等角写像とリーマンの写像定理

この章の目標

• 正則写像の等角性を理解し、メビウス変換の円円対応と複比の性質を証明できる
• 単位円板と上半平面の自己同型群を決定し、初等関数を組み合わせて等角写像を作れる
• モンテルの定理とリーマンの写像定理を証明できる
• カラテオドリの定理とシュワルツ–クリストッフェルの公式の内容を説明できる

前提：第3章（シュワルツの補題、ワイエルシュトラスの定理）、第5章（開写像定理、フルヴィッツの定理）

6.1 等角性と正則性

正則関数は $f'(a) \neq 0$ となる点の近くで、無限小的には $f'(a)$ 倍（回転と拡大）として働くので、曲線のなす角を保つ。

定義 6.1（等角, conformal）$f$ を開集合 $U \subset \mathbb{C} = \mathbb{R}^2$ 上の $C^1$ 級写像、$a \in U$ とする。$a$ を通る任意の 2 つの $C^1$ 曲線 $\gamma_1, \gamma_2$（$\gamma_j(0) = a$, $\gamma_j'(0) \neq 0$）について、$(f \circ \gamma_j)'(0) \neq 0$ であり、$(f \circ \gamma_1)'(0)$ から $(f \circ \gamma_2)'(0)$ への角 $\arg\bigl((f \circ \gamma_2)'(0)/(f \circ \gamma_1)'(0)\bigr)$ が $\gamma_1'(0)$ から $\gamma_2'(0)$ への角に（$2\pi$ の整数倍を除いて）等しいとき、$f$ は $a$ で等角であるという。

定理 6.2 (1) $f$ が $a$ で正則かつ $f'(a) \neq 0$ ならば、$f$ は $a$ で等角である。(2) 逆に、$C^1$ 写像 $f$ の $a$ での微分 $Df(a)$ が可逆で、$f$ が $a$ で等角ならば、$f$ は $a$ で複素微分可能である。

証明. (1) 命題 1.20 より $(f \circ \gamma_j)'(0) = f'(a)\gamma_j'(0)$ だから、2 つの比は $\gamma_2'(0)/\gamma_1'(0)$ に等しい。

(2) $L = Df(a)$ を $\mathbb{C}$ 上の実線形写像とみる。直線 $\gamma(t) = a + tv$ について $(f \circ \gamma)'(0) = L(v)$ だから、$L$ は 0 でないベクトルの間の角を保つ。$\alpha = L(1)$ とすると、$1$ から $e^{i\theta}$ への角は $\theta$ なので $L(e^{i\theta}) = \rho(\theta)\alpha e^{i\theta}$（$\rho(\theta) > 0$）と書ける。線形性より $L(e^{i\pi/4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(L(1) + L(i)) = \frac{\alpha}{\sqrt{2}}\bigl(1 + i\rho(\pi/2)\bigr)$ であり、この偏角が $\arg\alpha + \pi/4$ に等しいことから $\rho(\pi/2) = 1$、すなわち $L(i) = i\alpha$。よって $L(x + iy) = \alpha(x + iy)$ は複素線形で、定理 1.15 より $f$ は $a$ で複素微分可能である。$\square$

$f'(a) = 0$ の点では等角性は崩れる。$f - f(a)$ が $a$ に位数 $m$ の零点をもてば、$f(z) - f(a) \approx c(z - a)^m$ より角は $m$ 倍される（$z^2$ は $0$ で直角を平角にする）。$\bar{z}$ は角の向きを逆にする。

定義 6.3（等角写像）領域 $D$ から $D'$ への正則な全単射を双正則写像 (biholomorphic map) または等角写像 (conformal map) という。逆写像も正則である（系 5.22）。このような写像があるとき $D$ と $D'$ は等角同値であるという。$D$ から $D$ 自身への双正則写像全体は合成について群をなし、自己同型群 $\operatorname{Aut}(D)$ という。

6.2 メビウス変換

一次分数変換（メビウス変換）$T(z) = \frac{az + b}{cz + d}$（$ad - bc \neq 0$）は $\hat{\mathbb{C}}$ の全単射で、平行移動・回転と拡大・反転 $1/z$ の合成である（定義 1.38、命題 1.39）。以下、$\hat{\mathbb{C}}$ の円とは、$\mathbb{C}$ の円、または直線に $\infty$ を加えたものをいう。

定理 6.4（円円対応）メビウス変換は $\hat{\mathbb{C}}$ の円を円に写す。

証明. 円と直線は、$A, C \in \mathbb{R}$, $B \in \mathbb{C}$, $\lvert B \rvert^2 > AC$ として

の解集合としてちょうど表される。実際 $A \neq 0$ ならこれは $\lvert z + B/A \rvert^2 = (\lvert B \rvert^2 - AC)/A^2$ という円であり、$A = 0$ なら直線である。逆に円 $\lvert z - c \rvert = r$ は $(A, B, C) = (1, -c, \lvert c \rvert^2 - r^2)$、直線 $\operatorname{Re}(\bar{\beta}z) = t$ は $(0, \beta/2, -t)$ で表される。命題 1.39 より、平行移動・回転と拡大（明らかに円を円に写す）と $w = 1/z$ について示せばよい。$z = 1/w$ を代入して $\lvert w \rvert^2$ を掛けると $C\lvert w \rvert^2 + Bw + \bar{B}\bar{w} + A = 0$ となり、係数 $(C, \bar{B}, A)$ も同じ条件を満たすので円または直線である。$\infty$ と $0$ の対応（元の円が $0$ を通る $\Leftrightarrow$ $C = 0$ $\Leftrightarrow$ 像が直線）も整合している。$\square$

定理 6.5（3 点の決定）$\hat{\mathbb{C}}$ の相異なる 3 点 $z_2, z_3, z_4$ と相異なる 3 点 $w_2, w_3, w_4$ に対し、$T(z_j) = w_j$（$j = 2, 3, 4$）となるメビウス変換 $T$ がただ 1 つ存在する。

証明. 存在：$z_j$ がすべて有限なら

は $z_2, z_3, z_4$ を $1, 0, \infty$ に写すメビウス変換である（$S(z) = k\frac{z - z_3}{z - z_4}$、$k \neq 0$ で、行列式 $k(z_3 - z_4) \neq 0$）。$z_j$ の 1 つが $\infty$ なら、それを含む因子を除いた式を使う。同様の $S'$ を $w_j$ について作れば、$T = S'^{-1} \circ S$ が求めるものである。一意性：$0, 1, \infty$ を固定するメビウス変換は、$T(\infty) = \infty$ より $c = 0$、$T(0) = 0$ より $b = 0$、$T(1) = 1$ より $a = d$ となり恒等写像である。$T, T'$ がともに条件を満たせば、$S \circ T'^{-1} \circ T \circ S^{-1}$ は $1, 0, \infty$ を固定するので恒等写像で、$T = T'$。$\square$

定義 6.6（複比, cross-ratio）相異なる $z_2, z_3, z_4 \in \hat{\mathbb{C}}$ と $z_1 \in \hat{\mathbb{C}}$ に対し、$z_2, z_3, z_4$ を $1, 0, \infty$ に写すメビウス変換 $S$ による $z_1$ の像を複比 $(z_1, z_2, z_3, z_4)$ という。有限の点については $(z_1, z_2, z_3, z_4) = \frac{(z_1 - z_3)(z_2 - z_4)}{(z_1 - z_4)(z_2 - z_3)}$ である。

系 6.7 (1) 任意のメビウス変換 $T$ について $(Tz_1, Tz_2, Tz_3, Tz_4) = (z_1, z_2, z_3, z_4)$。(2) 相異なる 4 点が同一の円の上にあるための必要十分条件は、複比が実数（または $\infty$）であることである。

証明. (1) $S \circ T^{-1}$ は $Tz_2, Tz_3, Tz_4$ を $1, 0, \infty$ に写すから、これらの点に対する複比の写像であり、$Tz_1$ での値は $S(z_1)$ である。(2) $S^{-1}(\hat{\mathbb{R}})$ は $z_2, z_3, z_4$ を通る円であり（定理 6.4）、3 点を通る円はただ 1 つだから、$z_1$ がその上にあることは $S(z_1) \in \hat{\mathbb{R}}$ と同値である。$\square$

メビウス変換 $T$ が円 $\Gamma$ を円 $\Gamma'$ に写すとき、$T$ は $\hat{\mathbb{C}}$ の同相写像なので、$\hat{\mathbb{C}} \setminus \Gamma$ の 2 つの連結成分を $\hat{\mathbb{C}} \setminus \Gamma'$ の連結成分に写す。どちらに写るかは 1 点の行き先を見ればわかる。

例 6.8 ケーリー変換 $C(z) = \frac{z - i}{z + i}$ は、実数 $x$ について $\lvert x - i \rvert = \lvert x + i \rvert$ だから $\hat{\mathbb{R}}$ を単位円周に写し、$C(i) = 0$ だから上半平面 $\mathbb{H}$ を単位円板 $\mathbb{D}$ の上に全単射に写す（例 1.40）。逆写像は $w(z + i) = z - i$ を解いて $C^{-1}(w) = i\frac{1 + w}{1 - w}$ である。

6.3 単位円板と上半平面の自己同型群

補題 6.9 $a \in \mathbb{D}$ に対し $\varphi_a(z) = \dfrac{z - a}{1 - \bar{a}z}$ は $\operatorname{Aut}(\mathbb{D})$ の元で、$\varphi_a(a) = 0$、$\varphi_a^{-1} = \varphi_{-a}$、$\varphi_a'(0) = 1 - \lvert a \rvert^2$、$\varphi_a'(a) = \dfrac{1}{1 - \lvert a \rvert^2}$ である。

証明. $\lvert z \rvert = 1$ なら $\lvert 1 - \bar{a}z \rvert = \lvert \bar{z} \rvert \lvert 1 - \bar{a}z \rvert = \lvert \bar{z} - \bar{a} \rvert = \lvert z - a \rvert$ だから $\lvert \varphi_a(z) \rvert = 1$ である。$\varphi_a$ は $\overline{\mathbb{D}}$ を含む円板 $\lvert z \rvert < 1/\lvert a \rvert$ で正則だから、最大値の原理より $\mathbb{D}$ 上で $\lvert \varphi_a \rvert < 1$（定数でない）。$w = \varphi_a(z)$ を $z$ について解くと $z = \frac{w + a}{1 + \bar{a}w} = \varphi_{-a}(w)$ で、$\varphi_{-a}$ も $\mathbb{D}$ を $\mathbb{D}$ に写すから、$\varphi_a$ は $\mathbb{D}$ の全単射である。最後に $\varphi_a'(z) = \frac{1 - \lvert a \rvert^2}{(1 - \bar{a}z)^2}$。$\square$

定理 6.10（単位円板の自己同型群）$\operatorname{Aut}(\mathbb{D}) = \lbrace e^{i\theta}\varphi_a \mid \theta \in \mathbb{R}, a \in \mathbb{D} \rbrace$ である。特に $0$ を固定する自己同型は回転 $z \mapsto e^{i\theta}z$ に限る。

証明. 右辺の元が自己同型であることは補題 6.9 による。$f \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$ とし $a = f^{-1}(0)$、$g = f \circ \varphi_a^{-1}$ とおくと、$g \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$、$g(0) = 0$ である。シュワルツの補題（定理 3.28）を $g$ と $g^{-1}$ に適用すると $\lvert g(z) \rvert \leq \lvert z \rvert$ かつ $\lvert z \rvert = \lvert g^{-1}(g(z)) \rvert \leq \lvert g(z) \rvert$、よって $\lvert g(z) \rvert = \lvert z \rvert$ で、$g(z) = e^{i\theta}z$ である。したがって $f = g \circ \varphi_a = e^{i\theta}\varphi_a$。$\square$

$\operatorname{Aut}(\mathbb{D})$ は $\mathbb{D}$ に推移的に作用し、$0$ の固定部分群は回転群である。これは双曲幾何の合同変換群である（リーマン面と保型形式 第6章）。

定理 6.11（上半平面の自己同型群）

$$\operatorname{Aut}(\mathbb{H}) = \left\lbrace z \mapsto \frac{az + b}{cz + d} \ \middle|\ a, b, c, d \in \mathbb{R}, \ ad - bc = 1 \right\rbrace$$

であり、$\operatorname{Aut}(\mathbb{H}) \cong \operatorname{PSL}_2(\mathbb{R}) = \operatorname{SL}_2(\mathbb{R})/\lbrace \pm I \rbrace$ である。

証明. $a, b, c, d$ が実数なら

だから、$ad - bc = 1$ の変換は $\mathbb{H}$ を $\mathbb{H}$ に写す（$z \in \mathbb{H}$ なら $cz + d \neq 0$）。逆変換（逆行列）も同じ形なので自己同型である。

逆に $f \in \operatorname{Aut}(\mathbb{H})$ とすると、$C \circ f \circ C^{-1} \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$ は定理 6.10 よりメビウス変換だから、$f$ もメビウス変換である。$f$ は $\hat{\mathbb{C}}$ の同相写像で $\mathbb{H}$ を $\mathbb{H}$ に写すから、その境界 $\hat{\mathbb{R}}$ を $\hat{\mathbb{R}}$ に写す。よって $f(0), f(1), f(\infty)$ は $\hat{\mathbb{R}}$ の相異なる 3 点である。定理 6.5 の構成で実の点だけを使えば、$0, 1, \infty$ をこれらに写す実係数のメビウス変換が得られ、一意性からそれは $f$ に等しい。$\operatorname{Im} f(i) = (ad - bc)/(c^2 + d^2) > 0$ より $ad - bc > 0$ で、各係数を $\sqrt{ad - bc}$ で割れば $ad - bc = 1$ にできる。最後に、$A, B \in \operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ について $T_A = T_B$ なら $T_{A^{-1}B}$ は $0, 1, \infty$ を固定するので $A^{-1}B$ はスカラー行列 $\lambda I$、$\lambda^2 = 1$ である。$\square$

$\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ の $\mathbb{H}$ への作用はモジュラー形式の理論の出発点である（リーマン面と保型形式 第3章）。

6.4 初等関数による等角写像

具体的な等角写像は、メビウス変換・べき関数・指数関数などを組み合わせて作る。

例 6.12（べき関数）$0 < \theta_0 \leq 2\pi$、$\alpha > 0$、$\alpha\theta_0 \leq 2\pi$ とする。角領域 $\lbrace 0 < \arg z < \theta_0 \rbrace$ 上で $z^\alpha = \lvert z \rvert^\alpha e^{i\alpha\arg z}$ と定めると（対数の分枝による $e^{\alpha\log z}$ で正則）、これは角領域 $\lbrace 0 < \arg w < \alpha\theta_0 \rbrace$ への双正則写像である。極座標で $(r, \theta) \mapsto (r^\alpha, \alpha\theta)$ という全単射だからである。たとえば $z^2$ は第 1 象限を $\mathbb{H}$ に、$\sqrt{z}$（$0 < \arg z < 2\pi$ の分枝）は $\mathbb{C} \setminus [0, \infty)$ を $\mathbb{H}$ に写す。

例 6.13（指数関数）$e^{x + iy} = e^x e^{iy}$ だから、$e^z$ は帯領域 $\lbrace 0 < \operatorname{Im} z < \pi \rbrace$ を $\mathbb{H}$ に、半帯領域 $\lbrace \operatorname{Re} z < 0, 0 < \operatorname{Im} z < \pi \rbrace$ を上半円板 $\mathbb{D} \cap \mathbb{H}$ に双正則に写す。逆写像は対数の分枝である。

例 6.14（上半円板から単位円板へ）$\mathbb{D} \cap \mathbb{H}$ を $\mathbb{D}$ に写す。$w = \frac{1 + z}{1 - z}$ は

を満たすメビウス変換なので、$\mathbb{D}$ を右半平面に、$\mathbb{D} \cap \mathbb{H}$ を第 1 象限に写す。続いて $w^2$ で $\mathbb{H}$ に、ケーリー変換で $\mathbb{D}$ に写せば、$f(z) = C\bigl(((1 + z)/(1 - z))^2\bigr)$ が求める写像である。メビウス変換だけでは不可能である。メビウス変換は角を保つので、境界の $\pm 1$ での直角を円周の滑らかな点に写せない。

例 6.15（ジューコフスキー変換）$J(z) = \frac{1}{2}\left(z + \frac{1}{z}\right)$ は $\lbrace \lvert z \rvert > 1 \rbrace$ を $\mathbb{C} \setminus [-1, 1]$ に双正則に写す。実際 $J(z) = w$ は $z^2 - 2wz + 1 = 0$ と同値で、2 根の積は 1 である。$\lvert z \rvert = 1$ なら $J(z) = \operatorname{Re} z \in [-1, 1]$ であり、逆に $w \in [-1, 1]$ なら 2 根 $w \pm i\sqrt{1 - w^2}$ は単位円周上にある。よって $w \notin [-1, 1]$ のとき 2 根はどちらも単位円周上になく、積が 1 なのでちょうど一方が $\lvert z \rvert > 1$ にある。円 $\lvert z \rvert = r > 1$ は、焦点 $\pm 1$ の楕円に写る（問題 6.7）。

6.5 正規族とモンテルの定理

リーマンの写像定理では写像を極値問題の解として求めるので、正則関数族のコンパクト性が必要になる。

定義 6.16（正規族, normal family）開集合 $U$ 上の正則関数の族 $\mathcal{F}$ が正規族であるとは、$\mathcal{F}$ の任意の関数列が、$U$ 上で広義一様収束する部分列をもつことをいう（極限は $\mathcal{F}$ に属さなくてよい）。$\mathcal{F}$ が局所有界であるとは、任意のコンパクト集合 $K \subset U$ について $\sup_{f \in \mathcal{F}} \sup_K \lvert f \rvert < \infty$ となることをいう。

定理 6.17（モンテルの定理, Montel's theorem）局所有界な正則関数の族は正規族である。

証明. (a) 同程度連続性. コンパクト集合 $K \subset U$ に対し、$K_\delta = \lbrace z \mid \operatorname{dist}(z, K) \leq 2\delta \rbrace$ が $U$ に含まれるように $\delta > 0$ をとる（$K$ と $\mathbb{C} \setminus U$ の距離は正）。$K_\delta$ はコンパクトなので、$\mathcal{F}$ の関数は $K_\delta$ 上で共通の $M$ で抑えられる。$z \in K$, $\lvert w - z \rvert < \delta$ なら、コーシーの積分公式（$\overline{D(z, 2\delta)} \subset K_\delta$）より

がすべての $f \in \mathcal{F}$ について成り立つ（$\lvert \zeta - w \rvert \geq \delta$）。

(b) 対角線論法. 実部・虚部が有理数である $U$ の点を $e_1, e_2, \dots$ と並べる（$U$ で稠密）。$f_n \in \mathcal{F}$ とする。$(f_n(e_1))$ は有界なので収束部分列をもち、その中から $e_2$ で収束する部分列をとり、……と続けて対角線をとると、すべての $e_j$ で収束する部分列 $(g_k)$ が得られる。

(c) 一様コーシー性. $K$, $\delta$, $M$ を (a) のとおりとし、$\varepsilon > 0$ に対し $\eta = \min(\delta, \varepsilon\delta/(3M))$ とおく。円板 $D(e_j, \eta)$ の全体は $K$ を覆う（$e_j$ の稠密性）ので、有限個 $D(e_{j_1}, \eta), \dots, D(e_{j_p}, \eta)$ で覆える。$k, l \geq N$ で $\lvert g_k(e_{j_s}) - g_l(e_{j_s}) \rvert < \varepsilon/3$（$s = 1, \dots, p$）となる $N$ をとる。$z \in K$ に対し $\lvert z - e_{j_s} \rvert < \eta$ となる $s$ をとると、(a) より

である。よって $(g_k)$ は各コンパクト集合上で一様コーシー列であり、広義一様収束する。$\square$

これはアスコリ–アルツェラの定理（集合と位相 第5章）の正則関数版で、同程度連続性がコーシーの積分公式から自動的に従うことが要点である。極限は正則である（定理 3.25）。

例 6.18 $\mathbb{D}$ から $\mathbb{D}$ への正則関数全体は正規族である。$\lbrace z^n \rbrace$ は $\mathbb{D}$ 上で $0$ に広義一様収束する。$\lbrace nz \rbrace$ は正規族でない（どの部分列も $z = 1/2$ で発散する）。

6.6 リーマンの写像定理

定理 6.19（リーマンの写像定理, Riemann mapping theorem）$D \subsetneq \mathbb{C}$ を単連結な領域、$z_0 \in D$ とする。このとき双正則写像 $f\colon D \to \mathbb{D}$ で $f(z_0) = 0$, $f'(z_0) > 0$ となるものがただ 1 つ存在する。

証明. 一意性. $f_1, f_2$ がともに条件を満たせば、$g = f_2 \circ f_1^{-1} \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$、$g(0) = 0$ だから定理 6.10 より $g(z) = e^{i\theta}z$ で、$g'(0) = f_2'(z_0)/f_1'(z_0) > 0$ より $g = \mathrm{id}$。

存在. $\mathcal{F}$ を、正則かつ単射な $f\colon D \to \mathbb{D}$ で $f(z_0) = 0$ となるもの全体とする。

(a) $\mathcal{F} \neq \emptyset$：$b \notin D$ をとる。$z - b$ は単連結な $D$ で零点をもたないので、$h^2 = z - b$ となる正則関数 $h$ がある（系 3.10）。$h$ は単射で、さらに $h(z_1) = -h(z_2)$ となることもない（2 乗して $z_1 = z_2$、すると $h(z_1) = 0$ となり $h^2 \neq 0$ に反する）。$h(D)$ は開集合（系 5.21）なので円板 $D(h(z_0), \rho)$（$0 < \rho < \lvert h(z_0) \rvert$）を含む。もし $h(z) \in D(-h(z_0), \rho)$ なら $-h(z) \in D(h(z_0), \rho) \subset h(D)$ となって上に反するから、$D$ 上で $\lvert h(z) + h(z_0) \rvert \geq \rho$ である。$f_1 = \frac{\rho}{2(h + h(z_0))}$ は単射で $\lvert f_1 \rvert \leq 1/2$ であり、$\varphi_{f_1(z_0)} \circ f_1 \in \mathcal{F}$ である。

(b) 極値関数：$A = \sup_{f \in \mathcal{F}} \lvert f'(z_0) \rvert$ とおく。$\overline{D(z_0, r)} \subset D$ とするとコーシーの評価式より $\lvert f'(z_0) \rvert \leq 1/r$ だから $A < \infty$、単射なら $f' \neq 0$（系 5.22）だから $A > 0$ である。$\lvert f_n'(z_0) \rvert \to A$ となる $f_n \in \mathcal{F}$ をとる。$\mathcal{F}$ は有界なので、モンテルの定理により部分列が $f$ に広義一様収束し、$f'(z_0) = \lim f_n'(z_0)$（定理 3.25）より $\lvert f'(z_0) \rvert = A > 0$ である。$f$ は定数でないので系 5.24 より単射であり、$\lvert f \rvert \leq 1$ と開写像定理から $f(D) \subset \mathbb{D}$ である。よって $f \in \mathcal{F}$ で、$\lvert f'(z_0) \rvert = A$。

(c) $f$ は全射：$w_0 \in \mathbb{D} \setminus f(D)$ があるとする。$\varphi_{w_0} \circ f$ は単連結な $D$ で零点をもたないから、$g^2 = \varphi_{w_0} \circ f$ となる正則関数 $g$ がある。$g$ は単射で $\lvert g \rvert < 1$ である。$\beta = g(z_0)$、$F = \varphi_\beta \circ g$ とおくと $F \in \mathcal{F}$ である。$s(w) = w^2$ とすると

と書ける。$\Psi$ は $\mathbb{D}$ から $\mathbb{D}$ への正則関数で、$\Psi(0) = \Psi(F(z_0)) = f(z_0) = 0$ であり、$s$ が単射でないので単射でない。よって $\Psi$ は回転でなく、シュワルツの補題より $\lvert \Psi'(0) \rvert < 1$ である。すると $\lvert f'(z_0) \rvert = \lvert \Psi'(0) \rvert \lvert F'(z_0) \rvert < \lvert F'(z_0) \rvert$ となり、$A$ の最大性に反する。

(d) $f$ に $e^{-i\arg f'(z_0)}$ を掛ければ $f'(z_0) > 0$ となる。$\square$

注意 6.20

1. $D = \mathbb{C}$ は除かれる（双正則写像 $\mathbb{C} \to \mathbb{D}$ は有界な整関数で、リウヴィルの定理により定数）。単連結性も必要である（$\mathbb{D}$ と同相な領域は単連結）。
2. 証明で単連結性を使ったのは「零点のない正則関数は正則な平方根をもつ」（系 3.10）という点だけである。したがって領域については、この性質と単連結性は同値である。
3. 単連結な真部分領域はすべて互いに等角同値で、$\mathbb{D}$ と $\mathbb{C}$ は同相だから、単連結な領域はすべて $\mathbb{D}$ と同相である（位相的な結論が正則関数論から出た）。リーマン面への一般化は一意化定理である（リーマン面と保型形式 第6章）。

6.7 境界対応とシュワルツ–クリストッフェルの公式

リーマンの写像定理は境界での振る舞いについて何も述べない。次の定理は主張のみとし、証明は省略する。

定理 6.21（カラテオドリの定理, Carathéodory's theorem）$D$ を有界な単連結領域とし、その境界 $\partial D$ はジョルダン曲線（円周と同相な集合）であるとする。このとき任意の双正則写像 $f\colon D \to \mathbb{D}$ は、同相写像 $\overline{D} \to \overline{\mathbb{D}}$ に拡張される。

$\operatorname{Aut}(\mathbb{D})$ と合わせると、$\partial D$ 上の 3 点の行き先を（向きを保って）指定した写像がただ 1 つ存在する。

多角形の場合には写像を具体的に書ける。次の定理も主張のみとする（証明は参考文献の Stein–Shakarchi を参照）。

定理 6.22（シュワルツ–クリストッフェルの公式, Schwarz–Christoffel formula）$P$ を頂点 $w_1, \dots, w_n$（反時計回り）、内角 $\alpha_1\pi, \dots, \alpha_n\pi$（$0 < \alpha_k < 2$, $\sum_k (1 - \alpha_k) = 2$）の多角形とする。$\mathbb{H}$ から $P$ の内部への双正則写像は

$$F(z) = A \int_0^z \prod_{k=1}^{n} (\zeta - x_k)^{\alpha_k - 1}\,d\zeta + B$$

の形をもつ。ここで $x_1 < \cdots < x_n$ は実数（$F(x_k) = w_k$）、$A \neq 0$ と $B$ は定数、各べきは $\mathbb{H}$ 上の分枝である。頂点の 1 つを $F(\infty)$ にとることもでき、そのときは対応する因子を除く。

意味は次のとおりである。隣り合う $x_k$ の間の実軸上では $\arg F'(x) = \arg A + \sum_k (\alpha_k - 1)\arg(x - x_k)$ が一定なので、各区間は線分に写る。$x$ が $x_k$ を左から右へ通過すると $\arg(x - x_k)$ は $\pi$ から $0$ に変わるので、進行方向は $(1 - \alpha_k)\pi$、すなわち $w_k$ での外角だけ回転する。

例 6.23

1. $F(z) = \int_0^z \frac{d\zeta}{\sqrt{1 - \zeta^2}} = \arcsin z$（$\alpha = 1/2$ の頂点 $\pm 1$ と、$\infty$）は $\mathbb{H}$ を半帯領域 $\lbrace \lvert \operatorname{Re} w \rvert < \pi/2, \operatorname{Im} w > 0 \rbrace$ に写す。逆写像は $\sin w$ である。
2. $0 < \alpha, \beta$, $\alpha + \beta < 1$ のとき、$F(z) = \int_0^z \zeta^{\alpha - 1}(1 - \zeta)^{\beta - 1}\ d\zeta$ は $\mathbb{H}$ を、頂点 $F(0) = 0$, $F(1)$, $F(\infty)$ での内角が $\alpha\pi, \beta\pi, (1 - \alpha - \beta)\pi$ の三角形に写す。辺の長さ $F(1) = \int_0^1 t^{\alpha-1}(1 - t)^{\beta-1} dt$ は第7章のベータ関数 $B(\alpha, \beta)$ である。
3. $0 < k < 1$ のとき $F(z) = \int_0^z \frac{d\zeta}{\sqrt{(1 - \zeta^2)(1 - k^2\zeta^2)}}$ は $\mathbb{H}$ を長方形に写す。これは楕円積分であり、逆関数は楕円関数になる（リーマン面と保型形式 第2章）。

まとめ

• $f'(a) \neq 0$ の正則関数は $a$ で等角（向きと角を保つ）であり、逆に等角な $C^1$ 写像は複素微分可能である。
• メビウス変換は円を円に写し、3 点の行き先で一意に決まる。複比はメビウス変換で不変で、4 点が同一円上にあることは複比が実数であることと同値である。
• $\operatorname{Aut}(\mathbb{D}) = \lbrace e^{i\theta}(z - a)/(1 - \bar{a}z) \rbrace$ はシュワルツの補題から決まり、ケーリー変換を通じて $\operatorname{Aut}(\mathbb{H}) \cong \operatorname{PSL}_2(\mathbb{R})$ となる。
• べき関数・指数関数・ジューコフスキー変換・メビウス変換を組み合わせて、具体的な等角写像が作れる。
• モンテルの定理：局所有界な正則関数族は正規族である（コーシーの積分公式による同程度連続性と対角線論法）。
• リーマンの写像定理：$\mathbb{C}$ でない単連結領域は $\mathbb{D}$ と等角同値である。証明は $\lvert f'(z_0) \rvert$ を最大化する極値問題と、平方根による改良の議論による。
• ジョルダン領域では写像は境界まで同相に延び（カラテオドリ）、多角形への写像はシュワルツ–クリストッフェル積分で与えられる。

演習問題