第3章測地線と完備性（リーマン幾何学） | Lemma

この章の目標

測地線の方程式を導き、球面・双曲空間・平坦トーラスの測地線を求められる

指数写像と正規座標を定義し、その基本性質を使える

ガウスの補題を証明し、測地線が局所的に最短であること、最短曲線が測地線であることを証明できる

第 1 変分公式を証明し、測地線を長さの臨界点として理解する

ホップ–リノウの定理を証明し、完備性の意味を例と反例で説明できる

前提：第2章、集合と位相第5章・第7章、微分方程式第2章

ユークリッド空間の直線には 2 つの顔がある。加速度が $0$ の曲線であり、2 点を結ぶ最短の曲線でもある。リーマン多様体では前者を共変微分で表したものを測地線と呼び、それが局所的には後者の性質ももつことを示す。大域的には、「任意の 2 点が最短の測地線で結べるか」が完備性と結びつく（ホップ–リノウの定理）。以下、 $(M, g)$ は連結なリーマン多様体、 $\nabla$ はレヴィ–チヴィタ接続とする。

3.1 測地線の方程式

定義 3.1（測地線, geodesic）滑らかな曲線 $\gamma\colon I \to M$ が $D_t\dot{\gamma} \equiv 0$ を満たすとき測地線という。座標では (2.2) より
$\ddot{\gamma}^k + \Gamma^k_{ij}(\gamma)\, \dot{\gamma}^i\dot{\gamma}^j = 0 \qquad (k = 1, \dots, n) \tag{3.1}$
である（測地線の方程式）。

計量との両立から $\frac{d}{dt}\lvert \dot{\gamma} \rvert^2 = 2\langle D_t\dot{\gamma}, \dot{\gamma} \rangle = 0$ なので、測地線の速さは一定である。

定理 3.2（存在と一意性）任意の $p \in M$ , $v \in T_pM$ に対し、 $0$ を含む開区間 $I_v$ 上の測地線 $\gamma_v$ で $\gamma_v(0) = p$ , $\dot{\gamma}_v(0) = v$ を満たし、定義域がこれ以上延長できないもの（極大測地線）がただ一つ存在する。

証明. (3.1) は $(x, \dot{x})$ についての 1 階の常微分方程式系で、右辺は滑らかなので、局所解が存在し一意である（微分方程式第2章）。同じ初期値をもつ 2 つの測地線が一致する時刻の集合は、連続性から閉、局所一意性から開なので、定義域の共通部分（区間）全体で一致する。同じ初期値をもつ測地線すべての定義域の和集合の上で、それらをつないだものが極大測地線である。 $\square$

補題 3.3（尺度変換） $c \in \mathbb{R}$ に対し $\gamma_{cv}(t) = \gamma_v(ct)$ である（両辺の定義域も一致する）。

証明. $\sigma(t) := \gamma_v(ct)$ は $\dot{\sigma}(t) = c\dot{\gamma}_v(ct)$ を満たし、(3.1) が速度について 2 次斉次なので測地線であり、初速度は $cv$ 。一意性より $\sigma = \gamma_{cv}$ 。 $\square$

例 3.4（モデル空間の測地線）

$\mathbb{R}^n$ ： $\Gamma = 0$ なので測地線は直線 $p + tv$ 。
単位球面 $S^n$ ： $v \in T_pS^n$ , $v \neq 0$ に対し $\gamma(t) = \cos(\lvert v \rvert t)\ p + \sin(\lvert v \rvert t)\ v/\lvert v \rvert$ とおくと $\ddot{\gamma} = -\lvert v \rvert^2\gamma$ は法ベクトルなので、 $D_t\dot{\gamma} = (\ddot{\gamma})^{\top} = 0$ （2.6 節）。一意性より、 $S^n$ の測地線は大円を一定の速さでたどるものに限る。
双曲面 $\mathbb{H}^n$ ：定理 2.16 の証明は非退化性しか使わないので、空間的超曲面 $\mathbb{H}^n \subset \mathbb{R}^{n,1}$ でも共変微分は普通の微分の（ $\langle \cdot, \cdot \rangle_L$ に関する）接成分である。 $\gamma(t) = \cosh(\lvert v \rvert t)\ p + \sinh(\lvert v \rvert t)\ v/\lvert v \rvert$ は $\ddot{\gamma} = \lvert v \rvert^2\gamma$ （法ベクトル）を満たすので測地線であり、すべての $t \in \mathbb{R}$ で定義される。
上半平面： $\gamma(t) = (x_0, e^t)$ は例 2.14 より $\ddot{y} + \Gamma^y_{xx}\dot{x}^2 + \Gamma^y_{yy}\dot{y}^2 = e^t - e^{-t}e^{2t} = 0$ と $x$ 成分の式を満たす。一次分数変換は等長写像なので測地線を測地線に写し（命題 2.15）、測地線は実軸に直交する半直線と半円に限ることが分かる（演習問題 3.2）。
平坦トーラス $\mathbb{R}^n/\Lambda$ ：射影 $\pi$ は局所等長写像なので測地線は $\pi(p + tv)$ 。 $v$ が格子ベクトルの実数倍なら閉じ、そうでなければ閉じない（ $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ で傾きが無理数なら像は稠密である）。

3.2 指数写像

定義 3.5（指数写像, exponential map） $\mathcal{E} := \lbrace v \in TM \mid 1 \in I_v \rbrace$ とし、 $\exp\colon \mathcal{E} \to M$ を $\exp(v) := \gamma_v(1)$ で定める。 $\exp_p := \exp\vert_{\mathcal{E} \cap T_pM}$ とおく。

補題 3.3 より $\exp_p(tv) = \gamma_v(t)$ であり、 $\mathcal{E} \cap T_pM$ は $0$ に関して星形である。常微分方程式の解の初期値に関する滑らかな依存性から、 $\mathcal{E}$ は零切断を含む $TM$ の開集合で、 $\exp$ は滑らかである（主張のみ。Lee の本の指数写像の節を参照）。

命題 3.6 $d(\exp_p)_0 = \mathrm{id}_{T_pM}$ である（ $T_0(T_pM) = T_pM$ と同一視する）。したがって $\exp_p$ は $0$ の近傍から $p$ の近傍への微分同相を与える。

証明. $d(\exp_p)_0(v) = \frac{d}{dt}\big\vert_{t=0}\exp_p(tv) = \dot{\gamma}_v(0) = v$ 。後半は逆関数定理による。 $\square$

$\exp_p$ が $0$ のある星形近傍 $V$ 上で微分同相であるとき、 $U = \exp_p(V)$ を $p$ の正規近傍という。 $V = B_\varepsilon(0)$ （計量 $g_p$ での球）のとき $\exp_p(B_\varepsilon(0))$ を測地球といい、そのような $\varepsilon$ の上限を $p$ での単射半径 $\operatorname{inj}(p)$ という。

例 3.7 単位球面では $\exp_p(v) = \cos\lvert v \rvert\ p + \sin\lvert v \rvert\ v/\lvert v \rvert$ であり、 $\lvert v \rvert < \pi$ で $S^n \setminus \lbrace -p \rbrace$ への微分同相、球面 $\lvert v \rvert = \pi$ 全体を $-p$ に潰す。 $\operatorname{inj}(p) = \pi$ である。平坦トーラスでは $\exp_{\pi(0)}$ は被覆写像 $\pi$ そのものである。 $\mathbb{H}^n$ では $\exp_p\colon T_p\mathbb{H}^n \to \mathbb{H}^n$ は微分同相である（ $q \neq p$ に対し $\cosh r = -\langle p, q \rangle_L$ , $v = r(q + \langle p, q \rangle_L\ p)/\sinh r$ が逆写像を与える）。

3.3 正規座標

定義 3.8（正規座標, normal coordinates） $U = \exp_p(V)$ を正規近傍、 $(e_1, \dots, e_n)$ を $T_pM$ の正規直交基底とし、 $E(x) = x^ie_i$ とおく。座標写像 $E^{-1} \circ \exp_p^{-1}\colon U \to \mathbb{R}^n$ を $p$ を中心とする正規座標という。

命題 3.9 $p$ を中心とする正規座標で、(a) $g_{ij}(p) = \delta_{ij}$ 、(b) $p$ からの測地線 $t \mapsto \exp_p(tv)$ は座標で直線 $t \mapsto (tv^1, \dots, tv^n)$ 、(c) $\Gamma^k_{ij}(p) = 0$ 、(d) $\partial_kg_{ij}(p) = 0$ である。

証明. (a) 命題 3.6 より $\partial_i\vert_p = e_i$ 。(b) 補題 3.3。(c) (b) の直線を (3.1) に代入すると $\Gamma^k_{ij}(tv)v^iv^j = 0$ 。 $t = 0$ として $\Gamma^k_{ij}(p)v^iv^j = 0$ がすべての $v$ で成り立ち、 $\Gamma^k_{ij}$ は $i, j$ について対称なので $0$ 。(d) 計量との両立から $\partial_kg_{ij} = g_{lj}\Gamma^l_{ki} + g_{il}\Gamma^l_{kj}$ であり、(c) より $p$ で $0$ 。 $\square$

正規座標は「1 点で計量を 1 次まで標準形にする」座標である。2 次の項には曲率が現れる： $g_{ij} = \delta_{ij} - \frac{1}{3}R_{iklj}x^kx^l + O(\lvert x \rvert^3)$ （第4章の規約で。演習問題 3.3 で球面の場合を確かめる）。

3.4 ガウスの補題

補題 3.10（対称性補題）滑らかな写像 $\Gamma(s, t)$ に対し、 $D_s\partial_t\Gamma = D_t\partial_s\Gamma$ である。

証明. 座標で $D_s\partial_t\Gamma = (\partial_s\partial_t\Gamma^k + \Gamma^k_{ij}\ \partial_s\Gamma^i\ \partial_t\Gamma^j)\partial_k$ であり、 $\Gamma^k_{ij} = \Gamma^k_{ji}$ より $s, t$ について対称である。 $\square$

定理 3.11（ガウスの補題, Gauss lemma） $v \in \mathcal{E} \cap T_pM$ , $w \in T_pM$ に対し
$\langle d(\exp_p)_v(v),\ d(\exp_p)_v(w) \rangle = \langle v, w \rangle .$
すなわち $\exp_p$ は、動径方向のベクトルとの内積を保つ。

証明. $\mathcal{E}$ は開集合なので、 $\lvert s \rvert$ が小さければ $f(s, t) := \exp_p(t(v + sw))$ は $0 \leq t \leq 1$ で定義される。 $T = \partial_tf$ , $S = \partial_sf$ とおく。 $t \mapsto f(s, t)$ は初速度 $v + sw$ の測地線なので $D_tT = 0$ , $\lvert T \rvert = \lvert v + sw \rvert$ である。補題 3.10 より

\partial_t\langle S, T \rangle = \langle D_tS, T \rangle = \langle D_sT, T \rangle = \frac{1}{2}\partial_s\lvert T \rvert^2 = \frac{1}{2}\partial_s\lvert v + sw \rvert^2 = \langle v + sw, w \rangle .

$s = 0$ とし、 $S(0, 0) = 0$ （ $f(s, 0) = p$ ）から $t = 0$ から $1$ まで積分すると $\langle S(0,1), T(0,1) \rangle = \langle v, w \rangle$ 。 $S(0, 1) = d(\exp_p)_v(w)$ , $T(0, 1) = \dot{\gamma}_v(1) = d(\exp_p)_v(v)$ である。 $\square$

測地球 $B = \exp_p(B_\varepsilon(0))$ 上で $r(q) := \lvert \exp_p^{-1}(q) \rvert$ とし、 $B \setminus \lbrace p \rbrace$ 上の動径ベクトル場を $\partial_r := d(\exp_p)_v(v/\lvert v \rvert)$ （ $q = \exp_p(v)$ ）で定める。

系 3.12 $B \setminus \lbrace p \rbrace$ 上で $\lvert \partial_r \rvert = 1$ であり、 $\partial_r$ は測地球面 $S_\delta := \exp_p(\lbrace \lvert v \rvert = \delta \rbrace)$ に直交し、 $\operatorname{grad} r = \partial_r$ である。

証明. ガウスの補題を $w = v$ に適用して $\lvert \partial_r \rvert = 1$ 、 $\langle v, w \rangle = 0$ となる $w$ （ $S_\delta$ の接ベクトルに写る）に適用して直交性を得る。 $dr(\partial_r) = 1$ （ $r$ は動径測地線に沿って速さ 1 で増える）、 $S_\delta$ の接ベクトルに対し $dr = 0$ なので、 $dr$ と $\langle \partial_r, \cdot \rangle$ は一致する。 $\square$

3.5 測地線の局所最短性

定理 3.13（測地線は局所的に最短） $B = \exp_p(B_\varepsilon(0))$ を測地球、 $q = \exp_p(v) \in B$ とする。 $p$ から $q$ への区分的に滑らかな曲線 $c$ は $L(c) \geq \lvert v \rvert$ を満たし、等号は $c$ が動径測地線 $t \mapsto \exp_p(tv)$ ( $0 \leq t \leq 1$ ) の単調な径数づけのときに限る。特に $d(p, q) = r(q)$ であり、 $B$ は距離球 $B(p, \varepsilon)$ に等しい。

証明. $c\colon [a, b] \to M$ が $B$ にとどまる場合： $a_0 := \max\lbrace t \mid c(t) = p \rbrace$ とおく。 $(a_0, b]$ で $r \circ c$ は区分的に滑らかで、系 3.12 とコーシー–シュワルツの不等式より

\lvert \dot{c} \rvert \geq \lvert \langle \dot{c}, \partial_r \rangle \rvert = \left\lvert \frac{d}{dt}r(c(t)) \right\rvert \geq \frac{d}{dt}r(c(t)).

$[a_0 + \eta, b]$ で積分して $\eta \to 0$ とすれば $L(c) \geq r(q) = \lvert v \rvert$ 。 $c$ が $B$ から出る場合： $\lvert v \rvert < \delta < \varepsilon$ をとると、 $c$ は $B$ を出る前に $S_\delta$ に達するので、そこまでの部分に上の評価を使って $L(c) \geq \delta > \lvert v \rvert$ 。等号が成り立つなら、 $c$ は $B$ 内にあり、 $[a, a_0]$ では長さ $0$ で定値、 $(a_0, b]$ では $\dot{c}$ が $\partial_r$ の非負倍である。これは $T_pM$ 内の曲線 $\exp_p^{-1} \circ c$ の速度が常に位置ベクトルの非負倍であること、すなわち方向 $v/\lvert v \rvert$ が一定で動径が単調であることを意味する。 $\square$

注意

測地線が最短なのは局所的にだけである。球面の大円の弧は長さが $\pi$ を超えると最短でなく、対蹠点を結ぶ最短測地線は無数にある。一方、例 1.22 の $\mathbb{R}^2 \setminus \lbrace 0 \rbrace$ のように、最短曲線そのものが存在しないこともある。

逆向きの主張には、近くのすべての点で一様な大きさの測地球がとれることが要る。

補題 3.14（一様正規近傍）各 $p \in M$ に対し、近傍 $W$ と $\delta > 0$ があって、任意の $q \in W$ について $\exp_q$ は $B_\delta(0) \subset T_qM$ 上で微分同相であり、 $W \subset \exp_q(B_\delta(0))$ となる。

証明. $F(q, v) := (q, \exp_qv)$ を $(p, 0)$ の近傍で考える。 $TM$ の局所座標 $(q, v)$ で $dF_{(p,0)}$ は、 $\exp_q0 = q$ と命題 3.6 から、対角ブロックが単位行列のブロック下三角行列であり可逆である。逆関数定理より、 $F$ は $\mathcal{V} = \lbrace (q, v) \mid q \in W',\ \lvert v \rvert < \delta \rbrace$ の形の近傍から $(p, p)$ の近傍への微分同相である。 $W \times W \subset F(\mathcal{V})$ となる $p$ の近傍 $W \subset W'$ をとればよい。 $F$ は第 1 成分を保つので、各 $q \in W$ について $\exp_q\vert_{B_\delta(0)}$ は単射で微分が可逆、その像は $W$ を含む。 $\square$

定理 3.15（最短曲線は測地線）区分的に滑らかで速さ一定の曲線 $c\colon [a, b] \to M$ が $L(c) = d(c(a), c(b))$ を満たせば、 $c$ は（折れ点のない）測地線である。

証明. 三角不等式より、最短曲線の部分弧も最短である。 $t_0 \in [a, b]$ に対し、 $c(t_0)$ の一様正規近傍 $W$ , $\delta$ をとり、 $t_0$ を含む区間 $J$ で $c(J) \subset W$ となるものをとる。 $t_1 < t_2$ を $J$ の点とすると、 $c(t_2) \in W \subset \exp_{c(t_1)}(B_\delta(0))$ であり、 $c\vert_{[t_1, t_2]}$ は最短なので定理 3.13 の等号条件から $c(t_1)$ からの動径測地線の単調な径数づけであり、速さ一定なので測地線そのものである。 $t_0$ を内部に含む $[t_1, t_2]$ をとれば、 $c$ は $t_0$ の近くで（折れ点を含めて）測地線である。 $\square$

さらに、各点は測地的に凸な近傍（その任意の 2 点が、近傍内にある唯一の最短測地線で結ばれる近傍）をもつことが知られている（ホワイトヘッドの定理。主張のみ）。

3.6 第1変分公式

測地線を「長さの臨界点」として特徴づける。区分的に滑らかな曲線 $\gamma\colon [a, b] \to M$ の変分とは、連続写像 $\Gamma\colon (-\varepsilon, \varepsilon) \times [a, b] \to M$ で、ある分割について各 $(-\varepsilon, \varepsilon) \times [t_{i-1}, t_i]$ 上で滑らかであり、 $\Gamma(0, t) = \gamma(t)$ を満たすものをいう。 $V(t) := \partial_s\Gamma(0, t)$ を変分ベクトル場、 $\Gamma(s, a)$ , $\Gamma(s, b)$ が $s$ によらないとき固有変分という。逆に区分的に滑らかな $V$ は $\Gamma(s, t) = \exp_{\gamma(t)}(sV(t))$ の変分ベクトル場になる。

定理 3.16（第 1 変分公式, first variation formula） $\gamma$ を速さ $1$ の区分的に滑らかな曲線、 $\Gamma$ をその変分、 $L(s)$ を $\Gamma(s, \cdot)$ の長さとすると
$L'(0) = -\int_a^b \langle V, D_t\dot{\gamma} \rangle\, dt - \sum_{i=1}^{k-1} \langle V(t_i), \Delta_i\dot{\gamma} \rangle + \langle V(b), \dot{\gamma}(b) \rangle - \langle V(a), \dot{\gamma}(a) \rangle$
である。ここで $\Delta_i\dot{\gamma} := \dot{\gamma}(t_i^+) - \dot{\gamma}(t_i^-)$ は折れ点での速度の跳びである。

証明. $T = \partial_t\Gamma$ , $S = \partial_s\Gamma$ とする。 $s = 0$ の近くで $\lvert T \rvert > 0$ なので積分記号下で微分でき、補題 3.10 と $\lvert T(0, t) \rvert = 1$ より

L'(0) = \sum_i\int_{t_{i-1}}^{t_i} \frac{\langle D_sT, T \rangle}{\lvert T \rvert}\bigg\vert_{s=0} dt = \sum_i\int_{t_{i-1}}^{t_i} \langle D_tV, \dot{\gamma} \rangle\, dt = \sum_i\int_{t_{i-1}}^{t_i} \left( \frac{d}{dt}\langle V, \dot{\gamma} \rangle - \langle V, D_t\dot{\gamma} \rangle \right) dt .

各区間で $\frac{d}{dt}\langle V, \dot{\gamma} \rangle$ を積分し、内部の折れ点で $\langle V(t_i), \dot{\gamma}(t_i^-) \rangle - \langle V(t_i), \dot{\gamma}(t_i^+) \rangle$ が残ることに注意すればよい（ $V$ は連続）。 $\square$

系 3.17 速さ $1$ の区分的に滑らかな曲線 $\gamma$ が測地線であるための必要十分条件は、任意の固有変分に対して $L'(0) = 0$ となることである。

証明. 測地線なら右辺の各項は $0$ 。逆に、各区間の内部で正で分点 $t_0 = a, t_1, \dots, t_k = b$ で $0$ の関数 $\varphi$ を用いて $V = \varphi D_t\dot{\gamma}$ とすると $0 = -\int \varphi\lvert D_t\dot{\gamma} \rvert^2$ なので各区間で $D_t\dot{\gamma} = 0$ 。次に $V(t_i) = \Delta_i\dot{\gamma}$ となる固有な $V$ をとると $\sum\lvert \Delta_i\dot{\gamma} \rvert^2 = 0$ 。折れ点で速度がつながるので、測地線の一意性から全体が一つの測地線である。 $\square$

エネルギー $E(c) := \frac{1}{2}\int_a^b \lvert \dot{c} \rvert^2\ dt$ についても、 $\gamma$ の速さを仮定せずに同じ形の公式 $E'(0) = -\int\langle V, D_t\dot{\gamma} \rangle - \sum\langle V(t_i), \Delta_i\dot{\gamma} \rangle + \langle V, \dot{\gamma} \rangle\vert_a^b$ が成り立つ（証明は同様で、 $\lvert T \rvert$ で割る必要がない）。コーシー–シュワルツより $L(c)^2 \leq 2(b - a)E(c)$ で、等号は速さ一定のときに限る。測地線の方程式 (3.1) は、ラグランジアン $\frac{1}{2}g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j$ のオイラー–ラグランジュ方程式にほかならない。

3.7 ホップ–リノウの定理

定義 3.18（完備性）すべての極大測地線が $\mathbb{R}$ 全体で定義されるとき、 $M$ は測地的に完備 (geodesically complete) であるという。これは $\exp$ が $TM$ 全体で定義されることと同値である。

定理 3.19（ホップ–リノウの定理, Hopf–Rinow） $(M, g)$ を連結なリーマン多様体とする。次は同値である。

(a) $(M, d_g)$ は完備距離空間である。

(b) $M$ は測地的に完備である。

(c) ある $p \in M$ で $\exp_p$ が $T_pM$ 全体で定義される。

(d) $M$ の有界閉集合はコンパクトである。

さらにこのとき、(e) 任意の 2 点は長さが距離に等しい測地線（最短測地線）で結べる。

鍵は次の補題である。

補題 3.20 $\exp_p$ が $T_pM$ 全体で定義されるなら、任意の $q \in M$ に対し、 $p$ から $q$ への最短測地線 $t \mapsto \exp_p(tu)$ ( $0 \leq t \leq d(p,q)$ , $\lvert u \rvert = 1$ ) が存在する。

証明. $r = d(p, q) > 0$ としてよい。 $0 < \delta < r$ を測地球がとれるほど小さくとり、コンパクトな測地球面 $S_\delta$ 上で $d(\cdot, q)$ を最小にする点 $x_0 = \exp_p(\delta u)$ ( $\lvert u \rvert = 1$ ) をとる。 $p$ から $q$ への曲線は $d(p, \cdot) = \delta$ となる点、すなわち $S_\delta$ の点（定理 3.13）を通るので、 $r = \delta + d(x_0, q)$ である（ $\leq$ は三角不等式）。 $\gamma(t) := \exp_p(tu)$ はすべての $t$ で定義される。

$I := \lbrace t \in [0, r] \mid d(\gamma(t), q) = r - t \rbrace$ は閉集合で $\delta \in I$ なので、 $T := \max I$ とおく。 $T < r$ と仮定する。 $\gamma(T)$ のまわりで十分小さい $\delta' < r - T$ について同じ議論をすると、 $\gamma(T)$ を中心とする測地球面上の点 $x_1$ で $d(x_1, q) = r - T - \delta'$ となるものがある。すると $d(p, x_1) \geq r - d(x_1, q) = T + \delta'$ だが、 $\gamma\vert_{[0, T]}$ に $\gamma(T)$ から $x_1$ への動径測地線をつないだ曲線の長さは $T + \delta'$ なので、これは最短曲線であり、定理 3.15 より折れ点のない測地線、つまり $\gamma$ に一致する。よって $x_1 = \gamma(T + \delta')$ で $T + \delta' \in I$ となり、 $T$ の最大性に反する。ゆえに $T = r$ で、 $\gamma(r) = q$ かつ $L(\gamma\vert_{[0, r]}) = r$ 。 $\square$

定理 3.19 の証明. (b)⇒(c) は明らか。

(c)⇒(d)：有界閉集合 $K$ は $p$ を中心とするある閉距離球 $\bar{B}(p, R)$ に含まれ、補題 3.20 より $\bar{B}(p, R) = \exp_p(\lbrace \lvert v \rvert \leq R \rbrace)$ はコンパクト集合の連続像なのでコンパクト。よってその閉部分集合 $K$ もコンパクト。

(d)⇒(a)：コーシー列は有界なので、コンパクトな閉球に含まれ、収束する部分列をもつ。コーシー列が収束部分列をもてば全体が収束する。

(a)⇒(b)：速さ $1$ の極大測地線 $\gamma$ の定義域の上端 $b$ が有限だと仮定する。 $d(\gamma(t), \gamma(t')) \leq \lvert t - t' \rvert$ なので、 $t \to b$ で $\gamma(t)$ はコーシーの条件を満たし、完備性からある点 $q$ に収束する。 $q$ の一様正規近傍 $W$ , $\delta$ （補題 3.14）をとり、 $\gamma(t_1) \in W$ かつ $b - t_1 < \delta$ となる $t_1$ をとる。 $\gamma(t_1)$ から $\dot{\gamma}(t_1)$ 方向の測地線は少なくとも時間 $\delta$ だけ定義されるので、 $\gamma$ は $t_1 + \delta > b$ まで延長でき、極大性に反する。下端についても同様。

(e)：(b) からすべての $p$ で (c) が成り立ち、補題 3.20 を使えばよい。 $\square$

系 3.21 コンパクトなリーマン多様体は完備である。完備なリーマン多様体の閉部分多様体は、誘導計量について完備である。

証明. 前半は (d) から。後半：部分多様体 $N$ の誘導距離 $d_N$ は $d_M$ 以上なので、 $d_N$ のコーシー列は $d_M$ のコーシー列で、 $M$ で収束し、 $N$ が閉なので極限は $N$ にある。定理 1.20 より $d_N$ の位相は $N$ の部分空間位相と一致するので、 $d_N$ でも収束する。 $\square$

例 3.22（完備性の例と反例） $\mathbb{R}^n$ , $S^n$ , 平坦トーラスは完備である。 $\mathbb{H}^n$ は例 3.4 の測地線が $\mathbb{R}$ 全体で定義されるので (b) により完備である。一方 $\mathbb{R}^2 \setminus \lbrace 0 \rbrace$ や、上半平面にユークリッド計量を与えたものは完備でない（測地線 $t \mapsto (0, 1 - t)$ が $t = 1$ で止まる）。(e) は完備性を導かない：開円板 $\lbrace \lvert x \rvert < 1 \rbrace \subset \mathbb{R}^2$ の 2 点は線分で結べるが、完備ではない。

3.8 モデル空間の距離と切断跡

例 3.23（モデル空間の距離）

単位球面： $d(p, q) = \arccos\langle p, q \rangle$ 。実際、 $S^n$ はコンパクトなので最短測地線 $\cos t\ p + \sin t\ u$ ( $0 \leq t \leq L$ , $L = d(p,q)$ ) があり、 $\langle p, q \rangle = \cos L$ 。大円の短い方の弧の長さは $\arccos\langle p, q \rangle \in [0, \pi]$ なので $L \leq \pi$ で、 $L = \arccos\langle p, q \rangle$ 。
双曲空間： $\cosh d(p, q) = -\langle p, q \rangle_L$ 。完備性から最短測地線 $\cosh t\ p + \sinh t\ u$ があり、 $\langle p, \gamma(L) \rangle_L = -\cosh L$ 。
平坦トーラス $\mathbb{R}^n/\Lambda$ ： $d([x], [y]) = \min_{\lambda \in \Lambda}\lvert x - y + \lambda \rvert$ 。 $[x]$ を通る最短の閉測地線は最短の格子ベクトル $\pm\lambda$ に対応し、正方格子では 2 本、六角格子では 3 本ある。これが 2 つのトーラスが等長でない理由である（例 1.11）。

完備な $M$ の点 $p$ から出る速さ $1$ の測地線 $\gamma_u$ は、はじめは最短だが、ある時刻を過ぎると最短でなくなることがある。

定義 3.24（切断跡, cut locus） $t_c(u) := \sup\lbrace t > 0 \mid d(p, \gamma_u(t)) = t \rbrace$ とし、 $t_c(u) < \infty$ のとき $\gamma_u(t_c(u))$ を $p$ の切断点という。切断点の全体を $p$ の切断跡 $\operatorname{Cut}(p)$ という。

$S^n$ では $\operatorname{Cut}(p) = \lbrace -p \rbrace$ 、 $\mathbb{R}P^n$ では $\operatorname{Cut}(p) \cong \mathbb{R}P^{n-1}$ （ $p$ から距離 $\pi/2$ の点全体）。
平坦トーラス $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ では、 $[0]$ の切断跡は正方形 $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]^2$ の境界の像（2 つの円の一点和）である。
$\mathbb{R}^n$ , $\mathbb{H}^n$ では切断跡は空である。

次の事実が知られている（主張のみ）： $\operatorname{Cut}(p)$ は閉集合で測度 $0$ であり、 $\exp_p$ は $\lbrace tu \mid 0 \leq t < t_c(u) \rbrace$ から $M \setminus \operatorname{Cut}(p)$ への微分同相を与える。切断点 $\gamma_u(t_c(u))$ では、それが最初の共役点（第5章）であるか、 $p$ と結ぶ最短測地線が 2 本以上あるかのいずれかが起こる。 $\operatorname{inj}(p)$ は $p$ から $\operatorname{Cut}(p)$ までの距離に等しい。

まとめ

測地線は $D_t\dot{\gamma} = 0$ を満たす曲線で、局所座標では $\ddot{\gamma}^k + \Gamma^k_{ij}\dot{\gamma}^i\dot{\gamma}^j = 0$ 。初期値に対し極大測地線がただ一つ存在し、速さは一定である。
球面の測地線は大円、双曲面の測地線は原点を通る平面との交わり、上半平面の測地線は実軸に直交する半直線と半円である。
指数写像 $\exp_p$ は $d(\exp_p)_0 = \mathrm{id}$ を満たし、正規座標を与える。正規座標の中心で $g_{ij} = \delta_{ij}$ , $\Gamma^k_{ij} = 0$ 。
ガウスの補題： $\exp_p$ は動径方向との内積を保つ。これから測地球内の動径測地線は唯一の最短曲線であり、逆に速さ一定の最短曲線は測地線である。
第 1 変分公式により、測地線は固有変分に関する長さ（エネルギー）の臨界点として特徴づけられる。
ホップ–リノウの定理：連結なリーマン多様体では、距離の完備性・測地的完備性・1 点での $\exp_p$ の全域定義・有界閉集合のコンパクト性は同値であり、そのとき任意の 2 点は最短測地線で結べる。
測地線は切断点を過ぎると最短でなくなる。切断跡は大域的な形を反映する。

演習問題

問題 3.1 ★ $\gamma$ を定値でない測地線、 $\varphi$ を滑らかな関数とする。 $\gamma \circ \varphi$ が測地線であるための必要十分条件は $\varphi$ が 1 次関数 $\varphi(t) = at + b$ であることを示せ。

解答

$\sigma = \gamma \circ \varphi$ とすると $\dot{\sigma} = \dot{\varphi}\ \dot{\gamma}(\varphi)$ で、 $D_t\dot{\sigma} = \ddot{\varphi}\ \dot{\gamma}(\varphi) + \dot{\varphi}^2(D_t\dot{\gamma})(\varphi) = \ddot{\varphi}\ \dot{\gamma}(\varphi)$ 。 $\gamma$ は定値でないので速さは一定の正数で $\dot{\gamma} \neq 0$ 。よって $D_t\dot{\sigma} = 0 \Leftrightarrow \ddot{\varphi} = 0$ 。

問題 3.2 ★ 上半平面の測地線は、実軸に直交する半直線 $\lbrace x = x_0 \rbrace$ と、実軸上に中心をもつ半円に限ることを示せ。

解答

例 3.4 より半直線（を $y = e^t$ で径数づけたもの）は測地線である。一次分数変換は等長写像なので測地線を測地線に写し、例えば $\phi(z) = (z - 1)/(z + 1)$ は虚軸を単位半円に写す（ $\phi(0) = -1$ , $\phi(i) = i$ , $\phi(\infty) = 1$ で、一次分数変換は円・直線を円・直線に写し実軸を保つので、実軸に直交する円に写る）。さらに実軸方向の平行移動と拡大 $z \mapsto \lambda z + b$ で、実軸上に中心をもつ任意の半円が測地線になる。任意の点 $z_0$ と方向 $v$ に対し、 $v$ が鉛直ならその半直線、そうでなければ $z_0$ を通り $z_0$ で $v$ に接し実軸上に中心をもつ円がただ一つ（中心は $z_0$ での法線と実軸の交点）ある。測地線の一意性より、これらで尽くされる。

問題 3.3 ★★ 単位球面の北極を中心とする正規座標を、極角 $\rho$ と経度 $\phi$ により $x = \rho\cos\phi$ , $y = \rho\sin\phi$ で与える。計量が $g = dx^2 + dy^2 + \left( \frac{\sin^2\rho}{\rho^2} - 1 \right)\frac{(x\ dy - y\ dx)^2}{\rho^2}$ と書けることを示し、 $g_{ij} = \delta_{ij} - \frac{1}{3}(\delta_{ij}\lvert x \rvert^2 - x^ix^j) + O(\lvert x \rvert^4)$ を導け。命題 3.9 (a)(d) と整合することを確かめよ。

解答

例 3.7 より $\exp_N(\rho u)$ は極角 $\rho$ の点で、 $g = d\rho^2 + \sin^2\rho\ d\phi^2$ 。一方 $dx^2 + dy^2 = d\rho^2 + \rho^2d\phi^2$ , $\rho^2d\phi = x\ dy - y\ dx$ なので

g = dx^2 + dy^2 + (\sin^2\rho - \rho^2)\, d\phi^2 = dx^2 + dy^2 + \left( \frac{\sin^2\rho}{\rho^2} - 1 \right)\frac{(x\,dy - y\,dx)^2}{\rho^2} .

$\sin^2\rho/\rho^2 - 1 = -\rho^2/3 + O(\rho^4)$ より $g = dx^2 + dy^2 - \frac{1}{3}(x\ dy - y\ dx)^2 + O(\lvert x \rvert^4)$ 。成分で $g_{11} = 1 - y^2/3$ , $g_{22} = 1 - x^2/3$ , $g_{12} = xy/3$ であり、これは $\delta_{ij} - \frac{1}{3}(\delta_{ij}\lvert x \rvert^2 - x^ix^j)$ に等しい。原点で $g_{ij} = \delta_{ij}$ 、1 次の項がないので $\partial_kg_{ij}(0) = 0$ 。第4章の規約で単位球面は $R_{iklj} = \delta_{ij}\delta_{kl} - \delta_{il}\delta_{kj}$ （原点で）なので、これは本文の公式 $g_{ij} = \delta_{ij} - \frac{1}{3}R_{iklj}x^kx^l + \cdots$ と一致する。

問題 3.4 ★★ 等質なリーマン多様体は完備であることを示せ。

解答

ある $p$ で $\exp_p$ が $B_\varepsilon(0)$ 上で定義される $\varepsilon > 0$ をとる。等長写像は測地線を測地線に写し、 $F(p) = q$ となる等長写像 $F$ が存在するので、すべての点 $q$ で $\exp_q$ は $B_\varepsilon(0)$ 上で定義される。速さ $1$ の測地線 $\gamma$ が $[0, b)$ で極大, $b < \infty$ とすると、 $t_1 = b - \varepsilon/2$ で $\gamma(t_1)$ から $\dot{\gamma}(t_1)$ 方向の測地線は時間 $\varepsilon$ まで定義されるので、 $\gamma$ は $t_1 + \varepsilon > b$ まで延長でき矛盾。よって測地的に完備であり、ホップ–リノウの定理より完備である。

問題 3.5 ★★ (1) $M$ を連結なリーマン多様体、 $F, G\colon M \to N$ を局所等長写像とする。ある点 $p$ で $F(p) = G(p)$ かつ $dF_p = dG_p$ なら $F = G$ であることを示せ。(2) $\operatorname{Isom}(\mathbb{R}^n) = \lbrace x \mapsto Ax + b \mid A \in O(n),\ b \in \mathbb{R}^n \rbrace$ 、 $\operatorname{Isom}(S^n) = O(n+1)$ を示せ。

解答

(1) $A := \lbrace q \mid F(q) = G(q),\ dF_q = dG_q \rbrace$ は連続性から閉で、 $p \in A$ 。 $q \in A$ とし正規近傍 $U = \exp_q(V)$ をとる。局所等長写像は測地線を測地線に写すので $F(\exp_qv) = \exp_{F(q)}(dF_qv) = \exp_{G(q)}(dG_qv) = G(\exp_qv)$ 。よって $U$ 上で $F = G$ で、微分も一致し $U \subset A$ 。 $A$ は開なので、連結性から $A = M$ 。

(2) $F \in \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^n)$ に対し $A = dF_0 \in O(n)$ , $b = F(0)$ とおくと、 $x \mapsto Ax + b$ は $0$ での値と微分が $F$ と一致する等長写像なので $F$ に等しい。 $F \in \operatorname{Isom}(S^n)$ と $p \in S^n$ に対し、 $Ap = F(p)$ かつ $A\vert_{T_pS^n} = dF_p$ となる $A \in O(n+1)$ がある（ $p$ と $T_pS^n$ の正規直交基底を、 $F(p)$ とその像に写す）。 $A\vert_{S^n}$ と $F$ は $p$ で値と微分が一致するので等しい。

問題 3.6 ★★ 上半平面で $\cosh d(z, w) = 1 + \lvert z - w \rvert^2/(2\operatorname{Im} z\operatorname{Im} w)$ を示せ。

解答

右辺は一次分数変換で不変である（演習問題 1.4）。 $z \mapsto (z - \operatorname{Re} z_0)/\operatorname{Im} z_0$ で $z_0$ を $i$ に写せる。 $i$ の固定部分群は $\zeta \mapsto (\cos\alpha\ \zeta + \sin\alpha)/(-\sin\alpha\ \zeta + \cos\alpha)$ からなり、 $i$ での微分は $(\cos\alpha - i\sin\alpha)^{-2} = e^{2i\alpha}$ なので $T_i\mathbb{U}^2$ の方向に推移的に作用する。上半平面は完備（例 3.22）なので $i$ と $w'$ を結ぶ最短測地線があり、その初速度を上向きの鉛直方向に回せば、測地線は虚軸になり $w'$ は $ti$ ( $t \geq 1$ ) に写る。例 1.23 より $d = \log t$ で、右辺は $1 + (t-1)^2/(2t) = \cosh\log t$ 。等長写像は $d$ を保つので一般の場合も成り立つ。

問題 3.7 ★★★ $M$ をコンパクトなリーマン多様体とする。 $M$ の自由ホモトピー類で定値でないもの（可縮でない閉曲線の類）には、その類の中で長さが最小の閉曲線が存在し、それは滑らかな閉測地線であることを示せ。

解答

ヒント. (i) コンパクト性から、ルベーグ数の議論で $\varepsilon > 0$ があって、距離 $2\varepsilon$ 未満の 2 点は唯一の最短測地線で結ばれ、それは端点に連続に依存する（補題 3.14 を有限個の点で使う）。また距離が $2\varepsilon$ 未満の 2 つの閉曲線は（対応する点を最短測地線で結んで）自由ホモトピックである。(ii) 類の長さの下限を $\ell$ とし、 $L(c_k) \to \ell$ となる閉曲線列をとる。 $L(c_k) < \ell + 1$ としてよい。各 $c_k$ を長さについて $N$ 等分（ $(\ell + 1)/N < \varepsilon$ となる $N$ ）し、分点を最短測地線で結んだ折れ測地線に置き換えても、長さは増えず類も変わらない。(iii) 分点の組 $(x_1^k, \dots, x_N^k) \in M^N$ はコンパクト集合内にあるので収束部分列をもつ。極限の分点を最短測地線で結んだ折れ測地線 $c$ は、(i) の連続性により同じ類に属し $L(c) = \ell$ 。類の下限が $\ell$ で、 $\ell > 0$ （可縮でない閉曲線は長さ $2\varepsilon$ 以上：短いものは測地的凸近傍に入り可縮）。(iv) $c$ は最小なので、折れ点をずらす変分に対し第 1 変分 $= 0$ 。系 3.17 の議論（閉曲線版：端点の項が打ち消し合う）から折れ点がなく、始点でも速度がつながる。よって $c$ は滑らかな閉測地線である。