Lemma

代数·目安：修士課程

楕円曲線

ワイエルシュトラス方程式と群法則、同種写像と等分点、有限体上の楕円曲線（ハッセの定理）、計算と暗号、還元とねじれ点、モーデル–ヴェイユの定理、虚数乗法、L 関数と BSD 予想

章
10
目安
100〜130 時間
演習
90 問

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第 1 章から読むこの科目までの道
前提となる科目04代数学15整数論

目次

  1. 1ワイエルシュトラス方程式合同数問題などの動機、射影平面と無限遠点、不変量 bi,c4,c6,Δ,jb_i, c_4, c_6, \Delta, j と変数変換、非特異   ⟺  \iff Δ≠0\Delta \neq 0 と特異点の型、jj 不変量による分類、自己同型とツイスト、リーマン–ロッホの定理によるワイエルシュトラス方程式の存在、ルジャンドル形。10〜13 時間 · 演習 8 問
  2. 2群法則直線と 3 次曲線の交点、弦と接線による加法と加法公式、Pic⁡0\operatorname{Pic}^0 による結合法則の証明、位数 2・3 の点、特異 3 次曲線の非特異点の群、y2=x3+17y^2 = x^3 + 17 や導手 37 の曲線の計算例、射影座標。9〜12 時間 · 演習 9 問
  3. 3同種写像と等分点曲線の射と次数、フロベニウス射、同種写像が準同型であること、等分多項式、2-同種写像、双対同種写像、E[m]E[m] の構造、ヴェイユ対、自己準同型環、テイト加群。11〜14 時間 · 演習 10 問
  4. 4有限体上の楕円曲線ルジャンドル記号による点の数え方、フロベニウスとハッセの定理、合同ゼータ関数とヴェイユ予想、群構造、超特異楕円曲線、現れる点の個数（ドイリングとウォーターハウスの定理）、佐藤–テイト予想（現在は定理）。8〜10 時間 · 演習 9 問
  5. 5楕円曲線の計算と暗号スカラー倍の計算、ECDH・ECDSA、離散対数への攻撃、実際に使われる曲線、点の個数の計算、楕円曲線法による素因数分解、量子計算機と同種写像暗号。10〜13 時間 · 演習 8 問
  6. 6局所体上の楕円曲線と還元極小モデル、良い還元・乗法的還元・加法的還元、E0(K)⊃E1(K)E_0(K) \supset E_1(K) と形式群、テイトのアルゴリズムと小平記号、導手、ネロン–オッグ–シャファレビッチの判定法。11〜15 時間 · 演習 9 問
  7. 7有理点のねじれ部分群還元によるねじれ部分群の単射、ナゲル–ルッツの定理、ねじれ部分群の決定、メイザーの定理とテイト正規形、数体上のねじれ（メレルの定理）。8〜10 時間 · 演習 10 問
  8. 8モーデル–ヴェイユの定理高さ、降下法、2-同種写像による弱モーデル–ヴェイユの定理、階数の計算と合同数、セルマー群とテイト–シャファレビッチ群、ネロン–テイトの標準的高さとレギュレーター。18〜23 時間 · 演習 9 問
  9. 9複素数体上の楕円曲線と虚数乗法一意化定理、同種写像と格子、自己準同型環、虚数乗法の例、類数 1 の判別式と jj 値、eπ163e^{\pi\sqrt{163}}、CM 曲線の apa_p、セールの開像定理、周期と算術幾何平均。9〜11 時間 · 演習 9 問
  10. 10L 関数と BSD 予想L 関数のオイラー積、モジュラー性定理、関数等式、BSD 予想と既知の結果、導手 11・37 の曲線での数値検証、合同数とタネルの定理、フェルマーの最終定理への道、ラングランズ・プログラムへの展望。7〜10 時間 · 演習 9 問

概要

楕円曲線は y2=x3+Ax+By^2 = x^3 + Ax + B のような 3 次方程式で定まる曲線で、その点の集合には「直線と曲線の 3 つの交点」から自然な群の構造が入る。この単純な事実から、数学のさまざまな分野が交わる豊かな理論が生まれる。代数幾何から見れば種数 1 の曲線であり、複素解析から見れば複素トーラス C/Λ\mathbb{C}/\Lambda であり、整数論から見れば有理点の群 E(Q)E(\mathbb{Q}) や合同ゼータ関数・L 関数の研究対象である。

歴史的にも、楕円曲線は整数論の中心にあり続けてきた。有理点の群 E(Q)E(\mathbb{Q}) が有限生成であることはモーデルが 1922 年に証明し（モーデル–ヴェイユの定理）、有限体上の点の個数を評価するハッセの定理は、合同ゼータ関数に対するリーマン予想の類似の楕円曲線の場合にあたり、のちのヴェイユ予想につながった。1960 年代にはバーチとスウィンナートン＝ダイアーが、階数を L 関数の零点の位数と結びつける予想（BSD 予想）を数値実験から提出し、これは現在も未解決である。ワイルズ（テイラーとの共著論文を含む）が 1995 年に半安定な楕円曲線のモジュラー性を証明したことでフェルマーの最終定理が解決され、モジュラー性はのちにすべての Q\mathbb{Q} 上の楕円曲線に拡張された。一方、有限体上の楕円曲線の群は 1980 年代半ばにコブリッツとミラーにより独立に暗号への利用が提案され、現在ではインターネットの通信や電子署名で広く使われている。

この科目では、ワイエルシュトラス方程式と群法則から出発し、同種写像と等分点、有限体上の理論（ハッセの定理）と暗号への応用、局所体上の還元、有理点のねじれ部分群、モーデル–ヴェイユの定理、複素数体上の理論と虚数乗法を経て、L 関数と BSD 予想に至る。

学び方の基本方針：この科目は具体的な曲線で手を動かしながら進む。y2=x3+17y^2 = x^3 + 17、y2=x3−xy^2 = x^3 - x、y2+y=x3−xy^2 + y = x^3 - x（導手 37）、y2+y=x3−x2−10x−20y^2 + y = x^3 - x^2 - 10x - 20（導手 11）、合同数の曲線 y2=x3−n2xy^2 = x^3 - n^2x などが全章を通じて繰り返し登場する。本文の数値（点の個数、群の構造、判別式、階数、L 関数の値など）はすべて PARI/GP で検算してある。読者も新しい定理に出会うたびに、これらの曲線で手計算と計算機の両方で確かめてほしい。

前提知識

到達目標

  • 一般のワイエルシュトラス方程式の不変量と変数変換を計算でき、非特異   ⟺  \iff Δ≠0\Delta \neq 0 と jj 不変量による分類を証明できる
  • 弦と接線による群法則を定義し、Pic⁡0\operatorname{Pic}^0 を用いて結合法則を証明できる。加法公式で有理点や有限体上の点を計算できる
  • 同種写像が準同型であることを証明し、双対同種写像・等分点の群 E[m]≅(Z/mZ)2E[m] \cong (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^2・ヴェイユ対の性質を説明できる
  • 有限体上の点の個数を数え、ハッセの定理 ∣aq∣≤2q\lvert a_q \rvert \leq 2\sqrt{q} と合同ゼータ関数の性質を証明できる
  • ECDH・ECDSA の正しさを証明し、ナンスの再利用や汎用攻撃・特殊な曲線への攻撃が何に基づくかを説明できる
  • 局所体上の極小モデルと還元の型を判定し、導手と小平記号を読める
  • ナゲル–ルッツの定理を証明して Q\mathbb{Q} 上のねじれ部分群を決定し、メイザーの定理の内容を説明できる
  • 位数 2 の有理点をもつ曲線について、2-同種写像による降下でモーデル–ヴェイユの定理を証明し、具体的な曲線の階数を計算できる
  • 複素数体上の楕円曲線を格子として扱い、虚数乗法の例と類数 1 の jj 値を説明できる
  • L 関数・モジュラー性定理・BSD 予想の主張を正確に述べ、導手 11, 37 の曲線で数値的に確かめられる

学習時間の目安と進め方

  • 全体で 100〜130 時間（1 章あたり 10〜13 時間）を目安とする。大学院修士課程の通年講義に相当する。
  • 章の依存関係はおおよそ次のとおりである。
    • 第1章 → 第2章 → 第3章 → 第4章（基礎。この順に読むこと）
    • 第2・4章 → 第5章（暗号に関心がある読者は、第3章は主な定理（定理 3.14・系 3.16・定理 3.23・定理 3.31 など）の主張を確かめる程度にして、第4章・第5章に進んでもよい）
    • 第1・2章 → 第6章、第3・6章 → 第7章 → 第8章（有理点の数論）
    • 第3章 → 第9章（19 第1〜3章 を使う）
    • 第4・6・8・9章 → 第10章
  • 深い定理（モジュラー性定理、メイザーの定理、BSD 予想に関する既知の結果など）は主張を正確に述べて使い、証明を省いたことを本文に明記している。証明した定理と主張だけの定理を区別して読んでほしい。
  • 各章の数値例は自分で再計算すること。手計算で小さい例を確かめ、大きな例は PARI/GP や SageMath で確かめるとよい。計算の過程で、定理の仮定（標数、極小性、非特異性など）がどこで効いているかが見えてくる。
  • 演習問題は ★ をすべて解いてから ★★ に進むとよい。★★★ は発展的な問題である。

この科目の記法

全章で次の記法を使う（NOTATION.md の約束に加えて）。

記号 意味
KK, K‾\overline{K} 体とその代数閉包。char⁡K\operatorname{char} K は標数
E/KE/K, OO KK 上の楕円曲線と、その無限遠点 O=[0:1:0]O = [0 : 1 : 0]（群の単位元）
E(K)E(K) KK 有理点の群。点は P,Q,RP, Q, R
y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6 一般のワイエルシュトラス方程式
b2,b4,b6,b8,c4,c6,Δ,jb_2, b_4, b_6, b_8, c_4, c_6, \Delta, j 不変量（定義は Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves III.1 と同じ）
y2=x3+Ax+By^2 = x^3 + Ax + B 短い形（A,BA, B は大文字。標数 ≠2,3\neq 2, 3）。Δ=−16(4A3+27B2)\Delta = -16(4A^3 + 27B^2), j=−1728(4A)3/Δj = -1728(4A)^3/\Delta
y2=x3+ax2+bx+cy^2 = x^3 + ax^2 + bx + c x2x^2 の項をもつ形（第7・8章で、その章の中で定義して使う）
[m][m], E[m]E[m] mm 倍写像、mm 等分点の群（K‾\overline{K} 上の点）
E(K)torsE(K)_{\mathrm{tors}} ねじれ部分群
φ ⁣:E1→E2\varphi\colon E_1 \to E_2, φ^\hat{\varphi} 同種写像とその双対
ψm\psi_m 等分多項式
ϕq\phi_q qq 乗フロベニウス自己準同型 (x,y)↦(xq,yq)(x, y) \mapsto (x^q, y^q)（体の自己同型としてのフロベニウスは 04 に合わせて Fr⁡\operatorname{Fr}、ガロア群のフロベニウス元は 15 に合わせて Frob⁡p\operatorname{Frob}_p）
aqa_q, apa_p フロベニウスのトレース aq=q+1−∣E(Fq)∣a_q = q + 1 - \lvert E(\mathbb{F}_q) \rvert（悪い還元の素数での apa_p は第10章 命題 10.1）
∣E(Fq)∣\lvert E(\mathbb{F}_q) \rvert 点の個数
eme_m, Tℓ(E)T_\ell(E) ヴェイユ対（第3章 定義 3.30。PARI/GP の ellweilpairing はその逆数を返す流儀）、ℓ\ell 進テイト加群
E~\tilde{E}, E~ns\tilde{E}_{\mathrm{ns}} 還元、その非特異点の部分
E0(K)⊃E1(K)E_0(K) \supset E_1(K) 良い還元をもつ点のなす部分群と、還元の核（第6章）
vv, RR, m\mathfrak{m}, π\pi, kk 局所体の正規化された付値、整数環、極大イデアル、素元、剰余体（第6章）
hh, h^\hat{h} 素朴な高さ（h(P)=log⁡H(x(P))h(P) = \log H(x(P)), h(O)=0h(O) = 0）、ネロン–テイトの標準的高さ h^(P)=lim⁡n→∞h(2nP)/4n\hat{h}(P) = \lim_{n \to \infty} h(2^nP)/4^n（係数 12\frac{1}{2} はつけない。PARI/GP の ellheight と同じ正規化）
⟨P,Q⟩\langle P, Q \rangle, Reg⁡(E)\operatorname{Reg}(E) 高さのペアリング 12(h^(P+Q)−h^(P)−h^(Q))\frac{1}{2}(\hat{h}(P + Q) - \hat{h}(P) - \hat{h}(Q)) とレギュレーター（第8章）
fpf_p, cpc_p pp での導手指数、玉河数（第6章）
ΩE\Omega_E ∫E(R)∣ω∣\int_{E(\mathbb{R})} \lvert \omega \rvert（極小モデルの不変微分 ω\omega）。実周期 ω1\omega_1 と E(R)E(\mathbb{R}) の連結成分の数の積（第10章）
NN（または NEN_E）, L(E,s)L(E, s) 導手 N=∏ppfpN = \prod_p p^{f_p}、L 関数
r=rank⁡E(Q)r = \operatorname{rank} E(\mathbb{Q}) モーデル–ヴェイユ群の階数
Sel⁡(φ)\operatorname{Sel}^{(\varphi)}, Ш(E/Q)\text{Ш}(E/\mathbb{Q}) セルマー群、テイト–シャファレビッチ群
μm\mu_m 1 の mm 乗根のなす群

具体的な曲線には、Cremona のラベル（導手 11 の曲線 11a1 = [a1,a2,a3,a4,a6]=[0,−1,1,−10,−20][a_1, a_2, a_3, a_4, a_6] = [0, -1, 1, -10, -20]、37a1 = [0,0,1,−1,0][0, 0, 1, -1, 0] など）を添えることがある。LMFDB は 37.a1 のように導手と同種類を点で区切った別の形のラベルをつけていて、同種類の中の番号のつけ方が Cremona と異なることがある（たとえば Cremona の 11a1 は LMFDB の 11.a2 である。Cremona の表にある曲線では、LMFDB のページに Cremona のラベルも併記されている）。

ヒント

計算機で確かめる. 本文の数値は PARI/GP（gp）で確かめられる。E = ellinit([a1, a2, a3, a4, a6]) で曲線を作り（係数の順序に注意。短い形 y2=x3+Ax+By^2 = x^3 + Ax + B なら ellinit([0, 0, 0, A, B]) または ellinit([A, B])）、E.disc, E.j で判別式と jj 不変量、elladd(E, P, Q), ellmul(E, P, n) で群法則、elltors(E) でねじれ部分群、ellglobalred(E) で導手、ellap(E, p) で apa_p、ellgroup(ellinit([...], p)) で E(Fp)E(\mathbb{F}_p) の群構造がわかる。ellrank(E) は階数の下界と上界を返すので、両者が一致したときだけ階数が確定する。ellheight(E, P) は本書の h^(P)\hat{h}(P)（第8章）と同じ正規化の値を返すが、標準的高さの正規化は本によって 2 倍異なることがあるので、ほかの本の数値と比べるときは正規化を照らし合わせること。曲線のデータは LMFDB（ https://www.lmfdb.org ）でも調べられる。

参考文献

教科書

  • J. H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves (Springer) 大学院レベルの標準的な教科書。ワイエルシュトラス方程式・群法則・同種写像・有限体・局所体・モーデル–ヴェイユの定理・降下法までを扱う。本科目の不変量の定義と記法はこの本に合わせている。
  • J. H. Silverman, Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves (Springer) 上の本の続編。楕円関数とモジュラー関数、虚数乗法、ネロン模型とテイトのアルゴリズムなどを扱う。第6・9章の発展に。
  • J. H. Silverman, J. T. Tate, Rational Points on Elliptic Curves (Springer)（邦訳『楕円曲線論入門』シュプリンガー・フェアラーク東京） 学部生向けの具体的な入門書。ナゲル–ルッツの定理、2 等分点をもつ曲線のモーデルの定理、有限体上の曲線、整数点などを、計算を重視して扱う。第2・7・8章の副読本に最適。
  • L. C. Washington, Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography (Chapman & Hall/CRC) 整数論と暗号の両面から楕円曲線を扱う。標数 2, 3 の場合やヴェイユ対の計算も詳しく、第4・5章の参考書として。
  • D. Husemöller, Elliptic Curves (Springer) 形式群やガロアコホモロジー、モジュラー関数まで幅広い話題を扱う教科書。
  • A. W. Knapp, Elliptic Curves (Princeton University Press) モーデルの定理からモジュラー形式・ヘッケ作用素を経て、谷山–志村予想とフェルマーの最終定理への道筋を示す。第10章の参考書として。
  • J. W. S. Cassels, Lectures on Elliptic Curves (Cambridge University Press) pp 進的な方法と降下法を中心に簡潔にまとめた講義録。セルマー群・テイト–シャファレビッチ群の入門に。
  • N. Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms (Springer) 合同数問題を導きの糸に、楕円曲線・モジュラー形式・ヘッケ作用素・半整数の重さの形式へ進み、タネルの定理に至る。第1・9・10章と関係が深い。
  • 斎藤毅『フェルマー予想』（岩波書店） 楕円曲線とモジュラー形式、ガロア表現を準備して、フェルマーの最終定理の証明の全体像を解説する日本語の本。第10章の先に。
  • 梅村浩『楕円関数論』（東京大学出版会） 楕円関数の古典論を詳しく扱う日本語の本。第9章の背景として。

計算と暗号

  • J. E. Cremona, Algorithms for Modular Elliptic Curves (Cambridge University Press) モジュラー記号による楕円曲線の計算法と曲線の表。本科目で使う 11a1, 37a1 のようなラベルの出典。
  • H. Cohen, A Course in Computational Algebraic Number Theory (Springer) 計算機による代数的整数論の標準的な教科書。楕円曲線の計算、素数判定、素因数分解のアルゴリズムを含む。
  • D. Hankerson, A. Menezes, S. Vanstone, Guide to Elliptic Curve Cryptography (Springer) 有限体と楕円曲線の演算の効率的な実装、暗号プロトコルを扱う実務向けの本。第5章の参考書として。

データベースとソフトウェア

  • LMFDB（The L-functions and Modular Forms Database, https://www.lmfdb.org ）：楕円曲線の方程式・導手・階数・ねじれ部分群・L 関数などのデータベース。
  • PARI/GP（ https://pari.math.u-bordeaux.fr ）、SageMath（ https://www.sagemath.org ）：楕円曲線の計算ができる無料のソフトウェア。

次に学ぶもの