ベクトル空間

この章の目標

• 体とベクトル空間の公理を理解し、数ベクトル空間以外の例（多項式・関数・数列の空間）を同じ言葉で扱えるようになる
• 部分空間・一次結合・生成・一次独立を定義に基づいて判定できる
• シュタイニッツの交換定理を証明し、次元が基底の選び方によらないことを説明できる
• 基底の延長・和空間と直和・次元公式を証明し、具体的な計算に使える
• 無限次元空間にも基底が存在すること（ツォルンの補題による）と、その限界を理解する

前提：第1章。2.9 節では数学の言葉 第6章 選択公理とツォルンの補題を使う。

2.1 動機：「ベクトル」とは何か

高校では、ベクトルを「向きと大きさをもつ矢印」として学んだ。しかし数学では、矢印とは似ても似つかない対象が、ベクトルと同じ振る舞いをする。

• 同次連立方程式 $Ax = 0$ の二つの解の和は解であり、解の定数倍も解である（第1章）。
• 多項式どうしは足せて、定数倍できる。
• 微分方程式 $y'' + y = 0$ の解 $\sin x$, $\cos x$ について、$a \sin x + b \cos x$ もまた解である。
• 漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ を満たす数列の和や定数倍も、同じ漸化式を満たす。

いずれも「足し算」と「スカラー倍」が定義されていて、その計算規則が数ベクトルと同じである。そこで、計算規則だけを公理として取り出し、それを満たすものをベクトル空間と呼ぶことにする。こうしておけば、一度証明した定理（例えば「次元」の理論）が、これらすべての例に同時に適用できる。例えば「$y'' + y = 0$ の解全体は 2 次元である」ことがわかれば、$\sin x$ と $\cos x$ の一次結合ですべての解が尽くされることが従う。

2.2 体

スカラーとして使う数の体系を明確にしておく。

定義 2.1（体, field）集合 $K$ に二つの演算 $+$（加法）と $\cdot$（乗法）が与えられ、次を満たすとき $K$ を体という。

1. 加法について：結合法則、交換法則を満たし、零元 $0$ が存在し、各元 $a$ に対し $a + (-a) = 0$ となる $-a$ が存在する。
2. 乗法について：結合法則、交換法則を満たし、単位元 $1$ が存在し、$0$ でない各元 $a$ に対し $a a^{-1} = 1$ となる $a^{-1}$ が存在する。
3. 分配法則 $a(b + c) = ab + ac$ が成り立ち、$0 \neq 1$ である。

要するに、加減乗除（0 で割ることを除く）が自由にでき、通常の計算規則が成り立つ数の体系である。

例 2.2

1. $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ は体である。整数全体 $\mathbb{Z}$ は体ではない（$2$ の逆元が $\mathbb{Z}$ にない）。
2. $p$ を素数とすると、$p$ で割った余りの集合 $\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} = \lbrace 0, 1, \dots, p-1 \rbrace$ は、余りの加法・乗法で体になる（代数学 第1章）。例えば $\mathbb{F}_2 = \lbrace 0, 1 \rbrace$ では $1 + 1 = 0$ である。一方、$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ は体ではない（$2 \cdot 2 = 0$ なので $2$ は逆元をもたない）。
3. $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \lbrace a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q} \rbrace$ は体である。$a + b\sqrt{2} \neq 0$ のとき $(a + b\sqrt{2})^{-1} = (a - b\sqrt{2})/(a^2 - 2b^2)$ であり、$\sqrt{2}$ が無理数であることから分母は 0 でない。

注意 2.3 $1 + 1 + \cdots + 1$（$p$ 個）$= 0$ となる最小の $p \in \mathbb{N}$ が存在するとき、それを $K$ の標数 (characteristic) といい、存在しなければ標数は $0$ という。$\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ の標数は 0、$\mathbb{F}_p$ の標数は $p$ である。標数 2 の体では $2 = 0$ なので「2 で割る」ことができず、いくつかの命題（例えば問題 2.6）が成り立たなくなる。本章の定理は、特に断らない限り任意の体で成り立つ。

体の一般論は代数学 第5章、第8章で扱う。

2.3 ベクトル空間の公理と例

定義 2.4（ベクトル空間, vector space）$K$ を体とする。集合 $V$ に、加法 $V \times V \to V$, $(u, v) \mapsto u + v$ とスカラー倍 $K \times V \to V$, $(c, v) \mapsto cv$ が与えられ、任意の $u, v, w \in V$、$c, d \in K$ に対して次を満たすとき、$V$ を $K$ 上のベクトル空間（線形空間, linear space）といい、$V$ の元をベクトルという。

1. $(u + v) + w = u + (v + w)$
2. $u + v = v + u$
3. ある元 $0 \in V$（零ベクトル）があって、すべての $v$ で $v + 0 = v$
4. 各 $v$ に対し $v + v' = 0$ となる $v' \in V$ が存在する
5. $c(u + v) = cu + cv$
6. $(c + d)v = cv + dv$
7. $(cd)v = c(dv)$
8. $1v = v$

$K = \mathbb{R}$ のとき実ベクトル空間、$K = \mathbb{C}$ のとき複素ベクトル空間という。

命題 2.5 $V$ をベクトル空間とする。

1. 零ベクトルはただ一つである。各 $v$ に対し公理 4 の $v'$ はただ一つであり、これを $-v$ と書く。
2. $0v = 0$、$c0 = 0$、$(-1)v = -v$（左辺の $0$ はスカラー、右辺はベクトル）。
3. $cv = 0$ ならば $c = 0$ または $v = 0$。

証明. 1：$0, 0'$ がともに零ベクトルなら $0 = 0 + 0' = 0' + 0 = 0'$。$v', v''$ がともに公理 4 を満たすなら $v' = v' + (v + v'') = (v' + v) + v'' = v''$。

2：$0v = (0 + 0)v = 0v + 0v$ の両辺に $-(0v)$ を加えて $0 = 0v$。$c0 = 0$ も同様に $c0 = c(0 + 0) = c0 + c0$ から従う。$v + (-1)v = 1v + (-1)v = (1 + (-1))v = 0v = 0$ なので、1 の一意性から $(-1)v = -v$。

3：$c \neq 0$ なら $v = 1v = (c^{-1}c)v = c^{-1}(cv) = c^{-1} 0 = 0$。$\square$

以下、$u + (-v)$ を $u - v$ と書く。

例 2.6（数ベクトル空間・行列の空間）$K^n$ は成分ごとの加法・スカラー倍で $K$ 上のベクトル空間である。同様に $\operatorname{M}_{m,n}(K)$ もベクトル空間である（命題 1.4）。

例 2.7（多項式の空間）$K$ 係数の多項式 $a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n$ 全体を $K[x]$ と書く。多項式は係数の列 $(a_0, a_1, a_2, \dots)$（有限個を除いて 0）と同一視され、二つの多項式が等しいとは係数がすべて等しいことである。通常の加法と定数倍で $K[x]$ はベクトル空間になる。$n \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ に対し、次数 $n$ 以下の多項式（0 を含む）全体を $K[x]_{\leq n}$ と書く。

例 2.8（関数の空間）$X$ を集合とし、$X$ から $K$ への写像全体 $K^X$ に

で演算を定めると、$K^X$ はベクトル空間である（零ベクトルは恒等的に 0 の関数）。$X = \lbrace 1, \dots, n \rbrace$ なら $K^X$ は $K^n$ そのものである。区間 $[a, b]$ 上の実数値連続関数全体 $C([a, b])$、$\mathbb{R}$ 上の $C^\infty$ 級関数全体 $C^\infty(\mathbb{R})$ も同じ演算でベクトル空間になる（連続関数・$C^\infty$ 級関数の和や定数倍がまたそうであることは微分積分学 第3章、第4章で学ぶ）。

例 2.9（数列の空間）$K$ の元の数列 $(a_1, a_2, a_3, \dots)$ 全体 $K^{\mathbb{N}}$ は、項ごとの演算でベクトル空間である（例 2.8 で $X = \mathbb{N}$ としたもの）。有限個の項を除いて 0 である数列全体を $K^{(\mathbb{N})}$ と書く。実数の収束列全体、有界列全体も $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ の中でベクトル空間をなす。

例 2.10（体を取り替える）同じ集合でも、スカラーの体が違えば別のベクトル空間である。$\mathbb{C}$ は $\mathbb{C}$ 上のベクトル空間であり、また（スカラー倍を実数倍に制限して）$\mathbb{R}$ 上のベクトル空間でもある。同様に $\mathbb{R}$ は $\mathbb{Q}$ 上のベクトル空間である。

例 2.11（見慣れない演算）正の実数全体 $\mathbb{R}_{>0}$ に、「加法」を $u \oplus v = uv$（通常の積）、「スカラー倍」を $c \odot v = v^c$ $(c \in \mathbb{R})$ で定めると、これは $\mathbb{R}$ 上のベクトル空間になる。零ベクトルは $1$、$v$ の逆ベクトルは $1/v$ である。例えば公理 6 は $v^{c+d} = v^c v^d$、公理 7 は $v^{cd} = (v^d)^c$ にあたる。第3章の言葉では、$\log\colon \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$ はこのベクトル空間から $\mathbb{R}$ への同型写像である。公理を満たしさえすれば、演算の「見かけ」は何でもよいのである。

2.4 部分空間

定義 2.12（部分空間, subspace）ベクトル空間 $V$ の空でない部分集合 $W$ が、加法とスカラー倍について閉じている、すなわち

$$u, v \in W,\ c \in K \implies u + v \in W,\ cu \in W$$

を満たすとき、$W$ を $V$ の部分空間という。

部分空間は $V$ の演算を制限してそれ自身ベクトル空間になる（公理 1, 2, 5〜8 は $V$ で成り立つので $W$ でも成り立ち、$w \in W$ をとれば $0 = 0w \in W$、$-w = (-1)w \in W$ となる）。特に部分空間は必ず零ベクトルを含む。$\lbrace 0 \rbrace$ と $V$ 自身も部分空間である。

例 2.13

1. $A \in \operatorname{M}_{m,n}(K)$ に対し、$Ax = 0$ の解全体 $\lbrace x \in K^n \mid Ax = 0 \rbrace$ は $K^n$ の部分空間である（解空間）。$b \neq 0$ のとき $Ax = b$ の解全体は、$0$ を含まないので部分空間ではない。
2. 対称行列全体、交代行列全体は $\operatorname{M}_n(K)$ の部分空間である。
3. $K[x]_{\leq n}$ は $K[x]$ の部分空間である。一方、「ちょうど $n$ 次の多項式全体」は部分空間ではない（$x^n$ と $-x^n + 1$ の和は $1$ で次数が $n$ でない。また 0 を含まない）。
4. 収束列全体は有界列全体の部分空間であり、有界列全体は $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ の部分空間である。
5. $\mathbb{R}^2$ の部分集合 $\lbrace (x, y) \mid xy = 0 \rbrace$（2 本の座標軸の和集合）は部分空間ではない：$(1, 0) + (0, 1) = (1, 1)$ が含まれない。$\lbrace (x, y) \mid x \geq 0 \rbrace$ も部分空間ではない：$(-1)(1, 0)$ が含まれない。

命題 2.14 部分空間の族 $(W_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ の共通部分 $\bigcap_{\lambda} W_\lambda$ は部分空間である。

証明. $0$ はすべての $W_\lambda$ に含まれるので共通部分は空でない。$u, v$ が共通部分に含まれれば、各 $W_\lambda$ で $u + v, cu \in W_\lambda$ なので共通部分に含まれる。$\square$

和集合は一般に部分空間でない（例 2.13 の 5、問題 2.8）。

2.5 一次結合と生成

定義 2.15（一次結合・生成）$v_1, \dots, v_k \in V$ と $c_1, \dots, c_k \in K$ に対し、$c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k$ を $v_1, \dots, v_k$ の一次結合（線形結合, linear combination）という。部分集合 $S \subset V$ に対し、$S$ の有限個の元の一次結合全体を

$$\operatorname{span}(S) = \left\lbrace \sum_{i=1}^{k} c_i v_i \ \middle\vert\ k \in \mathbb{Z}_{\geq 0},\ v_i \in S,\ c_i \in K \right\rbrace$$

と書き、$S$ が生成する（張る, span）部分空間という（$k = 0$ の空の和は $0$ と約束し、$\operatorname{span}(\emptyset) = \lbrace 0 \rbrace$）。$\operatorname{span}(S) = V$ のとき、$S$ は $V$ を生成する、あるいは $S$ は $V$ の生成系であるという。有限集合で生成されるベクトル空間を有限生成という。

一次結合は常に有限和であることを強調しておく。無限和には収束の概念が必要であり、代数的な線形代数の範囲外である。

命題 2.16 $\operatorname{span}(S)$ は $S$ を含む部分空間であり、$S$ を含む任意の部分空間に含まれる。すなわち、$S$ を含む最小の部分空間である。

証明. 一次結合の和や定数倍はまた一次結合なので $\operatorname{span}(S)$ は部分空間であり、$v \in S$ は $1v$ として含まれる。$W$ が $S$ を含む部分空間なら、$W$ は加法とスカラー倍で閉じているので $S$ の元の一次結合をすべて含む。$\square$

例 2.17

1. $K^n = \operatorname{span}(e_1, \dots, e_n)$、$K[x]_{\leq n} = \operatorname{span}(1, x, \dots, x^n)$、$K[x] = \operatorname{span}(1, x, x^2, \dots)$ である。$K[x]$ は有限生成ではない：有限個の多項式の次数の最大値を $N$ とすると、それらの一次結合の次数は $N$ 以下であり、$x^{N+1}$ を表せない。
2. $K^{\mathbb{N}}$ において、$e_n$ を第 $n$ 項だけ 1 で他が 0 の数列とすると、$\operatorname{span}(e_1, e_2, \dots) = K^{(\mathbb{N})}$ であって、$K^{\mathbb{N}}$ 全体ではない。例えば定数列 $(1, 1, 1, \dots)$ は $e_n$ たちの（有限個の）一次結合で書けない。
3. $A \in \operatorname{M}_{m,n}(K)$ の列 $a_1, \dots, a_n$ が生成する部分空間を $A$ の列空間という。命題 1.6 より列空間は $\lbrace Ax \mid x \in K^n \rbrace$ に等しく、$Ax = b$ が解をもつことは $b$ が列空間に属することと同値である。

2.6 一次独立

生成系は「$V$ のすべてを表すのに十分な」ベクトルの集まりである。次に「無駄がない」ことを定式化する。

定義 2.18（一次独立, linear independence）$v_1, \dots, v_k \in V$ が

$$c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k = 0 \implies c_1 = \cdots = c_k = 0$$

を満たすとき、$v_1, \dots, v_k$ は一次独立（線形独立）であるという。一次独立でないとき一次従属であるという。無限集合 $S \subset V$ については、$S$ の相異なる有限個の元がつねに一次独立であるとき、$S$ は一次独立であるという。

一次従属とは、自明でない一次関係 $c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k = 0$（ある $c_i \neq 0$）が存在することである。零ベクトルを含む組や、同じベクトルを 2 回含む組は一次従属である。

例 2.19（体によって答えが変わる）$K^3$ のベクトル $u_1 = {}^t(1, 1, 0)$、$u_2 = {}^t(1, 0, 1)$、$u_3 = {}^t(0, 1, 1)$ を考える。$c_1 u_1 + c_2 u_2 + c_3 u_3 = {}^t(c_1 + c_2,\ c_1 + c_3,\ c_2 + c_3) = 0$ とすると、$c_1 = -c_2 = -c_3$ かつ $c_2 = -c_3$ から $c_2 = c_3 = -c_3$、すなわち $2c_3 = 0$ である。標数が 2 でなければ $c_3 = 0$ となり、$c_1 = c_2 = c_3 = 0$ なので一次独立である。$K = \mathbb{F}_2$ では $u_1 + u_2 + u_3 = {}^t(2, 2, 2) = 0$ なので一次従属である。

例 2.20

1. $1, x, x^2, \dots$ は $K[x]$ で一次独立である：有限個の一次結合 $\sum c_i x^i$ が零多項式であることは、定義によりすべての係数 $c_i$ が 0 であることである。
2. $\sin x, \cos x$ は $C(\mathbb{R})$ で一次独立である：$a \sin x + b \cos x = 0$（すべての $x$ で）とすると、$x = 0$ を代入して $b = 0$、$x = \pi/2$ を代入して $a = 0$。
3. $C(\mathbb{R})$ で $\sin^2 x, \cos^2 x, 1$ は一次従属である：$\sin^2 x + \cos^2 x - 1 = 0$。

命題 2.21

1. $v_1, \dots, v_k$ $(k \geq 1)$ が一次従属であるための必要十分条件は、ある $v_j$ が残りの $v_i$ $(i \neq j)$ の一次結合で書けることである。
2. $v_1, \dots, v_k$ が一次独立で $v \notin \operatorname{span}(v_1, \dots, v_k)$ ならば、$v_1, \dots, v_k, v$ は一次独立である。
3. $v_1, \dots, v_k$ が一次独立ならば、$\operatorname{span}(v_1, \dots, v_k)$ の元を $\sum c_i v_i$ と表す方法はただ一つである。

証明. 1：$\sum c_i v_i = 0$ で $c_j \neq 0$ なら $v_j = -c_j^{-1} \sum_{i \neq j} c_i v_i$。逆に $v_j = \sum_{i \neq j} d_i v_i$ なら $v_j - \sum_{i \neq j} d_i v_i = 0$ は $v_j$ の係数が $1 \neq 0$ の一次関係である。

2：$\sum c_i v_i + c v = 0$ とする。$c \neq 0$ なら $v = -c^{-1} \sum c_i v_i \in \operatorname{span}(v_1, \dots, v_k)$ となり仮定に反する。よって $c = 0$ で、$v_i$ の一次独立性から $c_i = 0$。

3：$\sum c_i v_i = \sum d_i v_i$ なら $\sum (c_i - d_i) v_i = 0$ なので $c_i = d_i$。$\square$

数ベクトルの一次独立性は、第1章の階数で判定できる。

命題 2.22 $v_1, \dots, v_k \in K^n$ を並べた $n \times k$ 行列を $A = (v_1 \ \cdots \ v_k)$ とする。$v_1, \dots, v_k$ が一次独立であるための必要十分条件は $\operatorname{rank} A = k$ である。特に $k > n$ なら $K^n$ の $k$ 個のベクトルは一次従属である。

証明. 命題 1.6 より $\sum c_i v_i = Ac$（$c = {}^t(c_1, \dots, c_k)$）なので、一次独立性は「$Ac = 0$ の解が $c = 0$ のみ」と同値であり、系 1.31 よりこれは $\operatorname{rank} A = k$ と同値である。$k > n$ なら $\operatorname{rank} A \leq n < k$。$\square$

2.7 基底と次元

定義 2.23（基底, basis）ベクトル空間 $V$ の部分集合 $B$ が一次独立かつ $V$ を生成するとき、$B$ を $V$ の基底という。有限次元の場合は、順序をつけた組 $(v_1, \dots, v_n)$ を基底ということが多い。

命題 2.24 $(v_1, \dots, v_n)$ が $V$ の基底であるための必要十分条件は、任意の $v \in V$ が

$$v = c_1 v_1 + \cdots + c_n v_n \qquad (c_i \in K)$$

とただ一通りに表されることである。

証明. 「表される」ことが生成、「ただ一通り」が一次独立に対応する。一次独立なら表し方が一意であることは命題 2.21 の 3 である。逆に表し方が一意なら、$0 = 0v_1 + \cdots + 0v_n$ という表し方しかないので一次独立である。$\square$

係数の組 ${}^t(c_1, \dots, c_n) \in K^n$ を、基底 $(v_1, \dots, v_n)$ に関する $v$ の座標 (coordinates) という。基底を一つ選ぶと、$V$ の元と $K^n$ の元が一対一に対応し、この対応は和とスカラー倍を保つ。つまり基底を選ぶことは座標系を選ぶことであり、それによって抽象的なベクトル空間が数ベクトル空間 $K^n$ と同一視される。ただし、この同一視は基底の選び方に依存する。第3章以降で繰り返し見るように、線形代数の多くの議論は「都合のよい基底を選ぶ」ことに帰着する。

例 2.25

1. $(e_1, \dots, e_n)$ は $K^n$ の基底である（標準基底）。
2. $(1, x, \dots, x^n)$ は $K[x]_{\leq n}$ の基底、$\lbrace 1, x, x^2, \dots \rbrace$ は $K[x]$ の基底である。
3. 行列単位 $E_{ij}$ $(1 \leq i \leq m,\ 1 \leq j \leq n)$ は $\operatorname{M}_{m,n}(K)$ の基底である。
4. $(1, i)$ は $\mathbb{R}$ 上のベクトル空間 $\mathbb{C}$ の基底である。
5. $A \in \operatorname{M}_{m,n}(K)$、$r = \operatorname{rank} A$ とする。系 1.31 の証明で、自由変数のうち一つを 1、他を 0 として得られる $n - r$ 個の解は、$Ax = 0$ の解空間の基底である。実際、補題 1.24 より任意の解は自由変数の値で決まり、自由変数の値の組 $(t_j)$ に対応する解はこれら $n - r$ 個の解の $t_j$ を係数とする一次結合である（生成）。また一次結合が 0 なら自由変数の成分がすべて 0 なので係数は 0 である（一次独立）。例 1.32 では ${}^t(-2, 1, 0, 0)$、${}^t(-1, 0, 1, 1)$ が解空間の基底である。

基底の元の個数が基底によらないことを示すのが、次の定理である。

定理 2.26（シュタイニッツの交換定理, Steinitz exchange theorem）ベクトル空間 $V$ において、$v_1, \dots, v_m$ が一次独立で、$w_1, \dots, w_n$ が $V$ を生成するとする。このとき $m \leq n$ であり、$w_1, \dots, w_n$ の番号を適当に付け替えると、

$$v_1, \dots, v_m, w_{m+1}, \dots, w_n$$

が $V$ を生成する。つまり、生成系の $m$ 個の元を $v_1, \dots, v_m$ と「交換」しても生成系のままである。

証明. $m$ に関する帰納法で示す。$m = 0$ のときは何も示すことはない。$m \geq 1$ とし、$m - 1$ のとき正しいとする。$v_1, \dots, v_{m-1}$ は一次独立なので、帰納法の仮定から $m - 1 \leq n$ で、番号を付け替えると $v_1, \dots, v_{m-1}, w_m, \dots, w_n$ が $V$ を生成する。特に $v_m$ はこれらの一次結合で

と書ける。もし $b_m, \dots, b_n$ がすべて 0（$m - 1 = n$ で $w$ の項がない場合を含む）なら、$v_m$ は $v_1, \dots, v_{m-1}$ の一次結合となり、$v_1, \dots, v_m$ の一次独立性（命題 2.21 の 1）に反する。したがって $m - 1 < n$、すなわち $m \leq n$ であり、ある $b_j \neq 0$ $(j \geq m)$ がある。番号を付け替えて $b_m \neq 0$ としてよい。すると

であるから、$w_m \in \operatorname{span}(v_1, \dots, v_m, w_{m+1}, \dots, w_n)$ である。よってこの部分空間は $v_1, \dots, v_{m-1}, w_m, \dots, w_n$ をすべて含み、これらは $V$ を生成するので、命題 2.16 よりこの部分空間は $V$ に等しい。$\square$

系 2.27 $n$ 個のベクトルで生成されるベクトル空間において、$n + 1$ 個以上のベクトルは一次従属である。

定理 2.28（次元の well-definedness）ベクトル空間 $V$ が有限個の元からなる基底をもつならば、$V$ のすべての基底は同じ個数の元からなる。

証明. $(v_1, \dots, v_m)$ と $(w_1, \dots, w_n)$ を基底とする。前者は一次独立、後者は生成系なので定理 2.26 より $m \leq n$。役割を入れ替えて $n \leq m$。$\square$

（一方の基底が無限集合の場合も、系 2.27 により他方も有限にはなりえない。）

定義 2.29（次元, dimension）$V$ が有限個の元からなる基底をもつとき、その元の個数を $V$ の次元といい $\dim V$（体を明示するときは $\dim_K V$）と書く。このとき $V$ は有限次元であるという。$\lbrace 0 \rbrace$ の基底は空集合であり、$\dim \lbrace 0 \rbrace = 0$ とする。有限次元でないベクトル空間を無限次元という。

例 2.30 $\dim K^n = n$、$\dim K[x]_{\leq n} = n + 1$、$\dim \operatorname{M}_{m,n}(K) = mn$、$\dim_{\mathbb{R}} \mathbb{C} = 2$、$\dim_{\mathbb{C}} \mathbb{C} = 1$。$K[x]$ は有限生成でない（例 2.17）ので無限次元である。$C([a, b])$ は一次独立な無限集合 $\lbrace 1, x, x^2, \dots \rbrace$ を含む（零でない多項式は有限個の根しかもたないので、$[a, b]$ 上で恒等的に 0 にはならない）から、系 2.27 により無限次元である。$Ax = 0$ の解空間の次元は $n - \operatorname{rank} A$ である（例 2.25 の 5）。

定理 2.31（基底の取り出しと延長）$V$ を有限生成なベクトル空間とする。

1. $V$ の有限な生成系は、$V$ の基底を部分集合として含む。特に $V$ は有限次元である。
2. $V$ の一次独立な元の組は、元を付け加えて $V$ の基底に延長できる。
3. $\dim V = n$ とする。$n$ 個の一次独立な元は基底である。$V$ を生成する $n$ 個の元は基底である。

証明. 1：有限な生成系 $S$ の部分集合で一次独立なもの（空集合はその一つ）のうち、元の個数が最大のもの $B$ をとる。$S$ の任意の元 $s$ は $\operatorname{span}(B)$ に属する：さもなければ命題 2.21 の 2 により $B \cup \lbrace s \rbrace$ が一次独立になり、最大性に反する。よって $\operatorname{span}(B) \supset S$ であり、$\operatorname{span}(B) \supset \operatorname{span}(S) = V$。$B$ は一次独立な生成系、すなわち基底である。

2：$V$ は $n$ 個の元で生成されるとする。一次独立な組 $v_1, \dots, v_m$ が $V$ を生成しなければ、$v \notin \operatorname{span}(v_1, \dots, v_m)$ をとって付け加えると、命題 2.21 の 2 より一次独立な組が得られる。これを繰り返すと、系 2.27 により元の個数は $n$ を超えないので、有限回で $V$ を生成する一次独立な組、すなわち基底に到達する。

3：$n$ 個の一次独立な元を 2 で基底に延長すると、基底の元の個数は $n$（定理 2.28）なので何も付け加わっていない。$V$ を生成する $n$ 個の元から 1 で基底を取り出すと、やはり $n$ 個なので何も除かれていない。$\square$

定理 2.31 の 3 は実用上重要である：次元がわかっている空間で基底であることを確かめるには、一次独立性か生成性の一方だけを確かめればよい。これは正方行列の片側逆行列が逆行列になること（定理 1.34）と同じ種類の現象である。

系 2.32 $V$ を有限次元、$W$ をその部分空間とする。このとき $W$ も有限次元で $\dim W \leq \dim V$ であり、等号が成り立つのは $W = V$ のときに限る。

証明. $n = \dim V$ とする。$W$ の一次独立な組は $V$ でも一次独立なので、系 2.27 より高々 $n$ 個の元からなる。元の個数が最大の一次独立な組 $B \subset W$ をとると、定理 2.31 の 1 の証明と同様に $\operatorname{span}(B) = W$ となり、$B$ は $W$ の基底である。よって $\dim W \leq n$。$\dim W = n$ なら、$B$ は $V$ の $n$ 個の一次独立な元なので定理 2.31 の 3 より $V$ の基底であり、$W = \operatorname{span}(B) = V$。$\square$

数ベクトル空間での計算法

具体的なベクトルの組から基底を取り出すには、次の事実を使う。

命題 2.33 $A \in \operatorname{M}_{m,n}(K)$ の簡約階段行列を $R$ とし、$A, R$ の列をそれぞれ $a_1, \dots, a_n$、$r_1, \dots, r_n$ とする。

1. $A$ の列の間の一次関係と $R$ の列の間の一次関係は一致する：$\sum_j x_j a_j = 0 \iff \sum_j x_j r_j = 0$。
2. $R$ の主列を $j_1 < \cdots < j_r$ とすると、$a_{j_1}, \dots, a_{j_r}$ は $A$ の列空間の基底であり、主列でない列 $a_j$ は $a_j = \sum_{i=1}^{r} r_{ij} a_{j_i}$ と表される。特に列空間の次元は $\operatorname{rank} A$ に等しい。

証明. 1：$\sum_j x_j a_j = Ax$、$\sum_j x_j r_j = Rx$ であり、命題 1.20 より $Ax = 0 \iff Rx = 0$。

2：$R$ では $r_{j_i} = e_i$ であり、$e_1, \dots, e_r$ は一次独立だから、1 より $a_{j_1}, \dots, a_{j_r}$ も一次独立である。$R$ の各列は第 $r+1$ 成分以降が 0 なので、$r_j = \sum_{i=1}^r r_{ij} e_i = \sum_{i=1}^{r} r_{ij} r_{j_i}$ であり、この一次関係を 1 で $A$ に移すと $a_j = \sum_i r_{ij} a_{j_i}$ を得る。よって主列に対応する $A$ の列は列空間を生成する。$\square$

例 2.34 $\mathbb{R}^4$ のベクトル

が生成する部分空間 $W$ の基底を求める。これらを並べた行列を簡約化すると（$R_2 - 2R_1$、$R_4 - R_1$、$R_3 - R_2$、$R_4 - R_2$）

となる。主列は第 1, 3 列なので $(v_1, v_3)$ が $W$ の基底で $\dim W = 2$ である。また第 2 列、第 4 列から $v_2 = 2v_1$、$v_4 = v_1 + v_3$ が読み取れる（検算：$v_1 + v_3 = {}^t(1, 3, 1, 2) = v_4$）。

さらに $(v_1, v_3)$ を $\mathbb{R}^4$ の基底に延長するには、$(v_1 \ v_3 \ e_1 \ e_2 \ e_3 \ e_4)$ を簡約化して主列を選べばよい。$v_1, v_3$ は一次独立なので第 1, 2 列は必ず主列になる。実際に計算すると主列は第 1〜4 列となり、$(v_1, v_3, e_1, e_2)$ が $\mathbb{R}^4$ の基底であることがわかる（読者は確かめよ）。

2.8 和空間と直和

二つの部分空間を「合わせる」操作と、空間を「分解する」操作を考える。

定義 2.35（和空間）$W_1, W_2$ を $V$ の部分空間とする。$W_1 + W_2 = \lbrace w_1 + w_2 \mid w_1 \in W_1,\ w_2 \in W_2 \rbrace$ を和空間という。

$W_1 + W_2$ は $W_1 \cup W_2$ を含む最小の部分空間、すなわち $\operatorname{span}(W_1 \cup W_2)$ である（確かめよ）。

定義 2.36（直和, direct sum）$W_1 + W_2$ の各元が $w_1 + w_2$ $(w_i \in W_i)$ の形にただ一通りに書けるとき、和 $W_1 + W_2$ は直和であるといい、$W_1 \oplus W_2$ と書く。

命題 2.37 $W_1 + W_2$ が直和であるための必要十分条件は $W_1 \cap W_2 = \lbrace 0 \rbrace$ である。

証明. 直和とし、$v \in W_1 \cap W_2$ とすると $v = v + 0 = 0 + v$ は二通りの表示だから $v = 0$。逆に $W_1 \cap W_2 = \lbrace 0 \rbrace$ とし、$w_1 + w_2 = w_1' + w_2'$ とすると $w_1 - w_1' = w_2' - w_2 \in W_1 \cap W_2 = \lbrace 0 \rbrace$ なので $w_1 = w_1'$、$w_2 = w_2'$。$\square$

定理 2.38（次元公式）$W_1, W_2$ を有限次元ベクトル空間の部分空間とすると

$$\dim(W_1 + W_2) + \dim(W_1 \cap W_2) = \dim W_1 + \dim W_2$$

特に、$W_1 + W_2$ が直和であることと $\dim(W_1 + W_2) = \dim W_1 + \dim W_2$ は同値である。

証明. $W_1 \cap W_2$ の基底 $u_1, \dots, u_k$ をとり、定理 2.31 の 2 でこれを $W_1$ の基底 $u_1, \dots, u_k, v_1, \dots, v_l$ と、$W_2$ の基底 $u_1, \dots, u_k, w_1, \dots, w_m$ に延長する。$u_1, \dots, u_k, v_1, \dots, v_l, w_1, \dots, w_m$ が $W_1 + W_2$ の基底であることを示せば、$(k + l + m) + k = (k + l) + (k + m)$ から主張が従う。

生成：$W_1 + W_2$ の元は $W_1$ の元と $W_2$ の元の和であり、それぞれ上の元の一次結合である。

一次独立：$\sum a_i u_i + \sum b_j v_j + \sum c_h w_h = 0$ とする。$x := \sum c_h w_h = -\sum a_i u_i - \sum b_j v_j$ は左辺の形から $W_2$ に、右辺の形から $W_1$ に属するので $x \in W_1 \cap W_2$ であり、$x = \sum d_i u_i$ と書ける。すると $\sum c_h w_h - \sum d_i u_i = 0$ であり、$u_1, \dots, u_k, w_1, \dots, w_m$ は一次独立だから $c_h = 0$（と $d_i = 0$）。残った $\sum a_i u_i + \sum b_j v_j = 0$ から、$W_1$ の基底の一次独立性により $a_i = b_j = 0$。