固有値と対角化

この章の目標

• 固有多項式を用いて固有値・固有ベクトル・固有空間を計算できる
• 対角化可能であるための条件を重複度で判定し、実際に対角化できる
• 三角化定理とケーリー–ハミルトンの定理を証明できる
• 最小多項式を定義し、「最小多項式が重根をもたない $\iff$ 対角化可能」を証明して使える
• 同時対角化を理解し、行列のべき・漸化式・マルコフ連鎖に応用できる

前提：第1章〜第4章。多項式の割り算（余りのある除法、代数学 第5章）と、多項式の素因数分解の一意性（代数学 第6章）を使う。

5.1 動機：よい基底を探す

対角行列は扱いやすい。べき乗は対角成分のべき乗であり、連立方程式は成分ごとに解ける。例 3.28 では、行列 $A$（第 1 行 $(2, 1)$、第 2 行 $(1, 2)$）が、基底 $u_1 = {}^t(1, 1)$、$u_2 = {}^t(1, -1)$ に関しては対角行列 $\operatorname{diag}(3, 1)$ で表されることを見た。これは $Au_1 = 3u_1$、$Au_2 = u_2$、つまり $L_A$ が $u_1$ 方向と $u_2$ 方向をそれぞれ定数倍するだけの変換だということである。

一般に、線形変換 $f\colon V \to V$ の表現行列が基底 $(v_1, \dots, v_n)$ に関して対角行列 $\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ になることは、$f(v_i) = \lambda_i v_i$ がすべての $i$ で成り立つことと同じである。そこで、$f$ によって方向が変わらないベクトルを探すことになる。これが固有ベクトルである。

「行列は線形写像の座標表示」という視点では、対角化とは線形変換の本来の姿が最も見やすくなる座標系を探すことであり、行列 $A$ を $P^{-1}AP$ に変える計算はその座標変換にほかならない。

以下、$K$ は体、$V$ は $K$ 上の $n$ 次元ベクトル空間（$n \geq 1$）、$f\colon V \to V$ は線形変換とする。行列 $A \in \operatorname{M}_n(K)$ については $L_A\colon K^n \to K^n$ を考える。

5.2 固有値と固有ベクトル

定義 5.1（固有値・固有ベクトル・固有空間）$\lambda \in K$ に対し、$f(v) = \lambda v$ を満たす $v \neq 0$ が存在するとき、$\lambda$ を $f$ の固有値 (eigenvalue)、$v$ を $\lambda$ に属する固有ベクトル (eigenvector) という。部分空間

$$V(\lambda) = \operatorname{Ker}(f - \lambda\ \mathrm{id}_V) = \lbrace v \in V \mid f(v) = \lambda v \rbrace$$

を $\lambda$ の固有空間 (eigenspace) という。行列 $A$ の固有値・固有ベクトルは $L_A$ のそれとする。

固有ベクトルは 0 でないと約束する（$f(0) = \lambda 0$ はすべての $\lambda$ で成り立つので、0 を許すと意味がない）。固有空間は固有ベクトル全体に 0 を加えたものである。

例 5.2

1. 対角行列 $\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ の固有値は $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ で、$e_i$ は $\lambda_i$ に属する固有ベクトルである。
2. 回転行列 $R(\theta)$（例 1.9）は、$\theta$ が $\pi$ の整数倍でなければ実数の固有値をもたない。幾何学的には、原点を通るどの直線も回転で自分自身に写らないからである。ところが $\mathbb{C}$ 上で考えると、固有値 $e^{\pm i\theta}$ をもつ（例 5.16）。
3. 平面の直線 $\ell$ への射影（例 3.23）の固有値は $1$（固有空間 $\ell$）と $0$（固有空間は射影の方向）である。直線に関する鏡映の固有値は $1$ と $-1$ である。
4. （無限次元の例）微分 $D\colon C^\infty(\mathbb{R}) \to C^\infty(\mathbb{R})$ について、任意の $\lambda \in \mathbb{R}$ は固有値で、$e^{\lambda x}$ が固有ベクトル（固有関数）である。一方、標数 0 の体上で $D\colon K[x]_{\leq n} \to K[x]_{\leq n}$ の固有値は $0$ だけである（次数を下げるので $Dp = \lambda p$, $\lambda \neq 0$ は $p = 0$ を意味する）。

命題 5.3 $\lambda \in K$ について次は同値である：(1) $\lambda$ は $f$ の固有値、(2) $f - \lambda\ \mathrm{id}_V$ は単射でない、(3) $\det(f - \lambda\ \mathrm{id}_V) = 0$。

証明. (1) $\iff$ (2) は定義と命題 3.6 から。(2) $\iff$ (3) は、有限次元では単射と同型が同値であること（系 3.12）と命題 4.37 から。$\square$

5.3 固有多項式

命題 5.3 の条件 (3) を $\lambda$ の方程式として扱うため、$\lambda$ を変数 $t$ に置き換える。

定義 5.4（固有多項式, characteristic polynomial）$A \in \operatorname{M}_n(K)$ に対し、$t$ を変数として

$$\Phi_A(t) = \det(tI_n - A)$$

を $A$ の固有多項式（特性多項式）という。方程式 $\Phi_A(t) = 0$ を固有方程式という。

$tI_n - A$ は多項式環 $K[t]$ に成分をもつ行列であり、その行列式は注意 4.22 により意味をもち、$t$ の多項式になる。相似な行列の固有多項式は等しい：

したがって線形変換 $f$ の固有多項式 $\Phi_f(t) := \Phi_{[f]_{\mathcal{B}}}(t)$ は基底によらずに定まる。

命題 5.5 $\Phi_A(t)$ は $n$ 次のモニック多項式（最高次の係数が 1）で

$$\Phi_A(t) = t^n - (\operatorname{tr} A)\ t^{n-1} + \cdots + (-1)^n \det A$$

である。$\lambda \in K$ が $A$ の固有値であるための必要十分条件は $\Phi_A(\lambda) = 0$ である。

証明. 定義 4.10 で $\det(tI - A)$ を展開する。$\sigma = \mathrm{id}$ の項は $\prod_{j}(t - a_{jj})$ である。$\sigma \neq \mathrm{id}$ なら $\sigma$ は少なくとも 2 点を動かすので、その項が含む対角成分 $t - a_{jj}$ は $n - 2$ 個以下であり、項の次数は $n - 2$ 以下である。よって $t^n$ と $t^{n-1}$ の係数は $\prod_j (t - a_{jj})$ から来て、それぞれ $1$ と $-\sum_j a_{jj}$ である。定数項は $\Phi_A(0) = \det(-A) = (-1)^n \det A$。後半：行列式は成分の多項式なので、$t$ に $\lambda$ を代入してから行列式をとっても同じであり、$\Phi_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)$。これが 0 であることは命題 5.3 より $\lambda$ が固有値であることと同値である。$\square$

したがって固有値の計算は固有方程式を解くことに帰着され、固有ベクトルの計算は同次連立方程式 $(A - \lambda I)x = 0$ を解くことに帰着される。

例 5.6 次の行列の固有値と固有ベクトルを求める。

$\Phi_A(t) = (t - 4)(t - 3) - 2 = t^2 - 7t + 10 = (t - 2)(t - 5)$ より固有値は $2, 5$。$\lambda = 5$：$(A - 5I)x = 0$ は $-x_1 + x_2 = 0$ なので $V(5) = \operatorname{span}({}^t(1, 1))$。$\lambda = 2$：$2x_1 + x_2 = 0$ なので $V(2) = \operatorname{span}({}^t(1, -2))$。検算：$A\ {}^t(1, 1) = {}^t(5, 5)$、$A\ {}^t(1, -2) = {}^t(2, -4)$。トレース $7 = 2 + 5$、行列式 $10 = 2 \cdot 5$ も命題 5.5 と整合する。

例 5.7 次の行列を考える。

$J$ をすべての成分が 1 の 3 次正方行列とすると $A = 2J - I$ である。$\Phi_A$ を直接計算してもよいが、命題 5.5 の係数を確かめる形で求めると：$\operatorname{tr} A = 3$、$\det A = 1 \cdot (1 - 4) - 2 \cdot (2 - 4) + 2 \cdot (4 - 2) = 5$、$t$ の係数は 2 次の主小行列式の和 $3 \times (1 - 4) = -9$（問題 5.2 参照）であり、

となる（展開して確かめよ）。固有値は $5$ と $-1$ である。$A + I = 2J$ なので $V(-1) = \lbrace x \mid x_1 + x_2 + x_3 = 0 \rbrace$ は 2 次元で、基底 ${}^t(1, -1, 0)$, ${}^t(1, 0, -1)$ をもつ。$V(5)$ は $(A - 5I)x = 0$ を解いて $\operatorname{span}({}^t(1, 1, 1))$ である。

定義 5.8（重複度）$\lambda$ を $f$ の固有値とする。$\lambda$ が $\Phi_f(t)$ の根として重複する回数（$(t - \lambda)^m$ が $\Phi_f$ を割り切る最大の $m$）を $\lambda$ の代数的重複度 $m(\lambda)$、$\dim V(\lambda)$ を幾何的重複度 $d(\lambda)$ という。

命題 5.9 各固有値 $\lambda$ について $1 \leq d(\lambda) \leq m(\lambda)$。

証明. $d = d(\lambda) \geq 1$ は固有ベクトルの存在から。$V(\lambda)$ の基底 $v_1, \dots, v_d$ を $V$ の基底に延長すると、$f(v_i) = \lambda v_i$ $(i \leq d)$ より表現行列はブロック上三角行列

になる。定理 4.34（$K[t]$ 成分の行列にも適用できる、注意 4.22）より $\Phi_f(t) = (t - \lambda)^d \Phi_C(t)$ なので $m(\lambda) \geq d$。$\square$

例 5.10 次の行列を考える。

$\Phi_B(t) = (t - 1)(t - 3) + 1 = (t - 2)^2$ なので固有値は $2$ だけで $m(2) = 2$。$B - 2I$ の第 1 行 $(-1, 1)$、第 2 行 $(-1, 1)$ より $\operatorname{rank}(B - 2I) = 1$、$d(2) = 2 - 1 = 1 < m(2)$ である。例 5.7 では $d(-1) = m(-1) = 2$、$d(5) = m(5) = 1$ であった。

代数学の基本定理（複素係数の多項式は $\mathbb{C}$ の中に根をもつ。証明は複素関数論 第3章）により、$K = \mathbb{C}$ なら $\Phi_A$ は一次式の積に分解し、すべての複素正方行列は固有値をもつ。重複度を込めて数えると固有値はちょうど $n$ 個ある。$K = \mathbb{R}$ ではこれは成り立たない（例 5.2 の 2）。

5.4 対角化

定理 5.11 相異なる固有値 $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ に属する固有ベクトル $v_1, \dots, v_k$ は一次独立である。したがって、固有空間の和 $V(\lambda_1) + \cdots + V(\lambda_k)$ は直和である。

証明. $k$ に関する帰納法。$k = 1$ は $v_1 \neq 0$ から。$\sum_{i=1}^k c_i v_i = 0$ とし、両辺に $f - \lambda_k\ \mathrm{id}$ を施すと $\sum_{i=1}^{k-1} c_i (\lambda_i - \lambda_k) v_i = 0$。帰納法の仮定より $c_i(\lambda_i - \lambda_k) = 0$、$\lambda_i \neq \lambda_k$ から $c_i = 0$ $(i < k)$。すると $c_k v_k = 0$ から $c_k = 0$。

直和であること：$w_1 + \cdots + w_k = 0$（$w_i \in V(\lambda_i)$）とする。0 でない $w_i$ たちは相異なる固有値の固有ベクトルなので、前半より、係数がすべて 1 のこの一次関係は 0 でない $w_i$ が一つもない場合しかありえない。命題 2.41 より直和である。$\square$

定義 5.12（対角化可能）$V$ の基底で、それに関する $f$ の表現行列が対角行列になるものが存在するとき、$f$ は対角化可能 (diagonalizable) であるという。行列 $A$ については、$P^{-1}AP$ が対角行列になる $P \in \operatorname{GL}_n(K)$ が存在することをいう。

表現行列が対角行列 $\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ であることは、基底の各元が固有ベクトルであることと同値である。したがって、$f$ が対角化可能 $\iff$ $V$ が $f$ の固有ベクトルからなる基底をもつ。行列の言葉では、$P$ の第 $j$ 列を $p_j$ とすると $AP = P\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \iff Ap_j = \lambda_j p_j$ であり、$P$ の列に固有ベクトルを並べれば、$P^{-1}AP$ は対応する固有値を並べた対角行列になる。

定理 5.13（対角化可能性の判定）$f$ の相異なる固有値を $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ とする。次は同値である。

1. $f$ は対角化可能である。
2. $V = V(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus V(\lambda_k)$。
3. $d(\lambda_1) + \cdots + d(\lambda_k) = n$。
4. $\Phi_f(t)$ は $K[t]$ で一次式の積に分解し、かつすべての $i$ で $d(\lambda_i) = m(\lambda_i)$。

証明. (1 ⇒ 2)：固有ベクトルからなる基底を固有値ごとに分けると、$V = \sum_i V(\lambda_i)$ がわかり、定理 5.11 より直和である。(2 ⇒ 3)：直和の次元（命題 2.41）。(3 ⇒ 1)：各 $V(\lambda_i)$ の基底を合わせたものは、和が直和であること（定理 5.11）から一次独立で、元の個数が $n$ なので基底である（定理 2.31）。これは固有ベクトルからなる基底である。(3 ⇔ 4)：命題 5.9 と、$\Phi_f$ の $K$ における根の重複度の和が次数 $n$ 以下であることから

であり、右の等号は $\Phi_f$ が一次式の積に分解することと同値である。よって左端が $n$ に等しいことは、両方の等号が成り立つこと、すなわち 4 と同値である。$\square$

系 5.14 $\Phi_f$ が $K$ に $n$ 個の相異なる根をもつ（$f$ が $n$ 個の相異なる固有値をもつ）ならば、$f$ は対角化可能である。

証明. このとき各 $\lambda_i$ で $1 \leq d(\lambda_i) \leq m(\lambda_i) = 1$ である。$\square$

例 5.15（対角化の手順）例 5.7 の $A$ では $d(5) + d(-1) = 1 + 2 = 3$ なので対角化可能である。固有ベクトルを並べて

となる。検算は $AP = PD$ を列ごとに確かめればよい：$A\ {}^t(1, 1, 1) = {}^t(5, 5, 5)$、$A\ {}^t(1, -1, 0) = {}^t(-1, 1, 0)$、$A\ {}^t(1, 0, -1) = {}^t(-1, 0, 1)$。$P^{-1}$ を計算する必要はない。

例 5.16（対角化可能性は体による）例 5.10 の $B$ は $d(2) < m(2)$ なので、どんな体の上でも対角化可能でない。一方、回転行列 $R(\theta)$（$\theta \notin \pi\mathbb{Z}$）は $\Phi(t) = t^2 - 2\cos\theta\ t + 1$ が実根をもたないので $\mathbb{R}$ 上では対角化できないが、$\mathbb{C}$ 上では相異なる 2 根 $e^{\pm i\theta}$ をもつので対角化可能である。実際、$R(\theta)\ {}^t(1, -i) = {}^t(\cos\theta + i\sin\theta,\ \sin\theta - i\cos\theta) = e^{i\theta}\ {}^t(1, -i)$ であり、同様に ${}^t(1, i)$ は $e^{-i\theta}$ に属する固有ベクトルである。

5.5 不変部分空間と三角化

対角化できない場合でも、表現行列をある程度簡単にすることはできる。鍵になるのは不変部分空間である。

定義 5.17（不変部分空間）部分空間 $W \subset V$ が $f(W) \subset W$ を満たすとき、$W$ は $f$-不変 (invariant) であるという。このとき $f$ の $W$ への制限 $f\vert_W\colon W \to W$ が定まる。

$\operatorname{Ker} f$、$\operatorname{Im} f$、固有空間は $f$-不変である。より一般に、多項式 $p(t) = \sum c_k t^k$ に対し $p(f) = \sum c_k f^k$（$f^0 = \mathrm{id}$）と定めると、$p(f)$ は $f$ と可換なので、$\operatorname{Ker} p(f)$ と $\operatorname{Im} p(f)$ は $f$-不変である（$v \in \operatorname{Ker} p(f)$ なら $p(f)(f(v)) = f(p(f)(v)) = 0$）。

命題 5.18 $W$ を $f$-不変部分空間とし、$W$ の基底 $w_1, \dots, w_k$ を $V$ の基底 $w_1, \dots, w_k, u_{k+1}, \dots, u_n$ に延長する。この基底に関する $f$ の表現行列は

$$\begin{pmatrix} A_1 & B \\ O & A_2 \end{pmatrix}$$

の形であり、$A_1 = [f\vert_W]$ である。$A_2$ は、$f$ が商空間に誘導する線形変換 $\bar{f}\colon V/W \to V/W$, $v + W \mapsto f(v) + W$ の、基底 $u_{k+1} + W, \dots, u_n + W$ に関する表現行列であり、$\Phi_f = \Phi_{f\vert_W} \Phi_{\bar{f}}$ が成り立つ。さらに $V = W \oplus W'$ で $W'$ も $f$-不変なら、$W'$ の基底をとることで $B = O$（ブロック対角）にできる。

証明. $f(w_j) \in W$ は $w_1, \dots, w_k$ の一次結合なので左下は $O$。$\bar{f}$ は $f(W) \subset W$ より well-defined であり、$f(u_j) = \sum_{i \leq k}(\cdots)w_i + \sum_{i > k} (A_2)_{ij} u_i$ を $W$ を法として見れば $A_2$ が $\bar{f}$ の表現行列であることがわかる（$u_{k+1} + W, \dots, u_n + W$ が $V/W$ の基底であることは、$\pi$ を $\operatorname{span}(u_{k+1}, \dots, u_n)$ に制限したものが同型であることから従う）。固有多項式の式は定理 4.34 から。最後の主張は明らか。$\square$

定理 5.19（三角化）$\Phi_A(t)$ が $K[t]$ で一次式の積に分解するならば、$P^{-1}AP$ が上三角行列になる $P \in \operatorname{GL}_n(K)$ が存在する。このとき $P^{-1}AP$ の対角成分には、$A$ の固有値が代数的重複度の回数だけ並ぶ。特に、任意の複素正方行列は三角化可能である。

証明. $n$ に関する帰納法。$n = 1$ は自明。$n \geq 2$ とする。$\Phi_A$ は一次式の積なので $A$ は固有値 $\lambda_1 \in K$ をもつ。その固有ベクトル $v_1$ を含む $K^n$ の基底をとり、それを列に並べた行列を $P_1$ とすると、命題 5.18（$W = Kv_1$）より

となる。$\Phi_A(t) = (t - \lambda_1)\Phi_{A_1}(t)$ なので $\Phi_{A_1}$ も一次式の積に分解する（$K[t]$ の素因数分解の一意性）。帰納法の仮定により $Q^{-1}A_1Q = T_1$ が上三角行列となる $Q \in \operatorname{GL}_{n-1}(K)$ がある。$P = P_1 \operatorname{diag}(1, Q)$（左上が $1$、右下が $Q$ のブロック対角行列との積）とおくと、ブロック積により

は上三角行列である。上三角行列 $T$ の固有多項式は $\prod_i (t - t_{ii})$ なので、対角成分は $\Phi_A$ の根を重複度込めて並べたものである。$\square$

系 5.20 $\Phi_A(t) = (t - \lambda_1) \cdots (t - \lambda_n)$（重複を許す）と分解するとき、

$$\operatorname{tr} A = \lambda_1 + \cdots + \lambda_n, \qquad \det A = \lambda_1 \cdots \lambda_n$$

であり、任意の多項式 $p$ について $\Phi_{p(A)}(t) = (t - p(\lambda_1)) \cdots (t - p(\lambda_n))$。すなわち $p(A)$ の固有値は $p(\lambda_1), \dots, p(\lambda_n)$ である。

証明. 前半は命題 5.5 の係数と根の関係から。後半：$T = P^{-1}AP$ を上三角とすると $p(T) = P^{-1}p(A)P$ も上三角で、対角成分は $p(t_{ii}) = p(\lambda_i)$（並べ替えを除いて）。$\square$

例えば実行列 $A$ の固有値を $\mathbb{C}$ の中で重複度込めて $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ とすれば、$\operatorname{tr} A^k = \sum_i \lambda_i^k$ である。

5.6 ケーリー–ハミルトンの定理

定理 5.21（ケーリー–ハミルトンの定理, Cayley–Hamilton theorem）任意の $A \in \operatorname{M}_n(K)$ について $\Phi_A(A) = O$。

証明. $B(t) = \operatorname{adj}(tI - A)$ とおく。定理 4.28 は $K[t]$ 成分の行列でも成り立つ（注意 4.22）ので

$B(t)$ の各成分は $tI - A$ の $(n-1)$ 次小行列式（の符号つき）なので $t$ について $n - 1$ 次以下の多項式である。よって $B(t) = B_0 + B_1 t + \cdots + B_{n-1} t^{n-1}$（$B_k \in \operatorname{M}_n(K)$）と書ける。$\Phi_A(t) = t^n + c_{n-1}t^{n-1} + \cdots + c_0$ とし、(1) の両辺の $t^k$ の係数（行列）を比較すると

$t^k$ の式に左から $A^k$ を掛けて $k = 0, \dots, n$ について足し合わせると、右辺は $A^n + c_{n-1}A^{n-1} + \cdots + c_0 I = \Phi_A(A)$ となる。左辺は

であり、和の部分は $\sum_{j=0}^{n-2} A^{j+1}B_j - \sum_{j=1}^{n-1} A^{j+1}B_j = AB_0 - A^nB_{n-1}$ と打ち消し合うので、左辺全体は $O$ である。よって $\Phi_A(A) = O$。$\square$

線形変換 $f$ についても、表現行列に適用すれば $\Phi_f(f) = 0$ が成り立つ。$K = \mathbb{C}$ の場合には三角化を用いた別証明がある（問題 5.8）。

例 5.22 例 5.6 の $A$ では $\Phi_A(t) = t^2 - 7t + 10$ で、実際

である。応用として、$A(7I - A) = 10I$ から $A^{-1} = \frac{1}{10}(7I - A)$ が得られる。また $t^5$ を $\Phi_A(t)$ で割った余りを $at + b$ とすると $A^5 = aA + bI$ である。$t = 2, 5$ を代入して $32 = 2a + b$、$3125 = 5a + b$ から $a = 1031$、$b = -2030$、よって

（例 5.34 の一般式でも確かめられる）。

5.7 最小多項式

ケーリー–ハミルトンの定理により、$A$ を代入して $O$ になる多項式（零化多項式）が存在する。そのうち次数最小のものが、対角化可能性の鍵を握る。

定義 5.23（最小多項式, minimal polynomial）$p(A) = O$ を満たす $0$ でない多項式のうち、次数が最小でモニックなものを $A$ の最小多項式といい、$\mu_A(t)$ と書く。

命題 5.24 $p \in K[t]$ について、$p(A) = O \iff \mu_A$ が $p$ を割り切る。特に $\mu_A$ はただ一つに定まり、$\Phi_A$ を割り切る（したがって $\deg \mu_A \leq n$）。相似な行列の最小多項式は等しい。

証明. $p$ を $\mu_A$ で割って $p = q\mu_A + r$（$r = 0$ または $\deg r < \deg \mu_A$）とすると、$p(A) = q(A)\mu_A(A) + r(A) = r(A)$。$p(A) = O$ なら $r(A) = O$ で、$\mu_A$ の次数の最小性から $r = 0$。逆は明らか。一意性：二つの最小多項式は互いに割り切り合い、ともにモニックなので等しい。$\Phi_A(A) = O$（定理 5.21）より $\mu_A \mid \Phi_A$。最後の主張は $p(P^{-1}AP) = P^{-1}p(A)P$ から。$\square$

命題 5.25 $\lambda \in K$ について、$\mu_A(\lambda) = 0 \iff \lambda$ は $A$ の固有値。

証明. $Av = \lambda v$ $(v \neq 0)$ なら、任意の多項式 $p$ で $p(A)v = p(\lambda)v$ である。$p = \mu_A$ とすると $0 = \mu_A(\lambda)v$ で、$v \neq 0$ より $\mu_A(\lambda) = 0$。逆に $\mu_A(\lambda) = 0$ なら、$\mu_A \mid \Phi_A$ より $\Phi_A(\lambda) = 0$ なので固有値である。$\square$

つまり $\mu_A$ と $\Phi_A$ は同じ根をもつが、重複度が違いうる。次の補題は、第6章でも使う基本的な道具である。

補題 5.26（ベズーの等式）$p_1, p_2 \in K[t]$ が互いに素（1 以外にモニックな公約元をもたない）ならば、$a p_1 + b p_2 = 1$ となる $a, b \in K[t]$ が存在する。

証明. $p_1, p_2$ の少なくとも一方は 0 でない。$I = \lbrace a p_1 + b p_2 \mid a, b \in K[t] \rbrace$ の 0 でない元のうち次数最小のものを $d$ とし、モニックにしておく。$p_1 = qd + r$ と割ると $r = p_1 - qd \in I$ で $\deg r < \deg d$ なので $r = 0$、すなわち $d \mid p_1$。同様に $d \mid p_2$ なので $d = 1$ であり、$1 \in I$。$\square$

補題 5.27（核の分解）$p = p_1 p_2 \cdots p_k$ で、$p_1, \dots, p_k \in K[t]$ はどの 2 つも互いに素であるとする。このとき

$$\operatorname{Ker} p(f) = \operatorname{Ker} p_1(f) \oplus \cdots \oplus \operatorname{Ker} p_k(f)$$

であり、各 $\operatorname{Ker} p_i(f)$ は $f$-不変である。特に $p(f) = 0$ なら $V = \bigoplus_i \operatorname{Ker} p_i(f)$。

証明. 不変性は前節で述べた。$k = 2$ の場合を示す。$W_i = \operatorname{Ker} p_i(f)$、$U = \operatorname{Ker} p(f)$ とする。$p(f) = p_2(f)p_1(f) = p_1(f)p_2(f)$ なので $W_1, W_2 \subset U$。補題 5.26 の $a p_1 + b p_2 = 1$ に $f$ を代入して $a(f)p_1(f) + b(f)p_2(f) = \mathrm{id}_V$。$u \in U$ に対し

と書くと、$p_2(f)u_2 = a(f)p(f)u = 0$ より $u_2 \in W_2$、同様に $u_1 \in W_1$。よって $U = W_1 + W_2$。$v \in W_1 \cap W_2$ なら $v = a(f)p_1(f)v + b(f)p_2(f)v = 0$ なので直和である。

$k \geq 3$ は帰納法による。$a_j p_1 + b_j p_j = 1$ $(j = 2, \dots, k)$ を辺々掛けて展開すると、$p_1$ の倍元と $(b_2 \cdots b_k)(p_2 \cdots p_k)$ の和が 1 に等しくなるので、$p_1$ と $p_2 \cdots p_k$ は互いに素である。$k = 2$ の場合を適用して $U = W_1 \oplus \operatorname{Ker}(p_2 \cdots p_k)(f)$ とし、後者に帰納法の仮定を適用すればよい（直和の結合性は命題 2.41 から従う）。$\square$

証明からわかるように、$U$ から各成分への射影は $f$ の多項式で書ける。これは後で（第6章、第7章）有用になる。

定理 5.28（最小多項式による対角化可能性の判定）次は同値である。

1. $f$ は対角化可能である。
2. $\mu_f(t) = (t - \lambda_1) \cdots (t - \lambda_k)$（$\lambda_i \in K$ は相異なる）、すなわち $\mu_f$ は $K$ 上で一次式の積に分解し、重根をもたない。
3. $K$ 上で一次式の積に分解し重根をもたない多項式 $p$ で、$p(f) = 0$ となるものが存在する。

証明. (1 ⇒ 3)：固有ベクトルからなる基底 $v_1, \dots, v_n$ をとり、相異なる固有値を $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ として $p = \prod_i (t - \lambda_i)$ とおく。$v_j$ の固有値を $\lambda_i$ とすると、$p(f)v_j$ は因子 $(f - \lambda_i)$ を含み（因子の順序は交換できる）0 である。よって $p(f) = 0$。

(3 ⇒ 2)：$\mu_f \mid p$（命題 5.24）であり、重根のない一次式の積の約元はまた重根のない一次式の積である。

(2 ⇒ 1)：$t - \lambda_1, \dots, t - \lambda_k$ はどの 2 つも互いに素（$\lambda_i \neq \lambda_j$ なので $(t - \lambda_i) - (t - \lambda_j)$ は 0 でない定数）なので、補題 5.27 より $V = \bigoplus_i \operatorname{Ker}(f - \lambda_i) = \bigoplus_i V(\lambda_i)$。定理 5.13 より対角化可能である。$\square$

例 5.29 例 5.7 の $A$ では $\Phi_A = (t - 5)(t + 1)^2$ で、$(A - 5I)(A + I) = (2J - 6I)(2J) = 4J^2 - 12J = O$（$J^2 = 3J$ を使った）なので、$\mu_A = (t - 5)(t + 1)$ であり（$A - 5I \neq O$、$A + I \neq O$ だから次数 1 の零化多項式はない）、対角化可能であることが再確認できる。例 5.10 の $B$ では $B - 2I \neq O$、$(B - 2I)^2 = O$ なので $\mu_B = (t - 2)^2$ で、重根をもつから対角化可能でない。