スペクトル理論

この章の目標

• スペクトルとレゾルベントを定義し、スペクトルが空でないコンパクト集合であることを証明できる
• 点スペクトル・連続スペクトル・剰余スペクトルを、シフト作用素・掛け算作用素・積分作用素で計算できる
• スペクトル半径公式を証明し、バナッハ環の言葉（ゲルファント–マズールの定理）で理解する
• 自己共役作用素のスペクトルの性質と連続関数計算を証明できる
• スペクトル定理（掛け算作用素版・射影値測度版）の主張と意味を説明できる

前提：第1章〜第5章、05-complex-analysis 第3章・第4章、06-measure-integration 第8章

6.1 固有値だけではスペクトルは捉えられない

有限次元では、$\lambda I - A$ が可逆でないことと $\lambda$ が固有値であることは同値であり、固有値は特性多項式の根として必ず存在した（$\mathbb{K} = \mathbb{C}$）。無限次元ではこの 2 つが分離する。

• $\ell^2$ の右シフト $S$ は固有値をもたないが、$S = S - 0I$ は全射でないので可逆でない。
• $L^2[0,1]$ 上の掛け算作用素 $(M_t f)(t) = t f(t)$ は固有値をもたないが、$\lambda \in [0,1]$ では $\lambda I - M_t$ の逆 $f \mapsto f/(\lambda - t)$ は有界でない。
• ヴォルテラ作用素 $V$ は固有値をもたず、スペクトルは $\lbrace 0 \rbrace$ だけである。

そこで「可逆でない」ことを基準にスペクトルを定義し、その内部を固有値・連続スペクトル・剰余スペクトルに分類する。本章を通じてスカラーは $\mathbb{C}$ とする（実のスカラーでは、回転行列のようにスペクトルが空になりうる）。

6.2 スペクトルとレゾルベント

定義 6.1（スペクトル, spectrum）$X$ を複素バナッハ空間、$T \in \mathcal{B}(X)$ とする。$\lambda I - T$ が全単射となる $\lambda \in \mathbb{C}$ の全体をレゾルベント集合 (resolvent set) $\rho(T)$、その補集合をスペクトル $\sigma(T)$ という。$\lambda \in \rho(T)$ に対し $R(\lambda, T) = (\lambda I - T)^{-1}$ をレゾルベント (resolvent) という（系 3.10 により $R(\lambda, T) \in \mathcal{B}(X)$）。スペクトルは次の 3 つに分かれる。

• 点スペクトル (point spectrum) $\sigma_p(T)$：$\lambda I - T$ が単射でない（固有値）。
• 連続スペクトル (continuous spectrum) $\sigma_c(T)$：$\lambda I - T$ は単射で、値域は稠密だが全体ではない。
• 剰余スペクトル (residual spectrum) $\sigma_r(T)$：$\lambda I - T$ は単射で、値域が稠密でない。

連続スペクトルの点では値域は稠密だが閉でない（閉なら全射になる）。問題 3.4 により、これは $\lambda I - T$ が下から有界でないこと、すなわち $\lVert x_n \rVert = 1$, $\lVert (\lambda I - T) x_n \rVert \to 0$ となる列（近似固有ベクトル）が存在することを意味する。

定理 6.2 $T \in \mathcal{B}(X)$ とする（$X \neq \lbrace 0 \rbrace$）。

1. $\sigma(T)$ は $\lbrace \lambda \mid \lvert \lambda \rvert \leq \lVert T \rVert \rbrace$ に含まれるコンパクト集合である。
2. $\lambda_0 \in \rho(T)$ なら、$\lvert \lambda - \lambda_0 \rvert < 1 / \lVert R(\lambda_0, T) \rVert$ で $\lambda \in \rho(T)$ かつ $R(\lambda, T) = \sum_{n \geq 0} (\lambda_0 - \lambda)^n R(\lambda_0, T)^{n+1}$（ノルム収束）。特に $\lVert R(\lambda, T) \rVert \geq 1/d(\lambda, \sigma(T))$。
3. （レゾルベント方程式）$R(\lambda, T) - R(\mu, T) = (\mu - \lambda) R(\lambda, T) R(\mu, T)$。
4. $\sigma(T) \neq \emptyset$。

証明. 1：$\lvert \lambda \rvert > \lVert T \rVert$ なら $\lambda I - T = \lambda(I - T/\lambda)$ はノイマン級数（定理 1.27）で可逆であり、$R(\lambda, T) = \sum_{n \geq 0} T^n / \lambda^{n+1}$。閉性は 2 から従う。

2：$\lambda I - T = (\lambda_0 I - T)\bigl(I - (\lambda_0 - \lambda) R(\lambda_0, T)\bigr)$ で、右の因子はノイマン級数で可逆であり、逆を展開すれば主張の級数を得る。$d(\lambda, \sigma(T)) \geq 1 / \lVert R(\lambda, T) \rVert$ は前半の言い換えである。

3：$R(\lambda, T)\bigl((\mu I - T) - (\lambda I - T)\bigr) R(\mu, T)$ を 2 通りに計算すればよい。

4：$\sigma(T) = \emptyset$ と仮定する。$\varphi \in \mathcal{B}(X)^{\ast}$ に対し $g(\lambda) = \varphi(R(\lambda, T))$ とおくと、2 より $g$ は各点の近くで収束べき級数で表されるので整関数である。1 の級数から、$\lvert \lambda \rvert > 2\lVert T \rVert$ なら $\lVert R(\lambda, T) \rVert \leq \sum_n \lVert T \rVert^n / \lvert \lambda \rvert^{n+1} = 1/(\lvert \lambda \rvert - \lVert T \rVert) \to 0$（$\lvert \lambda \rvert \to \infty$）。$g$ は有界な整関数なのでリウヴィルの定理（05-complex-analysis 第3章）により定数で、無限遠での極限から $g = 0$。すべての $\varphi$ で $\varphi(R(\lambda, T)) = 0$ なので、系 4.5 により $R(\lambda, T) = 0$。しかし $R(\lambda, T)$ は可逆なので $X \neq \lbrace 0 \rbrace$ に反する。$\square$

ヒルベルト空間では、随伴を使ってスペクトルの型を調べられる。

命題 6.3 $H$ をヒルベルト空間、$T \in \mathcal{B}(H)$ とする。

1. $\sigma(T^{\ast}) = \lbrace \bar{\lambda} \mid \lambda \in \sigma(T) \rbrace$。
2. $\lambda \in \sigma_r(T)$ ならば $\bar{\lambda} \in \sigma_p(T^{\ast})$。$\lambda \in \sigma_p(T)$ ならば $\bar{\lambda} \in \sigma_p(T^{\ast}) \cup \sigma_r(T^{\ast})$。
3. $T$ が正規ならば $\sigma_r(T) = \emptyset$。

証明. 1：$(\lambda I - T)^{\ast} = \bar{\lambda} I - T^{\ast}$ で、$B$ が可逆なら $(B^{-1})^{\ast}$ が $B^{\ast}$ の逆になる（$T^{\ast\ast} = T$ より逆も成り立つ）。2：命題 2.22 より $\ker(\bar{\lambda} I - T^{\ast}) = \operatorname{Ran}(\lambda I - T)^\perp$ および $\overline{\operatorname{Ran}(\bar{\lambda} I - T^{\ast})} = \ker(\lambda I - T)^\perp$ から従う。3：正規作用素 $N = \lambda I - T$ について命題 2.25 の 3 より $\lVert Nx \rVert = \lVert N^{\ast} x \rVert$ なので $\ker N = \ker N^{\ast} = \operatorname{Ran}(N)^\perp$。$N$ が単射なら値域は稠密である。$\square$

6.3 4 つの例のスペクトル

例 6.4（シフト作用素）$\ell^2$ 上の左シフト $L$ と右シフト $S = L^{\ast}$ について、$\mathbb{D} = \lbrace \lvert \lambda \rvert < 1 \rbrace$, $\mathbb{T} = \lbrace \lvert \lambda \rvert = 1 \rbrace$ とおくと

実際、$Lx = \lambda x$ は $x_{n+1} = \lambda x_n$、すなわち $x = x_1(1, \lambda, \lambda^2, \dots)$ と同値で、これが $\ell^2$ に属するのは $\lvert \lambda \rvert < 1$ のときである。よって $\sigma_p(L) = \mathbb{D}$。$\lVert L \rVert = 1$ と $\sigma(L)$ の閉性から $\sigma(L) = \overline{\mathbb{D}}$。$Sx = \lambda x$ は第 1 成分から $\lambda x_1 = 0$、以下 $x_n = \lambda x_{n+1}$ で、$\lambda = 0$ でも $\lambda \neq 0$ でも $x = 0$ となるので $\sigma_p(S) = \emptyset$。命題 6.3 により $\sigma(S) = \overline{\mathbb{D}}$ で、$\lvert \lambda \rvert < 1$ なら $\bar{\lambda} \in \sigma_p(L)$ だから $\operatorname{Ran}(\lambda I - S)$ は稠密でなく $\lambda \in \sigma_r(S)$。$\lvert \lambda \rvert = 1$ なら $\ker(\bar{\lambda} I - L) = \lbrace 0 \rbrace$ なので値域は稠密で $\lambda \in \sigma_c(S)$。$L$ についても同様に、$\lvert \lambda \rvert = 1$ なら $\ker(\bar{\lambda} I - S) = \lbrace 0 \rbrace$ から $\lambda \in \sigma_c(L)$。

例 6.5（掛け算作用素）$\varphi \in C[a,b]$（複素数値）に対し $L^2[a,b]$ 上の $M_\varphi$ を考えると、$\sigma(M_\varphi) = \varphi([a,b])$ であり、$\lambda$ が固有値であることと $\lbrace t \mid \varphi(t) = \lambda \rbrace$ が正測度をもつことは同値である。

$\lambda \notin \varphi([a,b])$ なら $1/(\lambda - \varphi)$ は有界な連続関数で、$M_{1/(\lambda - \varphi)}$ が逆を与える。$\lambda = \varphi(t_0)$ なら、$\lvert \varphi - \lambda \rvert < 1/n$ となる $t_0$ を含む区間 $I_n$ をとり、$f_n = \mathbf{1}_{I_n} / \lvert I_n \rvert^{1/2}$ とおくと $\lVert f_n \rVert = 1$, $\lVert (\lambda - M_\varphi) f_n \rVert \leq 1/n$ なので、$\lambda I - M_\varphi$ は有界な逆をもたない。固有値の主張は、$(\varphi - \lambda) f = 0$ a.e. が $\lbrace \varphi \neq \lambda \rbrace$ 上で $f = 0$ を意味することから従う。特に $\varphi(t) = t$ なら $\sigma(M_t) = [a,b]$ で固有値はなく、$M_t$ は自己共役なので（命題 6.3）$\sigma(M_t) = \sigma_c(M_t)$ である。量子力学の「位置作用素」はこの型の連続スペクトルをもつ。

例 6.6（ヴォルテラ作用素）$L^2[0,1]$ 上で $\sigma(V) = \lbrace 0 \rbrace$（例 5.15）で、$0 \in \sigma_c(V)$ である。実際 $V$ は単射で、$\operatorname{Ran} V^\perp = \ker V^{\ast} = \lbrace 0 \rbrace$（$\int_t^1 g = 0$（$\forall t$）なら $g = 0$）より値域は稠密であり、コンパクト作用素の値域は（無限次元なら）閉でない（問題 5.3）。

微分作用素のスペクトルは第7章で扱う。非有界作用素では、スペクトルが空になったり $\mathbb{C}$ 全体になったりすることがある。

6.4 スペクトル半径公式

定理 6.2 より $\sigma(T)$ は半径 $\lVert T \rVert$ の閉円板に含まれるが、この評価は粗い。ヴォルテラ作用素では $\sigma(V) = \lbrace 0 \rbrace$ なのに $\lVert V \rVert > 0$ である。スペクトルを含む最小の円板の半径は、作用素ノルムそのものではなく、べき $T^n$ のノルムの増大度で決まる。

定義 6.7（スペクトル半径, spectral radius）$T \in \mathcal{B}(X)$ に対し $r(T) = \max \lbrace \lvert \lambda \rvert \mid \lambda \in \sigma(T) \rbrace$ を $T$ のスペクトル半径という（$\sigma(T)$ は空でないコンパクト集合なので最大値が存在する）。定理 6.2 より $r(T) \leq \lVert T \rVert$ である。

補題 6.8（多項式に対するスペクトル写像定理）$T \in \mathcal{B}(X)$、$p$ を複素係数の多項式とすると、$\sigma(p(T)) = p(\sigma(T)) := \lbrace p(\lambda) \mid \lambda \in \sigma(T) \rbrace$ である。

証明. $p$ が定数 $c$ なら $p(T) = cI$ で、両辺とも $\lbrace c \rbrace$ である（$\sigma(T) \neq \emptyset$）。$\deg p = n \geq 1$ とし、$\mu \in \mathbb{C}$ を固定して $\mu - p(z) = c(\lambda_1 - z) \cdots (\lambda_n - z)$（$c \neq 0$）と因数分解する。$\lambda_1, \dots, \lambda_n$ は方程式 $p(\lambda) = \mu$ の解の全体である。このとき $\mu I - p(T) = c(\lambda_1 I - T) \cdots (\lambda_n I - T)$ で、右辺の因子は互いに可換である。互いに可換な作用素 $B_1, \dots, B_n$ の積 $B = B_1 \cdots B_n$ が可逆であることと、各 $B_j$ が可逆であることは同値である。実際、後者なら前者は明らかであり、前者なら $C_j = \prod_{k \neq j} B_k$ とおくと $B_j (C_j B^{-1}) = I$ かつ $(B^{-1} C_j) B_j = I$ なので、$B_j$ は右逆と左逆をもち可逆である。よって $\mu \in \sigma(p(T))$ ⇔ ある $j$ で $\lambda_j \in \sigma(T)$ ⇔ $\mu \in p(\sigma(T))$。$\square$

定理 6.9（スペクトル半径公式, spectral radius formula）$X$ を複素バナッハ空間、$T \in \mathcal{B}(X)$ とすると、極限 $\lim_{n \to \infty} \lVert T^n \rVert^{1/n}$ が存在して

$$r(T) = \lim_{n \to \infty} \lVert T^n \rVert^{1/n} = \inf_{n \geq 1} \lVert T^n \rVert^{1/n}$$

が成り立つ（ゲルファント）。

証明. 以下 $1/0 = \infty$ と読む。

第 1 段（$r(T) \leq \inf_n \lVert T^n \rVert^{1/n}$）。$\lambda \in \sigma(T)$ なら補題 6.8 より $\lambda^n \in \sigma(T^n)$ なので、定理 6.2 より $\lvert \lambda \rvert^n \leq \lVert T^n \rVert$。

第 2 段（$\limsup_n \lVert T^n \rVert^{1/n} \leq r(T)$）。$\varphi \in \mathcal{B}(X)^{\ast}$ を固定し、$g(\lambda) = \varphi(R(\lambda, T))$ とおく。定理 6.2 の証明で見たように $g$ は $\rho(T) \supset \lbrace \lvert \lambda \rvert > r(T) \rbrace$ で正則であり、$\lvert \lambda \rvert > \lVert T \rVert$ では $g(\lambda) = \sum_{n \geq 0} \varphi(T^n) \lambda^{-n-1}$ である。$h(z) = g(1/z)$ とおくと、$h$ は $0 < \lvert z \rvert < 1/r(T)$ で正則で、$0 < \lvert z \rvert < 1/\lVert T \rVert$ では収束べき級数 $\sum_{n \geq 0} \varphi(T^n) z^{n+1}$ に等しい。したがって $h(0) = 0$ とおけば、$h$ は円板 $\lvert z \rvert < 1/r(T)$ 全体で正則である。正則関数のテイラー展開は定義域に含まれる最大の円板で収束するので（05-complex-analysis 第3章）、展開係数の一意性から、級数 $\sum_n \varphi(T^n) z^{n+1}$ は $\lvert z \rvert < 1/r(T)$ で収束する。

いま $\lvert \lambda \rvert > r(T)$ を固定し、$A_n = T^n / \lambda^{n+1}$ とおく。上で示したことから、すべての $\varphi \in \mathcal{B}(X)^{\ast}$ について $\sum_n \varphi(A_n)$ は収束し、特に $\sup_n \lvert \varphi(A_n) \rvert < \infty$ である。$A_n$ をバナッハ空間 $\mathcal{B}(X)^{\ast}$ 上の有界線形汎関数 $\varphi \mapsto \varphi(A_n)$ とみなすと（そのノルムは系 4.5 の 3 により $\lVert A_n \rVert$ に等しい）、一様有界性原理（定理 3.4）から $C := \sup_n \lVert A_n \rVert < \infty$。よって $\lVert T^n \rVert \leq C \lvert \lambda \rvert^{n+1}$ となり、$\limsup_n \lVert T^n \rVert^{1/n} \leq \lvert \lambda \rvert$。$\lvert \lambda \rvert > r(T)$ は任意だったので第 2 段を得る。

以上から $r(T) \leq \inf_n \lVert T^n \rVert^{1/n} \leq \liminf_n \lVert T^n \rVert^{1/n} \leq \limsup_n \lVert T^n \rVert^{1/n} \leq r(T)$ となり、すべて等号で成り立つ。$\square$

例 6.10（ヴォルテラ作用素）$C[0,1]$ 上の $(Vf)(s) = \int_0^s f(t)\ dt$ について、帰納法とフビニの定理により

である（$V^{n+1} f(s) = \int_0^s \int_0^u \frac{(u-t)^{n-1}}{(n-1)!} f(t)\ dt\ du$ で積分順序を交換する）。よって $\lVert V^n f \rVert_\infty \leq \lVert f \rVert_\infty \max_s s^n / n! = \lVert f \rVert_\infty / n!$ で、$f = 1$ で等号が成り立つから $\lVert V^n \rVert = 1/n!$。$n \geq 2m$ なら $n! \geq m^{n-m} \geq m^{n/2}$ なので $(n!)^{1/n} \to \infty$ であり、定理 6.9 から $r(V) = 0$、すなわち $\sigma(V) = \lbrace 0 \rbrace$ である。例 5.15 ではコンパクト性から同じ結論を得たが、ここではノルムの計算だけで済んでいる。一方 $\lVert V \rVert = 1$ なので $r(V) < \lVert V \rVert$ である。$r(T) = 0$ となる作用素を準べき零 (quasinilpotent) という。

注意 6.11 定理 1.27 の仮定 $\sum_n \lVert T^n \rVert < \infty$ は $r(T) < 1$ と同値である。実際 $r(T) < 1$ なら $\lVert T^n \rVert^{1/n} \to r(T) < 1$ なので根判定法により級数は収束する。逆に級数が収束すれば $\lVert T^n \rVert \to 0$ だから $\lVert T^N \rVert < 1$ となる $N$ があり、$r(T) \leq \lVert T^N \rVert^{1/N} < 1$。例 1.28 の積分方程式がすべての $\lambda$ で解けたのは $r(K) = 0$ だからである。反復 $x_{n+1} = Tx_n$ がどの初期値からも指数的に $0$ に近づくかどうかも、$\lVert T \rVert$ ではなく $r(T)$ で決まる。

6.5 バナッハ環とゲルファント–マズールの定理

定理 6.2 と定理 6.9 の証明で使った $\mathcal{B}(X)$ の性質は、「完備なノルムをもつ単位元つきの環で、ノルムが積について劣乗法的である」ということだけであった。この枠組みを抜き出すと、関数の環 $C(K)$ や畳み込みの環 $\ell^1(\mathbb{Z})$ にも同じ理論が適用でき、逆に作用素の問題を関数の問題に翻訳できるようになる。

定義 6.12（バナッハ環, Banach algebra）複素バナッハ空間 $\mathcal{A}$ が結合的な積をもつ $\mathbb{C}$ 上の代数で、単位元 $e$ をもち、$\lVert xy \rVert \leq \lVert x \rVert \lVert y \rVert$ かつ $\lVert e \rVert = 1$ を満たすとき、（単位的）バナッハ環という。可逆元の全体を $G(\mathcal{A})$ と書き、$x \in \mathcal{A}$ のスペクトルを $\sigma(x) = \lbrace \lambda \in \mathbb{C} \mid \lambda e - x \notin G(\mathcal{A}) \rbrace$、スペクトル半径を $r(x) = \sup \lbrace \lvert \lambda \rvert \mid \lambda \in \sigma(x) \rbrace$ と定める。

例 6.13

1. $\mathcal{B}(X)$（$X \neq \lbrace 0 \rbrace$ は複素バナッハ空間）。系 3.10 により、$\mathcal{B}(X)$ で可逆であることと全単射であることは同値なので、定義 6.1 のスペクトルと一致する。$\operatorname{M}_n(\mathbb{C})$（作用素ノルム）はその特別な場合である。
2. $K$ をコンパクト・ハウスドルフ空間とし、複素数値の $C(K)$ に一様ノルムと各点ごとの積を入れる。単位元は定数関数 $1$ で、$f$ が可逆であることと $f$ が零点をもたないことは同値だから、$\sigma(f) = f(K)$、$r(f) = \lVert f \rVert_\infty$ である。
3. $\ell^1(\mathbb{Z})$ に畳み込み $(a \ast b)_n = \sum_{k \in \mathbb{Z}} a_k b_{n-k}$ を積として入れる。$\lVert a \ast b \rVert_1 \leq \sum_k \lvert a_k \rvert \sum_n \lvert b_{n-k} \rvert = \lVert a \rVert_1 \lVert b \rVert_1$ で、単位元は $\delta_0$（第 $0$ 成分だけが $1$ の列）である。これは可換なバナッハ環である。

定理 6.14 バナッハ環 $\mathcal{A}$ において、$\lVert x \rVert < 1$ なら $e - x \in G(\mathcal{A})$ であり、$G(\mathcal{A})$ は開集合である。各 $x \in \mathcal{A}$ について $\sigma(x)$ は $\lbrace \lvert \lambda \rvert \leq \lVert x \rVert \rbrace$ に含まれる空でないコンパクト集合で、$r(x) = \lim_n \lVert x^n \rVert^{1/n} = \inf_n \lVert x^n \rVert^{1/n}$ が成り立つ。

証明. 定理 1.27, 1.29, 6.2, 6.9 と補題 6.8 の証明で使ったのは、$\mathcal{B}(X)$ が完備で、$\lVert ST \rVert \leq \lVert S \rVert \lVert T \rVert$、$\lVert I \rVert = 1$ を満たすことだけである（可逆性は両側逆元の存在で判定した）。したがって $\mathcal{B}(X)$ を $\mathcal{A}$ に、$I$ を $e$ に置き換えて同じ証明が通る。定理 6.2 の 4 の最後の段では、$R(\lambda) = 0$ が可逆元であることが $e \neq 0$（$\lVert e \rVert = 1$）に反することを使えばよい。$\square$

定理 6.15（ゲルファント–マズールの定理, Gelfand–Mazur theorem）$0$ 以外のすべての元が可逆であるバナッハ環 $\mathcal{A}$ は $\mathbb{C} e$ に等しい。すなわち $\mathcal{A}$ は $\lambda \mapsto \lambda e$ により $\mathbb{C}$ と等長同型である。

証明. $x \in \mathcal{A}$ とする。定理 6.14 より $\sigma(x) \neq \emptyset$ なので、$\lambda \in \sigma(x)$ をとると $\lambda e - x$ は可逆でない。仮定からこれは $0$ であり、$x = \lambda e$。$\lVert \lambda e \rVert = \lvert \lambda \rvert$ だから等長である。$\square$

可換バナッハ環とゲルファント変換

$C(K)$ では $\sigma(f) = f(K)$ であり、スペクトルは「関数の値域」であった。可換バナッハ環の元を、ある空間上の連続関数として表せれば、スペクトルの問題は値域の問題になる。その空間の点の役割を果たすのが指標である。

定義 6.16 可換バナッハ環 $\mathcal{A}$ から $\mathbb{C}$ への $0$ でない代数準同型 $\chi$（線形で $\chi(xy) = \chi(x)\chi(y)$ を満たす写像）を指標 (character) といい、指標の全体を $\Delta(\mathcal{A})$ と書く。

命題 6.17 $\mathcal{A}$ を可換バナッハ環とする。

1. 各 $\chi \in \Delta(\mathcal{A})$ は $\chi(e) = 1$ を満たし、連続で $\lVert \chi \rVert = 1$ である。
2. $\chi \mapsto \ker \chi$ は、$\Delta(\mathcal{A})$ から $\mathcal{A}$ の極大イデアル全体への全単射である。
3. $\sigma(x) = \lbrace \chi(x) \mid \chi \in \Delta(\mathcal{A}) \rbrace$。

証明. 1：$\chi(x) \neq 0$ となる $x$ をとれば、$\chi(x) = \chi(x)\chi(e)$ から $\chi(e) = 1$。$y$ が可逆なら $\chi(y)\chi(y^{-1}) = 1$ より $\chi(y) \neq 0$ である。もし $\lvert \chi(x) \rvert > \lVert x \rVert$ となる $x$ があれば、$y = x/\chi(x)$ は $\lVert y \rVert < 1$ なので $e - y$ は可逆（定理 6.14）だが、$\chi(e - y) = 1 - 1 = 0$ となり矛盾する。よって $\lVert \chi \rVert \leq 1$ で、$\chi(e) = 1 = \lVert e \rVert$ から $\lVert \chi \rVert = 1$。

2（概略）：$\ker \chi$ は余次元 1 のイデアルなので極大である。$\chi(x)$ は「$x - \lambda e \in \ker \chi$ となる唯一の $\lambda$」として $\ker \chi$ から復元できるので、対応は単射である。全射性：極大イデアル $M$ は可逆元を含まず、$G(\mathcal{A})$ は開集合なので、閉包 $\overline{M}$ も可逆元を含まない真のイデアルであり、極大性から $M$ は閉である。すると $\mathcal{A}/M$ は商ノルム（劣乗法的で、$\lVert [e] \rVert = \lVert [e]^2 \rVert \leq \lVert [e] \rVert^2$ と $\lVert [e] \rVert \leq 1$ から $\lVert [e] \rVert = 1$）によりバナッハ環になり、可換環を極大イデアルで割ったものなので体である。ゲルファント–マズールの定理により $\mathcal{A}/M = \lbrace \lambda [e] \mid \lambda \in \mathbb{C} \rbrace$ であり、商写像 $\mathcal{A} \to \mathcal{A}/M \cong \mathbb{C}$ が $\ker \chi = M$ となる指標 $\chi$ を与える。

3：$\lambda = \chi(x)$ なら $\lambda e - x \in \ker \chi$ であり、1 の証明から $\lambda e - x$ は可逆でない。逆に $\lambda e - x$ が可逆でなければ、$(\lambda e - x)\mathcal{A}$ は $e$ を含まない真のイデアルなので、ツォルンの補題によりある極大イデアルに含まれる（04-algebra 第5章）。2 よりそれは $\ker \chi$ の形であり、$\chi(\lambda e - x) = 0$、すなわち $\chi(x) = \lambda$。$\square$

定理 6.18（ゲルファント変換, Gelfand transform）$\mathcal{A}$ を可換バナッハ環とし、$\Delta(\mathcal{A}) \subset \mathcal{A}^{\ast}$ に弱 $\ast$ 位相を入れる。このとき $\Delta(\mathcal{A})$ はコンパクト・ハウスドルフ空間であり、$\hat{x}(\chi) = \chi(x)$ で定まるゲルファント変換 $\Gamma\colon \mathcal{A} \to C(\Delta(\mathcal{A}))$, $x \mapsto \hat{x}$ は代数準同型で、

$$\hat{x}(\Delta(\mathcal{A})) = \sigma(x), \qquad \lVert \hat{x} \rVert_\infty = r(x) \leq \lVert x \rVert$$

を満たす。

証明. 命題 6.17 の 1 より $\Delta(\mathcal{A})$ は $\mathcal{A}^{\ast}$ の閉単位球に含まれる。条件 $\chi(xy) = \chi(x)\chi(y)$ と $\chi(e) = 1$ は弱 $\ast$ 収束（各点収束）で保たれるので、$\Delta(\mathcal{A})$ は弱 $\ast$ 閉であり、バナッハ–アラオグルの定理（定理 4.18）によりコンパクトである。弱 $\ast$ 位相はハウスドルフである。$\hat{x}$ の連続性は弱 $\ast$ 位相の定義そのものであり、準同型性は指標の性質から従う。値域の等式は命題 6.17 の 3 で、そこから $\lVert \hat{x} \rVert_\infty = r(x)$ を得る。$\square$

$\Gamma$ は単射とは限らない。$I$ と $V$（例 6.10）で生成される $\mathcal{B}(C[0,1])$ の閉部分環は可換バナッハ環であり、その中でも $r(V) = \lim_n \lVert V^n \rVert^{1/n} = 0$ だから $\hat{V} = 0$ である。

例 6.19（ウィーナーの補題, Wiener's lemma）$\mathcal{A} = \ell^1(\mathbb{Z})$ の指標を決定する。$\chi \in \Delta(\mathcal{A})$ とし $z = \chi(\delta_1)$ とおく。$\delta_1 \ast \delta_{-1} = \delta_0$ より $z\chi(\delta_{-1}) = 1$ であり、$\lVert \delta_{\pm 1} \rVert_1 = 1$ と命題 6.17 の 1 から $\lvert z \rvert \leq 1$ かつ $\lvert z^{-1} \rvert \leq 1$、すなわち $\lvert z \rvert = 1$。$\delta_n$ は $\delta_1$ または $\delta_{-1}$ のべきなので $\chi(\delta_n) = z^n$（$n \in \mathbb{Z}$）であり、$a = \sum_n a_n \delta_n$（$\ell^1$ で収束）と $\chi$ の連続性から $\chi(a) = \sum_n a_n z^n$。逆に各 $z \in \mathbb{T}$ についてこの式は指標を定める（絶対収束級数の積）。$z \mapsto \chi_z$ はコンパクト空間 $\mathbb{T}$ からハウスドルフ空間 $\Delta(\mathcal{A})$ への連続な全単射なので同相であり、ゲルファント変換は $\hat{a}(e^{i\theta}) = \sum_n a_n e^{in\theta}$、つまり絶対収束するフーリエ級数である。

帰結として、絶対収束するフーリエ級数 $f(\theta) = \sum_n a_n e^{in\theta}$ が零点をもたなければ、$1/f$ も絶対収束するフーリエ級数に展開できる（ウィーナー）。実際 $0 \notin \hat{a}(\mathbb{T}) = \sigma(a)$ なので $a$ は $\ell^1(\mathbb{Z})$ で可逆であり、$b = a^{-1}$ について $\hat{a}\hat{b} = \hat{\delta}_0 = 1$、すなわち $1/f = \sum_n b_n e^{in\theta}$ で $\sum_n \lvert b_n \rvert < \infty$。$1/f$ の係数を直接評価するのは難しいが、「可逆性は指標で判定できる」という原理がこれを一挙に解決する。

6.6 C*-環

$\mathcal{B}(H)$ には随伴 $T \mapsto T^{\ast}$ があり、$\lVert T^{\ast} T \rVert = \lVert T \rVert^2$（定理 2.21）が成り立つ。この等式はノルムを代数構造、特にスペクトルに強く結びつける。一般のバナッハ環ではノルムはスペクトル半径よりずっと大きくなりうるが（$r(V) = 0 < \lVert V \rVert$）、この等式があれば、正規な元ではノルムがスペクトル半径と一致する。

定義 6.20（C*-環, C*-algebra）バナッハ環 $\mathcal{A}$ 上の写像 $x \mapsto x^{\ast}$ が $(x + y)^{\ast} = x^{\ast} + y^{\ast}$, $(\alpha x)^{\ast} = \bar{\alpha} x^{\ast}$, $(xy)^{\ast} = y^{\ast} x^{\ast}$, $x^{\ast\ast} = x$ を満たすとき対合 (involution) という。対合をもつバナッハ環で、すべての $x$ について $\lVert x^{\ast} x \rVert = \lVert x \rVert^2$（C*条件）が成り立つものを（単位的）C*-環という。$x^{\ast} = x$ のとき自己共役、$x^{\ast} x = x x^{\ast}$ のとき正規、$x^{\ast} x = x x^{\ast} = e$ のときユニタリという。

例 6.21

1. $\mathcal{B}(H)$ は随伴を対合として C*-環である（定理 2.21）。$I$ を含み、ノルム閉で随伴について閉じた $\mathcal{B}(H)$ の部分環も C*-環であり、例えば $\mathbb{C} I + \mathcal{K}(H)$ がそうである（定理 5.3, 5.7）。
2. $C(K)$ は $f^{\ast} = \bar{f}$ により可換な C*-環である：$\lVert \bar{f} f \rVert_\infty = \lVert f \rVert_\infty^2$。$L^\infty(\mu)$ も同様である。
3. $\ell^1(\mathbb{Z})$ は $(a^{\ast})_n = \overline{a_{-n}}$ により対合をもつが、C*-環ではない（問題 6.5）。

命題 6.22 C*-環 $\mathcal{A}$ の正規元 $x$ について $\lVert x^2 \rVert = \lVert x \rVert^2$ であり、$r(x) = \lVert x \rVert$ である。特に、ヒルベルト空間上の正規作用素 $N$ について $r(N) = \lVert N \rVert$。

証明. $h$ が自己共役なら $\lVert h^2 \rVert = \lVert h^{\ast} h \rVert = \lVert h \rVert^2$。$x$ が正規なら $h = x^{\ast} x$ は自己共役で、$(x^2)^{\ast} x^2 = x^{\ast}(x^{\ast} x)x = x^{\ast}(x x^{\ast})x = h^2$ なので

$x^2$ も正規だから、帰納的に $\lVert x^{2^k} \rVert = \lVert x \rVert^{2^k}$ を得る。定理 6.14 より $r(x) = \lim_k \lVert x^{2^k} \rVert^{2^{-k}} = \lVert x \rVert$。$\square$

C*-環ではノルムが $\lVert x \rVert^2 = \lVert x^{\ast} x \rVert = r(x^{\ast} x)$ と代数的に決まってしまうので、1 つの $\ast$-代数に C*条件を満たす完備ノルムは高々 1 つしかない。また命題 6.22 から、$r(V) = 0 < \lVert V \rVert$ となるヴォルテラ作用素は正規でないことがわかる。

定理 6.23（ゲルファント–ナイマルクの定理, Gelfand–Naimark theorem）

1. 可換な C*-環 $\mathcal{A}$ のゲルファント変換 $\Gamma\colon \mathcal{A} \to C(\Delta(\mathcal{A}))$ は、$\widehat{x^{\ast}} = \overline{\hat{x}}$ を満たす等長な全単射（同型）である。
2. 任意の C*-環は、あるヒルベルト空間 $H$ について、$\mathcal{B}(H)$ のノルム閉で随伴について閉じた部分環と、対合を保って等長同型である。

主張のみとする。1 の等長性は定理 6.18 と命題 6.22 からただちに従う（可換なら全元が正規なので $\lVert \hat{x} \rVert_\infty = r(x) = \lVert x \rVert$）。$\widehat{x^{\ast}} = \overline{\hat{x}}$（自己共役元の指標の値は実数）と全射性（ストーン–ワイエルシュトラスの定理を使う）にはもう少し議論が要る。2 の証明には、状態（ノルム 1 の正値汎関数）からヒルベルト空間を作る GNS 構成を用いる。いずれも Conway や Rudin の教科書の C*-環の章を参照。1 は「可換 C*-環とコンパクト・ハウスドルフ空間は同じものである」ことを意味し、非可換な C*-環を「非可換な空間」とみなす発想（作用素環論・非可換幾何学）の出発点になった。

6.7 自己共役作用素のスペクトル

エルミート行列の固有値は実数で、ノルムは固有値の絶対値の最大値に等しかった（02-linear-algebra 第7章）。無限次元でも、固有値をスペクトルに置き換えれば同じことが成り立つ。量子力学で観測量を自己共役作用素で表すのは、観測値（スペクトル）が実数になるからである。

定理 6.24 $H \neq \lbrace 0 \rbrace$ を複素ヒルベルト空間、$A \in \mathcal{B}(H)$ を自己共役とし、

$$m = \inf_{\lVert x \rVert = 1} \langle Ax, x \rangle, \qquad M = \sup_{\lVert x \rVert = 1} \langle Ax, x \rangle$$

とおく。このとき $\sigma(A) \subset [m, M]$ かつ $m, M \in \sigma(A)$ であり、

$$\lVert A \rVert = \max(\lvert m \rvert, \lvert M \rvert) = \max \lbrace \lvert \lambda \rvert \mid \lambda \in \sigma(A) \rbrace = r(A)$$

が成り立つ。

証明. 第 1 段（$\sigma(A) \subset \mathbb{R}$）。$\lambda = \alpha + i\beta$（$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, $\beta \neq 0$）とする。$\langle (\alpha I - A)x, x \rangle$ は実数なので、$\langle (\alpha I - A)x, i\beta x \rangle = -i\beta \langle (\alpha I - A)x, x \rangle$ は純虚数であり、

よって $\lambda I - A$ は下に有界で、単射かつ値域は閉である（問題 3.4）。同じ評価を $\bar{\lambda}$ に適用すると $(\lambda I - A)^{\ast} = \bar{\lambda} I - A$ も単射なので、命題 2.22 より値域は稠密である。したがって $\lambda I - A$ は全単射で、$\lambda \in \rho(A)$。

第 2 段（$\sigma(A) \subset [m, M]$）。$\lambda < m$ なら、$\lVert x \rVert = 1$ のとき $\lVert (A - \lambda I)x \rVert \geq \langle (A - \lambda I)x, x \rangle \geq m - \lambda > 0$ なので $A - \lambda I$ は下に有界であり、自己共役だから値域も稠密で（$\ker (A - \lambda I)^{\ast} = \ker(A - \lambda I) = \lbrace 0 \rbrace$）、可逆である。$\lambda > M$ も同様。

第 3 段（$m, M \in \sigma(A)$）。$B = A - mI$ とおくと $\langle Bx, x \rangle \geq 0$ である。半正定値なエルミート形式 $(x, y) \mapsto \langle Bx, y \rangle$ にコーシー–シュワルツの不等式を適用すると $\lvert \langle Bx, y \rangle \rvert^2 \leq \langle Bx, x \rangle \langle By, y \rangle$ で、$y = Bx$ とおけば

$m$ の定義から単位ベクトル $x_n$ で $\langle Bx_n, x_n \rangle \to 0$ となるものがあり、上式から $\lVert Bx_n \rVert \to 0$。よって $B$ は下に有界でなく、可逆でない。すなわち $m \in \sigma(A)$。$MI - A$ に同じ議論を適用すれば $M \in \sigma(A)$。