微分積分と線形代数

(1) $\varepsilon > 0$ とする。ある $M > 0$ があって $x \geq M$ ならば $\lvert f(x) - L \rvert < \varepsilon/2$。$f$ は有界閉区間 $[0, M+1]$ 上で一様連続（ハイネ–カントールの定理）だから、ある $\delta_1 > 0$ があって $x, y \in [0, M+1]$, $\lvert x - y \rvert < \delta_1$ ならば $\lvert f(x) - f(y) \rvert < \varepsilon$。$\delta = \min\lbrace \delta_1, 1 \rbrace$ とし、$x, y \geq 0$, $\lvert x - y \rvert < \delta$ とする。$x, y \in [0, M+1]$ なら $\lvert f(x) - f(y) \rvert < \varepsilon$。そうでなければ、たとえば $x > M+1$ で $y > x - 1 > M$ となり、$\lvert f(x) - f(y) \rvert \leq \lvert f(x) - L \rvert + \lvert L - f(y) \rvert < \varepsilon$。よって $f$ は一様連続である。

(2) $x_n = \sqrt{(n + \frac{1}{2})\pi}$, $y_n = \sqrt{n\pi}$ とおくと $x_n - y_n = \frac{\pi/2}{x_n + y_n} \to 0$ だが、$\lvert g(x_n) - g(y_n) \rvert = 1$。一様連続なら $\varepsilon = 1$ に対する $\delta$ をとると、大きな $n$ で $\lvert x_n - y_n \rvert < \delta$ なのに差が $1$ となり矛盾する。

(3) $h'(x) = 2x\sin(1/x) - \cos(1/x)$ で、$\lvert \sin t \rvert \leq \lvert t \rvert$ より $\lvert 2x\sin(1/x) \rvert \leq 2$、よって $\lvert h'(x) \rvert \leq 3$。平均値の定理より $\lvert h(x) - h(y) \rvert \leq 3\lvert x - y \rvert$ で、$\delta = \varepsilon/3$ とすればよい。

• (1) の要点は、コンパクトな部分と無限遠に分け、境目をまたぐ 2 点を処理するために $[0, M+1]$ をとって $\delta \leq 1$ とすること。
• 一様連続でないことは、「$\lvert x_n - y_n \rvert \to 0$ かつ $\lvert g(x_n) - g(y_n) \rvert \geq \varepsilon_0$ となる点列」を作って示すのが定石。

(1) 答：$p > 1$。 $p \leq 0$ なら $n \geq 3$ で $\frac{1}{n(\log n)^p} \geq \frac{1}{n}$ となり発散する。$p > 0$ なら $\frac{1}{x(\log x)^p}$ は $[3, \infty)$ で正・連続・単調減少なので、積分判定法により収束は $\int_3^{\infty} \frac{dx}{x(\log x)^p} = \int_{\log 3}^{\infty} t^{-p}\ dt < \infty$ と同値で、それは $p > 1$ と同値である。

(2) 答：$a > 1/2$。 $n \geq 2$ で $n^a + (-1)^n > 0$ であり、通分して確かめられる恒等式

を用いる。$\sum (-1)^n n^{-a}$ はライプニッツの判定法で収束する。$n^{2a}c_n \to 1$ だから、極限比較判定法により $\sum c_n$ の収束は $\sum n^{-2a}$ の収束、すなわち $a > 1/2$ と同値である。収束級数と発散級数の和は発散するので、結論を得る。

(3) $a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!}$ とおくと $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} \to \frac{1}{4}$ より $r = 4$。$x = \pm 4$ では、$\binom{2n}{n} \leq \sum_{k} \binom{2n}{k} = 4^n$ より $\lvert a_n x^n \rvert = 4^n / \binom{2n}{n} \geq 1$ で、一般項が $0$ に収束しないから両端とも発散する。

• (2) は典型的な落とし穴。ライプニッツの判定法には $\lvert b_n \rvert$ の単調減少が必要だが、ここでは単調でない。漸近展開で見当をつけ、答案では上のような厳密な等式で処理する（展開の剰余項 $O(n^{-3a})$ は $a \leq 1/3$ で絶対収束しない）。

(1) $\int_0^1$ と $\int_1^{\infty}$ に分ける。$0 < x \leq 1$ では $\frac{2}{\pi}x \leq \sin x \leq x$ だから $\frac{2}{\pi}x^{1-p} \leq \frac{\sin x}{x^p} \leq x^{1-p}$。被積分関数は正なので、$\int_0^1$ の収束は $\int_0^1 x^{1-p}\ dx < \infty$、すなわち $p < 2$ と同値である。

$p > 0$ のとき、部分積分により

で、$\frac{\cos X}{X^p} \to 0$、右辺の積分は $\lvert \cos x \rvert x^{-p-1} \leq x^{-p-1}$ より絶対収束するので $\int_1^{\infty}$ は収束する。$p \leq 0$ のときは、$x \geq 1$ で $x^{-p} \geq 1$ より $\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi} \frac{\sin x}{x^p}\ dx \geq \int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi} \sin x\ dx = 2$ $(k \in \mathbb{N})$ となり、コーシーの判定条件が破れて発散する。以上より、収束 $\Leftrightarrow$ $0 < p < 2$。

(2) $0 < \varepsilon < X$ で部分積分すると

$0 \leq \frac{1 - \cos\varepsilon}{\varepsilon} \leq \frac{\varepsilon}{2}$, $0 \leq \frac{1 - \cos X}{X} \leq \frac{2}{X}$ だから、極限をとって $\int_0^{\infty} \frac{1-\cos x}{x^2}\ dx = \frac{\pi}{2}$。さらに $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ と $u = 2x$ により $\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2}\ dx = \int_0^{\infty} \frac{1 - \cos u}{u^2}\ du = \frac{\pi}{2}$。

• 振動する被積分関数の無限遠での収束は比較判定法では扱えない。部分積分かディリクレの判定法を使う。$x = 0$ の近くで極限比較を使うときは、被積分関数の符号が一定であることに触れる。
• 同様の議論で、絶対収束の必要十分条件は $1 < p < 2$ とわかる（$0 < p \leq 1$ では $\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \lvert \sin x \rvert x^{-p}\ dx \geq 2((k+1)\pi)^{-p}$ の和が発散し、$p \leq 0$ では (1) より収束すらしない）。

(1) 相加相乗平均より $1 + nx^2 \geq 2\sqrt{n}\lvert x \rvert$ なので $\lvert f_n(x) \rvert \leq \frac{1}{2\sqrt{n}}$。よって $\sup_x \lvert f_n(x) \rvert \to 0$。

(2) $f_n'(x) = \frac{1 - nx^2}{(1+nx^2)^2}$ より $g(0) = 1$, $g(x) = 0$ $(x \neq 0)$。連続関数の一様極限は連続だが $g$ は $0$ で不連続なので、$\mathbb{R}$ 上では一様収束しない。$\lvert x \rvert \geq \delta$ では $\lvert f_n'(x) \rvert \leq \frac{1 + nx^2}{(1+nx^2)^2} = \frac{1}{1 + nx^2} \leq \frac{1}{1 + n\delta^2} \to 0$ で、一様収束する。

(3) $\lvert f_n(x)/n \rvert \leq \frac{1}{2n^{3/2}}$ だから M 判定法により一様収束し、$F$ は連続である。$\lvert x \rvert \geq \delta$ では (2) より $\lvert f_n'(x)/n \rvert \leq \frac{1}{\delta^2 n^2}$ なので導関数の級数も一様収束し、項別微分定理により $F$ は $(\delta, \infty)$ と $(-\infty, -\delta)$ で $C^1$ 級。$\delta$ は任意なので $\mathbb{R} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ で $C^1$ 級である。最後に $x \neq 0$ で

が任意の $N$ で成り立つので、差分商は $+\infty$ に発散し、$F$ は $0$ で微分可能でない。

• 項別微分定理の仮定は「導関数の級数が一様収束すること」。元の級数の一様収束だけでは極限の微分可能性は保証されず、本問がその反例になっている（$x = 0$ で導関数の級数は $\sum 1/n$）。

(1) $f_x = 4x^3 - 8(x-y)$, $f_y = 4y^3 + 8(x-y)$。和をとると $x^3 + y^3 = 0$ より $y = -x$、代入して $4x^3 - 16x = 0$。臨界点は $(0,0)$, $(2,-2)$, $(-2,2)$。$f_{xx} = 12x^2 - 8$, $f_{xy} = 8$, $f_{yy} = 12y^2 - 8$ である。

• $(\pm 2, \mp 2)$：$f_{xx} = f_{yy} = 40$, $f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 1536 > 0$ で狭義の極小。極小値 $f = 16 + 16 - 64 = -32$。
• $(0,0)$：$f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 64 - 64 = 0$ で判定できない。直接調べると、$t \neq 0$ で $f(t,t) = 2t^4 > 0$, $0 < \lvert t \rvert < 2\sqrt{2}$ で $f(t,-t) = 2t^2(t^2 - 8) < 0$。$f(0,0) = 0$ だから原点のどの近傍にも $f > 0$ の点と $f < 0$ の点があり、極値でない。

(2) $r^2 = x^2 + y^2$ とおくと、$x^4 + y^4 \geq \frac{r^4}{2}$ と $4(x-y)^2 \leq 8r^2$ より $f \geq \frac{r^4}{2} - 8r^2 = \frac{r^2}{2}(r^2 - 16)$ で、$r \geq 4$ なら $f \geq 0$（$r = 4$ では $f(2\sqrt2, -2\sqrt2) = 0$ のように等号も起こる）。コンパクトな $K = \lbrace r \leq 4 \rbrace$ 上で $f$ は最小値をとり、それは $f(2,-2) = -32$ 以下である。$K$ の境界上では $f \geq 0 > -32$ なので最小点は内部にあり臨界点である。臨界点での値 $0, -32$ を比べ、さらに $K$ の外で $f \geq 0$ であることから、最小値は $-32$（$(\pm 2, \mp 2)$ でとる）。

• 判別式が $0$ のときは「判定不能」で終わらせず、本問のように方向を選んで値を比べる。$(1,1)$ 方向（ヘッセ行列の核）では 4 次の項が効いて正、$(1,-1)$ 方向では 2 次の項が効いて負になる。
• 「極小値だから最小値」は誤り。2 変数では「臨界点がただ一つで極小」でも最小とは限らない：$x^2 + y^2(1-x)^3$ は臨界点が原点だけで狭義の極小だが、$f(4,y) = 16 - 27y^2$ は下に有界でない。

(1) $\nabla g = 2(x,y,z)$ と $\nabla h = (1,1,1)$ が 1 次従属なら $(x,y,z) = c(1,1,1)$ で、$x + y + z = 3c = 0$ より $(x,y,z) = 0$ となり $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ に反する。

(2) $M$ はコンパクトで空でなく $f$ は連続なので、最大値・最小値が存在する。(1) により、それをとる点ではある $\lambda, \mu$ で

が成り立つ。第 1 式と第 2 式の差から $(x - y)(z + 2\lambda) = 0$、同様に $(y - z)(x + 2\lambda) = 0$, $(z - x)(y + 2\lambda) = 0$。$x, y, z$ が相異なると $x = y = z = -2\lambda$ となり矛盾するので、2 つは等しい。$x = y$ としてよく、$z = -2x$, $6x^2 = 1$。候補点は $(x, x, -2x)$（$x = \pm\frac{1}{\sqrt{6}}$）とその座標の置換で、$f = -2x^3 = \mp\frac{1}{3\sqrt{6}}$。よって

• 最大値 $\frac{\sqrt{6}}{18}$：$\left(-\frac{1}{\sqrt6}, -\frac{1}{\sqrt6}, \frac{2}{\sqrt6}\right)$ とその置換の 3 点
• 最小値 $-\frac{\sqrt{6}}{18}$：$\left(\frac{1}{\sqrt6}, \frac{1}{\sqrt6}, -\frac{2}{\sqrt6}\right)$ とその置換の 3 点

• 未定乗数法は極値点の必要条件しか与えない。答案では (i) 階数条件、(ii) コンパクト性による最大・最小の存在、(iii) 候補点の値の比較、の 3 点を書く。$x - y$ で割って $x = y$ の場合を落とす誤りが多い。
• 別解：$M$ 上では $x, y, z$ は $t^3 - \frac{1}{2}t - xyz = 0$ の 3 実解なので、3 次関数の極大値 $\geq 0 \geq$ 極小値の条件から $\lvert xyz \rvert \leq \frac{1}{3\sqrt6}$ が出る。

(1) $u = xy$, $v = y/x$ とおく。$(x,y) \mapsto (u,v)$ は第 1 象限からそれ自身への $C^1$ 級全単射（逆は $x = \sqrt{u/v}$, $y = \sqrt{uv}$）で、

だから $dx\ dy = \frac{du\ dv}{2v}$。$D$ は $[1,2] \times [1,3]$ に写り、$x^2 + y^2 = u(v + v^{-1})$ なので

(2) 被積分関数は正で連続なので、広義積分は近似増加列のとり方によらず定まり、変数変換とトネリの定理が使える。直交変換 $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$, $v = \frac{x-y}{\sqrt2}$（ヤコビアンの絶対値 $1$）により $x^2 + xy + y^2 = \frac{3}{2}u^2 + \frac{1}{2}v^2$ だから

• (1) の要点は、境界の式をそのまま新しい変数に選ぶこと。答案には (i) 単射性、(ii) ヤコビアンの絶対値、(iii) 領域の対応を書く。
• 一般に $n$ 次正定値実対称行列 $A$ に対し $\int_{\mathbb{R}^n} e^{-\langle Ax,x\rangle}dx = \pi^{n/2}/\sqrt{\det A}$。多次元正規分布の正規化定数の計算そのものである。

(1) $A$ は左下 $2 \times 2$ ブロックが $0$ のブロック上三角行列で、左上と右下の対角ブロックの固有多項式はともに $(\lambda-1)^2$ である（左上は $\lambda(\lambda - 2) + 1$）。よって固有多項式は $(\lambda - 1)^4$。$N = A - I$ とおくと

$N^2 \neq O$ だから最小多項式は $(\lambda - 1)^3$。

(2) $\operatorname{rank} N = 2$, $\operatorname{rank} N^2 = 1$, $\operatorname{rank} N^3 = 0$。細胞の個数は $4 - 2 = 2$、サイズ $2$ 以上は $2 - 1 = 1$ 個、サイズ $3$ 以上は $1 - 0 = 1$ 個なので、サイズは $3$ と $1$。$N^2e_3 \neq 0$ より $p_3 = e_3$, $p_2 = Np_3 = (0,1,0,1)^{T}$, $p_1 = Np_2 = (2,-2,0,0)^{T}$ とし、$\ker N = \lbrace x_3 = 0,\ x_1 + x_2 + x_4 = 0 \rbrace$ から $p_1$ と独立な $p_4 = (1,0,0,-1)^{T}$ をとる。$\det P = -4 \neq 0$ で

（$Ap_1 = p_1$, $Ap_2 = p_1 + p_2$, $Ap_3 = p_2 + p_3$, $Ap_4 = p_4$ による。）

(3) $I$ と $N$ は可換で $N^3 = O$ だから

また $X = I + \frac{1}{2}N - \frac{1}{8}N^2$ とおくと、$X^2 = I + N + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right)N^2 = A$。

• 4 次で固有値が 1 つ、$\dim\ker N = 2$ のとき、細胞のサイズは $(3,1)$ と $(2,2)$ の 2 通りがあり得る。固有空間の次元だけでは決まらないので $\operatorname{rank} N^2$ を必ず計算する。
• $P$ は最長の鎖の「頭」（$N^2 p \neq 0$ となる $p$）から作るのが確実。固有ベクトルから逆向きに $Np = v$ を解くと、解が存在しない $v$ を選ぶ危険がある。
• $X$ は $(1+s)^{1/2}$ の展開を $s = N$ で打ち切ったもの。$e^{tA}$ は $x' = Ax$ の基本解行列である（微分方程式 第3章）。

(1) $\operatorname{tr}(XY - YX) = 0 \neq n = \operatorname{tr} I_n$。

(2) ケーリー–ハミルトンの定理 $X^2 - (\operatorname{tr}X)X + (\det X)I = O$ に $X^2 = -I$ を代入すると $(\operatorname{tr}X)X = (\det X - 1)I$。$\operatorname{tr}X \neq 0$ なら $X = cI$（$c$ は実数）で $c^2 = -1$ となり矛盾。よって $\operatorname{tr}X = 0$, $\det X = 1$ で、逆にこのとき $X^2 = -I$。答えは、$a^2 + bc = -1$ を満たす実数 $a, b, c$ を用いて第 1 行 $(a, b)$、第 2 行 $(c, -a)$ と書ける行列の全体である。

(3) $X^2 = D$ なら $XD = X^3 = DX$。成分で $x_{ij}d_j = d_ix_{ij}$ で $d_1 \neq d_2$ だから $x_{12} = x_{21} = 0$。すると $x_{11}^2 = -1$ となり実数では不可能。

(4) $X$ の固有値を $\mu_1, \mu_2$ とする。複素行列として上三角化すれば、$e^X$ の固有値は $e^{\mu_1}, e^{\mu_2}$ とわかる。$e^X = A$ なら $e^{\mu_1} = e^{\mu_2} = -1$。$\mu_i$ が実数なら $e^{\mu_i} > 0$ で矛盾。そうでなければ $\mu_2 = \overline{\mu_1} \neq \mu_1$ なので $X$ は複素行列として対角化可能で、$X = R\operatorname{diag}(\mu_1,\mu_2)R^{-1}$ から $e^X = R(-I)R^{-1} = -I \neq A$ となり矛盾。

• (2) と (3) の対比が要点。$-I$ は回転の 2 乗として実の平方根をもつが、相異なる負の固有値をもつ行列は、可換性から平方根が対角行列に限られ、実の平方根をもたない。
• (4) は複素行列なら解がある（正則な複素行列は常に複素の対数をもつ）。実の対数がないのは、負の固有値のジョルダン細胞が対になっていないためである。
• (1) は標数 $0$ が本質的。標数 $p$ では $\mathbb{F}_p[x]/(x^p)$ 上の微分 $D$ と $x$ 倍 $M$ が $DM - MD = I$ を満たす。

(1) 表現行列は $S = E - I$（$E$ は全成分 $1$ の 3 次行列）。$E$ の固有値は $3, 0, 0$ なので $S$ の固有値は $2, -1, -1$。正規直交固有ベクトル $u_1 = \frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)^{T}$, $u_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1,-1,0)^{T}$, $u_3 = \frac{1}{\sqrt6}(1,1,-2)^{T}$ を並べた直交行列で $(x,y,z)^{T} = (u_1\ u_2\ u_3)(X,Y,Z)^{T}$ とすると $Q = 2X^2 - Y^2 - Z^2$。符号は（正 1 個, 負 2 個）。

(2) シルベスターの判定法より、首座小行列式 $1$, $2 - a^2$, $\det A_a = 5 - 3a^2$ がすべて正であることが必要十分。よって $\lvert a \rvert < \sqrt{5/3} = \frac{\sqrt{15}}{3}$。

(3) $ABv = \lambda v$（$v \in \mathbb{C}^n \setminus \lbrace 0 \rbrace$）とし $w = Bv$ とおくと、$w \neq 0$ で $Aw = \lambda v$。$A, B$ は実対称だから $\overline{w}^{T}Aw = \lambda\ \overline{w}^{T}v = \lambda\ \overline{v}^{T}Bv$。正定値実対称行列 $C$ は $\overline{z}^{T}Cz > 0$ $(z \neq 0)$ を満たす（$z = a + ib$ なら $a^{T}Ca + b^{T}Cb$ に等しい）ので、$\lambda = \overline{w}^{T}Aw / \overline{v}^{T}Bv > 0$。

• 半正定値の判定は「すべての主小行列式 $\geq 0$」で、首座小行列式だけでは足りない（$\operatorname{diag}(0,-1)$ が反例）。
• (3) の別解：$AB = A^{1/2}(A^{1/2}BA^{1/2})A^{-1/2}$ は正定値対称行列と相似。$AB$ 自体は対称とは限らない。

(1) $Ax = \lambda x$, $x \neq 0$ とし、$\lvert x_i \rvert = \max_j \lvert x_j \rvert$ となる $i$ をとる。第 $i$ 成分から $(\lambda - a_{ii})x_i = \sum_{j \neq i} a_{ij}x_j$ で、両辺の絶対値を $\lvert x_i \rvert > 0$ で割って $\lvert \lambda - a_{ii} \rvert \leq \sum_{j \neq i}\lvert a_{ij} \rvert \frac{\lvert x_j \rvert}{\lvert x_i \rvert} \leq R_i$。

(2) $0$ が固有値なら (1) より $\lvert a_{ii} \rvert \leq R_i$ となる $i$ があり、仮定に反する。

(3) $T_n$ は実対称なので固有値は実数で、(1) より $\lvert \lambda - 2 \rvert \leq 2$、つまり $[0,4]$ に含まれる。端点を除くため、展開して確かめられる恒等式