Lemma数学ロードマップ

19 リーマン面と保型形式 · 第 2 章

楕円関数

目安 14〜17 時間定理など 13演習 7 問

この章の目標

  • 楕円関数に関するリウヴィルの定理群（定数・留数和・零点と極の個数・アーベルの関係）を証明できる
  • ワイエルシュトラスの ℘\wp 関数を構成し、微分方程式 (℘′)2=4℘3−g2℘−g3(\wp')^2 = 4\wp^3 - g_2\wp - g_3 を導ける
  • C/Λ\mathbb{C}/\Lambda が平面 3 次曲線と同型であることを証明し、加法定理から楕円曲線の群構造を理解する
  • jj 不変量が複素トーラスの同型類を決定することを証明できる

前提：第1章、05-complex-analysis 第5章（留数定理・偏角の原理）

第1章で見たように、複素トーラス C/Λ\mathbb{C}/\Lambda 上の有理型関数は、Λ\Lambda を周期にもつ C\mathbb{C} 上の有理型関数である。この章では、そのような関数を具体的に作り、その性質を使って C/Λ\mathbb{C}/\Lambda を平面 3 次曲線として実現する。種数 1 のリーマン面を完全に理解することは、一般の種数の理論（第4章〜第6章）の最良の予習でもある。

2.1 格子と楕円関数

命題 2.1 C\mathbb{C} の離散的な部分群 LL は、{0}\lbrace 0 \rbrace、Zω\mathbb{Z}\omega（ω≠0\omega \neq 0）、Zω1+Zω2\mathbb{Z}\omega_1 + \mathbb{Z}\omega_2（ω1,ω2\omega_1, \omega_2 は R\mathbb{R} 上一次独立）のいずれかである。

証明. L≠{0}L \neq \lbrace 0 \rbrace とする。離散性より任意の円板に含まれる LL の元は有限個だから、L∖{0}L \setminus \lbrace 0 \rbrace の中で絶対値最小の元 ω1\omega_1 がとれる。L⊂Rω1L \subset \mathbb{R}\omega_1 なら、ω=tω1∈L\omega = t\omega_1 \in L に対し ω−⌊t⌋ω1\omega - \lfloor t \rfloor\omega_1 は絶対値が ∣ω1∣\lvert \omega_1 \rvert 未満だから 00 であり、L=Zω1L = \mathbb{Z}\omega_1 である。そうでなければ L∖Rω1L \setminus \mathbb{R}\omega_1 の中で絶対値最小の元 ω2\omega_2 をとる。ω∈L\omega \in L を ω=t1ω1+t2ω2\omega = t_1\omega_1 + t_2\omega_2（ti∈Rt_i \in \mathbb{R}）と書き、整数を引いて ω′=s1ω1+s2ω2∈L\omega' = s_1\omega_1 + s_2\omega_2 \in L、∣si∣≤1/2\lvert s_i \rvert \leq 1/2 とする。s2≠0s_2 \neq 0 なら ω′∉Rω1\omega' \notin \mathbb{R}\omega_1 であり、ω1,ω2\omega_1, \omega_2 は R\mathbb{R} 上一次独立だから三角不等式の等号は成り立たず、∣ω′∣<∣s1∣∣ω1∣+∣s2∣∣ω2∣≤∣ω2∣\lvert \omega' \rvert < \lvert s_1 \rvert\lvert \omega_1 \rvert + \lvert s_2 \rvert\lvert \omega_2 \rvert \leq \lvert \omega_2 \rvert となって ω2\omega_2 の最小性に反する。よって s2=0s_2 = 0 で、前半と同様に s1=0s_1 = 0、すなわち ω∈Zω1+Zω2\omega \in \mathbb{Z}\omega_1 + \mathbb{Z}\omega_2 である。□\square

3 番目の場合が格子である。以下、格子 Λ\Lambda の基底 ω1,ω2\omega_1, \omega_2 は Im⁡(ω1/ω2)>0\operatorname{Im}(\omega_1/\omega_2) > 0 となる順に選ぶ。a∈Ca \in \mathbb{C} に対し

Pa={a+sω2+tω1∣0≤s,t≤1}P_a = \lbrace a + s\omega_2 + t\omega_1 \mid 0 \leq s, t \leq 1 \rbrace

を基本平行四辺形という。その境界 ∂Pa\partial P_a を a→a+ω2→a+ω2+ω1→a+ω1→aa \to a + \omega_2 \to a + \omega_2 + \omega_1 \to a + \omega_1 \to a の順にたどると正の向き（反時計回り）になる。PaP_a から向かい合う辺の一方ずつを除いた集合は C/Λ\mathbb{C}/\Lambda の代表系である。

定義 2.2（楕円関数, elliptic function）C\mathbb{C} 上の有理型関数 ff が、すべての ω∈Λ\omega \in \Lambda について f(z+ω)=f(z)f(z + \omega) = f(z) を満たすとき、ff を Λ\Lambda に関する楕円関数という。これは C/Λ\mathbb{C}/\Lambda 上の有理型関数と同じものであり、全体は体 M(C/Λ)\mathcal{M}(\mathbb{C}/\Lambda) をなす。定数でない楕円関数 ff の C/Λ\mathbb{C}/\Lambda 上の極の個数（重複度込み）を ff の位数という（第1章の次数 deg⁡f\deg f に等しい）。

2.2 リウヴィルの定理群

定理 2.3（リウヴィルの定理群）ff を Λ\Lambda に関する楕円関数とする。

  1. ff が極をもたなければ、ff は定数である。
  2. C/Λ\mathbb{C}/\Lambda の代表系に含まれる極での留数の和は 00 である。
  3. ff が定数でなければ、代表系に含まれる零点の個数と極の個数（重複度込み）は等しい。
  4. （アーベルの関係）代表系に含まれる零点を a1,…,ana_1, \dots, a_n、極を b1,…,bnb_1, \dots, b_n（重複度だけ繰り返す）とすると、∑iai−∑ibi∈Λ\sum_i a_i - \sum_i b_i \in \Lambda である。

証明. 1. ff は整関数で、コンパクトな P0P_0 上で有界だから C\mathbb{C} 全体で有界であり、リウヴィルの定理より定数である。

2〜4 では、∂Pa\partial P_a 上に零点も極もないように aa を選ぶ（零点と極は離散的だから可能）。辺を σ1=[a,a+ω2]\sigma_1 = [a, a + \omega_2], σ2=[a+ω2,a+ω2+ω1]\sigma_2 = [a + \omega_2, a + \omega_2 + \omega_1] とすると、残りの 2 辺は σ1+ω1\sigma_1 + \omega_1, σ2−ω2\sigma_2 - \omega_2 を逆向きにたどったものである。したがって ∂Pa\partial P_a 上で連続な関数 hh について

∮∂Pah(z) dz=∫σ1(h(z)−h(z+ω1)) dz+∫σ2(h(z)−h(z−ω2)) dz(1)\oint_{\partial P_a} h(z)\,dz = \int_{\sigma_1}\bigl(h(z) - h(z + \omega_1)\bigr)\,dz + \int_{\sigma_2}\bigl(h(z) - h(z - \omega_2)\bigr)\,dz \tag{1}

が成り立つ。

  1. h=fh = f とすると (1) の被積分関数は 00 だから ∮∂Paf dz=0\oint_{\partial P_a} f\ dz = 0 であり、留数定理より留数の和は 00 である。

  2. h=f′/fh = f'/f も楕円関数だから、2 と同様に ∮∂Paf′/f dz=0\oint_{\partial P_a} f'/f\ dz = 0 である。偏角の原理より、これは 2πi2\pi i ×（零点の個数 − 極の個数）に等しい。

  3. h(z)=zf′(z)/f(z)h(z) = zf'(z)/f(z) とする。留数定理より 12πi∮∂Pah dz=∑ai−∑bi\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial P_a} h\ dz = \sum a_i - \sum b_i である。一方 h(z)−h(z+ω1)=−ω1f′(z)/f(z)h(z) - h(z + \omega_1) = -\omega_1 f'(z)/f(z), h(z)−h(z−ω2)=ω2f′(z)/f(z)h(z) - h(z - \omega_2) = \omega_2 f'(z)/f(z) だから (1) より

∑iai−∑ibi=−ω1⋅12πi∫σ1f′f dz+ω2⋅12πi∫σ2f′f dz\sum_i a_i - \sum_i b_i = -\omega_1 \cdot \frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma_1}\frac{f'}{f}\,dz + \omega_2 \cdot \frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma_2}\frac{f'}{f}\,dz

となる。ff は σ1\sigma_1 の両端で同じ値をとるから、f∘σ1f \circ \sigma_1 は 00 を通らない閉曲線であり、12πi∫σ1f′/f dz\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma_1} f'/f\ dz はその 00 のまわりの回転数、すなわち整数である。σ2\sigma_2 についても同様である。よって右辺は Λ\Lambda に属する。□\square

系 2.4 定数でない楕円関数の位数は 2 以上である。また、位数 nn の楕円関数は、C/Λ\mathbb{C}/\Lambda 上ですべての値 c∈C^c \in \hat{\mathbb{C}} をちょうど nn 回（重複度込み）とる。

証明. 位数 1 なら極は 1 位の極 1 つで、その留数は 00 でないから定理 2.3 の 2 に反する。後半は f−cf - c に定理 2.3 の 3 を適用する（系 1.24 の特別な場合でもある）。□\square

2.3 ワイエルシュトラスの ℘\wp 関数

系 2.4 より、最も簡単な楕円関数は位数 2 であり、極は 2 位の極 1 つか、1 位の極 2 つである。前者を具体的に作ろう。素朴に ∑ω(z−ω)−2\sum_{\omega} (z - \omega)^{-2} とすると収束しないので、補正項を入れる。

補題 2.5 ∑ω∈Λ∖{0}∣ω∣−s\sum_{\omega \in \Lambda \setminus \lbrace 0 \rbrace} \lvert \omega \rvert^{-s} は s>2s > 2 のとき収束する（s≤2s \leq 2 では発散する）。

証明. (x,y)↦∣xω1+yω2∣(x, y) \mapsto \lvert x\omega_1 + y\omega_2 \rvert は R2\mathbb{R}^2 のノルムだから、最大値ノルムと同値である：定数 0<c≤C0 < c \leq C があって cmax⁡(∣m∣,∣n∣)≤∣mω1+nω2∣≤Cmax⁡(∣m∣,∣n∣)c\max(\lvert m \rvert, \lvert n \rvert) \leq \lvert m\omega_1 + n\omega_2 \rvert \leq C\max(\lvert m \rvert, \lvert n \rvert)。max⁡(∣m∣,∣n∣)=r\max(\lvert m \rvert, \lvert n \rvert) = r となる整数の組はちょうど 8r8r 個（r≥1r \geq 1）だから、和は ∑r≥18r⋅r−s=8∑rr1−s\sum_{r \geq 1} 8r \cdot r^{-s} = 8\sum_r r^{1-s} と比較でき、これは s>2s > 2 で収束し s≤2s \leq 2 で発散する。□\square

定義 2.6（ワイエルシュトラスの ℘\wp 関数, Weierstrass ℘\wp-function）

℘(z)=℘(z;Λ)=1z2+∑ω∈Λ∖{0}(1(z−ω)2−1ω2)\wp(z) = \wp(z; \Lambda) = \frac{1}{z^2} + \sum_{\omega \in \Lambda \setminus \lbrace 0 \rbrace}\left(\frac{1}{(z - \omega)^2} - \frac{1}{\omega^2}\right)

定理 2.7 (1) 定義 2.6 の級数は C∖Λ\mathbb{C} \setminus \Lambda の各コンパクト集合上で絶対かつ一様に収束し、℘\wp は Λ\Lambda の各点に 2 位の極（主要部 (z−ω)−2(z - \omega)^{-2}、留数 00）をもつほかは正則な有理型関数である。 (2) ℘\wp は偶関数で、℘′(z)=−2∑ω∈Λ(z−ω)−3\wp'(z) = -2\sum_{\omega \in \Lambda}(z - \omega)^{-3} は奇関数である。 (3) ℘\wp と ℘′\wp' はともに Λ\Lambda に関する楕円関数であり、位数はそれぞれ 2 と 3 である。

証明. (1) ∣ω∣≥2∣z∣\lvert \omega \rvert \geq 2\lvert z \rvert なら ∣2ω−z∣≤52∣ω∣\lvert 2\omega - z \rvert \leq \frac{5}{2}\lvert \omega \rvert, ∣z−ω∣≥12∣ω∣\lvert z - \omega \rvert \geq \frac{1}{2}\lvert \omega \rvert より

∣1(z−ω)2−1ω2∣=∣z∣∣2ω−z∣∣ω∣2∣z−ω∣2≤10∣z∣∣ω∣3\left\lvert \frac{1}{(z - \omega)^2} - \frac{1}{\omega^2} \right\rvert = \frac{\lvert z \rvert\lvert 2\omega - z \rvert}{\lvert \omega \rvert^2\lvert z - \omega \rvert^2} \leq \frac{10\lvert z \rvert}{\lvert \omega \rvert^3}

である。∣z∣≤R\lvert z \rvert \leq R では有限個を除くすべての ω\omega が ∣ω∣≥2R\lvert \omega \rvert \geq 2R を満たすから、補題 2.5（s=3s = 3）とワイエルシュトラスの M 判定法により一様収束する。残りの有限個の項が極を与える。

(2) ω↦−ω\omega \mapsto -\omega は Λ∖{0}\Lambda \setminus \lbrace 0 \rbrace の全単射だから ℘(−z)=℘(z)\wp(-z) = \wp(z) である。項別微分により ℘′\wp' の式を得る。

(3) ℘′\wp' の級数は Λ\Lambda 全体にわたる絶対収束和なので、z↦z+ωz \mapsto z + \omega で項が並べ替わるだけであり、℘′\wp' は楕円関数である。よって ℘(z+ωi)−℘(z)\wp(z + \omega_i) - \wp(z) は導関数が 00 だから定数 cic_i であり、z=−ωi/2z = -\omega_i/2（ωi/2∉Λ\omega_i/2 \notin \Lambda なので極でない）を代入すると、℘\wp が偶関数であることから ci=℘(ωi/2)−℘(−ωi/2)=0c_i = \wp(\omega_i/2) - \wp(-\omega_i/2) = 0 である。位数は極の位数から読みとれる。□\square

命題 2.8（ローラン展開）Gk=Gk(Λ)=∑ω∈Λ∖{0}ω−kG_k = G_k(\Lambda) = \sum_{\omega \in \Lambda \setminus \lbrace 0 \rbrace}\omega^{-k}（k≥3k \geq 3）とおくと、kk が奇数なら Gk=0G_k = 0 であり、0<∣z∣<min⁡ω≠0∣ω∣0 < \lvert z \rvert < \min_{\omega \neq 0}\lvert \omega \rvert で

℘(z)=1z2+∑n≥1(2n+1)G2n+2 z2n=1z2+3G4z2+5G6z4+7G8z6+⋯\wp(z) = \frac{1}{z^2} + \sum_{n \geq 1}(2n + 1)G_{2n+2}\,z^{2n} = \frac{1}{z^2} + 3G_4z^2 + 5G_6z^4 + 7G_8z^6 + \cdots

証明. ω↦−ω\omega \mapsto -\omega で奇数の kk について Gk=−GkG_k = -G_k である。∣z∣<∣ω∣\lvert z \rvert < \lvert \omega \rvert で (z−ω)−2−ω−2=∑m≥1(m+1)zmω−m−2(z - \omega)^{-2} - \omega^{-2} = \sum_{m \geq 1}(m + 1)z^m\omega^{-m-2} であり、二重級数は絶対収束するから和の順序を交換して ℘(z)−z−2=∑m≥1(m+1)Gm+2zm\wp(z) - z^{-2} = \sum_{m \geq 1}(m + 1)G_{m+2}z^m を得る。奇数の GG は消えるので m=2nm = 2n の項だけが残る。□\square

定理 2.9（℘\wp の微分方程式）g2=g2(Λ)=60G4g_2 = g_2(\Lambda) = 60G_4, g3=g3(Λ)=140G6g_3 = g_3(\Lambda) = 140G_6 とおくと

℘′(z)2=4℘(z)3−g2℘(z)−g3\wp'(z)^2 = 4\wp(z)^3 - g_2\wp(z) - g_3

証明. 命題 2.8 より、z=0z = 0 の近くで

℘′(z)2=(−2z3+6G4z+20G6z3+⋯ )2=4z6−24G4z2−80G6+O(z2),℘(z)3=1z6+9G4z2+15G6+O(z2)\begin{aligned} \wp'(z)^2 &= \left(-\frac{2}{z^3} + 6G_4z + 20G_6z^3 + \cdots\right)^2 = \frac{4}{z^6} - \frac{24G_4}{z^2} - 80G_6 + O(z^2), \\ \wp(z)^3 &= \frac{1}{z^6} + \frac{9G_4}{z^2} + 15G_6 + O(z^2) \end{aligned}

であるから、h=℘′2−4℘3+60G4℘+140G6h = \wp'^2 - 4\wp^3 + 60G_4\wp + 140G_6 は h(z)=O(z2)h(z) = O(z^2) を満たす。hh は楕円関数で、極は Λ\Lambda にしかあり得ないが 00 で正則（しかも 00 で値 00）だから、極をもたない。定理 2.3 の 1 より hh は定数であり、h(0)=0h(0) = 0 より h≡0h \equiv 0 である。□\square

命題 2.10 e1=℘(ω1/2)e_1 = \wp(\omega_1/2), e2=℘(ω2/2)e_2 = \wp(\omega_2/2), e3=℘((ω1+ω2)/2)e_3 = \wp((\omega_1 + \omega_2)/2) とおく。C/Λ\mathbb{C}/\Lambda で ℘′\wp' の零点はこの 3 つの半周期点だけで、いずれも単純零点である。e1,e2,e3e_1, e_2, e_3 は相異なり

4x3−g2x−g3=4(x−e1)(x−e2)(x−e3),Δ(Λ):=g23−27g32=16∏i<j(ei−ej)2≠04x^3 - g_2x - g_3 = 4(x - e_1)(x - e_2)(x - e_3), \qquad \Delta(\Lambda) := g_2^3 - 27g_3^2 = 16\prod_{i < j}(e_i - e_j)^2 \neq 0

証明. uu を半周期（2u∈Λ2u \in \Lambda, u∉Λu \notin \Lambda）とすると、℘′\wp' は奇関数で周期的だから ℘′(u)=−℘′(−u)=−℘′(u)\wp'(u) = -\wp'(-u) = -\wp'(u)、すなわち ℘′(u)=0\wp'(u) = 0 である。℘′\wp' は位数 3 だから零点はちょうど 3 個（重複度込み）で、それが 3 つの半周期であり、いずれも単純である。℘−ei\wp - e_i は半周期 uiu_i で零点をもち、℘′(ui)=0\wp'(u_i) = 0 よりそれは 2 位以上だが、℘\wp の位数は 2 だから ℘\wp は値 eie_i を uiu_i でしかとらない。よって eie_i は相異なる。定理 2.9 より ℘′(ui)2=0\wp'(u_i)^2 = 0 から eie_i は 4x3−g2x−g34x^3 - g_2x - g_3 の根であり、因数分解を得る。x3+px+qx^3 + px + q の判別式 −4p3−27q2-4p^3 - 27q^2 に p=−g2/4p = -g_2/4, q=−g3/4q = -g_3/4 を代入すると ∏i<j(ei−ej)2=(g23−27g32)/16\prod_{i< j}(e_i - e_j)^2 = (g_2^3 - 27g_3^2)/16 となる。□\square

定理 2.11（楕円関数体の構造）M(C/Λ)=C(℘,℘′)\mathcal{M}(\mathbb{C}/\Lambda) = \mathbb{C}(\wp, \wp') であり、[C(℘,℘′):C(℘)]=2[\mathbb{C}(\wp, \wp') : \mathbb{C}(\wp)] = 2 である。より詳しく、偶な楕円関数は ℘\wp の有理関数であり、任意の楕円関数 ff は f=R1(℘)+℘′R2(℘)f = R_1(\wp) + \wp' R_2(\wp)（R1,R2R_1, R_2 は有理関数）と一意に書ける。

証明. ff を定数でない偶な楕円関数とする。a∉Λa \notin \Lambda について、2a∉Λ2a \notin \Lambda なら aa と −a-a は C/Λ\mathbb{C}/\Lambda の異なる点で ord⁡af=ord⁡−af\operatorname{ord}_a f = \operatorname{ord}_{-a} f である。2a∈Λ2a \in \Lambda なら −a≡a-a \equiv a だから f(a+z)=f(−a−z)=f(a−z)f(a + z) = f(-a - z) = f(a - z) となり、z↦f(a+z)z \mapsto f(a + z) は偶関数なので ord⁡af\operatorname{ord}_a f は偶数である。そこで C/Λ\mathbb{C}/\Lambda の 00 以外の零点・極を ±\pm の組に分けて代表 a1,…,ara_1, \dots, a_r を選び、mi=ord⁡aifm_i = \operatorname{ord}_{a_i}f（2ai∈Λ2a_i \in \Lambda なら ord⁡aif/2\operatorname{ord}_{a_i}f/2）として

g(z)=∏i=1r(℘(z)−℘(ai))mig(z) = \prod_{i=1}^r\bigl(\wp(z) - \wp(a_i)\bigr)^{m_i}

とおく。℘−℘(a)\wp - \wp(a) は、2a∉Λ2a \notin \Lambda なら ±a\pm a に単純零点、2a∈Λ2a \in \Lambda なら aa に 2 位の零点をもち、00 以外に極をもたないから、f/gf/g は C/Λ\mathbb{C}/\Lambda で 00 以外に零点も極もない楕円関数である。定理 2.3 の 3 より 00 でも零点・極をもたず、定理 2.3 の 1 より定数である。よって f∈C(℘)f \in \mathbb{C}(\wp)。一般の ff は f±(z)=(f(z)±f(−z))/2f_\pm(z) = (f(z) \pm f(-z))/2 と分解すると、f+f_+ と f−/℘′f_-/\wp' は偶だから f=f++℘′⋅(f−/℘′)∈C(℘)+℘′C(℘)f = f_+ + \wp' \cdot (f_-/\wp') \in \mathbb{C}(\wp) + \wp'\mathbb{C}(\wp) である。℘′\wp' は奇関数なので C(℘)\mathbb{C}(\wp)（偶関数からなる）に属さず、℘′2∈C(℘)\wp'^2 \in \mathbb{C}(\wp) だから拡大次数は 2 である。□\square

2.4 格子のアイゼンシュタイン級数

命題 2.8 で現れた Gk(Λ)G_k(\Lambda) をアイゼンシュタイン級数という（k≥4k \geq 4 は偶数）。定義から直ちに斉次性

Gk(αΛ)=α−kGk(Λ),℘(αz;αΛ)=α−2℘(z;Λ)(α∈C×)G_k(\alpha\Lambda) = \alpha^{-k}G_k(\Lambda), \qquad \wp(\alpha z; \alpha\Lambda) = \alpha^{-2}\wp(z; \Lambda) \qquad (\alpha \in \mathbb{C}^{\times})

が成り立つ。特に g2(αΛ)=α−4g2(Λ)g_2(\alpha\Lambda) = \alpha^{-4}g_2(\Lambda), g3(αΛ)=α−6g3(Λ)g_3(\alpha\Lambda) = \alpha^{-6}g_3(\Lambda), Δ(αΛ)=α−12Δ(Λ)\Delta(\alpha\Lambda) = \alpha^{-12}\Delta(\Lambda) である。Λτ=Zτ+Z\Lambda_\tau = \mathbb{Z}\tau + \mathbb{Z}（τ∈H\tau \in \mathbb{H}）について

Gk(τ):=Gk(Λτ)=∑(m,n)≠(0,0)1(mτ+n)kG_k(\tau) := G_k(\Lambda_\tau) = \sum_{(m, n) \neq (0, 0)}\frac{1}{(m\tau + n)^k}

は H\mathbb{H} 上の関数である。第3章では、これが重さ kk のモジュラー形式であることを示し、フーリエ展開（qq 展開）を求める。

例 2.12（G2nG_{2n} の漸化式）定理 2.9 を微分すると 2℘′℘′′=12℘2℘′−g2℘′2\wp'\wp'' = 12\wp^2\wp' - g_2\wp'、すなわち ℘′′=6℘2−g2/2\wp'' = 6\wp^2 - g_2/2 である。℘=z−2+∑n≥1cnz2n\wp = z^{-2} + \sum_{n \geq 1}c_nz^{2n}（cn=(2n+1)G2n+2c_n = (2n+1)G_{2n+2}）を代入して z2n−2z^{2n-2} の係数を比べると、n≥3n \geq 3 で

(2n+3)(n−2) cn=3∑i+j=n−1, i,j≥1cicj(2n + 3)(n - 2)\,c_n = 3\sum_{i + j = n - 1,\ i, j \geq 1} c_ic_j

を得る（2n(2n−1)−12=2(2n+3)(n−2)2n(2n-1) - 12 = 2(2n+3)(n-2) に注意）。n=3n = 3 で c3=c12/3c_3 = c_1^2/3、すなわち 7G8=3G427G_8 = 3G_4^2。n=4n = 4 で c4=311c1c2c_4 = \frac{3}{11}c_1c_2、すなわち 9G10=4511G4G69G_{10} = \frac{45}{11}G_4G_6。よって

G8=37G42,G10=511G4G6G_8 = \frac{3}{7}G_4^2, \qquad G_{10} = \frac{5}{11}G_4G_6

であり、帰納的にすべての G2nG_{2n} は G4G_4 と G6G_6 の有理係数多項式である。これは第3章の定理 M=C[E4,E6]M = \mathbb{C}[E_4, E_6] の予告になっている。

例 2.13（正方格子と正三角格子）Λ=Z[i]\Lambda = \mathbb{Z}[i] なら iΛ=Λi\Lambda = \Lambda だから G6(Λ)=G6(iΛ)=i−6G6(Λ)=−G6(Λ)G_6(\Lambda) = G_6(i\Lambda) = i^{-6}G_6(\Lambda) = -G_6(\Lambda)、よって g3=0g_3 = 0 である。Λ=Z[ρ]\Lambda = \mathbb{Z}[\rho]（ρ=e2πi/3\rho = e^{2\pi i/3}）なら ρΛ=Λ\rho\Lambda = \Lambda だから G4=ρ−4G4=ρ−1G4G_4 = \rho^{-4}G_4 = \rho^{-1}G_4、よって g2=0g_2 = 0 である。

2.5 C/Λ\mathbb{C}/\Lambda と平面 3 次曲線

定理 2.14 E⊂P2E \subset \mathbb{P}^2 を Y2Z=4X3−g2XZ2−g3Z3Y^2Z = 4X^3 - g_2XZ^2 - g_3Z^3 で定まる曲線（g2=g2(Λ)g_2 = g_2(\Lambda), g3=g3(Λ)g_3 = g_3(\Lambda)）とする。EE は非特異であり、

Φ ⁣:C/Λ→E,Φ(z)=[℘(z):℘′(z):1] (z∉Λ),Φ(0)=[0:1:0]\Phi\colon \mathbb{C}/\Lambda \to E, \qquad \Phi(z) = [\wp(z) : \wp'(z) : 1]\ (z \notin \Lambda), \qquad \Phi(0) = [0 : 1 : 0]

は双正則写像である。

証明. アフィン部分 y2=4x3−g2x−g3y^2 = 4x^3 - g_2x - g_3 は、右辺が重根をもたない（命題 2.10）から例 1.9 より滑らかである。Z=0Z = 0 とすると X=0X = 0 なので無限遠点は O=[0:1:0]O = [0 : 1 : 0] だけであり、Y=1Y = 1 のアフィン座標 (X,Z)(X, Z) で EE は G=Z−4X3+g2XZ2+g3Z3=0G = Z - 4X^3 + g_2XZ^2 + g_3Z^3 = 0 となる。∂G/∂Z(0,0)=1≠0\partial G/\partial Z(0, 0) = 1 \neq 0 だから OO でも滑らかで、XX が局所座標である。

Φ\Phi の像が EE に含まれることは定理 2.9 による。z∉Λz \notin \Lambda で Φ\Phi は正則である。z=0z = 0 の近くでは、Y=1Y = 1 の座標で Φ(z)=(℘/℘′,1/℘′)\Phi(z) = (\wp/\wp', 1/\wp') であり、℘/℘′=−z/2+O(z5)\wp/\wp' = -z/2 + O(z^5)、1/℘′=−z3/2+O(z7)1/\wp' = -z^3/2 + O(z^7) は 00 で正則な関数だから、Φ\Phi は 00 でも正則である。

全射：(x,y)∈E(x, y) \in E をアフィン部分の点とする。℘\wp は位数 2 だから ℘(z0)=x\wp(z_0) = x となる z0z_0 があり、℘′(z0)2=y2\wp'(z_0)^2 = y^2 より ℘′(z0)=±y\wp'(z_0) = \pm y である。℘′(z0)=y\wp'(z_0) = y なら Φ(z0)=(x,y)\Phi(z_0) = (x, y)、℘′(z0)=−y\wp'(z_0) = -y なら Φ(−z0)=(x,y)\Phi(-z_0) = (x, y) である。

単射：Φ(0)\Phi(0) は無限遠点だから、z1,z2∉Λz_1, z_2 \notin \Lambda で Φ(z1)=Φ(z2)\Phi(z_1) = \Phi(z_2) とする。℘\wp は位数 2 で偶だから ℘(z1)=℘(z2)\wp(z_1) = \wp(z_2) より z2≡±z1z_2 \equiv \pm z_1 である。z2≡−z1z_2 \equiv -z_1 かつ z2≢z1z_2 \not\equiv z_1 なら、℘′(z1)=℘′(z2)=−℘′(z1)\wp'(z_1) = \wp'(z_2) = -\wp'(z_1) より ℘′(z1)=0\wp'(z_1) = 0、したがって z1z_1 は半周期で z1≡−z1≡z2z_1 \equiv -z_1 \equiv z_2 となり矛盾する。よって z1≡z2z_1 \equiv z_2 である。

全単射な正則写像は双正則である（注意 1.20）。□\square

EE のように、非特異な 3 次曲線に 1 点 OO を指定したものを楕円曲線 (elliptic curve) という。定理 2.14 により、複素トーラスは楕円曲線である。逆に、判別式が 00 でない任意の y2=4x3−ax−by^2 = 4x^3 - ax - b が複素トーラスから得られることは、第3章で jj 関数の全射性から示す（系 3.25）。

2.6 加法定理と楕円曲線の群構造

C/Λ\mathbb{C}/\Lambda は加法群であるから、Φ\Phi を通して EE にも群構造が入る。それを座標で書き表すのが加法定理である。

定理 2.15（℘\wp の加法定理）z,w,z±w∉Λz, w, z \pm w \notin \Lambda のとき

℘(z+w)=−℘(z)−℘(w)+14(℘′(z)−℘′(w)℘(z)−℘(w))2\wp(z + w) = -\wp(z) - \wp(w) + \frac{1}{4}\left(\frac{\wp'(z) - \wp'(w)}{\wp(z) - \wp(w)}\right)^2

証明. z≢±wz \not\equiv \pm w だから ℘(z)≠℘(w)\wp(z) \neq \wp(w) である。まず、℘(z),℘(w),℘(z+w)\wp(z), \wp(w), \wp(z + w) が相異なる場合に示す（ww を固定すれば、これが成り立たない zz は C/Λ\mathbb{C}/\Lambda で有限個である）。m=(℘′(z)−℘′(w))/(℘(z)−℘(w))m = (\wp'(z) - \wp'(w))/(\wp(z) - \wp(w)), b=℘′(z)−m℘(z)b = \wp'(z) - m\wp(z) とおくと、直線 y=mx+by = mx + b は Φ(z)\Phi(z) と Φ(w)\Phi(w) を通る。楕円関数 h(u)=℘′(u)−m℘(u)−bh(u) = \wp'(u) - m\wp(u) - b は 00 に 3 位の極をもつだけだから、零点はちょうど 3 個で、z,wz, w がそのうちの 2 つである。アーベルの関係（定理 2.3 の 4）より、3 番目の零点 u3u_3 は z+w+u3≡0z + w + u_3 \equiv 0（極は 00 の 3 重）、すなわち u3≡−(z+w)u_3 \equiv -(z + w) である。3 点 Φ(z),Φ(w),Φ(u3)\Phi(z), \Phi(w), \Phi(u_3) はいずれも EE と直線の交点で、xx 座標 ℘(z),℘(w),℘(u3)=℘(z+w)\wp(z), \wp(w), \wp(u_3) = \wp(z + w) は相異なるから、これらは 3 次方程式

4x3−g2x−g3−(mx+b)2=04x^3 - g_2x - g_3 - (mx + b)^2 = 0

の 3 根のすべてである。根と係数の関係より ℘(z)+℘(w)+℘(z+w)=m2/4\wp(z) + \wp(w) + \wp(z + w) = m^2/4 であり、主張を得る。一般の場合は、両辺が zz の有理型関数として C/Λ\mathbb{C}/\Lambda の有限個の点を除いて一致するから、一致の定理により一致する。□\square

証明から次の幾何学的な記述が得られる。EE の直線 LL との交点を重複度込みで数えると 3 点である（接線は接点を 2 回、変曲点での接線は 3 回数える）。

系 2.16（楕円曲線の群法則）Φ\Phi によって C/Λ\mathbb{C}/\Lambda の加法を EE に移すと、単位元は O=[0:1:0]O = [0 : 1 : 0]、(x,y)(x, y) の逆元は (x,−y)(x, -y) であり、EE の 3 点 P,Q,RP, Q, R について「P+Q+R=OP + Q + R = O ⇔\Leftrightarrow P,Q,RP, Q, R は一直線上にある」。

証明の概略. 逆元は ℘\wp が偶、℘′\wp' が奇であることから従う。直線 αX+βY+γZ=0\alpha X + \beta Y + \gamma Z = 0 が β≠0\beta \neq 0 なら、α℘+β℘′+γ\alpha\wp + \beta\wp' + \gamma は位数 3 で極は 00 だけだから、交点に対応する零点 u1,u2,u3u_1, u_2, u_3 はアーベルの関係から u1+u2+u3≡0u_1 + u_2 + u_3 \equiv 0 を満たす。β=0\beta = 0, α≠0\alpha \neq 0（垂直な直線 x=cx = c）なら、交点は ±u0\pm u_0（℘(u0)=c\wp(u_0) = c）と OO で、和は 00。無限遠直線 Z=0Z = 0 は OO で EE に 3 重に接する。零点の重複度と交点の重複度が一致することは認める。□\square

実用上は、y=Y/2y = Y/2 とおいて y2=x3+ax+by^2 = x^3 + ax + b の形で計算することが多い（g2=−4ag_2 = -4a, g3=−4bg_3 = -4b に対応する）。このとき P=(x1,y1)P = (x_1, y_1), Q=(x2,y2)Q = (x_2, y_2)（x1≠x2x_1 \neq x_2）に対し

λ=y2−y1x2−x1,x3=λ2−x1−x2,y3=λ(x1−x3)−y1\lambda = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \qquad x_3 = \lambda^2 - x_1 - x_2, \qquad y_3 = \lambda(x_1 - x_3) - y_1

とおくと P+Q=(x3,y3)P + Q = (x_3, y_3) である（定理 2.15 の 14(⋅)2\frac{1}{4}(\cdot)^2 が λ2\lambda^2 になる。yy 座標は直線上の第 3 の交点 (x3,λx3+y1−λx1)(x_3, \lambda x_3 + y_1 - \lambda x_1) の符号を変えたもの）。P=QP = Q のときは接線の傾き λ=(3x12+a)/(2y1)\lambda = (3x_1^2 + a)/(2y_1) を使う。

例 2.17 E ⁣:y2=x3+17E\colon y^2 = x^3 + 17 上の有理点 P=(−2,3)P = (-2, 3), Q=(−1,4)Q = (-1, 4) を考える（(−2)3+17=9(-2)^3 + 17 = 9, (−1)3+17=16(-1)^3 + 17 = 16）。λ=(4−3)/(−1+2)=1\lambda = (4 - 3)/(-1 + 2) = 1, x3=1+2+1=4x_3 = 1 + 2 + 1 = 4, y3=1⋅(−2−4)−3=−9y_3 = 1 \cdot (-2 - 4) - 3 = -9 だから P+Q=(4,−9)P + Q = (4, -9) である。検算：43+17=81=(−9)24^3 + 17 = 81 = (-9)^2。係数が有理数なら P+QP + Q も有理点になるので、有理点の全体 E(Q)E(\mathbb{Q}) は群をなす。その構造（モーデルの定理）は数論の中心的な話題の一つである。

注意 2.18 C/Λ≅(R/Z)2\mathbb{C}/\Lambda \cong (\mathbb{R}/\mathbb{Z})^2 だから、nn 倍して OO になる点（nn 等分点）の全体 E[n]E[n] は (Z/n)2(\mathbb{Z}/n)^2 と同型である。たとえば E[2]E[2] は OO と 3 つの半周期に対応する点 (ei,0)(e_i, 0) からなり、これは y=0y = 0 となる点、すなわち接線が垂直になる点である。

2.7 楕円積分とヤコビの楕円関数（紹介）

楕円関数の歴史は、その逆関数である楕円積分から始まった。楕円 x=asin⁡tx = a\sin t, y=bcos⁡ty = b\cos t の弧長 ∫a2cos⁡2t+b2sin⁡2t dt\int\sqrt{a^2\cos^2t + b^2\sin^2t}\ dt や、レムニスケートの弧長 ∫dt/1−t4\int dt/\sqrt{1 - t^4} は初等関数で表せない。オイラー、ルジャンドルらはこれらの積分の加法公式を研究し、アーベルとヤコビは逆関数を考えることで二重周期性を発見した。

℘\wp の言葉では次のようになる。x=℘(z)x = \wp(z) とおくと dx=℘′(z) dzdx = \wp'(z)\ dz だから、曲線 EE 上で

dz=dxy,z≡∫OΦ(z)dxy(modΛ)dz = \frac{dx}{y}, \qquad z \equiv \int_{O}^{\Phi(z)}\frac{dx}{y} \pmod{\Lambda}

が成り立つ。右辺は EE 上の OO から Φ(z)\Phi(z) への道に沿った積分で（古典的には y=4x3−g2x−g3y = \sqrt{4x^3 - g_2x - g_3} と書いて xx についての積分とみる）、道のとり方に依存するが、その不定性がちょうど周期 Λ\Lambda である。つまり周期は閉曲線に沿った dx/ydx/y の積分であり、zz は EE から C/Λ\mathbb{C}/\Lambda への逆写像を与える。これは第4章のアーベル–ヤコビ写像の種数 1 の場合である。

例 2.19（レムニスケートの場合）g2=4g_2 = 4, g3=0g_3 = 0 とすると 4x3−4x=4x(x−1)(x+1)4x^3 - 4x = 4x(x - 1)(x + 1) で e1=1e_1 = 1 である。g2,g3g_2, g_3 が実数で Δ=64>0\Delta = 64 > 0 のとき格子は長方形で、実の周期 ω\omega は ℘\wp が (0,ω/2](0, \omega/2] で +∞+\infty から e1e_1 まで単調減少することから ω=2∫e1∞dx/4x3−g2x−g3\omega = 2\int_{e_1}^\infty dx/\sqrt{4x^3 - g_2x - g_3} で与えられる（ここでは認める）。x=1/t2x = 1/t^2 と置換すると

ω=2∫1∞dx4x3−4x=∫1∞dxx3−x=2∫01dt1−t4=ϖ≈2.62206\omega = 2\int_1^\infty \frac{dx}{\sqrt{4x^3 - 4x}} = \int_1^\infty \frac{dx}{\sqrt{x^3 - x}} = 2\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1 - t^4}} = \varpi \approx 2.62206

となる（ϖ\varpi はレムニスケート定数）。g3=0g_3 = 0 だから j=1728j = 1728 で（2.8 節）、格子は正方格子 ϖZ[i]\varpi\mathbb{Z}[i] である。ガウスは ϖ=π/M(1,2)\varpi = \pi/M(1, \sqrt{2})（MM は算術幾何平均）を発見した。

ヤコビは 0<k<10 < k < 1 に対し u=∫0xdt/(1−t2)(1−k2t2)u = \int_0^x dt/\sqrt{(1 - t^2)(1 - k^2t^2)} の逆関数 x=sn⁡(u,k)x = \operatorname{sn}(u, k) を考えた。sn⁡\operatorname{sn} は周期 4K4K, 2iK′2iK'（K=∫01dt/(1−t2)(1−k2t2)K = \int_0^1 dt/\sqrt{(1 - t^2)(1 - k^2t^2)}、K′K' は kk を 1−k2\sqrt{1 - k^2} に替えたもの）をもつ位数 2 の楕円関数で、(sn⁡′)2=(1−sn⁡2)(1−k2sn⁡2)(\operatorname{sn}')^2 = (1 - \operatorname{sn}^2)(1 - k^2\operatorname{sn}^2) を満たす。極が 2 つの単純極であることが ℘\wp との違いである。e1>e2>e3e_1 > e_2 > e_3 が実数のとき、k2=(e2−e3)/(e1−e3)k^2 = (e_2 - e_3)/(e_1 - e_3) として ℘(z)=e3+(e1−e3)/sn⁡2(e1−e3 z,k)\wp(z) = e_3 + (e_1 - e_3)/\operatorname{sn}^2(\sqrt{e_1 - e_3}\ z, k) が成り立つことが知られている（主張）。ヤコビの理論はテータ関数による表示を経て、第3章のモジュラー形式にもつながる。

2.8 jj 不変量

定義 2.20（jj 不変量, jj-invariant）格子 Λ\Lambda に対し

j(Λ)=1728g2(Λ)3g2(Λ)3−27g3(Λ)2j(\Lambda) = 1728\frac{g_2(\Lambda)^3}{g_2(\Lambda)^3 - 27g_3(\Lambda)^2}

とおく（分母は命題 2.10 より 00 でない）。斉次性より j(αΛ)=j(Λ)j(\alpha\Lambda) = j(\Lambda) である。

定理 2.21 C/Λ≅C/Λ′\mathbb{C}/\Lambda \cong \mathbb{C}/\Lambda' であるための必要十分条件は j(Λ)=j(Λ′)j(\Lambda) = j(\Lambda') である。

証明. 同型なら定理 1.30 より Λ′=αΛ\Lambda' = \alpha\Lambda で、jj は相似で不変である。逆に j(Λ)=j(Λ′)j(\Lambda) = j(\Lambda') とし、g2,g3g_2, g_3 と g2′,g3′g_2', g_3' をそれぞれの不変量とする。λ∈C×\lambda \in \mathbb{C}^{\times} で

g2′=λ4g2,g3′=λ6g3(2)g_2' = \lambda^4 g_2, \qquad g_3' = \lambda^6 g_3 \tag{2}

となるものが存在することを示す。jj の等式を分母を払って整理すると g23g3′2=g2′3g32g_2^3g_3'^2 = g_2'^3g_3^2 となる。g2=0g_2 = 0 なら j=0j = 0 だから g2′=0g_2' = 0 で、g3,g3′≠0g_3, g_3' \neq 0 だから λ6=g3′/g3\lambda^6 = g_3'/g_3 となる λ\lambda をとればよい。g3=0g_3 = 0 なら同様に g3′=0g_3' = 0 で、λ4=g2′/g2\lambda^4 = g_2'/g_2 ととればよい。g2g3≠0g_2g_3 \neq 0 なら λ4=g2′/g2\lambda^4 = g_2'/g_2 ととると (g3′/g3)2=(g2′/g2)3=λ12(g_3'/g_3)^2 = (g_2'/g_2)^3 = \lambda^{12} より g3′=±λ6g3g_3' = \pm\lambda^6g_3 で、符号が負なら λ\lambda を iλi\lambda に替えればよい（λ4\lambda^4 は不変、λ6\lambda^6 は符号が変わる）。

(2) と斉次性より、格子 Λ′′=λ−1Λ\Lambda'' = \lambda^{-1}\Lambda は g2(Λ′′)=g2′g_2(\Lambda'') = g_2', g3(Λ′′)=g3′g_3(\Lambda'') = g_3' を満たす。例 2.12 の漸化式より ℘\wp のローラン係数 cnc_n はすべて c1=g2/20c_1 = g_2/20 と c2=g3/28c_2 = g_3/28 の多項式で決まるから、℘(z;Λ′′)\wp(z; \Lambda'') と ℘(z;Λ′)\wp(z; \Lambda') は 00 の近くで一致し、一致の定理より C\mathbb{C} 全体で一致する。格子は ℘\wp の極の集合として ℘\wp から復元できるので Λ′′=Λ′\Lambda'' = \Lambda'、すなわち Λ′=λ−1Λ\Lambda' = \lambda^{-1}\Lambda であり、C/Λ≅C/Λ′\mathbb{C}/\Lambda \cong \mathbb{C}/\Lambda' である。□\square

例 2.22 例 2.13 より j(Z[i])=1728j(\mathbb{Z}[i]) = 1728, j(Z[ρ])=0j(\mathbb{Z}[\rho]) = 0 である。また、ルジャンドル標準形 y2=x(x−1)(x−λ)y^2 = x(x - 1)(x - \lambda)（λ≠0,1\lambda \neq 0, 1）で表される楕円曲線の jj 不変量は

j=256(λ2−λ+1)3λ2(λ−1)2j = 256\frac{(\lambda^2 - \lambda + 1)^3}{\lambda^2(\lambda - 1)^2}

であることが知られている（主張。y2=4x3−g2x−g3y^2 = 4x^3 - g_2x - g_3 の形への変数変換で確かめられる）。たとえば λ=−1\lambda = -1 では 256⋅27/4=1728256 \cdot 27/4 = 1728 となり、y2=x3−xy^2 = x^3 - x が正方格子に対応することと整合する。

第1章の系 1.31 と合わせると、jj は SL⁡2(Z)\H\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})\backslash\mathbb{H} 上の関数 τ↦j(Λτ)\tau \mapsto j(\Lambda_\tau) を定め、これは単射である。第3章でこれが全単射 SL⁡2(Z)\H→C\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})\backslash\mathbb{H} \to \mathbb{C} であることを示す（定理 3.24）。

まとめ

  • 楕円関数は C/Λ\mathbb{C}/\Lambda 上の有理型関数である。基本平行四辺形の境界での積分により、定数・留数和 00・零点と極の個数の一致・アーベルの関係 ∑ai−∑bi∈Λ\sum a_i - \sum b_i \in \Lambda が得られる。
  • ℘(z)=z−2+∑ω≠0((z−ω)−2−ω−2)\wp(z) = z^{-2} + \sum_{\omega \neq 0}((z - \omega)^{-2} - \omega^{-2}) は位数 2 の偶な楕円関数で、℘(z)=z−2+3G4z2+5G6z4+⋯\wp(z) = z^{-2} + 3G_4z^2 + 5G_6z^4 + \cdots である。
  • (℘′)2=4℘3−g2℘−g3(\wp')^2 = 4\wp^3 - g_2\wp - g_3（g2=60G4g_2 = 60G_4, g3=140G6g_3 = 140G_6）が成り立ち、右辺の 3 根は半周期での値 eie_i で相異なる。
  • 楕円関数体は C(℘,℘′)\mathbb{C}(\wp, \wp') で、C(℘)\mathbb{C}(\wp) の 2 次拡大である。G2nG_{2n} はすべて G4,G6G_4, G_6 の多項式である。
  • z↦[℘:℘′:1]z \mapsto [\wp : \wp' : 1] により C/Λ\mathbb{C}/\Lambda は非特異 3 次曲線 y2=4x3−g2x−g3y^2 = 4x^3 - g_2x - g_3 と同型になる。
  • 加法定理により、C/Λ\mathbb{C}/\Lambda の加法は「一直線上の 3 点の和が OO」という楕円曲線の群法則になる。
  • 楕円積分 ∫dx/y\int dx/y は ℘\wp の逆関数であり、周期は閉曲線に沿った dx/ydx/y の積分である。
  • j=1728g23/(g23−27g32)j = 1728g_2^3/(g_2^3 - 27g_3^2) は複素トーラスの同型類を決定する。

演習問題

問題 2.1 ★ a∉Λa \notin \Lambda とする。楕円関数 ℘(z)−℘(a)\wp(z) - \wp(a) の C/Λ\mathbb{C}/\Lambda における零点を、2a∉Λ2a \notin \Lambda の場合と 2a∈Λ2a \in \Lambda の場合に分けて求めよ。

解答

℘−℘(a)\wp - \wp(a) は位数 2 だから零点は重複度込みで 2 個である。℘\wp は偶だから aa と −a-a は零点である。2a∉Λ2a \notin \Lambda なら a≢−aa \not\equiv -a だから、零点は aa と −a-a で、いずれも単純である。2a∈Λ2a \in \Lambda なら aa は半周期で ℘′(a)=0\wp'(a) = 0（命題 2.10）だから aa は 2 位の零点であり、零点はこれだけである。

問題 2.2 ★ 例 2.12 の G8=37G42G_8 = \frac{3}{7}G_4^2 を Λ=Λτ\Lambda = \Lambda_\tau に適用し、Im⁡τ→∞\operatorname{Im}\tau \to \infty とすると Gk(τ)→2ζ(k)G_k(\tau) \to 2\zeta(k) となること（第3章の qq 展開から従う）を使って、ζ(4)=π4/90\zeta(4) = \pi^4/90, ζ(8)=π8/9450\zeta(8) = \pi^8/9450 と整合することを確かめよ。

解答

極限をとると 2ζ(8)=37(2ζ(4))22\zeta(8) = \frac{3}{7}(2\zeta(4))^2、すなわち ζ(8)=67ζ(4)2\zeta(8) = \frac{6}{7}\zeta(4)^2 となるはずである。実際 67⋅π88100=6π856700=π89450\frac{6}{7} \cdot \frac{\pi^8}{8100} = \frac{6\pi^8}{56700} = \frac{\pi^8}{9450} で一致する。同様に G10=511G4G6G_{10} = \frac{5}{11}G_4G_6 からは ζ(10)=1011ζ(4)ζ(6)=1011⋅π490⋅π6945=π1093555\zeta(10) = \frac{10}{11}\zeta(4)\zeta(6) = \frac{10}{11} \cdot \frac{\pi^4}{90} \cdot \frac{\pi^6}{945} = \frac{\pi^{10}}{93555} が得られ、これも正しい値である。

問題 2.3 ★★（倍角公式）2z∉Λ2z \notin \Lambda のとき次を示せ：

℘(2z)=−2℘(z)+14(℘′′(z)℘′(z))2\wp(2z) = -2\wp(z) + \frac{1}{4}\left(\frac{\wp''(z)}{\wp'(z)}\right)^2
解答

定理 2.15 で zz を固定し w→zw \to z とする。zz は半周期でない（2z∉Λ2z \notin \Lambda）ので ℘′(z)≠0\wp'(z) \neq 0 であり、℘(w)−℘(z)=℘′(z)(w−z)+O((w−z)2)\wp(w) - \wp(z) = \wp'(z)(w - z) + O((w - z)^2) は w≠zw \neq z（ww が zz に近いとき）で 00 でない。℘′(z)−℘′(w)℘(z)−℘(w)→℘′′(z)℘′(z)\frac{\wp'(z) - \wp'(w)}{\wp(z) - \wp(w)} \to \frac{\wp''(z)}{\wp'(z)} だから、両辺の連続性より主張を得る。なお ℘′′=6℘2−g2/2\wp'' = 6\wp^2 - g_2/2 を代入すれば右辺は ℘\wp と ℘′\wp' の有理式になる。

問題 2.4 ★★ Λ=Z[i]\Lambda = \mathbb{Z}[i] とする。(1) ℘(iz)=−℘(z)\wp(iz) = -\wp(z) を示せ。(2) ℘((1+i)/2)=0\wp((1 + i)/2) = 0 を示し、e=℘(1/2)e = \wp(1/2) とおくと ℘(i/2)=−e\wp(i/2) = -e、g2=4e2g_2 = 4e^2 であることを示せ。

解答

(1) 斉次性より ℘(iz;iΛ)=i−2℘(z;Λ)\wp(iz; i\Lambda) = i^{-2}\wp(z; \Lambda) で、iΛ=Λi\Lambda = \Lambda だから ℘(iz)=−℘(z)\wp(iz) = -\wp(z)。

(2) u=(1+i)/2u = (1 + i)/2 について iu=(i−1)/2=u−1≡uiu = (i - 1)/2 = u - 1 \equiv u だから、(1) より ℘(u)=℘(iu)=−℘(u)\wp(u) = \wp(iu) = -\wp(u)、よって ℘(u)=0\wp(u) = 0。また ℘(i/2)=℘(i⋅12)=−℘(1/2)=−e\wp(i/2) = \wp(i \cdot \frac{1}{2}) = -\wp(1/2) = -e。3 根が e,−e,0e, -e, 0 だから 4x3−g2x−g3=4x(x−e)(x+e)=4x3−4e2x4x^3 - g_2x - g_3 = 4x(x - e)(x + e) = 4x^3 - 4e^2x であり、g2=4e2g_2 = 4e^2, g3=0g_3 = 0（例 2.13 と整合）。

問題 2.5 ★★ 例 2.17 の E ⁣:y2=x3+17E\colon y^2 = x^3 + 17 と P=(−2,3)P = (-2, 3) について 2P2P を求め、それが EE 上にあることを確かめよ。

解答

接線の傾きは λ=3x12/(2y1)=12/6=2\lambda = 3x_1^2/(2y_1) = 12/6 = 2（a=0a = 0）。x3=λ2−2x1=4+4=8x_3 = \lambda^2 - 2x_1 = 4 + 4 = 8, y3=λ(x1−x3)−y1=2(−2−8)−3=−23y_3 = \lambda(x_1 - x_3) - y_1 = 2(-2 - 8) - 3 = -23。よって 2P=(8,−23)2P = (8, -23) で、83+17=529=2328^3 + 17 = 529 = 23^2 より EE 上にある。

問題 2.6 ★★ 例 2.22 の式 j(λ)=256(λ2−λ+1)3/(λ2(λ−1)2)j(\lambda) = 256(\lambda^2 - \lambda + 1)^3/(\lambda^2(\lambda - 1)^2) について、j(λ)=j(1/λ)=j(1−λ)j(\lambda) = j(1/\lambda) = j(1 - \lambda) を示せ。また λ=2,12\lambda = 2, \frac{1}{2} で j=1728j = 1728、λ=eπi/3\lambda = e^{\pi i/3} で j=0j = 0 となることを確かめよ。

解答

λ↦1/λ\lambda \mapsto 1/\lambda で、λ2−λ+1↦(λ2−λ+1)/λ2\lambda^2 - \lambda + 1 \mapsto (\lambda^2 - \lambda + 1)/\lambda^2、λ2(λ−1)2↦(1−λ)2/λ4\lambda^2(\lambda - 1)^2 \mapsto (1 - \lambda)^2/\lambda^4 だから、比は (λ2−λ+1)3λ6⋅λ4(λ−1)2\frac{(\lambda^2 - \lambda + 1)^3}{\lambda^6} \cdot \frac{\lambda^4}{(\lambda - 1)^2} で元に戻る。λ↦1−λ\lambda \mapsto 1 - \lambda では (1−λ)2−(1−λ)+1=λ2−λ+1(1 - \lambda)^2 - (1 - \lambda) + 1 = \lambda^2 - \lambda + 1 で、分母も (1−λ)2λ2(1 - \lambda)^2\lambda^2 だから不変。したがって jj は λ,1/λ,1−λ\lambda, 1/\lambda, 1 - \lambda から生成される 6 つの値 λ,1λ,1−λ,11−λ,λλ−1,λ−1λ\lambda, \frac{1}{\lambda}, 1 - \lambda, \frac{1}{1 - \lambda}, \frac{\lambda}{\lambda - 1}, \frac{\lambda - 1}{\lambda} で等しい。λ=2\lambda = 2：256⋅27/(4⋅1)=1728256 \cdot 27/(4 \cdot 1) = 1728。λ=1/2\lambda = 1/2 は 22 の逆数なので同じく 17281728。λ=eπi/3\lambda = e^{\pi i/3} は λ2−λ+1=0\lambda^2 - \lambda + 1 = 0 の根だから j=0j = 0。

問題 2.7 ★★★ ワイエルシュトラスのゼータ関数 ζΛ(z)=1z+∑ω≠0(1z−ω+1ω+zω2)\zeta_\Lambda(z) = \frac{1}{z} + \sum_{\omega \neq 0}\left(\frac{1}{z - \omega} + \frac{1}{\omega} + \frac{z}{\omega^2}\right) とシグマ関数 σ(z)=z∏ω≠0(1−zω)ez/ω+z2/(2ω2)\sigma(z) = z\prod_{\omega \neq 0}\left(1 - \frac{z}{\omega}\right)e^{z/\omega + z^2/(2\omega^2)} を考える。(1) ζΛ′=−℘\zeta_\Lambda' = -\wp を示し、ηi=ζΛ(z+ωi)−ζΛ(z)\eta_i = \zeta_\Lambda(z + \omega_i) - \zeta_\Lambda(z) が定数であることを示せ。(2) ルジャンドルの関係式 η2ω1−η1ω2=2πi\eta_2\omega_1 - \eta_1\omega_2 = 2\pi i を示せ。(3) アーベルの関係の逆「a1,…,ana_1, \dots, a_n, b1,…,bnb_1, \dots, b_n（どの aia_i もどの bjb_j と合同でない）が ∑ai≡∑bi(modΛ)\sum a_i \equiv \sum b_i \pmod{\Lambda} を満たせば、それらをちょうど零点・極とする楕円関数が存在する」を示せ。

ヒント

(1) 補題 2.5（s=3s = 3）で収束し、項別微分で ζΛ′=−℘\zeta_\Lambda' = -\wp。℘\wp の周期性から ζΛ(z+ωi)−ζΛ(z)\zeta_\Lambda(z + \omega_i) - \zeta_\Lambda(z) の導関数は 00。

(2) ζΛ\zeta_\Lambda は PaP_a 内にただ一つの極（留数 1）をもつから ∮∂PaζΛ dz=2πi\oint_{\partial P_a}\zeta_\Lambda\ dz = 2\pi i。一方、定理 2.3 の証明の式 (1) で h=ζΛh = \zeta_\Lambda とすると、h(z)−h(z+ω1)=−η1h(z) - h(z + \omega_1) = -\eta_1, h(z)−h(z−ω2)=η2h(z) - h(z - \omega_2) = \eta_2 で、∫σ1dz=ω2\int_{\sigma_1}dz = \omega_2, ∫σ2dz=ω1\int_{\sigma_2}dz = \omega_1 だから、積分は −η1ω2+η2ω1-\eta_1\omega_2 + \eta_2\omega_1 に等しい。

(3) σ′/σ=ζΛ\sigma'/\sigma = \zeta_\Lambda から ddzlog⁡σ(z+ωi)σ(z)=ηi\frac{d}{dz}\log\frac{\sigma(z + \omega_i)}{\sigma(z)} = \eta_i となり、σ(z+ωi)=cieηizσ(z)\sigma(z + \omega_i) = c_ie^{\eta_iz}\sigma(z)。z=−ωi/2z = -\omega_i/2 を代入し σ\sigma が奇関数であることを使うと ci=−eηiωi/2c_i = -e^{\eta_i\omega_i/2}、すなわち σ(z+ωi)=−eηi(z+ωi/2)σ(z)\sigma(z + \omega_i) = -e^{\eta_i(z + \omega_i/2)}\sigma(z)。bnb_n を Λ\Lambda の元だけずらして ∑ai=∑bi\sum a_i = \sum b_i（等号）としておき、f(z)=∏iσ(z−ai)/∏iσ(z−bi)f(z) = \prod_i\sigma(z - a_i)/\prod_i\sigma(z - b_i) とおくと、f(z+ωi)/f(z)=eηi(∑bk−∑ak)=1f(z + \omega_i)/f(z) = e^{\eta_i(\sum b_k - \sum a_k)} = 1 となり、ff が求める楕円関数である。

この章を読み終えたら

「読了」にすると学習記録とロードマップに反映されます。演習の自己採点もお忘れなく。

この章の誤りを報告GitHub で見る