第4章ルート系と分類（リー群と表現論） | Lemma

この章の目標

$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ の有限次元既約表現を完全に分類できる

カルタン部分環とルート空間分解を理解し、ルートの基本性質を $\mathfrak{sl}_2$ の表現論から証明できる

ルート系の公理を述べ、ランク 2 のルート系とワイル群を具体的に扱える

単純ルート系の存在を証明し、カルタン行列・ディンキン図形を書ける

古典型リー環 $A_n$ , $B_n$ , $C_n$ , $D_n$ のルート系を行列で計算できる

前提：第3章、線形代数第7章（内積空間・直交変換）

半単純リー環の構造を解き明かす鍵は、 $\mathfrak{sl}_2$ である。半単純リー環 $L$ の中には $\mathfrak{sl}_2$ のコピーがたくさんあり、 $L$ はそれらの表現空間として分解する。 $\mathfrak{sl}_2$ の表現は非常に単純（各次元にちょうど一つ）なので、そこから $L$ の構造に強い制約が生じる。その制約を抽象化したものがルート系であり、ルート系は有限個の図形（ディンキン図形）で分類される。こうして複素単純リー環の完全な分類が得られる。

この章を通じて、基礎体は $\mathbb{C}$ （標数 0 の代数閉体ならよい）とし、表現はすべて有限次元とする。

4.1 $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ の表現

$\mathfrak{sl}_2 = \mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ の基底 $E, H, F$ （ $[H, E] = 2E$ , $[H, F] = -2F$ , $[E, F] = H$ ）をとる。 $\mathfrak{sl}_2$ -加群 $V$ と $\lambda \in \mathbb{C}$ に対し $V_\lambda = \lbrace v \in V \mid Hv = \lambda v \rbrace$ とおき、 $V_\lambda \neq 0$ のとき $\lambda$ をウェイト (weight)、 $V_\lambda$ をウェイト空間という。

補題 4.1 $EV_\lambda \subset V_{\lambda+2}$ , $FV_\lambda \subset V_{\lambda-2}$ 。

証明. $v \in V_\lambda$ なら $H(Ev) = [H, E]v + E(Hv) = (\lambda + 2)Ev$ 。 $F$ も同様。 $\square$

$Ev = 0$ かつ $Hv = \lambda v$ を満たす $v \neq 0$ を、ウェイト $\lambda$ の極大ベクトル (maximal vector) という。 $V \neq 0$ なら極大ベクトルが存在する： $H$ の固有ベクトル $v$ （固有値 $\lambda$ ）をとると、 $E^kv \in V_{\lambda+2k}$ の 0 でないものは固有値が相異なるので一次独立であり、有限次元性から $E^kv \neq 0$ , $E^{k+1}v = 0$ となる $k$ がある。

補題 4.2 $v_0$ をウェイト $\lambda$ の極大ベクトルとし、 $v_k = \frac{1}{k!}F^kv_0$ ( $k \geq 0$ ), $v_{-1} = 0$ とおく。このとき
$Hv_k = (\lambda - 2k)v_k, \qquad Fv_k = (k+1)v_{k+1}, \qquad Ev_k = (\lambda - k + 1)v_{k-1}$

証明. 最初の 2 式は補題 4.1 と定義から従う。第 3 式を $k$ に関する帰納法で示す。 $k = 0$ は $Ev_0 = 0$ 。 $k \geq 1$ なら

kEv_k = EFv_{k-1} = Hv_{k-1} + FEv_{k-1} = (\lambda - 2k + 2)v_{k-1} + (\lambda - k + 2)Fv_{k-2}

で、 $Fv_{k-2} = (k-1)v_{k-1}$ だから係数は $\lambda - 2k + 2 + (\lambda - k + 2)(k - 1) = k(\lambda - k + 1)$ となる。 $\square$

定理 4.3（ $\mathfrak{sl}_2$ の既約表現の分類）

$V$ を $\dim V = m + 1$ の既約 $\mathfrak{sl}_2$ -加群とする。 $V$ はウェイト $m, m-2, \dots, -m$ のウェイト空間の直和で、各ウェイト空間は 1 次元である。 $V$ には基底 $v_0, \dots, v_m$ で補題 4.2 の公式（ $\lambda = m$ ）を満たすものがあり、 $V$ は同型を除いて $\dim V$ だけで決まる。

各 $m \geq 0$ に対し、 $m + 1$ 次元の既約 $\mathfrak{sl}_2$ -加群 $V(m)$ が存在する。

証明. 1：極大ベクトル $v_0$ （ウェイト $\lambda$ ）をとる。 $v_k$ の 0 でないものは $H$ の固有値が相異なるので一次独立であり、有限次元性から $v_0, \dots, v_n \neq 0$ , $v_{n+1} = 0$ となる $n$ がある（以後 $v_k = 0$ ）。補題 4.2 より $v_0, \dots, v_n$ の張る空間は部分加群なので、既約性から $V$ に一致し $n = m$ 。 $0 = Ev_{m+1} = (\lambda - m)v_m$ と $v_m \neq 0$ から $\lambda = m$ 。

2：2 変数の $m$ 次斉次多項式の空間 $V(m)$ に

E = x\frac{\partial}{\partial y}, \qquad F = y\frac{\partial}{\partial x}, \qquad H = x\frac{\partial}{\partial x} - y\frac{\partial}{\partial y}

を作用させる。直接計算で $[E, F] = H$ , $[H, E] = 2E$ , $[H, F] = -2F$ が確かめられ、 $H(x^{m-k}y^k) = (m - 2k)x^{m-k}y^k$ 。0 でない部分加群 $U$ は $H$ で不変で、 $H$ は $V(m)$ 上で 1 次元の固有空間に対角化されるので、 $U$ はある単項式 $x^{m-k}y^k$ を含む。 $E^k$ を施すと $x^m$ の 0 でない定数倍が得られ、そこから $F^j$ ですべての単項式が得られるので $U = V(m)$ 。 $\square$

$V(0)$ は自明表現、 $V(1) = \mathbb{C}^2$ は標準表現、 $V(2)$ は随伴表現である（ $E, H, F$ のウェイトは $2, 0, -2$ ）。一般に $V(m) \cong \operatorname{Sym}^m\mathbb{C}^2$ 。カシミール元 $C = EF + FE + \frac{1}{2}H^2$ は $V(m)$ にスカラー $\frac{1}{2}m(m+2)$ で作用する（ $v_0$ に施すと $EFv_0 = mv_0$ , $FEv_0 = 0$ , $H^2v_0 = m^2v_0$ ）。

系 4.4 $V$ を有限次元 $\mathfrak{sl}_2$ -加群とする。

$H$ は $V$ 上対角化可能で、固有値はすべて整数である。

$\dim V_k = \dim V_{-k}$ ( $k \in \mathbb{Z}$ )。

$V$ を既約分解したときの成分の個数は $\dim V_0 + \dim V_1$ に等しい。

証明. ワイルの定理（定理 3.29）より $V$ は $V(m)$ たちの直和であり、各 $V(m)$ について 1〜3 の性質は定理 4.3 から明らかである（ $V(m)$ はウェイト 0 と 1 のちょうど一方をもつ）。 $\square$

例えば $V(1) \otimes V(1)$ のウェイトは $2, 0, 0, -2$ なので、成分は $\dim V_0 + \dim V_1 = 2$ 個であり $V(1) \otimes V(1) \cong V(2) \oplus V(0)$ 。テンソル積の一般的な分解は第5章で扱う。

4.2 カルタン部分環

以下 $L$ を半単純リー環とする。 $x \in L$ は $\operatorname{ad}_x$ が対角化可能なとき半単純元という。半単純元からなる部分リー環をトーラス的 (toral) という。

0 でないトーラス的部分環は存在する。実際、 $L$ の元がすべて $\operatorname{ad}$ -冪零ならエンゲルの定理（系 3.13）より $L$ は冪零、特に可解となって矛盾する。よって $\operatorname{ad}$ -冪零でない $x$ があり、その抽象ジョルダン分解（3.10 節）の半単純部分 $s \neq 0$ について $\mathbb{C}s$ はトーラス的である。

補題 4.5 トーラス的部分環は可換である。

証明. $T$ をトーラス的、 $x \in T$ とし、 $\operatorname{ad}_T x$ が 0 でない固有値をもたないことを示せばよい。 $[x, y] = ay$ , $0 \neq y \in T$ , $a \neq 0$ とする。 $\operatorname{ad}_T y$ は対角化可能なので $x = \sum_i v_i$ （ $v_i$ は $\operatorname{ad}_T y$ の相異なる固有値 $\lambda_i$ の固有ベクトル）と書ける。 $\operatorname{ad}_T y(x) = -ay$ は $\operatorname{ad}_T y$ の核に属するので $0 = (\operatorname{ad}_T y)^2x = \sum_i\lambda_i^2v_i$ 、よって各 $\lambda_iv_i = 0$ であり、 $-ay = \sum_i\lambda_iv_i = 0$ 。これは矛盾である。 $\square$

定義 4.6（カルタン部分環, Cartan subalgebra）半単純リー環 $L$ の極大なトーラス的部分環 $\mathfrak{h}$ をカルタン部分環といい、 $\dim\mathfrak{h}$ を $L$ の階数 (rank) という。

補足

一般のリー環では、カルタン部分環は「冪零で自身の正規化環に一致する部分環」として定義される。半単純リー環（ $\mathbb{C}$ 上）では両者は一致し、さらにすべてのカルタン部分環は $L$ の自己同型で互いに移り合う（共役定理）。したがって階数は $L$ だけで決まる。これらは主張のみ述べる（Humphreys の本の §15, §16）。

例 4.7 $L = \mathfrak{sl}_n$ のトレース 0 の対角行列全体 $\mathfrak{h}$ はカルタン部分環である。 $d = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ について $[d, E_{ij}] = (d_i - d_j)E_{ij}$ なので $\operatorname{ad}_d$ は対角化可能で、 $\mathfrak{h}$ はトーラス的である。 $\mathfrak{h} \subset T$ （ $T$ はトーラス的）とすると、補題 4.5 より $T$ は $\mathfrak{h}$ と可換である。対角成分が相異なる $d \in \mathfrak{h}$ と可換な行列は対角行列だけなので $T \subset \mathfrak{h}$ 。よって $\mathfrak{h}$ は極大であり、 $\mathfrak{sl}_n$ の階数は $n - 1$ である。

4.3 ルート空間分解

カルタン部分環 $\mathfrak{h}$ を固定する。 $\operatorname{ad}\mathfrak{h}$ は可換な対角化可能自己準同型の族なので、同時対角化できる。 $\alpha \in \mathfrak{h}^{\ast}$ に対し

L_\alpha = \lbrace x \in L \mid [h, x] = \alpha(h)x \ (\forall h \in \mathfrak{h}) \rbrace

とおき、 $\Phi = \lbrace \alpha \in \mathfrak{h}^{\ast} \setminus \lbrace 0 \rbrace \mid L_\alpha \neq 0 \rbrace$ をルート (root) の集合という。 $L_0 = C_L(\mathfrak{h})$ （ $\mathfrak{h}$ の中心化環）なので

L = C_L(\mathfrak{h}) \oplus \bigoplus_{\alpha \in \Phi} L_\alpha \qquad (\text{ルート空間分解, root space decomposition})

命題 4.8 (1) $[L_\alpha, L_\beta] \subset L_{\alpha+\beta}$ 。(2) $\alpha + \beta \neq 0$ なら $\kappa(L_\alpha, L_\beta) = 0$ 。(3) $\kappa$ の $L_0$ への制限は非退化である。

証明. (1) ヤコビ恒等式より $[h, [x, y]] = [[h, x], y] + [x, [h, y]] = (\alpha + \beta)(h)[x, y]$ 。(2) $(\alpha + \beta)(h) \neq 0$ となる $h$ をとると、不変性から $\alpha(h)\kappa(x, y) = \kappa([h, x], y) = -\kappa(x, [h, y]) = -\beta(h)\kappa(x, y)$ なので $\kappa(x, y) = 0$ 。(3) (2) より $L_0 \perp L_\alpha$ ( $\alpha \in \Phi$ )。 $z \in L_0$ が $L_0$ と直交すれば $L$ 全体と直交し、 $\kappa$ の非退化性から $z = 0$ 。 $\square$

定理 4.9 $C_L(\mathfrak{h}) = \mathfrak{h}$ である。したがって $\kappa$ の $\mathfrak{h}$ への制限は非退化である。

証明の概略. $C = C_L(\mathfrak{h})$ とおく。抽象ジョルダン分解を使うと、 $C$ の元の半単純部分・冪零部分は $C$ に属し、 $C$ の半単純元は $\mathfrak{h}$ に属する（ $\mathfrak{h}$ の極大性）。これと命題 4.8 (3) から $C$ は冪零、さらに可換であることが示され、 $C$ の冪零元 $n$ について $\operatorname{ad}_n$ と可換な $\operatorname{ad}_y$ ( $y \in C$ ) との積が冪零になることから $\kappa(n, C) = 0$ 、非退化性より $n = 0$ となる。詳細は Humphreys の本の §8.2 を参照。 $\square$

$\kappa\vert_{\mathfrak{h}}$ が非退化なので、各 $\lambda \in \mathfrak{h}^{\ast}$ に対し $\kappa(t_\lambda, h) = \lambda(h)$ ( $\forall h \in \mathfrak{h}$ ) となる $t_\lambda \in \mathfrak{h}$ がただ一つある。 $\mathfrak{h}^{\ast}$ に対称双線形形式 $(\lambda, \mu) = \kappa(t_\lambda, t_\mu)$ を入れる。

例 4.10（ $\mathfrak{sl}_3$ ） $\mathfrak{h} = \lbrace \operatorname{diag}(a_1, a_2, a_3) \mid a_1 + a_2 + a_3 = 0 \rbrace$ とし、 $\varepsilon_i \in \mathfrak{h}^{\ast}$ を $\varepsilon_i(\operatorname{diag}(a_1, a_2, a_3)) = a_i$ で定める（ $\varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3 = 0$ ）。 $[h, E_{ij}] = (a_i - a_j)E_{ij}$ より、ルートは $\varepsilon_i - \varepsilon_j$ ( $i \neq j$ ) の 6 個で、 $L_{\varepsilon_i - \varepsilon_j} = \mathbb{C}E_{ij}$ である。 $\kappa(x, y) = 6\operatorname{tr}(xy)$ （問題 3.2）なので $t_{\varepsilon_1 - \varepsilon_2} = \frac{1}{6}(E_{11} - E_{22})$ 、 $(\varepsilon_1 - \varepsilon_2, \varepsilon_1 - \varepsilon_2) = 6 \cdot \frac{2}{36} = \frac{1}{3}$ となる。

4.4 ルートの性質

定理 4.11 $L$ を半単純、 $\mathfrak{h}$ をカルタン部分環、 $\Phi$ をルートの集合とする。

$\Phi$ は $\mathfrak{h}^{\ast}$ を張る。

$\alpha \in \Phi$ なら $-\alpha \in \Phi$ 。

$x \in L_\alpha$ , $y \in L_{-\alpha}$ なら $[x, y] = \kappa(x, y)t_\alpha$ 。特に $[L_\alpha, L_{-\alpha}] = \mathbb{C}t_\alpha$ 。

$\alpha(t_\alpha) = (\alpha, \alpha) \neq 0$ 。

$h_\alpha = 2t_\alpha/(\alpha, \alpha)$ とおく。 $0 \neq x_\alpha \in L_\alpha$ に対し $y_\alpha \in L_{-\alpha}$ を適当にとると、 $[h_\alpha, x_\alpha] = 2x_\alpha$ , $[h_\alpha, y_\alpha] = -2y_\alpha$ , $[x_\alpha, y_\alpha] = h_\alpha$ となる。すなわち $S_\alpha = \operatorname{span}(x_\alpha, h_\alpha, y_\alpha) \cong \mathfrak{sl}_2$ 。

$\dim L_\alpha = 1$ であり、 $\alpha$ の定数倍で $\Phi$ に属するものは $\pm\alpha$ だけである。

$\alpha, \beta \in \Phi$ なら $\beta(h_\alpha) = \frac{2(\beta, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} \in \mathbb{Z}$ かつ $\beta - \beta(h_\alpha)\alpha \in \Phi$ 。

$\beta \neq \pm\alpha$ のとき、 $\beta + i\alpha \in \Phi$ となる整数 $i$ の全体は区間 $-r \leq i \leq q$ をなし（ $\alpha$ -列, $\alpha$ -string）、 $r - q = \beta(h_\alpha)$ 。さらに $\alpha + \beta \in \Phi$ なら $[L_\alpha, L_\beta] = L_{\alpha+\beta}$ 。

証明. 1：張らなければ、すべての $\alpha \in \Phi$ について $\alpha(h) = 0$ となる $h \neq 0$ があり、 $[h, L_\alpha] = 0$ , $[h, \mathfrak{h}] = 0$ より $h \in Z(L) = 0$ となって矛盾。

2： $-\alpha \notin \Phi$ なら、命題 4.8 (2) より $L_\alpha$ は $L$ 全体と直交し、 $\kappa$ の非退化性に反する。

3： $h \in \mathfrak{h}$ について $\kappa(h, [x, y]) = \kappa([h, x], y) = \alpha(h)\kappa(x, y) = \kappa(\kappa(x, y)t_\alpha, h)$ 。 $[x, y] \in L_0 = \mathfrak{h}$ で $\kappa\vert_{\mathfrak{h}}$ は非退化なので $[x, y] = \kappa(x, y)t_\alpha$ 。 $x \neq 0$ なら 2 の議論から $\kappa(x, y) \neq 0$ となる $y \in L_{-\alpha}$ があるので、 $[L_\alpha, L_{-\alpha}] = \mathbb{C}t_\alpha$ 。

4： $\alpha(t_\alpha) = \kappa(t_\alpha, t_\alpha) = (\alpha, \alpha)$ 。これが 0 だとする。3 より $\kappa(x, y) = 1$ , $[x, y] = t_\alpha$ となる $x \in L_\alpha$ , $y \in L_{-\alpha}$ があり、 $[t_\alpha, x] = \alpha(t_\alpha)x = 0$ , $[t_\alpha, y] = 0$ 。 $S = \operatorname{span}(x, y, t_\alpha)$ は可解なので、リーの定理（系 3.15）より $\operatorname{ad}_LS$ は同時に上三角化でき、 $\operatorname{ad}_Lt_\alpha = [\operatorname{ad}_Lx, \operatorname{ad}_Ly]$ は冪零である。一方 $t_\alpha \in \mathfrak{h}$ は半単純元なので $\operatorname{ad}_Lt_\alpha = 0$ 、すなわち $t_\alpha \in Z(L) = 0$ となり、 $\alpha \neq 0$ に矛盾する。

5： $y_\alpha \in L_{-\alpha}$ を $\kappa(x_\alpha, y_\alpha) = 2/(\alpha, \alpha)$ となるようにとれば、3 より $[x_\alpha, y_\alpha] = h_\alpha$ 。また $\alpha(h_\alpha) = 2\alpha(t_\alpha)/(\alpha, \alpha) = 2$ なので $[h_\alpha, x_\alpha] = 2x_\alpha$ , $[h_\alpha, y_\alpha] = -2y_\alpha$ 。

6： $M = \mathfrak{h} \oplus \bigoplus_{c \in \mathbb{C}^\times,\ c\alpha \in \Phi}L_{c\alpha}$ は $\operatorname{ad}S_\alpha$ で不変である。 $L_{c\alpha}$ 上の $h_\alpha$ のウェイトは $c\alpha(h_\alpha) = 2c$ で、系 4.4 よりこれは整数、すなわち $c \in \frac{1}{2}\mathbb{Z}$ 。 $\mathfrak{h} = \ker\alpha \oplus \mathbb{C}h_\alpha$ で、 $S_\alpha$ は $\ker\alpha$ に自明に作用する。よって $N = \ker\alpha \oplus S_\alpha$ は部分加群で、 $M$ のウェイト 0 の空間 $\mathfrak{h}$ 全体を含む。ワイルの定理より $M = N \oplus N'$ と分解すると、 $N'$ はウェイト 0 をもたないので、偶数の最高ウェイトの既約成分をもたない。特にウェイト 4 は $M$ に現れず、 $2\alpha \notin \Phi$ である。 $\alpha$ は任意だったので「ルートの 2 倍はルートでない」、したがって $\frac{1}{2}\alpha$ もルートでない（ $\alpha = 2 \cdot \frac{1}{2}\alpha$ がルートだから）。するとウェイト 1 も $M$ に現れず、 $N'$ は奇数の最高ウェイトの成分ももたないので $N' = 0$ 。よって $M = \ker\alpha \oplus S_\alpha$ であり、 $L_\alpha = \mathbb{C}x_\alpha$ 、 $L_{c\alpha} = 0$ ( $c \neq \pm 1$ )。

7, 8： $\beta \neq \pm\alpha$ とし、 $K = \bigoplus_{i \in \mathbb{Z}}L_{\beta + i\alpha}$ とおく。6 より $\beta + i\alpha \neq 0$ であり、 $K$ は $S_\alpha$ -加群で、各 $L_{\beta+i\alpha}$ は高々 1 次元、 $h_\alpha$ のウェイトは $\beta(h_\alpha) + 2i$ である。系 4.4 より $\beta(h_\alpha) \in \mathbb{Z}$ 。ウェイトは相異なり偶奇がそろっているので、0 と 1 のうち高々一方が高々 1 回現れ、系 4.4 (3) より $K$ は既約、 $K \cong V(m)$ である。よってウェイトは $m, m-2, \dots, -m$ と途切れずに並び、 $\beta + i\alpha \in \Phi$ となる $i$ は区間 $[-r, q]$ をなし、 $\beta(h_\alpha) - 2r = -m$ , $\beta(h_\alpha) + 2q = m$ より $r - q = \beta(h_\alpha)$ 。 $-r \leq q - r \leq q$ なので $\beta - \beta(h_\alpha)\alpha = \beta + (q - r)\alpha \in \Phi$ 。 $\beta = \pm\alpha$ のときは 7 は明らか。最後に、 $V(m)$ で $E$ は最高ウェイト以外のウェイト空間を 0 でない写像で上に写す（補題 4.2）ので、 $\alpha + \beta \in \Phi$ なら $[x_\alpha, L_\beta] = L_{\alpha+\beta}$ 。

最後に $\beta(h_\alpha) = 2\beta(t_\alpha)/(\alpha, \alpha) = 2(\beta, \alpha)/(\alpha, \alpha)$ である。 $\square$

命題 4.12 $E_{\mathbb{Q}}$ を $\Phi$ の $\mathbb{Q}$ 上の張る空間とする。 $(\cdot, \cdot)$ は $\Phi$ 上で有理数値をとり、 $E_{\mathbb{Q}}$ 上で正定値である。また $\dim_{\mathbb{Q}}E_{\mathbb{Q}} = \dim_{\mathbb{C}}\mathfrak{h}^{\ast}$ である。したがって $E = \mathbb{R} \otimes_{\mathbb{Q}} E_{\mathbb{Q}}$ はユークリッド空間であり、 $\Phi \subset E$ は $E$ を張る。

証明. $\lambda, \mu \in \mathfrak{h}^{\ast}$ について $(\lambda, \mu) = \operatorname{tr}(\operatorname{ad}t_\lambda\operatorname{ad}t_\mu) = \sum_{\beta \in \Phi}\beta(t_\lambda)\beta(t_\mu) = \sum_{\beta \in \Phi}(\beta, \lambda)(\beta, \mu)$ （ $\dim L_\beta = 1$ を使った）。 $\lambda = \mu = \alpha \in \Phi$ とし $(\alpha, \alpha)^2$ で割ると $\frac{1}{(\alpha,\alpha)} = \sum_\beta\bigl(\frac{\beta(h_\alpha)}{2}\bigr)^2 \in \mathbb{Q}$ 。よって $(\alpha, \alpha) \in \mathbb{Q}$ で、 $(\beta, \alpha) = \frac{1}{2}\beta(h_\alpha)(\alpha, \alpha) \in \mathbb{Q}$ 。 $\mathfrak{h}^{\ast}$ の基底 $\alpha_1, \dots, \alpha_\ell$ を $\Phi$ からとると、 $\beta = \sum c_i\alpha_i$ の係数は、有理数成分の正則なグラム行列 $((\alpha_i, \alpha_j))$ についての連立方程式 $(\beta, \alpha_j) = \sum_i c_i(\alpha_i, \alpha_j)$ の解なので有理数である。よって $\alpha_1, \dots, \alpha_\ell$ は $E_{\mathbb{Q}}$ の $\mathbb{Q}$ -基底である。最後に $\lambda \in E_{\mathbb{Q}}$ について $(\lambda, \lambda) = \sum_\beta(\beta, \lambda)^2 \geq 0$ で、等号なら $(\beta, \lambda) = 0$ ( $\forall \beta$ ) より $\lambda = 0$ 。 $\square$

例 4.10 の $\mathfrak{sl}_3$ で確かめよう。 $\alpha = \varepsilon_1 - \varepsilon_2$ について $h_\alpha = 2t_\alpha/(\alpha,\alpha) = 2 \cdot \frac{1}{6}(E_{11} - E_{22}) \cdot 3 = E_{11} - E_{22}$ で、 $(x_\alpha, h_\alpha, y_\alpha) = (E_{12}, E_{11} - E_{22}, E_{21})$ は $\mathfrak{sl}_2$ の標準的な基底そのものである。 $\beta = \varepsilon_2 - \varepsilon_3$ について $\beta(h_\alpha) = -1$ 。 $\beta - \alpha = -\varepsilon_1 + 2\varepsilon_2 - \varepsilon_3$ はルートでなく、 $\beta + \alpha = \varepsilon_1 - \varepsilon_3$ はルート、 $\beta + 2\alpha$ はルートでないので $r = 0$ , $q = 1$ で、確かに $r - q = -1$ である。

4.5 ルート系の公理

定理 4.11 と命題 4.12 で得られた性質を公理化する。以下 $E$ は有限次元の実内積空間（内積 $(\cdot, \cdot)$ ）とし、 $\alpha \neq 0$ に対し

\alpha^\vee = \frac{2\alpha}{(\alpha, \alpha)}, \qquad \langle \lambda, \alpha^\vee \rangle = (\lambda, \alpha^\vee) = \frac{2(\lambda, \alpha)}{(\alpha, \alpha)}, \qquad s_\alpha(\lambda) = \lambda - \langle \lambda, \alpha^\vee \rangle\alpha

とおく。 $s_\alpha$ は超平面 $P_\alpha = \alpha^\perp$ に関する鏡映である。 $\alpha^\vee$ をコルート (coroot) という。

定義 4.13（ルート系, root system） $E$ の部分集合 $\Phi$ が次を満たすときルート系という。

(R1) $\Phi$ は有限集合で $E$ を張り、 $0 \notin \Phi$ 。

(R2) $\alpha \in \Phi$ なら、 $\alpha$ の実数倍で $\Phi$ に属するものは $\pm\alpha$ だけ。

(R3) $\alpha \in \Phi$ なら $s_\alpha(\Phi) = \Phi$ 。

(R4) $\alpha, \beta \in \Phi$ なら $\langle \beta, \alpha^\vee \rangle \in \mathbb{Z}$ 。

$\dim E$ を階数、鏡映 $s_\alpha$ ( $\alpha \in \Phi$ ) で生成される $O(E)$ の部分群 $W$ をワイル群 (Weyl group) という。

定理 4.11 と命題 4.12 より、半単純リー環のルートは $E$ のルート系をなす。 $W$ は $\Phi$ の置換として忠実に作用する（ $\Phi$ は $E$ を張る）ので有限群である。二つのルート系の直交直和として書けないとき既約という。

命題 4.14（2 つのルートのなす角） $\alpha, \beta \in \Phi$ , $\beta \neq \pm\alpha$ 、なす角を $\theta$ とすると $\langle \alpha, \beta^\vee \rangle\langle \beta, \alpha^\vee \rangle = 4\cos^2\theta \in \lbrace 0, 1, 2, 3 \rbrace$ である。 $(\beta, \beta) \geq (\alpha, \alpha)$ とすると、可能性は次の表で尽きる。

$\langle \alpha, \beta^\vee \rangle$	$\langle \beta, \alpha^\vee \rangle$	$\theta$	$(\beta, \beta)/(\alpha, \alpha)$
$0$	$0$	$\pi/2$	不定
$1$	$1$	$\pi/3$	$1$
$-1$	$-1$	$2\pi/3$	$1$
$1$	$2$	$\pi/4$	$2$
$-1$	$-2$	$3\pi/4$	$2$
$1$	$3$	$\pi/6$	$3$
$-1$	$-3$	$5\pi/6$	$3$

証明. $\langle \beta, \alpha^\vee \rangle = 2\frac{\lVert \beta \rVert}{\lVert \alpha \rVert}\cos\theta$ なので積は $4\cos^2\theta$ 。これは (R4) より整数で、 $\beta \neq \pm\alpha$ と (R2) より $\cos^2\theta \neq 1$ なので $0, 1, 2, 3$ のいずれか。二つの整数の比は $\langle \beta, \alpha^\vee \rangle/\langle \alpha, \beta^\vee \rangle = (\beta, \beta)/(\alpha, \alpha) \geq 1$ で、同符号である。 $\square$

系 4.15 $\alpha, \beta \in \Phi$ , $\beta \neq \pm\alpha$ とする。 $(\alpha, \beta) > 0$ なら $\alpha - \beta \in \Phi$ 、 $(\alpha, \beta) < 0$ なら $\alpha + \beta \in \Phi$ 。

証明. $(\alpha, \beta) > 0$ なら表より $\langle \alpha, \beta^\vee \rangle$ と $\langle \beta, \alpha^\vee \rangle$ の一方は 1 である。前者が 1 なら $s_\beta(\alpha) = \alpha - \beta \in \Phi$ 、後者が 1 なら $s_\alpha(\beta) = \beta - \alpha \in \Phi$ で、(R3) より $-(\beta - \alpha) = s_{\beta-\alpha}(\beta - \alpha) \in \Phi$ 。後半は $\beta$ を $-\beta$ に替えればよい。 $\square$

例 4.16（ランク 2 のルート系）次の 4 つがある（座標の $e_i$ , $\varepsilon_i$ は標準基底で、 $A_2$ と $G_2$ は $\mathbb{R}^3$ の平面 $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ の中にとる）。

型	ルート	個数	長さの比	ワイル群
$A_1 \times A_1$	$\pm e_1$ , $\pm e_2$	4	不定	$(\mathbb{Z}/2)^2$
$A_2$	$\varepsilon_i - \varepsilon_j$ ( $i \neq j$ )	6	$1$	$\mathfrak{S}_3$ （位数 6）
$B_2$	$\pm e_1$ , $\pm e_2$ , $\pm e_1 \pm e_2$	8	$\sqrt{2}$	位数 8 の二面体群
$G_2$	$\varepsilon_i - \varepsilon_j$ , $\pm(2\varepsilon_i - \varepsilon_j - \varepsilon_k)$	12	$\sqrt{3}$	位数 12 の二面体群

（ $G_2$ の後者で $\lbrace i, j, k \rbrace = \lbrace 1, 2, 3 \rbrace$ 。）隣り合うルートのなす角は $A_2$ で 60°、 $B_2$ で 45°、 $G_2$ で 30° であり、 $G_2$ の長いルートの長さの 2 乗は $4 + 1 + 1 = 6$ 、短いルートは $2$ で比は 3 である。 $A_1 \times A_1$ は $\mathfrak{sl}_2 \times \mathfrak{sl}_2$ 、 $A_2$ は $\mathfrak{sl}_3$ のルート系である（例 4.10）。ランク 2 のルート系がこの 4 つで尽きることは、4.6 節の単純ルート系 $\lbrace \alpha, \beta \rbrace$ のなす角が $\pi/2, 2\pi/3, 3\pi/4, 5\pi/6$ のいずれかであることと、 $\Phi = W\Delta$ （定理 4.21）から従う。

4.6 単純ルート系とワイル群

定義 4.17（単純ルート系, base） $\Delta \subset \Phi$ が $E$ の基底であり、任意の $\beta \in \Phi$ が $\beta = \sum_{\alpha \in \Delta}k_\alpha\alpha$ と、すべて $k_\alpha \geq 0$ またはすべて $k_\alpha \leq 0$ の整数係数で書けるとき、 $\Delta$ を単純ルート系（基底）、その元を単純ルートという。係数がすべて $\geq 0$ のルートを正ルートといい、その全体を $\Phi^+$ と書く。

定理 4.18 任意のルート系は単純ルート系をもつ。

証明. どの $\alpha \in \Phi$ とも直交しない $\gamma \in E$ をとる（有限個の超平面 $P_\alpha$ の和集合は $E$ 全体ではない）。 $\Phi^+(\gamma) = \lbrace \alpha \in \Phi \mid (\gamma, \alpha) > 0 \rbrace$ とおくと $\Phi = \Phi^+(\gamma) \sqcup (-\Phi^+(\gamma))$ 。 $\alpha \in \Phi^+(\gamma)$ が二つの元 $\beta_1, \beta_2 \in \Phi^+(\gamma)$ の和 $\alpha = \beta_1 + \beta_2$ に書けないとき分解不能といい、分解不能な元の全体を $\Delta(\gamma)$ とする。

(a) 各 $\alpha \in \Phi^+(\gamma)$ は $\Delta(\gamma)$ の元の非負整数係数の和である。そうでないものがあれば、その中で $(\gamma, \alpha)$ が最小のものをとる。 $\alpha \notin \Delta(\gamma)$ なので $\alpha = \beta_1 + \beta_2$ ( $\beta_i \in \Phi^+(\gamma)$ ) と書け、 $(\gamma, \beta_i) < (\gamma, \alpha)$ だから最小性より $\beta_i$ は非負整数係数の和であり、 $\alpha$ もそうなって矛盾。

(b) $\alpha \neq \beta \in \Delta(\gamma)$ なら $(\alpha, \beta) \leq 0$ 。そうでなければ系 4.15 より $\alpha - \beta \in \Phi$ 。 $\alpha - \beta \in \Phi^+(\gamma)$ なら $\alpha = \beta + (\alpha - \beta)$ は分解可能、 $\beta - \alpha \in \Phi^+(\gamma)$ なら $\beta$ が分解可能で、いずれも矛盾。

(c) $\Delta(\gamma)$ は一次独立である。 $\sum_\alpha r_\alpha\alpha = 0$ とし、正の係数の項と負の係数の項に分けて $\varepsilon = \sum_{\alpha} s_\alpha\alpha = \sum_{\beta} t_\beta\beta$ （ $s_\alpha, t_\beta > 0$ 、 $\alpha$ と $\beta$ は $\Delta(\gamma)$ の互いに異なる元を動く）と書く。(b) より $(\varepsilon, \varepsilon) = \sum_{\alpha, \beta}s_\alpha t_\beta(\alpha, \beta) \leq 0$ なので $\varepsilon = 0$ 。すると $0 = (\gamma, \varepsilon) = \sum s_\alpha(\gamma, \alpha)$ で各項は正だから $s_\alpha$ は存在しない。同様に $t_\beta$ も存在しない。

(a) と $\Phi = \Phi^+(\gamma) \sqcup (-\Phi^+(\gamma))$ より $\Delta(\gamma)$ は $\Phi$ を、したがって $E$ を張り、(c) より基底である。よって $\Delta(\gamma)$ は単純ルート系である。 $\square$

例 4.19 (1) $A_2$ ： $\Delta = \lbrace \alpha_1 = \varepsilon_1 - \varepsilon_2,\ \alpha_2 = \varepsilon_2 - \varepsilon_3 \rbrace$ 、正ルートは $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_1 + \alpha_2$ 。(2) $B_2$ ： $\Delta = \lbrace \alpha_1 = e_1 - e_2 \text{（長）},\ \alpha_2 = e_2 \text{（短）} \rbrace$ 、正ルートは $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_1 + \alpha_2 = e_1, \alpha_1 + 2\alpha_2 = e_1 + e_2$ 。(3) $G_2$ ： $\alpha_1 = \varepsilon_1 - \varepsilon_2$ （短）, $\alpha_2 = -2\varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3$ （長）とすると、正ルートは

\alpha_1, \quad \alpha_2, \quad \alpha_1 + \alpha_2 = \varepsilon_3 - \varepsilon_1, \quad 2\alpha_1 + \alpha_2 = \varepsilon_3 - \varepsilon_2, \quad 3\alpha_1 + \alpha_2 = \varepsilon_1 - 2\varepsilon_2 + \varepsilon_3, \quad 3\alpha_1 + 2\alpha_2 = -\varepsilon_1 - \varepsilon_2 + 2\varepsilon_3

の 6 個である。

補題 4.20 $\alpha \in \Delta$ なら、 $s_\alpha$ は $\Phi^+ \setminus \lbrace \alpha \rbrace$ の置換を引き起こす。したがって $\rho = \frac{1}{2}\sum_{\beta \in \Phi^+}\beta$ について $s_\alpha\rho = \rho - \alpha$ 、すなわち $\langle \rho, \alpha^\vee \rangle = 1$ である。

証明. $\beta \in \Phi^+ \setminus \lbrace \alpha \rbrace$ は (R2) より $\alpha$ の定数倍でないので、 $\beta = \sum_\gamma k_\gamma\gamma$ で $\gamma \neq \alpha$ なる $k_\gamma > 0$ がある。 $s_\alpha\beta = \beta - \langle \beta, \alpha^\vee \rangle\alpha$ の $\gamma$ の係数は $k_\gamma > 0$ のままなので $s_\alpha\beta \in \Phi^+$ で、 $s_\alpha\beta \neq \alpha$ 。 $s_\alpha$ は単射なので置換である。 $\rho = \frac{1}{2}\alpha + \frac{1}{2}\sum_{\beta \in \Phi^+ \setminus \lbrace \alpha \rbrace}\beta$ に $s_\alpha$ を施せば $s_\alpha\rho = -\frac{1}{2}\alpha + (\rho - \frac{1}{2}\alpha) = \rho - \alpha$ 。 $\square$

$E \setminus \bigcup_{\alpha \in \Phi}P_\alpha$ の連結成分をワイル領域 (Weyl chamber) という。単純ルート系 $\Delta$ に対し $C(\Delta) = \lbrace \lambda \mid (\lambda, \alpha) > 0 \ (\forall \alpha \in \Delta) \rbrace$ を基本領域という。

定理 4.21（ワイル群の性質） $\Delta$ を単純ルート系とする。

$W$ は単純鏡映 $s_\alpha$ ( $\alpha \in \Delta$ ) で生成される。

$W$ は単純ルート系全体（同じことだがワイル領域全体）に単純推移的に作用する。

任意のルートは、ある単純ルートの $W$ による像である。特に $\Phi = W\Delta$ 。

（主張のみ。証明は補題 4.20 を基に、Humphreys の本の §10.3 にある。）

4.7 カルタン行列とディンキン図形

定義 4.22（カルタン行列, Cartan matrix）単純ルート系 $\Delta = \lbrace \alpha_1, \dots, \alpha_\ell \rbrace$ に対し、 $\ell \times \ell$ 行列 $C = (\langle \alpha_i, \alpha_j^\vee \rangle)_{i,j}$ をカルタン行列という。

対角成分は 2、非対角成分は定理 4.18 の証明 (b) より $0, -1, -2, -3$ のいずれかである。

注意

カルタン行列には転置の流儀の違いがある。本書は Humphreys と同じく $(i, j)$ 成分を $\langle \alpha_i, \alpha_j^\vee \rangle = 2(\alpha_i, \alpha_j)/(\alpha_j, \alpha_j)$ とする。 $\langle \alpha_j, \alpha_i^\vee \rangle$ を $(i, j)$ 成分とする本（例えば Kac の本）では転置行列になる。

例 4.23 例 4.19 の単純ルート系について

A_2\colon \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad B_2\colon \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad G_2\colon \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}

$B_2$ では $(\alpha_1, \alpha_1) = 2$ , $(\alpha_2, \alpha_2) = 1$ , $(\alpha_1, \alpha_2) = -1$ から $\langle \alpha_1, \alpha_2^\vee \rangle = -2$ , $\langle \alpha_2, \alpha_1^\vee \rangle = -1$ 。 $G_2$ では $(\alpha_1, \alpha_1) = 2$ , $(\alpha_2, \alpha_2) = 6$ , $(\alpha_1, \alpha_2) = -3$ から $\langle \alpha_1, \alpha_2^\vee \rangle = -1$ , $\langle \alpha_2, \alpha_1^\vee \rangle = -3$ 。 $A_1 \times A_1$ は単位行列の 2 倍である。

カルタン行列はルート系を同型を除いて決定する（主張のみ。Humphreys §11.1）。これを図で表したものが次である。

定義 4.24（ディンキン図形, Dynkin diagram）単純ルートを頂点とし、 $\alpha_i$ と $\alpha_j$ ( $i \neq j$ ) を $\langle \alpha_i, \alpha_j^\vee \rangle\langle \alpha_j, \alpha_i^\vee \rangle$ 本（ $0, 1, 2, 3$ 本）の辺で結ぶ。2 本または 3 本で結ばれた 2 頂点は長さが異なり、短いほうを向く矢印を辺につける。これをディンキン図形という。

ルート系が既約であることと、ディンキン図形が連結であることは同値である。

4.8 分類定理

定理 4.25（既約ルート系の分類）既約ルート系のディンキン図形は、次のいずれか一つと同型である。
A_n (n>=1):  o---o---o-- ... --o---o

B_n (n>=2):  o---o---o-- ... --o=>=o

C_n (n>=3):  o---o---o-- ... --o=<=o

                                 o
                                /
D_n (n>=4):  o---o-- ... ---o
                                \
                                 o

                     o
                     |
E_6:         o---o---o---o---o

                     o
                     |
E_7:         o---o---o---o---o---o

                     o
                     |
E_8:         o---o---o---o---o---o---o

F_4:         o---o=>=o---o

G_2:         o=<=o   (3 本の辺)
各型の頂点の数が階数であり（ $A_n, B_n, C_n, D_n$ は $n$ 、 $E_6, E_7, E_8, F_4, G_2$ は添字の数）、矢印は短いルートを向く。逆に、これらの図形はすべて既約ルート系から生じる。

証明の方針. 単純ルートを単位ベクトル $e_i = \alpha_i/\lVert \alpha_i \rVert$ に正規化すると、 $e_1, \dots, e_\ell$ は一次独立で、 $(e_i, e_j) \in \lbrace 0, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \rbrace$ ( $i \neq j$ ) を満たす（命題 4.14）。このような「許容系」について、 $\lVert \sum c_ie_i \rVert^2 > 0$ という正定値性だけから次が順に示される：(1) 図形に閉路はない。(2) 各頂点から出る辺の本数（多重度込み）は 3 以下。特に 3 重辺をもつ連結図形は $G_2$ だけ。(3) 単純な鎖は 1 点に縮めても許容系である。(4) 2 重辺は高々 1 本、分岐点も高々 1 つで、両者は共存しない。(5) 鎖の長さに関する不等式（2 重辺の場合 $(p-1)(q-1) < 2$ 、分岐の場合 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} > 1$ ）を解くと上の一覧を得る。存在は、古典型は 4.9 節で具体的に、例外型は個別に構成する。詳細は Humphreys の本の §11.4, §12.1 を参照。 $\square$

定理 4.26（複素単純リー環の分類） $\mathbb{C}$ 上の半単純リー環の同型類と、ルート系の同型類は一対一に対応する。この対応で単純リー環は既約ルート系に対応する。（主張のみ。単射性は共役定理と「 $L$ はルート系から生成元と関係式で復元できる」こと（セールの定理）、全射性はセールの定理による構成から従う。Humphreys の本の §14, §18を参照。）

型	リー環	次元	ルートの個数	$\lvert W \rvert$
$A_n$	$\mathfrak{sl}_{n+1}$	$n(n+2)$	$n(n+1)$	$(n+1)!$
$B_n$	$\mathfrak{so}_{2n+1}$	$n(2n+1)$	$2n^2$	$2^nn!$
$C_n$	$\mathfrak{sp}_{2n}$	$n(2n+1)$	$2n^2$	$2^nn!$
$D_n$	$\mathfrak{so}_{2n}$	$n(2n-1)$	$2n(n-1)$	$2^{n-1}n!$
$E_6$	例外型	$78$	$72$	$51840$
$E_7$	例外型	$133$	$126$	$2903040$
$E_8$	例外型	$248$	$240$	$696729600$
$F_4$	例外型	$52$	$48$	$1152$
$G_2$	例外型	$14$	$12$	$12$

次元はどの行でも「階数＋ルートの個数」になっている（ $\dim L = \dim\mathfrak{h} + \lvert \Phi \rvert$ ）。型の添字の制限は低階数の同型 $A_1 = B_1 = C_1$ （ $\mathfrak{sl}_2 \cong \mathfrak{so}_3 \cong \mathfrak{sp}_2$ ）、 $B_2 = C_2$ （ $\mathfrak{so}_5 \cong \mathfrak{sp}_4$ ）、 $A_3 = D_3$ （ $\mathfrak{sl}_4 \cong \mathfrak{so}_6$ ）、 $D_2 = A_1 \times A_1$ （ $\mathfrak{so}_4 \cong \mathfrak{sl}_2 \times \mathfrak{sl}_2$ ）による重複を避けるためである。

4.9 古典型リー環のルート系

以下 $\mathbb{R}^n$ の標準内積で $(\varepsilon_i, \varepsilon_j) = \delta_{ij}$ とする。既約ルート系では $W$ -不変な内積は定数倍を除いて一意なので、キリング形式から来る内積と比例する。 $\mathfrak{h}$ はいずれも対角行列からなるカルタン部分環で、 $\varepsilon_i$ は対角成分を取り出す線形形式である。

$A_n$ （ $\mathfrak{sl}_{n+1}$ ）：例 4.10 と同様に、ルートは $\varepsilon_i - \varepsilon_j$ ( $1 \leq i \neq j \leq n+1$ )、ルートベクトルは $E_{ij}$ 。単純ルートは $\alpha_i = \varepsilon_i - \varepsilon_{i+1}$ ( $1 \leq i \leq n$ )、正ルートは $\varepsilon_i - \varepsilon_j$ ( $i < j$ )。ワイル群は $\varepsilon_i$ の添字の置換 $\mathfrak{S}_{n+1}$ で、 $s_{\varepsilon_i - \varepsilon_j}$ は互換 $(i\ j)$ である。

$C_n$ （ $\mathfrak{sp}_{2n}$ ）：問題 2.1 より $\mathfrak{sp}_{2n} = \lbrace X \mid {}^tXJ + JX = 0 \rbrace$ の元は

X = \begin{pmatrix} A & B \\ C & -{}^tA \end{pmatrix} \qquad ({}^tB = B,\ {}^tC = C)

の形である。 $\mathfrak{h} = \lbrace h = \operatorname{diag}(a_1, \dots, a_n, -a_1, \dots, -a_n) \rbrace$ とし、 $\varepsilon_i(h) = a_i$ とする。 $D = \operatorname{diag}(a_1, \dots, a_n)$ とおくと、右上のブロックが $B$ で他が 0 の行列 $X_B$ について $[h, X_B] = X_{DB + BD}$ なので、 $B = E_{ij} + E_{ji}$ ( $i \neq j$ ) はルート $\varepsilon_i + \varepsilon_j$ 、 $B = E_{ii}$ はルート $2\varepsilon_i$ を与える。左下のブロックはその符号を変えたもの、対角ブロック $\operatorname{diag}(E_{ij}, -E_{ji})$ はルート $\varepsilon_i - \varepsilon_j$ を与える。まとめて

\Phi(C_n) = \lbrace \pm\varepsilon_i \pm \varepsilon_j \ (i < j),\ \pm 2\varepsilon_i \rbrace, \qquad \Delta = \lbrace \varepsilon_1 - \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_{n-1} - \varepsilon_n,\ 2\varepsilon_n \rbrace

ルートの個数は $4\binom{n}{2} + 2n = 2n^2$ で、 $\dim\mathfrak{sp}_{2n} = n + 2n^2$ と合う。

$D_n$ （ $\mathfrak{so}_{2n}$ ）： $\mathbb{C}$ 上では非退化対称双線形形式はすべて同値なので、 $\mathfrak{so}_{2n}$ を

S = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ I_n & 0 \end{pmatrix}, \qquad \mathfrak{so}_{2n} = \lbrace X \mid {}^tXS + SX = 0 \rbrace = \left\lbrace \begin{pmatrix} A & B \\ C & -{}^tA \end{pmatrix} \ \middle\vert\ {}^tB = -B,\ {}^tC = -C \right\rbrace

として実現してよい。上と同じ計算で $B = E_{ij} - E_{ji}$ ( $i < j$ ) がルート $\varepsilon_i + \varepsilon_j$ を与える（交代行列なので $2\varepsilon_i$ は現れない）。

\Phi(D_n) = \lbrace \pm\varepsilon_i \pm \varepsilon_j \ (i < j) \rbrace, \qquad \Delta = \lbrace \varepsilon_1 - \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_{n-1} - \varepsilon_n,\ \varepsilon_{n-1} + \varepsilon_n \rbrace

ルートの個数は $2n(n-1)$ で、 $\dim\mathfrak{so}_{2n} = n + 2n(n-1) = n(2n-1)$ 。 $\varepsilon_{n-2} - \varepsilon_{n-1}$ が $\varepsilon_{n-1} - \varepsilon_n$ とも $\varepsilon_{n-1} + \varepsilon_n$ とも角 $2\pi/3$ をなし、後二者は直交するので、ディンキン図形は分岐をもつ。

$B_n$ （ $\mathfrak{so}_{2n+1}$ ）：形式を $1 \oplus S$ にとると、 $D_n$ のルートに加えて、1 行目・1 列目の成分から $\pm\varepsilon_i$ が現れる。

\Phi(B_n) = \lbrace \pm\varepsilon_i \pm \varepsilon_j \ (i < j),\ \pm\varepsilon_i \rbrace, \qquad \Delta = \lbrace \varepsilon_1 - \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_{n-1} - \varepsilon_n,\ \varepsilon_n \rbrace

$B_n$ と $C_n$ は短いルートと長いルートの役割が入れ替わった関係（互いの双対ルート系 $\Phi^\vee = \lbrace \alpha^\vee \rbrace$ ）にある。実際 $(\pm\varepsilon_i)^\vee = \pm 2\varepsilon_i$ 、 $(\pm\varepsilon_i \pm \varepsilon_j)^\vee = \pm\varepsilon_i \pm \varepsilon_j$ 。カルタン行列も互いに転置である。ワイル群はどちらも符号つき置換（ $\varepsilon_i \mapsto \pm\varepsilon_{\sigma(i)}$ ）の群で位数 $2^nn!$ 、 $D_n$ のワイル群はそのうち符号の反転が偶数個のもので位数 $2^{n-1}n!$ である。

まとめ

$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ の既約表現は各次元にちょうど一つ $V(m) \cong \operatorname{Sym}^m\mathbb{C}^2$ で、ウェイトは $m, m-2, \dots, -m$ 。有限次元表現では $H$ は整数固有値で対角化される。
半単純リー環 $L$ のカルタン部分環 $\mathfrak{h}$ （極大トーラス的部分環）は可換で $C_L(\mathfrak{h}) = \mathfrak{h}$ 。 $L = \mathfrak{h} \oplus \bigoplus_{\alpha \in \Phi}L_\alpha$ 。
各ルート $\alpha$ に $\mathfrak{sl}_2$ -三つ組 $(x_\alpha, h_\alpha, y_\alpha)$ があり、 $\mathfrak{sl}_2$ の表現論から $\dim L_\alpha = 1$ 、 $\beta(h_\alpha) \in \mathbb{Z}$ 、 $\alpha$ -列の連続性などが従う。
ルートはユークリッド空間のルート系をなす。2 ルートの角と長さの比は 7 通りしかない。
単純ルート系が存在し（正則元 $\gamma$ による構成）、ワイル群は単純鏡映で生成される。
カルタン行列・ディンキン図形がルート系を決め、既約ルート系は $A_n, B_n, C_n, D_n, E_{6,7,8}, F_4, G_2$ で尽きる。これが複素単純リー環の分類を与える。
古典型リー環のルートは $\pm\varepsilon_i \pm \varepsilon_j$ などの形で具体的に書ける。

演習問題

問題 4.1 ★ $V(2)$ と $V(1) \otimes V(2)$ のウェイトを求め、系 4.4 を用いて $V(1) \otimes V(2)$ を既約分解せよ。

解答

$V(2)$ のウェイトは $2, 0, -2$ 。テンソル積 $v \otimes w$ のウェイトはそれぞれのウェイトの和（ $H(v \otimes w) = Hv \otimes w + v \otimes Hw$ ）なので、 $V(1) \otimes V(2)$ のウェイトは $\pm 1 + \lbrace 2, 0, -2 \rbrace$ 、すなわち $3, 1, 1, -1, -1, -3$ 。 $\dim V_0 + \dim V_1 = 0 + 2 = 2$ なので既約成分は 2 個。最高ウェイト 3 の成分 $V(3)$ （ウェイト $3, 1, -1, -3$ ）を除くと $1, -1$ が残るので $V(1) \otimes V(2) \cong V(3) \oplus V(1)$ 。

問題 4.2 ★ $\mathfrak{sl}_3$ で $[E_{12}, E_{23}] = E_{13}$ , $[E_{12}, E_{13}] = 0$ を確かめ、定理 4.11 の 8 と整合することを説明せよ。また単純ルート $\alpha_1 = \varepsilon_1 - \varepsilon_2$ , $\alpha_2 = \varepsilon_2 - \varepsilon_3$ に関するカルタン行列を計算せよ。

解答

$E_{12}E_{23} = E_{13}$ , $E_{23}E_{12} = 0$ より $[E_{12}, E_{23}] = E_{13}$ 。 $E_{12}E_{13} = 0 = E_{13}E_{12}$ より $[E_{12}, E_{13}] = 0$ 。これは $\alpha_1 + \alpha_2 = \varepsilon_1 - \varepsilon_3 \in \Phi$ で $[L_{\alpha_1}, L_{\alpha_2}] = L_{\alpha_1 + \alpha_2}$ となり、 $2\alpha_1 + \alpha_2 \notin \Phi$ なので $[L_{\alpha_1}, L_{\alpha_1+\alpha_2}] = 0$ となることに対応する。 $h_{\alpha_1} = E_{11} - E_{22}$ , $h_{\alpha_2} = E_{22} - E_{33}$ で、 $\langle \alpha_i, \alpha_j^\vee \rangle = \alpha_i(h_{\alpha_j})$ を計算すると $\alpha_1(h_{\alpha_1}) = 2$ , $\alpha_1(h_{\alpha_2}) = -1$ , $\alpha_2(h_{\alpha_1}) = -1$ , $\alpha_2(h_{\alpha_2}) = 2$ 。カルタン行列は対角成分 2、非対角成分 $-1$ である。

問題 4.3 ★★ $A_2$ のワイル群が $\mathfrak{S}_3$ と、 $B_2$ のワイル群が位数 8 の二面体群と同型であることを示せ。

解答

$A_2$ ： $s_{\varepsilon_i - \varepsilon_j}$ は $\mathbb{R}^3$ の座標の互換 $(i\ j)$ を平面 $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ に制限したものである（ $\lambda - (\lambda, \varepsilon_i - \varepsilon_j)(\varepsilon_i - \varepsilon_j)$ は $i$ 成分と $j$ 成分を入れ替える）。互換は $\mathfrak{S}_3$ を生成し、平面への制限は忠実なので $W \cong \mathfrak{S}_3$ 。 $B_2$ ： $s_{e_1}$ , $s_{e_2}$ は座標の符号の反転、 $s_{e_1 - e_2}$ は座標の交換、 $s_{e_1 + e_2}$ は $(x, y) \mapsto (-y, -x)$ である。これらが生成する群は $\lbrace (x, y) \mapsto (\pm x, \pm y), (\pm y, \pm x) \rbrace$ の 8 元で、正方形 $\lbrace \pm e_1 \pm e_2 \rbrace$ を保つ直交変換全体、すなわち位数 8 の二面体群である。

問題 4.4 ★★ $\alpha, \beta \in \Phi$ , $\beta \neq \pm\alpha$ とする。 $\alpha$ -列 $\beta - r\alpha, \dots, \beta + q\alpha$ の長さ $r + q + 1$ は 4 以下であることを示せ。 $G_2$ で長さ 4 の列の例を挙げよ。

解答

$\gamma = \beta - r\alpha$ とおくと、 $\gamma$ の $\alpha$ -列は $\gamma, \gamma + \alpha, \dots, \gamma + (r+q)\alpha$ で、定理 4.11 の 8 を $\gamma$ に適用すると $\langle \gamma, \alpha^\vee \rangle = 0 - (r + q) = -(r + q)$ 。 $\gamma \neq \pm\alpha$ なので命題 4.14 より $\lvert \langle \gamma, \alpha^\vee \rangle \rvert \leq 3$ 、よって $r + q \leq 3$ 。 $G_2$ で $\alpha = \alpha_1$ （短）、 $\beta = \alpha_2$ （長）とすると、 $\alpha_2, \alpha_2 + \alpha_1, \alpha_2 + 2\alpha_1, \alpha_2 + 3\alpha_1$ がルートで（例 4.19）、 $\alpha_2 - \alpha_1$ はルートでない（単純ルートの差）ので、長さ 4 の列である。

問題 4.5 ★★ $D_3$ の単純ルート系 $\lbrace \varepsilon_1 - \varepsilon_2, \varepsilon_2 - \varepsilon_3, \varepsilon_2 + \varepsilon_3 \rbrace$ のディンキン図形を求め、 $D_3 \cong A_3$ を確かめよ。また $B_2$ と $C_2$ が同型なルート系であることを示せ。

解答

$\beta_1 = \varepsilon_1 - \varepsilon_2$ , $\beta_2 = \varepsilon_2 - \varepsilon_3$ , $\beta_3 = \varepsilon_2 + \varepsilon_3$ について $(\beta_1, \beta_2) = -1$ , $(\beta_1, \beta_3) = -1$ , $(\beta_2, \beta_3) = 0$ で、長さはすべて $\sqrt{2}$ 。よって図形は $\beta_2 - \beta_1 - \beta_3$ の鎖で $A_3$ と同じ（ルートの個数も $2 \cdot 3 \cdot 2 = 12 = 3 \cdot 4$ で一致）。 $B_2 = \lbrace \pm e_1, \pm e_2, \pm e_1 \pm e_2 \rbrace$ を 45° 回転して $\sqrt{2}$ 倍すると、 $\pm e_1 \mapsto \pm(e_1 + e_2)$ , $\pm e_2 \mapsto \pm(-e_1 + e_2)$ , $\pm(e_1 + e_2) \mapsto \pm 2e_2$ , $\pm(e_1 - e_2) \mapsto \pm 2e_1$ となり、 $C_2 = \lbrace \pm e_1 \pm e_2, \pm 2e_i \rbrace$ に一致する。相似変換は $\langle \beta, \alpha^\vee \rangle$ を保つので同型である。

問題 4.6 ★★★ 3 つの頂点が互いに 1 本の辺で結ばれた三角形の図形、および 1 つの頂点に 4 つの頂点が 1 本ずつの辺で結ばれた図形は、どちらもルート系のディンキン図形にならないことを示せ。

解答

単純ルートを単位ベクトル $e_i$ に正規化すると、1 本の辺で結ばれた頂点について $(e_i, e_j) = -\frac{1}{2}$ 、結ばれていなければ 0 である（命題 4.14 で角 $2\pi/3$ または $\pi/2$ ）。三角形なら $\lVert e_1 + e_2 + e_3 \rVert^2 = 3 + 2 \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{2}) = 0$ となり、 $e_1, e_2, e_3$ の一次独立性（単純ルート系は基底）に反する。中心 $e_0$ に $e_1, \dots, e_4$ が結ばれた図形では $v = 2e_0 + e_1 + e_2 + e_3 + e_4$ について $\lVert v \rVert^2 = 4 + 4 + 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 0$ となり、同様に矛盾する。これらは「アフィン・ディンキン図形」 $\widetilde{A}_2$ , $\widetilde{D}_4$ であり、二次形式が半正定値（正定値でない）になる典型例である。

問題 4.7 ★★ $\mathfrak{sl}_2$ の有限次元表現 $V$ で、 $E$ と $F$ が冪零に作用することを示せ。また $V(m)$ 上で $e^{E}e^{-F}e^{E}$ が $V_k$ を $V_{-k}$ に写すことを $m = 1$ で確かめよ（これがワイル群の作用 $\dim V_k = \dim V_{-k}$ の群論的な起源である）。

解答

$E$ はウェイトを 2 ずつ上げ、有限次元表現のウェイトは有限個なので、十分大きな $k$ で $E^k = 0$ 。 $F$ も同様。 $m = 1$ では $E$ , $F$ は行列単位 $E_{12}$ , $E_{21}$ そのもので、 $e^E = I + E_{12}$ , $e^{-F} = I - E_{21}$ 。積を計算すると

e^Ee^{-F}e^E = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

であり、 $e_1 \in V_1$ を $-e_2 \in V_{-1}$ に、 $e_2 \in V_{-1}$ を $e_1 \in V_1$ に写す。