第7章有理点のねじれ部分群

この章の目標

• 良い還元をもつ素数での還元写像がねじれ部分群の上で単射であることを証明し、ねじれ部分群の有限性と位数の上界を導ける
• ナゲル–ルッツの定理（ねじれ点は整数座標で、$y = 0$ または $y^2 \mid D$）を証明し、具体的な曲線のねじれ部分群を決定できる
• メイザーの定理の主張（15 通り）を知り、テイト正規形を使って各位数のねじれ点をもつ曲線を作れる
• メレルの一様有界性定理など、数体上のねじれ点についての結果を知る

前提：第2章、第3章、第6章。例と演習では第4章の点の数え方（命題 4.1）を使い、問題 7.10 で15 第6章のディリクレの算術級数定理を使う。

第8章で証明するモーデル–ヴェイユの定理（定理 8.1）によれば、$E/\mathbb{Q}$ の有理点の群は有限生成で、$E(\mathbb{Q}) \cong E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}} \oplus \mathbb{Z}^r$ と分解する。階数 $r$ を求めるのは一般に難しいが、ねじれ部分群 $E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}}$ は有限の手続きで完全に決定できる。本章ではその方法を二つ学ぶ。一つは第6章の還元写像による位数の上界、もう一つはナゲル–ルッツの定理による候補点の列挙である。どちらも第6章の「$E_1(\mathbb{Q}_p)$ にはねじれ点がほとんどない」という事実に基づいている。

後半では、$\mathbb{Q}$ 上のねじれ部分群は 15 通りしかないというメイザーの定理を紹介し、テイト正規形を使ってそれらを実現する曲線の族を作る。最後に数体上のねじれ点（メレルの定理）に触れる。本章の曲線のねじれ部分群・点の個数・ラベルはすべて PARI/GP（elltors, ellorder, ellcard, ellidentify）で確かめてある。

7.1 還元とねじれ部分群

$E/\mathbb{Q}$ を整数係数のワイエルシュトラス方程式で与え、判別式を $\Delta$ とする。素数 $p \nmid \Delta$ では、係数を $\bmod p$ で読んだ $\tilde{E}$ は $\mathbb{F}_p$ 上の楕円曲線であり、点 $P = [X : Y : Z]$（$X, Y, Z$ は互いに素な整数）に $\tilde{P} = [X \bmod p : Y \bmod p : Z \bmod p]$ を対応させる還元写像 $E(\mathbb{Q}) \to \tilde{E}(\mathbb{F}_p)$ が定まる。これは $E(\mathbb{Q}) \subset E(\mathbb{Q}_p)$ と第6章の還元写像（定義 6.6）の合成である（$v_p(\Delta) = 0 < 12$ なので方程式は $p$ で極小。第6章 命題 6.3）。

定理 7.1（ねじれ点の還元）$E/\mathbb{Q}$ を整数係数のワイエルシュトラス方程式で与え、素数 $p$ は判別式 $\Delta$ を割らないとする。

1. $p \nmid m$ ならば、還元写像は単射 $E(\mathbb{Q})[m] \to \tilde{E}(\mathbb{F}_p)$ を与える。
2. $p \geq 3$ ならば、あるいは $p = 2$ で方程式の $a_1$ が $0$ ならば、還元写像は単射 $E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}} \to \tilde{E}(\mathbb{F}_p)$ を与える。

証明. $v_p(\Delta) = 0$ なので、$\mathbb{Q}_p$ 上で $E$ は良い還元をもち（第6章 命題 6.8）、$E_0(\mathbb{Q}_p) = E(\mathbb{Q}_p)$ である。第6章 定理 6.13 より還元 $E(\mathbb{Q}_p) \to \tilde{E}(\mathbb{F}_p)$ は準同型で、核は $E_1(\mathbb{Q}_p)$ である。したがって $E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}}$ の元で還元が $\tilde{O}$ になるものは $E_1(\mathbb{Q}_p)$ のねじれ点であり、還元写像の核に $O$ 以外のねじれ点がないことを示せばよい。(1) 第6章 定理 6.19(1) により、$E_1(\mathbb{Q}_p)$ には $p$ と素な位数のねじれ点はない。(2) $v_p(p) = 1$ なので、$p \geq 3$ なら第6章 定理 6.19(3) により、$a_1 = 0$ なら定理 6.19(2) により、$E_1(\mathbb{Q}_p)$ には $O$ 以外のねじれ点がない。$\square$

系 7.2 $E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}}$ は有限群である。$p \geq 3$ が $\Delta$ を割らなければ $\lvert E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}} \rvert$ は $\lvert \tilde{E}(\mathbb{F}_p) \rvert$ を割り切る。$p = 2$ が $\Delta$ を割らなければ、$E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}}$ の奇数位数の元のなす部分群の位数は $\lvert \tilde{E}(\mathbb{F}_2) \rvert$ を割り切る（$a_1 = 0$ なら $E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}}$ 全体の位数が割り切る）。

証明. $\Delta$ の素因数は有限個なので、$\Delta$ を割らない素数 $p \geq 3$ がある。定理 7.1(2) より $E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}}$ は有限群 $\tilde{E}(\mathbb{F}_p)$ の部分群と同型で、ラグランジュの定理から位数が割り切る。$p = 2$ のときは、奇数位数の元のなす部分群（有限アーベル群の 2 と素な部分）に定理 7.1(1) を使う。$\square$

$\mathbb{Q}$ 上では、ねじれ部分群の形もかなり制限される。

命題 7.3 $E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}} \cong \mathbb{Z}/N_1\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/N_2\mathbb{Z}$（$N_1 \mid N_2$）と書け、$N_1 = 1$ または $2$ である。

証明. $T = E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}}$ の位数を $n$ とすると $T \subset E[n] \cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^2$（第3章 定理 3.23。標数 0）。$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^2$ の部分群は、$\mathbb{Z}^2$ の部分群（階数 2 以下の自由加群）の像なので 2 個以下の元で生成され、有限アーベル群の基本定理から $T \cong \mathbb{Z}/N_1 \oplus \mathbb{Z}/N_2$（$N_1 \mid N_2$）。$T$ の $N_1$ 倍で消える部分群は $(\mathbb{Z}/N_1)^2$ と同型で位数 $N_1^2 = \lvert E[N_1] \rvert$ だから、$E[N_1] \subset E(\mathbb{Q})$。第3章のヴェイユ対の性質（系 3.32(2)：$E[m] \subset E(K)$ ならば $\mu_m \subset K$）より $\mu_{N_1} \subset \mathbb{Q}$ で、$\mathbb{Q}$ に含まれる 1 のべき根は $\pm 1$ だけだから $N_1 \leq 2$。$\square$

例 7.4（2 つの素数による上界）

1. $y^2 = x^3 - x$（$\Delta = 64$）. $p = 3$ で $\tilde{E}(\mathbb{F}_3)$ の点は $\tilde{O}$, $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(2, 0)$ の 4 個（$x^3 - x$ は $\mathbb{F}_3$ 上で恒等的に $0$）。よって $\lvert E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}} \rvert \mid 4$ で、$O, (0, 0), (\pm 1, 0)$ がすでに 4 個あるから $E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}} \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$（$\lvert \tilde{E}(\mathbb{F}_5) \rvert = \lvert \tilde{E}(\mathbb{F}_7) \rvert = 8$ とも矛盾しない）。
2. 11a3 $\colon y^2 + y = x^3 - x^2$（$\Delta = -11$, $a_1 = 0$）. $\mathbb{F}_2$ 上では $x = 0, 1$ のどちらでも $y^2 + y = 0$ で、点は $\tilde{O}$ と 4 個のアフィン点の 5 個。$a_1 = 0$ なので定理 7.1(2) が $p = 2$ でも使え、$\lvert E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}} \rvert \mid 5$。$P = (0, 0)$ について $2P = (1, -1)$, $3P = (1, 0)$, $4P = (0, -1)$, $5P = O$ なので $E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}} \cong \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$。
3. 37a1 $\colon y^2 + y = x^3 - x$（$\Delta = 37$, $a_1 = 0$）. $\lvert \tilde{E}(\mathbb{F}_2) \rvert = 5$, $\lvert \tilde{E}(\mathbb{F}_3) \rvert = 7$（$\mathbb{F}_3$ では $x^3 - x = 0$ なので各 $x$ に $y = 0, 2$ の 2 点）。$\gcd(5, 7) = 1$ だから $E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}} = \lbrace O \rbrace$。特に $(0, 0)$ は無限位数の点で、$E(\mathbb{Q})$ の階数は 1 以上である。
4. $y^2 = x^3 + 1$（$\Delta = -432 = -2^4 3^3$）. $\lvert \tilde{E}(\mathbb{F}_5) \rvert = 6$, $\lvert \tilde{E}(\mathbb{F}_7) \rvert = 12$ なので位数は 6 を割る。例 7.9 で見るように位数 6 の点 $(2, 3)$ があるので $E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}} \cong \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$。

7.2 ナゲル–ルッツの定理

還元による方法は位数の上界を与えるが、点そのものは見つけてくれない。ねじれ点の座標を直接制限するのがナゲル–ルッツの定理である（ナゲル 1935 年、ルッツ 1937 年。それぞれ独立に得た）。この節では次の形の方程式を扱う：

3 次式 $f$ の判別式を

とおく（$D \neq 0$ と仮定する）。これは $a_1 = a_3 = 0$, $a_2 = a$, $a_4 = b$, $a_6 = c$ のワイエルシュトラス方程式で、判別式は $\Delta = 16D$ である。任意の $E/\mathbb{Q}$ はこの形に変換できる：整数係数の方程式から始め、$X = 4x$, $Y = 8y + 4a_1x + 4a_3$ とおくと $Y^2 = X^3 + b_2X^2 + 8b_4X + 16b_6$ になる（第1章の式 (1.4) が示す平方完成 $(2y + a_1x + a_3)^2 = 4x^3 + b_2x^2 + 2b_4x + b_6$ に 16 を掛ける）。

定理 7.5（ナゲル–ルッツの定理, Nagell–Lutz theorem）$P = (x_0, y_0) \in E(\mathbb{Q})$ がねじれ点ならば、$x_0, y_0$ は整数であり、$y_0 = 0$（このとき $P$ の位数は 2）か、$y_0^2 \mid D$ である。特に $y_0 \neq 0$ なら $y_0 \mid D$ である。

証明には 2 倍の公式と、次の多項式の恒等式を使う。

補題 7.6 $\phi(x) = x^4 - 2bx^2 - 8cx + b^2 - 4ac$ とおく（$a = 0$ のときは第3章 定義 3.17 の $\phi_2$ に一致する）。

1. $P = (x_0, y_0) \in E$, $y_0 \neq 0$ ならば $x(2P) = \phi(x_0)/(4y_0^2)$。
2. 整数係数の多項式の恒等式

$$D = (3x^3 - ax^2 - 5bx + 2ab - 27c)f(x) - (3x^2 + 2ax - a^2 + 4b)\phi(x)$$

が成り立つ。

証明. (1) $P$ での接線 $y = \lambda x + \nu$ の傾きは $\lambda = f'(x_0)/(2y_0)$ である（$y_0 \neq 0$ なので接線は縦でない）。これを $y^2 = f(x)$ に代入した $f(x) - (\lambda x + \nu)^2 = x^3 + (a - \lambda^2)x^2 + \cdots$ の根は $x_0$（重根）と $x(-2P) = x(2P)$ なので、根と係数の関係から $x(2P) = \lambda^2 - a - 2x_0$。$y_0^2 = f(x_0)$ を使って通分すると

で、分子を展開すると $\phi(x_0)$ になる（$x^3$ の係数は $12a - 12a = 0$, $x^2$ の係数は $(4a^2 + 6b) - (4a^2 + 8b) = -2b$ など）。(2) 右辺を展開すれば確かめられる（計算機でも確認した）。$\square$

定理 7.5 の証明. 整数性. 素数 $p$ を一つ固定する。$E$ の方程式は $\mathbb{Z}_p$ 係数（整）で $a_1 = 0$ であり、$v_p(p) = 1$ だから、第6章 定理 6.19(2) より、この方程式についての $E_1(\mathbb{Q}_p) = \lbrace (x, y) \mid v_p(x) < 0 \rbrace \cup \lbrace O \rbrace$ は $O$ 以外のねじれ点をもたない（方程式が $p$ で極小である必要はなく、$p = 2$ でもよい）。$P \neq O$ はねじれ点なので $P \notin E_1(\mathbb{Q}_p)$、すなわち $v_p(x_0) \geq 0$。これがすべての $p$ で成り立つから $x_0 \in \mathbb{Z}$。すると $y_0^2 = f(x_0) \in \mathbb{Z}$ で、$y_0 \in \mathbb{Q}$ だから $y_0 \in \mathbb{Z}$。

$y_0 = 0$ の場合. $-P = (x_0, -y_0)$ なので、$y_0 = 0$ $\iff$ $P = -P$ $\iff$ $2P = O$。

$y_0 \neq 0$ の場合. $2P \neq O$ で、$2P$ もねじれ点だから、前半より $x(2P) \in \mathbb{Z}$。補題 7.6(1) より $\phi(x_0) = 4y_0^2 \cdot x(2P)$ は $y_0^2$ で割り切れ、$f(x_0) = y_0^2$ も $y_0^2$ で割り切れる。補題 7.6(2) に $x = x_0$ を代入すると、右辺の 2 つの項はどちらも $y_0^2$ で割り切れる整数なので $y_0^2 \mid D$。$\square$

系 7.7（ねじれ部分群の求め方）$y^2 = f(x)$ の形の方程式について、$E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}}$ は次の有限の手続きで求まる。(i) $y = 0$ と、$y^2 \mid D$ となる整数 $y$ をすべて挙げ、各 $y$ について $f(x) = y^2$ の整数解 $x$ を求める（有理根定理により、$c - y^2 \neq 0$ なら $x$ は $c - y^2$ の約数）。(ii) 得られた各点 $P$ について倍数 $2P, 3P, \dots$ を計算し、ある $nP = O$ となればねじれ点、途中で整数でない座標の点や、$y \neq 0$ かつ $y^2 \nmid D$ となる点が現れればねじれ点でない（ねじれ点の倍数はねじれ点なので、定理 7.5 の条件をみたすはずだからである）。

(ii) は必ず有限回で終わる。$P$ がねじれ点なら、その位数の回数で $O$ に達する。$P$ がねじれ点でなければ倍数 $P, 2P, 3P, \dots$ は相異なり、そのすべてが (i) の有限集合に入ることはないので、いずれ条件をみたさない点が現れる。

7.3 ねじれ部分群の計算例

例 7.8（$y^2 = x^3 - x$）$D = 4$ なので $y \in \lbrace 0, \pm 1, \pm 2 \rbrace$。$y = 0$ からは $x = 0, \pm 1$。$y = \pm 1$ では $x^3 - x - 1 = 0$、$y = \pm 2$ では $x^3 - x - 4 = 0$ で、どちらも整数解をもたない（整数解の候補は前者が $\pm 1$、後者が $\pm 1, \pm 2, \pm 4$ で、代入するとどれも根でない）。よって $E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}} = \lbrace O, (0, 0), (1, 0), (-1, 0) \rbrace \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$ で、例 7.4(1) と一致する。

例 7.9（$y^2 = x^3 + 1$）$D = -27$ なので $y \in \lbrace 0, \pm 1, \pm 3 \rbrace$。$y = 0$ から $x = -1$、$y = \pm 1$ から $x = 0$、$y = \pm 3$ から $x = 2$。$P = (2, 3)$ について、接線の傾きは $3x^2/(2y) = 2$ で $x(2P) = 4 - 4 = 0$, $y(2P) = 2(2 - 0) - 3 = 1$、すなわち $2P = (0, 1)$。$P$ と $2P$ を通る直線の傾きは $1$ で $x(3P) = 1 - 2 - 0 = -1$、$3P = (-1, 0)$ は位数 2。よって $P$ は位数 6 で、

例 7.10（11a3）$y^2 + y = x^3 - x^2$ は上の変換 $X = 4x$, $Y = 8y + 4$ で $Y^2 = X^3 - 4X^2 + 16$ になる（$b_2 = -4$, $b_4 = 0$, $b_6 = 1$）。$D = -27 \cdot 16^2 - 4 \cdot (-4)^3 \cdot 16 = -2816 = -2^8 \cdot 11$ なので、$Y^2 \mid D$ から $Y \mid 16$。$Y = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 8, \pm 16$ では $X^3 - 4X^2 + 16 - Y^2 = 0$ に整数解がなく（有理根定理で確かめられる）、$Y = \pm 4$ では $X^2(X - 4) = 0$ より $X = 0, 4$。$P = (0, 4)$ について $2P = (4, -4)$, $3P = (4, 4)$, $4P = (0, -4)$, $5P = O$ だから $E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}} \cong \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$。もとの座標 $(x, y) = (X/4, (Y - 4)/8)$ に戻すと、例 7.4(2) の $(0, 0), (1, -1), (1, 0), (0, -1)$ になる。

例 7.11（$y^2 = x^3 + 17$）$D = -27 \cdot 17^2 = -3^3 \cdot 17^2$ なので $y \mid 3 \cdot 17$。$y = 0, \pm 1, \pm 17, \pm 51$ では $x^3 = y^2 - 17 = -17, -16, 272, 2584$ はどれも立方数でなく、$y = \pm 3$ で $x = -2$。候補 $(-2, \pm 3)$ は WARNING (1) のとおりねじれ点でないので、$E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}} = \lbrace O \rbrace$。この曲線には $(-2, \pm 3)$, $(-1, \pm 4)$, $(2, \pm 5)$, $(4, \pm 9)$, $(8, \pm 23)$, $(43, \pm 282)$, $(52, \pm 375)$, $(5234, \pm 378661)$ など多くの整数点があるが、どれもねじれ点ではない。ナゲル–ルッツの定理は「ねじれ点 ⇒ 整数点」であって逆ではない。

例 7.12（$y^2 = x^3 - 25x$） 2 等分点 $(0, 0), (\pm 5, 0)$ があり、$E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}} \supset (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$。$\Delta = 2^6 5^6$ で $p = 3$ は良い還元の素数であり、$\mathbb{F}_3$ 上 $y^2 = x^3 - 25x = x^3 - x$ なので例 7.4(1) と同じく $\lvert \tilde{E}(\mathbb{F}_3) \rvert = 4$。よって $E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}} \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$。一般の $y^2 = x^3 - n^2x$ も同じ結果になる（問題 7.10）。これは第8章の合同数の問題（命題 8.28）で使う。

7.4 メイザーの定理とテイト正規形

上の例で現れたねじれ部分群はどれも小さかった。実はこれは偶然ではない。

定理 7.13（メイザーの定理, Mazur's theorem）（主張）$E/\mathbb{Q}$ のねじれ部分群は、次の 15 個の群のいずれかと同型である。

$$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z} \quad (1 \leq N \leq 10 \text{ または } N = 12), \qquad \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2N\mathbb{Z} \quad (1 \leq N \leq 4)$$

逆に、これら 15 個の群はすべて、$j$ 不変量の異なる無限個の $E/\mathbb{Q}$ のねじれ部分群として現れる。

オッグが予想し、メイザーが 1977 年に証明した。位数 $N$ の点をもつ楕円曲線とその点の組は、モジュラー曲線 $X_1(N)$ のカスプ以外の点に対応する。定理の $\mathbb{Z}/N$ の $N$ はちょうど $X_1(N)$ の種数が 0（有理曲線）になる値で、このとき有理点が無限にある（$\mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/2N$ にも同様のモジュラー曲線が対応する）。定理の主要部分は、それ以外の $N$ では $X_1(N)$ の有理点がカスプ（退化した曲線に対応する点）だけであること、すなわち位数 $N$ の有理点をもつ $E/\mathbb{Q}$ が存在しないことである。メイザーの仕事の核心は素数 $N \geq 11$ の場合で、いくつかの合成数の $N$ はそれ以前の研究で扱われていた。命題 7.3 の「$N_1 \leq 2$」はヴェイユ対から従ったが、$N_2$ の上界は深い定理である。

次の表は、各群について導手が最小の曲線の例である（Cremona のラベル。係数 $[a_1, a_2, a_3, a_4, a_6]$ と、 elltors の返す生成元）。

（15a2 の生成元 $(-29/4, 25/8)$ の座標が整数でないのは、$a_1 = 1$ の方程式だからである。）

15 通りの群を実現する曲線の族は、次の標準形を使うと作れる。

命題 7.14（テイト正規形, Tate normal form）$K$ を体、$E/K$ を楕円曲線とし、$P \in E(K)$ は $P, 2P, 3P \neq O$（位数 4 以上または無限位数）をみたすとする。このとき $b, c \in K$, $b \neq 0$ があって、$E$ は

$$E(b, c)\colon y^2 + (1 - c)xy - by = x^3 - bx^2$$

と、$P$ を $(0, 0)$ に移す変数変換で同型になる。

証明. 平行移動で $P = (0, 0)$ とすると $a_6 = 0$。$(0, 0)$ での接線は 1 次の部分 $a_3y - a_4x = 0$ である。$2P \neq O$ より $P \neq -P = (0, -a_3)$ なので $a_3 \neq 0$、つまり接線は縦でない。$y \mapsto y + (a_4/a_3)x$ と変換すると $a_4 = 0$ になり（第1章 命題 1.6 で $s = a_4/a_3$）、方程式は $y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2$、接線は $y = 0$ になる。接線 $y = 0$ と $E$ の交点は $x^2(x + a_2) = 0$ の根で、$a_2 = 0$ なら $P$ で 3 重に交わり $3P = O$ となるから、$a_2 \neq 0$。最後に $u = a_3/a_2$ として $x = u^2x'$, $y = u^3y'$ と変換すると $a_i' = a_i/u^i$ で、$a_2' = a_3' = a_2^3/a_3^2$ となる。$b = -a_2'$, $c = 1 - a_1'$ とおけばよい。$\square$

補題 7.15 $E(b, c)$ の判別式は $\Delta = b^3\bigl(16b^2 - (8c^2 + 20c - 1)b - c(1 - c)^3\bigr)$ で、$P = (0, 0)$ について

$$\begin{aligned} -P &= (0, b), & 2P &= (b, bc), & -2P &= (b, 0), \\ 3P &= (c, b - c), & -3P &= (c, c^2), & 4P &= \Bigl(\frac{b(b - c)}{c^2}, \frac{b^2(c^2 + c - b)}{c^3}\Bigr) \quad (c \neq 0) \end{aligned}$$

証明. 判別式は定義に代入して計算する（計算機で確認した）。$-(x, y) = (x, -y - (1 - c)x + b)$ から $-P = (0, b)$。$(0, 0)$ での接線は $y = 0$ で、$x^2(x - b) = 0$ より $-2P = (b, 0)$、よって $2P = (b, bc)$。$P$ と $2P$ を通る直線 $y = cx$ を代入すると $x(x - b)(x - c) = 0$ となるので $-3P = (c, c^2)$、$3P = (c, b - c)$。同様に $P$ と $3P$ を通る直線 $y = \frac{b - c}{c}x$ の第 3 の交点から $-4P = \bigl(b(b - c)/c^2, b(b - c)^2/c^3\bigr)$ を得て、符号を変えれば $4P$ になる。$\square$

例 7.16（位数 4, 5, 6, 7 の条件）$P = (0, 0)$ の位数を $N$ とする。

• $N = 4$ $\iff$ $2P = -2P$ $\iff$ $bc = 0$ $\iff$ $c = 0$。
• $N = 5$ $\iff$ $3P = -2P$ $\iff$ $(c, b - c) = (b, 0)$ $\iff$ $b = c$。
• $N = 6$ $\iff$ $3P = -3P$ $\iff$ $b - c = c^2$。
• $N = 7$ $\iff$ $4P = -3P$。$x$ 座標が等しい 2 点は等しいか互いに逆元で、$4P = 3P$ は起こらないから、これは $x(4P) = c$、すなわち $b(b - c) = c^3$ と同値（$c = 0$ なら $N = 4$ なので $c \neq 0$）。$d = b/c$ とおくと $c^3 + c^2d - c^2d^2 = 0$ より $c = d^2 - d$, $b = d^3 - d^2$。