集合

この章の目標

• 集合を外延的記法・内包的記法で正しく書き、$\in$ と $\subset$ を区別できる
• 集合の相等を「$A \subset B$ かつ $B \subset A$」によって証明できる
• 和・共通部分・差・補集合・冪集合・直積を扱い、分配法則やド・モルガンの法則を元の議論で証明できる
• 添字付けられた集合族の和と共通部分を計算し、その性質を量化子を使って証明できる
• ラッセルのパラドックスの内容と、公理的集合論（ZFC）の各公理のおおまかな意味を説明できる

前提：第1章

現代の数学では、数も関数も図形も、すべて集合の言葉で書かれる。「$f$ は $\mathbb{R}$ 上で連続」「$V$ は $W$ の部分空間」「$U$ は開集合」──どの主張も、何かが何かに属するか、何かが何かに含まれるかという集合の関係に翻訳される。本章では集合の基本操作を学び、第1章の論理がそのまま集合の計算規則になることを見る。最後に、素朴に「集まり」を集合と呼ぶと矛盾が生じること（ラッセルのパラドックス）と、それを避けるための公理的集合論を概観する。

2.1 集合と元

定義 2.1（集合と元）ある対象がそれに属するかどうかがはっきり定まっている「ものの集まり」を集合 (set) という。対象 $x$ が集合 $A$ に属するとき、$x$ は $A$ の元（要素, element）であるといい、$x \in A$ と書く。属さないときは $x \notin A$ と書く。

$x \in A$ は「$x$ は $A$ に属する」「$x$ は $A$ の元」と読む。$A \ni x$ と書くこともある。これは素朴な定義であり、何でも集まりを集合と認めてよいわけではないことを 2.7 節で見る。

集合の表し方は主に二通りある。

• 外延的記法 (roster notation)：元を並べて書く。$\lbrace 1, 2, 3 \rbrace$、$\lbrace 1, 2, \dots, n \rbrace$ など。「$\dots$」は規則が誤解なく読みとれるときだけ使う。
• 内包的記法 (set-builder notation)：集合 $X$ と $X$ 上の条件 $P(x)$ に対し、$P(x)$ を満たす $X$ の元全体を $\lbrace x \in X \mid P(x) \rbrace$ と書く。縦線の代わりにコロンを使って $\lbrace x \in X : P(x) \rbrace$ と書く本もある。

さらに、写像や式 $f(x)$ を使った $\lbrace f(x) \mid x \in X \rbrace$ という書き方もよく使う。これは $\lbrace y \mid \exists x \in X,\ y = f(x) \rbrace$、つまり「$x$ が $X$ を動くときの $f(x)$ の値全体」を表す。区間は $[a, b] = \lbrace x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b \rbrace$、$(a, b) = \lbrace x \in \mathbb{R} \mid a < x < b \rbrace$、$[a, \infty) = \lbrace x \in \mathbb{R} \mid x \geq a \rbrace$ などと定める。

例 2.2

1. $\lbrace x \in \mathbb{Z} \mid x^2 < 5 \rbrace = \lbrace -2, -1, 0, 1, 2 \rbrace$
2. $\lbrace x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 3x + 2 = 0 \rbrace = \lbrace 1, 2 \rbrace$
3. $\lbrace 2k \mid k \in \mathbb{Z} \rbrace$ は偶数全体であり、$\lbrace n \in \mathbb{Z} \mid n \text{ は偶数} \rbrace$ と同じ集合である。
4. $\lbrace n^2 \mid n \in \mathbb{N} \rbrace = \lbrace 1, 4, 9, 16, \dots \rbrace$
5. $\lbrace x \in \mathbb{R} \mid x^2 = -1 \rbrace$ は元を一つももたない。

注意 2.3 集合は「どの元を含むか」だけで決まり、並べる順序や重複は関係しない：$\lbrace 1, 2 \rbrace = \lbrace 2, 1 \rbrace = \lbrace 1, 1, 2 \rbrace$。また集合の元が集合であってもよい。$\lbrace 1, \lbrace 1 \rbrace \rbrace$ は $1$ と $\lbrace 1 \rbrace$ の 2 個の元をもち、$\lbrace \lbrace 1, 2 \rbrace \rbrace$ は $\lbrace 1, 2 \rbrace$ という 1 個の元だけをもつ。

2.2 部分集合と相等

定義 2.4（部分集合と相等）集合 $A, B$ について、$A$ のどの元も $B$ の元であるとき、すなわち

$$\forall x,\ (x \in A \Rightarrow x \in B)$$

が成り立つとき、$A$ は $B$ の部分集合 (subset) である、または $A$ は $B$ に含まれるといい、$A \subset B$ と書く。$A$ と $B$ がまったく同じ元をもつとき、すなわち $\forall x,\ (x \in A \Leftrightarrow x \in B)$ のとき、$A$ と $B$ は等しいといい $A = B$ と書く。$A \subset B$ かつ $A \neq B$ のとき $A \subsetneq B$ と書き、$A$ を $B$ の真部分集合 (proper subset) という。

本教材では $A \subset B$ は $A = B$ の場合を含む（記法）。これを $A \subseteq B$ と書き、$\subset$ を真部分集合の意味に使う本もあるので注意する。

注意 2.5（$\in$ と $\subset$ の違い）$\in$ は「元と集合」の関係、$\subset$ は「集合と集合」の関係である。$1 \in \lbrace 1, 2 \rbrace$ であり、$\lbrace 1 \rbrace \subset \lbrace 1, 2 \rbrace$ であるが、$\lbrace 1 \rbrace \in \lbrace 1, 2 \rbrace$ ではない（$\lbrace 1, 2 \rbrace$ の元は $1$ と $2$ であり、$\lbrace 1 \rbrace$ はそのどちらでもない）。一方 $\lbrace 1 \rbrace \in \lbrace \lbrace 1 \rbrace, 2 \rbrace$ である。

定理 2.6 集合 $A, B, C$ について次が成り立つ。

1. $A \subset A$
2. $A \subset B$ かつ $B \subset C$ ならば $A \subset C$
3. $A = B \iff (A \subset B \land B \subset A)$

証明. (1) $x \in A \Rightarrow x \in A$ は常に真である。(2) $x \in A$ とすると $A \subset B$ より $x \in B$、$B \subset C$ より $x \in C$ である。(3) $x \in A \Leftrightarrow x \in B$ は $(x \in A \Rightarrow x \in B) \land (x \in B \Rightarrow x \in A)$ のことだから、定義からただちに従う。$\square$

定理 2.6 (3) は、集合の等式を証明する標準的な方法を与える。

• $A \subset B$ を示すには：「$x \in A$ を任意にとる」と書き始め、「よって $x \in B$ である」で終える。
• $A = B$ を示すには：$A \subset B$ と $B \subset A$ を別々に示す。

例 2.7 $A = \lbrace 6k \mid k \in \mathbb{Z} \rbrace$、$B = \lbrace n \in \mathbb{Z} \mid n \text{ は } 2 \text{ の倍数かつ } 3 \text{ の倍数} \rbrace$ とすると $A = B$ である。

証明. ($A \subset B$) $x \in A$ を任意にとる。$x = 6k$ となる $k \in \mathbb{Z}$ がとれ、$x = 2(3k) = 3(2k)$ なので $x$ は $2$ の倍数かつ $3$ の倍数である。よって $x \in B$。

($B \subset A$) $n \in B$ を任意にとる。$n = 2a$、$n = 3b$ となる整数 $a, b$ がとれる。$3b = 2a$ は偶数である。もし $b$ が奇数なら $3$ も奇数なので積 $3b$ は奇数となり（例 1.28）、矛盾する。よって $b$ は偶数で、$b = 2c$（$c \in \mathbb{Z}$）と書ける。$n = 3b = 6c$ なので $n \in A$ である。$\square$

定義 2.8（空集合）元を一つももたない集合を空集合 (empty set) といい、$\emptyset$ と書く。

定理 2.9 任意の集合 $A$ について $\emptyset \subset A$ である。また空集合はただ一つである。

証明. $x \in \emptyset$ は常に偽なので、$x \in \emptyset \Rightarrow x \in A$ は常に真である（空虚な真）。よって $\emptyset \subset A$。$E, E'$ がともに元をもたない集合なら、いま示したことから $E \subset E'$ かつ $E' \subset E$ なので $E = E'$ である。$\square$

空集合の存在は 2.7 節の公理で保証される。$\emptyset$ と $\lbrace \emptyset \rbrace$ は異なる：前者は元をもたず、後者は $\emptyset$ という元を一つもつ。

2.3 集合の演算

定義 2.10（和・共通部分・差・補集合）集合 $A, B$ に対して次のように定める。

• 和集合 (union)：$A \cup B := \lbrace x \mid x \in A \lor x \in B \rbrace$
• 共通部分 (intersection)：$A \cap B := \lbrace x \in A \mid x \in B \rbrace$
• 差集合 (difference)：$A \setminus B := \lbrace x \in A \mid x \notin B \rbrace$

考える集合がすべてある集合 $X$ の部分集合であるとき、$X$ を全体集合 (universal set) といい、$A \subset X$ に対し $A^c := X \setminus A$ を $A$ の補集合 (complement) という。$A \cap B = \emptyset$ のとき $A$ と $B$ は互いに素 (disjoint) であるといい、このときの和集合を $A \sqcup B$ とも書く。

$A \cup B$ は「$A$ または $B$ に属する元の全体」であり、「または」は両方に属する場合を含む（注意 1.5）。補集合は全体集合に依存する：$A = [0, 1]$ の補集合は、全体集合が $\mathbb{R}$ なら $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$、$[0, 2]$ なら $(1, 2]$ である。

例 2.11 $A = [0, 2]$、$B = (1, 3)$ とすると、$A \cup B = [0, 3)$、$A \cap B = (1, 2]$、$A \setminus B = [0, 1]$、$B \setminus A = (2, 3)$ であり、全体集合を $\mathbb{R}$ とすれば $A^c = (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$ である。

定理 2.12（集合演算の基本法則）集合 $A, B, C$ について次が成り立つ。

1. （交換法則）$A \cup B = B \cup A$、$A \cap B = B \cap A$
2. （結合法則）$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$、$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
3. （分配法則）$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$、$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
4. （ド・モルガンの法則）$C \setminus (A \cup B) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B)$、$C \setminus (A \cap B) = (C \setminus A) \cup (C \setminus B)$

特に全体集合 $X$ の部分集合について $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$、$(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$、$(A^c)^c = A$ が成り立つ。

証明. どれも、元についての条件に翻訳して第1章の論理法則（定理 1.7）を使えばよい。分配法則の前半を示す。任意の $x$ について

である。1 行目と 3 行目は定義により、2 行目は論理の分配法則による。ド・モルガンの法則の前半も同様に

となる（3 行目では $P \equiv P \land P$ と交換・結合法則を使った）。他も同様である。$\square$

この証明では各行が「$\iff$」で結ばれている。第1章の添削 4 と違い、各段階が同値変形なので、両方向の包含が同時に示されている。同値でない変形が一つでも混じる場合は、二つの包含を別々に示すほうが安全である。

定理 2.13 集合 $A, B$ について、次の三条件は同値である。 (i) $A \subset B$ (ii) $A \cap B = A$ (iii) $A \cup B = B$

証明. (i)$\Rightarrow$(ii)：$A \cap B \subset A$ は定義から明らか。逆に $x \in A$ なら (i) より $x \in B$ なので $x \in A \cap B$。(ii)$\Rightarrow$(iii)：$B \subset A \cup B$ は明らか。$x \in A \cup B$ とする。$x \in B$ ならよい。$x \in A$ なら (ii) より $x \in A \cap B$ なので $x \in B$。(iii)$\Rightarrow$(i)：$x \in A$ なら $x \in A \cup B = B$。$\square$

2.4 冪集合

集合の元が集合であってもよいので、「部分集合全体の集合」を考えることができる。

定義 2.14（冪集合）集合 $X$ の部分集合全体からなる集合を $X$ の冪集合 (power set) といい、$\mathcal{P}(X)$ と書く：$\mathcal{P}(X) := \lbrace A \mid A \subset X \rbrace$。

$A \in \mathcal{P}(X) \iff A \subset X$ である。常に $\emptyset \in \mathcal{P}(X)$、$X \in \mathcal{P}(X)$ であり、$x \in X \iff \lbrace x \rbrace \in \mathcal{P}(X)$ である。

例 2.15 $\mathcal{P}(\emptyset) = \lbrace \emptyset \rbrace$、$\mathcal{P}(\lbrace 1 \rbrace) = \lbrace \emptyset, \lbrace 1 \rbrace \rbrace$、$\mathcal{P}(\lbrace 1, 2 \rbrace) = \lbrace \emptyset, \lbrace 1 \rbrace, \lbrace 2 \rbrace, \lbrace 1, 2 \rbrace \rbrace$。$\mathcal{P}(\emptyset)$ は空集合ではなく、1 個の元 $\emptyset$ をもつことに注意する。

定理 2.16 $n \geq 0$ を整数とする。$n$ 個の元からなる集合 $X$ の冪集合 $\mathcal{P}(X)$ は $2^n$ 個の元をもつ。

証明. $n$ についての帰納法で示す。$n = 0$ のとき $X = \emptyset$ であり、$\mathcal{P}(\emptyset) = \lbrace \emptyset \rbrace$ は $1 = 2^0$ 個の元をもつ。$n$ 個の元からなる集合について正しいと仮定し、$X$ を $n + 1$ 個の元からなる集合とする。$a \in X$ を一つ選び、$X' := X \setminus \lbrace a \rbrace$ とおく（$X'$ は $n$ 個の元をもつ）。$X$ の部分集合 $A$ は、$a \notin A$ であるものと $a \in A$ であるものに分かれる。前者はちょうど $X'$ の部分集合であり、仮定より $2^n$ 個ある。後者 $A$ には $A \setminus \lbrace a \rbrace \subset X'$ を対応させると、これは後者と $X'$ の部分集合との一対一の対応を与える（逆の対応は $B \mapsto B \cup \lbrace a \rbrace$）。よって後者も $2^n$ 個あり、合計 $2^n + 2^n = 2^{n+1}$ 個である。$\square$

「一対一の対応」「個数」の厳密な扱いは第3章と第5章で行う。第3章では、$\mathcal{P}(X)$ を $X$ から $\lbrace 0, 1 \rbrace$ への写像全体と同一視することで、この定理を見通しよく理解する。

2.5 直積

平面の点は二つの実数の組 $(x, y)$ で表される。この「組」を一般の集合について考える。

定義 2.17（順序対と直積）二つの対象 $a, b$ から作られる順序対 (ordered pair) $(a, b)$ は、次の性質で特徴づけられる。

$$(a, b) = (c, d) \iff (a = c \land b = d)$$

集合 $A, B$ に対し、$a \in A$、$b \in B$ の順序対全体を $A$ と $B$ の直積 (Cartesian product) といい、$A \times B := \lbrace (a, b) \mid a \in A,\ b \in B \rbrace$ と書く。同様に $n$ 個の集合の直積 $A_1 \times \cdots \times A_n := \lbrace (a_1, \dots, a_n) \mid a_i \in A_i \ (1 \leq i \leq n) \rbrace$ を定め、$A \times \cdots \times A$（$n$ 個）を $A^n$ と書く。

注意 2.18 順序対は集合 $\lbrace a, b \rbrace$ とは違う。$\lbrace 1, 2 \rbrace = \lbrace 2, 1 \rbrace$ だが $(1, 2) \neq (2, 1)$ である。公理的集合論では $(a, b) := \lbrace \lbrace a \rbrace, \lbrace a, b \rbrace \rbrace$ と集合として定義する（クラトフスキーの定義）。これが定義 2.17 の性質を満たすことは問題 2.7 で確かめる。数学で使うのはこの性質だけであり、定義の細部は重要でない。

例 2.19 $A = \lbrace 1, 2 \rbrace$、$B = \lbrace p, q \rbrace$ とすると $A \times B = \lbrace (1, p), (1, q), (2, p), (2, q) \rbrace$ であり、$B \times A = \lbrace (p, 1), (q, 1), (p, 2), (q, 2) \rbrace$ はこれと異なる。有限集合では $A \times B$ の元の個数は $A$ と $B$ の元の個数の積である。$\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ は座標平面、$[a, b] \times [c, d]$ は長方形である。どんな $A$ についても $A \times \emptyset = \emptyset$ である（組の第 2 成分に入れるものがない）。

定理 2.20 集合 $A, B, C, D$ について次が成り立つ。

1. $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$
2. $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$
3. $(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)$

証明. どの辺も順序対からなる集合なので、順序対 $(x, y)$ がそれに属する条件を比べればよい。(1)：

(3)：$(x, y) \in (A \times B) \cap (C \times D) \iff (x \in A \land y \in B) \land (x \in C \land y \in D) \iff (x \in A \cap C) \land (y \in B \cap D)$ であり、最後の条件は $(x, y) \in (A \cap C) \times (B \cap D)$ と同値である。(2) は (3) で $C$ を $A$ に、$D$ を $C$ に置き換えた特別な場合である（$A \cap A = A$ に注意）。$\square$

和集合については $(A \times B) \cup (C \times D) \subset (A \cup C) \times (B \cup D)$ しか成り立たない（問題 2.6）。長方形二つの和集合は一般に長方形ではない、という図を思い浮かべるとよい。

2.6 集合族

「区間 $[1/n, 1]$ を $n = 1, 2, 3, \dots$ について全部合わせる」のように、無限個の集合の和や共通部分を考えたい場面は多い。

定義 2.21（集合族とその和・共通部分）集合 $\Lambda$ の各元 $\lambda$ に集合 $A_\lambda$ が一つずつ対応しているとき、これを $\Lambda$ を添字集合 (index set) とする集合族 (family of sets) といい、$(A_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ と書く。その和集合と（$\Lambda \neq \emptyset$ のとき）共通部分を

$$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda := \lbrace x \mid \exists \lambda \in \Lambda,\ x \in A_\lambda \rbrace, \qquad \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda := \lbrace x \mid \forall \lambda \in \Lambda,\ x \in A_\lambda \rbrace$$

で定める。$\Lambda = \mathbb{N}$ のときは $\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n$、$\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n$ とも書く。

和集合は「どれか一つには属する元」の全体、共通部分は「すべてに属する元」の全体である。$\Lambda = \lbrace 1, 2 \rbrace$ ならそれぞれ $A_1 \cup A_2$、$A_1 \cap A_2$ に一致する。集合を元とする集合 $\mathcal{A}$ に対しては、$\mathcal{A}$ 自身を添字集合として $\bigcup \mathcal{A} := \bigcup_{A \in \mathcal{A}} A$ とも書く。族を正確に定義するには写像の概念を使う（第3章 3.9 節）。

以下ではアルキメデスの性質「任意の実数 $x$ に対し $x < n$ となる $n \in \mathbb{N}$ が存在する」を使う（微分積分学 第1章、本教材第7章）。

例 2.22

(1) $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} [1/n, 1] = (0, 1]$。

実際、左辺の元 $x$ はある $n$ で $0 < 1/n \leq x \leq 1$ を満たすので $x \in (0, 1]$ である。逆に $x \in (0, 1]$ とすると、アルキメデスの性質より $n > 1/x$ となる $n \in \mathbb{N}$ があり、$1/n < x \leq 1$ なので $x \in [1/n, 1]$、よって $x$ は左辺に属する。

(2) $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} (-1/n, 1/n) = \lbrace 0 \rbrace$。

$0$ はすべての $(-1/n, 1/n)$ に属する。逆に $x \neq 0$ とすると、$n > 1/\lvert x \rvert$ となる $n$ があり、$\lvert x \rvert > 1/n$ なので $x \notin (-1/n, 1/n)$、よって $x$ は左辺に属さない。対偶をとれば、左辺の元は $0$ に限る。

(3) $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} (0, 1/n) = \emptyset$。

左辺に元 $x$ があったとすると $x > 0$ であり、$n > 1/x$ となる $n$ について $x > 1/n$ なので $x \notin (0, 1/n)$、矛盾である。

有限個の共通部分 $\bigcap_{n=1}^{N} (0, 1/n) = (0, 1/N)$ はどれも空でないのに、無限個の共通部分は空になる。「有限個」と「無限個」の違いは位相空間論などで本質的な役割を果たす。

注意 2.23 (1) $\Lambda = \emptyset$ のとき $\bigcup_{\lambda \in \emptyset} A_\lambda = \emptyset$ である（$\exists \lambda \in \emptyset$ は常に偽）。一方 $\bigcap$ の定義に $\Lambda = \emptyset$ を入れると「すべての $x$」となり、これは集合でない（系 2.26）。全体集合 $X$ を固定している場面では $\bigcap_{\lambda \in \emptyset} A_\lambda := X$ と約束することがある。(2) 族では $A_1 = A_2$ のように同じ集合が何度現れてもよい。

定理 2.24（集合族の分配法則とド・モルガンの法則）$(A_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ を集合族、$B$ を集合とし、$\Lambda \neq \emptyset$ とする。

1. $B \cap \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} (B \cap A_\lambda)$
2. $B \cup \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda = \bigcap_{\lambda \in \Lambda} (B \cup A_\lambda)$
3. $B \setminus \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda = \bigcap_{\lambda \in \Lambda} (B \setminus A_\lambda)$
4. $B \setminus \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} (B \setminus A_\lambda)$

証明. (1) 任意の $x$ について

である。中央の同値は、どちらも「$x \in A_\lambda$ となる $\lambda$ があり、しかも $x \in B$」を意味することによる。

(3) 定理 1.24 を使うと

である。2 行目の最初の同値で $\Lambda \neq \emptyset$ を使う。$\Leftarrow$ の向きで $x \in B$ を取り出すには、少なくとも一つの $\lambda$ が必要だからである。(2)(4) も同様に示せる。$\square$

2.7 ラッセルのパラドックスと公理的集合論

ここまで「ものの集まり」を無邪気に集合と呼んできた。特に、どんな条件 $P(x)$ に対しても $\lbrace x \mid P(x) \rbrace$ が集合になると考えてきた。19 世紀末の集合論もこの考えに立っていたが、1901 年頃ラッセル (B. Russell) は次の矛盾を指摘した。

条件「$x \notin x$」（自分自身を元として含まない）を考え、$R := \lbrace x \mid x \notin x \rbrace$ とおく。$R \in R$ だろうか。もし $R \in R$ なら、$R$ は $R$ の条件を満たすので $R \notin R$ である。もし $R \notin R$ なら、$R$ は条件を満たすので $R \in R$ である。どちらでも矛盾する。これをラッセルのパラドックス (Russell's paradox) という。

定理 2.25 すべての集合 $x$ について「$x \in R \iff x \notin x$」が成り立つような集合 $R$ は存在しない。

証明. そのような $R$ があれば、$x = R$ とおいて $R \in R \iff R \notin R$ を得る。$Q \Leftrightarrow \neg Q$ はどんな命題 $Q$ についても偽であるから矛盾である。$\square$

系 2.26 すべての集合を元とする集合は存在しない。

証明. そのような集合 $V$ があったとする。後述の分出公理により $R := \lbrace x \in V \mid x \notin x \rbrace$ は集合である。任意の集合 $x$ は $V$ に属するので、$x \in R \iff x \notin x$ となり、定理 2.25 に反する。$\square$

教訓は、条件だけから勝手に集合を作ってはならないということである。すでに集合とわかっている $X$ から $\lbrace x \in X \mid P(x) \rbrace$ として切り出すのは安全であり（上の証明でもこの形でしか使っていない）、それ以外の集合の作り方は、あらかじめ認めた操作に限る。こうして集合の存在を公理で規定する立場を公理的集合論 (axiomatic set theory) という。標準的なのは、ツェルメロとフレンケルの公理系に選択公理を加えた ZFC である。その公理をおおまかな意味とともに挙げる。

選択公理を除いたものを ZF という。いくつか補足する。

• 本章の構成はすべてこれらの公理で正当化される。$A \cup B = \bigcup \lbrace A, B \rbrace$ は対の公理と和集合の公理から、$A \cap B$、$A \setminus B$ は分出公理から得られる。直積は、$(a, b) = \lbrace \lbrace a \rbrace, \lbrace a, b \rbrace \rbrace$ が $\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))$ の元であることに注意して、$\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))$ から「ある $a \in A$、$b \in B$ により $(a, b)$ と書ける」元を分出公理で切り出せばよい。
• 無限公理は自然数全体の集合を作るために使う。$\emptyset, \lbrace \emptyset \rbrace, \lbrace \emptyset, \lbrace \emptyset \rbrace \rbrace, \dots$ を順に $0, 1, 2, \dots$ とみなすのが標準的な構成である（第7章）。
• 正則性公理から、$x \in x$ となる集合 $x$ は存在しないことがわかる。実際 $A = \lbrace x \rbrace$ に公理を適用すると、$A$ の唯一の元 $x$ について $x \cap \lbrace x \rbrace = \emptyset$ となるが、$x \in x$ なら $x \in x \cap \lbrace x \rbrace$ となってしまう。
• ZFC では、数・関数・順序対など数学のすべての対象が集合として構成される。一方「すべての集合の集まり」のように大きすぎて集合にならない集まりはクラス (class) と呼ばれる。群全体・位相空間全体なども同様であり、圏論ではこの点に注意が必要になる。

注意 2.27（本教材の立場）本教材では集合論を形式的な公理系として展開することはせず、素朴な言葉づかいで集合を扱う。ただし集合を作るときは常に上の公理で保証された操作（特に「既知の集合からの切り出し」）だけを使うので、ラッセルのパラドックスのような矛盾が入り込むことはない。なお、ZFC そのものが矛盾を含まないことは（ZFC が無矛盾ならば）ゲーデルの第二不完全性定理により ZFC の中では証明できない。ZFC の無矛盾性は証明された事実ではなく、長年の使用実績に基づいて数学者が信頼している前提である。公理的集合論そのものに興味がある読者は、参考文献の田中・鈴木『数学のロジックと集合論』などを見るとよい。

まとめ

• 集合は元によって決まる（外延性）。外延的記法 $\lbrace 1, 2, 3 \rbrace$ と内包的記法 $\lbrace x \in X \mid P(x) \rbrace$ を使い分ける。
• $\in$ は元と集合の関係、$\subset$ は集合と集合の関係である。$\emptyset$ はどの集合にも含まれる。
• 集合の等式 $A = B$ は、$A \subset B$ と $B \subset A$ を元の議論（「$x \in A$ を任意にとる」）で示すのが基本である。
• 集合演算の法則（分配法則・ド・モルガンの法則など）は、論理法則を元についての条件に翻訳したものである。
• 冪集合 $\mathcal{P}(X)$ は部分集合全体、直積 $A \times B$ は順序対全体である。$n$ 元集合の冪集合は $2^n$ 個の元をもつ。
• 集合族の和は $\exists$、共通部分は $\forall$ で定義され、その性質は量化子の論理（定理 1.24）から従う。無限個の共通部分では、有限個の場合にない現象が起こる。
• 条件から勝手に集合を作ると矛盾が生じる（ラッセルのパラドックス）。ZFC は集合の作り方を公理で規定し、これを避ける。

演習問題