非有界作用素と作用素半群

この章の目標

• 閉作用素・可閉作用素・共役作用素を理解し、微分作用素について計算できる
• 対称作用素と自己共役作用素の違いを、$-i\ d/dt$ の境界条件の例で説明できる
• 自己共役性の基本判定法を証明し、掛け算作用素などに適用できる
• ストーンの定理とヒレ–吉田の定理の主張を理解し、熱方程式・シュレディンガー方程式の解を作用素の指数関数として表せる

前提：第2章、第3章、第6章、06-measure-integration 第7章（絶対連続関数）

7.1 なぜ非有界作用素か

量子力学では、位置は $L^2(\mathbb{R})$ 上の掛け算作用素 $(Qf)(x) = xf(x)$、運動量は $P = -i\ d/dx$ で表され、正準交換関係 $PQ - QP = -iI$ を満たす。しかし有界作用素ではこれは実現できない。

命題 7.1（ヴィーラント–ヴィントナー, Wielandt–Wintner）ノルム空間 $X \neq \lbrace 0 \rbrace$ 上の $P, Q \in \mathcal{B}(X)$ が $PQ - QP = cI$ を満たせば、$c = 0$ である。

証明. $c \neq 0$ とする。帰納法で $PQ^n - Q^nP = ncQ^{n-1}$（$n \geq 1$）が示せる。$Q^m = 0$ となる $m \geq 1$ があれば、この式から順に $Q^{m-1} = \cdots = Q^0 = I = 0$ となり矛盾。そうでなければ $n\lvert c \rvert \lVert Q^{n-1} \rVert \leq 2\lVert P \rVert \lVert Q \rVert \lVert Q^{n-1} \rVert$ から、すべての $n$ で $n\lvert c \rvert \leq 2\lVert P \rVert \lVert Q \rVert$ となり矛盾。$\square$

ヘリンガー–テプリッツの定理（系 3.15）により、ヒルベルト空間全体で定義された対称作用素は有界なので、$P$ や $Q$ は稠密な部分空間上でしか定義できない。また熱方程式 $u_t = \Delta u$ を $u' = Au$ とみて $u(t) = e^{tA}u_0$ と解きたいが、$A = \Delta$ は非有界なので $\sum_n t^n A^n / n!$ は意味をもたない。本章では、定義域を明示して非有界作用素を扱う方法と、$e^{tA}$ の構成（作用素半群）を学ぶ。

7.2 閉作用素

定義 7.2 $X, Y$ をバナッハ空間とする。部分空間 $D(T) \subset X$（定義域, domain）上の線形写像 $T\colon D(T) \to Y$ を作用素といい、$D(T)$ が稠密なとき稠密に定義されている (densely defined) という。$G(S) \subset G(T)$ のとき $S \subset T$（$T$ は $S$ の拡張）と書く。$S = T$ は定義域も等しいことを意味する。グラフ $G(T) = \lbrace (x, Tx) \mid x \in D(T) \rbrace$ が $X \times Y$ で閉のとき閉 (closed) といい、$\overline{G(T)}$ がある作用素のグラフになるとき可閉 (closable) といって、その作用素を閉包 $\overline{T}$ と書く。$D(T)$ 上のグラフノルムを $\lVert x \rVert_T = \lVert x \rVert + \lVert Tx \rVert$ と定める。

命題 7.3 (1) $T$ が閉であることと、$(D(T), \lVert \cdot \rVert_T)$ がバナッハ空間であることは同値である。(2) $T$ が閉で単射なら $T^{-1}\colon \operatorname{Ran} T \to X$ は閉である。

証明. (1) $x \mapsto (x, Tx)$ は $(D(T), \lVert \cdot \rVert_T)$ から $G(T)$ への等長全単射であり、$G(T)$ が完備であることと閉であることは同値である（命題 1.4）。(2) $G(T^{-1})$ は $G(T)$ の成分を入れ替えたものである。$\square$

複素バナッハ空間 $X$ 上の閉作用素 $T$ について、$\lambda I - T\colon D(T) \to X$ が全単射となる $\lambda$ の全体をレゾルベント集合 $\rho(T)$、その補集合をスペクトル $\sigma(T)$ という。このとき $(\lambda I - T)^{-1}$ は命題 7.3 の (2) により閉で、$X$ 全体で定義されているので、閉グラフ定理（定理 3.14）により有界である。

微分作用素を扱うため、$g \in L^2[0,1]$ によって $u(t) = u(0) + \int_0^t g$ と書ける $u \in C[0,1]$ の全体を $H^1(0,1) \subset L^2[0,1]$ とし、$u' := g$ とおく。06-measure-integration 第7章 の定理 7.14 により、これは a.e. の導関数 $u'$ が $L^2$ に属する絶対連続関数の全体である。

補題 7.4 $u \in H^1(0,1)$ ならば $\max_t \lvert u(t) \rvert \leq \lVert u \rVert_2 + \lVert u' \rVert_2$ である。$L^2[0,1]$ 上の作用素 $u \mapsto u'$（定義域 $H^1(0,1)$）は閉であり、$u \mapsto u(0)$ と $u \mapsto u(1)$ はグラフノルムについて連続である。

証明. $u(t) = u(s) + \int_s^t u'$ より $\lvert u(t) \rvert \leq \lvert u(s) \rvert + \lVert u' \rVert_1$ で、$s$ について積分して $\lvert u(t) \rvert \leq \lVert u \rVert_1 + \lVert u' \rVert_1 \leq \lVert u \rVert_2 + \lVert u' \rVert_2$。グラフノルムのコーシー列 $(u_n)$ はこの評価からある $u \in C[0,1]$ に一様収束し、$u_n' \to g$（$L^2$）となる $g$ がある。$u_n(t) = u_n(0) + \int_0^t u_n'$ で極限をとれば $u \in H^1$, $u' = g$ であり、$u_n \to u$（グラフノルム）。命題 7.3 の (1) から閉である。$\square$

例 7.5（可閉でない作用素）$D(T) = C[0,1] \subset L^2[0,1]$ 上で $Tf = f(0)\mathbf{1}$（$\mathbf{1}$ は定数関数）とおく。$f_n(t) = \max(0, 1 - nt)$ は $\lVert f_n \rVert_2 \to 0$ を満たすが $Tf_n = \mathbf{1}$ なので $(0, \mathbf{1}) \in \overline{G(T)}$ となり、$T$ は可閉でない。

7.3 共役作用素

定義 7.6（共役作用素, adjoint）$T$ をヒルベルト空間 $H$ 上の稠密に定義された作用素とする。$x \mapsto \langle Tx, y \rangle$ が $D(T)$ 上で有界となる $y$ の全体を $D(T^{\ast})$ とする。リースの表現定理と $D(T)$ の稠密性から、$\langle Tx, y \rangle = \langle x, z \rangle$（$x \in D(T)$）を満たす $z$ がただ一つ存在する。$T^{\ast}y = z$ と定め、$T^{\ast}$ を $T$ の共役作用素という。

命題 7.7 $T$ を稠密に定義された作用素とする。

1. $T^{\ast}$ は閉である。また $S \subset T$ ならば $T^{\ast} \subset S^{\ast}$。
2. $T$ が可閉であることと $D(T^{\ast})$ が稠密であることは同値で、このとき $\overline{T} = T^{\ast\ast}$。
3. $\ker T^{\ast} = (\operatorname{Ran} T)^\perp$。また $B \in \mathcal{B}(H)$ なら $(T + B)^{\ast} = T^{\ast} + B^{\ast}$。

証明. ヒルベルト空間 $H \times H$ 上のユニタリ作用素 $J(a, b) = (-b, a)$ を考える。$(y, z) \in G(T^{\ast})$ ⇔ すべての $x \in D(T)$ で $\langle (x, Tx), (-z, y) \rangle = 0$ ⇔ $J(y, z) \in G(T)^\perp$ なので、$J^{-1} = -J$ と合わせて

1：直交補空間は閉だから $T^{\ast}$ は閉である。後半は $G(S) \subset G(T)$ から従う。2：$J$ はユニタリで $J^2 = -I$ だから $JG(T^{\ast}) = (J^2 G(T))^\perp = G(T)^\perp$ である。$D(T^{\ast})$ が稠密なら $T^{\ast\ast}$ が定義され、$G(T^{\ast\ast}) = (JG(T^{\ast}))^\perp = G(T)^{\perp\perp} = \overline{G(T)}$。逆に $0 \neq w \perp D(T^{\ast})$ があれば、$(0, w)$ は $JG(T^{\ast}) = \lbrace (-T^{\ast}y, y) \mid y \in D(T^{\ast}) \rbrace$ に直交するので $(0, w) \in G(T)^{\perp\perp} = \overline{G(T)}$ となり、$T$ は可閉でない。3：$y \in \ker T^{\ast}$ ⇔ すべての $x \in D(T)$ で $\langle Tx, y \rangle = 0$ ⇔ $y \perp \operatorname{Ran} T$。また $\langle (T + B)x, y \rangle = \langle Tx, y \rangle + \langle x, B^{\ast}y \rangle$ から後半が従う。$\square$

7.4 対称作用素と自己共役作用素

定義 7.8 稠密に定義された作用素 $T$ が $T \subset T^{\ast}$、すなわち $\langle Tx, y \rangle = \langle x, Ty \rangle$（$x, y \in D(T)$）を満たすとき対称 (symmetric)、$T = T^{\ast}$（定義域も一致）のとき自己共役 (self-adjoint) という。

対称作用素は $D(T^{\ast}) \supset D(T)$ が稠密なので可閉で、$T \subset \overline{T} = T^{\ast\ast} \subset T^{\ast}$。自己共役作用素は閉である。非有界な場合、$D(T^{\ast})$ は $D(T)$ より真に大きくなりえ、その差は境界条件に現れる。

例 7.9（$-i\ d/dt$ と境界条件）$H = L^2[0,1]$ で、次の作用素を考える（いずれも $u \mapsto -iu'$）。

$T_0 \subset T_\alpha \subset T_{\max}$ であり、補題 7.4 よりいずれも閉である（境界値はグラフノルムについて連続）。このとき

が成り立つ。したがって $T_0$ は閉な対称作用素だが自己共役でなく、$T_\alpha$（$\lvert \alpha \rvert = 1$）は $T_0$ の相異なる自己共役拡張であり、$T_{\max}$ は対称でない。

証明. 絶対連続関数の部分積分（06-measure-integration 第7章 問題 7.5）により、$u, v \in H^1(0,1)$ について

$u \in D(T_0)$ なら (1) の右辺は $0$ なので $T_{\max} \subset T_0^{\ast}$。逆に $v \in D(T_0^{\ast})$, $w = T_0^{\ast}v$ とし、$W(t) = \int_0^t w$ とおく。$u \in D(T_0)$ に対し、部分積分と $u(0) = u(1) = 0$ から $\langle u, w \rangle = -\langle u', W \rangle$ なので、$-i\langle u', v \rangle = \langle u, w \rangle = -\langle u', W \rangle$、すなわち $\langle u', v - iW \rangle = 0$。ここで $\lbrace u' \mid u \in D(T_0) \rbrace = \lbrace g \in L^2 \mid \int_0^1 g = 0 \rbrace = \lbrace \mathbf{1} \rbrace^\perp$ だから、$v - iW \in \lbrace \mathbf{1} \rbrace^{\perp\perp} = \mathbb{C}\mathbf{1}$。よって $v = iW + c \in H^1$ で $-iv' = w$、すなわち $T_0^{\ast} \subset T_{\max}$。$T_0$ は閉なので、命題 7.7 の 2 より $T_{\max}^{\ast} = T_0^{\ast\ast} = T_0$。

$u, v \in D(T_\alpha)$ なら (1) の右辺は $-i(\lvert \alpha \rvert^2 - 1)u(0)\overline{v(0)} = 0$ なので $T_\alpha \subset T_\alpha^{\ast}$。逆に $T_0 \subset T_\alpha$ より $T_\alpha^{\ast} \subset T_0^{\ast} = T_{\max}$ で、$v \in D(T_\alpha^{\ast})$, $u \in D(T_\alpha)$ について (1) の左辺は $0$ だから $u(0)(\alpha\overline{v(1)} - \overline{v(0)}) = 0$。$u(t) = 1 + (\alpha - 1)t$ とすれば $\overline{v(0)} = \alpha\overline{v(1)}$、すなわち $v(1) = \alpha v(0)$ となり、$v \in D(T_\alpha)$。$\square$

例 7.10（スペクトル）$e_\lambda(t) = e^{i\lambda t}$ は $-ie_\lambda' = \lambda e_\lambda$ を満たす。

1. $T_{\max}$ ではすべての $\lambda$ が固有値である。$T_0 - \lambda I$ は単射だが（$u(0) = 0$ と解の一意性）、命題 7.7 の 3 より $\operatorname{Ran}(T_0 - \lambda I)^\perp = \ker(T_{\max} - \bar{\lambda} I) = \mathbb{C}e_{\bar{\lambda}}$ なので $\sigma(T_0) = \sigma(T_{\max}) = \mathbb{C}$。
2. $\alpha = e^{i\theta}$ なら $\sigma(T_\alpha) = \theta + 2\pi\mathbb{Z}$ で、すべて固有値である（問題 7.2）。
3. $D(T) = \lbrace u \in H^1 \mid u(0) = 0 \rbrace$, $Tu = -iu'$ とすると、任意の $\lambda \in \mathbb{C}$ と $f \in L^2$ について $(T - \lambda I)u = f$ はただ一つの解 $u(t) = i\int_0^t e^{i\lambda(t-s)}f(s)\ ds$ をもつので、$\sigma(T) = \emptyset$ である。

このように閉作用素のスペクトルは空にも $\mathbb{C}$ 全体にもなりうるが、自己共役作用素ではそうならない。系 7.12 により $\sigma(T) \subset \mathbb{R}$ であり、$H \neq \lbrace 0 \rbrace$ なら $\sigma(T) \neq \emptyset$ であることも定理 7.15 と問題 7.3 からわかる（本質的値域は空でない）。

7.5 自己共役性の判定法

$D(T^{\ast})$ を例 7.9 のように決定するのは一般には難しい。次の判定法は、自己共役性を方程式 $(T \pm iI)u = f$ の可解性に帰着させる。

定理 7.11（自己共役性の基本判定法）$T$ を対称作用素とする。次は同値である。

1. $T$ は自己共役である。
2. $T$ は閉で、$\ker(T^{\ast} + iI) = \ker(T^{\ast} - iI) = \lbrace 0 \rbrace$。
3. $\operatorname{Ran}(T + iI) = \operatorname{Ran}(T - iI) = H$。

証明. $x \in D(T)$ なら $\langle Tx, x \rangle \in \mathbb{R}$ なので $\langle Tx, \pm ix \rangle$ は純虚数であり、

1 ⇒ 2：自己共役作用素は閉である。$T^{\ast}x = ix$ なら $Tx = ix$ で、$i\lVert x \rVert^2 = \langle Tx, x \rangle \in \mathbb{R}$ から $x = 0$。$-i$ も同様。

2 ⇒ 3：命題 7.7 の 3 より $\operatorname{Ran}(T + iI)^\perp = \ker(T^{\ast} - iI) = \lbrace 0 \rbrace$ なので、値域は稠密である。$(T + iI)x_n \to y$ とすると、式 (2) から $(x_n)$ と $(Tx_n)$ はコーシー列で $x_n \to x$, $Tx_n \to z$ となり、$T$ が閉だから $x \in D(T)$, $Tx = z$, $y = (T + iI)x$。よって値域は閉で、$H$ に等しい。$T - iI$ も同様。

3 ⇒ 1：$D(T^{\ast}) \subset D(T)$ を示せばよい。$y \in D(T^{\ast})$ に対し、仮定から $(T - iI)x = (T^{\ast} - iI)y$ となる $x \in D(T)$ がある。$T \subset T^{\ast}$ より $(T^{\ast} - iI)(y - x) = 0$ で、$\ker(T^{\ast} - iI) = \operatorname{Ran}(T + iI)^\perp = \lbrace 0 \rbrace$ だから $y = x \in D(T)$。$\square$

系 7.12 $T$ が自己共役ならば $\sigma(T) \subset \mathbb{R}$ であり、$\operatorname{Im}\lambda \neq 0$ のとき $\lVert (T - \lambda I)^{-1} \rVert \leq 1/\lvert \operatorname{Im}\lambda \rvert$。

証明. $\lambda = \alpha + i\beta$（$\beta \neq 0$）なら $T - \lambda I = \beta(S - iI)$、$S = (T - \alpha I)/\beta$ で、$S$ は自己共役だから定理 7.11 と式 (2) を $S$ に適用すればよい。$\square$

例 7.13（掛け算作用素）$(\Omega, \mu)$ を σ-有限測度空間、$\varphi$ を実数値可測関数とし、$D(M_\varphi) = \lbrace f \in L^2 \mid \varphi f \in L^2 \rbrace$, $M_\varphi f = \varphi f$ とおく。優収束定理により $f\mathbf{1}_{\lbrace \lvert \varphi \rvert \leq n \rbrace} \to f$ なので定義域は稠密であり、$\varphi$ が実数値だから対称である。$g \in L^2$ に対し $f = g/(\varphi \pm i)$ は $\lvert f \rvert \leq \lvert g \rvert$, $\lvert \varphi f \rvert \leq \lvert g \rvert$ を満たすので、$f \in D(M_\varphi)$ かつ $(M_\varphi \pm iI)f = g$。定理 7.11 より $M_\varphi$ は自己共役である。

$L^2(\mathbb{R})$ のフーリエ変換 $\mathcal{F}$ はユニタリで（プランシュレルの定理、18-pde 第2章）、$\widehat{u'}(\xi) = i\xi\hat{u}(\xi)$ を満たすので、運動量作用素 $P = \mathcal{F}^{-1}M_\xi\mathcal{F}$（滑らかで急減少する $u$ では $Pu = -iu'$）は自己共役である。同様に、$\mathbb{R}^d$ 上の $-\Delta = \mathcal{F}^{-1}M_{\lvert \xi \rvert^2}\mathcal{F}$ も自己共役である。

7.6 ケイリー変換・スペクトル定理・ストーンの定理

$\mathbb{R}$ を単位円周に写す $\lambda \mapsto (\lambda - i)/(\lambda + i)$ を作用素に適用すると、自己共役作用素をユニタリ作用素に変換できる。

定理 7.14（ケイリー変換, Cayley transform）$T$ が自己共役ならば、$U = (T - iI)(T + iI)^{-1}$ はユニタリで、$I - U$ は単射、$\operatorname{Ran}(I - U) = D(T)$、$T = i(I + U)(I - U)^{-1}$ である。逆に、$I - U$ が単射なユニタリ作用素 $U$ からこの式で定まる $T$ は自己共役である。

前半は、定理 7.11 と式 (2) から $U\colon (T + iI)x \mapsto (T - iI)x$ が全射な等長作用素であることと、$(I - U)(T + iI)x = 2ix$, $(I + U)(T + iI)x = 2Tx$ から従う。後半は主張のみとする。

ケイリー変換 $U$ に定理 6.35 を適用して $z \mapsto i(1 + z)/(1 - z)$ で引き戻すと、次が得られる。

定理 7.15（非有界自己共役作用素のスペクトル定理）$H$ を可分なヒルベルト空間、$T$ を自己共役作用素とする。有限測度空間 $(Z, \mu)$、a.e. で有限な実数値可測関数 $\varphi$、ユニタリ作用素 $U\colon H \to L^2(Z, \mu)$ で、定義域を含めて $UTU^{-1} = M_\varphi$（例 7.13）となるものが存在する。

主張のみとする（射影値測度による表示 $T = \int_{\mathbb{R}} \lambda\ dE(\lambda)$ も成り立つ）。ボレル関数 $f$ に対し $f(T) = U^{-1}M_{f \circ \varphi}U$ と定めれば（関数計算）、$f$ が有界なら $f(T) \in \mathcal{B}(H)$ であり、例えば $e^{itT}$ はユニタリである。

定理 7.16（ストーンの定理, Stone's theorem）$T$ を自己共役作用素とすると、$U(t) = e^{itT}$ は強連続 1 径数ユニタリ群（各 $U(t)$ はユニタリ、$U(0) = I$, $U(s + t) = U(s)U(t)$ で、各 $x$ について $t \mapsto U(t)x$ は連続）である。さらに、極限 $\lim_{t \to 0}(U(t)x - x)/t$ が存在することと $x \in D(T)$ は同値で、そのとき極限は $iTx$ に等しい。逆に、任意の強連続 1 径数ユニタリ群はただ一つの自己共役作用素 $T$ によってこの形に書ける。

前半は定理 7.15 により $T = M_\varphi$ の場合に帰着する。$f \in D(M_\varphi)$ なら $\lvert (e^{it\varphi} - 1)f/t \rvert \leq \lvert \varphi f \rvert$ と優収束定理から $(e^{it\varphi} - 1)f/t \to i\varphi f$（$L^2$）であり、逆にこの商が $L^2$ で $g$ に収束すれば、a.e. 収束する部分列を考えて $g = i\varphi f$ となり $\varphi f \in L^2$ である。後半の証明の骨格は問題 7.6 で扱う。

量子力学では、ハミルトニアン $A$ による時間発展 $\psi(t) = e^{-itA}\psi_0$ がシュレディンガー方程式 $i\psi' = A\psi$ を解き、$\lVert \psi(t) \rVert = \lVert \psi_0 \rVert$（確率の保存）を満たす。ストーンの定理によれば、確率を保存する時間発展を与えるのは自己共役作用素であり、単なる対称作用素ではない。自己共役拡張の選び方（例 7.9 の $\alpha$）が時間発展を決める。

7.7 $C_0$ 半群とヒレ–吉田の定理

熱方程式の時間発展は $t \geq 0$ でしか定義されず、ノルムも保存されない。そこでユニタリ群を次のように一般化する。

定義 7.17 バナッハ空間 $X$ 上の有界作用素の族 $(T(t))_{t \geq 0}$ が $T(0) = I$, $T(t + s) = T(t)T(s)$ を満たし、各 $x$ で $\lim_{t \downarrow 0} T(t)x = x$ となるとき、$C_0$ 半群 ($C_0$-semigroup) という。$Ax = \lim_{t \downarrow 0}(T(t)x - x)/t$（この極限が存在する $x$ の全体を $D(A)$ とする）で定まる作用素 $A$ を生成作用素 (generator) という。すべての $t$ で $\lVert T(t) \rVert \leq 1$ のとき縮小半群という。

$C_0$ 半群について、(i) ある $M \geq 1$, $\omega \in \mathbb{R}$ で $\lVert T(t) \rVert \leq Me^{\omega t}$（一様有界性原理による）、(ii) $A$ は稠密に定義された閉作用素、(iii) $x \in D(A)$ なら $u(t) = T(t)x$ は $u' = Au$, $u(0) = x$ のただ一つの解、が成り立つ（証明は Brezis や Yosida の本を参照）。この意味で $T(t)$ は「$e^{tA}$」であり、$A$ が有界なら $T(t) = \sum_n t^n A^n / n!$ である。

定理 7.18（ヒレ–吉田の定理, Hille–Yosida theorem）バナッハ空間上の作用素 $A$ が縮小 $C_0$ 半群の生成作用素であるための必要十分条件は、$A$ が稠密に定義された閉作用素で、$(0, \infty) \subset \rho(A)$ かつすべての $\lambda > 0$ で $\lVert (\lambda I - A)^{-1} \rVert \leq 1/\lambda$ となることである。

証明の概略. 必要性：$R(\lambda)x = \int_0^\infty e^{-\lambda t}T(t)x\ dt$ が $(\lambda I - A)^{-1}$ を与え、$\lVert R(\lambda) \rVert \leq \int_0^\infty e^{-\lambda t}\ dt = 1/\lambda$。十分性：吉田近似 $A_\lambda = \lambda A(\lambda I - A)^{-1} = \lambda^2(\lambda I - A)^{-1} - \lambda I$ は有界で、$x \in D(A)$ なら $A_\lambda x \to Ax$（$\lambda \to \infty$）。$\lVert e^{tA_\lambda} \rVert \leq e^{-\lambda t}e^{t\lambda^2\lVert (\lambda I - A)^{-1} \rVert} \leq 1$ であり、$A_\lambda$ たちは互いに可換なので、$e^{sA_\lambda}e^{(t-s)A_\mu}x$ を $s$ で微分して積分すれば $\lVert e^{tA_\lambda}x - e^{tA_\mu}x \rVert \leq t\lVert A_\lambda x - A_\mu x \rVert$。よって $T(t)x = \lim_{\lambda \to \infty} e^{tA_\lambda}x$ が（まず $D(A)$ 上で、次に全体で）存在し、これが求める縮小半群になる。$\square$

系 7.19 ヒルベルト空間上の自己共役作用素 $T$ が $T \geq 0$（$\langle Tx, x \rangle \geq 0$, $x \in D(T)$）を満たせば、$-T$ は縮小 $C_0$ 半群を生成する。

証明. $\lambda > 0$ なら $\lambda\lVert x \rVert^2 \leq \langle (\lambda I + T)x, x \rangle \leq \lVert (\lambda I + T)x \rVert \lVert x \rVert$ なので、$\lambda I + T$ は下に有界で値域は閉（$T$ は閉）。$\operatorname{Ran}(\lambda I + T)^\perp = \ker(\lambda I + T) = \lbrace 0 \rbrace$ より全射で、$\lVert (\lambda I + T)^{-1} \rVert \leq 1/\lambda$。定理 7.18 を $A = -T$ に適用すればよい（得られる半群は関数計算の $e^{-tT}$ に一致する）。$\square$

7.8 応用：熱方程式とシュレディンガー方程式

$[0,1]$ 上の熱方程式 $u_t = u_{xx}$, $u(t, 0) = u(t, 1) = 0$, $u(0, x) = f(x)$ を考える（08-differential-equations 第7章）。例 5.19 の正規直交基底 $\varphi_n(x) = \sqrt{2}\sin(n\pi x)$ を用いて

とおく。$L$ は $\ell^2$ 上の対角作用素にユニタリ同値なので、例 7.13 から自己共役で $L \geq 0$ である。$f \in C^2[0,1]$, $f(0) = f(1) = 0$ なら 2 回の部分積分で $\langle -f'', \varphi_n \rangle = n^2\pi^2\langle f, \varphi_n \rangle$ となるので $Lf = -f''$ であり、$L$ はディリクレ境界条件つきの $-d^2/dx^2$ の自己共役な実現である。系 7.19 により

が解を与える。$\lVert u(t) \rVert \leq e^{-\pi^2 t}\lVert f \rVert$（指数的減衰）であり、$f \in L^2$ にすぎなくても $t > 0$ では $u(t)$ は滑らかになる（平滑化：問題 7.5）。一方 $e^{tL}$ は有界でないので、熱方程式は時間を逆向きには解けない。

同じ $L$ について、$\psi(t) = e^{-itL}\psi_0 = \sum_n e^{-in^2\pi^2 t}\langle \psi_0, \varphi_n \rangle \varphi_n$ は区間内の自由粒子のシュレディンガー方程式 $i\psi' = L\psi$ の解を与えるユニタリ群である。$\lVert \psi(t) \rVert = \lVert \psi_0 \rVert$（確率の保存）で、時間を逆向きにも解けるが、平滑化は起こらない（$\lvert e^{-in^2\pi^2 t} \rvert = 1$）。$\mathbb{R}^d$ では $e^{t\Delta}$ はガウス核 $(4\pi t)^{-d/2}e^{-\lvert x \rvert^2/(4t)}$ との畳み込みになる（18-pde 第5章）。

まとめ

• 非有界作用素は定義域と組で扱う。閉作用素はグラフノルムで完備であり、微分作用素は $H^1$ などの適切な定義域で閉になる。
• $T^{\ast}$ は常に閉で、$T$ が可閉 ⇔ $D(T^{\ast})$ が稠密（このとき $\overline{T} = T^{\ast\ast}$）。
• 対称と自己共役は異なる。$[0,1]$ 上の $-i\ d/dt$ は境界条件によって、対称だが自己共役でない（$T_0$）、自己共役（$T_\alpha$）、対称でない（$T_{\max}$）のいずれにもなる。
• 対称作用素 $T$ が自己共役 ⇔ $\operatorname{Ran}(T \pm iI) = H$。掛け算作用素や運動量・ラプラシアンは自己共役で、スペクトルは $\mathbb{R}$ に含まれる。
• ケイリー変換によりスペクトル定理が非有界な場合に拡張され、ストーンの定理により強連続ユニタリ群 $e^{itT}$ と自己共役作用素 $T$ が 1 対 1 に対応する。
• ヒレ–吉田の定理：縮小半群の生成作用素はレゾルベント評価 $\lVert (\lambda I - A)^{-1} \rVert \leq 1/\lambda$ で特徴づけられる。熱方程式は縮小半群、シュレディンガー方程式はユニタリ群で解かれる。

演習問題