第1章有限群の表現（リー群と表現論） | Lemma

この章の目標

表現・部分表現・同値・既約性を定義し、置換表現・正則表現・二面体群の表現などの例を扱えるようになる

マシュケの定理とシューアの補題を、仮定（体の標数・代数閉性）に注意して証明できる

指標の直交関係と「既約表現の個数＝共役類の個数」を証明し、指標を使って表現を分解できる

$\mathfrak{S}_3$ , $\mathfrak{S}_4$ , $\mathfrak{A}_4$ , $D_4$ , $Q_8$ の指標表を自分で作り、検算できる

既約表現の次数が群の位数を割ることを、代数的整数を用いて証明できる

誘導表現を構成し、フロベニウスの相互律を使える

前提：代数学第2章〜第4章（群・共役類・群の作用・交換子群）、線形代数第5章（固有値と対角化）、線形代数第9章（テンソル積・双対空間）

群は「対称性」を記述する言葉である。しかし抽象的な群をそのまま調べるのは難しい。表現論 (representation theory) の基本的な発想は、群の元を線形変換として実現し、線形代数の道具（固有値・トレース・直和分解）を群の研究に持ち込むことである。有限群の場合、この発想は驚くほどうまくいく。複素数体上では、すべての表現が既約表現の直和に分解し、既約表現は指標という一つの関数（行列のトレース）で完全に決まり、しかも指標たちは互いに「直交」する。この章ではこの理論を仮定に注意しながら証明し、代表的な群の指標表を実際に計算する。

この章の内容は、コンパクトリー群の表現論（第6章）の雛形でもある。有限群での平均 $\frac{1}{\lvert G \rvert}\sum_{g \in G}$ をハール測度による積分 $\int_G dg$ に置き換えると、ほとんどの議論がそのまま通用する。

以下この章を通じて、 $G$ は有限群、表現空間はすべて有限次元とする。

1.1 表現とは何か

動機：巡回群とフーリエ解析

$G = \mathbb{Z}/n$ 上の複素数値関数 $f$ は、離散フーリエ変換によって

f(a) = \sum_{k=0}^{n-1} \widehat{f}(k)\, \zeta^{ka}, \qquad \zeta = e^{2\pi i/n}

と「指数関数」 $\chi_k(a) = \zeta^{ka}$ の重ね合わせに分解できる。各 $\chi_k$ は準同型 $\mathbb{Z}/n \to \mathbb{C}^\times$ であり、平行移動 $f \mapsto f(\cdot - b)$ に対して定数倍されるだけである。つまりフーリエ展開とは、関数の空間を「平行移動で不変な 1 次元部分空間」に分解することである。非可換群ではこのような 1 次元の分解では足りず、それ以上分解できない高次元の不変部分空間が現れる。これが既約表現である。

定義 1.1（表現, representation） $G$ を群、 $K$ を体、 $V$ を $K$ 上の有限次元ベクトル空間とする。群準同型 $\rho\colon G \to \operatorname{GL}(V)$ を $G$ の $V$ 上の表現といい、 $\dim V$ を表現の次数 (degree) という。

$\rho(g)v$ を略して $gv$ と書き、表現 $(\rho, V)$ を単に $V$ と書くことも多い。表現を与えることは、 $G$ の $V$ への線形な作用を与えることと同じである。基底を選べば $\rho$ は準同型 $G \to \operatorname{GL}_n(K)$ （行列表現）になる。また、表現は群環 $K[G]$ 上の加群と同じものである（ $\sum_g a_g g \in K[G]$ を $\sum_g a_g \rho(g)$ として作用させる）。

例 1.2

自明表現 (trivial representation)： $V = K$ , $\rho(g) = 1$ 。
符号表現 (sign representation)： $\mathfrak{S}_n \to \lbrace \pm 1 \rbrace = \operatorname{GL}_1(K)$ , $\sigma \mapsto \operatorname{sgn}\sigma$ 。
$\mathbb{Z}/n$ の 1 次元表現： $\zeta \in K$ を $\zeta^n = 1$ を満たす元として $\rho(a) = \zeta^a$ 。 $K = \mathbb{C}$ なら $\zeta = e^{2\pi i k/n}$ ( $0 \leq k \leq n-1$ ) の $n$ 通りがある。
置換表現 (permutation representation)： $G$ が有限集合 $X$ に作用しているとき、 $X$ で添字づけた基底 $\lbrace e_x \rbrace_{x \in X}$ をもつ空間 $K[X]$ 上に $\rho(g)e_x = e_{gx}$ で表現が定まる。 $\mathfrak{S}_n$ が $\lbrace 1, \dots, n \rbrace$ に作用する場合は、置換行列による $K^n$ 上の表現である。
正則表現 (regular representation)： $G$ が左からの積で $G$ 自身に作用するときの置換表現 $K[G]$ 。次数は $\lvert G \rvert$ である。

例 1.3（二面体群と四元数群）二面体群 (dihedral group) $D_n = \langle r, s \mid r^n = s^2 = 1,\ srs^{-1} = r^{-1} \rangle$ （位数 $2n$ ）は正 $n$ 角形の対称性の群であり、

\rho(r) = \begin{pmatrix} \cos(2\pi/n) & -\sin(2\pi/n) \\ \sin(2\pi/n) & \cos(2\pi/n) \end{pmatrix}, \qquad \rho(s) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

によって $\mathbb{C}^2$ 上の 2 次元表現が定まる（ $\rho(s)\rho(r)\rho(s)^{-1} = \rho(r)^{-1}$ を確かめよ）。四元数群 (quaternion group) は $Q_8 = \lbrace \pm 1, \pm i, \pm j, \pm k \rbrace$ （ $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$ ）であり、

i \mapsto \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}, \qquad j \mapsto \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad k \mapsto \begin{pmatrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{pmatrix}

が 2 次元表現を与える（3 つの行列の 2 乗がすべて $-I$ で、第 1 と第 2 の積が第 3 になることを直接計算で確かめよ）。

補足

二面体群の記号は本によって異なる。本教材では位数 $2n$ の二面体群を $D_n$ と書く（ $D_4$ は正方形の対称性の群で位数 8）。位数を添字にして $D_{2n}$ と書く本も多い。

定義 1.4（ $G$ -線形写像, 同値） $(\rho_V, V)$ , $(\rho_W, W)$ を $G$ の表現とする。線形写像 $f\colon V \to W$ がすべての $g \in G$ について $f \circ \rho_V(g) = \rho_W(g) \circ f$ を満たすとき、 $f$ を $G$ -線形写像（絡作用素, intertwining operator）といい、その全体を $\operatorname{Hom}_G(V, W)$ と書く。全単射な $G$ -線形写像が存在するとき、 $V$ と $W$ は同値（同型, equivalent）であるといい、 $V \cong W$ と書く。

行列表現でいえば、同値とは一つの正則行列 $P$ によって $\rho_W(g) = P\rho_V(g)P^{-1}$ がすべての $g$ について同時に成り立つことである。

定義 1.5（部分表現, 既約表現） $V$ の部分空間 $W$ がすべての $\rho(g)$ で不変であるとき、 $W$ を部分表現 (subrepresentation) または $G$ -不変部分空間という。 $V \neq 0$ であって部分表現が $0$ と $V$ しかないとき、 $V$ は既約 (irreducible) であるという。

1 次元表現は常に既約である。部分表現 $W \subset V$ があれば、商空間 $V/W$ にも表現が誘導される。

例 1.6 $\mathfrak{S}_n$ ( $n \geq 2$ ) の置換表現 $K^n$ において

L = K(1, 1, \dots, 1), \qquad H = \lbrace (x_1, \dots, x_n) \in K^n \mid x_1 + \dots + x_n = 0 \rbrace

はどちらも部分表現である。 $\operatorname{char} K \nmid n$ ならば $(1, \dots, 1) \notin H$ なので $K^n = L \oplus H$ と分解する。一方 $\operatorname{char} K = p$ が $n$ を割るときは $(1, \dots, 1)$ の成分の和が $n = 0$ なので $L \subset H$ となり、この分解は成り立たない。 $\operatorname{char} K \nmid n$ のときの $H$ を $\mathfrak{S}_n$ の標準表現 (standard representation) という（次数 $n-1$ ）。 $K = \mathbb{C}$ で $H$ が既約であることは、 $n = 3, 4$ の場合に 1.5 節と 1.8 節で指標を使って確かめる。

1.2 マシュケの定理

表現を理解する基本戦略は「既約表現に分解し、既約表現を分類する」ことである。その第一歩が次の定理である。

定理 1.7（マシュケの定理, Maschke's theorem） $G$ を有限群、 $K$ を $\operatorname{char} K \nmid \lvert G \rvert$ を満たす体（例えば標数 0 の体）とする。 $V$ を $G$ の $K$ 上の表現、 $W \subset V$ を部分表現とすると、 $V = W \oplus W'$ となる部分表現 $W'$ が存在する。

証明. 線形写像 $p\colon V \to V$ で $p(V) \subset W$ かつ $p\vert_W = \mathrm{id}_W$ となるもの（ $W$ への射影）を一つとる（ $W$ の基底を $V$ の基底に延長すればよい）。仮定より $\lvert G \rvert$ は $K$ で可逆なので

p^\circ = \frac{1}{\lvert G \rvert} \sum_{g \in G} \rho(g)\, p\, \rho(g)^{-1}

が定義できる。(i) 各 $\rho(g)$ は $W$ を保つので $p^\circ(V) \subset W$ 。(ii) $w \in W$ なら $\rho(g)^{-1}w \in W$ より $p\rho(g)^{-1}w = \rho(g)^{-1}w$ だから、和の各項は $w$ を $w$ に写し、 $p^\circ w = w$ となる（ここで $\lvert G \rvert$ 個の $w$ の和を $\lvert G \rvert$ で割っている）。(iii) $h \in G$ に対し、 $g \mapsto hg$ が $G$ の全単射であることから

\rho(h) p^\circ \rho(h)^{-1} = \frac{1}{\lvert G \rvert}\sum_{g \in G} \rho(hg)\, p\, \rho(hg)^{-1} = p^\circ

よって $p^\circ$ は $W$ への $G$ -線形な射影であり、 $W' = \ker p^\circ$ は部分表現で $V = W \oplus W'$ となる。 $\square$

系 1.8（完全可約性, complete reducibility） $\operatorname{char} K \nmid \lvert G \rvert$ ならば、 $G$ の任意の表現 $V \neq 0$ は既約表現の直和に分解する。

証明. $\dim V$ に関する帰納法。 $V$ が既約なら終わり。そうでなければ部分表現 $0 \neq W \subsetneq V$ があり、定理 1.7 より $V = W \oplus W'$ となる。 $W, W'$ は $V$ より次元が小さいので、帰納法の仮定から既約表現の直和である。 $\square$

例 1.9（仮定は外せない） $p$ を素数、 $G = \mathbb{Z}/p$ 、 $K = \mathbb{F}_p$ とし、

\rho(a) = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad (a \in \mathbb{Z}/p)

とおく（ $a$ は $\mathbb{F}_p$ の元とみなせ、 $\rho(a)\rho(b) = \rho(a+b)$ である）。 $W = \mathbb{F}_p e_1$ は部分表現である。不変な 1 次元部分空間は $\rho(1)$ の固有直線でなければならないが、 $\rho(1) - I$ の核は $\mathbb{F}_p e_1$ だけなので、不変な直線は $W$ しかない。したがって $W$ の補空間となる部分表現は存在しない。同じ形の行列で $\mathbb{Z}$ の $\mathbb{C}^2$ 上の表現 $n \mapsto \rho(n)$ を考えれば、無限群ではマシュケの定理が成り立たない例になる（有限性の代わりにコンパクト性があればよいことを第6章で見る）。

注意 1.10（ユニタリ化） $K = \mathbb{C}$ のとき、 $V$ の任意のエルミート内積 $\langle \cdot, \cdot \rangle_0$ から
$\langle u, v \rangle = \frac{1}{\lvert G \rvert} \sum_{g \in G} \langle gu, gv \rangle_0$
を作ると、これは正定値で $G$ -不変（ $\langle gu, gv \rangle = \langle u, v \rangle$ ）なエルミート内積になる。この内積に関して各 $\rho(g)$ はユニタリであり、部分表現 $W$ の直交補空間 $W^\perp$ も $G$ -不変である。これはマシュケの定理の別証明であり、コンパクト群にそのまま一般化できる形である。

1.3 シューアの補題

定理 1.11（シューアの補題, Schur's lemma）

$K$ を任意の体、 $V, W$ を $G$ の既約表現、 $f \in \operatorname{Hom}_G(V, W)$ とする。このとき $f = 0$ であるか、 $f$ は同型である。特に $\operatorname{End}_G(V) := \operatorname{Hom}_G(V, V)$ は（可換とは限らない）斜体である。

さらに $K$ が代数閉体ならば、 $\operatorname{End}_G(V) = K \cdot \mathrm{id}_V$ である。

証明. 1. $f(gv) = gf(v)$ より、 $\ker f$ は $V$ の、 $\operatorname{Im} f$ は $W$ の部分表現である。 $f \neq 0$ なら $\ker f \neq V$ なので既約性から $\ker f = 0$ 、また $\operatorname{Im} f \neq 0$ なので $\operatorname{Im} f = W$ となり、 $f$ は同型である。

$f \in \operatorname{End}_G(V)$ とする。 $K$ は代数閉で $V \neq 0$ は有限次元だから、 $f$ は固有値 $\lambda \in K$ をもつ。 $f - \lambda \mathrm{id}_V \in \operatorname{End}_G(V)$ は核が $0$ でないので同型でなく、1 より $0$ である。 $\square$

補足

証明では $G$ が有限であることを使っていない。シューアの補題は任意の群（さらに位相群やリー環）の有限次元表現について成り立ち、以後の章で繰り返し使う。

例 1.12（代数閉性は外せない） $G = \mathbb{Z}/4$ を $\mathbb{R}^2$ に 90° 回転

J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

で作用させる。不変な直線は $J$ の実固有ベクトルで張られるはずだが、 $J$ の固有値は $\pm i$ なので、この表現は $\mathbb{R}$ 上既約である。一方、 $J$ と可換な実行列は $aI + bJ$ ( $a, b \in \mathbb{R}$ ) の形のものすべてであり、 $\operatorname{End}_G(\mathbb{R}^2) \cong \mathbb{C}$ はスカラー倍だけではない。 $\mathbb{C}$ 上に係数拡大すると $\mathbb{C}^2$ は固有値 $i$ , $-i$ の固有直線に分解し、既約でなくなる。

系 1.13 $K$ を代数閉体、 $G$ を可換群とする。 $G$ の有限次元既約表現はすべて 1 次元である。

証明. $G$ が可換なので、各 $\rho(h)$ は $G$ -線形写像である。シューアの補題より $\rho(h)$ はスカラー倍であり、したがって $V$ のすべての部分空間が $G$ -不変である。既約性から $\dim V = 1$ 。 $\square$

例 1.14（1 次元表現とアーベル化）1 次元表現 $\rho\colon G \to K^\times$ の像は可換なので、 $\rho$ は交換子群 $[G, G]$ 上で自明であり、アーベル化 $G^{\mathrm{ab}} = G/[G,G]$ を経由する（代数学第4章）。逆に $G^{\mathrm{ab}}$ の 1 次元表現は $G$ の 1 次元表現を与える。 $K = \mathbb{C}$ のとき、有限アーベル群 $A$ の 1 次元表現はちょうど $\lvert A \rvert$ 個ある（ $A$ を巡回群の直積に分解し、例 1.2 の 3 を使う）。例えば：

$\mathfrak{S}_n$ ( $n \geq 2$ )： $[\mathfrak{S}_n, \mathfrak{S}_n] = \mathfrak{A}_n$ なので、1 次元表現は自明表現と符号表現の 2 つ。
$D_4$ ： $srs^{-1}r^{-1} = r^{-2} = r^2$ より $r^2 \in [D_4, D_4]$ 。 $D_4/\langle r^2 \rangle$ は位数 4 で可換なので $[D_4, D_4] = \langle r^2 \rangle$ 、1 次元表現は 4 つ。
$Q_8$ ： $iji^{-1}j^{-1} = ij \cdot ij = k^2 = -1$ より同様に $[Q_8, Q_8] = \lbrace \pm 1 \rbrace$ 、1 次元表現は 4 つ。
$\mathfrak{A}_4$ ： $V_4 = \lbrace 1, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \rbrace$ は正規部分群で $\mathfrak{A}_4/V_4 \cong \mathbb{Z}/3$ だから $[\mathfrak{A}_4, \mathfrak{A}_4] \subset V_4$ 。 $[\mathfrak{A}_4, \mathfrak{A}_4]$ は自明でない正規部分群だが、 $V_4$ の位数 2 の部分群は $(123)$ による共役で互いに移り合い正規でないから、 $[\mathfrak{A}_4, \mathfrak{A}_4] = V_4$ 。1 次元表現は 3 つ。

1.4 表現の構成：直和・テンソル積・双対

定義 1.15 $V, W$ を $G$ の表現とする。

直和 $V \oplus W$ ： $g(v, w) = (gv, gw)$ 。

テンソル積 (tensor product) $V \otimes W$ ： $g(v \otimes w) = gv \otimes gw$ 。

双対表現 (dual representation) $V^{\ast} = \operatorname{Hom}_K(V, K)$ ： $(g\varphi)(v) = \varphi(g^{-1}v)$ 。

$\operatorname{Hom}_K(V, W)$ ： $g \cdot f = \rho_W(g) \circ f \circ \rho_V(g)^{-1}$ 。

双対表現で $g^{-1}$ を使うのは、 $(gh)\varphi = g(h\varphi)$ （左作用）を成り立たせるためであり、そうすると自然なペアリングが不変 $(g\varphi)(gv) = \varphi(v)$ になる。双対基底に関する行列は ${}^t\rho(g^{-1})$ （ ${}^t$ は転置）である。

一般に表現 $U$ の不変部分空間 (invariants) を $U^G = \lbrace u \in U \mid gu = u \ (\forall g \in G) \rbrace$ と書く。定義から直ちに

\operatorname{Hom}_K(V, W)^G = \operatorname{Hom}_G(V, W)

である。また $\varphi \otimes w \mapsto (v \mapsto \varphi(v)w)$ は $G$ -線形な同型 $V^{\ast} \otimes W \cong \operatorname{Hom}_K(V, W)$ を与える。

1.5 指標

以下、この章の終わりまで $K = \mathbb{C}$ とする。

定義 1.16（指標, character）表現 $(\rho, V)$ の指標を $\chi_V(g) = \operatorname{tr}\rho(g)$ ( $g \in G$ ) で定める。既約表現の指標を既約指標 (irreducible character) という。

命題 1.17 $V, W$ を $G$ の表現とする。

$\chi_V(1) = \dim V$ 。

$\chi_V(hgh^{-1}) = \chi_V(g)$ 。すなわち $\chi_V$ は類関数 (class function)（各共役類の上で一定の関数）である。

$\rho(g)$ は対角化可能で、固有値は 1 の冪根である。特に $\chi_V(g^{-1}) = \overline{\chi_V(g)}$ かつ $\lvert \chi_V(g) \rvert \leq \dim V$ 。

$\chi_{V \oplus W} = \chi_V + \chi_W$ , $\chi_{V \otimes W} = \chi_V\chi_W$ , $\chi_{V^{\ast}} = \overline{\chi_V}$ , $\chi_{\operatorname{Hom}(V, W)} = \overline{\chi_V}\chi_W$ 。

$V \cong W$ ならば $\chi_V = \chi_W$ 。

証明. 1, 2, 5 はトレースの性質 $\operatorname{tr}(PAP^{-1}) = \operatorname{tr}A$ から従う。3： $g$ の位数を $m$ とすると $\rho(g)^m = I$ なので、 $\rho(g)$ の最小多項式は重根をもたない多項式 $x^m - 1$ を割る。よって $\rho(g)$ は対角化可能で、固有値 $\zeta_1, \dots, \zeta_d$ は 1 の $m$ 乗根である。 $\rho(g^{-1})$ の固有値は $\zeta_i^{-1} = \overline{\zeta_i}$ だから $\chi_V(g^{-1}) = \overline{\chi_V(g)}$ 、また $\lvert \zeta_1 + \dots + \zeta_d \rvert \leq d$ 。4：直和は明らか。 $\rho_V(g)$ , $\rho_W(g)$ を固有ベクトルの基底 $\lbrace v_i \rbrace$ , $\lbrace w_j \rbrace$ （固有値 $\lambda_i$ , $\mu_j$ ）で対角化すると、 $\lbrace v_i \otimes w_j \rbrace$ は $V \otimes W$ の固有ベクトルの基底で固有値は $\lambda_i\mu_j$ だから $\chi_{V \otimes W}(g) = \sum_{i,j}\lambda_i\mu_j = \chi_V(g)\chi_W(g)$ 。 $V^{\ast}$ の行列は ${}^t\rho(g^{-1})$ なのでトレースは $\chi_V(g^{-1}) = \overline{\chi_V(g)}$ 。最後の式は $\operatorname{Hom}(V,W) \cong V^{\ast} \otimes W$ から従う。 $\square$

類関数全体のなすベクトル空間を $\mathcal{C}(G)$ と書く。その次元は共役類の個数 $h$ に等しい。 $\mathcal{C}(G)$ に次のエルミート内積を入れる：

\langle \varphi, \psi \rangle_G = \frac{1}{\lvert G \rvert}\sum_{g \in G} \varphi(g)\overline{\psi(g)}

補題 1.18 表現 $V$ に対し $\dim V^G = \frac{1}{\lvert G \rvert}\sum_{g \in G}\chi_V(g)$ である。

証明. $e = \frac{1}{\lvert G \rvert}\sum_{g \in G}\rho(g)$ とおく。 $g \mapsto hg$ の置き換えにより $\rho(h)e = e$ なので $e(V) \subset V^G$ 。また $v \in V^G$ なら $ev = v$ 。よって $e^2 = e$ は $V^G$ への射影である。射影は固有値 1 の固有空間（像）と固有値 0 の固有空間（核）の直和に対角化されるので、そのトレースは像の次元に等しい。 $\operatorname{tr} e = \frac{1}{\lvert G \rvert}\sum_g \chi_V(g)$ である。 $\square$

定理 1.19（指標の第一直交関係, orthogonality relations） $V, W$ を $G$ の表現とすると
$\langle \chi_W, \chi_V \rangle_G = \dim \operatorname{Hom}_G(V, W)$
である。特に $V, W$ が既約ならば、 $\langle \chi_W, \chi_V \rangle_G$ は $V \cong W$ のとき 1、そうでないとき 0 である。

証明. 補題 1.18 を表現 $\operatorname{Hom}(V, W)$ に適用し、命題 1.17 の 4 を使うと

\dim \operatorname{Hom}_G(V, W) = \dim \operatorname{Hom}(V,W)^G = \frac{1}{\lvert G \rvert}\sum_{g \in G}\overline{\chi_V(g)}\chi_W(g) = \langle \chi_W, \chi_V \rangle_G

$V, W$ が既約のとき、シューアの補題により、 $V \not\cong W$ なら $\operatorname{Hom}_G(V, W) = 0$ である。 $V \cong W$ なら同型 $f_0$ を一つとると、任意の $f \in \operatorname{Hom}_G(V, W)$ に対し $f_0^{-1} \circ f \in \operatorname{End}_G(V) = \mathbb{C} \cdot \mathrm{id}_V$ なので $\operatorname{Hom}_G(V,W) = \mathbb{C} f_0$ は 1 次元である。 $\square$

系 1.20 $V_1, \dots, V_k$ を互いに同値でない既約表現とし、 $\chi_i = \chi_{V_i}$ とする。

$\chi_1, \dots, \chi_k$ は $\mathcal{C}(G)$ の正規直交系である。特に $k \leq h$ であり、 $G$ の既約表現は同値を除いて有限個しかない。

表現 $V$ が $V \cong \bigoplus_i V_i^{\oplus m_i}$ と分解すれば $m_i = \langle \chi_V, \chi_i \rangle_G$ である。特に重複度 (multiplicity) $m_i$ は分解の仕方によらない。

$\langle \chi_V, \chi_V \rangle_G = \sum_i m_i^2$ 。したがって、 $V$ が既約であるための必要十分条件は $\langle \chi_V, \chi_V \rangle_G = 1$ である。

$V \cong W$ であるための必要十分条件は $\chi_V = \chi_W$ である。

証明. 1 は定理 1.19 そのものであり、正規直交系は一次独立だから $k \leq \dim \mathcal{C}(G) = h$ 。2, 3 は $\chi_V = \sum_i m_i\chi_i$ と正規直交性から従う。4： $\chi_V = \chi_W$ なら 2 より重複度がすべて一致するので、完全可約性（系 1.8）から $V \cong W$ 。 $\square$

例 1.21 $\mathfrak{S}_3$ の置換表現 $\mathbb{C}^3$ の指標は固定点の個数 $\chi(\sigma) = \lvert \lbrace i \mid \sigma(i) = i \rbrace \rvert$ であり、単位元・互換・3-巡回置換でそれぞれ $3, 1, 0$ をとる。 $\mathbb{C}^3 = L \oplus H$ （例 1.6）より、標準表現の指標は $\chi_H = (2, 0, -1)$ である。共役類の大きさは順に $1, 3, 2$ なので

\langle \chi_H, \chi_H \rangle_G = \frac{1}{6}\left(1 \cdot 2^2 + 3 \cdot 0^2 + 2 \cdot (-1)^2\right) = 1

となり、 $H$ は既約である。

1.6 正則表現

命題 1.22 正則表現 $\mathbb{C}[G]$ の指標は $\chi_{\mathrm{reg}}(1) = \lvert G \rvert$ , $\chi_{\mathrm{reg}}(g) = 0$ ( $g \neq 1$ ) である。したがって、既約表現の同値類の代表 $V_1, \dots, V_k$ （ $d_i = \dim V_i$ ）はそれぞれ正則表現にちょうど $d_i$ 回現れ、
$\mathbb{C}[G] \cong \bigoplus_{i=1}^k V_i^{\oplus d_i}, \qquad \sum_{i=1}^k d_i^2 = \lvert G \rvert, \qquad \sum_{i=1}^k d_i \chi_i(g) = 0 \quad (g \neq 1)$
が成り立つ。

証明. $ge_x = e_{gx}$ であり $gx = x \iff g = 1$ なので、 $g \neq 1$ に対応する置換行列の対角成分はすべて 0 である。重複度は $\langle \chi_{\mathrm{reg}}, \chi_i \rangle_G = \frac{1}{\lvert G \rvert}\lvert G \rvert\overline{\chi_i(1)} = d_i$ （系 1.20）。これよりすべての既約表現が正則表現に現れる。残りの 2 式は $\chi_{\mathrm{reg}} = \sum_i d_i \chi_i$ を $g = 1$ と $g \neq 1$ で評価したものである。 $\square$

例えば $\mathfrak{S}_3$ では、自明表現・符号表現・標準表現について $1^2 + 1^2 + 2^2 = 6$ なので、既約表現はこの 3 つで尽きている。

1.7 既約表現の個数と第二直交関係

定理 1.23 既約指標は類関数の空間 $\mathcal{C}(G)$ の正規直交基底をなす。特に、既約表現の同値類の個数は共役類の個数 $h$ に等しい。

証明. 既約指標が正規直交系であることは示したので、 $\mathcal{C}(G)$ を張ることを示せばよい。 $f \in \mathcal{C}(G)$ がすべての既約指標と直交するとする。表現 $(\rho, V)$ に対し $\rho_f = \sum_{g \in G} f(g)\rho(g)$ とおく。 $f$ は類関数なので

\rho(h)\rho_f\rho(h)^{-1} = \sum_{g \in G} f(g)\rho(hgh^{-1}) = \sum_{g \in G} f(h^{-1}gh)\rho(g) = \rho_f

となり、 $\rho_f \in \operatorname{End}_G(V)$ 。 $V$ が既約で $\dim V = d$ ならシューアの補題より $\rho_f = \lambda \cdot \mathrm{id}_V$ であり、トレースをとると

\lambda d = \sum_{g \in G} f(g)\chi_V(g) = \lvert G \rvert \langle f, \overline{\chi_V} \rangle_G = \lvert G \rvert \langle f, \chi_{V^{\ast}} \rangle_G

$V^{\ast}$ も既約である（ $\langle \overline{\chi_V}, \overline{\chi_V} \rangle_G = \langle \chi_V, \chi_V \rangle_G = 1$ ）から、仮定より右辺は 0 で、 $\rho_f = 0$ 。完全可約性より任意の表現で $\rho_f = 0$ となる。これを正則表現に適用すると $0 = \rho_f(e_1) = \sum_g f(g)e_g$ なので $f = 0$ 。 $\square$

定理 1.24（第二直交関係） $\chi_1, \dots, \chi_h$ を既約指標の全体とする。 $g, g' \in G$ に対し
$\sum_{i=1}^h \chi_i(g)\overline{\chi_i(g')} = \begin{cases} \lvert C_G(g) \rvert & (g \text{ と } g' \text{ が共役}) \\ 0 & (\text{それ以外}) \end{cases}$
が成り立つ。ここで $C_G(g)$ は $g$ の中心化群である。

証明. 共役類を $C_1, \dots, C_h$ 、代表元を $g_j \in C_j$ とし、 $h \times h$ 行列 $U$ を $U_{ij} = \sqrt{\lvert C_j \rvert/\lvert G \rvert}\ \chi_i(g_j)$ で定める。第一直交関係は $\sum_j U_{ij}\overline{U_{kj}} = \langle \chi_i, \chi_k \rangle_G = \delta_{ik}$ 、すなわち $UU^{\ast} = I$ を意味する。 $U$ は正方行列なので $U^{\ast}U = I$ でもあり、 $\sum_i \overline{U_{ij}}U_{il} = \delta_{jl}$ 。これを書き直すと $\sum_i \chi_i(g_l)\overline{\chi_i(g_j)} = \delta_{jl}\lvert G \rvert/\lvert C_j \rvert$ であり、軌道と安定化群の関係 $\lvert G \rvert/\lvert C_j \rvert = \lvert C_G(g_j) \rvert$ （代数学第3章）より主張を得る。 $\square$

ヒント

指標表は、行（既約指標）が重み $\lvert C_j \rvert/\lvert G \rvert$ つきで正規直交し、列が重み $1/\lvert C_G(g_j) \rvert$ つきで正規直交する正方行列である。表を作ったら、必ず行と列の両方の直交関係で検算すること。

1.8 指標表の計算例

指標表は次の手順で作ることが多い。(1) 共役類とその大きさを求める。(2) アーベル化から 1 次元指標を求める（例 1.14）。(3) 置換表現、既知の表現とのテンソル積、商群の表現、誘導表現（1.10 節）から既約表現を探し、 $\langle \chi, \chi \rangle = 1$ で既約性を判定する。(4) $\sum d_i^2 = \lvert G \rvert$ で残りの次数を決め、直交関係で空欄を埋める。

例 1.25（ $\mathfrak{S}_3$ ）共役類は巡回置換型で決まる。既約表現は自明・符号・標準（例 1.21）であり、指標表は次のとおり。

代表元	$1$	$(12)$	$(123)$
類の大きさ	$1$	$3$	$2$
$\chi_{\mathrm{triv}}$	$1$	$1$	$1$
$\chi_{\mathrm{sgn}}$	$1$	$-1$	$1$
$\chi_{\mathrm{std}}$	$2$	$0$	$-1$

検算： $\langle \chi_{\mathrm{sgn}}, \chi_{\mathrm{std}} \rangle = \frac{1}{6}(2 + 0 - 2) = 0$ 。列 $(12)$ について $1^2 + (-1)^2 + 0^2 = 2 = \lvert C_G((12)) \rvert$ 、列 $(123)$ について $1 + 1 + 1 = 3 = \lvert C_G((123)) \rvert$ 。

例 1.26（ $D_4$ ） $r s r^{-1} = r^2 s$ と $r(sr)r^{-1} = sr^3$ より、共役類は $\lbrace 1 \rbrace$ , $\lbrace r^2 \rbrace$ , $\lbrace r, r^3 \rbrace$ , $\lbrace s, sr^2 \rbrace$ , $\lbrace sr, sr^3 \rbrace$ の 5 つである。1 次元指標は $D_4^{\mathrm{ab}} \cong (\mathbb{Z}/2)^2$ から 4 つ得られ、 $\chi(r), \chi(s) \in \lbrace \pm 1 \rbrace$ を自由に選べる（ $\chi(r^2) = 1$ , $\chi(sr) = \chi(s)\chi(r)$ ）。 $4 \cdot 1^2 + d^2 = 8$ より残りは 2 次元で、例 1.3 の表現（ $n = 4$ ）がそれである。 $\rho(r)$ は 90° 回転（トレース 0）、 $\rho(r^2) = -I$ 、 $\rho(s)$ , $\rho(sr)$ は鏡映（トレース 0）なので：

代表元	$1$	$r^2$	$r$	$s$	$sr$
類の大きさ	$1$	$1$	$2$	$2$	$2$
$\chi_1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$\chi_2$	$1$	$1$	$1$	$-1$	$-1$
$\chi_3$	$1$	$1$	$-1$	$1$	$-1$
$\chi_4$	$1$	$1$	$-1$	$-1$	$1$
$\chi_5$	$2$	$-2$	$0$	$0$	$0$

検算： $\langle \chi_5, \chi_5 \rangle = \frac{1}{8}(4 + 4) = 1$ で既約。列 $r^2$ について $1 + 1 + 1 + 1 + 4 = 8 = \lvert C_G(r^2) \rvert$ （ $r^2$ は中心元）。

例 1.27（ $Q_8$ ） $jij^{-1} = -i$ などから、共役類は $\lbrace 1 \rbrace$ , $\lbrace -1 \rbrace$ , $\lbrace \pm i \rbrace$ , $\lbrace \pm j \rbrace$ , $\lbrace \pm k \rbrace$ の 5 つ。1 次元指標は $\chi(i), \chi(j) \in \lbrace \pm 1 \rbrace$ で決まり（ $\chi(-1) = 1$ , $\chi(k) = \chi(i)\chi(j)$ ）、残りは例 1.3 の 2 次元表現（ $\pm 1 \mapsto \pm I$ 、他はトレース 0）である。

代表元	$1$	$-1$	$i$	$j$	$k$
類の大きさ	$1$	$1$	$2$	$2$	$2$
$\chi_1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$\chi_2$	$1$	$1$	$1$	$-1$	$-1$
$\chi_3$	$1$	$1$	$-1$	$1$	$-1$
$\chi_4$	$1$	$1$	$-1$	$-1$	$1$
$\chi_5$	$2$	$-2$	$0$	$0$	$0$

注意

指標表は群を決定しない。 $D_4$ と $Q_8$ は同型でない（位数 2 の元は $D_4$ では $r^2, s, sr, sr^2, sr^3$ の 5 個、 $Q_8$ では $-1$ の 1 個）が、共役類を適切に対応させると指標表は完全に一致する。違いは、例えば $\frac{1}{\lvert G \rvert}\sum_g \chi_5(g^2)$ に現れる（問題 1.5）。

例 1.28（ $\mathfrak{A}_4$ ） $\mathfrak{S}_4$ における $(123)$ の中心化群は $\langle (123) \rangle$ で $\mathfrak{A}_4$ に含まれるから、 $\mathfrak{A}_4$ での中心化群も位数 3 で、共役類の大きさは $12/3 = 4$ 。したがって 8 個の 3-巡回置換は大きさ 4 の 2 つの類に分かれる。 $(123)$ と $(132)$ は別の類に属する： $x(123)x^{-1} = (x(1)\ x(2)\ x(3))$ が $(132)$ になる $x$ は $(23)$ , $(13)$ , $(12)$ に $\lbrace 1,2,3 \rbrace$ 上で一致し、いずれも奇置換だからである。共役類は $\lbrace 1 \rbrace$ , $V_4 \setminus \lbrace 1 \rbrace$ （大きさ 3）, $(123)$ の類, $(132)$ の類の 4 つ。1 次元指標は $\mathfrak{A}_4 \to \mathfrak{A}_4/V_4 \cong \mathbb{Z}/3$ から 3 つ得られる（ $\omega = e^{2\pi i/3}$ ）。 $3 + d^2 = 12$ より残りは 3 次元で、 $\mathfrak{S}_4$ の標準表現（固定点の個数 $-1$ ）を制限したものの指標 $(3, -1, 0, 0)$ は $\langle \chi, \chi \rangle = \frac{1}{12}(9 + 3 \cdot 1) = 1$ を満たすので既約である。

代表元	$1$	$(12)(34)$	$(123)$	$(132)$
類の大きさ	$1$	$3$	$4$	$4$
$\chi_1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$\chi_2$	$1$	$1$	$\omega$	$\omega^2$
$\chi_3$	$1$	$1$	$\omega^2$	$\omega$
$\chi_4$	$3$	$-1$	$0$	$0$

検算： $\langle \chi_2, \chi_1 \rangle = \frac{1}{12}(1 + 3 + 4\omega + 4\omega^2) = 0$ （ $1 + \omega + \omega^2 = 0$ ）。列 $(123)$ について $1 + \lvert \omega \rvert^2 + \lvert \omega^2 \rvert^2 + 0 = 3 = \lvert C_G((123)) \rvert$ 、列 $(12)(34)$ について $1 + 1 + 1 + 1 = 4 = \lvert V_4 \rvert$ 。

例 1.29（ $\mathfrak{S}_4$ ）共役類は巡回置換型 $1$ , $(12)$ , $(12)(34)$ , $(123)$ , $(1234)$ で、大きさは $1, 6, 3, 8, 6$ である。既約表現は次の 5 つ。

自明表現と符号表現。
$W$ ： $\mathfrak{S}_4$ は $\lbrace 1,2,3,4 \rbrace$ を 2 つずつの組に分ける 3 通りの分け方 $\lbrace 12 \vert 34, 13 \vert 24, 14 \vert 23 \rbrace$ に作用し、全射 $\mathfrak{S}_4 \to \mathfrak{S}_3$ （核は $V_4$ ）を与える。これと $\mathfrak{S}_3$ の標準表現の合成が $W$ である。全射と合成しても不変部分空間は変わらないので $W$ は既約。 $(12)$ と $(1234)$ は互換に、 $(12)(34)$ は単位元に、 $(123)$ は 3-巡回置換に写る。
標準表現 $V$ ：指標は「固定点の個数 $-1$ 」。
$V' = V \otimes \operatorname{sgn}$ ：指標は $\chi_V \chi_{\mathrm{sgn}}$ 。

代表元	$1$	$(12)$	$(12)(34)$	$(123)$	$(1234)$
類の大きさ	$1$	$6$	$3$	$8$	$6$
$\chi_{\mathrm{triv}}$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$\chi_{\mathrm{sgn}}$	$1$	$-1$	$1$	$1$	$-1$
$\chi_W$	$2$	$0$	$2$	$-1$	$0$
$\chi_V$	$3$	$1$	$-1$	$0$	$-1$
$\chi_{V'}$	$3$	$-1$	$-1$	$0$	$1$

検算： $\langle \chi_V, \chi_V \rangle = \frac{1}{24}(9 + 6 + 3 + 0 + 6) = 1$ , $\langle \chi_W, \chi_W \rangle = \frac{1}{24}(4 + 0 + 12 + 8 + 0) = 1$ , $\langle \chi_V, \chi_{V'} \rangle = \frac{1}{24}(9 - 6 + 3 + 0 - 6) = 0$ 。次数について $1 + 1 + 4 + 9 + 9 = 24$ 。列の直交関係：列 $(12)$ は $1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 4 = 24/6$ 、列 $(12)(34)$ は $1 + 1 + 4 + 1 + 1 = 8 = 24/3$ 、列 $(123)$ は $1 + 1 + 1 = 3 = 24/8$ 、列 $(12)$ と列 $(1234)$ の内積は $1 + 1 + 0 - 1 - 1 = 0$ 。

$\mathfrak{S}_4$ は立方体の回転群と同型である（4 本の対角線への作用）。回転群の $\mathbb{R}^3$ への自然な作用の指標は、回転角 $\theta$ の回転のトレース $1 + 2\cos\theta$ から計算でき、面の中心を通る軸の周りの 90° 回転（ $(1234)$ 型）で $1$ 、180° 回転（ $(12)(34)$ 型）で $-1$ 、対角線の周りの 120° 回転（ $(123)$ 型）で $0$ 、辺の中点を通る軸の周りの 180° 回転（ $(12)$ 型）で $-1$ となる。これは $\chi_{V'}$ に一致する。

例 1.30（テンソル積の分解） $\mathfrak{S}_4$ の $V \otimes V$ の指標は $\chi_V^2 = (9, 1, 1, 0, 1)$ である。重複度を計算すると

\begin{aligned} \langle \chi_V^2, \chi_{\mathrm{triv}} \rangle &= \tfrac{1}{24}(9 + 6 + 3 + 0 + 6) = 1, & \langle \chi_V^2, \chi_{\mathrm{sgn}} \rangle &= \tfrac{1}{24}(9 - 6 + 3 + 0 - 6) = 0, \\ \langle \chi_V^2, \chi_W \rangle &= \tfrac{1}{24}(18 + 0 + 6 + 0 + 0) = 1, & \langle \chi_V^2, \chi_V \rangle &= \tfrac{1}{24}(27 + 6 - 3 + 0 - 6) = 1, \\ \langle \chi_V^2, \chi_{V'} \rangle &= \tfrac{1}{24}(27 - 6 - 3 + 0 + 6) = 1 \end{aligned}

なので $V \otimes V \cong \mathbf{1} \oplus W \oplus V \oplus V'$ （ $\mathbf{1}$ は自明表現）である。次数は $1 + 2 + 3 + 3 = 9$ で合っている。

1.9 既約表現の次数は位数を割る

$\mathfrak{S}_4$ の既約表現の次数 $1, 1, 2, 3, 3$ はどれも 24 を割る。これは偶然ではない。証明には整数性の議論を使う。

定義 1.31（代数的整数, algebraic integer）複素数 $\alpha$ が整数係数のモニック多項式の根であるとき、 $\alpha$ を代数的整数という。

1 の冪根は $x^m - 1$ の根なので代数的整数である。代数的整数について詳しくは代数的整数論第1章、可換環論第4章を参照。ここでは必要な事実だけを証明する。

補題 1.32 $\alpha \in \mathbb{C}$ について次は同値である。

$\alpha$ は代数的整数である。

$\mathbb{C}$ の有限生成な加法部分群 $M \neq 0$ で $\alpha M \subset M$ となるものが存在する。

特に、代数的整数の和と積は代数的整数であり、有理数である代数的整数は整数である。

証明. 1 ⇒ 2： $\alpha^n + a_{n-1}\alpha^{n-1} + \dots + a_0 = 0$ ( $a_i \in \mathbb{Z}$ ) なら $M = \mathbb{Z} + \mathbb{Z}\alpha + \dots + \mathbb{Z}\alpha^{n-1}$ とすればよい。2 ⇒ 1： $M$ の生成元を $m_1, \dots, m_n$ とすると $\alpha m_i = \sum_j a_{ij}m_j$ ( $a_{ij} \in \mathbb{Z}$ ) と書ける。 $A = (a_{ij})$ , $\boldsymbol{m} = {}^t(m_1, \dots, m_n) \neq 0$ とすると $(\alpha I - A)\boldsymbol{m} = 0$ なので $\det(\alpha I - A) = 0$ であり、これは $\alpha$ についての整数係数モニック多項式である。

$\alpha, \beta$ が代数的整数で、それぞれ次数 $n$ , $n'$ のモニック多項式の根なら、 $M = \sum_{0 \leq i < n,\ 0 \leq j < n'} \mathbb{Z}\alpha^i\beta^j$ は有限生成で、 $\alpha + \beta$ 倍でも $\alpha\beta$ 倍でも保たれる。最後に、既約分数 $p/q$ がモニック多項式 $x^n + \dots + a_0$ の根なら、 $q^n$ を掛けて $p^n = -q(a_{n-1}p^{n-1} + \dots + a_0q^{n-1})$ となるので $q$ は $p^n$ を割り、 $q = \pm 1$ である。 $\square$

特に、指標の値 $\chi(g)$ （1 の冪根の和）はすべて代数的整数である。

補題 1.33 $V$ を既約表現、 $\chi$ をその指標、 $d = \dim V$ とする。共役類 $C$ と $g_C \in C$ に対し、 $\omega(C) = \lvert C \rvert\chi(g_C)/d$ は代数的整数である。

証明. $z_C = \sum_{g \in C}\rho(g)$ とおく。共役 $g \mapsto hgh^{-1}$ は $C$ の全単射なので $\rho(h)z_C\rho(h)^{-1} = z_C$ であり、シューアの補題より $z_C$ はスカラー倍 $\lambda_C \cdot \mathrm{id}_V$ である。トレースをとると $\lambda_C d = \lvert C \rvert\chi(g_C)$ なので $\lambda_C = \omega(C)$ 。次に、共役類 $C, C'$ に対し

z_C z_{C'} = \sum_{x \in C,\ y \in C'} \rho(xy) = \sum_{C''} a_{C''} z_{C''}

と書ける。ここで $a_{C''}$ は $g'' \in C''$ を一つ固定したときの $\lbrace (x, y) \in C \times C' \mid xy = g'' \rbrace$ の元の個数であり、 $(x, y) \mapsto (kxk^{-1}, kyk^{-1})$ が全単射を与えるので $g''$ の選び方によらない。よって $\omega(C)\omega(C') = \sum_{C''} a_{C''}\omega(C'')$ ( $a_{C''} \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ )。 $M = \sum_{C''}\mathbb{Z}\omega(C'')$ は有限生成で、 $\omega(\lbrace 1 \rbrace) = 1$ を含むので $0$ でなく、 $\omega(C)M \subset M$ を満たす。補題 1.32 より $\omega(C)$ は代数的整数である。 $\square$

定理 1.34 既約表現の次数は群の位数を割る。

証明. 既約指標 $\chi$ 、次数 $d$ について $\langle \chi, \chi \rangle_G = 1$ を共役類ごとにまとめると

\lvert G \rvert = \sum_{g \in G}\chi(g)\overline{\chi(g)} = \sum_{C} \lvert C \rvert\chi(g_C)\overline{\chi(g_C)}, \qquad \text{よって} \quad \frac{\lvert G \rvert}{d} = \sum_{C} \omega(C)\overline{\chi(g_C)}

右辺の各項は代数的整数の積（ $\overline{\chi(g_C)} = \chi(g_C^{-1})$ も代数的整数）なので、 $\lvert G \rvert/d$ は代数的整数であり、有理数でもあるから整数である。 $\square$

例 1.35（位数 $p^2$ の群は可換） $p$ を素数、 $\lvert G \rvert = p^2$ とする。既約表現の次数は $1, p, p^2$ のいずれかで、 $\sum d_i^2 = p^2$ かつ自明表現が $d = 1$ を与えるから、 $d = p$ や $d = p^2$ は現れない。よって既約表現はすべて 1 次元で、その個数 $p^2$ は $\lvert G^{\mathrm{ab}} \rvert$ に等しい（例 1.14）。したがって $[G, G] = 1$ 、すなわち $G$ は可換である。

補足

より強く、既約表現の次数は $[G : Z(G)]$ を割る（さらに可換正規部分群 $A$ について $[G : A]$ を割る：伊藤の定理）。証明は例えば I. M. Isaacs, Character Theory of Finite Groups を参照。

1.10 誘導表現とフロベニウスの相互律

部分群 $H \leq G$ の表現から $G$ の表現を作る方法があると、指標表の計算が格段に楽になる。置換表現 $\mathbb{C}[G/H]$ は、 $H$ の自明表現からこの方法で作られる典型例である。

定義 1.36（誘導表現, induced representation） $H \leq G$ , $(\sigma, W)$ を $H$ の表現とする。
$\operatorname{Ind}_H^G W = \lbrace f\colon G \to W \mid f(xh) = \sigma(h)^{-1}f(x) \ (\forall x \in G,\ h \in H) \rbrace$
に $(g \cdot f)(x) = f(g^{-1}x)$ で $G$ を作用させたものを誘導表現という。

$(g \cdot f)(xh) = f(g^{-1}xh) = \sigma(h)^{-1}f(g^{-1}x)$ なので $g \cdot f$ は再び条件を満たし、これは $G$ の表現である。 $f$ は左剰余類の代表系 $x_1, \dots, x_r$ （ $r = [G : H]$ ）での値で決まり、その値は任意にとれるから $\dim \operatorname{Ind}_H^G W = [G : H]\dim W$ である。 $G$ の表現 $V$ を $H$ に制限したものを $\operatorname{Res}_H^G V$ と書く。

命題 1.37（誘導指標の公式）
$\chi_{\operatorname{Ind}W}(g) = \sum_{xH \in G/H,\ x^{-1}gx \in H} \chi_W(x^{-1}gx) = \frac{1}{\lvert H \rvert}\sum_{x \in G,\ x^{-1}gx \in H} \chi_W(x^{-1}gx)$

証明. 剰余類 $xH$ 上に台をもつ $f$ の全体を $W_{xH}$ とすると、 $\operatorname{Ind}W = \bigoplus_{xH \in G/H} W_{xH}$ であり、 $g$ は $W_{xH}$ を $W_{gxH}$ に写す。トレースに寄与するのは $gxH = xH$ 、すなわち $x^{-1}gx \in H$ となる剰余類だけである。そのような $xH$ について、 $f \mapsto f(x)$ は同型 $W_{xH} \cong W$ を与え、

(g \cdot f)(x) = f(g^{-1}x) = f\bigl(x \cdot x^{-1}g^{-1}x\bigr) = \sigma(x^{-1}g^{-1}x)^{-1}f(x) = \sigma(x^{-1}gx)f(x)

なので、 $g$ の $W_{xH}$ 上の作用は $\sigma(x^{-1}gx)$ に対応し、トレースは $\chi_W(x^{-1}gx)$ である（代表元 $x$ を $xh$ に替えても $H$ 内で共役になるだけで値は変わらない）。第 2 の等式は、各剰余類が $\lvert H \rvert$ 個の $x$ からなることによる。 $\square$

定理 1.38（フロベニウスの相互律, Frobenius reciprocity） $H \leq G$ 、 $W$ を $H$ の表現、 $V$ を $G$ の表現とすると、線形同型
$\operatorname{Hom}_G(V, \operatorname{Ind}_H^G W) \cong \operatorname{Hom}_H(\operatorname{Res}_H^G V, W), \qquad \Phi \mapsto \bigl(v \mapsto \Phi(v)(1)\bigr)$
がある。特に $\langle \chi_V, \chi_{\operatorname{Ind}W} \rangle_G = \langle \chi_{\operatorname{Res}V}, \chi_W \rangle_H$ および $\langle \chi_{\operatorname{Ind}W}, \chi_V \rangle_G = \langle \chi_W, \chi_{\operatorname{Res}V} \rangle_H$ が成り立つ。

証明. $\Phi$ を $G$ -線形とし、 $\varphi(v) = \Phi(v)(1)$ とおく。 $h \in H$ について、 $\Phi(v)$ が誘導表現の条件を満たすことから $\Phi(v)(h^{-1}) = \sigma(h)\Phi(v)(1)$ であり、

\varphi(hv) = \Phi(hv)(1) = \bigl(h \cdot \Phi(v)\bigr)(1) = \Phi(v)(h^{-1}) = \sigma(h)\varphi(v)

なので $\varphi$ は $H$ -線形である。逆に $H$ -線形な $\varphi$ に対し $\Phi(v)(x) = \varphi(x^{-1}v)$ と定める。 $\Phi(v)(xh) = \varphi(h^{-1}x^{-1}v) = \sigma(h)^{-1}\varphi(x^{-1}v)$ より $\Phi(v) \in \operatorname{Ind}W$ 、また $\Phi(gv)(x) = \varphi(x^{-1}gv) = \Phi(v)(g^{-1}x) = (g \cdot \Phi(v))(x)$ より $\Phi$ は $G$ -線形である。 $\Phi(v)(1) = \varphi(v)$ であり、逆に $G$ -線形な $\Phi$ から作った $\varphi$ について $\varphi(x^{-1}v) = \Phi(x^{-1}v)(1) = (x^{-1} \cdot \Phi(v))(1) = \Phi(v)(x)$ だから、2 つの対応は互いに逆である。指標の等式は、両辺の次元を定理 1.19 で書き直せば得られる（2 つ目は 1 つ目の複素共役であり、値は整数なので等しい）。 $\square$

例 1.39（置換表現） $H$ の自明表現から誘導すると、 $\operatorname{Ind}_H^G \mathbf{1}$ は $G/H$ 上の関数の空間であり、 $G/H$ 上の置換表現 $\mathbb{C}[G/H]$ と同型である。命題 1.37 より、その指標は $g$ が固定する剰余類の個数である。フロベニウスの相互律から、既約表現 $V$ が $\mathbb{C}[G/H]$ に現れる重複度は $\langle \chi_{\operatorname{Res}V}, 1 \rangle_H = \dim V^H$ に等しい。 $H = \lbrace 1 \rbrace$ とすれば正則表現が得られ、命題 1.22 が再び導かれる。

例 1.40 (1) $G = \mathfrak{S}_3$ , $H = \mathfrak{A}_3 = \langle (123) \rangle \cong \mathbb{Z}/3$ , $W$ を $(123) \mapsto \omega$ で定まる 1 次元表現とする。剰余類の代表を $1, (12)$ とし、 $(12)(123)(12)^{-1} = (213) = (132)$ に注意すると、命題 1.37 より

\chi_{\operatorname{Ind}W}(1) = 2, \qquad \chi_{\operatorname{Ind}W}((12)) = 0, \qquad \chi_{\operatorname{Ind}W}((123)) = \omega + \omega^2 = -1

となり、 $\operatorname{Ind}W$ は標準表現に一致する。フロベニウスの相互律で検算すると、標準表現の $\mathfrak{A}_3$ への制限の指標は $(2, -1, -1)$ で、これは $W$ と $W^{\ast}$ の直和の指標 $(1, \omega, \omega^2) + (1, \omega^2, \omega)$ に等しいから、 $\langle \chi_{\operatorname{Res}V}, \chi_W \rangle = 1$ である。

(2) $G = D_4$ , $H = \langle r \rangle \cong \mathbb{Z}/4$ , $W$ を $r \mapsto i$ で定まる表現とする。代表を $1, s$ とすると $s^{-1}rs = r^{-1}$ なので $\chi_{\operatorname{Ind}W}(r) = i + (-i) = 0$ 、 $\chi_{\operatorname{Ind}W}(r^2) = -1 + (-1) = -2$ 、 $s$ と $sr$ の共役は $H$ に入らないので値は 0。これは $\chi_5$ であり、2 次元既約表現は誘導表現として得られる。

1.11 バーンサイドの定理

指標理論の最初の大きな応用は、純粋に群論的な次の定理であった。

定理 1.41（バーンサイドの $p^aq^b$ 定理, Burnside's theorem） $p, q$ を素数、 $a, b \geq 0$ を整数とする。位数 $p^aq^b$ の群は可解群である。

証明は本書では扱わない（主張のみ）。鍵は「共役類の大きさが素数冪 $p^k$ ( $k \geq 1$ ) であるような元が存在すれば、 $G$ は単純群でない」という補題であり、その証明に補題 1.33 の整数性 $\lvert C \rvert\chi(g)/\chi(1) \in \overline{\mathbb{Z}}$ と、1 の冪根の平均についての考察を用いる。詳しくは Isaacs の前掲書の第3章を参照。群論だけによる証明は、定理の発表（1904 年）から長い間知られなかった。

まとめ

有限群の表現は、 $\operatorname{char} K \nmid \lvert G \rvert$ なら完全可約（マシュケ）。標数が位数を割る場合や無限群では成り立たない。
既約表現の間の $G$ -線形写像は 0 か同型であり、代数閉体上では既約表現の自己準同型はスカラーだけ（シューア）。
複素数体上、指標 $\chi_V = \operatorname{tr}\rho$ は類関数で、 $\langle \chi_W, \chi_V \rangle_G = \dim \operatorname{Hom}_G(V, W)$ 。既約指標は類関数の空間の正規直交基底をなす。
表現は指標で決まり、重複度は内積で計算できる。既約性の判定は $\langle \chi, \chi \rangle = 1$ 。
正則表現にはすべての既約表現が次数と同じ回数現れ、 $\sum d_i^2 = \lvert G \rvert$ 。既約表現の個数は共役類の個数に等しい。
指標表は行・列の両方で直交する。 $D_4$ と $Q_8$ のように、同型でない群が同じ指標表をもつことがある。
既約表現の次数は $\lvert G \rvert$ を割る（代数的整数の議論）。
誘導表現はフロベニウスの相互律 $\operatorname{Hom}_G(V, \operatorname{Ind}W) \cong \operatorname{Hom}_H(\operatorname{Res}V, W)$ をもち、指標は命題 1.37 で計算できる。

演習問題

問題 1.1 ★ $G = \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2$ の指標表を書き、行と列の直交関係を確かめよ。また $\mathbb{Z}/n$ の既約指標 $\chi_k(a) = \zeta^{ka}$ ( $\zeta = e^{2\pi i/n}$ ) について $\langle \chi_k, \chi_l \rangle = \delta_{kl}$ を直接確かめよ。

解答

$G = \lbrace (0,0), (1,0), (0,1), (1,1) \rbrace$ は可換なので共役類は 4 つ、既約指標は 1 次元で 4 つある。 $\chi_{\varepsilon_1, \varepsilon_2}(a, b) = \varepsilon_1^a\varepsilon_2^b$ ( $\varepsilon_i = \pm 1$ ) である。

代表元	$(0,0)$	$(1,0)$	$(0,1)$	$(1,1)$
$\chi_{+,+}$	$1$	$1$	$1$	$1$
$\chi_{-,+}$	$1$	$-1$	$1$	$-1$
$\chi_{+,-}$	$1$	$1$	$-1$	$-1$
$\chi_{-,-}$	$1$	$-1$	$-1$	$1$

どの 2 行も 4 つの成分のうちちょうど 2 つで符号が一致するので内積は $\frac{1}{4}(2 - 2) = 0$ 。列についても同様で、各列の絶対値の 2 乗和は $4 = \lvert C_G(g) \rvert$ である。 $\mathbb{Z}/n$ については $\langle \chi_k, \chi_l \rangle = \frac{1}{n}\sum_{a=0}^{n-1}\zeta^{(k-l)a}$ で、 $k = l$ なら 1、 $k \neq l$ なら $\zeta^{k-l} \neq 1$ に対する等比数列の和 $\frac{1}{n} \cdot \frac{\zeta^{(k-l)n} - 1}{\zeta^{k-l} - 1} = 0$ である。

問題 1.2 ★ $\mathfrak{S}_3$ の標準表現 $V$ について、 $V \otimes V$ と $V \otimes \operatorname{sgn}$ を既約表現の直和に分解せよ。

解答

$\chi_V^2 = (4, 0, 1)$ （類 $1, (12), (123)$ の順）。類の大きさ $1, 3, 2$ を使うと

\langle \chi_V^2, \chi_{\mathrm{triv}} \rangle = \tfrac{1}{6}(4 + 0 + 2) = 1, \quad \langle \chi_V^2, \chi_{\mathrm{sgn}} \rangle = \tfrac{1}{6}(4 - 0 + 2) = 1, \quad \langle \chi_V^2, \chi_V \rangle = \tfrac{1}{6}(8 + 0 - 2) = 1

なので $V \otimes V \cong \mathbf{1} \oplus \operatorname{sgn} \oplus V$ （次数 $1 + 1 + 2 = 4$ ）。また $\chi_V\chi_{\mathrm{sgn}} = (2, 0, -1) = \chi_V$ なので $V \otimes \operatorname{sgn} \cong V$ （系 1.20 の 4）。

問題 1.3 ★★ 表現 $V$ の対称積 $\operatorname{Sym}^2 V$ と外積 $\Lambda^2 V$ の指標は $\chi_{\operatorname{Sym}^2}(g) = \frac{1}{2}(\chi(g)^2 + \chi(g^2))$ , $\chi_{\Lambda^2}(g) = \frac{1}{2}(\chi(g)^2 - \chi(g^2))$ で与えられる（ $\rho(g)$ を対角化して固有値で確かめよ）。 $\mathfrak{S}_4$ の標準表現 $V$ について $\operatorname{Sym}^2 V$ と $\Lambda^2 V$ を分解し、例 1.30 と整合することを確かめよ。

解答

固有値を $\lambda_1, \dots, \lambda_d$ とすると、 $\operatorname{Sym}^2 V$ の固有値は $\lambda_i\lambda_j$ ( $i \leq j$ )、 $\Lambda^2 V$ の固有値は $\lambda_i\lambda_j$ ( $i < j$ ) である。 $\sum_{i < j}\lambda_i\lambda_j = \frac{1}{2}((\sum\lambda_i)^2 - \sum\lambda_i^2)$ と $\sum \lambda_i^2 = \chi(g^2)$ から公式が従う。

類 $1, (12), (12)(34), (123), (1234)$ の元の 2 乗はそれぞれ $1, 1, 1, (132), (13)(24)$ なので、 $\chi_V(g^2) = (3, 3, 3, 0, -1)$ 。 $\chi_V^2 = (9, 1, 1, 0, 1)$ と合わせて

\chi_{\operatorname{Sym}^2 V} = (6, 2, 2, 0, 0), \qquad \chi_{\Lambda^2 V} = (3, -1, -1, 0, 1)

後者は $\chi_{V'}$ に等しいので $\Lambda^2 V \cong V'$ 。前者は $\chi_{\mathrm{triv}} + \chi_W + \chi_V = (1 + 2 + 3, 1 + 0 + 1, 1 + 2 - 1, 1 - 1 + 0, 1 + 0 - 1) = (6, 2, 2, 0, 0)$ なので $\operatorname{Sym}^2 V \cong \mathbf{1} \oplus W \oplus V$ 。 $V \otimes V = \operatorname{Sym}^2 V \oplus \Lambda^2 V$ なので、例 1.30 の $\mathbf{1} \oplus W \oplus V \oplus V'$ と一致する。

問題 1.4 ★★ $H = \mathfrak{S}_3 \subset \mathfrak{S}_4$ （4 を固定する置換）とする。 $\operatorname{Ind}_H^{\mathfrak{S}_4}\operatorname{sgn}$ を、(a) フロベニウスの相互律、(b) 命題 1.37 の指標公式、の 2 通りで分解せよ。

解答

(a) $\mathfrak{S}_4$ の既約指標を $H$ に制限すると（類 $1, (12), (123)$ の順）、 $\chi_{\mathrm{triv}} \mapsto (1,1,1)$ , $\chi_{\mathrm{sgn}} \mapsto (1,-1,1)$ , $\chi_W \mapsto (2, 0, -1)$ , $\chi_V \mapsto (3, 1, 0)$ , $\chi_{V'} \mapsto (3, -1, 0)$ 。これらと $\operatorname{sgn}_H = (1, -1, 1)$ の内積（類の大きさ $1, 3, 2$ ）は順に $\frac{1}{6}(1 - 3 + 2) = 0$ , $\frac{1}{6}(1 + 3 + 2) = 1$ , $\frac{1}{6}(2 + 0 - 2) = 0$ , $\frac{1}{6}(3 - 3 + 0) = 0$ , $\frac{1}{6}(3 + 3 + 0) = 1$ 。よって $\operatorname{Ind}\operatorname{sgn} \cong \operatorname{sgn} \oplus V'$ （次数 $1 + 3 = 4 = [\mathfrak{S}_4 : \mathfrak{S}_3]$ ）。

(b) 剰余類 $x\mathfrak{S}_3$ は $x(4)$ で区別され、 $x^{-1}gx \in \mathfrak{S}_3$ は $g$ が $x(4)$ を固定することと同値。 $x^{-1}gx$ の符号は $g$ の符号に等しいので $\chi_{\operatorname{Ind}}(g) = \operatorname{sgn}(g) \cdot (g \text{ の固定点の個数})$ 、すなわち $(4, -2, 0, 1, 0)$ 。一方 $\chi_{\mathrm{sgn}} + \chi_{V'} = (1 + 3, -1 - 1, 1 - 1, 1 + 0, -1 + 1) = (4, -2, 0, 1, 0)$ で一致する。

問題 1.5 ★★ (a) $D_4$ と $Q_8$ が同型でないことを示せ。(b) 2 次元既約指標 $\chi_5$ について $\nu(\chi_5) = \frac{1}{\lvert G \rvert}\sum_{g \in G}\chi_5(g^2)$ を $G = D_4$ と $G = Q_8$ のそれぞれで計算せよ。（ $\nu$ はフロベニウス–シューア指標と呼ばれ、既約指標 $\chi$ について、 $\chi$ が実数値でないとき 0、 $\chi$ が $\mathbb{R}$ 上で実現できるとき 1、実数値だが $\mathbb{R}$ 上で実現できないとき $-1$ であることが知られている。）

解答

(a) 位数 2 の元の個数は同型不変量である。 $D_4$ では $r^2$ と 4 つの鏡映 $s, sr, sr^2, sr^3$ の 5 個、 $Q_8$ では $-1$ だけの 1 個なので、同型でない。

(b) $D_4$ ： $g^2$ は $g = 1, r^2$ と 4 つの鏡映で $1$ 、 $g = r, r^3$ で $r^2$ 。よって $\sum_g \chi_5(g^2) = 6 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) = 8$ 、 $\nu = 1$ （実際、正方形の対称性として実行列で実現されている）。 $Q_8$ ： $g = \pm 1$ で $g^2 = 1$ 、他の 6 元で $g^2 = -1$ 。よって $\sum_g \chi_5(g^2) = 2 \cdot 2 + 6 \cdot (-2) = -8$ 、 $\nu = -1$ 。 $Q_8$ の 2 次元表現は実数値の指標をもつが、実行列では実現できない（四元数体 $\mathbb{H}$ 上の表現に由来する）。

問題 1.6 ★★ $p$ を素数、 $G$ を位数 $p^3$ の非可換群とする。 $G$ の既約表現の次数と個数を決定し、 $G$ の共役類の個数が $p^2 + p - 1$ であることを示せ。 $p = 2$ のとき $D_4$ , $Q_8$ の指標表と整合することを確かめよ。

解答

$p$ -群の中心 $Z(G)$ は自明でない（類等式）。 $\lvert Z(G) \rvert = p^2$ なら $G/Z(G)$ は位数 $p$ の巡回群になり $G$ は可換となって矛盾、 $\lvert Z(G) \rvert = p^3$ も非可換性に反する。よって $\lvert Z(G) \rvert = p$ 。 $G/Z(G)$ は位数 $p^2$ で可換（例 1.35）なので $[G, G] \subset Z(G)$ 、非可換性から $[G, G] \neq 1$ なので $[G, G] = Z(G)$ で、 $\lvert G^{\mathrm{ab}} \rvert = p^2$ 。よって 1 次元表現はちょうど $p^2$ 個。残りの既約表現の次数 $d > 1$ は $p^3$ の約数で、 $d^2 \leq p^3 - p^2 < p^4$ だから $d = p$ 。その個数 $m$ は $p^2 + mp^2 = p^3$ より $m = p - 1$ 。既約表現の総数 $p^2 + p - 1$ が共役類の個数に等しい（定理 1.23）。 $p = 2$ では 1 次元が 4 個、2 次元が 1 個、共役類が 5 個で、例 1.26, 1.27 と一致する。

問題 1.7 ★★★ 実数値をとる既約指標の個数は、 $C^{-1} = C$ を満たす共役類 $C$ （実共役類）の個数に等しいことを示せ。これを用いて、 $\mathfrak{S}_n$ の既約指標はすべて実数値であること、 $\mathfrak{A}_4$ の実数値の既約指標は 2 個であることを確かめよ。

解答

指標表を $h \times h$ 行列 $X = (\chi_i(g_j))$ とする。既約指標の複素共役 $\overline{\chi_i} = \chi_{V_i^{\ast}}$ は再び既約指標なので、複素共役は行の置換を引き起こす： $\overline{X} = PX$ （ $P$ は置換行列）。一方 $\overline{\chi(g)} = \chi(g^{-1})$ なので、複素共役は列の置換 $C \mapsto C^{-1}$ でもある： $\overline{X} = XQ$ （ $Q$ は置換行列）。第二直交関係より $X$ の列は直交して 0 でないので $X$ は正則であり、 $P = XQX^{-1}$ 。トレースをとると $\operatorname{tr}P = \operatorname{tr}Q$ 。 $\operatorname{tr}P$ は $\overline{\chi_i} = \chi_i$ となる $i$ の個数（実数値の既約指標の個数）、 $\operatorname{tr}Q$ は $C^{-1} = C$ となる類の個数である。

$\mathfrak{S}_n$ では $\sigma$ と $\sigma^{-1}$ の巡回置換型が同じなので、すべての類が実であり、すべての既約指標が実数値である。 $\mathfrak{A}_4$ では $(123)^{-1} = (132)$ は別の類に属する（例 1.28）ので、実共役類は $\lbrace 1 \rbrace$ と $V_4 \setminus \lbrace 1 \rbrace$ の 2 つであり、実際に実数値の既約指標は $\chi_1$ , $\chi_4$ の 2 つである。