多様体と位相幾何学

(1) $\nabla F = (2x, 2y, -2z)$ は原点でのみ $0$ で、原点は $F^{-1}(0)$ に属する。よって $c \neq 0$ は正則値で、正則値定理により $M_c$ は $3 - 1 = 2$ 次元の部分多様体。$c > 0$ のとき $(x,y,z) \mapsto \left(\frac{(x,y)}{\sqrt{c + z^2}}, z\right)$ は $M_c$ から $S^1 \times \mathbb{R}$ への同相で、連結（一葉双曲面）。$c < 0$ のとき $z^2 = x^2 + y^2 - c > 0$ なので $M_c$ は $z > 0$ と $z < 0$ の部分に分かれ、各部分は $\mathbb{R}^2$ 上のグラフ $z = \pm\sqrt{x^2 + y^2 - c}$ で連結。よって2 成分（二葉双曲面）。

(2) $T_pM_1 = \ker dF_p = \lbrace v \mid \langle \nabla F(p), v \rangle = 0 \rbrace$。$\nabla F(p) = (2,0,0)$ なので $T_pM_1 = \lbrace v_1 = 0 \rbrace = \operatorname{span}\lbrace e_2, e_3 \rbrace$。

(3) 原点 $0$ の $M_0$ における任意の開近傍 $W$ について、$W \setminus \lbrace 0 \rbrace$ は $W \cap \lbrace z > 0 \rbrace$ と $W \cap \lbrace z < 0 \rbrace$ の交わらない開集合の和で、どちらも空でない（小さい $t > 0$ で $(t, 0, \pm t) \in W$）ので、連結でない。一方、$0$ が $\mathbb{R}^2$ と同相な近傍 $U$ をもつなら、$U$ 内の開円板に対応する近傍 $W$ がとれ、$W \setminus \lbrace 0 \rbrace$ は穴あき円板と同相で連結。矛盾。

• 正則値定理を使う答案では「どの点で $dF$ が全射でないか」を先に求め、それが $F^{-1}(c)$ に含まれないことを確認する。$c = 0$ でも $M_0 \setminus \lbrace 0 \rbrace$ は多様体である。
• (3) で「$\nabla F(0) = 0$ だから多様体でない」とするのは誤り。正則値でないことは多様体でないことを意味しない（例：$F = (x^2+y^2+z^2 - 1)^2$ の $F^{-1}(0) = S^2$）。

(1) $\operatorname{Sym}_n$ を対称行列の空間（次元 $\frac{n(n+1)}{2}$）とし、$F\colon \operatorname{M}_n(\mathbb{R}) \to \operatorname{Sym}_n$, $F(A) = A^{T}A$ とする。$dF_A(X) = X^{T}A + A^{T}X$。$A \in O(n)$, $S \in \operatorname{Sym}_n$ に対し $X = \frac{1}{2}AS$ とおくと $dF_A(X) = \frac{1}{2}(S^{T}A^{T}A + A^{T}AS) = S$ なので $dF_A$ は全射。よって $I$ は正則値で、$O(n) = F^{-1}(I)$ は $n^2 - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ 次元。$T_IO(n) = \ker dF_I = \lbrace X^{T} + X = O \rbrace$。

(2) $\det(A + tX) = \det A\det(I + tA^{-1}X) = \det A\ (1 + t\operatorname{tr}(A^{-1}X) + O(t^2))$ より $d(\det)_A(X) = \det A\operatorname{tr}(A^{-1}X)$。$A \in \operatorname{SL}_n$ で $X = A$ とすると値は $n \neq 0$ なので全射。よって $1$ は正則値で、$\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ は $n^2 - 1$ 次元、$T_I = \lbrace \operatorname{tr}X = 0 \rbrace$。

(3) $O(n)$ は連続写像 $F$ による閉集合の逆像なので閉集合で、各列が単位ベクトルなので成分は $[-1,1]$ に入り有界。よってコンパクト。$\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ は $\operatorname{diag}(t, t^{-1}, 1, \dots, 1)$ $(t > 0)$ を含み有界でない。

• 値域を $\operatorname{M}_n$ ではなく $\operatorname{Sym}_n$ にとるのが要点。$\operatorname{M}_n$ を値域にすると $dF_A$ の像は対称行列に限られ、全射にならない（正則値でなくなる）。
• 接空間 $\mathfrak{o}(n)$, $\mathfrak{sl}_n$ は対応するリー群のリー環で、$e^{X}$ により群に写る（$\det e^X = e^{\operatorname{tr}X}$）。

(1) $r = (x^2+y^2+z^2)^{1/2}$ とすると $d\sigma = \left(\sum_{i}\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{x_i}{r^3}\right)dx \wedge dy \wedge dz$ で、$\frac{\partial}{\partial x}\frac{x}{r^3} = \frac{1}{r^3} - \frac{3x^2}{r^5}$ などの和は $\frac{3}{r^3} - \frac{3r^2}{r^5} = 0$。

(2) $S^2$ 上では $r = 1$ なので $\sigma = \omega_0 := x\ dy \wedge dz + y\ dz \wedge dx + z\ dx \wedge dy$ の制限に等しい。$\omega_0$ は $\mathbb{R}^3$ 全体で滑らかで $d\omega_0 = 3\ dx \wedge dy \wedge dz$ だから、単位球体 $B$ でストークスの定理を使い $\int_{S^2}\sigma = \int_B 3\ dV = 4\pi$。もし $\sigma = d\eta$ なら、ストークスの定理より $\int_{S^2}d\eta = \int_{\partial S^2}\eta = 0$ となり矛盾する。

(3) $\lvert p \rvert < 1$ なら $\frac{x^2}{4} + y^2 + \frac{z^2}{9} \leq \lvert p \rvert^2 < 1$ なので、$0 < \varepsilon < 1$ の球面 $S_\varepsilon$ は $E$ の内部にある。$E$ と $S_\varepsilon$ に挟まれたコンパクト領域 $R$ は境界 $\partial R = E \sqcup (-S_\varepsilon)$ をもつ 3 次元多様体で、$\sigma$ は $R$ の近傍で滑らか。ストークスの定理と (1) より $\int_E \sigma - \int_{S_\varepsilon}\sigma = \int_R d\sigma = 0$。$\sigma$ は拡大 $x \mapsto \varepsilon x$ による引き戻しで不変（分子は $\varepsilon^3$ 倍、分母も $\varepsilon^3$ 倍）なので $\int_{S_\varepsilon}\sigma = \int_{S^2}\sigma = 4\pi$。よって $\int_E\sigma = 4\pi$。

• $\sigma$ は立体角形式で、$\frac{1}{4\pi}\int_\Sigma \sigma$ は閉曲面 $\Sigma$ が原点のまわりを何回包むかを表す（ガウスの法則：点電荷の電場の流束は電荷を囲むかどうかだけで決まる）。$\Sigma$ が原点を囲まなければ積分は $0$ である。
• (3) を直接パラメータ表示で計算するのは困難。「閉形式の積分はホモロジー類だけで決まる」ことを使うのが要点で、$[\sigma]$ は $H^2_{dR}(\mathbb{R}^3 \setminus 0) \cong \mathbb{R}$ の生成元になる。

(1) $\omega$ を $S^{n-1}$ の体積形式とすると $\int_{S^{n-1}}\omega > 0$。$r^{\ast}\omega$ は $D^n$ 上の $(n-1)$ 次形式で、$d(r^{\ast}\omega) = r^{\ast}(d\omega) = 0$（$d\omega$ は $(n-1)$ 次元多様体上の $n$ 次形式で $0$）。包含写像を $\iota$ とすると $r \circ \iota = \mathrm{id}$ より $\iota^{\ast}r^{\ast}\omega = \omega$。ストークスの定理より $\int_{S^{n-1}}\omega = \int_{\partial D^n}r^{\ast}\omega = \int_{D^n}d(r^{\ast}\omega) = 0$ となり矛盾。

(2) 不動点がないとし、$u(x) = x - f(x) \neq 0$ とおく。$f(x)$ から $x$ へ向かう半直線と $S^{n-1}$ の交点を $r(x) = x + t(x)u(x)$ とする。$t$ は $\lvert u \rvert^2t^2 + 2\langle x, u \rangle t + \lvert x \rvert^2 - 1 = 0$ の大きい方の根で、

根号の中は正である：$\lvert x \rvert < 1$ なら $\lvert u \rvert^2(1 - \lvert x \rvert^2) > 0$、$\lvert x \rvert = 1$ なら $\langle x, u \rangle = 1 - \langle x, f(x) \rangle > 0$（等号 $\langle x, f(x) \rangle = 1$ は $f(x) = x$ のときに限る）。よって $r$ は滑らかで、$\lvert x \rvert = 1$ なら $t(x) = 0$, $r(x) = x$。これは (1) に反する。

(3) 不動点がないとすると、コンパクト性から $m = \min_x\lvert f(x) - x \rvert > 0$。ワイエルシュトラスの近似定理により、成分が多項式の写像 $p$ で $\sup\lvert p - f \rvert < \frac{m}{2}$ となるものがある。$g = p/(1 + \frac{m}{2})$ とおくと $\lvert g \rvert \leq 1$ で滑らか、$\lvert g - p \rvert \leq \lvert p \rvert\frac{m/2}{1 + m/2} \leq \frac{m}{2}$ より $\lvert g - f \rvert < m$。(2) より $g(x) = x$ となる $x$ があり、$\lvert f(x) - x \rvert = \lvert f(x) - g(x) \rvert < m$ で矛盾。

• (1) はホモロジーを使うと「$S^{n-1} \xrightarrow{\iota} D^n \xrightarrow{r} S^{n-1}$ の合成が恒等写像なのに $\tilde{H}_{n-1}(D^n) = 0$ を経由する」と 1 行で示せる。ストークスの定理による証明は、ド・ラーム・コホモロジーで同じことをしている。
• (2) の $r$ の滑らかさの確認（根号の中が正）を省く答案が多い。$\lvert x \rvert = 1$ での議論が要点である。

(1) $A\mathbb{Z}^2 \subset \mathbb{Z}^2$ なので $x - y \in \mathbb{Z}^2 \Rightarrow Ax - Ay \in \mathbb{Z}^2$ で well-defined。局所的には線形写像なので滑らか。$\omega = dx \wedge dy$ は平行移動で不変なので $T^2$ 上の 2 次形式を定め、$\int_{T^2}\omega = 1$。線形写像の引き戻しは $f_A^{\ast}\omega = (\det A)\omega$ だから $\deg f_A = \int f_A^{\ast}\omega / \int\omega = \det A$。

(2) $q = [y]$ とすると、$[x] \in f_A^{-1}(q) \Leftrightarrow Ax \in y + \mathbb{Z}^2 \Leftrightarrow x \in A^{-1}y + A^{-1}\mathbb{Z}^2$。よって逆像の個数は $[A^{-1}\mathbb{Z}^2 : \mathbb{Z}^2] = [\mathbb{Z}^2 : A\mathbb{Z}^2] = \lvert \det A \rvert$（単因子標準形 $A = PDQ$ で指数 $= \lvert d_1d_2 \rvert$）。

(3) $[x]$ が不動点 $\Leftrightarrow (A - I)x \in \mathbb{Z}^2$ で、(2) と同様に個数は $[\mathbb{Z}^2 : (A-I)\mathbb{Z}^2] = \lvert \det(A - I) \rvert$。$\det(A - I) = 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 = -1$ より $f_A$ の不動点は $1$ 個。$A^2$ の行は $(5, 3), (3, 2)$ で、$\det(A^2 - I) = 4 \cdot 1 - 3 \cdot 3 = -5$ より $f_A^2$ の不動点は $5$ 個。最小周期 2 の点は $5 - 1 =$ 4 個（2 つの周期軌道）。

• (2) で各逆像点での $df_A$ の行列式の符号はすべて $\operatorname{sgn}\det A$ なので、符号付き個数は $\det A$ となり (1) と整合する（写像度の「正則値の逆像の符号付き個数」による定義）。
• レフシェッツ数は $L(f_A) = \sum(-1)^k\operatorname{tr}(f_{A\ast}\vert H_k) = 1 - \operatorname{tr}A + \det A = \det(I - A)$ で、不動点指数の和に等しい。$A$ は双曲型で、$f_A^n$ の不動点の個数 $\lvert \det(A^n - I) \rvert = \lambda^n + \lambda^{-n} - 2$（$\lambda = \frac{3+\sqrt5}{2}$）は指数的に増える（アノソフ写像）。

(1) $U = \lbrace x < \frac{1}{2} \rbrace \setminus \lbrace p_1 \rbrace$, $V = \lbrace x > -\frac{1}{2} \rbrace \setminus \lbrace p_2 \rbrace$ とする。$U$, $V$ は凸集合から内点を除いたものなので円周とホモトピー同値で $H^0 = H^1 = \mathbb{R}$, $H^2 = 0$。$U \cap V = \lbrace -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \rbrace$ は凸で可縮。マイヤー–ヴィートリス完全系列

において、$X$ は連結なので $H^0(X) = \mathbb{R}$、$\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$（$(a,b) \mapsto b - a$）は全射で $\delta = 0$。よって $H^1(X) \cong H^1(U) \oplus H^1(V) = \mathbb{R}^2$。また $0 = H^1(U \cap V) \to H^2(X) \to H^2(U) \oplus H^2(V) = 0$ より $H^2(X) = 0$。

(2) $\omega_j$ は $p_j$ を中心とする偏角 $\theta_j$ の微分 $d\theta_j$（局所的に）なので閉形式。$\gamma_k$ を $p_k$ を中心とする半径 $\frac{1}{2}$ の円とすると、$\int_{\gamma_k}\omega_j = 2\pi\delta_{jk}$（$j \neq k$ なら $\omega_j$ は $\gamma_k$ の囲む円板上で滑らかな閉形式なので、ストークスの定理より $0$）。完全形式の閉曲線上の積分は $0$ なので、$[\omega] \mapsto (\int_{\gamma_1}\omega, \int_{\gamma_2}\omega)$ は $H^1(X) \to \mathbb{R}^2$ の線形写像として well-defined で、$[\omega_1], [\omega_2]$ を 1 次独立なベクトルに写す。$\dim H^1(X) = 2$ なので基底である。

(3) 円 $C = \lbrace \lvert z \rvert = 3 \rbrace$ と $\gamma_1, \gamma_2$ に挟まれた領域でストークスの定理を使うと $\int_C\eta = \int_{\gamma_1}\eta + \int_{\gamma_2}\eta = 2\pi - 2\pi = 0$。しかし $\int_{\gamma_1}\eta = 2\pi \neq 0$ なので $\eta$ は完全でない。

• 一般に $\mathbb{R}^2$ から $k$ 点を除いた空間は $H^1_{dR} \cong \mathbb{R}^k$ で、閉形式の類は「各穴のまわりの周回積分」で決まる（留数定理の実版）。(3) は「1 つの閉曲線上の積分が $0$ でも完全とは限らない」ことを示す例。
• マイヤー–ヴィートリスを使う答案では、$U$, $V$, $U \cap V$ のコホモロジーをホモトピー不変性で求めた根拠と、連結準同型が $0$ になる理由を明記する。

弧状連結な空間 $Y$ に 2 胞体を語 $w$ に沿って貼ると、ファン・カンペンの定理より $\pi_1$ は $\pi_1(Y)/\langle\langle w \rangle\rangle$ になる。

(1) $K$ は $S^1 \vee S^1$ に語 $aba^{-1}b$ で 2 胞体を貼った空間なので $\pi_1(K) = \langle a, b \mid aba^{-1}b \rangle$。可換化すると $2b = 0$ なので $H_1(K) \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。非可換性：$\mathbb{R}$ の等長変換 $s(x) = -x$, $t(x) = x + 1$ について $s \circ t \circ s^{-1} \circ t = \mathrm{id}$ なので、$a \mapsto s$, $b \mapsto t$ は準同型を定める。$s \circ t(x) = -x - 1 \neq -x + 1 = t \circ s(x)$ だから像は非可換、よって $\pi_1(K)$ も非可換。

(2) $\pi_1(X) = \langle a, b \mid aba^{-1}b^{-1},\ a^2b^4 \rangle$。第 1 の関係式から可換群で、$\mathbb{Z}^2/\langle (2,4) \rangle$ に同型。$\mathbb{Z}^2$ の基底を $(1,2), (0,1)$ にとると $(2,4) = 2(1,2)$ なので $\pi_1(X) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$。

(3) $H_1(X) = \pi_1(X)^{\mathrm{ab}} \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \cong H_1(K)$。しかし $\pi_1(X)$ は可換、$\pi_1(K)$ は非可換で同型でない。基本群はホモトピー不変量なので、$K$ と $X$ はホモトピー同値でない。

• 群の非可換性は「具体的な非可換群への準同型を作る」のが確実な証明法。ここでは無限二面体群への準同型を使った。
• ホモロジーだけでは区別できない空間を基本群で区別する例。逆に、基本群が同型でもホモロジーの高次の部分で区別できる場合もある（$S^2$ と $S^3$）。

(1) 連結な 2 重被覆（基点を忘れた同型類）は、$F_2 = \pi_1(S^1 \vee S^1) = \langle a, b \rangle$ の指数 2 の部分群の共役類に対応する。指数 2 の部分群は正規で、全射準同型 $F_2 \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ の核と一対一に対応する。全射は $(a, b) \mapsto (1, 0), (0, 1), (1, 1)$ の 3 つ。対応する被覆空間は、頂点 $v_0, v_1$ の 2 つをもつグラフで：(i) $a$ の 2 本の辺が $v_0, v_1$ を結ぶ円周をなし、各頂点に $b$ のループがある、(ii) $a$ と $b$ の役割を入れ替えたもの、(iii) $a$ の辺も $b$ の辺も $v_0$ と $v_1$ を結ぶ（4 本の辺が 2 頂点を結ぶ）もの。

(2) $\pi_1(\mathbb{R}P^n) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $(n \geq 2)$ から $\pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$ への準同型は自明。$\mathbb{R}P^n$ は連結かつ局所弧状連結なので、持ち上げの基準により $f$ は普遍被覆 $p\colon \mathbb{R} \to S^1$ を通して $f = p \circ \tilde{f}$ と持ち上がる。$\mathbb{R}$ は可縮なので $\tilde{f} \simeq$ 定値写像で、$f \simeq$ 定値写像。

(3) そのような $f$ があるとする。$p(t) = e^{2\pi it}$ とし、$\gamma$ を $x_0$ から $-x_0$ への道、$\alpha$ を $f \circ \gamma$ の持ち上げとする。$f(-x_0) = -f(x_0)$ より $c := \alpha(1) - \alpha(0) \in \frac{1}{2} + \mathbb{Z}$。道 $-\gamma$（$-x_0$ から $x_0$）について $f(-\gamma(t)) = -f(\gamma(t))$ なので、$\beta(t) = \alpha(t) + c$ は $\beta(0) = \alpha(1)$ となる $f \circ (-\gamma)$ の持ち上げである。よってループ $\gamma \cdot (-\gamma)$ の $f$ による像は、持ち上げの端点の差が $2c$（奇数）となり、$S^1$ で自明でない。一方 $S^2$ は単連結なのでこのループは零ホモトピックで、その像も零ホモトピック（差は $0$）。矛盾。

• (3) から $n = 2$ のボルスク–ウラムの定理が従う：連続写像 $g\colon S^2 \to \mathbb{R}^2$ に対し $g(x) = g(-x)$ となる $x$ がある（なければ $\frac{g(x) - g(-x)}{\lvert g(x) - g(-x) \rvert}$ が奇写像になる）。「地球上に気温と気圧が同じ対蹠点の組がある」という主張である。
• 被覆の分類では「基点つき同型 $\leftrightarrow$ 部分群」「基点なし同型 $\leftrightarrow$ 部分群の共役類」の区別に注意する。

(1) $d_k$ は $k$ が奇数なら $0$、$k \geq 2$ が偶数なら $2$ 倍（単射）。よって

（$0 < k < n$ で $k$ 奇数なら $\ker d_k = \mathbb{Z}$, $\operatorname{im} d_{k+1} = 2\mathbb{Z}$。$k = n$ 奇数なら $d_{n+1}$ がないので $\mathbb{Z}$。）$k > n$ では $0$。

(2) 胞体は 0 胞体、1 胞体 $a$、2 胞体 $e$ で、貼り付け写像の次数が 3 なので $d_2(e) = 3a$、$d_1 = 0$。よって $H_0 = \mathbb{Z}$, $H_1 = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, $H_2 = \ker(\times 3) = 0$。ファン・カンペンの定理より $\pi_1(X) = \langle a \mid a^3 \rangle \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$。

(3) $\chi(\mathbb{R}P^n) = \sum_{k=0}^{n}(-1)^k$ は $n$ が偶数なら $1$、奇数なら $0$。ベッチ数（有理係数の次元）は $b_0 = 1$ と、$n$ が奇数なら $b_n = 1$ だけなので同じ値。$\chi(X) = 1 - 1 + 1 = 1 = b_0$。

• $\mathbb{R}P^n$ の $d_k = 1 + (-1)^k$ は、$S^{k-1} \to \mathbb{R}P^{k-1}$ の 2 重被覆を通した貼り付け写像の写像度が $\deg(\mathrm{id}) + \deg(\text{対蹠写像}) = 1 + (-1)^k$ となることから出る。
• $\mathbb{Z}/2$ 係数では $d_k = 0$ となり、$H_k(\mathbb{R}P^n; \mathbb{Z}/2) = \mathbb{Z}/2$ $(0 \leq k \leq n)$。係数によってホモロジーが変わる典型例で、普遍係数定理で説明される。

(1) $SY$ を上下 2 つの開いた錐 $C_{+}, C_{-}$（ともに可縮）で覆うと、$C_+ \cap C_- \simeq Y$。被約ホモロジーのマイヤー–ヴィートリス完全系列

の両端は $0$ なので $\partial$ は同型。$S^n = S(S^{n-1})$ で $\tilde{H}_k(S^0) = \mathbb{Z}$ $(k = 0)$, $0$ $(k \neq 0)$ だから、帰納法により $\tilde{H}_k(S^n) = \mathbb{Z}$ $(k = n)$, $0$ $(k \neq n)$。

(2) $\Sigma_2$ を分離する円周 $c$ の両側を $A$, $B$（それぞれ穴あきトーラスに、$c$ の近傍を加えた開集合）とすると、$A \simeq B \simeq S^1 \vee S^1$, $A \cap B \simeq S^1$。完全系列

において、$c$ は穴あきトーラスの境界で、ループとしては交換子 $aba^{-1}b^{-1}$ にホモトピックなので $H_1(A)$ で $0$（$B$ でも同様）。よって $\varphi = 0$ で、$H_2(\Sigma_2) \cong \mathbb{Z}$, $H_1(\Sigma_2) \cong \mathbb{Z}^2 \oplus \mathbb{Z}^2 = \mathbb{Z}^4$。$H_0 = \mathbb{Z}$、$k \geq 3$ では $0$。

• 一般に種数 $g$ の閉曲面は $H_1 \cong \mathbb{Z}^{2g}$, $H_2 \cong \mathbb{Z}$ で、$\chi = 2 - 2g$。胞体分割（0 胞体 1 個、1 胞体 $2g$ 個、2 胞体 1 個、貼り付け語 $\prod[a_i, b_i]$）からも直ちに得られる。
• マイヤー–ヴィートリスの答案では、写像 $\varphi$ を具体的に決定する部分が採点の中心になる。「$\varphi = 0$ だから」と理由なしに書かないこと。

(1) $H(x,t) = \dfrac{(1-t)f(x) - tx}{\lvert (1-t)f(x) - tx \rvert}$ とおく。分母が $0$ なら $(1-t)f(x) = tx$ で、ノルムをとって $1 - t = t$、$t = \frac{1}{2}$ で $f(x) = x$ となり仮定に反する。よって $H$ は $f$ から $a$ へのホモトピーで、$\deg f = \deg a = (-1)^{n+1}$。

(2) $v(x) \perp x$, $v(x) \neq 0$ となる連続な $v$ があれば、$H(x,t) = \cos(\pi t)\ x + \sin(\pi t)\frac{v(x)}{\lvert v(x) \rvert}$ は $S^{2m}$ 内のホモトピーで、$\mathrm{id}$ と $a$ を結ぶ。よって $1 = \deg a = (-1)^{2m+1} = -1$ となり矛盾。

(3) $g \neq e$ は不動点をもたないので、(1) より $\deg g = (-1)^{2m+1} = -1$。$\deg\colon G \to \lbrace \pm 1 \rbrace$ は準同型で、単位元以外をすべて $-1$ に写すので核は自明、すなわち単射。よって $\lvert G \rvert \leq 2$ で、$G \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。