関数解析

科目の概要

関数解析は、一言でいえば無限次元の線形代数である。微分方程式 $-u'' + qu = f$ や積分方程式 $u(s) - \int_0^1 k(s,t)u(t)\ dt = f(s)$ を解くことは、関数を「ベクトル」、微分や積分を「行列」とみなせば、線形方程式 $Tu = f$ を解くことにほかならない。ただし関数の空間は無限次元なので、有限次元で当たり前だった事実がことごとく崩れる。

有限次元（線形代数）	無限次元（関数解析）
ノルムはすべて同値	同値でないノルムがある（ $C[0,1]$ の一様ノルムと $L^1$ ノルム）
有界閉集合はコンパクト	閉単位球はコンパクトでない（リースの定理）
単射 ⇔ 全射	シフト作用素は単射だが全射でない
線形写像は連続	微分作用素は連続でない（非有界）
スペクトル＝固有値の集合	固有値をもたない作用素のスペクトルも空でない

この科目では、これらの「崩れ方」を具体例（シフト作用素・掛け算作用素・積分作用素・微分作用素）で確かめながら、それでも成り立つ深い定理――ベールのカテゴリー定理に基づく 3 つの基本原理、ハーン–バナッハの定理、コンパクト作用素のリース–シャウダー理論、スペクトル定理――を学ぶ。完備性とコンパクト性という位相的な道具が、代数（線形性）と組み合わさって威力を発揮する様子が主題である。

関数解析は、偏微分方程式論（弱解・ソボレフ空間・発展方程式）、確率論（条件付き期待値・確率過程）、量子力学の数学的基礎（自己共役作用素・ユニタリ群）、表現論（ピーター–ワイルの定理）、大域解析（ホッジ理論・指数定理）の共通言語である。

前提知識

線形代数：線形写像・商空間・双対空間（02-linear-algebra 第3章）、内積空間と正規行列のスペクトル定理（02-linear-algebra 第7章）、特異値分解とミニマックス原理（02-linear-algebra 第8章）
位相：距離空間（03-topology 第1章）、コンパクト性・チコノフの定理・アスコリ–アルツェラの定理（03-topology 第5章）、完備距離空間・ベールのカテゴリー定理・ストーン–ワイエルシュトラスの定理（03-topology 第7章）
測度と積分：収束定理（06-measure-integration 第3章）、 $L^p$ 空間（06-measure-integration 第4章）、フビニの定理（06-measure-integration 第5章）、 $L^p$ の双対（06-measure-integration 第6章）
集合論：ツォルンの補題（00-foundations 第6章）
第6章でリウヴィルの定理とローラン展開（05-complex-analysis 第3章、第4章）を使う。
応用例の背景として、フーリエ級数（08-differential-equations 第6章）と境界値問題（08-differential-equations 第5章）を知っていると理解が深まる。

この科目の記法

NOTATION.md に加えて、この科目では次の記法を使う。

記号	意味
$\mathbb{K}$	スカラー体 $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$
$\lVert \cdot \rVert$	ノルム（作用素ノルムも同じ記号）
$B_X$	ノルム空間 $X$ の閉単位球 $\lbrace x \in X \mid \lVert x \rVert \leq 1 \rbrace$
$\mathcal{B}(X, Y)$ , $\mathcal{B}(X)$	有界線形作用素の全体（ $\mathcal{B}(X) = \mathcal{B}(X, X)$ ）
$\mathcal{K}(X, Y)$	コンパクト作用素の全体
$X^{\ast}$	双対空間（連続線形汎関数の全体）
$T'$	バナッハ空間の作用素 $T$ の双対作用素（転置）
$T^{\ast}$	ヒルベルト空間の作用素 $T$ の随伴作用素
$\ker T$ , $\operatorname{Ran} T$ , $D(T)$	核、値域（像）、定義域
$\sigma(T)$ , $\rho(T)$	スペクトル、レゾルベント集合
$R(\lambda, T)$	レゾルベント $(\lambda I - T)^{-1}$
$\langle x, y \rangle$	内積（第 1 変数について線形、第 2 変数について共役線形）

到達目標

[ ] $\ell^p$ , $c_0$ , $C(K)$ , $L^p$ などの具体的なバナッハ空間を扱い、完備性を証明できる
[ ] 有界線形作用素の作用素ノルムを計算・評価でき、ノイマン級数で逆作用素を構成できる
[ ] 「閉単位球がコンパクト ⇔ 有限次元」を証明し、無限次元特有の現象を例で説明できる
[ ] 射影定理・リースの表現定理・完全正規直交系の特徴づけを証明し、フーリエ級数などに応用できる
[ ] 一様有界性原理・開写像定理・閉グラフ定理を証明し、典型的な応用（フーリエ級数の発散など）を再現できる
[ ] ハーン–バナッハの定理（解析形・幾何形）を証明し、双対空間 $(\ell^p)^{\ast} = \ell^q$ などを決定できる
[ ] 弱収束・弱 $\ast$ 収束を扱い、バナッハ–アラオグルの定理を使える
[ ] リース–シャウダー理論とフレドホルムの択一定理を証明し、積分方程式に応用できる
[ ] コンパクト自己共役作用素のスペクトル定理を証明し、スツルム–リウヴィル問題の固有関数展開を導ける
[ ] スペクトルを点・連続・剰余スペクトルに分類でき、スペクトル半径公式を証明できる
[ ] 自己共役作用素の連続関数計算を構成し、スペクトル定理の意味を説明できる
[ ] 閉作用素・共役作用素・自己共役性を理解し、境界条件によって自己共役性が変わる例を説明できる
[ ] ストーンの定理・ヒレ–吉田の定理の主張を述べ、熱方程式・シュレディンガー方程式との関係を説明できる

章立て

ノルム空間とバナッハ空間 — ノルム空間の例と完備性、有界線形作用素、有限次元との違い（リースの補題）、商空間、ノイマン級数。
ヒルベルト空間 — 内積と中線定理、射影定理、リースの表現定理、完全正規直交系とフーリエ展開、随伴作用素。
ベールの定理と 3 つの基本原理 — 一様有界性原理、開写像定理、閉グラフ定理と、その応用（連続関数のフーリエ級数の発散）。
ハーン–バナッハの定理と双対性 — 汎関数の拡張と凸集合の分離、双対空間の決定、反射性、弱位相とバナッハ–アラオグルの定理。
コンパクト作用素 — 「行列に最も近い」作用素。リース–シャウダー理論、フレドホルムの択一定理、コンパクト自己共役作用素のスペクトル定理、固有関数展開。
スペクトル理論 — スペクトルの分類、スペクトル半径公式、バナッハ環と C*-環、自己共役作用素の関数計算とスペクトル定理。
非有界作用素と作用素半群 — 閉作用素、共役作用素、対称作用素と自己共役作用素の違い、ストーンの定理、ヒレ–吉田の定理、発展方程式への応用。

学習時間の目安と進め方

1 章あたり講義 3〜4 回分（1 回 90 分）、全体で半年〜1 年の講義に相当する。演習を含めて 1 章に 15〜20 時間程度を見込むとよい。
第1〜3章が土台である。第4章（ハーン–バナッハ）は第3章と独立に読めるが、第5章以降は第1〜4章のすべてを使う。第6章と第7章は第5章の結果（コンパクト作用素のスペクトル）を具体例として参照する。
定理を読んだら、必ず有限次元ではどうなるか、無限次元で仮定を外すと何が起こるかを考えること。本教材では、シフト作用素 $S$ 、掛け算作用素 $M_\varphi$ 、積分作用素（ヴォルテラ作用素 $V$ ）、微分作用素 $d/dx$ を繰り返し登場させる。これら 4 つの例について、各章の概念（ノルム、随伴、コンパクト性、スペクトル、自己共役性）を自分で計算してみると理解が定着する。
証明の多くは「完備性（ベールの定理・級数の収束）」か「コンパクト性（部分列の抽出）」のどちらかを核にしている。どちらを使っているかを意識して読むとよい。

参考文献

日本語

黒田成俊『関数解析』（共立出版）— 日本語の標準的な教科書。バナッハ空間の基礎からスペクトル理論・非有界作用素・作用素半群まで、証明が詳しい。本科目全体の参照先として最適。
藤田宏・黒田成俊・伊藤清三『関数解析』（岩波書店）— スペクトル理論と偏微分方程式への応用を意識した古典的教科書。
宮寺功『関数解析』（理工学社）— 基礎事項を丁寧に説明した入門書。初学者が第1〜4章の内容を固めるのに向く。
増田久弥『関数解析』（裳華房）— 要点を簡潔にまとめた入門書で、微分方程式への応用を意識している。

英語

H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations (Springer) — ハーン–バナッハの幾何形、弱位相、コンパクト作用素、ヒレ–吉田の定理を偏微分方程式への応用とともに扱う。演習も豊富。
W. Rudin, Functional Analysis (McGraw-Hill) — 位相線形空間の一般論、バナッハ環、スペクトル理論を簡潔かつ高い水準で扱う。修士レベルの参照書。
M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis (Academic Press) — 数理物理の視点からの教科書。非有界自己共役作用素とストーンの定理（第7章の内容）の定番の参照先。
J. B. Conway, A Course in Functional Analysis (Springer) — 大学院向けの標準的教科書。バナッハ環・C*-環・フレドホルム理論・非有界作用素まで広く扱う。
K. Yosida, Functional Analysis (Springer) — 吉田耕作による古典。作用素半群（ヒレ–吉田の定理）をはじめ、応用まで幅広い。

次に学ぶもの

偏微分方程式論：ソボレフ空間（18-pde 第3章）、ラックス–ミルグラムの定理と楕円型方程式（18-pde 第4章）、半群による発展方程式（18-pde 第5章）。本科目の第2・5・7章が直接使われる。
確率論：条件付き期待値は $L^2$ の直交射影として理解できる（11-probability 第5章）。
表現論：コンパクト群のピーター–ワイルの定理はコンパクト自己共役作用素のスペクトル定理から導かれる（16-lie-groups-representations 第6章）。
リーマン幾何学：ホッジ理論と指数定理はフレドホルム作用素の理論の上に立つ（17-riemannian-geometry 第7章）。
総合演習：20-problems 第5章（ルベーグ積分と関数解析）、20-problems 第9章（修士レベル：解析・幾何）。

章の一覧