モジュラー形式

この章の目標

• $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ の上半平面への作用の基本領域を決定し、$S, T$ が $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ を生成することを証明できる
• アイゼンシュタイン級数の $q$ 展開を導き、$G_k$ と $E_k$ の正規化の違いを説明できる
• $k/12$ 公式を証明し、モジュラー形式の空間の次元と環構造 $M = \mathbb{C}[E_4, E_6]$ を決定できる
• $\Delta$ と $j$ を $q$ 展開で計算し、ラマヌジャンの $\tau$ 関数・ヘッケ作用素・テータ関数・谷山–志村予想の概要を説明できる

前提：第1章（系 1.31）、第2章、05-complex-analysis 第7章（$\pi\cot\pi z$ の部分分数展開）

第1章で、複素トーラスの同型類は $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})\backslash\mathbb{H}$ と一対一に対応することを見た。第2章の $G_k(\Lambda)$ や $g_2, g_3, j$ のように格子から決まる量は、$\tau \in \mathbb{H}$ の関数として特別な変換則を満たす。この変換則を公理にしたものがモジュラー形式である。モジュラー形式の空間は有限次元であり、その結果、係数の間に驚くべき恒等式が生まれる。

3.1 上半平面と $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$

以下、2 次正方行列の成分をつねに

と書く。

補題 3.1 実行列 $\gamma$ と $c\tau + d \neq 0$ となる $\tau \in \mathbb{C}$ について、$\gamma\tau = \frac{a\tau + b}{c\tau + d}$ とおくと

$$\operatorname{Im}(\gamma\tau) = \frac{(ad - bc)\operatorname{Im}\tau}{\lvert c\tau + d \rvert^2}, \qquad \frac{d(\gamma\tau)}{d\tau} = \frac{ad - bc}{(c\tau + d)^2}$$

証明. $\gamma\tau = (a\tau + b)(c\bar{\tau} + d)/\lvert c\tau + d \rvert^2$ の分子は $ac\lvert \tau \rvert^2 + ad\tau + bc\bar{\tau} + bd$ で、その虚部は $(ad - bc)\operatorname{Im}\tau$ である。微分は直接計算による。$\square$

したがって $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ は $\mathbb{H}$ に作用し（メビウス変換の合成は行列の積に対応する）、$\pm I$ は自明に作用する。以下 $\Gamma = \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$（モジュラー群）とし、

とおく。$S^2 = -I$, $(ST)^3 = -I$ である（問題 3.1）。$\rho = e^{2\pi i/3} = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$ とする（$e^{\pi i/3}$ を $\rho$ と書く本もある）。

3.2 基本領域

とおく。$\mathcal{F}$ は 3 頂点 $\rho$, $-\bar{\rho} = \rho + 1$, $\infty$ をもつ「三角形」である。

定理 3.2（基本領域）$G$ を $S$ と $T$ で生成される $\Gamma$ の部分群とする。

1. 任意の $\tau \in \mathbb{H}$ に対し、$g\tau \in \mathcal{F}$ となる $g \in G$ が存在する。
2. 相異なる $\tau, \tau' \in \mathcal{F}$ が $\Gamma$ の作用で移り合うならば、$\operatorname{Re}\tau = \pm\frac{1}{2}$ かつ $\tau' = \tau \mp 1$ であるか、$\lvert \tau \rvert = 1$ かつ $\tau' = -1/\tau$ である。
3. $\tau \in \mathcal{F}$ の固定部分群 $\Gamma_\tau$ は、$\tau = i$ なら $\pm\lbrace I, S \rbrace$、$\tau = \rho$ なら $\pm\lbrace I, ST, (ST)^2 \rbrace$、$\tau = -\bar{\rho}$ なら $\pm\lbrace I, TS, (TS)^2 \rbrace$、それ以外では $\lbrace \pm I \rbrace$ である。

証明. 1. 補題 3.1 より $\gamma \in \Gamma$ について $\operatorname{Im}(\gamma\tau) = \operatorname{Im}\tau/\lvert c\tau + d \rvert^2$ である。$(c, d) \mapsto \lvert c\tau + d \rvert$ は $\mathbb{Z}^2$ 上のノルムの制限だから、$\lvert c\tau + d \rvert < 1$ となる整数の組は有限個であり、$\operatorname{Im}(g\tau)$（$g \in G$）は最大値をとる。最大値を与える $g$ をとり、$\lvert \operatorname{Re}(T^ng\tau) \rvert \leq 1/2$ となる $n$ を選んで $\tau' = T^ng\tau$ とおく。もし $\lvert \tau' \rvert < 1$ なら $\operatorname{Im}(S\tau') = \operatorname{Im}\tau'/\lvert \tau' \rvert^2 > \operatorname{Im}\tau'$ となり最大性に反する。よって $\tau' \in \mathcal{F}$ である。

2, 3. $\tau \in \mathcal{F}$, $\gamma \in \Gamma$, $\gamma\tau \in \mathcal{F}$ とする。必要なら $(\tau, \gamma)$ を $(\gamma\tau, \gamma^{-1})$ に取り替えて $\operatorname{Im}(\gamma\tau) \geq \operatorname{Im}\tau$、すなわち $\lvert c\tau + d \rvert \leq 1$ としてよい。$\operatorname{Im}\tau \geq \sqrt{3}/2$ だから $\lvert c \rvert\sqrt{3}/2 \leq \lvert c \rvert\operatorname{Im}\tau \leq \lvert c\tau + d \rvert \leq 1$ で、$\lvert c \rvert \leq 1$ である。$\gamma$ を $-\gamma$ に替えて $c \in \lbrace 0, 1 \rbrace$ とする。

$c = 0$ のとき：$d = \pm 1$ だから $\gamma = \pm T^b$ で $\gamma\tau = \tau + b$。両方が $\mathcal{F}$ に入るのは $b = 0$ か、$b = \pm 1$ かつ $\operatorname{Re}\tau = \mp 1/2$ のときである。

$c = 1$ のとき：$\tau = x + iy$ とすると $x^2 + y^2 \geq 1$, $\lvert x \rvert \leq 1/2$ より

であるから $d \in \lbrace 0, \pm 1 \rbrace$ で、等号条件から $\lvert \tau \rvert = 1$ である。(i) $d = 0$：$b = -1$ で $\gamma\tau = a - 1/\tau = a - \bar{\tau}$。$-\bar{\tau} \in \mathcal{F}$ だから、$a = 0$（$\gamma = S$, $\gamma\tau = -1/\tau$）か、$a = 1$ かつ $\tau = -\bar{\rho}$（$\gamma = TS$, $\gamma\tau = \tau$）か、$a = -1$ かつ $\tau = \rho$（$\gamma = (ST)^2$, $\gamma\tau = \tau$）である。(ii) $d = 1$：$\lvert \tau + 1 \rvert = \lvert \tau \rvert = 1$ より $\tau = \rho$。$b = a - 1$ で、$1/(\rho + 1) = -\rho$ より $\gamma\rho = a + \rho$ だから、$a = 0$（$\gamma = ST$, 固定）か $a = 1$（$\gamma\rho = \rho + 1$）である。(iii) $d = -1$：同様に $\tau = -\bar{\rho}$ で、$a = 0$（$\gamma = (TS)^2$, 固定）か $a = -1$（$\gamma\tau = \tau - 1$）である。

以上で $\tau \neq \gamma\tau$ となる場合はすべて 2 の形であり、$\gamma\tau = \tau$ となる $\gamma \neq \pm I$ は 3 に挙げたものに限る（$S\tau = \tau$ となるのは $-\bar{\tau} = \tau$、すなわち $\tau = i$ のとき）。逆にそれらが実際に $\tau$ を固定することは直接確かめられる。$\square$

定理 3.3 $\Gamma$ は $S$ と $T$ で生成される。

証明. $\gamma \in \Gamma$ とし、$\mathcal{F}$ の内点 $\tau_0 = 2i$ をとる。定理 3.2 の 1 より $g\gamma\tau_0 \in \mathcal{F}$ となる $g \in G$ がある。$\tau_0$ は $\mathcal{F}$ の境界にないので、定理 3.2 の 2 より $g\gamma\tau_0 = \tau_0$、3 より $g\gamma = \pm I$ である。$-I = S^2 \in G$ だから $\gamma \in G$ である。$\square$

注意 3.4 定理 3.2 より、商 $\Gamma\backslash\mathbb{H}$ は $\mathcal{F}$ の境界を $T$（左右の辺）と $S$（円弧を $i$ で折り返す）で貼り合わせたもので、平面と同相である。$\infty$ を尖点 (cusp) として 1 点付け加えると球面になる。定理 3.24 と注意 3.26 で、これが $j$ によってリーマン球面と同型になることを見る。$i$ と $\rho$ は固定部分群が大きい楕円点である。なお $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z}) = \Gamma/\lbrace \pm I \rbrace$ は位数 2 の元 $S$ と位数 3 の元 $ST$ の自由積 $\mathbb{Z}/2 \ast \mathbb{Z}/3$ と同型であることが知られている（主張）。

3.3 モジュラー形式の定義

定義 3.5（モジュラー形式, modular form）$k \in \mathbb{Z}$ とする。$\mathbb{H}$ 上の正則関数 $f$ が

1. すべての $\gamma \in \Gamma$ について $f(\gamma\tau) = (c\tau + d)^kf(\tau)$、
2. $\infty$ で正則：$f(\tau) = \sum_{n \geq 0}a_nq^n$（$q = e^{2\pi i\tau}$）と展開される、

を満たすとき、$f$ を重さ (weight) $k$ のモジュラー形式という。さらに $a_0 = 0$ のとき尖点形式 (cusp form) という。それぞれの全体を $M_k$, $S_k$ と書く。

条件 1 を $T$ に適用すると $f(\tau + 1) = f(\tau)$ である。$\tau \mapsto q = e^{2\pi i\tau}$ は $\mathbb{H}$ から穴あき円板 $0 < \lvert q \rvert < 1$ への局所双正則な全射で、そのファイバーは $\tau + \mathbb{Z}$ だから、$f(\tau) = \tilde{f}(q)$ となる穴あき円板上の正則関数 $\tilde{f}$ が定まる。条件 2 は $\tilde{f}$ が $q = 0$ で正則に延びることであり、リーマンの除去可能特異点定理より「$f$ が $\operatorname{Im}\tau \geq 1$ で有界」と同値である。$f(\infty) := a_0$ とし、$v_\infty(f)$ を $\tilde{f}$ の $q = 0$ での零点の位数とする。

補題 3.6 (1) $j(\gamma, \tau) = c\tau + d$ は $j(\gamma\gamma', \tau) = j(\gamma, \gamma'\tau)j(\gamma', \tau)$ を満たす。したがって定義 3.5 の条件 1 は、$S$ と $T$ について成り立てば十分である：$f(\tau + 1) = f(\tau)$ かつ $f(-1/\tau) = \tau^kf(\tau)$。 (2) $k$ が奇数なら $M_k = 0$ である。

証明. (1) $\gamma\gamma'$ の第 2 行は $(ca' + dc', cb' + dd')$ であり、$j(\gamma, \gamma'\tau)j(\gamma', \tau) = \bigl(c\frac{a'\tau + b'}{c'\tau + d'} + d\bigr)(c'\tau + d') = (ca' + dc')\tau + cb' + dd'$ である。よって $(f\vert_k\gamma)(\tau) := j(\gamma, \tau)^{-k}f(\gamma\tau)$ とおくと $f\vert_k(\gamma\gamma') = (f\vert_k\gamma)\vert_k\gamma'$ となり、$f\vert_k\gamma = f$ となる $\gamma$ の全体は部分群である。定理 3.3 より $S, T$ について成り立てば $\Gamma$ 全体で成り立つ。(2) $\gamma = -I$ に対し $f(\tau) = (-1)^kf(\tau)$。$\square$

注意 3.7（格子の関数として）格子の関数 $F$ が $F(\alpha\Lambda) = \alpha^{-k}F(\Lambda)$ を満たせば、$f(\tau) = F(\Lambda_\tau)$ は条件 1 を満たす。実際、系 1.31 の証明で見たように $\Lambda_{\gamma\tau} = (c\tau + d)^{-1}\Lambda_\tau$ だから $f(\gamma\tau) = (c\tau + d)^kf(\tau)$ である。逆に $f \in M_k$ から $F(\mathbb{Z}\omega_1 + \mathbb{Z}\omega_2) = \omega_2^{-k}f(\omega_1/\omega_2)$ が定まる。第2章の $G_k(\Lambda)$, $g_2$, $g_3$, $\Delta(\Lambda)$, $j$ はそれぞれ重さ $k$, $4$, $6$, $12$, $0$ に対応する。

3.4 アイゼンシュタイン級数と $q$ 展開

命題 3.8 $k \geq 4$ を偶数とする。$G_k(\tau) = \sum_{(m, n) \neq (0, 0)}(m\tau + n)^{-k}$ は $\mathbb{H}$ の各コンパクト集合上で絶対一様収束し、$G_k \in M_k$ である。

証明. コンパクト集合 $K \subset \mathbb{H}$ に対し、$(\tau, x, y) \mapsto \lvert x\tau + y \rvert$ は $K \times \lbrace \max(\lvert x \rvert, \lvert y \rvert) = 1 \rbrace$ 上で正の連続関数だから正の最小値 $c$ をもち、斉次性より $\lvert m\tau + n \rvert \geq c\max(\lvert m \rvert, \lvert n \rvert)$（$\tau \in K$）となる。補題 2.5 の証明と同様にして一様収束がわかり、$G_k$ は正則である。$\gamma \in \Gamma$ について

で、$(m, n) \mapsto (ma + nc, mb + nd)$ は $\mathbb{Z}^2 \setminus \lbrace 0 \rbrace$ の全単射だから $G_k(\gamma\tau) = (c\tau + d)^kG_k(\tau)$ である。$\infty$ での正則性は次の定理 3.10 の $q$ 展開から従う。$\square$

補題 3.9（リプシッツの公式）$\tau \in \mathbb{H}$, $k \geq 2$ について

$$\sum_{n \in \mathbb{Z}}\frac{1}{(\tau + n)^k} = \frac{(-2\pi i)^k}{(k - 1)!}\sum_{r \geq 1}r^{k-1}q^r$$

証明. $\pi\cot\pi\tau = \frac{1}{\tau} + \sum_{n \geq 1}\left(\frac{1}{\tau + n} + \frac{1}{\tau - n}\right)$（05-complex-analysis 第7章 定理 7.4、$\mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}$ で広義一様収束）である。一方 $\tau \in \mathbb{H}$ では $\lvert q \rvert < 1$ だから

である。両辺を $\tau$ で $k - 1$ 回微分する（広義一様収束するので項別微分できる）。$\frac{d}{d\tau}q^r = 2\pi irq^r$ より $(-1)^{k-1}(k-1)!\sum_n(\tau + n)^{-k} = -(2\pi i)^k\sum_r r^{k-1}q^r$ となり、主張を得る。$\square$

定理 3.10（アイゼンシュタイン級数の $q$ 展開）$k \geq 4$ を偶数、$\sigma_{k-1}(n) = \sum_{d \mid n}d^{k-1}$ とすると

$$G_k(\tau) = 2\zeta(k) + \frac{2(2\pi i)^k}{(k - 1)!}\sum_{n \geq 1}\sigma_{k-1}(n)q^n$$

証明. $m = 0$ の項の和は $2\zeta(k)$ である。$m \neq 0$ の項は、$k$ が偶数なので $(m, n)$ と $(-m, -n)$ が同じ値を与えるから、$2\sum_{m \geq 1}\sum_{n \in \mathbb{Z}}(m\tau + n)^{-k}$ である。補題 3.9 を $m\tau$ に適用すると（$q$ は $q^m$ に替わり、$k$ は偶数なので $(-2\pi i)^k = (2\pi i)^k$）

となる。この二重級数は絶対収束するから $n = mr$ でまとめてよく、$q^n$ の係数は $\sum_{r \mid n}r^{k-1} = \sigma_{k-1}(n)$ である。$\square$

係数を簡単にするため、ベルヌーイ数 $B_k$（$\frac{t}{e^t - 1} = \sum_k B_k\frac{t^k}{k!}$）を使う。$B_0 = 1$, $B_1 = -\frac{1}{2}$, $B_2 = \frac{1}{6}$, $B_4 = -\frac{1}{30}$, $B_6 = \frac{1}{42}$, $B_8 = -\frac{1}{30}$, $B_{10} = \frac{5}{66}$, $B_{12} = -\frac{691}{2730}$, $B_{14} = \frac{7}{6}$ であり、$3$ 以上の奇数 $k$ では $B_k = 0$ である（$\frac{t}{e^t - 1} + \frac{t}{2} = \frac{t}{2}\coth\frac{t}{2}$ は偶関数）。

命題 3.11 $m \geq 1$ について $\zeta(2m) = \dfrac{(-1)^{m+1}B_{2m}(2\pi)^{2m}}{2(2m)!}$。

証明. $t = 2\pi iz$ とおくと

である（$B_1$ の項が $\pi iz$ と打ち消し、奇数番目は $0$）。一方、部分分数展開から $\lvert z \rvert < 1$ で $\pi z\cot\pi z = 1 + \sum_{n \geq 1}\frac{2z^2}{z^2 - n^2} = 1 - 2\sum_{m \geq 1}\zeta(2m)z^{2m}$ である。係数を比べればよい。$\square$

たとえば $\zeta(4) = \pi^4/90$, $\zeta(6) = \pi^6/945$ である。命題 3.11 を使うと $\frac{2(2\pi i)^k}{(k-1)!} \cdot \frac{1}{2\zeta(k)} = -\frac{2k}{B_k}$ となる（$i^k = (-1)^{k/2}$ に注意）。

定義 3.12（正規化されたアイゼンシュタイン級数）偶数 $k \geq 4$ に対し

$$E_k(\tau) = \frac{G_k(\tau)}{2\zeta(k)} = 1 - \frac{2k}{B_k}\sum_{n \geq 1}\sigma_{k-1}(n)q^n$$

例 3.13 係数を並べると次のようになる（$\sigma_3(2) = 9$, $\sigma_3(3) = 28$, $\sigma_5(2) = 33$, $\sigma_5(3) = 244$ などから検算できる）。

$k = 2$ でも $E_2 = 1 - 24\sum_n\sigma_1(n)q^n$ と定義するが、これはモジュラー形式ではない（系 3.19 より $M_2 = 0$）。実際には $E_2(-1/\tau) = \tau^2E_2(\tau) + \frac{12\tau}{2\pi i}$ という補正項つきの変換則をもつ（主張。問題 3.7 で使う）。

3.5 ヴァレンス公式（$k/12$ 公式）

$f \in M_k$, $f \neq 0$ と $p \in \mathbb{H}$ について、$v_p(f)$ を $f$ の $p$ での零点の位数とする。$f(\gamma\tau) = (c\tau + d)^kf(\tau)$ で $c\tau + d \neq 0$ だから $v_{\gamma p}(f) = v_p(f)$ であり、$v_p$ は $\Gamma\backslash\mathbb{H}$ の点に対して定まる。

定理 3.14（ヴァレンス公式, valence formula）$f \in M_k$, $f \neq 0$ ならば

$$v_\infty(f) + \frac{1}{2}v_i(f) + \frac{1}{3}v_\rho(f) + \sum_{p \in \Gamma\backslash\mathbb{H},\ p \neq [i], [\rho]}v_p(f) = \frac{k}{12}$$

証明. $\tilde{f}$ は $q = 0$ の近くで恒等的に $0$ でないから、$R > 1$ を大きくとれば $f$ は $\operatorname{Im}\tau \geq R$ で零点をもたない。したがって $f$ の $\mathcal{F}$ 内の零点は有限個である。まず $f$ が $\mathcal{F}$ の境界上に $i, \rho, -\bar{\rho}$ 以外の零点をもたない場合を考える。

$\mathcal{F} \cap \lbrace \operatorname{Im}\tau \leq R \rbrace$ から $\rho, i, -\bar{\rho}$ を中心とする半径 $\varepsilon$ の円板を除いた領域の境界を、正の向きにたどる閉曲線を $C$ とする。偏角の原理より、$\varepsilon \to 0$ のとき $\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f'}{f}d\tau$ は $\mathcal{F}$ の内部の零点の位数の和、すなわち左辺の $\sum$ の部分に一致する（定理 3.2 より、$\mathcal{F}$ の内点は互いに $\Gamma$ 同値でない）。$C$ を次の部分に分けて計算する。

(a) 上辺（$\frac{1}{2} + iR$ から $-\frac{1}{2} + iR$ へ）：$q = e^{2\pi i\tau}$ は円 $\lvert q \rvert = e^{-2\pi R}$ を時計回りに 1 周するから、寄与は $-v_\infty(f)$ である。

(b) 左右の縦の辺：$T$ で互いに移り、向きが逆で、$f'/f$ は周期 1 だから打ち消し合う。

(c) 小さな円弧：$\rho$ を中心とする円弧は $\mathcal{F}$ の $\rho$ での内角 $\pi/3$ を時計回りに回る。$f'/f = v_\rho(f)/(\tau - \rho) + (\text{正則})$ だから、寄与は $\varepsilon \to 0$ で $-\frac{1}{6}v_\rho(f)$ に近づく。$-\bar{\rho} = T\rho$ でも同じく $-\frac{1}{6}v_\rho(f)$、$i$ では内角 $\pi$ だから $-\frac{1}{2}v_i(f)$ である。

(d) 単位円上の 2 つの弧：$A$ を $\rho$ から $i$ への弧、$A'$ を $i$ から $-\bar{\rho}$ への弧とする。$S(e^{i\theta}) = e^{i(\pi - \theta)}$ より $S$ は $A$ を $A'$ に向きを逆にして写す。$f(S\tau) = \tau^kf(\tau)$ の対数微分は $\frac{f'}{f}(S\tau)S'(\tau) = \frac{k}{\tau} + \frac{f'}{f}(\tau)$ だから

となり、$\int_A + \int_{A'} = -k\int_A\frac{d\tau}{\tau}$ である。$A$ 上で偏角は $2\pi/3$ から $\pi/2$ まで動くから、$\varepsilon \to 0$ で $\int_A d\tau/\tau \to i(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}) = -\frac{\pi i}{6}$、寄与は $\frac{1}{2\pi i} \cdot \frac{k\pi i}{6} = \frac{k}{12}$ である。

以上を合計すると $-v_\infty(f) - \frac{1}{3}v_\rho(f) - \frac{1}{2}v_i(f) + \frac{k}{12} = \sum_p v_p(f)$ となり、主張を得る。境界上に他の零点 $\lambda$ がある場合、それは $T$ または $S$ で移り合う対 $(\lambda, \lambda')$ として現れるので、$\lambda$ のまわりでは $C$ を小さな半円で内側に、$\lambda'$ のまわりでは対応する半円で外側に迂回させる。こうすると対のちょうど一方が内部に入り、(b), (d) の打ち消し合いの議論はそのまま成り立つ。$\square$

3.6 判別式 $\Delta$ と次元公式

定義 3.15（判別式, discriminant）$\Delta = \dfrac{E_4^3 - E_6^2}{1728} \in M_{12}$。

例 3.16 例 3.13 から

（たとえば $q^2$ の係数は $3 \cdot 2160 + 3 \cdot 240^2 = 179280$ と $2 \cdot (-16632) + 504^2 = 220752$）。差をとって $1728$ で割ると

となる（$q^4$ 以降は定理 3.22 の積表示から計算した）。この係数を $\tau(n)$ と書く：$\Delta = \sum_{n \geq 1}\tau(n)q^n$。特に $\Delta \in S_{12}$, $v_\infty(\Delta) = 1$ である。

命題 3.17 $\Delta$ は $\mathbb{H}$ 上で零点をもたない。$f \mapsto \Delta f$ は同型 $M_{k-12} \to S_k$ を与える。

証明. ヴァレンス公式で $k = 12$, $v_\infty(\Delta) = 1$ とすると、他の項はすべて $0$ である。$f \in S_k$ なら $f/\Delta$ は $\mathbb{H}$ 上正則、重さ $k - 12$ の変換則を満たし、$v_\infty(f/\Delta) = v_\infty(f) - 1 \geq 0$ だから $M_{k-12}$ に属する。$\square$

定理 3.18（次元公式）$k$ を整数とする。

1. $k < 0$, $k$ が奇数, $k = 2$ のいずれかなら $M_k = 0$。
2. $k = 0, 4, 6, 8, 10$ なら $M_k = \mathbb{C}E_k$（$E_0 = 1$）、$S_k = 0$。
3. 偶数 $k \geq 4$ で $M_k = \mathbb{C}E_k \oplus \Delta M_{k-12}$。

したがって偶数 $k \geq 0$ について

$$\dim M_k = \begin{cases} \lfloor k/12 \rfloor & (k \equiv 2 \pmod{12}) \\ \lfloor k/12 \rfloor + 1 & (\text{それ以外}) \end{cases}$$

証明. 1. ヴァレンス公式の左辺は $0$ 以上だから $k \geq 0$。$k = 2$ なら $n + \frac{n'}{2} + \frac{n''}{3} = \frac{1}{6}$（$n, n', n'' \geq 0$ は整数）となるが、これは $6n + 3n' + 2n'' = 1$ を意味し不可能である。奇数は補題 3.6。

2. $k < 12$ で $0 \neq f \in S_k$ なら $v_\infty(f) \geq 1 > k/12$ となり矛盾するから $S_k = 0$ である。よって $f \mapsto f(\infty)$ は $M_k$ から $\mathbb{C}$ への単射で、$\dim M_k \leq 1$ である。$E_k \in M_k$ だから等号が成り立つ。

3. $f \in M_k$ に対し $f - f(\infty)E_k \in S_k$ であり、命題 3.17 より $S_k = \Delta M_{k-12}$ である。

次元公式は、1, 2 で $0 \leq k \leq 10$ の場合を確かめ、3 から得られる $\dim M_k = \dim M_{k-12} + 1$（$k \geq 4$）で帰納すればよい（$k = 14$ では $\dim M_2 + 1 = 1$）。$\square$

系 3.19 $M_2 = 0$。$S_k \neq 0$ となる最小の $k$ は $12$ で、$S_{12} = \mathbb{C}\Delta$。$\dim S_k = 1$ となるのは $k = 12, 16, 18, 20, 22, 26$ で、それぞれ $\Delta, \Delta E_4, \Delta E_6, \Delta E_8, \Delta E_{10}, \Delta E_{14}$ で張られる。

定理 3.20 次数つき環 $M = \bigoplus_k M_k$ は $\mathbb{C}[E_4, E_6]$ に等しく、$E_4$ と $E_6$ は代数的に独立である。

証明. $M_k \subset \mathbb{C}[E_4, E_6]$ を $k$ についての帰納法で示す。$k \leq 2$ は明らか。$k \geq 4$ なら $4a + 6b = k$ となる $a, b \geq 0$ があり、$E_4^aE_6^b \in M_k$ は定数項 1 だから $f - f(\infty)E_4^aE_6^b \in S_k = \Delta M_{k-12}$ で、$\Delta$ も帰納法の仮定も $\mathbb{C}[E_4, E_6]$ に入る。

独立性：まず異なる重さのモジュラー形式は一次独立である。実際、$\sum_k f_k = 0$（$f_k \in M_k$、有限和）なら、各 $\gamma$ について $\sum_k(c\tau + d)^kf_k(\tau) = 0$ であり、$\tau$ を固定すると多項式 $\sum_k f_k(\tau)X^k$ が無限個の値 $X = c\tau + d$ で $0$ になるから、すべての $f_k(\tau) = 0$ である。次に重さ $k$ の単項式 $E_4^aE_6^b$（$4a + 6b = k$）の個数を $N(k)$ とすると、$a \leq 2$ の単項式がちょうど 1 つあり（$4a \bmod 6$ は $a = 0, 1, 2$ で $0, 4, 2$）、$a \geq 3$ のものは $E_4^3 \times$（重さ $k - 12$ の単項式）だから $N(k) = N(k - 12) + 1$ である（$k \geq 4$）。$N(0) = 1$, $N(2) = 0$ と合わせて $N(k) = \dim M_k$ である。$N(k)$ 個の単項式が $M_k$ を張るから、一次独立である。$\square$