リー群とリー環

この章の目標

• 古典群 $\operatorname{GL}_n$, $\operatorname{SL}_n$, $O(n)$, $SO(n)$, $U(n)$, $SU(n)$, $\operatorname{Sp}$ を定義し、コンパクト性・連結性を調べられる
• 行列の指数写像と対数の性質を証明し、1 径数部分群が指数写像で与えられることを示せる
• 行列リー群のリー環を定義し、それが交換子で閉じることを証明し、古典群のリー環を計算できる
• リー群の準同型の微分がリー環の準同型になることを証明できる
• $SU(2) \to SO(3)$ が二重被覆であることを証明し、単連結性と準同型の持ち上げの関係を説明できる

前提：線形代数 第6章・第7章（ジョルダン標準形・ユニタリ行列）、微分積分 第8章（逆関数定理）、位相 第5章・第6章、多様体 第2章〜第4章、位相幾何学 第3章（被覆空間）

回転群 $SO(3)$ のような「連続的な対称性」の群は、有限群と違って元を数え上げることができない。しかし単位元の近くの元は $e^{tX}$ の形に書け、群の構造は「無限小の変換」$X$ のなす線形空間――リー環――とその上の交換子 $[X, Y] = XY - YX$ でほぼ決まってしまう。非線形な対象（群）を線形な対象（リー環）で調べるというこの発想は、微分によって関数を一次近似で調べるのと同じ精神である。この章では、行列の群に限って、この対応の基礎を証明する。

2.1 行列リー群

定義 2.1（行列リー群, matrix Lie group）$\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ の部分群 $G$ で、$\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ の閉集合であるものを行列リー群という。すなわち、$g_k \in G$ が $g \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ に収束すれば $g \in G$ である。

例 2.2（古典群）以下はすべて行列リー群である（条件が連続関数の等式で書けるので閉集合）。${}^t g$ は転置、$g^{\ast} = {}^t\overline{g}$ は随伴とし、

とおく。

ほかに、対角成分が 1 の上三角行列の群（$n = 3$ のときハイゼンベルク群）や、トーラス $T^n = \lbrace \operatorname{diag}(e^{i\theta_1}, \dots, e^{i\theta_n}) \rbrace$ も行列リー群である。$\operatorname{GL}_n(\mathbb{Q})$ は閉でないので行列リー群ではない。

$O(n)$, $SO(n)$, $U(n)$, $SU(n)$, $\operatorname{Sp}(n)$ はコンパクトである。実際、$\operatorname{M}_n(\mathbb{C}) \cong \mathbb{C}^{n^2}$ の閉集合であり、各列が単位ベクトルなので有界である。一方 $\operatorname{GL}_n$ や $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ ($n \geq 2$) は有界でないのでコンパクトでない（$\operatorname{diag}(k, 1/k, 1, \dots, 1) \in \operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$）。

命題 2.3（連結性）$\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$, $U(n)$, $SU(n)$, $SO(n)$ は弧状連結である。$O(n)$ と $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ はちょうど 2 つの連結成分をもつ。

証明. $U(n)$：ユニタリ行列は $g = P\operatorname{diag}(e^{i\theta_1}, \dots, e^{i\theta_n})P^{-1}$（$P \in U(n)$）と対角化できる（線形代数 第7章）ので、$t \mapsto P\operatorname{diag}(e^{it\theta_1}, \dots, e^{it\theta_n})P^{-1}$ ($0 \leq t \leq 1$) が $I$ と $g$ を $U(n)$ 内で結ぶ。$SU(n)$ では $\det g = e^{i\sum\theta_j} = 1$ より $\sum\theta_j \in 2\pi\mathbb{Z}$ なので、$\theta_n$ を $\theta_n - \sum_j\theta_j$ に取り替えて $\sum\theta_j = 0$ としておけば、同じ道が $SU(n)$ 内にある。$SO(n)$：実直交行列は直交行列 $P$ で回転行列 $R(\theta_j)$ のブロックと $\pm 1$ の対角ブロックに標準化される。$\det = 1$ なら $-1$ は偶数個なので 2 つずつ組にして $R(\pi)$ とみなせ、各 $\theta_j$ を $t\theta_j$ に置き換えれば $I$ と結べる。$\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$：$g, h$ を与えたとき、$z$ の多項式 $\det((1-z)g + zh)$ は $z = 0$ で 0 でないので恒等的に 0 ではなく、零点は有限個である。$\mathbb{C}$ から有限個の点を除いた集合は弧状連結なので、$0$ と $1$ を零点を避ける道 $z(t)$ で結べば、$(1 - z(t))g + z(t)h$ が $g$ と $h$ を結ぶ。$O(n)$, $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$：$\det$ の符号は連続なので少なくとも 2 成分あり、$\det < 0$ の部分は $\operatorname{diag}(-1, 1, \dots, 1)$ を掛ければ $\det > 0$ の部分と同相である。$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ の $\det > 0$ の部分の連結性は、極分解 $g = k \cdot p$（$k \in SO(n)$, $p$ は正定値対称行列）と、正定値対称行列の全体が凸であることから従う。$\square$

例 2.4（$SU(2)$ と 3 次元球面）$g \in SU(2)$ の第 1 列を $(a, b)$ とすると、第 2 列はそれに直交する単位ベクトルで $\det g = 1$ となるものだから

であり、$SU(2)$ は 3 次元球面 $S^3 \subset \mathbb{C}^2 = \mathbb{R}^4$ と同相である。特に $SU(2)$ はコンパクトかつ単連結である（位相幾何学 第1章）。

2.2 行列の指数写像と対数

$\operatorname{M}_n(\mathbb{C})$ に作用素ノルム $\lVert X \rVert$ を入れる。$\lVert XY \rVert \leq \lVert X \rVert\lVert Y \rVert$ なので、級数

は $\operatorname{M}_n(\mathbb{C})$ 全体で絶対収束し、有界集合上で一様収束する。

命題 2.5 $X, Y \in \operatorname{M}_n(\mathbb{C})$ とする。

1. $XY = YX$ ならば $e^{X+Y} = e^Xe^Y$。特に $e^X$ は可逆で $(e^X)^{-1} = e^{-X}$。
2. $g \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ に対し $e^{gXg^{-1}} = ge^Xg^{-1}$。また ${}^t(e^X) = e^{{}^tX}$, $(e^X)^{\ast} = e^{X^{\ast}}$。
3. $\det e^X = e^{\operatorname{tr}X}$。
4. $t \mapsto e^{tX}$ は $C^\infty$ 級で $\frac{d}{dt}e^{tX} = Xe^{tX} = e^{tX}X$。

証明. 1：絶対収束する級数のコーシー積と二項定理（$X, Y$ が可換なので使える）による。2：$(gXg^{-1})^k = gX^kg^{-1}$ と、転置・随伴が連続であることから。3：$X = PTP^{-1}$（$T$ は対角成分 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ の上三角行列）と三角化すると、$e^T$ は対角成分 $e^{\lambda_i}$ の上三角行列なので $\det e^X = \det e^T = e^{\sum\lambda_i} = e^{\operatorname{tr}X}$。4：べき級数の項別微分。$\square$

例 2.6 次の 2 つの行列を考える。

$J^2 = -I$ なので、偶数次と奇数次の項をまとめて

となる。冪零行列 $N$ については $N^2 = 0$ より $e^{tN} = I + tN$。

単位行列の近くでは $\log$ が定義できる：$\lVert g - I \rVert < 1$ に対し

命題 2.7 (1) $\lVert g - I \rVert < 1$ ならば $e^{\log g} = g$。(2) $\lVert X \rVert < \log 2$ ならば $\lVert e^X - I \rVert < 1$ かつ $\log e^X = X$。(3) $\lVert A \rVert \leq 1/2$ ならば $\lVert \log(I + A) - A \rVert \leq 2\lVert A \rVert^2$。

したがって $\exp$ は $0$ の近傍 $\lbrace \lVert X \rVert < \log 2 \rbrace$ から $I$ の開近傍への同相写像であり、逆写像は $\log$ である。

証明. (1) 複素数の恒等式 $e^{\log(1+w)} = 1 + w$ ($\lvert w \rvert < 1$) は収束べき級数の恒等式である。$g$ が対角化可能 $g = PDP^{-1}$ なら、$D$ の対角成分 $\lambda$ は $\lvert \lambda - 1 \rvert \leq \lVert g - I \rVert < 1$ を満たし、$\log g = P(\log D)P^{-1}$ なので主張はスカラーの恒等式に帰着する。対角化可能行列（例えば固有値が相異なる行列）は稠密で、両辺は $\lbrace \lVert g - I \rVert < 1 \rbrace$ 上連続だから、一般の $g$ でも成り立つ。(2) $\lVert e^X - I \rVert \leq \sum_{k \geq 1}\lVert X \rVert^k/k! = e^{\lVert X \rVert} - 1 < 1$。あとは (1) と同様に、$\lvert z \rvert < \log 2$ での恒等式 $\log e^z = z$ と稠密性から従う。(3) $\lVert \log(I+A) - A \rVert \leq \sum_{m \geq 2}\lVert A \rVert^m = \lVert A \rVert^2/(1 - \lVert A \rVert) \leq 2\lVert A \rVert^2$。最後の主張：$U = \lbrace \lVert X \rVert < \log 2 \rbrace$ とすると (2) より $\exp$ は $U$ 上単射で、$\exp(U) = \lbrace g \mid \lVert g - I \rVert < 1,\ \lVert \log g \rVert < \log 2 \rbrace$ は開集合、逆写像は連続な $\log$ である。$\square$

例 2.8（指数写像は全射とは限らない）$g = -I + N \in \operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$（$N$ は例 2.6 の冪零行列）は、$\operatorname{tr}X = 0$ となる実行列 $X$ の $e^X$ として書けない。実際、そのような $X$ の固有値は $\pm\lambda$ で $\lambda^2 = -\det X \in \mathbb{R}$。(i) $\lambda \in \mathbb{R} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ なら $e^X$ の固有値は $e^{\pm\lambda} > 0$ でトレースは正。(ii) $\lambda = i\theta$ ($\theta \neq 0$) なら $X$ は（複素的に）対角化可能で、$e^X$ は固有値 $e^{\pm i\theta}$ で対角化可能。トレースが $-2$ になるのは $e^{i\theta} = -1$ のときで、そのとき $e^X = -I$。(iii) $\lambda = 0$ なら $X^2 = 0$ で $e^X = I + X$、トレース 2。いずれの場合も「トレースが $-2$ で $-I$ でない」行列にはならない。

2.3 1 径数部分群

定義 2.9 連続な群準同型 $\varphi\colon \mathbb{R} \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ を 1 径数部分群 (one-parameter subgroup) という。

$\varphi(t) = e^{tX}$ は命題 2.5 の 1 より 1 径数部分群である。逆も成り立つ。

定理 2.10 任意の 1 径数部分群 $\varphi$ に対し、$\varphi(t) = e^{tX}$ ($t \in \mathbb{R}$) となる $X \in \operatorname{M}_n(\mathbb{C})$ がただ一つ存在する。

証明. $\varepsilon = \log 2$ とし、$B_r = \lbrace \lVert X \rVert < r \rbrace$ とおく。命題 2.7 より $\exp$ は $B_\varepsilon$ 上単射で、$\exp(B_{\varepsilon/2})$ は $I$ の開近傍である。$\varphi$ の連続性から、$\lvert t \rvert \leq t_0$ で $\varphi(t) \in \exp(B_{\varepsilon/2})$ となる $t_0 > 0$ がとれる。$Z \in B_{\varepsilon/2}$ を $\varphi(t_0) = e^Z$ となるようにとり、$W \in B_{\varepsilon/2}$ を $\varphi(t_0/2) = e^W$ となるようにとる。$e^{2W} = \varphi(t_0/2)^2 = \varphi(t_0) = e^Z$ で $2W, Z \in B_\varepsilon$ だから、単射性より $W = Z/2$。これを繰り返して $\varphi(t_0/2^k) = e^{Z/2^k}$、したがって整数 $m$ について $\varphi(mt_0/2^k) = e^{mZ/2^k}$ を得る。$mt_0/2^k$ の形の数は $\mathbb{R}$ で稠密なので、連続性から $\varphi(t) = e^{tZ/t_0}$ がすべての $t$ で成り立つ。$X = Z/t_0$ とすればよい。一意性は $X = \varphi'(0)$ から従う。$\square$

2.4 行列リー群のリー環

定義 2.11（リー環, Lie algebra）行列リー群 $G$ に対し

$$\mathfrak{g} = \operatorname{Lie}(G) = \lbrace X \in \operatorname{M}_n(\mathbb{C}) \mid \text{すべての } t \in \mathbb{R} \text{ について } e^{tX} \in G \rbrace$$

を $G$ のリー環という。$X, Y$ の交換子 (commutator, bracket) を $[X, Y] = XY - YX$ で定める。

補題 2.12（リーの積公式, Lie product formula）$X, Y \in \operatorname{M}_n(\mathbb{C})$ に対し

$$e^{X+Y} = \lim_{m \to \infty}\bigl(e^{X/m}e^{Y/m}\bigr)^m$$

証明. $e^{X/m}e^{Y/m} = I + \frac{X+Y}{m} + R_m$、$\lVert R_m \rVert \leq C/m^2$ と書ける。$m$ が大きければ命題 2.7 (3) より $\log(e^{X/m}e^{Y/m}) = \frac{X+Y}{m} + E_m$、$\lVert E_m \rVert \leq C'/m^2$ となる。よって $(e^{X/m}e^{Y/m})^m = \exp(m\log(e^{X/m}e^{Y/m})) = \exp(X + Y + mE_m)$ であり、$mE_m \to 0$ と $\exp$ の連続性から主張を得る。$\square$

定理 2.13 $G$ を行列リー群、$\mathfrak{g}$ をそのリー環とする。

1. $g \in G$, $X \in \mathfrak{g}$ ならば $gXg^{-1} \in \mathfrak{g}$。
2. $\mathfrak{g}$ は $\operatorname{M}_n(\mathbb{C})$ の実部分ベクトル空間である。
3. $X, Y \in \mathfrak{g}$ ならば $[X, Y] \in \mathfrak{g}$。

証明. 1：$e^{tgXg^{-1}} = ge^{tX}g^{-1} \in G$。2：$sX \in \mathfrak{g}$ ($s \in \mathbb{R}$) は定義から明らか。$X, Y \in \mathfrak{g}$ なら $(e^{tX/m}e^{tY/m})^m \in G$ で、補題 2.12 よりこれは $e^{t(X+Y)} \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ に収束する。$G$ は閉なので $e^{t(X+Y)} \in G$。3：1 より $e^{tX}Ye^{-tX} \in \mathfrak{g}$ で、$\mathfrak{g}$ は有限次元部分空間なので閉集合である。したがって

は $\mathfrak{g}$ の元の差分商の極限として $\mathfrak{g}$ に属する。$\square$

交換子は双線形・交代的で、ヤコビ恒等式 (Jacobi identity)

を満たす（展開すれば 12 項が打ち消し合う）。この 3 つの性質をもつ双線形演算つきのベクトル空間を抽象的にリー環と呼ぶ（第3章）。$\mathfrak{g}$ は複素行列を含んでいても実リー環であることに注意する。

例 2.14（古典群のリー環）$\mathfrak{g}$ の計算の典型は次のとおり。$O(n)$：$X$ が実交代行列 ${}^tX = -X$ なら ${}^t(e^{tX})e^{tX} = e^{-tX}e^{tX} = I$。逆に $e^{tX} \in O(n)$ ($\forall t$) なら、$X = \frac{d}{dt}e^{tX}\vert_{t=0}$ は実行列で、${}^t(e^{tX})e^{tX} = I$ を $t = 0$ で微分して ${}^tX + X = 0$。$\operatorname{SL}_n$：$\det e^{tX} = e^{t\operatorname{tr}X}$ がすべての $t$ で 1 であることと $\operatorname{tr}X = 0$ は同値。他も同様にして次の表を得る。

$O(n)$ と $SO(n)$ のリー環が等しいことからわかるように、リー環は単位元の連結成分しか見ていない。

例 2.15（3 つの 3 次元リー環）(1) $\mathfrak{so}(3)$ の基底

は $[L_1, L_2] = L_3$, $[L_2, L_3] = L_1$, $[L_3, L_1] = L_2$ を満たす（例えば $L_1L_2 = E_{21}$, $L_2L_1 = E_{12}$ より $[L_1, L_2] = E_{21} - E_{12} = L_3$）。$x = (x_1, x_2, x_3)$ に $L_x = \sum x_jL_j$ を対応させると $L_xv = x \times v$（外積）であり、$(\mathfrak{so}(3), [\ ,\ ]) \cong (\mathbb{R}^3, \times)$ となる。$e^{\theta L_u}$（$u$ は単位ベクトル）は軸 $u$ の周りの角 $\theta$ の回転である。

(2) パウリ行列

を使って $X_j = -\frac{i}{2}\sigma_j$ とおくと、$X_1, X_2, X_3$ は $\mathfrak{su}(2)$ の基底で、$[\sigma_1, \sigma_2] = 2i\sigma_3$ などから $[X_1, X_2] = X_3$（巡回的）となる。よって $X_j \mapsto L_j$ は同型 $\mathfrak{su}(2) \cong \mathfrak{so}(3)$ を与える。

(3) $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ の基底

は $[H, E] = 2E$, $[H, F] = -2F$, $[E, F] = H$ を満たす。この関係式は以後の章の主役である。$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ は $\mathfrak{su}(2)$ と同型でない：$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ では $Y \mapsto [H, Y]$ が実固有値 $2, 0, -2$ をもつが、$\mathfrak{su}(2) \cong (\mathbb{R}^3, \times)$ では $v \mapsto x \times v$ は交代行列なので、固有値は 0 と純虚数だけである。ただし複素化すると $\mathfrak{su}(2) \otimes \mathbb{C} \cong \mathfrak{sl}_2(\mathbb{R}) \otimes \mathbb{C} \cong \mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ となる（$\mathfrak{su}(2) + i\mathfrak{su}(2) = \mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$）。

2.5 準同型の微分

定理 2.16 $G, H$ を行列リー群、$\Phi\colon G \to H$ を連続な群準同型とする。このとき実線形写像 $\varphi\colon \mathfrak{g} \to \mathfrak{h}$ で、すべての $X \in \mathfrak{g}$ について $\Phi(e^X) = e^{\varphi(X)}$ となるものがただ一つ存在する。さらに

1. $\varphi(X) = \frac{d}{dt}\Phi(e^{tX})\vert_{t=0}$、
2. $\varphi(gXg^{-1}) = \Phi(g)\varphi(X)\Phi(g)^{-1}$ ($g \in G$)、
3. $\varphi([X, Y]) = [\varphi(X), \varphi(Y)]$。

$\varphi$ を $\Phi$ の微分といい、$d\Phi$ とも書く。

証明. $t \mapsto \Phi(e^{tX})$ は 1 径数部分群なので、定理 2.10 より $\Phi(e^{tX}) = e^{tZ}$ となる $Z$ がただ一つある。$e^{tZ} \in H$ ($\forall t$) より $Z \in \mathfrak{h}$。$\varphi(X) = Z$ と定める。一意性と 1 は明らか。$\varphi(sX) = s\varphi(X)$ は定義から従い、加法性は補題 2.12 と $\Phi$ の連続性から

となることによる。2：$e^{t\varphi(gXg^{-1})} = \Phi(ge^{tX}g^{-1}) = \Phi(g)e^{t\varphi(X)}\Phi(g)^{-1} = e^{t\Phi(g)\varphi(X)\Phi(g)^{-1}}$。3：$[X, Y] = \frac{d}{dt}e^{tX}Ye^{-tX}\vert_{t=0}$ で、$\varphi$ は線形（したがって連続）なので、2 を使って

$\square$

例 2.17 $\det\colon \operatorname{GL}_n(\mathbb{C}) \to \mathbb{C}^\times = \operatorname{GL}_1(\mathbb{C})$ の微分は $\operatorname{tr}$ である（$\det e^{tX} = e^{t\operatorname{tr}X}$）。3 から $\operatorname{tr}[X, Y] = 0$ が再確認できる。

2.6 随伴表現

$\mathfrak{g}$ の基底を固定すれば $\operatorname{GL}(\mathfrak{g})$ は実行列の群 $\operatorname{GL}_m(\mathbb{R})$ ($m = \dim\mathfrak{g}$) と同一視でき、そのリー環は $\mathfrak{gl}(\mathfrak{g}) = \operatorname{End}_{\mathbb{R}}(\mathfrak{g})$ である。

定義 2.18（随伴表現, adjoint representation）$g \in G$ に対し $\operatorname{Ad}_g(X) = gXg^{-1}$ とおくと、定理 2.13 より $\operatorname{Ad}_g \in \operatorname{GL}(\mathfrak{g})$ で、$\operatorname{Ad}\colon G \to \operatorname{GL}(\mathfrak{g})$ は連続準同型である。これを随伴表現という。$X \in \mathfrak{g}$ に対し $\operatorname{ad}_X(Y) = [X, Y]$ と定める。

命題 2.19 $d(\operatorname{Ad}) = \operatorname{ad}$、すなわち $\operatorname{Ad}(e^X) = e^{\operatorname{ad}_X}$ である。特に $\operatorname{ad}_{[X, Y]} = [\operatorname{ad}_X, \operatorname{ad}_Y]$ が成り立つ。

証明. 定理 2.16 の 1 より $d(\operatorname{Ad})(X)Y = \frac{d}{dt}e^{tX}Ye^{-tX}\vert_{t=0} = [X, Y]$。最後の等式は定理 2.16 の 3 である（これはヤコビ恒等式の言い換えでもある）。$\square$

2.7 閉部分群定理

行列リー群が多様体であること、すなわちリー群であることを示そう。鍵は「$G$ の単位元の近くの元は、すべて $\mathfrak{g}$ の元の指数写像で書ける」ことである。

定理 2.20（閉部分群定理, 行列群の場合）$G \subset \operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ を行列リー群、$\mathfrak{g}$ をそのリー環とする。$0$ の近傍 $A \subset \mathfrak{g}$ と $I$ の開近傍 $W' \subset \operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ で、$\exp\vert_A$ が $A$ から $\exp(A)$ への同相写像であり $G \cap W' = \exp(A) \cap W'$ となるものが存在する。したがって $G$ は $\operatorname{M}_n(\mathbb{C})$ の部分多様体（埋め込まれた部分多様体）であり、$\dim G = \dim_{\mathbb{R}}\mathfrak{g}$ のリー群である。

証明. $\operatorname{M}_n(\mathbb{C})$ を $2n^2$ 次元の実ベクトル空間とみて、補空間 $D$ をとり $\operatorname{M}_n(\mathbb{C}) = \mathfrak{g} \oplus D$ とする。

補題：$Y_k \in D \setminus \lbrace 0 \rbrace$, $Y_k \to 0$, $e^{Y_k} \in G$ となる列は存在しない。実際、そのような列があれば、部分列をとって $Y_k/\lVert Y_k \rVert \to Y \in D$, $\lVert Y \rVert = 1$ としてよい。$t \in \mathbb{R}$ に対し $m_k = \lfloor t/\lVert Y_k \rVert \rfloor$ とおくと $\lvert m_k\lVert Y_k \rVert - t \rvert \leq \lVert Y_k \rVert \to 0$ なので $m_kY_k \to tY$。$e^{m_kY_k} = (e^{Y_k})^{m_k} \in G$ で $G$ は閉だから $e^{tY} \in G$。よって $Y \in \mathfrak{g} \cap D = 0$ となり、$\lVert Y \rVert = 1$ に矛盾する。

$\Phi(X, Y) = e^Xe^Y$ ($X \in \mathfrak{g}$, $Y \in D$) の $(0,0)$ での微分は $(X, Y) \mapsto X + Y$ で全単射だから、逆関数定理より、$0$ を中心とする球 $A \subset \mathfrak{g}$, $B \subset D$ と $I$ の開近傍 $W$ があって $\Phi\colon A \times B \to W$ は微分同相である。$I$ の開近傍 $W' \subset W$ で $G \cap W' \subset \exp(A)$ となるものがあることを示す。そうでなければ、$g_k \in G$, $g_k \to I$, $g_k \notin \exp(A)$ となる列がとれる。$(X_k, Y_k) = \Phi^{-1}(g_k) \to (0, 0)$ とおくと、$g_k \notin \exp(A)$ より $Y_k \neq 0$ であり、$e^{Y_k} = e^{-X_k}g_k \in G$ となって補題に矛盾する。逆に $\exp(A) \subset G$ なので $G \cap W' = \exp(A) \cap W' = \Phi(A \times \lbrace 0 \rbrace) \cap W'$。これは座標 $\Phi^{-1}$ で線形部分空間 $\mathfrak{g} \times \lbrace 0 \rbrace$ の開集合に写るので、$G$ は $I$ の近くで $\dim\mathfrak{g}$ 次元の部分多様体である。$g \in G$ の近くでは、左移動 $h \mapsto gh$（$\operatorname{M}_n(\mathbb{C})$ の線形同型）で移せばよい。群演算は行列の積と逆行列の制限なので滑らかである。$\square$

系 2.21 $G$ が連結ならば、$G$ は $\exp(\mathfrak{g})$ で生成される。また連続準同型 $\Phi\colon G \to H$ は微分 $d\Phi$ で決まり、自動的に滑らかである。

証明. $\exp(\mathfrak{g})$ で生成される部分群 $G_0$ は、$I$ の $G$ における近傍 $G \cap W'$ を含む。よって各 $h \in G_0$ について $h(G \cap W') \subset G_0$ となり $G_0$ は $G$ の開集合である。開部分群の補集合は剰余類の和なので開であり、$G_0$ は閉でもある。$G$ は連結なので $G_0 = G$。後半：$\Phi(e^{X_1}\cdots e^{X_k}) = e^{d\Phi(X_1)}\cdots e^{d\Phi(X_k)}$ より $\Phi$ は $d\Phi$ で決まる。また $\Phi$ は単位元の近くで $\exp \circ\ d\Phi \circ \log$ と書けるので滑らかであり、左移動により至るところ滑らかである。$\square$