多重線形代数

この章の目標

• 多重線形写像を扱い、テンソル積を普遍性で定義して、その存在（構成）と一意性を証明できる
• テンソル積の基底と次元、自然な同型 $\operatorname{Hom}(V, W) \cong V^{\ast} \otimes W$ を理解し、計算に使える
• テンソル代数・対称テンソル・交代テンソル・外積代数を定義し、次元を計算できる
• 外積と行列式の関係（$\Lambda^n V$ が 1 次元であること）を理解する
• 添字記法とアインシュタインの縮約規約を使い、基底変換での共変・反変の変換則を導ける

前提：第2章〜第4章、第8章 8.2 節（双線形形式）。商空間（第3章 3.8 節）を使う。

9.1 動機：多重線形なものを線形化する

数学や物理には「複数のベクトルについて、それぞれ線形」な対象がたくさんある。行列式（列について多重線形）、内積や双線形形式、空間ベクトルの外積（クロス積）、行列の積、リーマン幾何学の曲率テンソル、連続体力学の応力テンソルなどである。これらを座標で書くと $g_{ij}$、$A^i{}_j$、$R^i{}_{jkl}$ のような添字つきの量になり、基底変換でそれぞれ異なる規則に従って変換される。第8章の注意 8.5 で見たように、同じ正方行列でも、線形変換を表すか双線形形式を表すかで変換規則が違った。

本章では、この状況を整理する基本的な道具であるテンソル積を導入する。テンソル積 $V \otimes W$ は「双線形写像 $V \times W \to U$ を線形写像 $V \otimes W \to U$ に置き換える」ための空間であり、これによって多重線形代数は再び線形代数に帰着される。その上で、行列式の抽象的な正体である外積代数を構成し、添字記法による変換則を導く。これらは多様体上の微分形式やテンソル場（多様体 第5章、リーマン幾何学 第1章）の直接の準備になる。

以下、$K$ は体、ベクトル空間はすべて $K$ 上のものとする。9.7 節では $K$ の標数を 0（$K = \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ など）と仮定する。

9.2 双対空間の復習と添字の約束

第3章で導入した双対空間 $V^{\ast} = \operatorname{Hom}(V, K)$ を思い出す。$V$ の基底 $e_1, \dots, e_n$ に対し、双対基底を本章では上付きの添字で $e^1, \dots, e^n$ と書く：

$e^i$ は第 $i$ 座標を取り出す線形形式である（定理 3.38）。有限次元なら $V \cong V^{\ast\ast}$ は自然な同型であった（定理 3.42）。

添字の約束. 本章では次の約束を使う（上付きの添字はべき乗ではない）。

• 基底ベクトルは下付き添字 $e_i$、双対基底は上付き添字 $e^i$。
• ベクトルの成分は上付き：$v = \sum_i v^ie_i$。線形形式の成分は下付き：$\omega = \sum_i \omega_ie^i$、$\omega_i = \omega(e_i)$。
• 線形変換 $f$ の表現行列の $(i, j)$ 成分を $A^i{}_j$ と書く：$f(e_j) = \sum_i A^i{}_je_i$。双線形形式 $g$ の成分は $g_{ij} = g(e_i, e_j)$。

すると $\omega(v) = \sum_i \omega_iv^i$、$(f(v))^i = \sum_j A^i{}_jv^j$、$g(u, v) = \sum_{i,j} g_{ij}u^iv^j$ となり、和をとる添字は必ず上と下に一回ずつ現れる。そこでアインシュタインの縮約規約 (Einstein summation convention) として、上下に同じ添字が現れたら和の記号を省略して $\omega_iv^i$、$A^i{}_jv^j$、$g_{ij}u^iv^j$ と書く。この規約は 9.10 節で本格的に使う。

9.3 多重線形写像

定義 9.1（多重線形写像）ベクトル空間 $V_1, \dots, V_k, W$ について、写像 $\varphi\colon V_1 \times \cdots \times V_k \to W$ が、他の変数を固定したとき各変数について線形であるとき、多重線形写像（$k = 2$ なら双線形写像）という。その全体を $L(V_1, \dots, V_k; W)$ と書く。これは値ごとの演算でベクトル空間になる。

例 9.2

1. 行列式 $\det\colon K^n \times \cdots \times K^n \to K$（列について多重線形、第4章）。
2. 双線形形式・内積（実の場合）$V \times V \to K$（第8章、第7章）。
3. 空間ベクトルの外積 $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$, $(a, b) \mapsto a \times b$。
4. 行列の積 $\operatorname{M}_{l,m}(K) \times \operatorname{M}_{m,n}(K) \to \operatorname{M}_{l,n}(K)$、写像の合成 $\operatorname{Hom}(V, W) \times \operatorname{Hom}(U, V) \to \operatorname{Hom}(U, W)$。
5. 評価 $V^{\ast} \times V \to K$, $(\omega, v) \mapsto \omega(v)$。

命題 9.3 $V_a$ の基底 $(e^{(a)}_i)_{i}$（$a = 1, \dots, k$）をとる。多重線形写像 $\varphi$ は、基底ベクトルの組での値 $\varphi(e^{(1)}_{i_1}, \dots, e^{(k)}_{i_k})$ で一意に決まり、これらの値は任意に指定できる。特に、有限次元なら

$$\dim L(V_1, \dots, V_k; W) = (\dim V_1) \cdots (\dim V_k) \cdot \dim W$$

証明. 各 $v_a = \sum_i c^{(a)}_i e^{(a)}_i$ を代入して多重線形性で展開すると、$\varphi(v_1, \dots, v_k) = \sum_{i_1, \dots, i_k} c^{(1)}_{i_1} \cdots c^{(k)}_{i_k} \varphi(e^{(1)}_{i_1}, \dots, e^{(k)}_{i_k})$ となり一意性が従う。逆に値を任意に与えて右辺で $\varphi$ を定義すれば、各 $c^{(a)}$ について線形なので多重線形写像になる。次元は、値の組の自由度を数えればよい。$\square$

9.4 テンソル積

定義 9.4（テンソル積, tensor product）ベクトル空間 $V, W$ に対し、ベクトル空間 $T$ と双線形写像 $\otimes\colon V \times W \to T$ の組 $(T, \otimes)$ が次の普遍性をもつとき、$(T, \otimes)$ を $V$ と $W$ のテンソル積という：任意のベクトル空間 $U$ と任意の双線形写像 $\beta\colon V \times W \to U$ に対し、$\beta = \bar{\beta} \circ \otimes$ を満たす線形写像 $\bar{\beta}\colon T \to U$ がただ一つ存在する。

$$\begin{array}{ccc} V \times W & \xrightarrow{\ \otimes\ } & T \\ & {\scriptstyle \beta}\searrow & \downarrow{\scriptstyle \bar{\beta}} \\ & & U \end{array}$$

つまり、$V \times W$ からの双線形写像と、$T$ からの線形写像が一対一に対応する。$T$ を $V \otimes W$、$\otimes(v, w)$ を $v \otimes w$ と書く。この定義は $T$ の「作り方」を述べず、「性質」だけで特徴づけている。まずこれが同型を除いて一意であることを示す。

定理 9.5（一意性）$(T, \otimes)$ と $(T', \otimes')$ がともに $V, W$ のテンソル積ならば、$\varphi \circ \otimes = \otimes'$ を満たす同型写像 $\varphi\colon T \to T'$ がただ一つ存在する。

証明. $T$ の普遍性を双線形写像 $\otimes'$ に適用して、$\varphi \circ \otimes = \otimes'$ となる線形写像 $\varphi\colon T \to T'$ がただ一つ得られる。同様に $T'$ の普遍性から $\psi \circ \otimes' = \otimes$ となる $\psi\colon T' \to T$ が得られる。すると $(\psi \circ \varphi) \circ \otimes = \psi \circ \otimes' = \otimes$ である。一方 $\mathrm{id}_T \circ \otimes = \otimes$ でもあり、$T$ の普遍性を双線形写像 $\otimes\colon V \times W \to T$ 自身に適用したときの一意性から $\psi \circ \varphi = \mathrm{id}_T$。同様に $\varphi \circ \psi = \mathrm{id}_{T'}$。よって $\varphi$ は同型である。$\square$

この種の議論（普遍性による特徴づけと一意性）は、代数学のいたるところで使われる（圏論 第2章）。次に存在を示す。

定理 9.6（存在）任意のベクトル空間 $V, W$ に対し、テンソル積が存在する。

証明. 集合 $S$ に対し、$S$ から $K$ への写像で有限個の元を除いて 0 のもの全体を $K^{(S)}$ と書く。$s \in S$ で 1、他で 0 の関数を $\delta_s$ とすると、$(\delta_s)_{s \in S}$ は $K^{(S)}$ の基底である（$S$ 上の自由ベクトル空間）。

$S = V \times W$ とし、$K^{(V \times W)}$ の部分空間 $Z$ を、次の形の元全体で生成されるものとする（$v, v' \in V$、$w, w' \in W$、$c \in K$）：

$T = K^{(V \times W)}/Z$（商空間）とし、$v \otimes w := \delta_{(v, w)} + Z$ と定める。$Z$ の生成元が 0 になることから、$\otimes$ は双線形である。

普遍性：双線形写像 $\beta\colon V \times W \to U$ が与えられたとする。基底 $(\delta_s)$ での値を指定して、線形写像 $\tilde{\beta}\colon K^{(V \times W)} \to U$ を $\tilde{\beta}(\delta_{(v, w)}) = \beta(v, w)$ で定める（定理 3.4、無限基底でもよい）。$\beta$ の双線形性から $\tilde{\beta}$ は $Z$ の生成元を 0 に写すので $Z \subset \operatorname{Ker} \tilde{\beta}$ であり、定理 3.34 により線形写像 $\bar{\beta}\colon T \to U$ で $\bar{\beta}(v \otimes w) = \beta(v, w)$ となるものが得られる。一意性：$\delta_{(v, w)}$ たちは $K^{(V \times W)}$ を生成するので、$v \otimes w$ たちは $T$ を生成する。線形写像は生成系での値で決まるので、$\bar{\beta}$ は一意である。$\square$

$v \otimes w$ の形の元を純テンソル（分解可能なテンソル）という。証明からわかるように、純テンソルは $V \otimes W$ を生成するが、$V \otimes W$ の元がすべて純テンソルというわけではない（例 9.9）。双線形性から

であり、特に $0 \otimes w = v \otimes 0 = 0$ である。

定理 9.7（基底と次元）$(e_i)_{i \in I}$ を $V$ の基底、$(f_j)_{j \in J}$ を $W$ の基底とすると、$(e_i \otimes f_j)_{(i, j) \in I \times J}$ は $V \otimes W$ の基底である。特に有限次元なら $\dim(V \otimes W) = \dim V \cdot \dim W$。

証明. 生成：純テンソル $v \otimes w$ は $v = \sum a_ie_i$、$w = \sum b_jf_j$ を代入して $\sum_{i,j} a_ib_j\ e_i \otimes f_j$ と書け、純テンソルは $V \otimes W$ を生成する。一次独立：$(k, l) \in I \times J$ を固定し、$e^k$ を $e_k$ の係数を取り出す線形形式、$f^l$ を同様に $W$ 上のものとする。双線形写像 $\beta_{kl}(v, w) = e^k(v)f^l(w)$ から普遍性で得られる線形写像 $\bar{\beta}_{kl}\colon V \otimes W \to K$ は $\bar{\beta}_{kl}(e_i \otimes f_j) = \delta_{ik}\delta_{jl}$ を満たす。$\sum_{i,j} c_{ij}\ e_i \otimes f_j = 0$（有限和）に $\bar{\beta}_{kl}$ を施すと $c_{kl} = 0$。$\square$

命題 9.8 $v \otimes w = 0$ であるための必要十分条件は、$v = 0$ または $w = 0$ である。

証明. $v \neq 0$、$w \neq 0$ なら、$v$ を含む $V$ の基底と $w$ を含む $W$ の基底をとると、定理 9.7 より $v \otimes w$ は $V \otimes W$ の基底の一つなので 0 でない。逆は上で見た。$\square$

例 9.9（$K^m \otimes K^n$ と行列）双線形写像 $K^m \times K^n \to \operatorname{M}_{m,n}(K)$, $(v, w) \mapsto v\ {}^t w$ から得られる線形写像 $K^m \otimes K^n \to \operatorname{M}_{m,n}(K)$ は、基底 $e_i \otimes e_j$ を行列単位 $E_{ij}$ に写すので同型である。この同一視のもとで、純テンソル $v \otimes w$ は階数 1 以下の行列 $v\ {}^t w$ に対応する。問題 3.9 より、行列 $M$ を階数 1 の行列の和で書くのに必要な最小個数は $\operatorname{rank} M$ である。例えば $e_1 \otimes e_1 + e_2 \otimes e_2 \in K^2 \otimes K^2$ は $I_2$（階数 2）に対応するので、純テンソルではない。

例 9.10 $K[x] \otimes K[y] \cong K[x, y]$（2 変数多項式環）である。双線形写像 $(p, q) \mapsto p(x)q(y)$ から得られる線形写像は、基底 $x^i \otimes y^j$ を基底 $x^iy^j$ に写すからである。また、実ベクトル空間 $V$ に対し $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} V$（$\mathbb{R}$ 上のテンソル積）は自然に複素ベクトル空間になり、$V$ の複素化と呼ばれる。$\mathbb{R}^n$ の複素化は $\mathbb{C}^n$ である。

命題 9.11（自然な同型）次の自然な同型が存在する。

$$V \otimes W \cong W \otimes V, \qquad (U \otimes V) \otimes W \cong U \otimes (V \otimes W), \qquad K \otimes V \cong V, \qquad (V_1 \oplus V_2) \otimes W \cong (V_1 \otimes W) \oplus (V_2 \otimes W)$$

最初の同型は $v \otimes w \mapsto w \otimes v$、2 番目は $(u \otimes v) \otimes w \mapsto u \otimes (v \otimes w)$、3 番目は $c \otimes v \mapsto cv$ で与えられる。

証明. 最初のものを示す。$(v, w) \mapsto w \otimes v$ は双線形なので、普遍性から $\tau(v \otimes w) = w \otimes v$ となる線形写像 $\tau\colon V \otimes W \to W \otimes V$ があり、同様に逆向きの $\tau'$ がある。$\tau' \circ \tau$ は純テンソルを固定し、純テンソルは生成系なので恒等写像である。$\tau \circ \tau'$ も同様。他も同じ方針で示せる（2 番目は、$w$ を固定するごとに普遍性を使って写像を作る。有限次元なら、基底が基底に対応することを見るのが早い）。$\square$

3 個以上の空間のテンソル積 $V_1 \otimes \cdots \otimes V_k$ も、多重線形写像に関する同様の普遍性で定義され、同様に存在と一意性が示される。基底は $e^{(1)}_{i_1} \otimes \cdots \otimes e^{(k)}_{i_k}$ で与えられ、命題 9.11 の結合法則により括弧のつけ方によらない。

定義 9.12（線形写像のテンソル積）線形写像 $f\colon V \to V'$、$g\colon W \to W'$ に対し、双線形写像 $(v, w) \mapsto f(v) \otimes g(w)$ から普遍性で得られる線形写像を $f \otimes g\colon V \otimes W \to V' \otimes W'$ と書く：$(f \otimes g)(v \otimes w) = f(v) \otimes g(w)$。

純テンソルでの値を比べれば、$(f \otimes g) \circ (f' \otimes g') = (f \circ f') \otimes (g \circ g')$、$\mathrm{id} \otimes \mathrm{id} = \mathrm{id}$ がわかる。$V = V'$、$W = W'$ とし、基底 $e_1, \dots, e_n$ と $u_1, \dots, u_m$ に関する $f, g$ の表現行列を $A, B$ とする。$V \otimes W$ の基底を $e_1 \otimes u_1, \dots, e_1 \otimes u_m, e_2 \otimes u_1, \dots$ の順（辞書式）に並べると、$(f \otimes g)(e_j \otimes u_l) = \sum_{i,k} a_{ij}b_{kl}\ e_i \otimes u_k$ より表現行列は

となる。これをクロネッカー積という。

9.5 $\operatorname{Hom}(V, W) \cong V^{\ast} \otimes W$

定理 9.13 双線形写像 $V^{\ast} \times W \to \operatorname{Hom}(V, W)$, $(\omega, w) \mapsto (v \mapsto \omega(v)w)$ から得られる線形写像

$$\Phi\colon V^{\ast} \otimes W \to \operatorname{Hom}(V, W), \qquad \Phi(\omega \otimes w)(v) = \omega(v)\,w$$

は、$V, W$ が有限次元なら同型である。

証明. $V$ の基底 $(e_j)$ とその双対基底 $(e^j)$、$W$ の基底 $(f_i)$ をとる。$\Phi(e^j \otimes f_i)$ は $e_k \mapsto \delta^j_kf_i$ となる写像で、その表現行列は行列単位 $E_{ij}$ である。$e^j \otimes f_i$ は $V^{\ast} \otimes W$ の基底（定理 9.7）で、$E_{ij}$ は $\operatorname{Hom}(V, W) \cong \operatorname{M}_{m,n}(K)$ の基底（命題 3.20）なので、$\Phi$ は基底を基底に写し、同型である。$\square$

この同型のもとで、純テンソル $\omega \otimes w$ は階数 1 以下の線形写像 $v \mapsto \omega(v)w$ に対応し、線形写像の階数は、それを純テンソルの和で書くのに必要な最小個数に等しい（例 9.9）。無限次元でも $\Phi$ は単射であるが、像は有限階数の線形写像全体であり、同型とは限らない（問題 9.9）。

系 9.14 有限次元の $V, W$ について、次の自然な同型がある。

$$(V \otimes W)^{\ast} \cong L(V, W; K) \cong V^{\ast} \otimes W^{\ast}, \qquad \operatorname{End}(V) \cong V^{\ast} \otimes V$$

証明. 普遍性は、$(V \otimes W)^{\ast} = \operatorname{Hom}(V \otimes W, K)$ と双線形形式の空間 $L(V, W; K)$ の一対一対応（線形同型）を与える。$V^{\ast} \otimes W^{\ast} \to L(V, W; K)$ を $\omega \otimes \eta \mapsto ((v, w) \mapsto \omega(v)\eta(w))$ で定めると、基底 $e^i \otimes f^j$ は、$(e_k, f_l)$ で $\delta^i_k\delta^j_l$ をとる双線形形式、すなわち命題 9.3 の意味の基底に写るので同型である。最後は定理 9.13 で $W = V$ とした。$\square$

例 9.15（トレースの正体）評価 $V^{\ast} \times V \to K$, $(\omega, v) \mapsto \omega(v)$ は双線形なので、線形写像 $c\colon V^{\ast} \otimes V \to K$, $c(\omega \otimes v) = \omega(v)$ が得られる。これを縮約 (contraction) という。$\operatorname{End}(V) \cong V^{\ast} \otimes V$ で $e^j \otimes e_i$ は表現行列 $E_{ij}$ の変換に対応し、$c(e^j \otimes e_i) = \delta^j_i = \operatorname{tr} E_{ij}$ である。よって縮約は線形変換のトレースにほかならない：$\operatorname{tr} f = c(\Phi^{-1}(f))$。この定義は基底を使っていないので、トレースが基底の取り方によらない（相似不変である）理由がここにある。

9.6 テンソル代数

定義 9.16（テンソル代数）$k \geq 1$ に対し $T^k(V) = V \otimes \cdots \otimes V$（$k$ 個）、$T^0(V) = K$ とし、その元を $k$ 階の（反変）テンソルという。$T(V) = \bigoplus_{k \geq 0} T^k(V)$ に、$T^k(V) \times T^l(V) \to T^{k+l}(V)$, $(x, y) \mapsto x \otimes y$（命題 9.11 の結合法則による同一視を使う）を双線形に拡張した積を入れたものをテンソル代数という。

$T(V)$ は単位元 $1 \in T^0(V)$ をもつ結合的な代数であり、$\dim V \geq 2$ なら非可換である（$e_1 \otimes e_2 \neq e_2 \otimes e_1$）。$\dim V = n$ なら $\dim T^k(V) = n^k$ である。$T(V)$ は「$V$ の元を自由に掛け合わせてできる最も一般的な代数」であり、次の普遍性をもつ：$V$ から結合的代数 $A$ への任意の線形写像は、$T(V) \to A$ の代数準同型にただ一通りに拡張される。

定義 9.17（混合テンソル）$T^k_l(V) = V^{\otimes k} \otimes (V^{\ast})^{\otimes l}$ の元を、$(k, l)$ 型のテンソル（$k$ 階反変・$l$ 階共変）という。

これまでに現れた対象は、有限次元ではすべてテンソルとして統一的に理解できる：ベクトルは $(1, 0)$ 型、線形形式は $(0, 1)$ 型、線形変換は $\operatorname{End}(V) \cong V^{\ast} \otimes V$ により $(1, 1)$ 型、双線形形式は系 9.14 により $(0, 2)$ 型、$k$ 重線形形式は $(0, k)$ 型である。縮約 $c$ を一組の上下の添字に施すと、$(k, l)$ 型から $(k - 1, l - 1)$ 型のテンソルが得られる。

9.7 対称テンソルと交代テンソル

この節では $K$ の標数を 0 とする。置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_k$ に対し、多重線形写像 $(v_1, \dots, v_k) \mapsto v_{\sigma^{-1}(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma^{-1}(k)}$ から得られる線形写像を $\hat{\sigma}\colon T^k(V) \to T^k(V)$ とする（第 $i$ 位置の因子を第 $\sigma(i)$ 位置に移す）。$\tau$ を施してから $\sigma$ を施すと $v_{(\sigma\tau)^{-1}(1)} \otimes \cdots$ となるので、$\widehat{\sigma\tau} = \hat{\sigma}\hat{\tau}$ である。

定義 9.18 $t \in T^k(V)$ がすべての $\sigma \in \mathfrak{S}_k$ について $\hat{\sigma}t = t$ を満たすとき対称テンソル、$\hat{\sigma}t = \operatorname{sgn}(\sigma)t$ を満たすとき交代テンソルという。それぞれの全体を $\operatorname{Sym}^k(V)$、$\operatorname{Alt}^k(V)$ と書く。また

$$\mathcal{S} = \frac{1}{k!}\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_k} \hat{\sigma}, \qquad \mathcal{A} = \frac{1}{k!}\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_k} \operatorname{sgn}(\sigma)\hat{\sigma}$$

をそれぞれ対称化作用素、交代化作用素という。

命題 9.19 $\mathcal{S}^2 = \mathcal{S}$、$\mathcal{A}^2 = \mathcal{A}$ で、$\operatorname{Im} \mathcal{S} = \operatorname{Sym}^k(V)$、$\operatorname{Im} \mathcal{A} = \operatorname{Alt}^k(V)$。$\dim V = n$ なら

$$\dim \operatorname{Sym}^k(V) = \binom{n + k - 1}{k}, \qquad \dim \operatorname{Alt}^k(V) = \binom{n}{k}$$

証明. $\tau \in \mathfrak{S}_k$ について、$\sigma \mapsto \tau\sigma$ および $\sigma \mapsto \sigma\tau$ が $\mathfrak{S}_k$ の全単射であることから $\hat{\tau}\mathcal{A} = \mathcal{A}\hat{\tau} = \operatorname{sgn}(\tau)\mathcal{A}$（$\operatorname{sgn}(\tau\sigma) = \operatorname{sgn}(\tau)\operatorname{sgn}(\sigma)$ を使う）。よって $\operatorname{Im}\mathcal{A} \subset \operatorname{Alt}^k(V)$。$t$ が交代的なら $\mathcal{A}t = \frac{1}{k!}\sum_\sigma \operatorname{sgn}(\sigma)^2t = t$。したがって $\operatorname{Im}\mathcal{A} = \operatorname{Alt}^k(V)$ で、$\mathcal{A}^2 = \mathcal{A}$。$\mathcal{S}$ も同様。

次元：基底 $e_1, \dots, e_n$ に対し $e_I = e_{i_1} \otimes \cdots \otimes e_{i_k}$（$I = (i_1, \dots, i_k)$）は $T^k(V)$ の基底なので、$\mathcal{A}(e_I)$ たちは $\operatorname{Alt}^k(V)$ を生成する。$I$ に等しい添字 $i_a = i_b$ $(a \neq b)$ があれば、互換 $\tau = (a \ b)$ について $\hat{\tau}e_I = e_I$ なので $\mathcal{A}e_I = \mathcal{A}\hat{\tau}e_I = -\mathcal{A}e_I$、よって $\mathcal{A}e_I = 0$。添字が相異なれば、並べ替えて増加列にしたものを $I'$ とすると $\mathcal{A}e_I = \pm\mathcal{A}e_{I'}$。よって $i_1 < \cdots < i_k$ の $\mathcal{A}e_I$ たちが生成する。$\mathcal{A}e_I$ は、$I$ の並べ替えに対応する基底 $e_J$ たちだけの一次結合で、係数は $\pm 1/k!$（0 でない）である。異なる増加列 $I$ では関わる $e_J$ の集合が交わらないので、これらは一次独立であり、個数は $\binom{n}{k}$。$\operatorname{Sym}^k$ についても同様で、$\mathcal{S}e_I$ は $I$ の成分の多重集合だけで決まり、多重集合の個数は $\binom{n + k - 1}{k}$ である。$\square$

$k = 2$ では $\dim \operatorname{Sym}^2 + \dim \operatorname{Alt}^2 = n^2$ であり、$T^2(V) = \operatorname{Sym}^2(V) \oplus \operatorname{Alt}^2(V)$（$\mathcal{S} + \mathcal{A} = \mathrm{id}$）となる。これは $V \otimes V \cong \operatorname{M}_n(K)$（例 9.9）のもとで、行列の対称部分と交代部分への分解（問題 2.6）にほかならない。$k \geq 3$ ではこの直和分解は成り立たない（問題 9.5）。

双対空間の対称テンソル $\operatorname{Sym}^k(V^{\ast})$ は $V$ 上の対称な $k$ 重線形形式であり、$v \mapsto t(v, \dots, v)$ によって $k$ 次の同次多項式関数と対応する（$k = 2$ の場合が第8章の二次形式と偏極である）。交代的な $k$ 重線形形式は、次節の外積代数と結びつく。

9.8 外積代数

行列式は「交代的な多重線形形式」として特徴づけられた（定理 4.16）。交代的な多重線形写像を線形化する空間が外積（外冪）である。この節では $K$ は任意の体でよい。

定義 9.20（外冪, exterior power）$k \geq 1$ とする。ベクトル空間 $\Lambda^kV$ と交代的な多重線形写像 $V^k \to \Lambda^kV$, $(v_1, \dots, v_k) \mapsto v_1 \wedge \cdots \wedge v_k$ の組が次の普遍性をもつとき、$\Lambda^kV$ を $V$ の $k$ 次外冪という：任意の交代的な多重線形写像 $\alpha\colon V^k \to U$ に対し、$\alpha(v_1, \dots, v_k) = \bar{\alpha}(v_1 \wedge \cdots \wedge v_k)$ を満たす線形写像 $\bar{\alpha}\colon \Lambda^kV \to U$ がただ一つ存在する。$\Lambda^0V = K$ とする。

定理 9.21（存在と一意性）外冪は存在し、同型を除いて一意である。具体的には、$T^k(V)$ の部分空間 $J_k$ を「ある $a \neq b$ で $v_a = v_b$ となる純テンソル $v_1 \otimes \cdots \otimes v_k$」全体で生成されるものとすると、$\Lambda^kV = T^k(V)/J_k$、$v_1 \wedge \cdots \wedge v_k = v_1 \otimes \cdots \otimes v_k + J_k$ とおけばよい。

証明. 一意性は定理 9.5 と同じ議論による。上の構成で、$\wedge$ は多重線形であり（$\otimes$ と商写像の合成）、交代的である（$J_k$ の定義）。交代的な多重線形写像 $\alpha$ に対し、テンソル積の普遍性から線形写像 $\tilde{\alpha}\colon T^k(V) \to U$ で $\tilde{\alpha}(v_1 \otimes \cdots \otimes v_k) = \alpha(v_1, \dots, v_k)$ となるものがあり、$\alpha$ の交代性から $\tilde{\alpha}$ は $J_k$ の生成元を 0 に写す。定理 3.34 から $\bar{\alpha}$ が得られる。$v_1 \wedge \cdots \wedge v_k$ たちは $\Lambda^kV$ を生成するので $\bar{\alpha}$ は一意である。$\square$

$\wedge$ は交代的な多重線形写像なので、命題 4.15 がそのまま使える：二つのベクトルを入れ替えると符号が変わり（$v \wedge w = -w \wedge v$）、ベクトルが一次従属なら $v_1 \wedge \cdots \wedge v_k = 0$ であり、$v_{\sigma(1)} \wedge \cdots \wedge v_{\sigma(k)} = \operatorname{sgn}(\sigma)v_1 \wedge \cdots \wedge v_k$ である。

定理 9.22（外冪の基底）$e_1, \dots, e_n$ を $V$ の基底とすると、

$$e_I := e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_k} \qquad (I = (i_1 < i_2 < \cdots < i_k))$$

は $\Lambda^kV$ の基底である。特に $\dim \Lambda^kV = \binom{n}{k}$、$k > n$ なら $\Lambda^kV = 0$、そして $\Lambda^nV$ は 1 次元で $e_1 \wedge \cdots \wedge e_n$ を基底とする。

証明. 生成：$v_1 \wedge \cdots \wedge v_k$ に $v_b = \sum_i c_{ib}e_i$ を代入して展開すると、$e_{j_1} \wedge \cdots \wedge e_{j_k}$ の一次結合になり、各項は添字に重複があれば 0、なければ並べ替えて $\pm e_I$ になる。一次独立：増加列 $I$ に対し、

とおく（$k \times k$ 行列の $(a, b)$ 成分が $e^{i_a}(v_b)$）。各 $v_b$ は第 $b$ 列にだけ線形に現れるので、行列式の多重線形性・交代性（定理 4.16）から $\det_I$ は交代的な多重線形形式であり、普遍性により線形形式 $d_I\colon \Lambda^kV \to K$ が得られる。増加列 $J$ について $d_I(e_J) = \det(\delta^{i_a}_{j_b})$ は、$I = J$ なら $\det I_k = 1$、$I \neq J$ なら（ある $i_a$ が $J$ に現れないので第 $a$ 行が 0）0 である。よって $\sum_J c_Je_J = 0$ に $d_I$ を施せば $c_I = 0$。$\square$

系 9.23 $v_1, \dots, v_k \in V$ が一次独立であるための必要十分条件は、$v_1 \wedge \cdots \wedge v_k \neq 0$ である。

証明. 一次従属なら 0 であることは上で見た。一次独立なら、これらを含む $V$ の基底をとると、定理 9.22 より $v_1 \wedge \cdots \wedge v_k$ は $\Lambda^kV$ の基底の元なので 0 でない。$\square$

外積. $T^k(V) \times T^l(V) \to T^{k+l}(V)$, $(x, y) \mapsto x \otimes y$ は $J_k \otimes T^l(V)$ と $T^k(V) \otimes J_l$ を $J_{k+l}$ に写すので、双線形写像

が定まる。これを外積 (wedge product) という。$\Lambda(V) = \bigoplus_{k=0}^n \Lambda^kV$ はこの積で結合的な代数になり、外積代数（グラスマン代数）と呼ばれる。$\dim \Lambda(V) = \sum_k \binom{n}{k} = 2^n$ である。

命題 9.24（次数つき可換性）$\alpha \in \Lambda^kV$、$\beta \in \Lambda^lV$ について $\alpha \wedge \beta = (-1)^{kl}\beta \wedge \alpha$。

証明. 双線形性から $\alpha, \beta$ が純な場合に示せばよい。$w_1 \wedge \cdots \wedge w_l$ を $v_1 \wedge \cdots \wedge v_k$ の前に移すには、各 $w_j$ を $k$ 個の $v$ の前に移せばよく、隣接する入れ替えを合計 $kl$ 回行う。$\square$

例 9.25（$\mathbb{R}^3$ の外積とクロス積）$a = \sum a_ie_i$、$b = \sum b_ie_i \in \mathbb{R}^3$ について、展開して $e_i \wedge e_i = 0$、$e_j \wedge e_i = -e_i \wedge e_j$ を使うと

係数は $3 \times 2$ 行列 $(a \ b)$ の 2 次小行列式である。$e_2 \wedge e_3 \leftrightarrow e_1$、$e_3 \wedge e_1 \leftrightarrow e_2$、$e_1 \wedge e_2 \leftrightarrow e_3$ と対応させると（ホッジ双対）、$a \wedge b$ はクロス積

に対応する。クロス積が 3 次元に特有なのは、$\dim \Lambda^2\mathbb{R}^n = \binom{n}{2}$ が $n$ に等しいのが $n = 3$ のときだけだからである。一般の次元では「$a$ と $b$ の張る平行四辺形」を表すのは $a \wedge b \in \Lambda^2V$ の方である。

9.9 外積と行列式

定理 9.26（行列式の正体）$V$ を $n$ 次元、$f\colon V \to V$ を線形変換とする。交代的な多重線形写像 $(v_1, \dots, v_n) \mapsto f(v_1) \wedge \cdots \wedge f(v_n)$ から得られる線形写像 $\Lambda^nf\colon \Lambda^nV \to \Lambda^nV$ は、$\det f$ 倍写像である：

$$f(v_1) \wedge \cdots \wedge f(v_n) = (\det f)\ v_1 \wedge \cdots \wedge v_n$$