微分方程式と確率論

(1) $y \equiv 0$ と、各 $c \geq 0$ に対する $y_c(t) = \frac{(t-c)^2}{4}$ $(t \geq c)$, $y_c(t) = 0$ $(t < c)$ はすべて解である（$t \geq c$ で $y_c' = \frac{t-c}{2} = \sqrt{y_c}$、$t = c$ で左右の微分係数はともに $0$）。一意性定理は右辺が $y$ について局所リプシッツであることを仮定するが、$\sqrt{\lvert y \rvert}$ は $y = 0$ の近傍でリプシッツでない（$\sqrt{\lvert y \rvert}/\lvert y \rvert \to \infty$）。

(2) $y \neq 0$ で $(-1/y)' = 1$ より $y = \frac{1}{1 - t}$。解は $t \to 1^{-}$ で発散するので、最大解は区間 $(-\infty, 1)$ 上の $y = \frac{1}{1-t}$。

(3) $f(t,y) = \sin(ty)$ は $C^1$ 級なので局所リプシッツで、局所解がただ一つ存在する。最大解を $(\alpha, \beta)$ 上の $y$ とすると、$\lvert y' \rvert \leq 1$ より $\lvert y(t) \rvert \leq \lvert y_0 \rvert + \lvert t \rvert$。$\beta < \infty$ なら $y$ は $[0, \beta)$ で有界になるが、延長定理（最大解は有限時刻で有界にとどまれない）に反する。よって $\beta = \infty$、同様に $\alpha = -\infty$。

• 一意性の破れ（(1)）と解の爆発（(2)）は別の現象である。局所リプシッツ性は前者を、線形増大条件 $\lvert f(t,y) \rvert \leq a(t) + b(t)\lvert y \rvert$ は後者を防ぐ。
• (3) の「有界 $\Rightarrow$ 延長可能」は院試で頻出の論法。延長定理の正確な形（最大解が有限時刻で終わるなら、解は任意のコンパクト集合から出ていく）を覚えておく。

$y' \geq 0$ なので $y$ は単調増加で $y \geq 0$。また延長定理より、$T < \infty$ ならば $y(t) \to \infty$ $(t \to T)$ である。

(1) $T \leq 1$ と仮定する。$[0, T)$ で $y' \leq 1 + y^2$ より $(\arctan y)' = \frac{y'}{1 + y^2} \leq 1$、よって $\arctan y(t) \leq t \leq 1$、$y(t) \leq \tan 1$。$y$ は有界となり矛盾。よって $T > 1$。

(2) $t > 0$ で $y' \geq t^2 > 0$ なので $y > 0$、よって $y(1) = \int_0^1 (t^2 + y^2)\ dt > \int_0^1 t^2\ dt = \frac{1}{3}$。$t \in [1, T)$ では $y' \geq 1 + y^2$ より $(\arctan y)' \geq 1$、したがって

これが $[1, T)$ のすべての $t$ で成り立つので $T \leq 1 + \frac{\pi}{2} - \arctan y(1) < 1 + \frac{\pi}{2} - \arctan\frac{1}{3}$。

• 解けない方程式の解の振る舞いを、解ける方程式（ここでは $y' = 1 + y^2$、解は $\tan$）と比較して調べるのが比較定理の考え方。答案では「$(\arctan y)'$ を評価して積分する」形で書けば、比較定理を引用せずに済む。
• 数値計算では $T \approx 2.003$ で、(2) の上界は約 $2.249$。区間をさらに分けて比較すれば評価は改善できる。

(1) $A^2 = -I$ なので $A^{2k} = (-1)^kI$, $A^{2k+1} = (-1)^kA$ で、指数関数の級数を偶数次と奇数次に分けて

解 $x(t) = e^{tA}x(0)$ は周期 $2\pi$。$Q(x) = x_1^2 - 2x_1x_2 + 2x_2^2 = (x_1 - x_2)^2 + x_2^2$（正定値）とおくと、$x_1' = x_1 - 2x_2$, $x_2' = x_1 - x_2$ より

(2) 左辺は $(D - 1)^3y$（$D = \frac{d}{dt}$）。同次方程式の一般解は $(c_0 + c_1t + c_2t^2)e^t$。$(D-1)(t^ke^t) = kt^{k-1}e^t$ より $(D-1)^3\left(\frac{t^3}{6}e^t\right) = e^t$ なので、一般解は

• 保存される二次形式は $A^{T}P + PA = O$ を満たす正定値対称行列 $P$ を探せば見つかる（本問では $P$ の行は $(1, -1), (-1, 2)$）。軌道は楕円で、原点は中心（安定だが漸近安定でない）。
• (2) の特殊解は、右辺 $e^t$ が特性根 $1$（重複度 3）に共鳴するため $t^3$ が掛かる。これは $(D-1)^3$ が 3 次のジョルダン細胞に対応することの反映である。

(1) 原点での線形化行列は $\operatorname{diag}(-1, -2)$ で、固有値の実部がすべて負。線形化安定性定理より漸近安定。

(2) 線形化行列は第 1 行 $(0, 1)$、第 2 行 $(-1, 0)$ で固有値 $\pm i$ となり、線形化では判定できない。$V = x^2 + y^2$ とすると $\dot{V} = 2x(-x^3 + y) + 2y(-x - y^3) = -2(x^4 + y^4)$ で、これは原点以外で負。$V$ は正定値、$\dot V$ は負定値なので、リャプノフの定理より漸近安定。

(3) 線形化は (2) と同じで判定できない。$V = x^2 + y^2$ で $\dot{V} = 2(x^4 + y^4) \geq V^2$（$x^4 + y^4 \geq \frac{(x^2+y^2)^2}{2}$）。初期値 $p \neq 0$ の解は $V \geq \lvert p \rvert^2$ を保ち、単位円板内にいる間は $\dot V \geq \lvert p \rvert^4$、よって $V(t) \geq \lvert p \rvert^2 + \lvert p \rvert^4t$ となり有限時間で単位円板を出る。$\lvert p \rvert$ はいくらでも小さくとれるので不安定。

• 線形化で判定できるのは、固有値の実部がすべて負（漸近安定）か正のものがある（不安定）場合だけ。実部 $0$ の固有値があると、(2) と (3) のように非線形項で結論が逆になりうる。
• (2) では $V$ の等高線が有界なので、全平面のすべての解が原点に収束する（大域的漸近安定）。

(1) 固有関数 $y$ に $y$ を掛けて積分すると、境界項 $[y'y]_0^1 = 0$ より $\lambda\int_0^1 y^2 = \int_0^1 y'^2$。よって $\lambda \geq 0$ で、$\lambda = 0$ なら $y' = 0$、$y = y(0) = 0$。$\lambda > 0$ なら $y(0) = 0$ から $y = c\sin\sqrt{\lambda}x$、$y'(1) = c\sqrt{\lambda}\cos\sqrt{\lambda} = 0$ より $\sqrt{\lambda} = (k - \frac{1}{2})\pi$。固有値は $\lambda_k = (k - \frac{1}{2})^2\pi^2$、固有関数は $\sin((k - \frac{1}{2})\pi x)$ $(k \in \mathbb{N})$。

(2) $u(x) = \int_0^x sf(s)\ ds + x\int_x^1 f(s)\ ds$ は $u' = xf(x) + \int_x^1 f - xf(x) = \int_x^1 f$, $u'' = -f$, $u(0) = 0$, $u'(1) = 0$ を満たす。2 つの解の差 $w$ は $-w'' = 0$, $w(0) = w'(1) = 0$ を満たし、(1) より $0$ は固有値でないので $w = 0$。

(3) 必要性：解 $y$ があれば、部分積分を 2 回行い $y(0) = y(1) = 0$ と $\sin 0 = \sin\pi = 0$ を使うと

十分性：定数変化法により $y_p(x) = -\frac{1}{\pi}\int_0^x \sin(\pi(x-s))f(s)\ ds$ は $y_p'' + \pi^2y_p = -f$, $y_p(0) = 0$ を満たし、$y_p(1) = -\frac{1}{\pi}\int_0^1\sin(\pi s)f(s)\ ds = 0$。よって $y_p$ は解である（解は $y_p + c\sin\pi x$ で一意でない）。

• (3) は「$\lambda = \pi^2$ が固有値のとき、非斉次問題は右辺が固有関数と直交するときに限り解けて、解は固有関数の分だけ不定」というフレドホルムの択一定理の典型例。行列の $Ax = b$ が $b \perp \ker A^{T}$ のとき解けることの無限次元版である。
• (2) のグリーン関数 $\min(x,s)$ はブラウン運動の共分散 $E[B_xB_s]$ と一致する。固有値 $\lambda_k$ の逆数はこの積分作用素の固有値である。

(1) $f$ は偶関数なので $b_n = 0$。$a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi\sin x\ dx = \frac{4}{\pi}$、$n \geq 1$ で

（$n = 1$ では第 2 項を $0$ とする）。$n$ が奇数なら $a_n = 0$、$n = 2m$ なら $a_{2m} = \frac{2}{\pi}\left(\frac{1}{2m+1} - \frac{1}{2m-1}\right) = -\frac{4}{\pi(4m^2-1)}$。係数は $O(m^{-2})$ なので M 判定法により級数は一様収束し、その和 $g$ は連続で $f$ と同じフーリエ係数をもつ。三角関数系の完全性（または連続関数のフーリエ係数の一意性）から $g = f$。

(2) $x = 0$ を代入して $0 = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi}\sum\frac{1}{4n^2-1}$、よって $\sum\frac{1}{4n^2-1} = \frac{1}{2}$。$x = \frac{\pi}{2}$ で $\cos n\pi = (-1)^n$ より $1 = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi}\sum\frac{(-1)^n}{4n^2-1}$、よって $\sum\frac{(-1)^n}{4n^2-1} = \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4}$。

(3) パーセヴァルの等式 $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2\ dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum a_n^2$ に代入すると $1 = \frac{8}{\pi^2} + \frac{16}{\pi^2}\sum\frac{1}{(4n^2-1)^2}$。よって $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(4n^2-1)^2} = \frac{\pi^2 - 8}{16}$。

• (2) の第 1 式は $\frac{1}{4n^2-1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$ の望遠鏡和でも得られ、検算になる。
• 各点での値を代入するには、その点でフーリエ級数が $f$ に収束することの根拠（一様収束、またはディリクレの定理）が必要。不連続点では左右の極限の平均に収束する。

(1) $u = X(x)T(t)$ とおくと $X'' = -\lambda X$, $X(0) = X(\pi) = 0$ より $X = \sin nx$, $\lambda = n^2$、$T = e^{-n^2t}$。初期値を正弦級数に展開すると（第5章 問題 7 の計算）$x(\pi - x) = \sum_{n\ \text{odd}}\frac{8}{\pi n^3}\sin nx$ なので

(2) 各項は $\frac{8}{\pi n^3}$ 以下なので M 判定法により $[0,\pi] \times [0,\infty)$ で一様収束し、$u$ は連続。$t = 0$ では $x(\pi - x)$ の正弦級数で、一様収束するので和は $x(\pi-x)$ に等しい。$t \geq t_0 > 0$ では、$\partial_t^j\partial_x^k$ を項別にとった級数の各項は $Cn^{2j+k}e^{-n^2t_0}$ 以下で総和有限なので一様収束し、$u$ は $C^\infty$ 級で項別微分できる。各項が方程式と境界条件を満たすので $u$ も満たす。

(3) 2 つの解の差 $w$ は同じ方程式と、境界値 $0$・初期値 $0$ を満たす。$E(t) = \int_0^\pi w^2dx$ とすると、部分積分と境界条件より $E'(t) = 2\int_0^\pi ww_{xx}\ dx = -2\int_0^\pi w_x^2\ dx \leq 0$。$E \geq 0$, $E(0) = 0$ なので $E \equiv 0$、$w \equiv 0$。

(4) $e^tu - \frac{8}{\pi}\sin x = \sum_{n \geq 3\ \text{odd}}\frac{8}{\pi n^3}e^{-(n^2-1)t}\sin nx$ の絶対値は $e^{-8t}\sum_n\frac{8}{\pi n^3} \to 0$。

• 熱方程式の解は $t > 0$ で瞬時に滑らかになる（高周波成分が $e^{-n^2t}$ で急速に減衰する）。(2) の論証はこの平滑化効果の証明そのものである。
• 最大値原理を使うと $0 \leq u \leq \max u(\cdot,0) = \frac{\pi^2}{4}$ もわかる。一意性はエネルギー法でも最大値原理でも示せる。

(1) $\xi = x + ct$, $\eta = x - ct$ とし $u(x,t) = w(\xi,\eta)$ とおくと、$u_{tt} - c^2u_{xx} = -4c^2w_{\xi\eta}$。よって $w_{\xi\eta} = 0$ で、$w = F(\xi) + G(\eta)$（$F, G \in C^2$）。初期条件から $F(x) + G(x) = \varphi(x)$, $c(F'(x) - G'(x)) = \psi(x)$。後者を積分して $F - G = \frac{1}{c}\int_0^x\psi + k$。連立して $F = \frac{\varphi}{2} + \frac{1}{2c}\int_0^x\psi + \frac{k}{2}$, $G = \frac{\varphi}{2} - \frac{1}{2c}\int_0^x\psi - \frac{k}{2}$ となり、$u = F(x+ct) + G(x-ct)$ は公式に一致する。導出はどの解にも適用できるので、解は一意である。

(2) $E'(t) = \int_0^L(u_tu_{tt} + c^2u_xu_{xt})\ dx = \int_0^Lu_t(u_{tt} - c^2u_{xx})\ dx + c^2[u_xu_t]_0^L = 0$（境界で $u = 0$ なので $u_t = 0$）。

(3) $\cos^3\theta = \frac{3}{4}\cos\theta + \frac{1}{4}\cos 3\theta$ で、$r\cos\theta = x$, $r^3\cos 3\theta = \operatorname{Re}(x+iy)^3 = x^3 - 3xy^2$ は調和多項式。よって

は条件を満たす。2 つの解の差は円板で調和、境界で $0$ なので、最大値原理と最小値原理から恒等的に $0$。

• 波動方程式の解は初期値の滑らかさを改善しない（特異性は特性線 $x \pm ct =$ 一定に沿って伝わる）。熱方程式との対比が重要である。依存領域は $[x - ct, x + ct]$ で、有限の伝播速度をもつ。
• (3) の一般形はポアソン積分公式 $u(re^{i\theta}) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos(\theta - \phi) + r^2}g(\phi)\ d\phi$。原点での値 $u(0) = 0$ は境界値の平均（平均値の性質）に一致する。

(1) 対称性と $P(X = Y) = 0$ より $P(X < Y) = \frac{1}{2}$。$P(\min(X,Y) > t) = P(X > t)P(Y > t) = e^{-2\lambda t}$ なので $\min(X,Y)$ は母数 $2\lambda$ の指数分布。$\max + \min = X + Y$ より $E[\max(X,Y)] = \frac{2}{\lambda} - \frac{1}{2\lambda} = \frac{3}{2\lambda}$。

(2) $(X,Y)$ の密度は $\lambda^2e^{-\lambda(x+y)}$ $(x, y > 0)$。$(x,y) = (us, (1-u)s)$ は $(0,1) \times (0,\infty)$ から $(0,\infty)^2$ への $C^1$ 級全単射で、ヤコビアンは $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,s)} = s(1-u) - u(-s) = s$。よって $(U,S)$ の密度は $\mathbf{1}_{(0,1)}(u)\cdot\lambda^2se^{-\lambda s}$ で、$u$ の関数と $s$ の関数の積。したがって $U$ と $S$ は独立で、$U$ は一様分布（$S$ はガンマ分布）。

(3) $k - 1$ 種類そろった後、新しい種類が出るまでの回数 $T_k$ は成功確率 $\frac{n-k+1}{n}$ の幾何分布に従い、$E[T_k] = \frac{n}{n-k+1}$。$T = \sum_{k=1}^{n}T_k$ より $E[T] = n\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{j}$（$\approx n\log n$）。

• (1) の $\min$ の分布は「独立な指数時計のうち最初に鳴る時刻」で、待ち行列やマルコフ過程の基本。(2) は、ポアソン過程で 2 回目の到着時刻を条件としたとき 1 回目の到着時刻が一様分布になることと同じ事実である。
• (3) は期待値の線形性だけで計算でき、$T_k$ の独立性は不要（分散の計算には独立性を使う）。

(1) $c > 0$ に対し $P(X_n > c\log n) = n^{-c}$。$c > 1$ なら $\sum n^{-c} < \infty$ で、第 1 ボレル–カンテリの補題より a.s. に有限個の $n$ を除き $X_n \leq c\log n$、よって $\limsup \frac{X_n}{\log n} \leq c$。$c = 1 + \frac{1}{m}$ $(m \in \mathbb{N})$ として可算個の確率 1 の事象の共通部分をとれば $\limsup \leq 1$ a.s.。$c = 1$ では $\sum \frac{1}{n} = \infty$ で事象は独立なので、第 2 ボレル–カンテリの補題より $X_n > \log n$ が無限回起こり、$\limsup \geq 1$ a.s.。

(2) $\varepsilon > 0$ に対し $P\left(\frac{X_n}{\log n} > \varepsilon\right) = n^{-\varepsilon} \to 0$ なので確率収束する。しかし (1) より a.s. に $\limsup = 1 \neq 0$ で、概収束しない。

(3) $X \sim N(0,1)$ とし $X_n = -X$ とおく。$X_n$ の分布は $X$ と同じなので $X_n \to X$ は分布収束だが、$P(\lvert X_n - X \rvert > \varepsilon) = P(2\lvert X \rvert > \varepsilon)$ は $n$ によらない正の定数で、確率収束しない。

• 第 2 ボレル–カンテリの補題には独立性が必要。第 1 は独立性なしで使える。答案ではどちらを使ったか、独立性をどこで使ったかを明記する。
• 「概収束 $\Rightarrow$ 確率収束 $\Rightarrow$ 分布収束」で、逆はいずれも一般に成り立たない。ただし極限が定数なら分布収束と確率収束は同値である。

(1) $U_1, U_2, \dots$ を独立な $[0,1]$ 上の一様分布とすると、積分は $E\left[\frac{\sum_{i \leq n}U_i^2}{\sum_{i \leq n}U_i}\right]$ に等しい。大数の強法則より $\frac{1}{n}\sum U_i^2 \to E[U^2] = \frac{1}{3}$, $\frac{1}{n}\sum U_i \to E[U] = \frac{1}{2}$ a.s. なので、比は a.s. に $\frac{2}{3}$ に収束する。$U_i^2 \leq U_i$ より比は $[0,1]$ に値をとるので、有界収束定理より極限は $\frac{2}{3}$。

(2) $S_n$ を独立な母数 1 のポアソン分布 $n$ 個の和とすると $S_n$ は母数 $n$ のポアソン分布で、与式は $P(S_n \leq n) = P\left(\frac{S_n - n}{\sqrt{n}} \leq 0\right)$。平均 1・分散 1 なので中心極限定理より、これは $\Phi(0) = \frac{1}{2}$ に収束する。

(3) 表の回数 $S$ は平均 $5000$、標準偏差 $\sqrt{10000 \cdot \frac{1}{4}} = 50$。$P(S \geq 5100) = P\left(\frac{S - 5000}{50} \geq 2\right) \approx 1 - \Phi(2) \approx 0.023$。

• (1) のように「高次元の積分の極限」を確率変数の平均の極限と読み替えるのは典型的な手法。高次元の立方体の体積はほとんど「平均的な点」の近くに集中する（測度の集中）。
• (2) の収束は遅く、誤差は $O(n^{-1/2})$（ベリー–エシーンの定理）。(3) で連続補正をすると $1 - \Phi(1.99) \approx 0.0233$ となる。

(1) どの状態からでも $+1$ が $N$ 回続けば終わるので $P(\tau > kN) \leq (1 - 2^{-N})^k$、$E[\tau] = \sum_{m \geq 0}P(\tau > m) \leq N\sum_k(1 - 2^{-N})^k < \infty$。$S_n$ はマルチンゲールで $\lvert S_{n \wedge \tau} \rvert \leq N$ なので、任意抽出定理より $E[S_{n \wedge \tau}] = a$。$n \to \infty$ で有界収束定理より $E[S_\tau] = a$、すなわち $N \cdot P(S_\tau = N) = a$。次に $S_n^2 - n$ もマルチンゲール（$E[S_{n+1}^2 - S_n^2 \mid \mathcal{F}_n] = 1$）なので $E[S_{n \wedge \tau}^2] = a^2 + E[n \wedge \tau]$。$n \to \infty$ で左辺は有界収束定理により $E[S_\tau^2] = N^2\cdot\frac{a}{N} = aN$、右辺は単調収束定理により $a^2 + E[\tau]$。よって $E[\tau] = aN - a^2 = a(N - a)$。

(2) $n$ 回後の玉は $n + 2$ 個で、赤玉の数を $R_n$ とすると $M_n = \frac{R_n}{n+2}$。$E[R_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = R_n + M_n$ より

$0 \leq M_n \leq 1$ なのでマルチンゲール収束定理により a.s. に収束する。赤 $k$ 回・白 $n-k$ 回の特定の順序の確率は、分子が $k!\ (n-k)!$、分母が $2 \cdot 3 \cdots (n+1) = (n+1)!$ なので、$P(R_n = k+1) = \binom{n}{k}\frac{k!(n-k)!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}$ $(0 \leq k \leq n)$。$M_n$ は $\lbrace \frac{1}{n+2}, \dots, \frac{n+1}{n+2} \rbrace$ 上の一様分布で、$[0,1]$ 上の一様分布に分布収束する。概収束は分布収束を導くので、極限は一様分布に従う。

• 任意抽出定理の適用では、(i) 停止時刻が有界、(ii) 停止過程が有界で $\tau < \infty$ a.s.、(iii) $E[\tau] < \infty$ かつ増分が有界、のどれかを確認する。「$E[S_\tau] = E[S_0]$」だけを書く答案は減点される（上界 $N$ をなくし、$1$ から出発して $0$ に到達した時刻で止めると、$\tau < \infty$ a.s. だが $E[S_\tau] = 0 \neq 1$）。
• 非対称なら（$P(\xi = 1) = p \neq \frac{1}{2}$）$(q/p)^{S_n}$ がマルチンゲールで、$P(S_\tau = N) = \frac{1 - (q/p)^a}{1 - (q/p)^N}$（$q = 1 - p$）。