リー環の構造論

この章の目標

• 抽象的なリー環・イデアル・準同型・表現を扱い、$\mathfrak{sl}_2$ が単純であることを示せる
• 可解・冪零リー環を定義し、エンゲルの定理とリーの定理を（仮定に注意して）証明できる
• キリング形式を計算し、カルタンの判定法を使って可解性・半単純性を判定できる
• 半単純リー環が単純イデアルの直和に一意に分解することを証明できる
• カシミール元を用いてワイルの完全可約性定理を証明できる

前提：第2章、線形代数 第6章（ジョルダン標準形・三角化）、代数学 第4章（可解群）

第2章で、リー群はそのリー環によってほぼ決まることを見た。この章ではリー環を純代数的に調べる。群論との類比が道しるべになる。有限群が可解群と単純群から組み立てられるように、リー環も可解リー環と半単純リー環から組み立てられ（レヴィ分解）、半単純リー環は単純リー環の直和である。そして半単純リー環の表現は、有限群の表現と同様に完全可約である（ワイルの定理）。後者はマシュケの定理の類似だが、「平均をとる」操作の代わりにカシミール元を使う。

この章では $K$ を体とし、リー環はすべて $K$ 上有限次元とする。どの定理で標数 0 や代数閉性が必要かに注意してほしい。

3.1 リー環の定義と例

定義 3.1（リー環, Lie algebra）$K$ 上のベクトル空間 $L$ と双線形写像 $[\cdot, \cdot]\colon L \times L \to L$ の組で、すべての $x, y, z \in L$ について

$$[x, x] = 0, \qquad [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 \quad (\text{ヤコビ恒等式})$$

を満たすものをリー環という。

$[x+y, x+y] = 0$ を展開すると $[x, y] = -[y, x]$ を得る。逆に反対称性から $[x, x] = 0$ が出るのは $\operatorname{char} K \neq 2$ のときである。

例 3.2

1. 有限次元ベクトル空間 $V$ の自己準同型全体 $\mathfrak{gl}(V)$ は交換子 $[x, y] = xy - yx$ でリー環になる。$\mathfrak{gl}_n(K) = \mathfrak{gl}(K^n)$。
2. $\mathfrak{gl}_n(K)$ の部分リー環：$\mathfrak{sl}_n(K)$（トレース 0）、$\mathfrak{b}_n$（上三角行列）、$\mathfrak{n}_n$（対角成分が 0 の上三角行列）、$\mathfrak{d}_n$（対角行列）、$\mathfrak{so}_n(K) = \lbrace {}^tx = -x \rbrace$、$\mathfrak{sp}_{2n}(K) = \lbrace {}^txJ + Jx = 0 \rbrace$。
3. 任意のベクトル空間に $[x, y] = 0$ と定めたもの（可換リー環）。
4. ハイゼンベルク代数：基底 $x, y, z$ で $[x, y] = z$, $[x, z] = [y, z] = 0$。$\mathfrak{n}_3$ と同型である。
5. 2 次元の非可換リー環：基底 $x, y$ で $[x, y] = y$。
6. $K$ 上の代数 $A$ の導分 (derivation)、すなわち $\delta(ab) = \delta(a)b + a\delta(b)$ を満たす線形写像の全体 $\operatorname{Der}(A)$ は $\mathfrak{gl}(A)$ の部分リー環である。
7. リー群のリー環（第2章）。$\mathfrak{su}(2)$, $\mathfrak{so}(3)$, $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ などは実リー環である。

命題 3.3 1 次元のリー環は可換である。2 次元のリー環は、可換であるか、例 3.2 の 5 と同型である。

証明. 1 次元なら $[ax, bx] = ab[x, x] = 0$。2 次元で可換でないとする。基底 $a, b$ について $[L, L]$ は $[a, b]$ で張られる 1 次元空間である。$y = [a, b]$ とし、$x \notin Ky$ をとると $L = Kx + Ky$ で、$[x, y] \in [L, L] = Ky$ より $[x, y] = cy$。$c = 0$ なら $L$ は可換になるので $c \neq 0$。$x$ を $x/c$ に取り替えれば $[x, y] = y$。$\square$

3.2 イデアル・準同型・表現

定義 3.4 部分空間 $I \subset L$ が $[L, I] \subset I$ を満たすときイデアル (ideal) という。$L/I$ には $[x + I, y + I] = [x, y] + I$ でリー環の構造が入る。準同型は $\varphi([x, y]) = [\varphi(x), \varphi(y)]$ を満たす線形写像で、その核はイデアルである（環の場合と同様の準同型定理が成り立つ）。中心 $Z(L) = \lbrace z \mid [z, L] = 0 \rbrace$ と導来環 $[L, L]$ はイデアルである。$L$ が非可換で、イデアルが $0$ と $L$ しかないとき、$L$ は単純 (simple) であるという。

定義 3.5（表現）準同型 $\rho\colon L \to \mathfrak{gl}(V)$ を $L$ の表現、$V$ を $L$-加群という。部分加群・既約性・加群の準同型は群の場合と同様に定義する。随伴表現 (adjoint representation) は $\operatorname{ad}\colon L \to \mathfrak{gl}(L)$, $\operatorname{ad}_x(y) = [x, y]$ である。

ヤコビ恒等式は $\operatorname{ad}_{[x, y]} = [\operatorname{ad}_x, \operatorname{ad}_y]$ と同値なので、$\operatorname{ad}$ は確かに表現である。$\ker\operatorname{ad} = Z(L)$ である。表現の直和、テンソル積 $x(v \otimes w) = xv \otimes w + v \otimes xw$、双対 $(xf)(v) = -f(xv)$ は、群の表現の構成（第1章 1.4 節）を微分したものである。シューアの補題（定理 1.11）は同じ証明でリー環の有限次元既約表現についても成り立つ。

例 3.6（$\mathfrak{sl}_2$ は単純）$\operatorname{char} K \neq 2$ とし、$\mathfrak{sl}_2(K)$ の基底 $E, H, F$（$[H, E] = 2E$, $[H, F] = -2F$, $[E, F] = H$）をとる。$0 \neq x = aE + bH + cF$ を含むイデアル $I$ を考える。

なので、$c \neq 0$ なら $E \in I$、$a \neq 0$ なら $F \in I$ である。$E \in I$ なら $H = [E, F] \in I$、$F = -\frac{1}{2}[H, F] \in I$ となり $I = \mathfrak{sl}_2$。$F \in I$ の場合も同様。$a = c = 0$ なら $H \in I$ で、$E = \frac{1}{2}[H, E] \in I$ から $I = \mathfrak{sl}_2$。よって $\mathfrak{sl}_2(K)$ は単純である。

3.3 可解リー環と冪零リー環

定義 3.7 導来列 $L^{(0)} = L$, $L^{(k+1)} = [L^{(k)}, L^{(k)}]$ と降中心列 $L^1 = L$, $L^{k+1} = [L, L^k]$ を定める。ある $k$ で $L^{(k)} = 0$ となるとき $L$ は可解 (solvable)、ある $k$ で $L^k = 0$ となるとき冪零 (nilpotent) であるという。

$L^{(k)} \subset L^{k+1}$ なので冪零なら可解である。ヤコビ恒等式から、イデアルの導来列・降中心列の各項は再び $L$ のイデアルである。

例 3.8 $\mathfrak{n}_n$ は冪零である（$\mathfrak{n}_n^k$ は「対角線から $k$ 本以上上」の成分だけをもつ行列からなる）。$[\mathfrak{b}_n, \mathfrak{b}_n] = \mathfrak{n}_n$ なので $\mathfrak{b}_n$ は可解だが、$n \geq 2$ なら $[\operatorname{diag}(1, 0, \dots, 0), E_{12}] = E_{12}$ より $\mathfrak{b}_n^k \ni E_{12}$ がすべての $k$ で成り立ち、冪零でない。2 次元非可換リー環も同様に可解だが冪零でない。$\mathfrak{sl}_2$ は $[\mathfrak{sl}_2, \mathfrak{sl}_2] = \mathfrak{sl}_2$ なので可解でない。

命題 3.9 (1) 可解リー環の部分リー環と準同型像は可解である。(2) $I$ がイデアルで $I$ と $L/I$ が可解なら $L$ は可解である。(3) $I, J$ が可解イデアルなら $I + J$ も可解イデアルである。したがって $L$ には最大の可解イデアル $\operatorname{Rad}(L)$（根基, radical）がただ一つ存在する。

証明. (1) は明らか。(2) $(L/I)^{(k)} = 0$ なら $L^{(k)} \subset I$ なので $L^{(k+m)} \subset I^{(m)}$ で、これは $m$ が大きければ 0。(3) $(I + J)/J \cong I/(I \cap J)$ は可解で $J$ も可解なので (2) による。有限次元なので、次元最大の可解イデアルがあり、(3) よりそれはすべての可解イデアルを含む。$\square$

定義 3.10（半単純リー環）$L \neq 0$ で $\operatorname{Rad}(L) = 0$ のとき、$L$ は半単純 (semisimple) であるという。

$\operatorname{Rad}(L) \neq 0$ なら、その導来列の最後の 0 でない項は $L$ の 0 でない可換イデアルである。したがって $L$ が半単純 $\iff$ $L$ は 0 でない可換イデアルをもたない。単純リー環は半単純である（$\operatorname{Rad}(L)$ は $0$ か $L$ だが、$L$ は $[L, L] = L$ より可解でない）。

3.4 エンゲルの定理

冪零リー環の典型は $\mathfrak{n}_n$ である。エンゲルの定理は「冪零行列からなるリー環は $\mathfrak{n}_n$ に入る」ことを主張する。これは任意の体で成り立つ。

補題 3.11 $x \in \mathfrak{gl}(V)$ が冪零ならば、$\operatorname{ad}_x \in \mathfrak{gl}(\mathfrak{gl}(V))$ も冪零である。

証明. $\lambda_x(y) = xy$, $\rho_x(y) = yx$ とおくと $\operatorname{ad}_x = \lambda_x - \rho_x$ で、$\lambda_x$ と $\rho_x$ は可換である。$x^m = 0$ なら $\lambda_x^m = \rho_x^m = 0$ で、二項展開 $(\lambda_x - \rho_x)^{2m} = \sum_i \binom{2m}{i}\lambda_x^i(-\rho_x)^{2m-i}$ の各項は $i \geq m$ か $2m - i \geq m$ を満たすので 0 である。$\square$

定理 3.12（エンゲルの定理, Engel's theorem）$K$ を任意の体、$V \neq 0$ を有限次元ベクトル空間、$L \subset \mathfrak{gl}(V)$ を部分リー環とし、$L$ の元はすべて冪零な自己準同型であるとする。このとき、すべての $x \in L$ について $xv = 0$ となる $v \neq 0$ が存在する。

証明. $\dim L$ に関する帰納法。$\dim L \leq 1$ なら、冪零な $x$ の核は 0 でないので正しい。$\dim L \geq 2$ とし、$L$ の極大な真部分リー環 $M$ をとる（$0$ は真部分リー環なので存在する）。補題 3.11 より各 $\operatorname{ad}_m$ ($m \in M$) は冪零で、$M$ を保つから、商空間 $L/M \neq 0$ に冪零な自己準同型を誘導する。その像は $\dim M < \dim L$ 次元以下の部分リー環なので、帰納法の仮定から $y + M \neq 0$ で $[M, y] \subset M$ となる $y \in L \setminus M$ がある。すると $M + Ky$ は部分リー環で $M$ を真に含むので、極大性から $L = M + Ky$ であり、$M$ は余次元 1 のイデアルである。

帰納法の仮定より $W = \lbrace v \in V \mid Mv = 0 \rbrace \neq 0$。$x \in L$, $w \in W$, $m \in M$ について $m(xw) = x(mw) - [x, m]w = 0$（$[x, m] \in M$）なので、$W$ は $L$ で不変である。$y\vert_W$ は冪零なので $yv = 0$ となる $v \in W \setminus \lbrace 0 \rbrace$ があり、$Lv = (M + Ky)v = 0$。$\square$

系 3.13 (1) 定理 3.12 の仮定のもとで、$V$ の基底をうまくとれば $L \subset \mathfrak{n}_n$ となる。(2) リー環 $L$ が冪零であるための必要十分条件は、すべての $x \in L$ について $\operatorname{ad}_x$ が冪零であることである。

証明. (1) 定理 3.12 の $v$ をとり、$V/Kv$ に帰納法を適用すればよい。(2) 冪零なら $(\operatorname{ad}_x)^k L \subset L^{k+1}$ より $\operatorname{ad}_x$ は冪零。逆に $\operatorname{ad}_x$ がすべて冪零で $L \neq 0$ とする。$\operatorname{ad}L \subset \mathfrak{gl}(L)$ に定理 3.12 を適用すると $[L, z] = 0$ となる $z \neq 0$ があり、$Z(L) \neq 0$。$L/Z(L)$ も同じ仮定を満たすので、$\dim$ に関する帰納法で冪零であり、$(L/Z(L))^k = 0$ なら $L^k \subset Z(L)$、$L^{k+1} = [L, L^k] = 0$。$\square$

3.5 リーの定理

可解リー環の典型は $\mathfrak{b}_n$ である。リーの定理は「可解リー環は同時に三角化できる」ことを主張する。こちらは代数閉体かつ標数 0 が必要である。

定理 3.14（リーの定理, Lie's theorem）$K$ を標数 0 の代数閉体、$V \neq 0$ を有限次元ベクトル空間、$L \subset \mathfrak{gl}(V)$ を可解な部分リー環とする。このとき $L$ のすべての元の共通の固有ベクトルが存在する。

証明. $\dim L$ に関する帰納法。$\dim L = 0$ なら明らか。

(i) 余次元 1 のイデアル $M$ をとる：$L$ は可解なので $[L, L] \neq L$ であり、$[L, L]$ を含む余次元 1 の部分空間 $M$ は $[L, M] \subset [L, L] \subset M$ よりイデアルである。$M$ は可解なので、帰納法の仮定から共通の固有ベクトルをもつ。すなわち線形形式 $\lambda\colon M \to K$ があって $W = \lbrace v \in V \mid mv = \lambda(m)v \ (\forall m \in M) \rbrace \neq 0$。

(ii) $W$ は $L$ で不変であることを示す。$x \in L$, $0 \neq w \in W$ をとり、$w, xw, x^2w, \dots$ が一次従属になる最小の $n$ をとって $W_i = \operatorname{span}(w, xw, \dots, x^{i-1}w)$ とおく。$m \in M$ について、$i$ に関する帰納法で

が示される（$mx^iw = x(mx^{i-1}w) - [x, m]x^{i-1}w$ で、$[x, m] \in M$ に帰納法の仮定を使う）。よって $W_n$ は $M$ と $x$ で不変で、$m\vert_{W_n}$ は基底 $w, \dots, x^{n-1}w$ に関して対角成分がすべて $\lambda(m)$ の上三角行列であり、$\operatorname{tr}_{W_n}(m) = n\lambda(m)$。これを $[x, m] \in M$ に適用すると、$[x, m]\vert_{W_n} = [x\vert_{W_n}, m\vert_{W_n}]$ は交換子なのでトレースは 0 であり、$n\lambda([x, m]) = 0$。標数 0 なので $\lambda([x, m]) = 0$。したがって $w \in W$ について

となり $xw \in W$。

(iii) $L = M + Kz$ と書く。$z\vert_W$ は代数閉体上の有限次元空間の自己準同型なので固有ベクトル $v_0 \in W$ をもち、$v_0$ は $L$ の共通の固有ベクトルである。$\square$

系 3.15 定理 3.14 の仮定のもとで、(1) $V$ の基底をうまくとれば $L \subset \mathfrak{b}_n$ となる。(2) 可解リー環 $L$ について $[L, L]$ は冪零である。

証明. (1) 共通の固有ベクトル $v$ をとり $V/Kv$ に帰納法を適用する。(2) (1) を $\operatorname{ad}L \subset \mathfrak{gl}(L)$ に適用すると $\operatorname{ad}L$ は上三角、$\operatorname{ad}[L, L] = [\operatorname{ad}L, \operatorname{ad}L]$ は対角成分 0 の上三角行列からなる。よって $x \in [L, L]$ の $\operatorname{ad}_L x$、したがって $\operatorname{ad}_{[L,L]}x$ は冪零であり、系 3.13 より $[L, L]$ は冪零である。$\square$

例 3.16（仮定は外せない）(1) $K = \mathbb{R}$ のとき、$\mathfrak{so}(2) = \mathbb{R}J$（$J$ は 90° 回転の生成元）は可換だが $\mathbb{R}^2$ に共通の実固有ベクトルをもたない。(2) $\operatorname{char} K = p > 0$ のとき、$\mathfrak{gl}_p(K)$ で $x$ を巡回置換 $xe_i = e_{i+1}$（添字は $\bmod p$）、$y = \operatorname{diag}(0, 1, \dots, p-1)$ とすると、$[y, x]e_i = (i + 1)e_{i+1} - ie_{i+1} = xe_i$ より $[y, x] = x$ で、$Kx + Ky$ は 2 次元の可解リー環である。$y$ の固有ベクトルは $e_i$ の定数倍だけだが $xe_i = e_{i+1}$ なので、共通の固有ベクトルはない。証明の (ii) で「$n\lambda([x,m]) = 0$ から $\lambda([x,m]) = 0$」が $n = p$ のとき使えないことに対応する。

3.6 キリング形式

定義 3.17（キリング形式, Killing form）$\kappa(x, y) = \operatorname{tr}(\operatorname{ad}_x\operatorname{ad}_y)$ を $L$ のキリング形式という。

$\kappa$ は対称双線形形式で、不変性 $\kappa([x, y], z) = \kappa(x, [y, z])$ を満たす（$\operatorname{tr}([A, B]C) = \operatorname{tr}(A[B, C])$ による）。不変性から、イデアル $I$ の直交空間 $I^\perp = \lbrace x \mid \kappa(x, I) = 0 \rbrace$ はイデアルであり、特に $\kappa$ の根基 $L^\perp$ はイデアルである。

補題 3.18 $I$ を $L$ のイデアルとすると、$I$ 自身のキリング形式 $\kappa_I$ は $\kappa\vert_{I \times I}$ に等しい。

証明. $x, y \in I$ なら $\operatorname{ad}_x\operatorname{ad}_y$ は $L$ を $I$ に写す。像が部分空間 $I$ に含まれる自己準同型のトレースは、$I$ への制限のトレースに等しい（$I$ の基底を $L$ の基底に延長して行列を書けばわかる）。$\square$

例 3.19（$\mathfrak{sl}_2$ のキリング形式）基底 $(E, H, F)$ に関して

である（例えば $\operatorname{ad}_E H = -2E$, $\operatorname{ad}_E F = H$）。これから $\kappa(H, H) = 8$, $\kappa(E, F) = 4$、他の基底の組では 0 となり、グラム行列は

である。$\operatorname{tr}(HH) = 2$, $\operatorname{tr}(EF) = 1$ と比べると $\kappa(x, y) = 4\operatorname{tr}(xy)$ であることがわかる（一般に $\mathfrak{sl}_n$ では $\kappa(x, y) = 2n\operatorname{tr}(xy)$：問題 3.2）。

例 3.20 2 次元非可換リー環（$[x, y] = y$）では $\operatorname{ad}_x = \operatorname{diag}(0, 1)$, $\operatorname{ad}_y$ は冪零で、$\kappa(x, x) = 1$, $\kappa(x, y) = \kappa(y, y) = 0$。$\kappa$ は退化していて、根基は $Ky = [L, L]$ である。冪零リー環では系 3.13 により $\operatorname{ad}L$ が対角成分 0 の上三角行列からなるので、$\kappa = 0$ である。

3.7 カルタンの判定法

キリング形式は可解性を判定する。

定理 3.21（カルタンの判定法, Cartan's criterion）$\operatorname{char} K = 0$ とする。$L \subset \mathfrak{gl}(V)$（$V$ は有限次元）が、すべての $x \in [L, L]$, $y \in L$ について $\operatorname{tr}(xy) = 0$ を満たせば、$L$ は可解である。

証明の概略. 代数閉包に係数拡大してよい（可解性もトレースの条件も保たれる）。$[L, L]$ の各元が冪零であることを示せば、エンゲルの定理から $[L, L]$ は冪零、したがって $L$ は可解である。$x \in [L, L]$ をジョルダン分解 $x = s + n$（$s$ は対角化可能、$n$ は冪零、$sn = ns$）し、$s$ の固有値 $a_1, \dots, a_m$ がすべて 0 であることを示したい。$a_i$ たちが張る $\mathbb{Q}$-ベクトル空間 $E$ 上の任意の $\mathbb{Q}$-線形形式 $f$ をとり、$s$ を対角化する基底で対角成分 $f(a_i)$ をもつ $y$ を作る。$\operatorname{ad}_y$ は $\operatorname{ad}_s$ の定数項のない多項式で書け（ラグランジュ補間）、$\operatorname{ad}_s$ は $\operatorname{ad}_x$ の定数項のない多項式なので、$\operatorname{ad}_y$ は $L$ を $[L, L]$ に写す。$y$ 自身は $L$ に属するとは限らないが、$x = \sum_k [u_k, v_k]$（$u_k, v_k \in L$）と書くと $\operatorname{tr}(xy) = \sum_k \operatorname{tr}([v_k, y]u_k)$ であり、$[v_k, y] \in [L, L]$ なので仮定から $\operatorname{tr}(xy) = 0$。一方 $y$ は $s$ の多項式なので $n$ と可換で $\operatorname{tr}(ny) = 0$ だから、$\operatorname{tr}(xy) = \operatorname{tr}(sy) = \sum_i f(a_i)a_i = 0$ が導かれる。両辺に $f$ を施すと $\sum_i f(a_i)^2 = 0$（有理数の和）となって $f(a_i) = 0$。$f$ は任意なので $E = 0$、すなわち $s = 0$ である。詳細は Humphreys の本の §4.3 を参照。$\square$

系 3.22 $\operatorname{char} K = 0$ とする。$L$ が可解であるための必要十分条件は、すべての $x \in [L, L]$, $y \in L$ について $\kappa(x, y) = 0$ となることである。

証明. 十分性：定理 3.21 を $\operatorname{ad}L \subset \mathfrak{gl}(L)$ に適用すると $\operatorname{ad}L \cong L/Z(L)$ は可解であり、$Z(L)$ は可換なので $L$ は可解（命題 3.9）。必要性：代数閉包に係数拡大して、系 3.15 より $\operatorname{ad}L$ を上三角にとると、$x \in [L, L]$ の $\operatorname{ad}_x$ は対角成分 0 の上三角なので $\operatorname{ad}_x\operatorname{ad}_y$ も対角成分 0 の上三角であり、トレースは 0。$\square$

3.8 半単純リー環とキリング形式の非退化性

定理 3.23 $\operatorname{char} K = 0$ とする。$L$ が半単純であるための必要十分条件は、キリング形式 $\kappa$ が非退化であることである。

証明. $L$ が半単純とし、$S = L^\perp$（$\kappa$ の根基）とおく。$S$ はイデアルで、補題 3.18 より $\kappa_S = \kappa\vert_S = 0$ だから、系 3.22 より $S$ は可解である。よって $S \subset \operatorname{Rad}(L) = 0$。

逆に $\kappa$ が非退化とし、$A$ を $L$ の可換イデアルとする。$a \in A$, $x \in L$ について、$\operatorname{ad}_a\operatorname{ad}_x$ は $L$ を $A$ に写し、$(\operatorname{ad}_a\operatorname{ad}_x)^2$ は $L$ を $[a, A] = 0$ に写す。よって $\operatorname{ad}_a\operatorname{ad}_x$ は冪零でトレースは 0、すなわち $\kappa(a, x) = 0$。非退化性から $A = 0$ であり、$L$ は 0 でない可換イデアルをもたないので半単純である。$\square$

例 3.24 $\mathfrak{sl}_2$ は例 3.19 より半単純（例 3.6 より単純でもある）。$\mathfrak{gl}_n$ はスカラー行列が可換イデアルなので半単純でない（実際 $\kappa(I, \cdot) = 0$）。標数 0 で $\mathfrak{sl}_n$ ($n \geq 2$), $\mathfrak{so}_n$ ($n \geq 3$), $\mathfrak{sp}_{2n}$ ($n \geq 1$) は半単純である（$\mathfrak{sl}_n$ については $\kappa = 2n\operatorname{tr}(xy)$ とトレース形式の非退化性からわかる）。

実リー環では $\kappa$ の符号が情報をもつ。$\mathfrak{so}(3)$ では $\operatorname{ad}_{L_j}$ の行列が $L_j$ なので $\kappa(L_i, L_j) = \operatorname{tr}(L_iL_j) = -2\delta_{ij}$ で負定値、$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ では基底 $H, E + F, E - F$ について $\kappa$ は $\operatorname{diag}(8, 8, -8)$ で不定値である。負定値であることはコンパクト群のリー環の特徴である（第6章）。

3.9 単純イデアルへの分解

定理 3.25 $\operatorname{char} K = 0$、$L$ を半単純とする。

1. $L = L_1 \oplus \cdots \oplus L_t$ と単純イデアルの直和に分解する。
2. $L$ の単純イデアルは $L_1, \dots, L_t$ のどれかに一致する。特に分解は（順序を除いて）一意である。
3. $[L, L] = L$, $Z(L) = 0$ であり、$L$ のイデアルと $L$ の準同型像は半単純である。

証明. $I$ をイデアルとすると $I^\perp$ もイデアルで、$\kappa\vert_{I \cap I^\perp} = 0$ だから系 3.22 と補題 3.18 より $I \cap I^\perp$ は可解イデアル、したがって 0 である。$\kappa$ は非退化なので $\dim I + \dim I^\perp = \dim L$ で、$L = I \oplus I^\perp$。このとき $[I, I^\perp] \subset I \cap I^\perp = 0$ なので、$I$ のイデアルは $L$ のイデアルでもあり、$I$ の可解イデアルは 0、すなわち $I$ は半単純である（$I \neq 0$ のとき）。$L/I \cong I^\perp$ も半単純である。

1：$\dim L$ に関する帰納法。0 でない極小イデアル $L_1$ をとる。$L_1$ のイデアルは $L$ のイデアルなので極小性から $L_1$ は 0 と $L_1$ 以外のイデアルをもたず、$L$ は 0 でない可換イデアルをもたないので $L_1$ は非可換、すなわち単純である。$L = L_1 \oplus L_1^\perp$ で $L_1^\perp$ は半単純なので、帰納法の仮定から単純イデアルの直和である。

2：$I$ を単純イデアルとする。$Z(L)$ は可換イデアルなので 0 で、$[I, L] \neq 0$ は $I$ のイデアルだから $[I, L] = I$。一方 $[I, L] = [I, L_1] \oplus \cdots \oplus [I, L_t]$ なので、ある $i$ で $[I, L_i] \neq 0$ であり、$[I, L_i] \subset I \cap L_i$ は $I$ と $L_i$ の両方の 0 でないイデアルだから $I = I \cap L_i = L_i$。

3：$[L_i, L_i] = L_i$（単純だから）より $[L, L] = L$。残りは最初の段落で示した。$\square$

3.10 ワイルの完全可約性定理

この節では $K$ を標数 0 の代数閉体とする（標数 0 の体であれば、係数拡大によって同じ結論が得られる）。

定義 3.26（カシミール元, Casimir element）$L$ を半単純、$\varphi\colon L \to \mathfrak{gl}(V)$ を忠実な表現とする。$\beta(x, y) = \operatorname{tr}(\varphi(x)\varphi(y))$ は $L$ 上の非退化な不変対称双線形形式である。$L$ の基底 $x_1, \dots, x_n$ と、$\beta(x_i, y_j) = \delta_{ij}$ となる双対基底 $y_1, \dots, y_n$ をとり、

$$c_\varphi = \sum_{i=1}^n \varphi(x_i)\varphi(y_i) \in \operatorname{End}(V)$$

を $\varphi$ のカシミール元という。

$\beta$ の非退化性：根基 $S$ はイデアルで、$\varphi(S) \subset \mathfrak{gl}(V)$ は $\operatorname{tr}(\varphi(x)\varphi(y)) = 0$ ($x, y \in S$) を満たすので定理 3.21 より可解、$\varphi$ は単射なので $S$ は可解であり、$S = 0$。$\varphi = \operatorname{ad}$ のとき $\beta = \kappa$ である。

補題 3.27 $c_\varphi$ はすべての $\varphi(x)$ と可換であり、$\operatorname{tr}c_\varphi = \dim L$ である。特に $V$ が既約なら $c_\varphi = \frac{\dim L}{\dim V}\mathrm{id}_V$。

証明. $x \in L$ について $[x, x_i] = \sum_j a_{ij}x_j$, $[x, y_i] = \sum_j b_{ij}y_j$ と書く。不変性より $a_{ik} = \beta([x, x_i], y_k) = -\beta(x_i, [x, y_k]) = -b_{ki}$。よって

また $\operatorname{tr}c_\varphi = \sum_i\beta(x_i, y_i) = n$。最後の主張はシューアの補題（代数閉体）とトレースの比較による。$\square$

例 3.28 $\mathfrak{sl}_2$ の標準表現 $K^2$ では $\beta(x, y) = \operatorname{tr}(xy)$ で、$(E, H, F)$ の双対基底は $(F, H/2, E)$。よって

であり、$\dim L/\dim V = 3/2$ と一致する。

定理 3.29（ワイルの完全可約性定理, Weyl's theorem）$K$ を標数 0 の代数閉体、$L$ を半単純リー環とする。$L$ の有限次元表現はすべて完全可約である。すなわち、部分加群 $W \subset V$ には補空間となる部分加群が存在する。

証明. まず、1 次元表現は自明である：$\varphi(L) = \varphi([L, L]) = [\varphi(L), \varphi(L)]$ で、$\mathfrak{gl}_1$ は可換だから。

段階 1（余次元 1 の場合）：$W \subset V$ が余次元 1 の部分加群なら補空間の部分加群があることを、$\dim V$ に関する帰納法で示す。$L$ を $L/\ker\varphi$（定理 3.25 より半単純か 0）に取り替えて $\varphi$ は忠実としてよい（$\varphi = 0$ なら任意の補空間でよい）。$V/W$ は 1 次元なので $L$ は自明に作用し、$\varphi(x)V \subset W$ である。

(a) $W$ が既約でないとき：部分加群 $0 \neq W' \subsetneq W$ をとる。$V/W'$ の余次元 1 の部分加群 $W/W'$ に帰納法の仮定を使うと $V/W' = W/W' \oplus \widetilde{Y}/W'$（$\dim\widetilde{Y}/W' = 1$）。$W' \subset \widetilde{Y}$ は余次元 1 で $\dim\widetilde{Y} < \dim V$ なので、再び帰納法の仮定から $\widetilde{Y} = W' \oplus X$（$X$ は 1 次元の部分加群）。$X \cap W \subset \widetilde{Y} \cap W = W'$ かつ $X \cap W' = 0$ より $X \cap W = 0$ で、次元を比べて $V = W \oplus X$。

(b) $W$ が既約のとき：$c = c_\varphi$ とおく。$\varphi(x)V \subset W$ より $c(V) \subset W$。$c$ は加群の準同型で、$W$ 上ではシューアの補題よりスカラー $\lambda$ 倍であり、$V/W$ 上では 0 なので $\operatorname{tr}_V c = \lambda\dim W$。補題 3.27 より $\operatorname{tr}_V c = \dim L \neq 0$ なので $\lambda \neq 0$。よって $\ker c$ は部分加群で $\ker c \cap W = 0$、また $c(V) \subset W$ より $\dim\ker c \geq 1$。したがって $V = W \oplus \ker c$。

段階 2（一般の場合）：$\operatorname{Hom}(V, W)$ に $(x \cdot f)(v) = xf(v) - f(xv)$ で $L$-加群の構造を入れ、

とおく。$f\vert_W = a\ \mathrm{id}_W$ なら $w \in W$ について $(x \cdot f)(w) = axw - axw = 0$ なので $L \cdot \mathcal{V} \subset \mathcal{W}$ であり、$\mathcal{V}$, $\mathcal{W}$ は部分加群である。$f \mapsto a$ は $\mathcal{V}$ から $K$ への全射（$W$ への射影を考えよ）で核は $\mathcal{W}$ なので、$\mathcal{W}$ は $\mathcal{V}$ の余次元 1 の部分加群である。段階 1 より $\mathcal{V} = \mathcal{W} \oplus Kf$（$Kf$ は部分加群）となる $f$ があり、$f\vert_W = \mathrm{id}_W$ と正規化できる。$x \cdot f \in \mathcal{W} \cap Kf = 0$ より $f(xv) = xf(v)$、すなわち $f\colon V \to W$ は加群の準同型で $W$ 上恒等写像だから、$V = W \oplus \ker f$ が求める分解である。$\square$