総合演習（大学院入試・修士レベル）

概要

この科目は、これまでの各科目の知識を横断的に使う問題集である。第1〜7章は日本の大学院入試（院試）の専門科目・基礎科目の典型的なレベルと形式を、第8・9章は修士課程修了時の口頭試問や海外の qualifying exam に相当するレベルを想定している。すべてオリジナル問題で（題材は標準的だが、数値・設定・誘導は自作）、実際の入試問題の転載ではない。

各問題には、関連する章へのリンク（「使う知識」）、答案として書くべき論証をすべて含む完全な解答、そして着眼点・別解・よくある誤答・発展をまとめた解説をつけた。解答は「読んで納得する」ためではなく、「自分の答案と照合して、足りない論証を見つける」ために使ってほしい。

前提知識

• 第1〜7章：01 微分積分学〜11 確率論 の学部レベルの科目（各章冒頭の「前提」を参照）。
• 第8・9章：さらに 12 圏論とホモロジー代数〜19 リーマン面と保型形式 の大学院科目のうち、該当する分野。

すべてを学び終えてから始める必要はない。科目を 1 つ学び終えるごとに、対応する章の問題を解くのがよい。

到達目標

• [ ] 第1〜7章の ★★ の問題を、1 問 30〜40 分で、論証の穴のない答案として書ける
• [ ] 定理を使うたびに、その仮定（一様収束・可積分性・コンパクト性・正則値・完備性など）を確認したことを答案に書ける
• [ ] 計算問題で、別の方法による検算（部分分数分解・数値・特殊な場合の代入）を習慣として行える
• [ ] 「反例を挙げよ」「存在しないことを示せ」という問題で、標準的な反例と不変量を使いこなせる
• [ ] 第8・9章の問題について、使う定理を正確に述べ、具体的な対象に適用して結論まで計算できる

問題集の使い方

各問題は次の形式で書かれている。

1. 問題文：院試と同様に、小問 (1)(2)(3) が後の小問への誘導になっていることが多い。前の小問の結果は、解けなくても後の小問で使ってよい。
2. 使う知識：関連する科目の章へのリンク。解けなかったときに戻る場所である。
3. 解答（折りたたみ）：答案として書くべき内容。採点者が減点しない程度の詳しさで書いてある。
4. 解説・発展（折りたたみ）：着眼点、別解、よくある誤答、発展的な話題。

おすすめの手順は次のとおり。

1. 時間を計って、紙に答案を書く（頭の中で解いただけで済ませない）。
2. 解答と照合し、論証の欠落（仮定の確認・場合分け・存在の根拠）に赤で印をつける。
3. 解説を読み、別解やよくある誤答を確認する。
4. 1 週間後に、印をつけた問題だけをもう一度解く。

難易度の目安

第8・9章の ★ は、第1〜7章の ★★ より難しい。

章立て

1. 微分積分と線形代数（12 問）— ε-δ と一様連続性、級数・広義積分の収束判定、一様収束と項別微分、退化した臨界点の極値、ラグランジュの未定乗数法、重積分の変数変換とガウス積分、ジョルダン標準形と $e^{tA}$、行列の関数方程式、正定値性と二次形式、ゲルシュゴリンの定理、可換子とシルベスター方程式。
2. 集合と位相（11 問）— 濃度、閉包・内部の計算（補有限位相・ゾルゲンフライ直線）、稠密集合上で一致する連続写像、積位相と箱位相、コンパクト性（ヒルベルト立方体・等長写像）、連結性（$\operatorname{GL}_n$・位相幾何学者の正弦曲線）、商空間、完備性と縮小写像、ベールの範疇定理の応用、位相不変量による非同相、アスコリ–アルツェラの定理。
3. 代数学（12 問）— $p$ 群と類等式、位数 105 の群（シロー）、$\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_p)$、有限アーベル群と単因子、$\mathbb{Z}[x]$ の剰余環、$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ のイデアル、既約性判定、拡大次数と作図、ガロア群の計算、ガロア群 $\mathfrak{S}_5$、有限体、二平方和定理。
4. 複素関数論（11 問）— 留数による積分（有理関数・三角関数・フーリエ型・分岐あり）、ルーシェの定理、シュワルツの補題、等角写像とディリクレ問題、整関数の決定、一致の定理と有理型関数、$\pi\cot\pi z$ による級数和、整関数の関数方程式、有限ブラシュケ積。
5. ルベーグ積分と関数解析（11 問）— 収束定理の適用、項別積分、フビニの定理（反例と $\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx$）、$L^p$ の包含、収束の型、ヒルベルト空間の射影、完全正規直交系と $\zeta(6)$、作用素のノルムとスペクトル、ヴォルテラ作用素、一様有界性原理・閉グラフ定理、弱収束。
6. 多様体と位相幾何学（11 問）— 正則値定理、行列群の接空間、立体角形式とストークスの定理、ブラウワーの不動点定理、トーラス上の写像度、ド・ラーム・コホモロジー、ファン・カンペンの定理、被覆空間、胞体ホモロジー、マイヤー–ヴィートリス完全系列、写像度の応用。
7. 微分方程式と確率論（12 問）— 解の存在・一意性・延長、比較定理と爆発時刻、線形系、平衡点の安定性、境界値問題とフレドホルムの択一定理、フーリエ級数、熱方程式、波動方程式とラプラス方程式、確率の基本計算、ボレル–カンテリの補題、大数の法則・中心極限定理の応用、マルチンゲール。
8. 修士レベル：代数・数論・代数幾何（12 問）— 局所化、整閉包と次元、離散付値環、Tor と Ext、ねじれ 3 次曲線、層と指数完全系列、リーマン–ロッホの定理の応用、純 3 次体の素イデアル分解、$\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$ の類数、$p$ 進数、$\mathfrak{A}_4$ の指標表、$\mathfrak{sl}_2$ の表現。
9. 修士レベル：解析・幾何（13 問）— 平行移動・離散ラプラシアンのスペクトル、積分方程式とフレドホルムの択一定理、ソボレフ空間、弱解、最大値原理、曲率の計算、マイヤーズ・カルタン–アダマールの定理の応用、コホモロジー環、ポアンカレ双対、リーマン–フルヴィッツの公式、ワイエルシュトラスの空隙定理、マルチンゲール収束定理、ブラウン運動。

院試対策としての学習法

時間配分

• 院試の専門科目は、多くの場合 1 問 30〜60 分程度で、複数の大問から選択する形式である。本番では、最初の 5 分で全問に目を通し、確実に完答できる問題から着手する。
• 1 問に予定の 1.5 倍の時間をかけても方針が立たなければ、いったん次に移る。部分点は小問単位でつくことが多いので、誘導の前半だけでも確実に書く。
• 見直しの時間を最後に 10 分程度残す。計算問題は検算（特殊値の代入、別の方法での計算）を 1 つは行う。

答案の書き方

• 結論を先に：「答：$p > 1$」のように結論を明示し、その後に論証を書く。求値問題では最終値を枠で囲むか太字にする。
• 使う定理を名指しする：「優収束定理より」「ルーシェの定理より」と書き、その仮定を満たしていること（優関数の可積分性、円周上の不等式など）を必ず確認して書く。
• 記号を定義する：自分で導入した記号（$\delta$, $N$, 部分和 $S_n$ など）は、何であるかを最初に書く。
• 場合分けを明示する：「$p \leq 0$ のとき」「$p > 0$ のとき」のように、すべての場合を尽くしたことがわかる形で書く。
• 計算は途中式を残す：結果だけでは、どこで誤ったかがわからず部分点がつかない。

典型的な減点ポイント

学習時間の目安と進め方

• 全体で 60〜100 時間。第1〜7章（80 問）は 1 章あたり 6〜10 時間、第8・9章（25 問）は 1 章あたり 10〜15 時間が目安。
• 院試の 3〜6 か月前から、週に 1 章のペースで取り組むのが標準的。まず全章の ★ と ★★ を解き、残り時間で ★★★ に進む。
• 志望先の過去問は必ず別に解くこと。本書の問題は典型的な題材を網羅することを優先しており、特定の大学の出題傾向には合わせていない。
• 第8・9章は修士 1〜2 年での復習・口頭試問対策を想定している。専門分野に近い問題から取り組んでよい。

参考文献

• 姫野俊一・陳啓浩『演習 大学院入試問題［数学］I, II』（サイエンス社）— 実際の院試問題とその解答を分野別に収録。本書で基礎を固めた後、実戦演習に使う。
• P. N. de Souza, J.-N. Silva, Berkeley Problems in Mathematics (Springer) — カリフォルニア大学バークレー校の予備試験問題集。学部レベルの解析・線形代数・代数の問題が豊富。
• 各科目の README に挙げた参考文献（とくに演習書）。

次に学ぶもの

• 本書の問題で解けなかったものは、「使う知識」のリンクから該当する章に戻って復習する。
• 修士課程では、専門分野の論文や専門書のセミナーに進む。第8・9章の各問題の「解説・発展」に、その先の話題への入口を記した。
• 全体の目次の「到達度チェックリスト」で、自分の到達度を確認するとよい。