes T)(v_1, \dots, v_{k+l}) = S(v_1, \dots, v_k)\ T(v_{k+1}, \dots, v_{k+l})$ で定める。各点 $p$ に $T^k(T_p^{\ast}M)$ の元を滑らかに対応させたものをテンソル場という。

座標では、$dx^{i_1} \otimes \dots \otimes dx^{i_k}$ が $T^k(T_p^{\ast}M)$ の基底になる。引き戻しは $(F^{\ast}T)_p(v_1, \dots, v_k) = T_{F(p)}(dF_pv_1, \dots, dF_pv_k)$ で定義する。

例 5.6（リーマン計量）$\mathbb{R}^2$ のユークリッド計量 $g = dx \otimes dx + dy \otimes dy$ に例 5.3 を代入すると、交差項 $\pm r\sin\theta\cos\theta\ (dr \otimes d\theta + d\theta \otimes dr)$ が打ち消し合って $g = dr \otimes dr + r^2\ d\theta \otimes d\theta$ となる。同様に、曲面片 $\sigma\colon D \to \mathbb{R}^3$ による $dx^2 + dy^2 + dz^2$ の引き戻しが第一基本形式 $E\ du^2 + 2F\ du\ dv + G\ dv^2$ である（第1章。$du^2$ は $du \otimes du$ の略）。対称で正定値な 2 テンソル場をリーマン計量といい、第6章で用いる。

5.3 $k$ 形式とウェッジ積

定義 5.7（交代テンソルとウェッジ積）$\omega \in T^k(V^{\ast})$ が、任意の 2 つの引数の入れ替えで符号を変えるとき、交代的であるという。その全体を $\Lambda^k(V^{\ast})$ と書く（$\Lambda^0(V^{\ast}) = \mathbb{R}$）。$\omega \in \Lambda^k(V^{\ast})$, $\eta \in \Lambda^l(V^{\ast})$ のウェッジ積を

$$(\omega \wedge \eta)(v_1, \dots, v_{k+l}) = \frac{1}{k!\,l!}\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_{k+l}}\operatorname{sgn}\sigma\ \omega(v_{\sigma(1)}, \dots, v_{\sigma(k)})\,\eta(v_{\sigma(k+1)}, \dots, v_{\sigma(k+l)})$$

で定める。

ウェッジ積は双線形かつ結合的であり、$\eta \wedge \omega = (-1)^{kl}\omega \wedge \eta$ を満たす。また、余接ベクトル $\alpha^1, \dots, \alpha^k$ に対して行列式規約

が成り立つ（線形代数 第9章。係数 $1/(k!\ l!)$ のとり方は本によって異なるので注意）。特に 1 形式 $\alpha$ について $\alpha \wedge \alpha = 0$ である。

命題 5.8 狭義単調増加な多重指数 $I = (i_1 < \dots < i_k)$ に対し $dx^I = dx^{i_1} \wedge \dots \wedge dx^{i_k}$ とおくと、$\lbrace dx^I\vert_p \rbrace_I$ は $\Lambda^k(T_p^{\ast}M)$ の基底であり、次元は $\binom{n}{k}$ である（$k > n$ なら $0$）。$\omega = \sum_I\omega_I\ dx^I$ の係数は $\omega_I = \omega(\partial/\partial x^{i_1}, \dots, \partial/\partial x^{i_k})$ である。

証明. 行列式規約から、増加列 $J$ に対し $dx^I(\partial_{j_1}, \dots, \partial_{j_k}) = \delta^I_J$ である。交代テンソルは、基底ベクトルの増加列での値で決まる。$\square$

各点で $\Lambda^k(T_p^{\ast}M)$ の元を与え、係数 $\omega_I$ が滑らかなものを $k$ 形式 (differential $k$-form) といい、その全体を $\Omega^k(M)$ と書く。$\Omega^0(M) = C^\infty(M)$ である。

命題 5.9（行列式の公式）$\alpha^j = \sum_{i=1}^n a^j_i\beta^i$（$j = 1, \dots, n$）ならば、$\alpha^1 \wedge \dots \wedge \alpha^n = \det(a^j_i)\ \beta^1 \wedge \dots \wedge \beta^n$ である。特に $dy^1 \wedge \dots \wedge dy^n = \det(\partial y^j/\partial x^i)\ dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n$ である。

証明. 展開すると、$\alpha^1 \wedge \dots \wedge \alpha^n = \sum_{i_1, \dots, i_n}a^1_{i_1}\cdots a^n_{i_n}\beta^{i_1} \wedge \dots \wedge \beta^{i_n}$ である。添字に重複があれば $0$ であり、重複がない $(i_1, \dots, i_n) = (\sigma(1), \dots, \sigma(n))$ の項は $\operatorname{sgn}\sigma\ \beta^1 \wedge \dots \wedge \beta^n$ を与える。和は行列式の定義式になる。$\square$

例 5.10 (1) $(dx + dy) \wedge (dx - dy) = -dx \wedge dy + dy \wedge dx = -2\ dx \wedge dy$。 (2) 極座標では、ヤコビ行列の行列式が $\cos\theta \cdot r\cos\theta - (-r\sin\theta)\sin\theta = r$ なので $dx \wedge dy = r\ dr \wedge d\theta$ である。これは重積分の変数変換 $dx\ dy = r\ dr\ d\theta$ に対応する。 (3) 球座標 $x = \rho\sin\varphi\cos\theta$, $y = \rho\sin\varphi\sin\theta$, $z = \rho\cos\varphi$ では $dx \wedge dy \wedge dz = \rho^2\sin\varphi\ d\rho \wedge d\varphi \wedge d\theta$ である（演習問題 5.1）。

定義 5.11（引き戻し）$F\colon M \to N$ と $\omega \in \Omega^k(N)$ に対し、$(F^{\ast}\omega)_p(v_1, \dots, v_k) = \omega_{F(p)}(dF_pv_1, \dots, dF_pv_k)$ で $F^{\ast}\omega \in \Omega^k(M)$ を定める（$k = 0$ では $F^{\ast}f = f \circ F$）。

定義から $F^{\ast}(\omega \wedge \eta) = F^{\ast}\omega \wedge F^{\ast}\eta$、$(G \circ F)^{\ast} = F^{\ast} \circ G^{\ast}$ であり、座標では

となる。例えば $F(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ なら、例 5.3, 5.10 より $F^{\ast}(x\ dy - y\ dx) = r^2\ d\theta$、$F^{\ast}(dx \wedge dy) = r\ dr \wedge d\theta$ である。

5.4 外微分

関数に対する $d\colon \Omega^0 \to \Omega^1$ を、すべての次数に拡張したい。

定理 5.12（外微分の存在と一意性）線形写像 $d\colon \Omega^k(M) \to \Omega^{k+1}(M)$（$k \geq 0$）の族で、次の 3 条件を満たすものがただ一つ存在する。

1. $f \in \Omega^0(M)$ に対し、$df$ は関数の微分である。
2. $\omega \in \Omega^k(M)$ に対し $d(\omega \wedge \eta) = d\omega \wedge \eta + (-1)^k\omega \wedge d\eta$ である。
3. $d \circ d = 0$。

座標では次のように表される。

$$d\left( \sum_I\omega_I\,dx^I \right) = \sum_I d\omega_I \wedge dx^I = \sum_I\sum_{j=1}^n \frac{\partial\omega_I}{\partial x^j}\,dx^j \wedge dx^I$$

証明. (a) $\mathbb{R}^n$ の開集合 $U$ 上での存在. 上の座標の式で $d$ を定める。$d(f\ dx^I) = df \wedge dx^I$ は、$I$ が増加列でなくても成り立つ（並べ替えると両辺に同じ符号がつき、重複があれば両辺とも $0$）。条件 1 は明らかである。条件 2 は線形性から $\omega = f\ dx^I$, $\eta = g\ dx^J$ の場合を示せばよく、

となる（$dg$ を $k$ 個の $dx^{i}$ の前に移すと $(-1)^k$ が出る）。条件 3：$d(df) = \sum_{i, j}\partial_i\partial_jf\ dx^i \wedge dx^j = 0$ である（係数は $i, j$ について対称、$dx^i \wedge dx^j$ は交代的）。また $d(dx^I) = d(1) \wedge dx^I = 0$ なので、条件 2 から $d(d(f\ dx^I)) = d(df \wedge dx^I) = d(df) \wedge dx^I - df \wedge d(dx^I) = 0$ となる。

(b) 一意性. 多様体 $M$ 上で条件 1〜3 を満たす $d$ があるとする。まず $d$ が局所的であることを示す。開集合 $U$ 上で $\omega = \omega'$ とし、$p \in U$ に対し、$p$ の近くで $1$、台が $U$ に含まれる隆起関数 $\psi$ をとる。$\psi(\omega - \omega') = 0$ なので、$0 = d\psi \wedge (\omega - \omega') + \psi\ d(\omega - \omega')$ である。$p$ では $d\psi_p = 0$, $\psi(p) = 1$ なので $d(\omega - \omega')_p = 0$ となる。次に、$p$ のまわりのチャートで $\omega = \sum_I\omega_I\ dx^I$ と書く。$\omega_I, x^i$ と $p$ の近くで一致する $M$ 上の関数 $\tilde{\omega}_I, \tilde{x}^i$ をとると（系 2.23 (2)）、局所性と条件 2, 3 から

となる（$d(d\tilde{x}^{i_1} \wedge \dots \wedge d\tilde{x}^{i_k})$ は条件 2, 3 から $0$）。よって $d$ は座標の式で決まる。

(c) $M$ 上での存在. 各チャート $U$ 上で (a) の式により $d_U$ を定める。二つのチャートの共通部分 $U \cap V$ の上では、$d_U$ と $d_V$ はともに多様体 $U \cap V$ 上で条件 1〜3 を満たすので、(b) により一致する。したがって $(d\omega)\vert_U = d_U(\omega\vert_U)$ は well-defined であり、条件 1〜3 は局所的に確かめられる。$\square$

例 5.13 (1) $d(x\ dy - y\ dx) = dx \wedge dy - dy \wedge dx = 2\ dx \wedge dy$。 (2) 角形式 $\omega = (-y\ dx + x\ dy)/(x^2 + y^2)$ について

である。$\omega = d\theta$（局所的）であることからも、$d\omega = dd\theta = 0$ がわかる。 (3) $\mathbb{R}^3$ で $d(x\ dy \wedge dz) = dx \wedge dy \wedge dz$。

命題 5.14 1 形式 $\omega$ とベクトル場 $X, Y$ に対し

$$d\omega(X, Y) = X(\omega(Y)) - Y(\omega(X)) - \omega([X, Y])$$

が成り立つ。

証明. 両辺とも $\omega$ について線形で局所的なので、$\omega = f\ dg$ の場合を示せばよい（座標では $\omega = \sum_i\omega_i\ dx^i$）。左辺は $(df \wedge dg)(X, Y) = Xf\ Yg - Yf\ Xg$ である。右辺は

となり、一致する。$\square$

この式は、第4章のフロベニウスの定理の双対版を与える（演習問題 5.7）。

定理 5.15（引き戻しと外微分の可換性）滑らかな $F\colon M \to N$ と $\omega \in \Omega^k(N)$ に対し $F^{\ast}(d\omega) = d(F^{\ast}\omega)$ である。

証明. 関数については、$(F^{\ast}dg)_p(v) = dg(dF_pv) = v(g \circ F)$ より $F^{\ast}dg = d(g \circ F)$ である。両辺とも局所的なので、$\omega = g\ dy^{j_1} \wedge \dots \wedge dy^{j_k}$ としてよい。$F^{\ast}\omega = (g \circ F)\ d(y^{j_1} \circ F) \wedge \dots \wedge d(y^{j_k} \circ F)$ であり、定理 5.12 の条件 2, 3 より完全形式のウェッジ積の $d$ は $0$ なので、

となる。$\square$

例 5.16（検算）$F(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$, $\omega = x\ dy - y\ dx$ とする。$d(F^{\ast}\omega) = d(r^2\ d\theta) = 2r\ dr \wedge d\theta$ であり、$F^{\ast}(d\omega) = F^{\ast}(2\ dx \wedge dy) = 2r\ dr \wedge d\theta$ となって、一致する。

5.5 内部積・リー微分・カルタンの公式

定義 5.17（内部積, interior product）$X \in \mathfrak{X}(M)$, $\omega \in \Omega^k(M)$（$k \geq 1$）に対し、$(\iota_X\omega)(v_2, \dots, v_k) = \omega(X, v_2, \dots, v_k)$ で $\iota_X\omega \in \Omega^{k-1}(M)$ を定める。関数には $\iota_Xf = 0$ とする。

命題 5.18 $\iota_X(\omega \wedge \eta) = \iota_X\omega \wedge \eta + (-1)^k\omega \wedge \iota_X\eta$（$\omega \in \Omega^k$）かつ $\iota_X \circ \iota_X = 0$ である。1 形式については $\iota_X(\alpha^1 \wedge \dots \wedge \alpha^k) = \sum_{i=1}^k (-1)^{i-1}\alpha^i(X)\ \alpha^1 \wedge \dots \wedge \widehat{\alpha^i} \wedge \dots \wedge \alpha^k$ である（$\widehat{\ }$ は除くことを表す）。

証明. 最後の式は、行列式 $\det(\alpha^i(v_j))$（$v_1 = X$）を第 1 列について余因子展開したものである。$\omega = \alpha^1 \wedge \dots \wedge \alpha^k$, $\eta = \alpha^{k+1} \wedge \dots \wedge \alpha^{k+l}$ にこの式を適用すると、$i \leq k$ の項が $\iota_X\omega \wedge \eta$、$i > k$ の項が $(-1)^k\omega \wedge \iota_X\eta$ を与える。一般の場合は線形性から従う。$\iota_X\iota_X\omega = \omega(X, X, \dots) = 0$ は交代性による。$\square$

定義 5.19（形式のリー微分）$X$ のフローを $\theta$ とし、$(L_X\omega)_p = \left. \frac{d}{dt} \right\vert_{t=0}(\theta_t^{\ast}\omega)_p$ と定める。

定義から、(a) $L_Xf = Xf$、(b) $L_X(\omega \wedge \eta) = L_X\omega \wedge \eta + \omega \wedge L_X\eta$（$\theta_t^{\ast}$ が積を保つことを微分する）、(c) $L_X \circ d = d \circ L_X$（$\theta_t^{\ast}$ が $d$ と可換であり、座標で見れば $t$ による微分と $x$ による微分が交換する）が成り立つ。また $\theta_{t+h}^{\ast} = \theta_t^{\ast}\theta_h^{\ast}$ より

がすべての $t$ で成り立つ。これは第7章で用いる。

定理 5.20（カルタンの公式, Cartan's magic formula）$L_X = d \circ \iota_X + \iota_X \circ d$。

証明. $P = d\iota_X + \iota_Xd$ とおく。$\omega \in \Omega^k$ とし、定理 5.12 の条件 2 と命題 5.18 を使って展開すると、

となる。足すと中央の項が打ち消し合い、$P(\omega \wedge \eta) = P\omega \wedge \eta + \omega \wedge P\eta$ を得る。また $dP = d\iota_Xd = Pd$ であり、関数については $Pf = \iota_Xdf = Xf$ である。したがって $L_X$ と $P$ は、ともに局所的で、積の法則 (b) を満たし、$d$ と可換で、関数の上で一致する。局所的には任意の形式は $f\ dg_1 \wedge \dots \wedge dg_k$ の和であり、このような作用素 $D$ は

により関数の上での値で決まる。よって $L_X = P$ である。$\square$

例 5.21（検算）(1) $E = x\ \partial_x + y\ \partial_y$, $\omega = dx \wedge dy$ とする。$\iota_E\omega = x\ dy - y\ dx$, $d\omega = 0$ なので、$L_E\omega = d(x\ dy - y\ dx) = 2\ dx \wedge dy$ である。一方、フロー $\theta_t(p) = e^tp$ で直接計算すると $\theta_t^{\ast}(dx \wedge dy) = e^{2t}\ dx \wedge dy$ となり、$t = 0$ での微分は $2\ dx \wedge dy$ で一致する。一般に $X = P\ \partial_x + Q\ \partial_y$ なら $L_X(dx \wedge dy) = d(P\ dy - Q\ dx) = (P_x + Q_y)\ dx \wedge dy$ となる。面積要素の変化率が発散である。 (2) 回転ベクトル場 $X = -y\ \partial_x + x\ \partial_y$ と角形式 $\omega$ では、$\iota_X\omega = (x^2 + y^2)/(x^2 + y^2) = 1$, $d\omega = 0$ なので $L_X\omega = d(1) = 0$ となる。$\omega$ は回転で不変である。

5.6 閉形式と完全形式

定義 5.22 $d\omega = 0$ となる $\omega$ を閉形式 (closed form)、$\omega = d\eta$ と書ける $\omega$ を完全形式 (exact form) という。$d \circ d = 0$ より、完全形式は閉形式である。

逆が成り立たない例を作るために、1 形式の線積分を用いる。滑らかな曲線 $\gamma\colon [a, b] \to M$ に対し $\int_\gamma\omega = \int_a^b \omega_{\gamma(t)}(\gamma'(t))\ dt$ と定める。$\omega = df$ なら、被積分関数は $(f \circ \gamma)'(t)$ なので

となり、閉曲線に沿った積分は $0$ である。

例 5.23（閉だが完全でない形式）角形式 $\omega$ は閉形式である（例 5.13 (2)）。一方、単位円 $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$（$0 \leq t \leq 2\pi$）に沿った積分は、$\gamma^{\ast}\omega = dt$ より $2\pi \neq 0$ である。したがって $\omega$ は $\mathbb{R}^2 \setminus \lbrace 0 \rbrace$ 上で完全でない。これは原点に「穴」があることの反映である。なお、負の $x$ 軸を除いた領域では $\omega = d\theta$ は完全である。

同様に、$\mathbb{R}^3 \setminus \lbrace 0 \rbrace$ 上の 2 形式（立体角形式）

は閉形式であるが（演習問題 5.5）、完全形式でない（第6章で $\int_{S^2}\Omega = 4\pi \neq 0$ を示す）。一方、星形の開集合の上では閉形式はすべて完全である（ポアンカレの補題、第7章）。「閉形式がどれだけ完全形式でないか」は空間の位相を反映し、それを測るのが第7章のド・ラーム・コホモロジーである。

5.7 $\mathbb{R}^3$ のベクトル解析との対応

$\mathbb{R}^3$ のベクトル場 $F = (F^1, F^2, F^3)$ に、次の 1 形式と 2 形式を対応させる。$\mathrm{vol} = dx \wedge dy \wedge dz$ とおく。

命題 5.24 次が成り立つ。

$$df = \omega_{\operatorname{grad}f}, \qquad d\omega_F = \eta_{\operatorname{rot}F}, \qquad d\eta_F = (\operatorname{div}F)\,\mathrm{vol}$$

さらに $\omega_F \wedge \omega_G = \eta_{F \times G}$、$\omega_F \wedge \eta_G = (F \cdot G)\ \mathrm{vol}$ である。

証明. 第 2 式を示す。$d(F^1\ dx) = \partial_yF^1\ dy \wedge dx + \partial_zF^1\ dz \wedge dx$ などを足して整理すると

となり、係数は $\operatorname{rot}F$ の成分である。第 3 式は $d(F^1\ dy \wedge dz) = \partial_xF^1\ \mathrm{vol}$ などから従う。ウェッジ積の式は、例えば $\omega_F \wedge \omega_G$ の $dy \wedge dz$ の係数が $F^2G^3 - F^3G^2$ となることから確かめられる。$\square$

$d \circ d = 0$ は $\operatorname{rot}\operatorname{grad}f = 0$ と $\operatorname{div}\operatorname{rot}F = 0$ を意味する。「$\omega_F$ が閉形式」は $\operatorname{rot}F = 0$（渦なし）、「$\omega_F$ が完全形式」は $F$ がポテンシャルをもつことに対応する。積の公式も機械的に導ける。例えば定理 5.12 の条件 2 から

であり（2 形式と 1 形式は可換）、$\operatorname{div}(F \times G) = G \cdot \operatorname{rot}F - F \cdot \operatorname{rot}G$ が得られる。

まとめ

• 1 形式は各点の余接ベクトルであり、$df = \sum_i (\partial f/\partial x^i)\ dx^i$ である。成分は接ベクトルと逆向きに変換される。
• $k$ 形式は $\sum_I\omega_I\ dx^I$ と書ける。ウェッジ積は行列式規約に従い、$dy^1 \wedge \dots \wedge dy^n = \det(\partial y/\partial x)\ dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n$ となる。
• 外微分は、(1) 関数の微分、(2) 次数付きライプニッツ則、(3) $d^2 = 0$ で一意に決まり、座標では $d(\omega_I\ dx^I) = d\omega_I \wedge dx^I$ である。
• 引き戻しは積と外微分を保つ：$F^{\ast}(\omega \wedge \eta) = F^{\ast}\omega \wedge F^{\ast}\eta$、$F^{\ast}d = dF^{\ast}$。
• カルタンの公式 $L_X = d\iota_X + \iota_Xd$。例えば $L_X(dx \wedge dy) = (\operatorname{div}X)\ dx \wedge dy$。
• 完全形式は閉形式である。角形式や立体角形式は閉だが完全でなく、空間の穴を検出する。
• $\mathbb{R}^3$ では $d$ が grad・rot・div を統一し、$d^2 = 0$ が $\operatorname{rot}\operatorname{grad} = 0$, $\operatorname{div}\operatorname{rot} = 0$ を与える。

演習問題